16

Proiect :

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Proiect :. clasa a IX-a ''A''. Grup Scolar Industrial ''Nicolae Cioranescu''. CuPrins. 1.Ce este trigonometria? 2.Functiile trigonometriei? 3.Istoria 4.Elementele trigonometriei? 5.Tabelul trigonometriei?. Cum calculăm anumite dimensiuni? - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Proiect  :
Page 2: Proiect  :

Cum calculăm anumite dimensiuni?Cum realizăm un plan al unui teren? Ce instrumente utilizăm pentru determinarea lungimilor unor laturi și măsurile unor unghiuri? Care este cea mai bună modalitate de a prezenta și celorlați că planul nostru realizat este corect?

1.Ce este trigonometria?1.Ce este trigonometria?2.Functiile trigonometriei?2.Functiile trigonometriei?3.Istoria3.Istoria4.Elementele trigonometriei?4.Elementele trigonometriei?5.Tabelul trigonometriei?5.Tabelul trigonometriei?

Page 3: Proiect  :

• În prezent: În prezent: Există un număr enorm de aplicații pentru Există un număr enorm de aplicații pentru trigonometrie. O importanță specială deține tehnica de trigonometrie. O importanță specială deține tehnica de triangulație care este utilizată în astronomie pentru a triangulație care este utilizată în astronomie pentru a măsura distanța până la stelele apropiate, în geografie măsura distanța până la stelele apropiate, în geografie pentru a măsura distanțele între repere terestre și în pentru a măsura distanțele între repere terestre și în sisteme de satelit pentru navigație (maritimă, în aviație si sisteme de satelit pentru navigație (maritimă, în aviație si în spațiul extraterestru).în spațiul extraterestru).

• Alte domenii care utilizează trigonometria sunt: muzica, Alte domenii care utilizează trigonometria sunt: muzica, acustica, optica, statistica, biologia, farmaceutica, chimia, acustica, optica, statistica, biologia, farmaceutica, chimia, oceanografia, ingineria si multe altele.oceanografia, ingineria si multe altele.

  

Trigonometria este o parte a matematicii care studiază unghiuri, triunghiuri și funcții trigonometrice precum sinusul, cosinusul și tangenta. Unii matematicieni consideră trigonometria o subdiviziune a geometriei iar alții o știință matematică distinctă.

Page 4: Proiect  :

• Definiția funcțiilor trigonometrice se bazează pe rapoarte între Definiția funcțiilor trigonometrice se bazează pe rapoarte între laturi ale unui laturi ale unui triunghi dreptunghictriunghi dreptunghic plan. Într-un astfel de triunghi, plan. Într-un astfel de triunghi, latura cea mai lungă, opusă unghiului drept, se numește latura cea mai lungă, opusă unghiului drept, se numește ipotenuzăipotenuză, iar laturile care formează unghiul drept se numesc , iar laturile care formează unghiul drept se numesc catetecatete..

• În triunghiul dreptunghic, În triunghiul dreptunghic, sinusulsinusul unui unghi ascuțit este definit unui unghi ascuțit este definit ca raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea ipotenuzei. ca raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea ipotenuzei. Similar, Similar, cosinusulcosinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei alăturate și lungimea ipotenuzei:lungimea catetei alăturate și lungimea ipotenuzei:

• • Acestea sunt cele mai importante funcții trigonometrice; alte Acestea sunt cele mai importante funcții trigonometrice; alte

funcții pot fi definite ca diferite rapoarte ale laturilor unui triunghi funcții pot fi definite ca diferite rapoarte ale laturilor unui triunghi dreptunghic, dar pot fi exprimate în termeni de sinus și cosinus. dreptunghic, dar pot fi exprimate în termeni de sinus și cosinus. Acestea sunt Acestea sunt tangentatangenta, , cotangentacotangenta, secanta, și , secanta, și cosecantacosecanta::

• Definițiile anterioare se aplică doar la unghiuri între 0 și 90 grade Definițiile anterioare se aplică doar la unghiuri între 0 și 90 grade

(0 și π/2 radiani). Utilizând cercul unitate (un cerc cu raza de (0 și π/2 radiani). Utilizând cercul unitate (un cerc cu raza de lungime 1) ele pot fi extinse la toate argumentele, pozitive și lungime 1) ele pot fi extinse la toate argumentele, pozitive și negative.negative.

Page 5: Proiect  :

• Originea trigonometriei se consideră a fi în cultura antică din Originea trigonometriei se consideră a fi în cultura antică din Egipt, Babilon si Valea Indului, acum mai mult de 3000 de ani. Egipt, Babilon si Valea Indului, acum mai mult de 3000 de ani. Matematicienii indieni au fost pionerii calculului algebric, cu Matematicienii indieni au fost pionerii calculului algebric, cu aplicații în astronomie si în trigonometrie. Lagadha e unicul aplicații în astronomie si în trigonometrie. Lagadha e unicul matematician cunoscut care a utilizat geometria și trigonometria matematician cunoscut care a utilizat geometria și trigonometria pentru astronomie în cartea sa Vedanga Jyotisha, cu toate că pentru astronomie în cartea sa Vedanga Jyotisha, cu toate că multe din lucrările sale au fost distruse de către invadatorii Indiei.multe din lucrările sale au fost distruse de către invadatorii Indiei.

• Matematicianul grec Hipparchus a compilat un tabel trigonometric Matematicianul grec Hipparchus a compilat un tabel trigonometric pentru triunghiuri în jurul anului 150 î.Hr.. Un alt matematician pentru triunghiuri în jurul anului 150 î.Hr.. Un alt matematician grec, Ptolemeu (circa 100 î.Hr.) a continuat să dezvolte calculul grec, Ptolemeu (circa 100 î.Hr.) a continuat să dezvolte calculul trigonometric.trigonometric.

• Savantul Shia Musulman Nasir al-Din Tusi a fost probabil primul Savantul Shia Musulman Nasir al-Din Tusi a fost probabil primul care a considerat trigonometria ca o disciplină matematica care a considerat trigonometria ca o disciplină matematica distinctă și a fost primul care a descris șase cazuri ale unui distinctă și a fost primul care a descris șase cazuri ale unui triunghi dreptunghic în trigonometria sferică.triunghi dreptunghic în trigonometria sferică.

• Matematicianul de origine silesă, Bartholemaeus Pitiscus a Matematicianul de origine silesă, Bartholemaeus Pitiscus a publicat o lucrare importantă în trigonometrie în anul 1595 și a publicat o lucrare importantă în trigonometrie în anul 1595 și a introdus cuvântul în limbile franceză și engleză.introdus cuvântul în limbile franceză și engleză.

Page 6: Proiect  :

• Intr-un triunghi dreptunghic, considerand masura Intr-un triunghi dreptunghic, considerand masura unui unghi ascutit numim:   unui unghi ascutit numim:  

• sinusul=cateta opusa / ipotenuzasinusul=cateta opusa / ipotenuzacosinusul=cateta alaturata / ipotenuzacosinusul=cateta alaturata / ipotenuzatangenta=cateta opusa / cateta alaturatatangenta=cateta opusa / cateta alaturatacotangenta=cateta alaturata / cateta opusacotangenta=cateta alaturata / cateta opusa

• Sinusul, cosinusul, tangenta si cotangenta se Sinusul, cosinusul, tangenta si cotangenta se numesc numesc functii trigonometricefunctii trigonometrice si se noteaza cu si se noteaza cu sin, cos, tg, sin, cos, tg, si si ctg.ctg.

In triunghiul ABC de mai sus avem:                                                                                                                                                                                                                               

Page 7: Proiect  :

Relaţii si formule trigonometrice în triunghiul Relaţii si formule trigonometrice în triunghiul oarecareoarecare

Există o serie de alte relaţii între elementele (laturi, Există o serie de alte relaţii între elementele (laturi, unghiuri) triunghiurilor oarecare, relaţii care, folosind unghiuri) triunghiurilor oarecare, relaţii care, folosind funcţii trigonometrice, permit calculul unui element funcţii trigonometrice, permit calculul unui element necunoscut atunci când se cunosc altele.necunoscut atunci când se cunosc altele.

Astfel de relaţii sunt de exemplu Astfel de relaţii sunt de exemplu teorema teorema sinusurilorsinusurilor şi şi teorema cosinusuluiteorema cosinusului..

   

Page 8: Proiect  :

TriunghiulTriunghiulPerimetrul= suma Perimetrul= suma tuturor laturilor, tuturor laturilor, adica:adica:P=AB+BC+CAP=AB+BC+CA Aria Aria triunghiului=(inaltimtriunghiului=(inaltimea ea xx baza)/2, adica: baza)/2, adica:Atriunghi=(b x Atriunghi=(b x h)/2h)/2..In cazul nostru, In cazul nostru, b=BC, iar h=AD. b=BC, iar h=AD. Deci,Deci,AABC=(BCAABC=(BCxxAD)/2AD)/2

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:

P=AB + BC + CD + DA. Deoarece laturile opuse ale

paralelogramului sunt congruente (egale),

perimetrul poate fi calculat astfel P=2(AB + BC). Aria paralelogramului = baza x inaltimea, adica

Aparalelogram=b x h, iar in cazul nostru,

AABCD=DC x AM, pentru ca

DC=b (baza) si AM=h (inaltime).

Paralelogramul Dreptunghiul

Dreptunghiul are lungime( not L=AB) si latime (not l=BC).Perimetrul= suma

tuturor laturilor, adica:

P=AB+BC+CD+DA sau P=2(L+l)

Aria dreptunghiului = lungimea x latimeaAdreptunghi=L x l.

In cazul nostru, AABCD=AB x BC.

Page 9: Proiect  :

Patratul

Patratul este un dreptunghi care are toate laturile egale (congruente), sau lungimea egala cu latimea.Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:P=AB+BC+CD+DA sau P=4 L, unde L este latura patratului (AB=BC=CD=DA=L).Aria patratului=latura x latura = latura2, adica, Apatrat=L2.In cazul nostru, AABCD=AB2.

Trapezul

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:

P=AB + BC + CD + DA. Aria trapezului = (baza mare

+ baza mica)xinaltimea/2, adica Atrapez=(B + b) x h/2,

iar in cazul nostruAABCD=(DC + AB) x AM/2,

pentru caDC=B (baza mare)

AB=b (baza mica), iarAM=h (inaltimea).

Piramida

Piramida

Paralelipipedul dreptunghic, cubul, prisma

                                                                                                                                                                                                                        

Trunchiul de piramida

                                                            

                                                                                            

Page 10: Proiect  :

6C

42

3arcsin

2

3arcsin

2

2arcsin

[-1,1] pe ecrescatoar functie estearcsin si

2

3

4

3

2

2 Cum ;

4

3

BC

ABCsin

AB3

4BCBC3AB4

1. Într-un triunghi dreptunghic ABC m(Â)=90 şi 4AB=3BC.

Atunci 45<m(Ĉ)<60.Soluţie:

1)sin(B

.MNBCANACAMAB

1BC

AB

MN

AM

MN

AN

BC

AC:avem

MN

ANcos ;

MN

AMsin ;

BC

ABcosB ;

BC

ACBsin

Fie m(ANM)=

sin (B+ )= sinBcos+ sincosB

Ţinând cont de relaţiile trigonometrice în ABC

dreptunghic în  şi AMN dreptunghic în Â

2.Pe catetele AB şi AC ale triunghiului ABC dreptunghic se consideră punctele M, respectiv N. Să se arate că BC MNABAM+ACAN.

A

Page 11: Proiect  :

uu 303000 454500 606000

  sin sin uu

                          

                                      

                                      

cos cos uu

                                      

                                      

                          

tg tg uu

                                      

11

                            

  

ctg ctg uu

                            

  

11

                                       

 

Tabele trigonometrice

Page 12: Proiect  :
Page 13: Proiect  :
Page 14: Proiect  :
Page 15: Proiect  :
Page 16: Proiect  :