Progressões Aritméticas - Teoria

8/3/2019 Progresses Aritmticas - Teoria

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2 Srie do Ensino Mdio

PROGRESSES ARITMTICAS


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2, 5, 8, 11, 14, ...

10, 6, 2, 2, 6, ...0, 3, 6, 9, 12, ... , 30, 33.

10, 10, 10, 10, ...

Cada uma das sequncias de nmeros acimapode ser considerada uma P.A., ou seja,uma Progresso Aritmtica. Sabe porqu?

100, 90, 80, 70, ... , 20, 10.


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A ideia de uma progresso sequncia,continuao que, a partir de umprimeiro elemento, siga-se uma srieordenada de outros elementos ligadosentre si por uma lei de formao.

5, 7, 9, 11 e13 formam

umasequncianumrica quevem a ser

uma P.A.


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Vamos ver a ideiagraficamente:

Pontos

representativos

de uma P.A.crescente


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Se no selembra defunes

crescentes edecrescentes,melhor fazer

uma reviso


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2, 5, 8, 11, 14, ...

10, 6, 2, 2, 6, ...

0, 3, 6, 9, 12, ... , 30, 33.

10, 10, 10, 10, ...

Voltando s sequncias numricas do incio,vemos que uma P.A. pode ser:

100, 90, 80, 70, ... , 20, 10.

Crescente e infinita

Decrescente e infinita

Crescente e finita

Decrescente efinita

Constante ou Estacionria


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Vamos agoraestabelecer umafrmula genrica para

determinarmos umaProgresso Aritmtica!


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5

7

9

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5

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5

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a1


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Frmula do TermoGeral de uma P.A.


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2, 5, 8, 11, 14, ...

10, 6, 2, 2, 6, ...

0, 3, 6, 9, 12, ... , 30, 33.

10, 10, 10, 10, ...

Complementando nossos exemplos:

100, 90, 80, 70, ... , 20, 10.

Crescente e infinita

Decrescente e infinita

Crescente e finita

Decrescente efinita

Constante ou Estacionria


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fcil responder pergunta, Qual otrigsimo termo da sequncia 1, 2, 3, 4, 5,

6, ...?

1, 2, 3, 4, 5, 6, ....................................30


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Vamos utilizar a frmula do Termo Geral daP.A. para responder!


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Vamos utilizar a frmula do Termo Geral daP.A. para responder!

Resposta: O trigsimo termo da P.A. 89.


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Num outro exemplo, podemos determinarquantos termos h na P.A. finita 0, 3, 6, 9,12, ... , 30, 33 sem a necessidade de cont-

los.

Resposta: A P.A. possui 12 termos.


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EXERCCIOS

1) Em janeiro de certo ano, Joo estava

ganhando R$700,00 por ms. Seu patroprometeu aumentar seu salrio em R$40,00todos os meses. Quanto Joo estar ganhandoem dezembro do ano seguinte?Res

p.:Jooestar

recebendo

R$1.620,00.


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2) Todos os anos, uma fbrica aumenta aproduo, em uma quantidade constante. No5 ano de funcionamento, ela produziu 1.460peas, e no 8 ano, 1.940. Quantas peas elaproduziu no 1 ano de funcionamento?

Resp.:Afbrica

produziu820peas

no1ano.


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3) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora;17 km na segunda hora, e assim por diante, emprogresso aritmtica. Quanto quilmetro

percorrer em 5 horas de treino? OPS! PODE TERRAZO

NEGATIVA?

A P.A. com razonegativa dita

DECRESCENTE, e exatamente a situao

apresentada na questo

Resp.:Ociclista

percorreu70km.


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VAMOSINVENTAR

UMA P.A.?


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Okay, mas... e se a gente comeasse pelomeio?

Como assim? P.A. tem meio?A nossa vai ter!


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Claro que, se a P.A. for infinita, no havermeio nem fim, mas podemos nos focar,por exemplo, nos 7 termos acima:

MUITO ABSTRATO...


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Tudo bem!Vamos ento pensar na P.A. de 7 termosabaixo:

SER QUEISSO

SEMPRE DCERTO?


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Vamos ver...Podemos voltar aos sete termos genricos:

LEGAL!


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Exemplos:

1) Dada a P.A. ( 2,x, 10,y, 18, 22,z), calcule

x,y ez.


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P.A. ( 2,x, 10,y, 18, 22,z) P.A. ( 2, 6, 10, 14,

18, 22, 26 )

OBSERVE!

D PRARESOLVER AQUESTO E

DEPOISVERIFICAR SE

ACERTOU!


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2) Determinexpara que a sequncia(3x 4 ;x+ 12 ; 9x 12 ) forme uma P.A.


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UM DESAFIO:

Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho

uma mesada de R$300,00 por ms. Riquinho,que muito esperto, disse a seu pai que, emvez da mesada de R$300,00, gostaria dereceber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no

primeiro dia de cada ms e, a cada dia,R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Jucaconcordou, mas, ao final do primeiro ms,logo percebeu que havia sado no prejuzo.

Calcule quanto, em um ms com 30 dias,Riquinho receber a mais do que receberiacom a mesada de R$300,00?

NO VALEESCREVER OS 30DIAS E SOMAR

MO!


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Vamos voltar forma genrica de uma P.A. paratentar chegar a alguma concluso referente soma de seus termos:

E f 9 t ?


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E se fossem 9 termos?

E se fossem ntermos?Mas, afinal, qual o valor dea ?


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ou

Podemos ento retornar ao problema da mesada

do Riquinho


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Agora s aplicar a frmula da soma:

Resposta: Como Riquinho receberia R$300,00,

passou a receber 465 300 , ou seja,R 165 00 a mais!

EXERCCI


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EXERCCIOS4) Um pai resolve depositar todos os mesesuma certa quantia na caderneta de poupana

de sua filha. Pretende comear com R$ 5,00 eaumentar R$ 5,00 por ms, ou seja, depositarR$ 10,00 no segundo ms, R$ 15,00 noterceiro ms e assim por diante. Aps efetuaro dcimo quinto depsito, qual a quantia totaldepositada por ele?

Resposta: O pai

depositou um total deR 600 00


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5) Num programa de condicionamento fsicouma pessoa comea correndo 300 metros numdia, 400 metros no dia seguinte, 500 metros no

prximo dia e assim por diante at o dcimodia. Qual o total de metros percorridos por essapessoa nos 10 dias?

Resposta: A pessoacorreu 7.500 metros

nos 10 dias.


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6) Numa progresso aritmtica crescente, osdois primeiros termos so as razes daequao x2 + 2x 8 =0.Sabendo que o nmero de termos dessa P.A. igual ao triplo da sua razo, qual a soma dostermos da P.A. ?


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4. Aplicar a frmula da soma dos termos deuma P.A.

Resposta: A soma dos

18 termos dessa P.A. 792.

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ISERJ - 2012Professora Telma Castro Silva

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