Συστήµατα Αρίθµησης

Αρµενικό Σύστηµα Αρίθµησης

• ∆εν υπήρχε 0

• Οι αξίες των συµβόλων προστίθενται

• Από αριστερά προς δεξιά

• Γραφή κατά φθίνουσα σειρά

Λατινικό Σύστηµα Αρίθµησης

• Βασικά σύµβολα:Ι = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C= 100 D = 500 M=1000

• Προσθέτουµε από τα δεξιά: VI=5+1=6

• Αφαιρούµε από τα αριστερά: IV=5-1=4

• H σειρά γραφής είχε σηµασία στο σύστηµα αυτό.

Βαβυλωνιακό Σύστηµα Αρίθµησης

• Σφηνοειδής γραφή για αρίθµηση

• ∆ύο Βάσεις:10-60

• Θεµελιώδης ο αριθµός 60 (6 ίσα µέρη κύκλου

•Γράµµατα αντί για αριθµούς

•Πολύπλοκοι υπολογισµοί µεαπόλυτη ακρίβεια

•Οι αρχαίοι Έλληνες έγραφανόλους τους αριθµούς από το 1 ωςτο 999 µε γράµµατα τουαλφαβήτου

Αρχαίο Ελληνικό Σύστηµα Αρίθµησης

• Για τους αριθµούς µεγαλύτερους του 9.999 χρησιµοποιούταν ο όρος

µυριάς ή µυριάδες, το οποίο υποδηλώνονταν µε το γράµµα «Μ» ή την

συντόµευση «Μυ»

• Τα κλάσµατα γράφονταν ως ζεύγος αριθµών. Πρώτα γραφόταν ο

αριθµητής και µετά ακολουθούσε ο παρονοµαστής, ο οποίος διακρινόταν

από διπλή κεραία.

Ακροφωνικό Σύστηµα

• Αποτελούσε ένα σύστηµα

αρίθµησης στην Ελλάδα που

διέφερε σε κάθε πόλη

• Το κυριότερο σύστηµα αρίθµησης

ήταν στην Αθήνα

• Χρησιµοποιούσαν τους

χαρακτήρες για µέτρηση βάρους

ή του κόστους

Σύµβολα Ακροφωνικού

• Για το ένα χρησιµοποιούσαν το

σύµβολο I

• Έτσι όπως και στο ρωµαϊκό για

να που 8 λέγανε V|||

• Με αυτό µετρούσανε τα χρήµατα

που ήταν η δραχµή και το

τάλαντο

TO AΡΧΑΙΟ ΙΝ∆ΙΚΟ-ΑΡΑΒΙΚΟΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

Τα αρχαιότερα ινδικά σύµβολα ήταν τα βραχµανικά ή

βραχµί. Βρέθηκαν σε επιγραφές σε πέτρες τον 3ο αι. µ.Χ. δεν είχαν σύµβολο για το 0.

Την ίδια εποχή δηµιουργούνται και τα σύµβολα

Χαρότσι.

Τα ινδικά σύµβολα διαδίδονται στις γειτονικές χώρες της

Ινδίας (κυρίως στην Αραβία) και περίπου από τον 10ο αι. µ.Χ. φτάνουν και την Ευρώπη. Εκεί εξελίσσονται µέχρι

να καθιερωθούν.

ABAKA Σ – Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣΚΑΙ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ

Η σηµασία και η χρήση του ΑΒΑΚΑ

• Ο άβακας είναι ένα απλό αριθµοόργανο που το

χρησιµοποιούµε για την εκτέλεση των

βασικών πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση καιπολλαπλασιασµό).

• Η λέξη άβακας προέρχεται από την ελληνική

λέξη άβαξ που σηµαίνει "τραπέζι υπολογισµών". Επειδή το άβαξ σήµαινε και "τραπέζι µε άµµο ήσκόνη" που χρησιµοποιείτο για τηνσχεδίαση γεωµετρικών σχηµάτων

Τι είναι ο ΑΒΑΚΑΣ?

• Αποτελεί ένα ορθογώνιο

πλαίσιο που είναι

κατασκευασµένο από

ξύλο και χωρισµένο σε

παράλληλες γραµµές. Κάθε γραµµή περιέχει

ένα σύνολο από χάντρες

που κινούνται πάνω σε

στερεωµένα λεπτά

ξυλαράκια ή σύρµατα.

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ

ΑΝΤΙΚΥΘΗΡΩΝ

Ένας αρχαίος µηχανισµός

Ανακάλυψη και Ανακατασκευή

• Ανακάλυψη (Ναυάγιο, 120π.Χ.,)

• Αρχαία ∆ιάταξη µε γρανάζια, Μπρούτζος

• Θέση ήλιου και σελήνης µε

βάση βαβυλωνιακό κύκλο της

Σάρου

• Προσπάθεια ανακατασκευής

στο Σίδνεϋ από επιστήµονες

• 2η προσπάθειαανακατασκευής στο Λονδίνο το

2002

Ιστορική καταγωγή και εξέλιξη του

µηχανισµού• Για την ικανότητα κατασκευής πολύπλοκων µηχανισµών από γρανάζια,

υπάρχουν πολύ λίγες πληροφορίες, γιατί ουσιαστικά σαφή αναφορά στουςοδοντωτούς τροχούς έχουµε για πρώτη φορά από τον αλεξανδρινό

µηχανικό Ήρωνα. Όµως υπάρχουν ενδείξεις που υποδεικνύουν τονΑρχιµήδη ή και τον Κτησίβιο ως πιθανούς εφευρέτες του οδοντωτού τροχού. Με τα νεότερα ευρήµατα γίνεται φανερό ότι η τεχνολογία των οδοντωτών

τροχών διατηρήθηκε εν µέρει και στο Βυζάντιο, δεδοµένου ότι έχει βρεθείένας απλούστερος µηχανισµός κατασκευασµένος τον 5ο-6ο αιώνα. Μάλιστααντίστοιχος µηχανισµός περιγράφεται από τον µεταγενέστερο Άραβα Αλ

Μπιρουνί. Ένα µεγάλο ποσοστό των τεχνολογικών κατακτήσεων στοντοµέα αυτό αφοµοιώθηκε από τους Άραβες. Όπως είναι επίσης γνωστό, πλήθος αρχαίων ελληνικών πραγµατειών έχουν διασωθεί µόνο σε αραβικές

µεταφράσεις. Οι Άραβες πειραµατίστηκαν µε διάφορα σχέδια καικατασκευές για να αποδείξουν την ορθότητα των ελληνικών κειµένων. Ητεχνολογία των οδοντωτών τροχών εξελίχθηκε µεταξύ άλλων στην

ωρολογοποιία που εµφανίστηκε και άνθησε τον 13ο και 14ο αιώνα.

--Χέρµαν Χόλεριθ--Ηλεκτρονική πινακοποίηση δεδοµένων

• Το 1890 ο Χέρµαν Χόλεριθ εφήυρε µία µηχανήόπου θα βοηθούσε στην καταγραφή του

πληθυσµού η οποία κατατέθηκε σαν το

διδακτορικό του.

• Επίσης εφηύρε τον πρώτο αυτόµατο µηχανισµό

τροφοδοσίας καρτών και το πρώτο key punchγια να υποστηρίξει την µηχανή του

.:Συγκεκριµένα:.

• Αποτελείται από ηλεκτρικές

συνδέσεις για τη λειτουργία ενός

µετρητή που καταγράφει

πληροφορίες.

• Τα δεδοµένα κωδικοποιούνται σαν

αριθµοί

• ΟΙ αριθµοί τρυπιούνταν σε

συγκεκριµένες θέσεις σε µια κάρτα, σε γραµµές και στήλες

• Ετσι οι κάρτες µπορούν να

καταµετρηθούν ή να ταξινοµηθούν

µηχανικά και να γίνει η καταγραφή

των δεδοµένων

∆ΥΑ∆ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

• Είναι ένα θεσιακό σύστηµα µε βάση το δύο

• Είναι το σύστηµα το οποίο καταλαβαίνουν οι

υπολογιστές

• Αναπαριστά τις αριθµητικές τιµές

χρησιµοποιώντας δύο σύµβολα ,το 1 και το 0

Λειτουργία του δυαδικού

συστήµατος• ∆ιακρίνει 2 καταστάσεις

αναµµένο-σβηστό(0-5 Volt)• 1 δυαδικό ψηφίο(bit)

κωδικοποιούνκαταστάσεις.

• 2 δυαδικά ψηφίακωδικοποιούν καταστάσεις.

• 3 δυαδικά ψηφίακωδικοποιούν καταστάσεις.

• …• ν δυαδικά ψηφία κωδικοποιούν

καταστάσεις. Όπου ν οεκθέτης της δύναµης

• Πολλαπλάσια του bit:

• • Τετράδα (nibble) = ποσότητατεσσάρων ( ) δυαδικώνψηφίων

• • Byte (οκτάδα) = ποσότηταοκτώ ( ) δυαδικών ψηφίων

• • Kilobyte - ΚByte (KB) = ποσότητα 1024 ( ) Bytes

• • Megabyte - MByte (MB) = Bytes

• • Gigabyte - GByte (GB) = Bytes

• • Terabyte - TByte (TB) = Bytes

32

22

1232

22

102

202

302

402

2ν

Πρόσθεση στο δυαδικό

• Παρόµοια µε το

δεκαδικό

• Αρχίζει από τα δεξιά

• Έχει κανόνες

• Προτεινόµενα site: http://users.sch.gr/geoista/DomiHotPot/Domi2.htm

ΚΑΝΟΝΕΣ

• 0 + 0 = 0• 0 + 1 = 1

• 1 + 0 = 1• 1 + 1 = 0, 1 τοκρατούµενο

• 1 + 1 + 1 = 1 και 1 τοκρατούµενο

ΠαράδειγµαΠαράδειγµα

(121) 01111001(107) 01101011 +(228) 11100100

Αφαίρεση στο δυαδικό σύστηµα

Οι κανονες

• 0-0=0

• 1-0=1

• 1-1=0

• 0-1=1 και 1 το δανειζοµενο

Παραδειγµα

Για να αφαιρεσουµε σε µορφη ψηφιολεξης 121 και 107 εχουµε:

(121) 01111001 (107) 01101011 –(014) 00001110

Οπου η αφαιρεση αρχιζει όπως και στο δακαδικο

Από τα δεξια,δηλ. από την λιγοτερη σηµαντικη θεση.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ∆ΥΑ∆ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΚΑΝΟΝΕΣ

ΠΟΛ/ΜΟΣ

• 0 Χ 0 = 0 • 0 Χ 1 = 0

• 1 Χ 0 = 0• 1 Χ 1 = 1

ΠΡΟΣΘΕΣΗ

• 0 + 0 = 0• 0 + 1 = 1

• 1 + 0 = 1• 1 + 1 = 1 0 (Άθροισµα=0,

κρατούµενο=1)

• 1 + 1 + 1 = 1 1 (Άθροισµα=1, κρατούµενο =1)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ

1 0 0 0 1 0 1 10 0 0 1 0 0 1 1---------------------1 0 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0+ 1 0 0 0 1 0 1 1

----------------------------------1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1

ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΣ 1• Όπου δηλαδή 0 γίνεται 1 και όπου 1

γίνεται 0, και ο αριθµός πουπροκύπτει θεωρείται ο αντίθετος τουπρώτου.

• Ο 7 γράφεται 0000 0111 και οαντίθετος του 11111000

• Το πρόβληµα µε την συγκεκριµένηµέθοδο είναι πως υπάρχουν δύοαναπαραστάσεις για το µηδέν:0000 0000 (για ένα "θετικό" µηδέν)και1111 1111 (για ένα "αρνητικό" µηδέν)

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΣ 2• Μετά την αντιστροφή των δυαδικών

ψηφίων προστίθεται επιπλέον οαριθµός 1

• ο 7 είναι 00000111 και ο αντίθετος

του είναι ο 111110001

Μετατροπή δεκαδικου

συστήµατος σε δυαδικού

( )1013

13-23 x15-22 x11-21 x01-20 x10

Μετατροπή δυαδικού συστήµατος

σε δεκαδικο

• 101010 µετατρέπεται µε τον εξής τρόπο:

• Γράψτε τα ψηφία του κάθετα αρχιζοντας απο δεξιά προς τα αριστερά

δηλαδη: 00 1 0 1 0 1

•Πολλαπλασιάστε το κάθε ψηφίο µε τον επόµενο αύξων αριθµό, αρχίζονταςαπο το 0.

• 0x1=0

• 1x2=2• 0x4=0

• 1x8=8

• 0x16=0• 1x32=32 άρα 0+2+0+8+0+32=42

∆ΕΚΑΕΞΑ∆ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

Τι είναι?

• Το δεκαεξαδικό σύστηµα αρίθµησης είναι ένα θεσιακό σύστηµα

αναπαράστασης αριθµών που έχει ως βάση το 16.• Σε µια σειρά ψηφίων, κάθε ψηφίο έχει αξία 16 φορές µεγαλύτερη

από εκείνο που βρίσκεται αµέσως δεξιά του. • Οι θέσεις των ψηφίων στο δεκαεξαδικό σύστηµα δηλώνουν

µονάδες, 16άδες, 16*16=256εξάδες, σε αναλογία µε το δεκαδικόσύστηµα, όπου οι θέσεις δηλώνουν δυνάµεις του δέκα (µονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες...)

Η Αναπαράσταση του

• Για την αναπαράστασή του, το δεκαεξαδικό σύστηµα έχει ανάγκη 16 ψηφίων. Για τα πρώτα δέκα, χρησιµοποιούνται τα ψηφία 0 έως 9 του δεκαδικού συστήµατος. Για να αναπαρασταθούν οι αξίες από το10 έως και το 15, δανειζόµαστε τα πρώτα 6 κεφαλαία γράµµατα τουλατινικού αλφαβήτου : A, B , C, D, E, F.

• Παράδειγµα, ο δεκαδικός αριθµός (79)10 (79, βάση 10) απεικονίζεται στο δεκαεξαδικό σαν (4F)16 (4F, βάση 16), δηλαδή :

Η ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ

∆ΕΚΑΕΞΑ∆ΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

∆ΕΚΑΕΞΑ∆ΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

• Στο δεκαεξαδικό σύστηµα για να βρούµετην τιµή ενός ψηφίου τοπολλαπλασιάζουµε µε την κατάλληληδύναµη του 16. Έτσι για παράδειγµα, οδεκαεξαδικός B6C1, µετατρέπεται σεδεκαδικό µε τους υπολογισµούς:

• Β6C1=Bx163+6x162+Cx16+1• Β6C1=11x4096+6x256+12x16+1• Β6C1=45056+1536+192+1

Μετατροπή από δεκαεξαδικό σε

δεκαδικό

Για να µετατρέψουµε έναν αριθµό από το δεκαεξαδικό στο δεκαδικό

σύστηµα αρίθµησης απλώς αναλύουµε την αξία των ψηφίων του. Κάθε ψηφίο του αριθµού αντιπροσωπεύει έναν συντελεστή µιας

δύναµης του 16.Παράδειγµα:71D(16) = 7·162+1·161+D·160To D συµβολίζει όµως τον αριθµό 13, οπότε έχουµε...=7·162+1·161+13·160και µένει να υπολογίσουµε τις δυνάµεις του 16 που θα χρειαστούµε160=1161=160·16=1·16=16162=161·16=16·16=256και συνεχίζοντας τους υπολογισµούς µας...71D(16)= .... = 7·256+1·16+13·1=1792+16+13=1821

Μετατροπή από δεκαδικό στο δεξαεδικό

(ΤΟ ΑΝΑΠΟ∆Ο)

• Ξεκινάµε διαιρώντας ακέραια τον αριθµό που θέλουµε να µετατρέψουµε µε

το 16.• Στην συνέχεια πέρνουµε το ακέραιο πηλίκο που αν δεν είναι µηδέν το

ξαναδιαιρούµε µε τον 16• και συνεχίζουµε µέχρι να βρούµε πηλίκο 0.

• Τα υπόλοιπα που θα προκύψον θα είναι αριθµοί από το 0 εώς το 15 ταοποία θα µας δώσουν και τα ψηφία του δεκαεξαδικού µε πρώτο από

αριστερά το τελευταίο υπόλοιπο που βρήκαµε.

• Το µόνο που χρειάζεται είναι να αντικαταστήσουµε τα υπόλοιπα που είναι

από 10 ως 15 µε τα αντίστοιχα γράµµατα Α εώς D του λατινικού αλφαβήτου

αντίστοιχα.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ

• 1821:16 χωράει 113 φορές και αφήνειυπόλοιπο 13

• 113:16 χωράει 7 φορές και αφήνει υπόλοιπο 1• 1:16 χωράει 0 φορές και αφήνει υπόλοιπο 7• Τα υπόλοιπα που βρήκαµε είναι 7 1 και 13. Μόνο που το 13 στο δεκαεξαδικό γράφεται ωςD.

• Οπότε καταλήγουµε στον αριθµό 71D(16).

Yλικό Υπολογιστών

Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας

• Κεντρικό εξάρτηµα υπολογιστή

• Αποτελείται από τρία κύρια

τµήµατα:

• Καταχωρητές:προσωρινήαποθήκευση δεδοµένων

• Αριθµητική-Λογική ΜονάδαΑριθµητικές πράξεις

• Μονάδα Ελέγχου: Έλεγχοςροής δεδοµένων

Εντολές

• Επεξεργασίας: µεταφέρει, προσθέτει, συγκρίνει δεδοµένα.

• Μεταβολής: τροποποιεί: απαριθµητή προγράµµατος

καταχωρητή ενδείξεων

• οι πληροφορίες κωδικοποιούνται

σε ένα ή περισσότερα bytesανάλογα µε τον τύπο της εντολής

• Για κάθε εντολή υπάρχει

διαφορετική κωδικοποίηση.

Κύκλος Εντολής

• Κύκλος εντολής :το διάστηµα γιατην αποπεράτωση µιας εντολής

και την έναρξη της επόµενης. 4 στάδια για την ολοκλήρωση ενός

κύκλου: ανάκληση (fetch), αποκωδικοποίηση

(decode),εκτέλεση(execute),αποθήκευση τουαποτελέσµατος (store/writeback).

• Κατά την ανάκληση, ανακτάται ηεντολή από την θέση µνήµης που

είναι αποθηκευµένη.

• Στο στάδιο της

αποκωδικοποίησης, η εντολήδιασπάται και ερµηνεύεται από

τον επεξεργαστή.

• Στην εκτέλεση διάφορες µονάδες

του επεξεργαστή συνδέονται ώστε

να γίνει εφικτή η εκτέλεση της

επιθυµητής λειτουργίας.

• Στην αποθήκευση, η ΚΜΕστέλνει τα δεδοµένα προς

αποθήκευση στην µνήµη.

Παράσταση ∆εδοµένων

• Σύγχρονοι Υπολογιστές:∆υαδικόΣύστηµα.

• αντιλαµβάνονται µόνο τα δύο αυτά

ψηφία

• χρησιµοποιείται κάποιος κώδικας

που να αποδίδει σηµασία σε αυτά

τα bit. Η κωδικοποίηση και ηαποκωδικοποίηση των δυαδικών

ψηφίων, συµβαίνει στην µονάδαΕισόδου/Εξόδου.για να µειωθεί τοµήκος, τα byte και οι λέξειςαναπαριστώνται συµβολικά µε

δεκαεξαδική µορφοποίηση.

• Η ΚΜΕ χειρίζεται συγκεκριµένεςοµάδες δυαδικών ψηφίων. Οιοµάδες µπορεί να έχουν ένα bit, τέσσερα bit (nibble), οκτώ bit (byte) και 16 biτ (word).

• Byte: η πιο κοινή οµάδα απόδυαδικά ψηφία πουχρησιµοποιείται στουςυπολογιστές.

• 1 byte: 28 διαφορετικές τιµές, αφούέχει 8 bit.

• Αρίθµηση των bit σε ένα byte0-7 ενώ βασικό πεδίο εφαρµογήςτων byte είναι η κωδικοποίησηχαρακτήρων.

• bit µιας λέξης (word) 216, ή 65.536, διαφορετικές τιµές.

• Κάθε bit ή byte παριστάνει αυτόπου εµείς καθορίζουµε ναπαρασταθεί

∆ίαυλος Συστήµατος

• Οι δίαυλοι είναι αγωγοί που

οµαδοποιούνται σύµφωνα µε την

λειτουργία τους.

• Χωρίζεται σε 3 διαύλους:

• δίαυλος διευθύνσεων:διεύθυνση τηςθέσης µνήµης που θα αποθηκευτούντα δεδοµένα. καθορίζει και το µέγεθοςτης µνήµης που µπορεί να ελέγξει οεπεξεργαστής, :

• δίαυλος δεδοµένων: µεταφέρειδεδοµένα µεταξύ των µονάδων τουσυστήµατος. καθορίζει πόσα bitµπορεί να µεταφέρει ταυτόχρονα καιτο εύρος των αριθµών που µπορεί ναχειριστεί ο επεξεργαστής

• δίαυλος ελέγχου:αποτελείται απόαγωγούς µε ξεχωριστή λειτουργία οκαθένας, που ελέγχουν τον τρόπο πουεπικοινωνεί ο επεξεργαστής µε ταυποσυστήµατα

ΜΝΗΜΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Μνήµη

• Η µνήµη αποθηκεύει

τα δεδοµένα τα οποία

θα χρησιµοποιήσει ο

επεξεργαστής

Οργάνωση

• Οι µνήµες που

βρίσκονται στα

κατώτερα επίπεδα

έχουν µεγάλη

χωρητικότητα αλλά

είναι αργές

• Ενώ στα ανώτερα

επίπεδα το αντίθετο

Κατηγορίες

• Έτσι ανάλογα µε την ταχύτητα και την

χωρητικότητα διακρίνονται:• Μνήµες USB , CD ROM, και σκληρούςδίσκους

• Κύρια µνήµη RAM• Κρυφή µνήµη επεξεργαστή

• Καταχωρητές επεξεργαστή