PROGRAMACIÓN LINEAL - Fiquimat

Nombre y apellidos:

Tema 1; Matrices

1. (5p) Sean las matrices A =

1 1 00 1 10 0 1

, B =

1 2 23 2 −11 2 −1

, C =

11 7 39 9 16 3 2

a) Calcule la matriz X que verifica B · X −At = C (Sol: [2, 3,−1][3, 1, 2][2, 1, 0])

b) Calcule An, para todo n ≥ 1 (Sol: [1, n,n(n−1)

2], [0, 1, n], [0, 0, 1]).

2. (3p) Se consideran tres agricultores A1, A2 y A3. El primero siembra 20 hectareas de lechugas(L), 30 de tomates (T ) y 10 de pimientos (P ). El segundo siembra 40 hectareas de lechugas,20 de tomates y 30 de pimientos, y el tercer agricultor solo siembra 20 hectareas de lechugasy 20 de tomates. Se sabe que cada hectarea de lechugas requiere 1kg de abono (Ab) y 1kg deinsecticida (I), ambos ecologicos. Cada hectarea de tomates requiere 2kg de abono y 1kg deinsecticida, y cada hectarea de pimientos solo requiere 1kg de abono.

a) Escriba una matriz X que describa el numero de hectareas de cada tipo plantadas porcada agricultor (Sol: [[20, 30, 10], [40, 20, 30], [20, 20, 0]]), y una matriz Y que describa los kilos deabono e insecticida que requiere cada hectarea de cada tipo de cultivo (Sol: [[1, 1], [2, 1], [1, 0]]).

b) Realice el producto X ·Y e indique que expresa dicho producto (Sol: [[90, 50], [110, 60], [60, 40]]).

c) Si cada kilo de abono cuesta 0’20 C , y cada kilo de insecticida cuesta 0’30 C , halle unamatriz 3 × 1 que exprese el dinero que le supone a cada agricultor abonar y fumigar sustierras (Sol: [33, 40, 24]t).

3. (2p) Se consideran las matrices A =

(

1 a

0 1

)

y B =(

−1 1)

.

a) Calcule el valor del parametro a para que se verifique (B · A)t = A · Bt

b) Para a = 2, resuelva la ecuacion matricial X ·A = B.

Tema 2; Programacion lineal

4. (4p) Se desea invertir 100 000 C en dos productos financieros A y B que tienen una rentabilidaddel 2% y del 2′5% respectivamente. Se sabe que el producto B exige una inversion mınima de10 000 C y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversion en B supere el triple de loinvertido en A. ¿Cuanto se debe invertir en cada producto para que el beneficio sea maximo ycual serıa dicho beneficio?

5. (6p) Calcula el valor maximo y mınimo de F (x, y) = 28x − 4y + 1sometida a las restricciones que se dan al margen.

¿Pertenece el punto (9, 7) al citado recinto? (Sol:no)

Justifique si la funcion F (x, y) puede alcanzar el valor 128 den-tro del citado recinto (Sol: si)

7x ≥ 2yx + 2y ≤ 251 ≤ y ≤ 10x ≥ 03x − 12 ≤ 2yx − 3 ≤ y

PROGRAMACIÓN LINEAL

ANTONIO ANGULO PARRA

www.fiquimat.com @fiquimat1 636 865 957

Resolucion del ejercicio 1

El ejercicio nos dice que dadas las matrices A =

1 1 00 1 10 0 1

, B =

1 2 23 2 −11 2 −1

, C =

11 7 39 9 16 3 2

a) Calcular la matriz X que verifica B ·X − At = C (Sol: [2, 3,−1][3, 1, 2][2, 1, 0])

Comencemos, a falta de calculos, por conocer quien es la matriz X:

BX − At = C ⇐⇒ BX = C + At ⇐⇒ B−1B ·X = B−1(C + At) ⇐⇒

⇐⇒ I3 ·X = B−1(C + At) ⇐⇒ X = B−1(C + At)

Luego1 X = B−1(C + At)

En cuanto a dimensiones no parece haber ningun problema, siendo de esperar una matriz X

de dimension 3 × 3:

X =(

B−1)

3×3

(

C3×3 + At

3×3

)

=(

B−1)

3×3

(

C + At)

3×3=[

B−1(

C + At)]

3×3

Por todo ello, puedo hacer la suma C + At, y multiplicarlo todo por la izquierda por B−1

siempre que exista A−1, por lo que el ejercicio posee solucion siempre que exista B−1 . Salgamosde dudas.

Calculo de B−1

B−1, matriz inversa de B, es la matriz adjunta transpuesta de B entre su determinante.

• |B| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 23 2 −11 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2 + 12 − 2 − 4 + 2 + 6 = 12

• Adj(A) =

∣

∣

∣

∣

2 −12 −1

∣

∣

∣

∣

−

∣

∣

∣

∣

3 −11 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 21 2

∣

∣

∣

∣

−

∣

∣

∣

∣

2 22 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 21 −1

∣

∣

∣

∣

−

∣

∣

∣

∣

1 21 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 22 −1

∣

∣

∣

∣

−

∣

∣

∣

∣

1 23 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 23 2

∣

∣

∣

∣

=

0 2 46 −3 0

−6 7 −4

• [Adj(A)]t =

0 2 46 −3 0

−6 7 −4

t

=

0 6 −62 −3 74 0 −4

• Por ello, A−1 =[Adj(A)]t

det(A)=

1

12

0 6 −62 −3 74 0 −4

Calculo de C + At

C + At =

11 7 39 9 16 3 2

+

1 0 01 1 00 1 1

=

12 7 310 10 16 4 3

Calculo de X

X = B−1 ·(

C + At)

=1

12

0 6 −62 −3 74 0 −4

·

12 7 310 10 16 4 3

=

=1

12

0 + 48− 36 0 + 48 − 12 0 + 6 − 1824 − 30 + 42 14 − 30 + 28 6 − 3 + 2148 + 0 − 24 28 + 0 − 16 12 + 0 − 12

=1

12

12 36 −1236 12 2424 12 0

=

=

2 3 −13 1 22 1 0




b) Calcular An, para todo n ≥ 1 (Sol: [1, n,n(n−1)

2 ], [0, 1, n], [0, 0, 1]). Comencemos calculando lasdiferentes potencias An para despues extraer conclusiones.

A1 =

1 1 00 1 10 0 1

=

1 1 00 1 10 0 1

A2 = A ·A =

1 1 00 1 10 0 1

·

1 1 00 1 10 0 1

=

1 2 10 1 20 0 1

=

1 2 0 + 10 1 20 0 1

A3 = A2 · A =

1 2 10 1 20 0 1

·

1 1 00 1 10 0 1

=

1 3 30 1 30 0 1

=

1 3 0 + 1 + 20 1 30 0 1

A4 = A3 · A =

1 3 60 1 30 0 1

·

1 1 00 1 10 0 1

=

1 4 60 1 40 0 1

=

1 4 0 + 1 + 2 + 30 1 40 0 1

A5 = A4·A =

1 4 60 1 30 0 1

·

1 1 00 1 10 0 1

=

1 5 100 1 50 0 1

=

1 5 0 + 1 + 2 + 3 + 40 1 50 0 1

Bueno... parece que esta muy claro:

An =

1 n 1 + 2 + 3 + · · ·+ (n − 1)0 1 n

0 0 1

=

1 n(n−1)n

20 1 n

0 0 1


a) La matriz X que nos habla de los agricultores y las hectareas plantadas de cada hortaliza es:

L T P

A1 20 30 10

A2 40 20 30

A3 20 20 0

La matriz Y que nos habla de los kilos de abono e insecticida que requiere cada hectarea de cadacultivo es:

Ab I

L 1 1

T 2 1

P 1 0

b) El producto X · Y es una matriz que tiene por filas los tres agricultores, por columnas los kilos deabono e insecticida que necesitan para abonar sus campos.

X · Y =

20 30 1040 20 3020 20 0

·

1 12 11 0

=

90 50110 6060 40

Al haberse identificado2 los tipos de cultivo al multiplicar, las cifras ya no se desglosan en tomates,lechugas o pimientos, sino que se hacen por agricultor y kilos de abonos e insecticidas.

Ab I

A1 90 50

A2 110 60

A3 60 40




c) Para terminar, lo que vamos a hacer es multiplicar la matriz anterior por una matriz 2 × 1 quenos marca los precios de los abonos e insecticidas, a saber:

(

C

Ab 0′20

I 0′30

)

Por ello, al multiplicar:

90 50110 6060 40

·

(

0′20′3

)

=

334024

A1

A2

A3


En este ejercicio, PAU 2014, se consideran las matrices A =

(

1 a

0 1

)

y B =(

−1 1)

.

a) Calcule el valor del parametro a para que se verifique (B ·A)t = A · Bt

Como suele hacerse en este tipo de problemas, se escribe la correspondiente ecuacion matricialy se pasa todo a un sistema de ecuaciones de cuya resolucion sale el resultado final.

(B · A)t = A · Bt ⇐⇒

[

(

−1 1)

(

1 a

0 1

)]t

=

(

1 a

0 1

)

(

−1 1)t

⇐⇒

⇐⇒(

−1 −a + 1)t

=

(

−1 + a

1

)

⇐⇒

(

−1−a + 1

)

=

(

−1 + a

1

)

Escribiendo miembro a miembro la igualdad matricial, se llega a:

−1 = −1 + a

−a + 1 = 1

⇐⇒−1 + 1 = a

−a = 1 − 1

⇐⇒0 = a

−a = 0

⇐⇒ a = 0

Esa es la unica solucion posible, a = 0

b) Para a = 2, resuelva la ecuacion matricial X · A = B.

Se trata de resolver la ecuacion X

(

1 20 1

)

=(

−1 1)

.

Claramente, la matriz X debe tener 2 columnas para poderse multiplicar por las 2 filas de A.Por otra, como la matriz resultante de X ·A solo tiene una fila, significa que X solo tiene unafila, esto es, X1×2A2×2 = B1×2.

Sea X =(

x y)

. Como X es una matriz muy sencilla, voy a resolver este apartado con lamisma estrategia usada en el apartado anterior.

X · A = B ⇐⇒(

x y)

(

1 20 1

)

=(

−1 1)

⇐⇒(

x 2x + y)

=(

−1 1)

Se deduce claramente que x = −1, y a partir de ahı, de 2x + y = 1, se deduce y = 3

Luego X =(

−1 3)

Todo un regalo de ejercicio.





En este ejercicio, PAU 2015, se nos cuenta que se desea invertir 100 000C en dos productos financierosA y B que tienen una rentabilidad del 2 % y del 2′5 % respectivamente. Se sabe que el producto B

exige una inversion mınima de 10 000C y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversion en B

supere el triple de lo invertido en A. ¿Cuanto se debe invertir en cada producto para que el beneficiosea maximo y cual serıa dicho beneficio?Es un problema de programacion lineal, y lo primero es localizar sus inecuaciones. Sea x el dineroinvertido en A, e y el dinero invertido en B. Entonces tenemos una funcion beneficio o funcion objetivode F (x, y) = 1′02x + 1′025y a maximizar (resultado tras la inversion). Tambien podrıa considerarseF (x, y) = 0′02x + 0′025y si atendemos solo al beneficio y no al resultado de la inversion, pero noF (x, y) = 2x + 2′5y ya que el resultado final, aun detectando el vertice del maximo, no darıa elautentico beneficio.

x ≥ 0; inecuacion logica

y ≥ 0; inecuacion logica

x + y ≤ 100 000; no podemos invertir mas de 100 000C

y ≥ 10 000; lo invertido en B ha de ser por lo menos 10 000 C

y ≤ 3x; lo invertido en B

Con dichas inecuaciones, resulta el recinto siguiente:

Dicho recinto tiene los siguientes vertices, ası como la siguiente evaluacion de su funcion beneficio:

Vertice F (x, y) = 1′02x + 1′025y Beneficio

(10 0003

, 10 000) - 13 650 C

(25000, 75000) - 102375C Maximo

(90 000, 10 000) - 102 050C

Por ello, el maximo beneficio en las condiciones del problema se obtiene invirtiendo 25 000C en ac-ciones del primer tipo, y 75 000 C en acciones del segundo tipo, obteniendose con ello un resultado de102 375C , esto es, un beneficio de 2375 C .





Hemos de calcular el maximo y mınimo de la funcion F (x, y) = 28x− 4y + 1 sometida a las siguientesrestricciones:

7x ≥ 2y

x + 2y ≤ 251 ≤ y ≤ 10

x ≥ 03x− 12 ≤ 2y

x − 3 ≤ y

Represento graficamente los semiplanos solucion queme aportan las diferentes inecuaciones, y obtengo porsolucion el recinto cerrado expresado al margen. Alser un recinto cerrado hay tanto maximo como mıni-mo absolutos. Los vertices, y la evaluacion de la fun-cion beneficio sobre los mismos, resultan ser:

Vertice F (x, y) = 28x− 4y + 1 Beneficio

(2

7, 1) - 5 Mınimo

(207 , 10) - 41

(5, 10) - 101

(37

4, 63

8) - 228

′5 Maximo

(6, 3) - 157

(4, 1) - 109

El punto (9, 7) no pertenece al recinto, al no cumplir la inecuacion 3x − 12 ≤ 2y; Al sustituir x

por 9 e y por 7 resulta la desigualdad 3(9) − 12 = 15 > 14 = 2(7), cuando deberıa haber sido ≤.

Como la funcion F (x, y) alcanza en el recinto un mınimo absoluto de 5 y un maximo absoluto de228′5, alcanza todos los valores intermedios, en particular alcanza el valor de 128, ya que

5 ≤ 128 ≤ 228′5




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