Programmeerimine

14. loeng

Tana loengusRekursiooni m~oiste

Rekursiooni baas ja samm

Rekursiivsete funktsioonide naiteid

Rekursioon

Rekursioon on funktsioonide de�neerimise meetod, kus de�-neeritav funktsioon kutsub valja iseennast.

Sarnaselt iteratsioonile (so. tsuklidirektiividele) v~oimaldabrekursioon kirjeldada korduvtaidetavaid protsesse.

Uldjuhul on rekursioon v~oimsam kui iteratsioon.

{ Tsuklidirektiive saab modelleerida rekursiivsete funktsioonide-na.

{ Rekursiooni saab modelleerida tsuklidirektiividega uldjuhulainult magasini (ehk pinu) abil.

Rekursiooni kasutatakse laialdaselt programmeerimises, arvu-titeaduses, matemaatikas, aga ka naiteks keeleteaduses, muusikas,kunstis, . . .

3 / 17

Rekursioon pildis

Allikad:http://www.shutterstock.com/s/recursion/search.html

http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/bridges2005/burns/

index.html4 / 17

http://www.shutterstock.com/s/recursion/search.htmlhttp://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/bridges2005/burns/index.htmlhttp://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/bridges2005/burns/index.html

Faktoriaal

Naturaalarvu n faktoriaal (tahistus n!) on n esimesepositiivse taisarvu korrutis.

n! =nY

i=1

i = n � (n� 1) � : : : � 3 � 2 � 1

On kokku lepitud, et 0! = 1.

Iteratiivne faktoriaal

def factorial (n):f = 1for i in range(1,n+1):

f �= ireturn f

5 / 17

Faktoriaal

Paneme tahele, et

(n+ 1)! = (n+ 1) � n � (n� 1) � : : : � 3 � 2 � 1= (n+ 1) � n!

Seega saame rekursiivse de�nitsiooni

n! =

(1; kui n = 0n � (n� 1)!; kui n > 0

Rekursiivne faktoriaal

def factorial (n):if n == 0:

return 1else:

return n � factorial (n�1)

6 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

1

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

1

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

1

2

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

1

2

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

1

2

6

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

1

2

6

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

1

2

6

24

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

1

2

6

24

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

1

2

6

24

120

7 / 17

Faktoriaal

factorial(5)

5 * factorial(4)

4 * factorial(3)

3 * factorial(2)

2 * factorial(1)

1 * factorial(0)

1

1

2

6

24

120

7 / 17

Rekursioon

Astendamine iteratiivselt

def power(n, m):p = 1for i in range(m):

p �= nreturn p

Astendamine rekursiivselt

def power(n, m):if m == 0:

return 1else:

return n � power(n, m�1)

8 / 17

Rekursioon

Astendamine iteratiivselt

def power(n, m):p = 1for i in range(m):

p �= nreturn p

Astendamine rekursiivselt

def power(n, m):if m == 0:

return 1else:

return n � power(n, m�1)

8 / 17

Rekursioon

Listi pikkus iteratiivselt

def pikkus(xLst):i = 0for c in xLst:

i += 1return i

Listi pikkus rekursiivselt

def pikkus(xLst):if xLst == []:

return 0else:

return 1 + pikkus(xLst[1:])

9 / 17

Rekursioon

Listi pikkus iteratiivselt

def pikkus(xLst):i = 0for c in xLst:

i += 1return i

Listi pikkus rekursiivselt

def pikkus(xLst):if xLst == []:

return 0else:

return 1 + pikkus(xLst[1:])

9 / 17

Rekursioon

Palindroomid

def palindrome(s):if len(s)

Rekursiooni baas ja samm

Et rekursioon termineeruks, peab rekursiivse funktsiooni ke-has toimuma hargnemine s~oltuvalt funktsiooni argumentidest.

Vahemalt uks haru peab olema ilma rekursiivse valjakutseta(nn. rekursiooni baas).

Rekursiivsed valjakutsed peavad olema "vaiksematel" argu-mentidel.

Naiteid mittetermineeruvast rekursioonist

def factorial (n):return n � factorial (n�1) # Rekursiooni baas puudu!

11 / 17

Rekursiooni baas ja samm

Et rekursioon termineeruks, peab rekursiivse funktsiooni ke-has toimuma hargnemine s~oltuvalt funktsiooni argumentidest.

Vahemalt uks haru peab olema ilma rekursiivse valjakutseta(nn. rekursiooni baas).

Rekursiivsed valjakutsed peavad olema "vaiksematel" argu-mentidel.

Naiteid mittetermineeruvast rekursioonist

def factorial (n):return n � factorial (n�1) # Rekursiooni baas puudu!

11 / 17

Rekursiooni baas ja samm

Et rekursioon termineeruks, peab rekursiivse funktsiooni ke-has toimuma hargnemine s~oltuvalt funktsiooni argumentidest.

Vahemalt uks haru peab olema ilma rekursiivse valjakutseta(nn. rekursiooni baas).

Rekursiivsed valjakutsed peavad olema "vaiksematel" argu-mentidel.

Naiteid mittetermineeruvast rekursioonist

def countUp(n):if n

Rekursiooni baas ja samm

Naiteid termineeruvast rekursioonist

def foo(n):if n >= 20:

return �1else:

return 2�n + foo(n+4)

12 / 17

Rekursiooni baas ja samm

Naiteid termineeruvast rekursioonist

def bar(n):if n == 0 or n > 20:

return 1else:

return n � bar(�2�n)

13 / 17

Rekursiooni baas ja samm

Kahega jagamine

def div2(n):if n

Rekursiooni baas ja samm

Suurim uhistegur

def gcd(n,m):if m == 0:

return nelse:

return gcd(m, n%m)

15 / 17

Rekursioon

Rekursiivsetes funktsioonides v~oivad "tegevused" toimudaenne ja/v~oi parast rekursiivset valjakutset.

Enne rekursiivset valjakutset tehtavad tegevused toimuvad"kahanevalt".

Parast rekursiivset valjakutset tehtavad tegevused toimuvad"kasvavalt".

Arvude trukkimine kahanevalt

def printDn(n):if n

Rekursioon

Rekursiivsetes funktsioonides v~oivad "tegevused" toimudaenne ja/v~oi parast rekursiivset valjakutset.

Enne rekursiivset valjakutset tehtavad tegevused toimuvad"kahanevalt".

Parast rekursiivset valjakutset tehtavad tegevused toimuvad"kasvavalt".

Arvude trukkimine kahanevalt

def printDn(n):if n

Rekursioon

Rekursiivsetes funktsioonides v~oivad "tegevused" toimudaenne ja/v~oi parast rekursiivset valjakutset.

Enne rekursiivset valjakutset tehtavad tegevused toimuvad"kahanevalt".

Parast rekursiivset valjakutset tehtavad tegevused toimuvad"kasvavalt".

Arvude trukkimine kasvavalt

def printUp(n):if n

Rekursioon

Rekursiivsetes funktsioonides v~oivad "tegevused" toimudaenne ja/v~oi parast rekursiivset valjakutset.

Enne rekursiivset valjakutset tehtavad tegevused toimuvad"kahanevalt".

Parast rekursiivset valjakutset tehtavad tegevused toimuvad"kasvavalt".

Arvude trukkimine kahanevalt ja seejarel kasvavalt

def printDnUp(n): # printDnUp(3) trukib: 3if n

Suur tanu osalemast

ja

kohtumiseni!