Progressões aritméticas e geométricas

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Progressões aritméticas e geométricas

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Quem levou vantagem?

Denise e Pedro são colegas. No ano passado, cada um recebia 200,00 reais de mesada. Este ano, eles fizeram aos pais propostas diferentes. A mesada começaria pequena e aumentava mês a mês.

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Denise queria receber 10,00 reais em janeiro e, a cada um dos meses seguintes, 30,00 reais a mais que no mês anterior.

Já a proposta de Pedro era receber só 1 real em janeiro e, em cada um dos meses seguintes, o dobro do mês anterior.

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Os pais acharam as propostas interessantes e toparam. No acumulado do ano, Denise e Pedro levaram vantagem?

A resposta a essa pergunta você vai encontrar no estudo das progressões.

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Sucessão ou seqüência

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Sucessão ou seqüência O quadro a seguir mostra, ordenadamente, a lista

dos seis primeiros classificados no campeonato brasileiro de futebol, edição 2007.

Classificação Time

1 Primeiro lugar São Paulo (SP)

2 Segundo lugar Cruzeiro(CZ)

3 Terceiro lugar Grêmio (GE)

4 Quarto lugar Palmeiras (PA)

5 Quinto lugar Fluminense (FL)

6 Sexto lugar Santos (SN)

(SP, CZ, GE, PA, FL, SN)(CZ, FL, GE, PA, SN, SP)

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Sucessão ou seqüência Veja os elementos da sucessão ou seqüência.

(SP, CZ, GE, PA, FL, SN)

Cada time é um termo da seqüência;

O critério ordem de classificação identifica qual é o primeiro termo, o segundo, o terceiro, ..., o sexto;

Na representação de uma sucessão, os termos aparecem entre parênteses, ordenados e separados por vírgulas.

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Sucessão ou seqüência Veja agora, o quadro a seguir. Ele mostra o número

de alunos do 1º. Ano que perderam média em Matemática, em cada uma das três etapas de 2007.

1 2 3

Etapa 1.ª 2.ª 3.ª

No. de alunos 18 15 11

Os números da última linha formam a seqüência ou sucessão (18, 15, 11)

O critério ordem cronológica identifica qual é o primeiro, o segundo e o terceiro termo;

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Definição

Sucessão ou seqüência é toda lista de termos em que se distinguem, a partir de um determinado critério bem definido, o primeiro, o segundo, o terceiro, etc.

Numa seqüência, duas coisas são importantes:

Os termos que a compõem;

A ordem em que eles aparecem, a partir de um critério pré-estabelecido;

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Seqüências numéricas

Vamos dar ênfase às seqüências numéricas. São aquelas cujos termos são números reais.

Uma seqüência pode ser finita e infinita.

A seqüência (18, 15, 11) é uma seqüência numérica finita. Ela tem último termo (o terceiro).

A seqüência (0, 2, 4, 6, 8, ...) dos números naturais pares é uma seqüência infinita. Não existe o maior número natural par.

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Seqüências numéricas - representação

De modo geral os termos consecutivos de uma seqüência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice.

a1 → primeiro termo

a2 → segundo termo

a3 → terceiro termo

a4 → quarto termo........................................

an → enésimo termo ou termo geral

O índice indica a posição do elemento

na seqüência.

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Seqüências numéricas - representação

De modo geral os termos consecutivos de uma seqüência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice.

(a1, a2, a3, a4, ..., an) representa uma secessão finita

(a1, a2, a3, a4, ...an, ...) representa uma secessão infinita

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Exemplo

Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos números naturais ímpares, temos:

a1 = 1

a3 = 5

a6 = 11

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Sucessão definida pelo seu termo geral

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Definição

Uma sucessão numérica é uma função de variável natural n, não-nula, com imagem no conjunto dos números reais. O domínio da variável n é

O conjunto N*, se a sucessão é infinita;

O conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ..., n}, se a sucessão é

finita, com n termos.

Assim, f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, ..., f(n) = an.

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Exemplo

Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos números naturais ímpares, temos:

n = 1 → f(1) = 1 ⇒ a1 = 1

n = 2 → f(2) = 3 ⇒ a2 = 3

n = 3 → f(3) = 5 ⇒ a3 = 5

n = 4 → f(4) = 7 ⇒ a4 = 7

n = 5 → f(5) = 9 ⇒ a5 = 9

..................................................

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)

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Termo geral

Certas sucessões numéricas são definidas pelo seu

termo geral an. No caso, o enésimo termo é

expressão em função da variável natural n ≠ 0.

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Exemplo

O termo geral de uma sucessão é an = n2 + 2n. Obter os

termos a2 e a7. Mostrar que 48 é um de seus termos e

identificar a posição.

Em an = n2 + 2n, vamos fazer n = 2 e n = 7.

n = 2 ⇒ a2 = 22 + 2.2 ⇒ a2 = 4 + 4 = 8

n = 7 ⇒ a2 = 72 + 2.7 ⇒ a2 = 49 + 14 = 63

Fazendo an = 48, n2 + 2n = 48

⇒ n2 + 2n – 48 = 0 ⇒ n’ = –8 (F) ⇒ n” = 6

⇒ 48 é o sexto termo. ⇒ a6 = 48.

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Sucessão definida por uma lei de recorrência

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Lei de recorrência

Seqüências numéricas costumam ser definidas, às vezes, por uma lei de recorrência. No caso, são dados.

Um dos termos (em geral, o primeiro);

Uma lei que permita obter cada um dos demais termos, recorrendo-se a termos anteriormente calculados.

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Exemplos

Obter os cinco primeiros termos da sucessão numérica infinita, definida pela lei de recorrência.

a1 = 3

an+1 = 2an + 1, para n ≥ 1

(3, 7, 15, 31, 63)

n = 1 ⇒ a2 = 2.a1 + 1 ⇒ a2 = 2.3 + 1 ⇒ a2 = 7

n = 2 ⇒ a3 = 2.a2 + 1 ⇒ a3 = 2.7 + 1 ⇒ a3 = 15

n = 3 ⇒ a4 = 2.a3 + 1 ⇒ a4 = 2.15 + 1 ⇒ a4 = 31

n = 4 ⇒ a5 = 2.a4 + 1 ⇒ a5 = 2.31 + 1 ⇒ a5 = 63

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Exemplos

Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos.

a) (2, 7, 12, 17, ...)

b) (1, 8, 27, 64, ...)

c) (1, 2, –1, 6, 1, 18, –1, 54, ...)

d) (3, 6, 12, 24, ...)

e) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)

f) (0, 3, 8, 15, 24, ...)

22 e 27.

125 e 216.

1 e 162.

48 e 96.

21 e 34.

35 e 48.

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Exemplos

Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos.

g) 14

29

316

425

, , , , ...

h) 13

47

1118

2947

, , , , ...

536

649

,

76123

199322

,

i) (Ana, Gustavo, Bárbara, Hugo, Bruna, ...)

João, Camila

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Progressões aritméticas

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Progressão aritmética

Rodrigo resolveu colecionar moedas. Começou apenas com 15. Mas ele está animado. A cada dia pretende acrescentar mais 4 moedas à sua coleção.

15 19 23 27 31 35 ...

+4 +4 +4 +4 +4 +4

(15, 19, 23, 27, 31, 35, ...)A constante 4 é a razão da seqüência.

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Definição

Progressão aritmética (PA) é toda sucessão numérica em que cada termo (a partir do segundo) é a soma do antecessor com uma constante r, chamada razão da P.A.

Para n > 1, uma P.A. obedece à lei de recorrência

an = an - 1 + r ⇒ an – an - 1 = r

Portanto, a razão r é a diferença entre um termo qualquer e o anterior.

r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ...

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Exemplos

(2, 5, 8, 11, 14) É uma P.A. finita. Ela é crescente, porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão é:

r = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

Em geral, se r > 0 a P.A. é crescente.

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Exemplos

(6; 5,5; 5; 4,5; 4; 3,5; ...) É uma P.A. infinita. Ela é decrescente, porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão é:

r = 5,5 – 6 = –0,5= 5 – 5,5 = 4,5 – 5 = 4 – 4,5

Em geral, se r < 0 a P.A. é decrescente.

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Exemplos

(3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.A. constante, porque tem todos os termos iguais. Sua razão é:

r = 3 – 3 = 0

Em geral, se r = 0 a P.A. é constante.

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Exemplos

Se (2, m + 1, 3m – 4) é uma P.A., obter o valor de m e a razão da P.A.

Na sucessão, a1 = 2, a2 = m + 1 e a3 = 3m – 4

Se ela é uma P.A., deve ser: a2 – a1 = a3 – a2

⇒ m + 1 – 2 = 3m – 4 – (m + 1)

⇒ m – 1 = 3m – 4 – m – 1 ⇒ m – 1 = 2m – 5

⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ – m = – 4 ⇒ m = 4

Para m = 4, a P.A. é (2, 5, 8), de razão 3.

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Observação

Da definição de P.A. decorre que, de três termos consecutivos o termo do meio é a media aritmética dos outros dois.

Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3,

a2 – a1 = a3 – a2 ⇒ 2a2 = a1 + a3

a2 = a1 + a3

2

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Termo geral de uma P.A.

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Termo geral da P.A.

Numa progressão aritmética o primeiro termo e a razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil escrever toda a progressão.

Vamos analisar um processo geral para se obter um termo qualquer de uma progressão aritmética, a partir do primeiro termo e da razão.

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Termo geral da P.A.

Observe a seqüência de termos abaixo.

a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...

+r +r +r +r +r +r

Note que “saltar” de um termo para o seguinte signifi-ca somar a razão.

De a1 até a2 temos 1 salto ⇒ a2 = a1 + r

De a1 até a3 temos 2 saltos ⇒ a3 = a1 + 2r

De a1 até a4 temos 3 saltos ⇒ a4 = a1 + 3r

E assim por diante.

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Termo geral da P.A.


a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...

+r +r +r +r +r +r

De maneira geral, de a1 até um termo genérico an,

são (n – 1) saltos.

an = a1 + (n – 1)ran é o enésimo termo

n é a posição do termo

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–r –r –r –r –r –r

Observação

O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o esquema a seguir.

a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...

+r +r +r +r +r +r

Saltar para o termo seguinte é somar a razão; saltar para o termo anterior é subtrair a razão.

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–r –r –r –r –r –r

Exemplos

a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...

+r +r +r +r +r +r

De a1 para a15 são 15 – 1 = 14 saltos

a15 = a1 + 14r ou a1 = a15 – 14r


a12 = a8 + 4r ou a8 = a12 – 4r

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–r –r –r –r –r –r

Exemplos

a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...

+r +r +r +r +r +r


a13 = a10 + 3r ou a10 = a13 – 3r


a37 = a23 + 14r ou a23 = a37 – 14r

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Exemplos

Na P.A. (–2, 1, 4, ...) calcular o décimo quinto termo e

o termo geral an.

Na sucessão, a1 = –2 e r = 4 – 1 = 3

a15 = a1 + 14r = –2 + 14.3 = –2 + 42 ⇒ a15 = 40

an = a1 + (n – 1)r = –2 + (n – 1) . 3

⇒ an = –2 + 3n – 3 ⇒ an = –5 + 3n

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Exemplos

A sucessão infinita de termo geral an = 7 – 5n é uma

P.A. Achar o terceiro e o décimo termos e, a partir deles, a razão da P.A.

Em an = 7 – 5n, vamos fazer n = 3 e n = 10.

a3 = 7 – 5.3 = 7 – 15 ⇒ a3 = –8

a10 = 7 – 5.10 = 7 – 50 ⇒ a10 = –43

a10 = a3 + 7.r ⇒ –43 = –8 + 7r ⇒ –7r = –8 + 43

⇒ –7r = + 35 ⇒ r = –5

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Exemplos

Quanto são os números naturais múltiplos de 3, e que têm dois algarismos?

O menor múltiplo de 3 com 2 algarismos é 12 e o maior é 99. Temos uma P.A. finita (12, 15, 18, ..., 96, 99)

Na sucessão, a1 = 12, r = 3 e an = 99.

an = a1 + (n – 1)r ⇒ 99 = 12 + (n – 1) . 3

⇒ 99 = 12 + 3n – 3 ⇒ 99 = 9 + 3n

⇒ 90 = 3n ⇒ n = 30

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Soma dos termos na P.A.

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O alemão Carl Friedrich Gauss deu grandes contribuições ao desenvolvimento das idéias matemáticas.

Desde pequeno, ele mostrava sua genialidade. Um fato curioso ocorreu quando ele tinha em torno de dez anos de idade.

Certo dia, numa aula de matemática, o professor pediu que seus alunos obtivessem a soma dos números inteiros de 1 a 100. Entre os alunos, estava Gauss.

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S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100?

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100

101

101

101

101

S = 101 . 50 = 5 050

Observe que as parcelas da soma de Gauss formam

uma P.A. (Nela a1 = 1, a100 = 100 e r = 1).

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Você verá que a propriedade que Gauss descobriu é válido para qualquer P.A. Numa P.A. finita com n termos,

a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 = a4 + an–3 = ...

(a1 a2 a3 a4 ... an-3 an-2 an-1 an)

Sn = (a1 + an). n2

n termos

Sn = a1 + an

2.n

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Exemplos

Obter a soma dos 30 primeiros números ímpares, sem adicioná-los um a um.

Devemos obter a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (1, 3, 5, 7, 9, ...)

a30 = a1 + 29r ⇒ a30 = 1 + 29.2 ⇒ a30 = 59

S30 = a1 + a30

2.n =

1 + 59

2. 30 ⇒ S30 = 900

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Exemplos

Calcular a soma 2 + 5 + 8 + ... + 62, sabendo-se que as parcelas formam uma P.A.

Primeiro vamos encontrar o número de termos da P.A.

an = a1 + (n – 1).r ⇒ 62 = 2 + (n – 1).3

S21 = a1 + a21

2.n =

2 + 62

2. 21 ⇒ S21 = 672

⇒ 62 = 2 + 3n – 3 ⇒ 63 = 3n ⇒ n = 21

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Exemplos

Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila.

A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5, ..., x).

an = a1 + (n – 1).r ⇒ x = 3 + (n – 1).1

⇒ x = 3 + n – 1 ⇒ x = n + 2

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Exemplos

Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila.

A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5, ..., x).

Sn = a1 + an

2.n ⇒

3 + x

2. n = 150

⇒ 3 + n + 2

2. n = 150 ⇒ n = 15 e x = 17

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Progressões geométricas

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Progressão aritmética

Um laboratorista pesquisou uma cultura de bactérias, em uma lâmina. Ele percebeu que, a princípio, havia apenas 5 bactérias. A cada hora, no entanto, a quantidade delas dobrava.

05 10 20 40 80 160 ...

.2 .2 .2 .2 .2 .2

(5, 10, 20, 40, 80, 160, ...)A constante 2 é a razão da seqüência.

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Definição

Progressão geométrica (PG) é toda sucessão numérica de termos não-nulos em que cada termo (a partir do segundo) é produto do seu antecessor com uma constante q, chamada razão da P.G.

Para n > 1, uma P.G. obedece à lei de recorrência

an = an - 1 . q ⇒ an/an - 1 = q

Portanto, a razão q é o quociente entre um termo qualquer e o anterior.

q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ...

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Exemplos

(2, 6, 18, 54, 162) É uma P.G. infinita e crescente, porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão é:

q = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54 = 3

Em geral, se a1 > 0 e q > 0 a P.G. é crescente.

Em geral, se a1 < 0 e 0 < q < 1 a P.G. é crescente.

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Exemplos

(40, 20; 10, 5, ...) É uma P.G. infinita e decrescente, porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão é:

q = 20/40 = 0,5= 10/20 = 5/10

Em geral, se a1 > 0 e 0 < q < 1 a P.G. é

decrescente.

Em geral, se a1 < 0 e q > 0 a P.G. é decrescente.

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Exemplos

(3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.G. infinita e constante, porque tem todos os termos iguais. Sua razão é:

q = 3/3 = 1

Em geral, se q = 1 a P.G. é constante.

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Exemplos

(3, –6, 12, –24, 48) É uma P.G. finita e oscilante, porque ela alterna termos positivos e negativos. Sua razão é:

q = –6/3 =

Em geral, se q < 0 a P.G. é oscilante.

12/–6 = –24/12 = 48/–24 = –2

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Exemplos

Se (x, x + 3, 2x + 14) é uma P.G., obter o valor de x.

Na sucessão, a1 = x, a2 = x + 3 e a3 = 2x + 14

Se ela é uma P.G., deve ser: a2/a1 = a3/a2

x + 3

x=

2x + 14

x + 3⇒ (x + 3)2 = x(2x + 14)

⇒ x2 + 6x + 9 = 2x2 + 14x ⇒ x2 + 8x – 9 = 0

⇒ x’ = –9 ou x” = 1

(1, 4, 16)q = 4

(–9, –6, –4)q = 2/3

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Observação

Da definição de P.G. decorre que, de três termos consecutivos o termo do meio é a media geométrica dos outros dois.

Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3,

⇒ (a2)2 = a1 . a3

a2

a1

= a3

a2

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Termo geral de uma P.G.

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Termo geral da P.G.

Numa progressão geométrica o primeiro termo e a razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil escrever toda a progressão.

Vamos analisar um processo geral para se obter um termo qualquer de uma progressão geométrica, a partir do primeiro termo e da razão.

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Termo geral da P.G.


a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...

.q .q .q .q .q .q

Agora “saltar” de um termo para o seguinte significa multiplicar pela razão.

De a1 até a2 temos 1 salto ⇒ a2 = a1.q

De a1 até a3 temos 2 saltos ⇒ a3 = a1.q2

De a1 até a4 temos 3 saltos ⇒ a4 = a1.q3

E assim por diante.

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Termo geral da P.G.


a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...

.q .q .q .q .q .q

De maneira geral, de a1 até um termo genérico an,

são (n – 1) saltos.

an = a1.qn–1an é o enésimo termo

n é a posição do termo

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:q :q :q :q :q :q

Observação

O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o esquema a seguir.

a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...

.q .q .q .q .q .q

Saltar para o termo seguinte é multiplicar pela razão;

saltar para o termo anterior é dividir pela razão.

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:q :q :q :q :q :q

Exemplos

a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...

.q .q .q .q .q .q


a18 = a1.q17 ou a1 = a18:q17


a11 = a5.q6 ou a5 = a11:q6

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:q :q :q :q :q :q

Exemplos

a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...

.q .q .q .q .q .q


a16 = a13.q3 ou a13 = a16:q3


a37 = a11.q26 ou a11 = a37:q26

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Exemplos

Na P.G. (3, 6, 18, ...) achar o oitavo termo e o termo

geral an.

Na sucessão, a1 = 3 e q = 6/3 = 2

a8 = a1.q7 = 3.27 = 3 . 128 ⇒ a8 = 384

an = a1.qn–1 ⇒ an = 3.2n–1

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Exemplos

Obter a razão q e o termo a12 da P.G. crescente na

qual a6 = 12 e a10 = 48.

De a6 até a10 são 10 – 6 = 4 saltos.

⇒ a10 = a6.q4

⇒ 48 = 12.q4 ⇒ q4 = 4 ⇒ q = ± √2

para q = –√2, a P.G. seria oscilante, logo q = √2

⇒ a12 = a10.q2 = 48.(√2 )2 ⇒ a12 = 96

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Exemplos

Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, 81 920 sócios?

Veja o que ocorre, por exemplo, até março.

320240803. Março

8060202. Fevereiro

20– 201. Janeiro

Totalnovosantigosmês

a1

a2

a3

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Exemplos

Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, 81 920 sócios?

Os totais de sócios mês a mês formam a P.G.

(20, 80, 240, ...), de razão q = 4.

an = a1.qn–1 ⇒ 81 920 = 20.4n–1

⇒ 4n–1 = 4 096 ⇒ 4n–1 = 46 ⇒ n – 1 = 6 ⇒ n = 7

O clube terá 81 920 sócios em julho (mês 7).

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Exemplos

Numa P.G. oscilante, a4 + a6 = 40 e a2 + a4 = 10.

Calcular o primeiro termo e a razão.

Vamos escrever cada termo em função do primeiro

termo a1 e da razão q.

a4 + a6 = a1.q3 + a1.q5 = 40 ⇒ a1.q3(1 + q2) = 40

a2 + a4 = a1.q + a1.q3 = 10 ⇒ a1.q(1 + q2) = 10

a1.q(1 + q2) = 10

a1.q3(1 + q2) = 40⇒ q2 = 4 ⇒ q = ±2

P.G. oscilante q = –2, então a1 = –1.

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Soma dos termos na P.G.

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Soma finita dos termos de uma P.G.

Podemos obter, também, a soma dos n termos de uma P.G. finita, de forma bem simples. Não precisamos para isso, conhecer os valores de todos os seus termos a serem somados.

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Soma finita na P.G. constante (q = 1)

Os termos de uma P.G. constante (q = 1) são todos iguais. Por isso, é extremamente simples calcular a soma dos n primeiros termos.

Na P.G. infinita e constante (3, 3, 3, 3, ...), a soma dos 8 primeiros termos é

S8 = 8.3 = 24

A soma dos 20 primeiros termos é

S20 = 20.3 = 60

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Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1)

Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das potências de 2, com expoentes naturais de um até dez: 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210.

A expressão (21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210) representa a soma dos dez termos de uma P.G., onde a1 = 2 e q = 2.

S = 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210 (A)

2.S = 2.21 + 2.22 + 2.23 + ... + 2.29 + 2.210

(B)2.S = 22 + 23 + 24 + ... + 210 + 211

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Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das potências de 2, com expoentes naturais de um até dez: 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210.

Vamos subtrair, membro a membro (B) – (A).

2.S – S = 211 – 21 ⇒ S = 211 – 21

⇒ S = 2048 – 2 = 2046

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De maneira Geral. A soma dos n primeiros termos de uma P. G., não-constante (q ≠ 1) é dado por

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an

q.Sn = a1.q + a2.q+ a3.q+ ... + an–1.q + an.q

(1)

q.Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an + an + 1 (2)

q.Sn – Sn = an+1 – a1 ⇒ Sn.(q – 1) = a1.qn – a1

Sn = q – 1

a1.(qn – 1) (q ≠ 1)

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Exemplos

Calcular a soma dos oito primeiros termos da P.G. (2, 6, 18, ...), sem adicioná-los um a um.

Na P.G., temos a1 = 2 e q = 3. queremos S8.

S8 = q – 1

a1.(q8 – 1) =

3 – 1

2.(38 – 1) = 38 – 1 = 6 560

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Exemplos

Em janeiro, uma empresa fabricou 20 000 unidades de um certo produto. Nos meses seguintes, a produção cresceu 10% ao mês. Qual será a produção acumulada de janeiro a abril?

A produção a cada mês é multiplicada por 1,1 (110%),

logo forma uma P.G. de razão q = 1,1 e a1 = 20 000.

S4 = q – 1

a1.(q4 – 1) =

1,1 – 1

20 000.(1,14 – 1)

= 0,1

20 000.(1,4641 – 1) = 92 820

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Somas convergentes numa P.G. infinita

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Somas convergentes na P.G. infinita

Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira.

Primeiro cortou-a ao meio, dividindo-a em dois pedaços de 8 m cada um e colocou-os lado a lado.

8 m 8 m

Depois cortou um dos pedaços ao meio novamente, obtendo 3 partes: 8m, 4 m e 4 m. Colocou-os lado a lado.

8 m 4 m 4 m

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Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira.

Em seguida, cortou um dos pedaços menores ao meio, mais uma vez. Ficou, assim com 4 partes: uma de 8 m, uma de 4 m e duas de 2 m cada uma. Outra vez, elas foram postas lado a lado.

8 m 4 m 2 m 2 m

Bruna achou a brincadeira interessante e continuou com ela por muito tempo. Sempre um dos pedaços menores era dividido ao meio.

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Continuando infinitamente esse processo, observa-mos:

O total de pedaços obtidos é infinito;

O tamanho de cada pedaço é cada vez menor (a metade do anterior).

A soma, em metros, das infinitas partes é a soma dos termos de uma P.G. infinita:

8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ...

a1 = 8 e a q = 0,5. Quanto mais parcelas são somadas,

cada vez mais a soma se aproxima de 16.

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Uma P.G. é convergente, se a soma dos seus infinitos termos tender para um determinado número.

Nesse caso, essa soma é simbolizada por lim Sn.

8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ...

Lim Sn = 16

8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ... = 16

A soma dos termos de uma P.G. infinita é convergente ⇔ 0 < | q | < 1.

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Exemplos

A soma 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... É convergente a razão da P.G. q = 0,1 e 0 < q < 1.

A soma 2 – 1 + 0,5 – 0,25 + 0,125 + ... É convergente a razão da P.G. q = – 0,5 e 0 < | q | < 1.

A soma 1 + 3 + 9 + 27 + ... Não é convergente a razão da P.G. q = 3, q > 1.

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De maneira Geral. O limite da soma dos termos de uma P. G. infinita é dado por

Sn = q – 1

a1.(qn – 1)

qn → 0n → ∞

.......

0,55 = 0,031255

0,54 = 0,06254

0,53 = 0,1253

0,52 = 0,252

0,51 = 0,51

qnn

⇒

Sn = q – 1

a1.(0 – 1)

⇒

Lim Sn = 1 – q

a1

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Exemplos

Na soma infinita 18 – 12 + 8 – 16/3 + ..., as parcelas estão em P.G. Mostrar que essa soma é convergente e calcular seu valor.

Na P.G. a razão q = –2/3. 0 < | q | < 1. A soma é convergente

Lim Sn = 1 – q

a1=

1 + 2/3

18=

5/3

18

= 18 . 5

3= 10,8

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Exemplos

Utilizando a fórmula do limite da soma, achar a fração geratriz da dízima periódica 2,533333...

A dízima é igual à seguinte soma infinita:

2,5 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 + ...

P.G. infinita: a1 = 0,03 e q = 0,1.

Lim Sn = 1 – q

a1=

1 – 0,1

0,03=

0,9

0,03= 1/30

2,53333... = 2,5 + 1/30 = 38/15

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Exemplos Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de

um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente à anterior.

Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito, para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas eu quiser?

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Exemplos Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de

um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente à anterior.

Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito, para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas eu quiser?

As larguras das caixas formam a P.G. (90, 68, 57,8, ...)

convergente de a1 = 90 e q = 0,85.

Lim Sn = 1 – q

a1=

1 – 0,85

90=

0,15

90= 600 cm

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Progressões aritméticas e geométricas