Programma di GEOMETRIA, AA 2013-2014Cdl Astronomia, Cdl Fisica

Docente: Francesco BaldassarriTesto: M. Candilera, A. Bertapelle, Algebra lineare e primi elementi di Geometria. McGraw-Hill.

Gli argomenti richiesti all’esame sono tutti quelli svolti a lezione. L’esame si divide in due parti.Nella prima prova (scritta) gli studenti dovranno risolvere alcuni esercizi proposti. Nella secondaverranno richieste definizioni, dimostrazioni di risultati teorici e la discussione di eventuali esempi.La seconda prova sara orale per coloro che nella prima prova hanno ottenuto un voto superioreo uguale a 26. Gli studenti con voto inferiore a 25 sosterranno la prova rispondendo per iscrittoad alcune domande. Gli studenti ammessi alla seconda prova con voto 25 possono decidere sesostenere la seconda prova in forma orale o scritta. Entrambe le prove devono essere sostenutenella stessa sessione.Nel seguito sono elencati gli argomenti svolti. Accanto ad alcuni risultati e specificato che lostudente e tenuto a conoscerne la dimostrazione. Se la parola “dimostrazione” e scritta con fontcalligrafico questa verra richiesta solo a coloro che hanno uno scritto > 25.

Spazi vettoriali, sottospazi ed esempi. Caratterizzazione di sottosp. tramite criteri (dimostrazione).Lo spazio dei vettori geometrici. Prodotto scalare in Rn e sue proprieta; norma di un vet-tore e disuguaglianza di Schwarz (dimostrazione). Schwarz implica disuguaglianza triangolare(dimostrazione). Vettori paralleli e vettori complanari, definizione del coseno dell’angolo tra duevettori. La funzione arccos: definizione dell’angolo tra due vettori. L’angolo come lunghezza d’arcosul cerchio unitario = doppio dell’area del corrispondente settore (dimostrazione). Il numero π.Prodotto vettoriale e prodotto misto in R3 e loro proprieta.Definizione di vettori generatori, di vettori linearmente indipendenti con esempi.Somma, somma diretta e intersezione di sottospazi vettoriali. Sottospazi complementari. Caratter-izzazione della somma e della somma diretta (dimostrazione). Lemma di scambio (dimostrazione).Conseguenze del lemma di scambio. Base di uno spazio vettoriale; esempi. Basi canoniche. Teo-rema di struttura di spazi vettoriali finitamente generati (dimostrazione). Dimensione di uno spaziovettoriale. Relazioni di Grassmann (dimostrazione).Coordinate di un vettore. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali.Spazio vettoriale delle matrici e loro basi. Prodotto di matrici. Matrici quadrate, invertibili,triangolari, diagonali, scalari, simmetriche, antisimmetriche, nilpotenti. Matrice trasposta.

Sistemi di equazioni lineari (omogenei e non) e matrici associate. Sistemi equivalenti. Teorema diRouche-Capelli (dimostrazione). Matrici a scala, a scala ridotta; matrici elementari. Risoluzionedi un sistema lineare col metodo di Gauss. Le operazioni elementari non alterano le soluzioni di unsistema (dimostrazione). Calcolo dell’inversa di una matrice col metodo di Gauss (dimostrazione).Invertibilita delle matrici elementari.

Applicazioni lineari. Esempi. Matrice associata ad un’applicazione lineare e sua proprieta (di-mostrazione). Caratterizzazione di un’applicazione lineare tramite gli elementi di una base. Ap-plicazioni lineari mandano sottospazi in sottospazi. Antiimagine di un sottospazio. Somma ecomposizione di applicazioni lineari e matrici associate (dimostrazione). Nucleo e immagine diun’applicazione lineare. Caratterizzazione dell’iniettivita e della suriettivita (dimostrazione). En-domorfismi, isomorfismi, automorfismi. Formula delle dimensioni (dimostrazione). Proiezioni esimmetrie. Matrici di cambio di base. Matrici equivalenti. Comportamento di vettori l.i., di gen-eratori, di una base rispetto ad applicazioni lineari iniettive, suriettive, biiettive (dimostrazione).Rango di una matrice per riga = rango per colonna (dimostrazione). Rango di una applicazionelineare = rango della matrice associata (dimostrazione).

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Spazio vettoriale duale, dualita canonica, base duale. Isomorfismo canonico tra V e il suo bi-duale nel caso di dimensione finita (dimostrazione). Trasposta di un’applicazione lineare e matriceassociata (dimostrazione). Applicazioni bilineari e legame con applicazioni lineari (2.6.16 del libro)(dimostrazione).Applicazioni multilineari, applicazioni simmetriche e alternanti. Esempi. Forme bilineari simmet-riche e alternanti e proprieta loro matrici associate. Comportamento rispetto al cambio di base.Decomposizione di una forma bilineare in una simmetrica e una alternante (dimostrazione). Spaziodi Minkowski.Determinante. Sviluppo di Laplace rispetto alle righe e alle colonne. Determinante della matricetrasposta. Determinanti di matrici elementari (dimostrazione). Calcolo del determinante usandooperazioni elementari. Teorema di Binet (senza dim.). Regola di Cramer (dimostrazione). Matricedei complementi algebrici e determinante dell’inversa.Calcolo dell’eq. di un iperpiano con l’uso del determinante.

Matrici simili. Matrici diagonalizzabili e triangolarizzabili. Endomorfismi diagonalizzabili. Poli-nomio caratteristico e sua invarianza per similitudine (dimostrazione). Autovalori ed autovettori.Molteplicita e nullita e loro relazione (dimostrazione). Indipendenza lineare di autovettori relativiad autovalori distinti (dimostrazione). Criterio di diagonalizzabilita: “Per ogni autovalore, nullita= molteplicita” (dimostrazione). Forma canonica di Jordan (solo enunciato). Calcolo della formacanonica di Jordan. Potenze di matrici diagonalizzabili.Matrici ortogonali e loro autovalori. Basi ortogonali e basi ortonormali di Rn. Sottospazio orto-gonale. Procedimento di Gram-Schmidt. Gruppo ortogonale e gruppo ortogonale speciale. Auto-valori di matrici ortogonali reali. Caratterizzazione degli autovalori e autovettori di matrici realisimmetriche (dimostrazione). Teorema spettrale reale (dimostrazione).

Spazio affine. Sistema di riferimento affine. Coordinate (affini) di un punto. Somme baricentrichedi punti e coordinate baricentriche. Sottospazi affini e loro equazioni (parametriche e cartesiane).Intersezione di due sottospazi affini e varieta generata da due sottospazi affini. Posizioni reciprochedi sottospazi affini (incidenti, disgiunte, parallele, sghembe, complementari).

Trasformazioni affini e matrici ad esse associate. Proiezioni e simmetrie nello spazio affine. Matricidi cambio di sistema di riferimento.Definizione di spazio euclideo e di s.d.r. ortonormali. Formule delle distanze (nel piano e/o spazio)punto-punto, punto-retta, punto-piano, retta-retta. Punti di minima distanza tra rette sghembenello spazio. Calcolo di distanze tra varieta affini dimensione qualunque. Calcolo di aree diparallelogrammi e di volumi di parallelepipedi in spazi euclideo di dimensione qualunque.

Forme bilineari simmetriche e matrici. Congruenza di matrici. Nucleo di una forma bilineare sim-metrica. Forme non-degeneri. Spazi normati. Ortogonalita. Sul corpo complesso C: forme her-mitiane. Spazi euclidei reali e complessi. Piano iperbolico. Basi ortonormali e pseudo-ortonormali(vettori ortogonali (v1, . . . , vn) con vi ◦ vi = ±1). Isometrie; gruppo delle isometrie di uno spazionormato. Matrici associate a trasformazioni ortogonali rispetto a basi ortonormali (dimostrazione).Gruppo ortogonale e ortogonale speciale. Struttura del gruppo O(2,R) delle isometrie o trasfor-mazioni ortogonali di R2 euclideo. Sottogruppo SO(2,R). Piano iperbolico reale standard. Fun-zioni trigonometriche iperboliche sinh e cosh. Definizione dell’angolo tra vettori nel piano iperbolicotramite la funzione arccosh. L’angolo come lunghezza d’arco iperbolica sull’iperbole unitaria =doppio dell’area del corrispondente settore (dimostrazione). Gruppo O1,1(R) delle isometrie delpiano iperbolico.

Forme quadratiche e loro relazione con le forme bilineari (dimostrazione). Matrici simmetricheassociate a forme quadratiche.

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Definizione di conica in R2 euclideo. Coniche degeneri (semplicemente, doppiamente) e non-degeneri, criterio (dimostrazione). Ellisse con o senza punti reali, iperbole, parabola. Ripasso dellenozioni elementari. Matrice associata ad una conica. Movimenti rigidi dello spazio euclideo e formecanoniche delle coniche non degeneri. Determinazione del riferimento ortogonale in cui la conicaassume forma canonica. Classificazione di una conica. Centro, assi, fuochi, vertice, direttice.

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