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12/03/2015
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Programación Lineal
El desarrollo actual de la Programación Lineal para los negocios y la industria se debe al Dr. George Dantzig.
Dantzig presentó su “Método Simplex” (1947) para resolver este tipo de problemas.
Este método fue considerado por el mundo científico como uno de los 10 mejores algoritmos del siglo XX.
Componentes de la Programación
Lineal
Recursos.
Variables de decisión.
Función objetivo.
Restricciones.
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Recursos: disponibilidad y valor
¿Qué es un recurso? Es un bien o elemento que puede ser usado
para satisfacer una necesidad o para llevar a cabo una empresa.
Clasificación de los recursos, según su disponibilidad: Escasos: son limitados y tienen un precio en
el mercado, independientemente de su valor. Ejemplos: horas-hombre, agua, máquinas, vehículos, agua, semillas, fertilizantes, dinero, combustible, etc.
Abundantes: son ilimitados y no tienen precio en el mercado. Ejemplos: el aire, la luz solar.
Recursos: disponibilidad y valor
La disponibilidad de los recursos escasos suele ser variable: depende de las circunstancias.
El valor de los recursos escasos, y por lo tanto el beneficio que pueden aportar, también dependerá de las circunstancias.
El problema que se plantean las empresas es cómo asignar correctamente los recursos escasos.
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Recursos: disponibilidad y valor
Cuando se asignan unos recursos escasos, es decir, cuando se decide cuánto usar de unos recursos escasos (lo cual representa un costo), siempre se espera obtener unos ingresos que superen dichos costos.
Beneficio = Ingresos – Costos
Por lo tanto, el beneficio que puede aportar un recurso depende de las circunstancias.
Ejemplo de beneficio variable
Suponga que usted dispone de S/.5 y está frente a un puesto de venta de frutas que vende manzanas a S/.1 la unidad.
Además, le interesa adquirir algunas manzanas para su consumo inmediato.
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Ejemplo de beneficio variable
Suponga que decide comprar la primera manzana al precio de S/.1. Esta decisión implica que comerse la primera manzana representa para usted un ingreso mayor que conservar S/.1 (supongamos S/.1,60).
Benef. 1ª. manzana = 1,60 – 1 = S/.0,60
Ejemplo de beneficio variable
Suponga que decide comprar una segunda manzana, al mismo precio de S/.1. Esta decisión implica que comerse la segunda manzana todavía representa para usted un ingreso mayor que S/.1, pero menor que S/.1,60 (supongamos S/.1,20).
Benef. 2ª. manzana = 1,20 – 1 = S/.0,20
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Ejemplo de beneficio variable
¿Cuándo dejaría usted de adquirir más manzanas?
Cuando sienta que su consumo ya no le aporte un ingreso mayor que S/.1, es decir, cuando sienta que adquirir una manzana ya no le aporte un beneficio. Probablemente esto ocurra con la tercera manzana.
Otros ejemplos de beneficio variable
Si una empresa tiene tres vendedores que cobran mensualmente S/. 2 000 y aportan S/. 3 000 mensuales, ¿le convendría contratar a un cuarto vendedor?
Se necesita saber qué ingresos tendría el cuarto vendedor…
Un agricultor, que está sembrando algodón, recibe una oferta de su vecino para alquilarle 10 Há a $X. ¿De qué dependerá que acepte la oferta?
Necesita calcular qué ingresos le aportaría cada Há. que alquile…
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Beneficio marginal
Es el beneficio que aporta cada unidad de un recurso.
Siempre convendrá adquirir al menos una unidad más de un recurso si el beneficio marginal es mayor que cero.
En el ejemplo anterior, ¿cree usted que hubiera sido una buena estrategia decidir la compra de tres manzanas para su consumo inmediato?
Programación lineal: requerimientos
Si todos los recursos fuesen ilimitados (superabundantes) no harían falta herramientas como la Programación Lineal para decidir en qué medida utilizarlos.
Muchos problemas reales se pueden formular mediante modelos matemáticos.
Para que un modelo sea de Programación Lineal debe cumplir unos requerimientos:
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Requerimientos de un P.L.
Se debe expresar un objetivo bien definido, como por ejemplo maximizar la ganancia, o minimizar los costos, al que se le denomina “Función Objetivo”, y se expresa en forma matemática.
Debe haber otros recursos alternativos de acción. En un problema de P. L. debe ser posible escoger una solución que satisfaga la función objetivo.
Requerimientos de un P.L.
Debe ser posible establecer relaciones entre las variables a través de ecuaciones matemáticas que puedan describir el problema.
Debe ser posible describir el problema con ecuaciones y desigualdades lineales.
Debe haber un suministro limitado de recursos.
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Las variables de decisión
En todo problema de P.L. se plantean unas variables de decisión, que representan cuantitativamente las decisiones que se van a tomar.
Son ejemplos de variables de decisión: número de productos que se deben producir, número de trabajadores que se deben contratar, etc.
Estas variables están presentes en las restricciones y en la función objetivo.
Formulación de restricciones
Como los recursos que existen son escasos, su mejor asignación está condicionada a unos requerimientos.
Por ejemplo:
Las decisiones de un gerente de planta están restringidas por la capacidad de la planta y por la disponibilidad de recursos como: mano de obra, maquinaria, materia prima, tiempo, etc.
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Formulación de restricciones
La asignación de la flota y la planeación de vuelos de una línea aérea están restringidos por las necesidades de mantenimiento y por el número de empleados disponibles.
La cantidad de los tipos de petróleo crudo que se debe usar en la producción de gasolina está restringida por sus características, como el octanaje, el contenido de sulfuros, etc.
Formulación de la Función Objetivo
En todo modelo de P. L. hay una cantidad que se va a maximizar o minimizar, que se denomina Función Objetivo.
Por ejemplo:
Una fábrica quiere lograr el mínimo costo de producción para satisfacer una demanda dada.
La aerolínea quiere encontrar un plan de asignación de la tripulación a un costo mínimo.
La empresa petrolera quiere asignar los tipos de petróleo crudo disponibles que le permita maximizar las utilidades.
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Ejemplos de modelos de P.L.
A continuación se presentan algunos problemas reales, deliberadamente simplificados, y sus correspondientes modelos de Programación Lineal.
Poco a poco los modelos son más complejos.
Ejemplo 1
En un taller de manufactura se elaboran dos tipos de juguetes de madera: autos y trenes. Estos se venden a $27 y $21, usan materia prima por $10 y $9, y tienen unos gastos de mano de obra de $14 y $10 por cada unidad producida, respectivamente. La manufactura de estos juguetes requiere de dos tipos de trabajo cualificado: carpintería y acabados. Un auto requiere de 2 h-h de acabados y 1 h-h de carpintería, mientras que un tren requiere de 1 h-h de acabados y 1 h-h de carpintería.
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Ejemplo 1
Cada mes, el taller puede conseguir toda la materia prima necesaria, pero sólo dispone de 10000 h-h para el trabajo de acabados y 8000 h-h para el trabajo de carpintería.
La demanda de trenes es muy grande; pero no más de 4000 autos son vendidos cada mes.
Si el taller quiere maximizar los beneficios, ¿qué cantidad de juguetes de cada tipo debe producir?
Ejemplo 1
Variables de decisión
x1 = cantidad de autos que conviene producir
x2 = cantidad de trenes que conviene producir.
Función Objetivo
Max Z = 3x1 + 2x2
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Ejemplo 1
Restricciones
2x1 + x2 10 000
x1 + x2 8 000
x1 4 000
x1, x2 0
h-h acabados
h-h carpintería
Deman. autos
Ejemplo 2
Jaime transporta mercancía en un pequeño camión con capacidad interior de 20m3. Una empresa de la ciudad lo ha contratado para hacer acarreos de esta mercancía, desde la planta de producción, hacia los puntos de distribución. La mercancía está empacada en cajas de tres tamaños diferentes, y la ganancia por transportar cada tipo de caja es distinta, como se muestra en la siguiente tabla.
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Ejemplo 2
Volumen
(m3)
Ganancia
(soles)
Caja tipo 1 1 100
Caja tipo 2 1,2 122
Caja tipo 3 0,8 85
Ejemplo 2
¿Cómo debe llenar Jaime su camión para maximizar las ganancias en cada viaje que realice, si en cada viaje tiene que transportar como mínimo ocho cajas tipo 1 y cinco cajas tipo 3?
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Ejemplo 2
Variables de decisión
x1 = cantidad de cajas tipo 1 que le conviene transportar en cada viaje.
x2 = cantidad de cajas tipo 2 que le conviene transportar en cada viaje.
x3 = cantidad de cajas tipo 3 que le conviene transportar en cada viaje.
Ejemplo 2
Función Objetivo Max Z = 100x1 + 122x2 + 85x3
Restricciones x1 + 1.2 x2 + 0.8 x3 20
x1 8
x3 5
x1 , x2 , x3 0
Capacidad
Mín. cajas 1
Mín. cajas 3
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Ejemplo 3
La Dra. Diets, dietista de una clínica, responsable de la planeación y administra-ción de los requerimientos alimenticios de los pacientes, examina el caso de un pa-ciente, a quien se le ha formulado una dieta especial que consta de 2 fuentes alimenti-cias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de alimentos que puede consumir; sin embargo, deben satisfacerse ciertos requerimientos nutricionales mínimos por día, como se muestra en la siguiente tabla.
Ejemplo 3
Contenido por onza de alimento 1 (unidades)
Contenido por onza de alimento 2 (unidades)
Requerimiento mínimo (unidades)
Nutriente A 100 200 1000
Nutriente B 400 250 2000
Nutriente C 200 200 1500
Costo ($/lib.) 6 8
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Ejemplo 3
La Dra. Diets desea determinar la combinación de fuentes alimenticias que arroje el menor costo y satisfaga todos los requerimientos nutritivos.
Variables de decisión x1 = Número de onzas de la fuente
alimenticia tipo 1 que debe consumirse diariamente.
x2 = Número de onzas de la fuente alimenticia tipo 2 que debe consumirse diariamente.
Ejemplo 3
Función Objetivo: Min Z = (6/16)x1 + (8/16)x2
Restricciones: 100x1 + 200x2 ≥ 1000
400x1 + 250x2 ≥ 2000
200x1 + 200x2 ≥ 1500
x1, x2 0
Nutriente A
Nutriente B
Nutriente C
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Ejemplo 4
MOTORES CRASA fabrica dos tipos de motores eléctricos para una empresa que fabrica refrigeradoras. Tres veces al año, el jefe de logística de esta última empresa hace un pedido para los siguientes 4 meses, tal como se muestra en la siguiente tabla.
Modelo Enero Febrero Marzo Abril
ME3A 800 700 1000 1100
ME3B 1000 1200 1400 1400
Ejemplo 4
El gerente de CRASA MOTORS debe considerar lo siguiente:
Producir la misma cantidad de motores cada mes simplifica los horarios de los trabajadores y de las máquinas.
Ajustar la producción a los pedidos de cada mes disminuye los costos de almacenamiento.
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Ejemplo 4
Los almacenes sólo disponen de capacidad para 3 300 motores.
El departamento de Recursos Humanos recomienda que se trabaje un mínimo de 2 240 horas y un máximo de 2 560 horas al mes.
Cada motor ME3A requiere 1,3 horas de mano de obra y cada motor ME3B 0,9 horas.
Los costos de producción son de €10 y €6 por cada motor ME3A y ME3B, respectivamente. Debido a un acuerdo con los sindicatos, estos costos se incrementarán en un 10% a partir del 1 de marzo.
Ejemplo 4
Los costos de almacenamiento son de €0,18 y €0,13 por cada motor ME3A y ME3B, respectivamente.
Se desea tener un inventario de 450 motores ME3A y 300 motores ME3B a finales de abril.
¿Cuántos motores de cada tipo le conviene producir cada mes?
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Ejemplo 4
Variables de decisión
XAi = Número de motores ME3A que conviene producir el mes i. (i = 1, 2, 3, 4).
XBi = Número de motores ME3B que conviene producir el mes i. (i = 1, 2, 3, 4).
IAi = Número de motores ME3A en inventario al final del mes i. (i = 1, 2, 3, 4).
IBi = Número de motores ME3B en inventario al final del mes i. (i = 1, 2, 3, 4).
Ejemplo 4
Función Objetivo:
Min Z = 10XA1 + 10XA2 + 11XA3 + 11XA4
+ 6XB1 + 6XB2 + 6,6XB3 + 6,6XB4 +
+ 0,18IA1 + 0,18IA2 + 0,18IA3 + 0,18IA4
+ 0,13IB1 + 0,13IB2 + 0,13IB3 + 0,13IB4
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Ejemplo 4
Restricciones:
Demanda de enero:
XA1 – IA1 = 800
XB1 – IB1 = 1000
Demanda de febrero:
XA2 + IA1– IA2 = 700
XB2 + IB1– IB2 = 1200
Ejemplo 4
Demanda de marzo:
XA3 + IA2– IA3 = 1000
XB3 + IB2– IB3 = 1400
Demanda de abril:
XA4 + IA3– IA4 = 1100
XB4 + IB3– IB4 = 1400
Inventario final:
IA4 = 450
IB4 = 300
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Ejemplo 4
Capacidades de los almacenes:
IA1+ IB1 ≤ 3300
IA2+ IB2 ≤ 3300
IA3+ IB3 ≤ 3300
IA4+ IB4 ≤ 3300
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Ejemplo 4
Restricciones de mano de obra: 1,3XA1+ 0,9XB1 ≥ 2240
1,3XA1+ 0,9XB1 ≤ 2560
1,3XA2+ 0,9XB2 ≥ 2240
1,3XA2+ 0,9XB2 ≤ 2560
1,3XA3+ 0,9XB3 ≥ 2240
1,3XA3+ 0,9XB3 ≤ 2560
1,3XA4+ 0,9XB4 ≥ 2240
1,3XA4+ 0,9XB4 ≤ 2560
Enero
Febrero
Marzo
Abril
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Solución gráfica de un P.L.
Cuando en un problema de P.L. sólo intervienen dos variables de decisión (x1 y x2), es posible representar gráficamente la función objetivo y las restricciones, y se puede entonces determinar la solución óptima.
Este método resulta de mucha utilidad pues permite sacar algunas conclusiones que se pueden extrapolar a problemas con más de dos variables.
Ejemplo
Una empresa que produce un lubricante elabora dos marcas (L1 y L2) en tres secciones. El tiempo disponible en las secciones y la cantidad de minutos requeridos diariamente por cada galón, para las dos marcas, son:
L1 L2 Minutos disponibles por día
Sección 1 0,8 0,2 60
Sección 2 0,6 0,4 72
Sección 3 0,3 0,1 24
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El departamento de ventas indica que no hay problemas con la demanda de los lubricantes.
La utilidad por galón es de $ 30 y $16 para los lubricantes L1 y L2 respectivamente.
¿Cuántos galones de cada lubricante le conviene producir diariamente?
Variables de decisión
x1 = cantidad de galones de L1 que conviene producir.
x2 = cantidad de galones de L2 que conviene producir.
Función Objetivo
Max Z = 30x1 + 16x2
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Ejemplo
Restricciones
0.8x1 + 0.2x2 60
0.6x1 + 0.4x2 72
0.3x1 + 0.1x2 24
x1, x2 0
Sección 1
Sección 2
Sección 3
Solución gráfica
De todas las posibles soluciones, ¿cuál es la mejor?
La que dé el mejor valor de Z.
Max Z = 30x1 + 16x2
40
120
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Método de las pendientes
50 100
200
100
75
180
x1
x2
Solución óptima: (40, 120)
Recinto de
posibles
soluciones
120
40
m2 = 1,5
m3 =
3
m1 =
4
m = 1,875
Soluciones óptimas alternativas
Si la pendiente de la función objetivo coincidiese con la pendiente de una de las rectas que conforman el recinto de posibles soluciones, se tendrían soluciones óptimas alternativas.
50 100
200
100
75
180
x1
x2
Soluciones óptimas
alternativas
Recinto de
posibles
soluciones
120
40
m2 = 1,5
m3 =
3
m1 =
4
m =
3
Si la función objetivo fuese:
Max Z = 30x1 + 10x2
La pendiente sería 3.
Habría varias soluciones óptimas.
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Análisis de sensibilidad
Si cambiase la pendiente de la función objetivo (porque cambia cualquiera de sus coeficientes), la solución óptima se podría determinar inmediatamente.
Bastaría con darse cuenta entre qué pendientes del recinto de posibles soluciones se encuentra la nueva pendiente de la función objetivo.
Actualmente la F.O. es: Max Z = 30x1 + 16x2
Si el beneficio del galón de L1 aumentase a $50.
La F.O. sería: Max Z = 50x1 + 16x2
La pendiente de la F.O. sería: m = 50/16 = 3,125
100
200
100
75
180
x1
x2
Solución óptima: (60, 60)
Recinto de
posibles
soluciones60
50
m2 = 1,5
m3 =
3
m1 =
4
m =
3,125
60
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Si el beneficio de L1 disminuyese a $20
La F.O. sería: Max Z = 20x1 + 16x2
La pendiente de la F.O. sería: m = 20/16 = 1,25.
50 100
200
100
75
180
x1
x2
Solución óptima: (0, 180)
Recinto de
posibles
soluciones
m2 = 1,5
m3 =
3
m1 =
4
m = 1,25
Rangos de sensibilidad de los
coeficientes de la función objetivo
Sean c1 y c2 los coeficientes de la función objetivo.
Si se mantuviese constante c2, ¿dentro de qué rango podría variar c1 sin que cambie la solución?
1,5 ≤ mz ≤ 3.
Max Z = c1 x1 + 16x2
O sea:
Por lo tanto:
24 c1 48
Este es el rango de
sensibilidad de c1.
50 100
200
100
75
180
x1
x2
Solución óptima: (40, 120)
Recinto de
posibles
soluciones
120
40
m2 = 1,5
m3 =
3
m1 =
4
m = c
1 /c2
316
5,1 1 c
Interpreten este rango
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Análisis de sensibilidad
de los recursos
Se dice que un recurso es escaso cuando se está empleando totalmente.
Se dice que es abundante cuando se tiene un excedente.
En el ejemplo:
Max Z = 30x1 + 16x2
0,8x1 + 0,2x2 60 Minutos disponibles en la sección 1.
0,6x1 + 0,4x2 72 Minutos disponibles en la sección 2.
0,3x1 + 0,1x2 24 Minutos disponibles en la sección 3.
Si se producen 40 galones de L1 y 120 galones de L2, ¿qué recursos son escasos o abundantes?
Éstos son los recursos
En la solución gráfica, ¿se puede ver qué recursos son escasos o abundantes?
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Cambios en la disponibilidad
de un recurso escaso
Supóngase que ahora se dispone de 76 minutos (4 minutos más) en la sección 2. ¿Cuánto convendrá producir de cada lubricante?
El recinto de posibles soluciones crece
La solución óptima cambia
¿En cuánto mejoran las ganancias? En $30
¿Hasta cuántos minutos adicionales convendría tener disponibles en la sección 2?
Pero si se aumenta mucho la disponibilidad de minutos en la sección 2, ¡llegará un momento en que será abundante!
¿Cuándo dejará de ser abundante?
¿Cuál es la ecuación de esta recta?
0,6(0) + 0,4(240) = 96
¡El punto (0, 240) pertenece a ella!
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Si se dispusiera de más en la sección 1, la solución óptima no se verá afectada.
Sólo aumentará la holgura en esta sección.
Si se dispusiera sólo de 48 minutos en la sección 1.
Nueva solución
óptima: (24, 144)
