Programación y Métodos Numéricos Errores de redondeo …ocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · 2º. Analizar cómo se propagan los errores de redondeo

Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 1

Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

Programación y Métodos NuméricosErrores de redondeo en la representación

de números reales: INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN

Programación y Métodos NuméricosErrores de redondeo en la representación

de números reales: INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN

Carlos Conde LCarlos Conde LáázarozaroArturo Hidalgo LArturo Hidalgo LóópezpezAlfredo LAlfredo Lóópez Benitopez Benito Febrero, 2007



FUENTES DE ERROR EN FUENTES DE ERROR EN LOS MLOS MÉÉTODOS NUMTODOS NUMÉÉRICOSRICOS

Error del método:Debido a la aproximación de las ecuaciones, funciones, ....

para evaluarlas mediante operaciones aritméticas elementales

(sumas, restas, multiplicaciones, divisiones).

Ejemplo:2 3 n i

x

i 0

x x x xe 1 x ..... ....2 3! n! i!

∞

=

= + + + + + + = ∑2 3 n in

x

i 0

x x x xe 1 x .....2 3! n! i!=

= + + + + + = ∑

Error del método:i (n 1)

ei n 1

x xR (x) ei! (n 1)!

+∞ξ

= +

= =+∑ i

(Método Numérico)

(MétodoExacto)



FUENTES DE ERROR EN FUENTES DE ERROR EN LOS MLOS MÉÉTODOS NUMTODOS NUMÉÉRICOS (2)RICOS (2)

Error de representación de los números reales:Debido a la imposibilidad de manejar infinitos decimales y

a la necesidad de aproximar los números por otros con un

número finito de cifras.

Ejemplo: 2x 0.666666.....6....3

= =

x 0.666666=

(Truncando a 6 decimales)

x 0.666667=

(Redondeando a 6 decimales)

NOTA: Se denominarán errores de redondeo



Otras fuentes de error:

Errores en la medición de los datos.

Errores en el modelo matemático de partida.

Errores en la programación de los algoritmos.

......



1º. Conocer cómo se originan los errores de redondeo.

2º. Analizar cómo se propagan los errores de redondeo.

3º. Conocer y aplicar estrategias que minimicen el efecto de

los errores de redondeo en el diseño de algoritmos numéricos.

OBJETIVOS DEL TEMAOBJETIVOS DEL TEMA



1º. Calcular 2eπ

mediante los (n+1) primeros términos desu desarrollo en serie de Taylor en torno a 0. Elegir n deforma que se anule el error del método al trabajar con4 decimales.Solución: i (n 1)

ei n 1

2 2R e2 i! (n 1)!

+

∞ξ

= +

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

∑ i 0,2π⎤ ⎡ξ∈ ⎥ ⎢⎦ ⎣

( )(n 1)

(n 1)1.582

e

1.582R e e2 (n 1)! (n 1)!

+

+π

π⎛ ⎞⎜ ⎟π⎛ ⎞ ⎝ ⎠≤ ≤⎜ ⎟ + +⎝ ⎠

i i

EJEMPLOS DE MOTIVACIÓNEJEMPLOS DE MOTIVACIÓN



Para asegurar que, trabajando con 4 decimales, no influye elerror del método basta con obligar a que:

( )(n 1)1.58 4

e

1.58R e 10

2 (n 1)!

+

−π⎛ ⎞ ≤ <⎜ ⎟ +⎝ ⎠i ⇒ n = 10

CONCLUSIÓN: El algoritmo numérico dado por la fórmulai

102

i 0

2ei!

π

=

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠≈ ∑

proporcionaría el valor exacto de los cuatro primeros decimales deeπ / 2 ..... ¡¡ SI NO FUESE POR LA EXISTENCIA DE

ERRORES DE REDONDEO ! !

EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (2/17 )EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (2/17 )



1.5707963267948966193....2π= a = 1.5707

(Truncando) 4/ 2 a O(1 )

20−

ππ

= −Δ ∼

( )2

22

π= 1.2337005...

2a 1.23354...2=

(Truncando)

2a 1.23352=

( )3

23!

π= 0.64596...

3a a1.2335 0.645819..3! 3

= • =

(Truncando)

3a 0.64583!

=

..... .....Hay errores del orden O(10-4) en todos los sumandos




0.00001..0.00001..0.00000.000010100.00016..0.00016..0.00010.0001990.00091..0.00091..0.00090.0009880.00468..0.00468..0.00460.0046770.02086..0.02086..0.02080.0208660.07969..0.07969..0.07960.0796550.25366..0.25366..0.25350.2535440.64596..0.64596..0.64580.6458331.23370..1.23370..1.23351.2335221.57079..1.57079..1.57071.5707111.00000..1.00000..1.00001.000000((ππ/2)/2)ii / i!/ i!aaii / i!/ i!nn




/ 2 1047e 4 7 ...8 ..π =Valor exacto:/ 2e 4 95.80π ≈Valor aproximado:

OBSERVACIÓN:Tres de los cuatro decimales calculados son incorrectos.

Ejercicio propuesto:Repetir el ejercicio redondeando los números reales (en Lugar de truncarlos) a 4 decimales.




2º. Calcular = ∫ i i1

nn

0

I x sin(x) dx para distintos valores de n

con 10 decimales significativos.

Solución:

= =∫ i1

10

I x·sin(x) dx

I1 = 0.30116867893...

A1 = 0.3011686789

]= − + = − +∫1

1

00

x·cos(x) cos(x)·dx cos(1) sin(1)

EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (6/ 17)EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (6/ 17)



= =∫ i1

22

0

I x ·sin(x) dx

I2 = 0.22324427548393...

A2 = 2232442755

]= − + = − + −∫1

1

00

x·cos(x) 2· x·cos(x)·dx cos(1) 2·sin(1) 2




== ∫1

nn

0

I x ·sin(x)·dx

An = -cos(1) + n·sin(1) - n·(n-1)·An-2 =

Cálculo exacto de las integrales posteriores:

Cálculo aproximado de las integrales posteriores:

Ej: I3 = -cos(1)+ 3·2·I1 =0.1770985749…..

I4 = -cos(1)+ 4·3·I2 =0.1466503275…..


−−

−

⎤− + − − + −=⎦ ∫ n 2

01n n 20

1

x ·cos(x) n·(n 1) x ·sin( cos(1) n·(n 1)·dx Ix)·

= - 0.54030230586814 + n·0.841470984807897 – n·(n-1)·An-2

… redondeado a 10 decimales



…………..……………..…………………….0.4…·103-485.27666360.0475928480…160.2…·103238.00753880.0504399076…150.2…·1012.0758329040.0536485025…140.1..·101-1.075837030.0572920121…130.1..·10-10.05035041680.0614650713…120.7..·10-20.0735554970.0662918492…110.8.. ·10-40.0720226920.0719385184…100.6..·10-40.0785665730.0786326061…90.9..·10-60.0866931650.0866941002...80.9..·10-60.0965884720.0965875548...70.1..·10-70.1090137930.1090137762...60.2.. ·10-70. 1250810980.1250811198...50.6..·10-90.1466503270.1466503275...40.1.. ·10-80.1770985760.1770985749...30.8…·10-100.22324427540.2232442754...20.3…·10-100.30116867890.3011686789....1| In –An |Valor aproximado (An)Valor exacto (In)n






Análisis de la evolución del error de redondeoΔ= +1 11I A

= − + − = =Δ− + − +3 1 1 1cos(1) 3·sin(1) 3! cos(1) 3·sin(1) 3 (A! )I Ii i

A3

+ Δ= − + − = − + − =22 244! 4!cos(1) 4·sin(1) · cos(1) 4·sin(1) · A(

2I I )

2

A4......= + α Δn nnAI ·


Δ= +2 22I A

Δ−= 13 3A !i

Δ= − 244!·2

A−

+

⎧ −⎪α = ⎨−⎪⎩

(n 1) / 2

^n (n 2) / 2

( 1) ·n! si n es imparcon n!( 1) · si n es impar

2



Análisis de la evolución del error de redondeo




Ejercicio propuesto:Ejercicio propuesto:Otra forma de calcular consiste en actuar “en retroceso”. Para ello se tiene que:

− −

− + −= − + − − ⇒ =

−n

n n 2 n 2cos(1) n·sin(1)

cos(1) n·sin(1) nI

I ·(n 1)·n

I·(n

I1)

con lo que, partiendo de un valor aproximado An y An-1 secalculará:

−

− + −=

−i

i 2cos(1) n·sin(1)

iA

·(iA

1)(i = n, n-1, n-2, ..., 3)

Sabiendo(1) que 0 < In < 1/(n+1), para n suficientemente Alto puede tomarse An ≈ 0 y An-1 ≈ 0 (1) ver gráficas de la proyección siguiente




a) Toma A25 = A24 = 0 y calcula los valores de A23 , A22 ,......, A1.

b) Analiza la evolución del error.


Representación gráfica en [0, 1]de xn·sen(x) para n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, n = 6 y n = 20.

SE PIDE:



3º. Resolver, trabajando con 3 decimales, el sistema:

Solución:

98 293.97 195.972 22.01 2.013

y

y3

x

x

+ = −⎧⎪⎨

+ = −⎪⎩

i i

i i

Las soluciones exactas del sistema exacto son x = 1 ey = -1.

Sistema aproximado (redondeando a la 3ª cifra decimal):98.000 293.970 195.9700.667 2.010

yy

x1. 43x 3

+ = −⎧⎨ + = −⎩

i ii i

Las soluciones exactas del sistema aproximado son x = 1 ey = -1.

.... PERO RESOLVÁMOSLO REDONDEANDO A 3 DECIMALES




98.000 293.970 195.9700.667 2.010

yy

x1. 43x 3

+ = −⎧⎨ + = −⎩

i ii i

Ecuación E1Ecuación E2

(E2) (E2) - (0.667 / 98.000).(E1)98.000 293.970 195.970

0.667 0.6672.010 293.970 1.3

y

43 195.97098.00

y0 98.000

x + = −⎧⎪⎨ ⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

i i

i i i

0.007

-2.058 +1.372

-0.048 0.029




98.000 293.970 195.9700.048 0.0

yy 2

x9

+ = −⎧⎨ − =⎩

i ii

Luego:

de donde:0.029 0.6040.0

y48

= = −−

195.970 293.970 195.970 177.558 18.412 0.18898.000 98.000 98.000

x y− − − + −= = = = −

i

... ... ¡¡ que no tienen nada que ver con las soluciones exactas !que no tienen nada que ver con las soluciones exactas !




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