21
PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) Contents 1. En differentialekvation 2 2. Epsilon och delta 4 3. Den logaritmiska integralen och primtal 6 4. Faltning och att tämja galna funktioner 8 5. Talet e 11 6. Analytiska funktioner 13 7. Trigonometriska funktioner 15 8. To kroppsproblemet 17 9. En olikhet 19 References 22 1

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

PROJEKT - ANALYS 1

(PRELIMINÄR VERSION)

Contents

1. En differentialekvation 22. Epsilon och delta 43. Den logaritmiska integralen och primtal 64. Faltning och att tämja galna funktioner 85. Talet e 116. Analytiska funktioner 137. Trigonometriska funktioner 158. To kroppsproblemet 179. En olikhet 19References 22

1

Page 2: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

2 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

1. En differentialekvation

I denna uppgift tittar vi på några olika differentialekvationer. Vi användervildsvinen i Skåne som exempel.

Först tänker vi tillbaka på de första vildsvinen som dök upp i de skånske skog-arna. Enligt Wikipedia formerar sig vildsvin, och får kullar på 6-8 kultingar. Låtoss säga detta händer en gång om året. Beteckna beståndet efter t år med y(t).Om vi gör antagandet att reproduktionen är proportionerlig mot antalet vildsvin,ger ett konservativt estimat ekvationen

y′ = 3y.

(Här tar vi även höjd för att vildsvin inte lever för evigt.)

1. Lös denna ekvation. Rita även lösningarna till motsvarande begynnelsevärde-sproblem med y(0) = 2, y(0) = 4 och y(0) = 6 i en graf (använd Maple).

Ett sätt att visualisera hur lösningarna till ekvationen kommer att se ut ärgenom att göra ett så kallat riktningsfält. Detta innebär att vi i ett (t, y)-koordinatsystem ritar in en liten pil (vektor) med riktningskoefficient 3y i varjeheltalskoordinat (t, y).

2. Gör detta för ekvationen ovan. Rit även in lösningarna för begynnelsevärde-sproblemen. Observera att lösningarna följer pilarna. Detta kan även göras iMaple genom att använda kommandot DEplot (läs mer i Maples hjälpfunk-tion.)

Som vi ser så växer beståndet snabbt.

3. Antag att de två första vildsvinen dök upp i de Skånska skogarna efter istidenför 10.000 år sedan. Hur många borde det i så fall finnas nu, enligt vårmodell? Är detta rimligt?

En sak modellen inte tagit höjd för är att vissa livsnödvändiga resurser så sommat och vatten är begränsade. Vi ändrar därför vår differentialekvation något. Visätter:

y′ = 3(

1− y

K

)y. (1)

Den extra faktorn är linjär, och är lika med 3 när y = 0, och lika med 0 när y = K.Vi ser att om y växer mot K så gör den nya faktorn att y′ blir mindre och mindre.

4. Rita ett riktningsfält för den nya ekvationen (1) när K = 100. Använd gärnaMaple. Försök att rita in lösningarna tillhörande begynnelsevärdesproble-men med y(0) = 10, y(0) = 100 respektive y(0) = 200.

5. Låt y vara lösningen till ett av dessa begynnelsevärdesproblem. Vad verkarvara en rimlig gissning för limt→∞ y(t)? Vad är en rimlig tolkning av param-etern K?

Vi önskar undersöka lösningarna lite till innan vi bestämmer dem exakt.

Page 3: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3

6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra.Visa att två sådana lösningar måste vara samma.

7. Genom att derivera (1) en gång till med avseende på t, bestäm för vilkavärden på y som lösningarna är konvexa respektive konkava. Jämför medriktningsfältet.

8. Ekvationen (1) har två konstanta lösningar. Bestäm dessa.

Vi önskar nu lösa ekvationen exakt. Detta kan göras genom att betrakta y′ =dy/dt som ett bråk, och skriva (1) på formen

dy(1− y

K

) = 3dt. (2)

9. Lös ekvationen genom att integrera båda sidor av (2), och sen lösa ut y somfunktion av t.

10. Bestäm lösningarna till begynelsevärdesproblemen med y(0) = 10, y(0) =100 respektive y(0) = 200. Rita lösningarna i en graf. Bestäm även limt→∞ y(t)för var och en av lösningarna y.

Observera att om vi startar med så få som exempelvis två vildsvin så är vi fort-farande garanterade att antalet vildsvin kommer att öka. Om vår modell stämdeöverens med verkligheten så skulle ju exempelvis koalor och pandor inte vara utrot-ningshotade förrän ytterst få exemplar av dessa arter fanns kvar. Vi justerar nu(1) för att inkludera bekymmer såsom sjukdom, allmän död och tjuvjakt av deskånska vildsvinen.

Vi betraktar ekvationen

y′ = 3( yT− 1)(

1− y

K

)y. (3)

Här har vi lagt till ännu en faktor. Den är negativ när y < T och positiv näry > T .

11. Bestäm alla konstanta lösningar till ekvationen (3). Bestäm även de värdenav y för vilka y′ är positiv respektive negativ. Vilken tolkning borde vi göraav parametern T?

12. Rita riktningsfältet till (3) med T = 20 och K = 100. Skissa även lösningartill begynnelsevärdesproblemen y(0) = 10, y(0) = 100 och y(0) = 200.

Svårighet: +

Page 4: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

4 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

2. Epsilon och delta

I detta projektet skall vi se lite närmare på kontinuitet. Syftet är att undersökakonkreta exemplen för att få en bättre förståelse för ε-δ tänkande.

1. Definiera talfölden

xn =n2

(2n+ 1)√n2 + 1

för ickenegativa heltal n = 0, 1, 2 . . .. Använd Maple för att gissa ett gränsvärdelimn→∞ xn.

2. Visa att talföljden xn är växande. (Ledning: Betrakta derivatan av enlämplig funktion.)

3. Bestäm nu hur stort n måste vara för att xn skall vara ε nära gränsvärdet.(Ledning: Det kanske enklaste sättet baseras på att {xn}∞n=0 är växande.Man kan även ha nytta av att n2 + 1 ≤ n2 + 2n+ 1.)

Vi ser nu på funktionen

f(x) =1

1− x.

4. Låt a vara gränsvärdet till xn ovanför. Visa, genom att använda ε och δ, attf(x) är kontinuerlig i a.

5. Enligt vad ni gjorde i uppgift 3, hur stor måste n vara för att f(xn) är ε näraf(a)? (Kom ihåg att a = limn→∞ xn)

Följande är en sats som knyter ihop kontinuitet och talföljder:

Theorem 1. En funktion är kontinuerlig i punkten a om och endast om

limn→∞

f(xn) = f(a)

för alla talföljder xn som har gränsvärde a.

6. Visa den del av satsen som antar att f är kontinuerlig.7. Hur kan man visa att en funktion inte är kontinuerlig i en punkt? Använd

denna idé för att bevisa den andra delen av satsen.8. Visa att funktionen cos( 1

x2+ 1) inte är kontinuerlig i x = 0.

Vi ska nu undersöka en lite starkare typ av kontinuitet:

Definition 1. Vi säger att f är likformigt kontinuerlig på en intervall I om detför varje ε > 0 finns en δ > 0 sådan att för alla x, y ∈ I med |x − y| < δ så är|f(x)− f(y)| < ε.

Notera att i definitionen av kontinuitet så beror δ på i vilken punkt x vi un-dersöker funktionen. Det centrala för likformig kontinuitet är att δ kan väljasoberoende av x.

9. Låt f(x) = 1/(1 − x). Gör uppgift 4 för ett godtyckligt a ∈ (−1, 1), ochavgör speciellt hur δ beror på a.

Page 5: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 5

10. Är f likformigt kontinuerlig på (−1/2, 1/2)? Är f likformigt kontinuerlig på(−1.1)? Ge argument för båda svaren.

11. Historisk sett gick det lång tid från det att man införde kontinuitet till attman upptäckte att uniform kontinuitet var av betydelse. Använd nätet tillatt bestämma när dessa två begrepp infördes, av vem, och lite om varför.

Svårighet: +

Page 6: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

6 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

3. Den logaritmiska integralen och primtal

Vi ska undersöka funktionen

Li(x) =

∫ x

2

dt

ln t.

Först observerar vi på några grunnläggande egenskaper:

1. Vi önskar nu skissa grafen till Li.(a) Bestäm definitionsmängden till Li, var den är kontinuerlig, och var den

är deriverbar. Beräkna dess derivata där det går, och dubbelderivata.(b) Undersök asymptoterna till Li. Här kan det vara till hjälp att veta hur

x/ lnx beter sig nära x = 1 och när x går mot oändligheten.(b) Undersök hur Li beter sig när x går mot +∞ lite mer noggrant genom

att se på

limx→∞

lnx

xLi(x).

Vad kan vi säga om hur snabbt Li växer?2. Värför blev talet 2 vald i definitionen av Li och inte talet 1?

Denna funktionen är viktig inom matematiken eftersom den är nära kopplad tillprimtalen. Mer specifikt är den kopplat till primtalsfunktionen π(x) som anger hurmånga primtal det finns som är mindre eller lika med x. Till exempel är π(3) = 2.

3. Jämför funktionerna Li(x) och π(x) för x ≤ 100. (Ledning: Funktionen πfinns med i Maple. Skriv först "with(numtheory)", och sen kan man se påπ(x) för positiva heltal x.

Ett sätt att approximera funktioner är genom Taylorpolynom.

4. Ange Taylorutvecklingen till Li nära punkten x = 10.5. Hur många termer måste vi ta med för att Taylorutvecklingen ska ge en god

approximation av Li(15). (Sätt, till exempel, ε = 2.)6. Hur beter sig denna Taylorutveckling vid x = 40 när vi lägger till flera

termer? Jämför med beteendet nära x = 15. Använd Maple för att gissa ettungefärligt värde i intervallet (15, 40) där detta beteendet ändras.

Vi vänder oss bort från Taylorpolynom, och återvänder till att betrakta Li versusπ.

7. Vad händer om vi väljer även större värden av x än 100? Hur stora värdenkan ni välja och fortfarande få svar från Maple?

8. När är Li större än π och vice versa? Är det alltid så? Kan ni gissa påformulering av en sats?

9. Detta är ett tema som blev studerat av den mycket kände matematikernLittlewood. Använd internet och försök hitta information om vad han komfram till. Ge en kort resume, och avgör om er gissning i förra punktenstämmer.

Svårighet: +

Page 7: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 7

4. Faltning och att tämja galna funktioner

Begreppet fattning är av central betydelse i det mesta av avancerad analys, ochäven i ekonomi. Faltning är ett sätt att kombinera två funktioner för att få en nyfunktion. Om f och φ är två styckvis kontinuerliga (dvs. “piecewise continuous”)funktioner definierade på R så definieras faltningen f ∗ φ som

f ∗ φ(x) =

∫Rf(t)φ(x− t)dt.

Vi ska nu försöka att förstå denna formel och även använda den lite försiktigt.Observera att integralen i högerledet är ett generaliserad integral. I allmänhet

måste man vara mycket försiktig med att undersöka om en faltning existerar ellerinte. För att undvika sådana komplikationer kommer vi att anta dels att funktio-nen f är begränsad, och att det finns ett intervall [a, b] sådant att φ(x) = 0 föralla x /∈ [a, b]. Lägg märke till att med det senare villkoret så blir integralen ovaninte längre generaliserad.

1. Låt φ vara en funktion definierad på R genom

φ(t) =

{1/2 t ∈ [−1, 1]

0 annars.

Låt även f vara en positiv funktion. Givet ett fixt x, rita graferna av f(t)och φ(x − t). Använd detta för att ge en tolkning av faltningen f ∗ φ. Omf exempelvis beskriver en aktiekurs och x anger tid i timmar, hur kan vi dåtolka f ∗ φ?

2. Beräkna, för hand, F1 = f ∗ φ om f är en funktion som är lika med 1 på[−10, 10] och 0 annars. Rita grafen till F .

3. Använd formeln ni beräknade för F1 för att finna F2 = F1 ∗ φ. Rita grafentill denna funktionen.

Vad ni observerar är att funktionerna blir snyggare och snyggare. Väsentli-gen gäller att faltningen f ∗ φ kommer att bete sig minst lika bra som φ och ftillsammans. Vi tänker då på egenskaper som kontinuitet och deriverbarhet.

4. Låt f(x) = cos(1/x). Använd Maple till att rita grafen till faltningen f ∗φ, där φ är funktionen definierad tidigare (det är svårt att hitta en snyggformel).

Definiera en funktion i Maple på följande sätt:> px := [1, 2, 3, 4, 5]

> py := [2, 1, 4, 5, 2]

> plot(px, py)

> with(CurveF itting) :

> f := Spline(px, py, t, degree = 1)

> F := x− > eval(f, [t = x])

> plot(F )

Page 8: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

8 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

5. Använd Maple till att beräkna faltningen F ∗φ, där F är funktionen vi precisdefinierade, och rita grafen.

Vi önskar nu undersöka operationen faltning lite mer teoretiskt. Eftersom sva-gare antaganden på φ medför att det blir svårare att bevisa något om f ∗ φ, sådefinierar vi först en mycket stark form for kontinuitet: Vi säger att φ är Lipschit-skontinuerlig om det finns en konstant C > 0 sådan att

|φ(x)− φ(y)| ≤ C|x− y|, ∀x, y ∈ R.

6. Verifiera att om φ är Lipschitskontinuerlig på R, så är φ också kontinuerligpå R.

7.* Antag att φ är Lipschitskontinuerlig på R och att f är begränsad på R, detvill säga att det finns något tal B > 0 sådan att |f(x)| ≤ B för alla x ∈ R.Visa att faltningen f ∗ φ är kontinuerlig i x = 0.

(I denna uppgiften räcker det att φ är uniformt kontinuerlig, vilket är ettsvagare antagande än Lipschits kontinuerlig. Som en extra utmaning kan vivisa detta.)

I många fall är det mycket användbart att approximera funktioner som inteär kontinuerliga med funktioner som är det. Vi har redan sett en del av dennaeffekten hos faltningen i uppgifterna 2 och 3.

Vi ska nu undersöka hur faltning ger upphov till approximationer. För att göradet enkelt för oss går vi tillbaka till funktionen φ ovanför. Sätt

φn(x) = 2nφ(nx).

8. Skriv den styckvisa definitionen till φn(x) och beräkna limn→∞∫R φn(x)dx.

9. För funktionen f(x) = x10, beräkna faltningen f ∗ φn och sedan gränsvärdet

limn→∞

f ∗ φn(x).

10. Låt P (x) vara ett godtyckligt polynom. Vad blir gränsvärdet till P ∗ φn(x)då n→∞?

Observera att vi nu har en metod för att med hjälp av faltning uppskatta poly-nom. I själva verket finns det många andra sorters funktioner som kan approx-imeras med olika sorters faltningar. Att visa några allmänna satser om detta ärlite för svårt för denna kurs. Vi ska dock undersöka ett avslutande exempel.

Vi hämtar exemplet från aktiemarknaden. Med kommandot> with(finance)

kan vi i Maple komma åt funktionen BrownianMotion som verkligen beter sigsom en aktiekurs. Läs om denna i Maples hjälpfunktion, och lös följande uppgift.Märk att följande kommando kan vara till hjälp:> B := convert(A, list)

11. Skapa en funktion genom att använda Brownsk rörelse. Använd Maple tillatt beräkna faltningen med φ.

Page 9: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 9

Svårighet: +(+)

Page 10: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

10 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

5. Talet e

Vi skall undersöka två olika sätt att bestämma talet e.

1. Skissa grafen till funktionen x 7−→ (1 + 1/x)x för x > 0. Visa speciellt attlimn→∞(1 + 1/n)n = e. Analys av funktionens andraderivata kommer inteatt behövas för resten av uppgiften.

Vår första strategi är att använda detta gränsvärde för att bestämma e. Vi hittarförst en uppskattning e ≤ 3.

2. Använd binomialformeln på uttrycket (1 + 1/n)n för att få en övre uppskat-tning

(1 + 1/n)n ≤ 1 +n∑k=2

1

(k − 1)2.

Ledning: k! ≥ k(k − 1) ≥ (k − 1)2 när k ≥ 2.3. Jämför summan med en lämplig integral för att visa att den är mindre än 2

för varje n ≥ 2. Dra slutsatsen att e ≤ 3.

Vi ska nu undersöka hur snabbt (1 + 1/n)n närmar sig e. Eftersom vi inte vetnågot värde för e, så måste vi göra detta på ett indirekt sätt. Låt N vara någotfixt heltal. Vi tänker hitta en uppskatning för skillnaden∣∣∣ (1 +

1

N + n

)N+n

−(

1 +1

N

)N ∣∣∣ (4)

som gäller för alla n ≥ N .

4. Visa att om vi uppskattar (4) till att vara mindre än något δ > 0, då måsteäven ∣∣∣e− (1 +

1

N

)N ∣∣∣ ≤ δ.

(Ledning: Använd uppgift 1.)5. Visa att(1 +

1

N

)N−(

1 +1

N + n

)N+n

=

∫ N+n

N

(ln(1 +

1

x)− 1

x+ 1

)(1 + 1/x)xdx.

6. Använd Taylorutvecklingen till ln(1 + t) med felterm för att visa att∣∣∣ ln(1 + 1/x)− 1

x+ 1

∣∣∣ ≤ C

x2

för x ≥ 1 och någon konstant C. Ange C explicit. (Här finns inte bara enC som fungerar.)

7. Dra slutsatsen att∣∣∣ (1 +1

N

)N−(

1 +1

N + n

)N+n ∣∣∣ ≤ C

N.

Page 11: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 11

8. Använd denna olikhet till att bestämma e upp till 25 decimaler. Hur stortmåste ni välja N? Använd en miniräknare eller något datorprogram för attmed hjälp av metoden ovan bestämma så många decimaler ni kan. Hurmånga decimaler fick ni? Hur valde ni N?

Vi skall nu bestämma e på ett annat sätt.

9. Vad är Taylor polynomet till ex nära x = 0 av ordning n med felterm?10. Gör en uppskattning av feltermen genom att använda olikheten e ≤ 3 som

vi fann tidigare.11. Bestäm e upp till 50 decimaler. Hur stor ordning av Taylorpolyomet krävdes

det?12. Vilken av de två metoderna är snabbast?

Svårighet: ++

Page 12: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

12 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

6. Analytiska funktioner

Definition 2. Vi säger att en funktion f är analytisk på en intervall I = (a, b) omdet till varje punkt x0 i intervallet finns en polynomial utveckling av godtyckligordning n ∈ {0, 1, 2, . . .}:

f(x) = c0 + c1(x− x0) + c2(x− x0)2 + · · ·+ cn(x− x0)n +O((x− x0)n+1

).

Observera: För varje x0 ∈ I finns sådana koefficienter cn. Dessa beror alltså påvalet av x0.Anmärkning: Denna definition av analytiska funktioner skiljer sig från denallmänt vedertagna definitionen. Anledningen till att vi trots allt väljer dennaär dels för att vi vill ha ett namn på dessa funktioner, dels av historiska skäl. Detvar under lång tid inte klart huruvida detta var en lämplig definition av det somsenare kom att kallas för analytiska funktioner. Läsaren ombeds därför att varamedveten om att i de fall då begreppet “analytisk funktion” förekommer i någotannat sammanhang än i detta projekt så är betydelsen något annorlunda.

Delmoment:

1. Visa att en analytisk funktion är kontinuerlig. Dvs att c0 = f(x0).2. Visa att om c0 > 0 så är f positiv i en omgivning av x0.

Vi definierar nu derivatan av en analytisk funktion f på följande sätt: Låt f varaen analytisk funktion på I = (a, b). Vi säger att derivatan av f ges av f ′(x0) = c1.

3. Visa, genom att använda denna definitionen av derivatan, att om f harmaximum eller minimum i x0, då är f ′(x0) = 0.

4. Visa att om f ′(x) > 0 så är funktionen växande.

Vi definierar så andraderivatan av en analytisk funktion f på följande sätt: Låtf vara en analytisk funktion på I = (a, b). Vi säger att andraderivatan av f gesav f ′′(x0) = c2/2.

5. Visa, genom att använda denna definition av andraderivatan, att om f harmaximum i x0, så är f ′′(x0) ≤ 0, och motsatt för minimum.

Vi anknyter nu dessa definitionerna för derivator av f till definitionerna frånkurset.

6. Visa, med kursens definition av derivatan, att f ′(x0) = c1 och att f ′′(x0) =c2/2.

7. Gör en gissning för sambandet mellan f (n)(x0) och cn. Visa att detta stäm-mer genom ett induktionsargument.

En fråga man ställde sig på 1700-talet, med denna definition av analytiskafunktioner, var följande. Låt f vara en funktion som är analytisk nära x = 0, ochför vilka alla ci är lika med noll i denna punkt. Är det då så att funktionen är nollöveralt?

Page 13: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 13

8. Hitta ett motexempel till uttalandet. Kan ni klura ut vem som kom meddet första sådana exempel?

Svårighet: ++

Page 14: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

14 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

7. Trigonometriska funktioner

Vi ser på ett annat sätt att definiera trigonometriska funktioner genom attanvända differentialekvationer.

Sinus och cosinus uppfyller differentialekvationernad

dtsin t = cos t

d

dtcos t = − sin t

Vi ska nu visa att vi kan ta dessa differentialekvationerna som definition av sinusoch cosinus. Antag därför att vi har funktioner f, g som uppfyller{

f ′(t) = g(t)

g′(t) = −f(t)(5)

1. Visa att om (f, g) löser (5) så är f 2 + g2 konstant. Vad betyder dettageometriskt?

2. Visa att det finns högst en lösning med givna värden på f och g i någonpunkt t0. (Ledning: Vilket ekvationssystem uppfylls av skillnaden mellantvå lösningar?)

Vi har nu visat satsen

Theorem 2. Begynnelsesvärdeproblemetf ′(θ) = g(θ)

g′(θ) = −f(θ)

f(θ0) = f0, g(θ0) = g0

har för given begynnelsespunkt θ0 oct givna begynnelsesdata f0 och g0 högst enlösning.

Vi vill nu bevisa att det existerar ett par av funktioner (S,C) som är entydiglösning till begynnelsesvärdeproblemet

S ′(θ) = C(θ)

C ′(θ) = −S(θ)

C(0) = 1, S(0) = 0

(6)

(Beteckningarna har naturligtvis valts så att S ska motsvara sinus och C skamotsvara cosinus.)

Först ska vi härleda några egenskaper hos funktioner som uppfyller sådanaekvationer.

3. Visa att S är udda och C jämn. (Ledning: Visa att om f(x) = −S(−x) ochg(x) = C(−x) så uppfyller (f, g) ekvation (5).)

Page 15: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 15

4. Visa formlernaC(x+ y) = C(x)C(y)− S(x)S(y),

S(x+ y) = S(x)C(y) + C(x)S(y).

(Ledning: Betrakta funktionerna på vardera sidan om likhetstecknet somfunktioner av x och undersök vilka differentialekvationer dessa uppfyller.)

5. Visa att C ≤ 1 och att S(x) ≤ x för x ≥ 0. (Ledning: Använd uppgift 1(f 2 + g2 = cst) respektive S ′ = C.)

6. Visa att 1−x2/2 ≤ C(x) ≤ 1−x2/2+x4/24. (Ledning: Upprepad integrationav olikheten S(x) ≤ x.

7. Visa att C har ett första positivt nollställe θ0 som uppfyller 1.4 ≤ θ0 ≤ 1.6.

Nu när vi vet att C har ett nollställe θ0, så kan vi använda formlerna vi hittatovan för att visa att S och C uppfyller samma sorts periodicitet som sinus ochcosinus.

8. Visa att S(x+ θ0) = C(x) och C(x+ θ0) = −S(x) för alla x. Använd sedandetta för att visa formlerna S(x + 2θ0) = −S(x), C(x + 2θ0) = −C(x) ochatt S och C båda har period 4θ0.

Vi skall nu konstruera lösningar till (6).

9. Visa att i intervallet [−θ0, θ0] har S en invers vars derivata är 1/√

1− x2.Vi kan nu definiera arcsin på (−1, 1) som

arcsinx =

∫ x

0

dt√1− t2

.

10. Visa att arcsinx är injektiv på (−1, 1).

På detta sätt kan vi definiera sin θ för θ ∈ [−θ0, θ0] som den inversa funktionentill arcsinx. Vi definierar sedan sin θ = sin(2θ0 − θ) för θ ∈ [θ0, 3θ0], och slutligensin θ för godtycklig θ genom fortsättning till en funktion med period θ0. Vidaredefinierar vi cos θ som derivatan till sin θ.

11. Visa att sin θ och cos θ definierade på detta sätt uppfyller (6).

Svårighet: +++

Page 16: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

16 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

8. To kroppsproblemet

I detta projekt tänkar vi undersöka en av Kepplers lagar för planetrörelse, densom säger att en planet rör sig i en elliptisk bana. Först måste vi se på polärakoordinater i planet.

Istället för att ange en punkt i planet genom koordinater (x, y), kan den beskri-vas entydigt genom att ange vinkeln mot x-axeln och distans från origo:

1. Om θ ∈ [0, 2π) är den vinkel som linjen från (0, 0) till (x, y) bildar med denpositiva x-axeln, och r är avståndet till origo, visa att x = r cos θ, y = r sin θoch r =

√x2 + y2.

En ellips är definierad som de punkter i ett plan sådana att summan av avstån-den från punkten till två fixa punkter i planet är konstant. Låt oss anta attbrännpunkten till ellipsen är i origo respektive (2c, 0), och att summan är 2a > 0.Använder vi polära koordinater kan ekvationen ‖(r cos θ + 2c, r sin θ)‖ = 2a + rhärledes.

2. Visa att ekvationen för en ellips kan skrivas som

r =a|1− e2|

1− e cos θ.

Här är e = c/a excentriciteten till kurvan.3. Notera att c > a måste gälla om vi skall få en ellips på detta sätt. Vilka

kurvor upkommer om e = 1 eller e < 1? (Använd gärna Maple för attundersöka detta.)

Antag att det finns två partiklar i rymden med positionsvektorer U och Voch massa m respektive M . Enligt Newtons gravitationslag påverkar massornavarandra med en kraft som är proportionell mot massorna av de två partiklerna,och omvänt proportionell mot kvadraten på distansen: Alltså F = −GMmx/‖x‖3.Här är G en konstant som kallas gravitationskonstanten. Newtons andra lag sägeratt en kropps acceleration är proportionell mot kraften som verkar på den: F =ma.

4. Om vi bortser från alla andra krafter än de som nämnts ovan, visa attrörelsesekvationerna för de två partiklarna är

mU +GMm(U −W )

‖U −W‖3= 0,

MW +GMm(W − U)

‖U −W‖3= 0.

Vi definierar nu systemets tyngdpunkt som vektorn

T =m

m+MU +

M

m+MV.

5. Visa att tyngdpunkten har konstant fart.

Page 17: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 17

6. Att farten är konstant betyder att vi kan låta tyngdpunkten hela tidenbefinna sig i origo i vårt koordinatsystem. Gör detta variabelbytet, alltsåu = U − T och w = W − T , och visa att rörelsesekvationerna nu blir

mu+GMmu

‖u‖3= 0

Mw +GMmw

‖w‖3= 0

Detta betyder att vi kan betrakta de två rörelserna separat kring tyngdpunkten.Vi fokuserar därför på en partikel med position u och massa m vars rörelse kringorigo styrs av ekvationen

mu+GMmu

‖u‖3= 0. (7)

(Observera att detta är formeln vi urspringligen får om en av massorna är i origo.)Vi visar först att rörelsen måste ske i något plan:

7. Visa att u × u är en konstant vektor. Här betyder x × y vektorproduktenmellan vektorerna x = (x1, x2, x3) och y = (y1, y2, y3), och ges av x × y =(x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1).

8. Visa att vektorn u(t) för alla t ligger i ett och samma plan genom origo.(Ledning: vilken är planets normalvektor?)

Eftersom banan är plan så är det ingen inskränkning att anta att den ligger ixy-planet. Vi inför polära koordinater (r, θ) i detta plan.

9. Visa att när vi byter koordinater så är (7) ekvivalent med ekvationerna{r2θ = C

r − r(θ)2 +GMr−2 = 0.

Vi önskar nu eliminera tiden från denna ekvation, för att bara ha en ekvationmellan r och θ, som vi sedan kan härleda planetens bana från. Vi gör nu variabel-bytet ρ = 1/r, och låter ρ′ vara derivatan av ρ med avseende på θ.

10. Visa att r = −Cρ′. (Ledning: använd kedjeregeln.)11. Visa att r = −C2ρ′′ρ2.12. Sätt u = ρ−GM/C2, och visa att man får ekvationen u′′+u = 0. Lös denna

för u och visa attr =

C2/GM

1− e cos θ.

Svårighet: +++

Page 18: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

18 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

9. En olikhet

Låt λ1 ≥ 0 och λ2 ≥ 0 vara två reella tal sådana att λ1 + λ2 = 1. Om x1 ochx2 är två andra reella tal så kallas talet λ1x1 +λ2x2 för en konvex kombinationav talen x1 och x2.

1. Visa att givet två reella tal, x1 < x2, så gäller, för varje konvex kombinationav dessa, att λ1x1 +λ2x2 ∈ [x1, x2]. Visa också att om x ∈ [x1, x2] så är x enkonvex kombination av x1 och x2, dvs det finns λ1 ≥ 0 och λ2 ≥ 0 sådanaatt λ1 + λ2 = 1 och x = λ1x1 + λ2x2.

En funktion φ : R→ R kallas för konvex om

φ(λ1x1 + λ2x2) ≤ λ1φ(x1) + λ2φ(x2) (8)

för alla x1, x2 ∈ R och alla λ1, λ2 ≥ 0 med λ1 + λ2 = 1.I den resterande delen av denna skrift kommer φ att beteckna en konvex funk-

tion. Notera att denna definition av en konvex funktion skiljer sig något från dengiven i [AE]. Där definieras en funktion som konvex om dess derivata är en växandefunktion. Vi har inte gjort något antagande om att funktionen ska vara deriverbar.I de fall då funktionen är deriverbar sammanfaller de båda definitionerna.

2. Visa att om x1 < x2 så gäller

φ(x) ≤ φ(x1) + (x− x1)φ(x2)− φ(x1)

x2 − x1(9)

för alla x ∈ [x1, x2]. Tolka detta resultat grafiskt.(Ledning: Skriv x som en konvex kombination av x1 och x2.)

3. Ta hjälp av den grafiska tolkningen av resultatet i föregående övning för attge ett exempel på en funktion som är konvex, men inte deriverbar.

För att analysera en konvex funktion med avseende på deriverbarhet behövervi följande olikheter.

4. Låt x1 < x2 < x3. Bevisa olikheternaφ(x2)− φ(x1)

x2 − x1≤ φ(x3)− φ(x1)

x3 − x1(10)

φ(x2)− φ(x1)

x2 − x1≤ φ(x3)− φ(x2)

x3 − x2(11)

Tolka även dessa grafiskt.

Låt nu x ∈ R vara ett fixt tal. Definiera för h > 0 funktionen

∆φ(h) =φ(x+ h)− φ(x)

h(12)

5. Visa att funktionen ∆φ(h) är en avtagande funktion genom att använda (10)med ett lämpligt val av x1, x2, x3. Visa att funktionen dessutom är nedåtbegränsad genom att använda (11) med ett annat lämpligt val av x1, x2, x3.

Page 19: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 19

Eftersom vi nu vet att ∆φ(h) är en avtagande funktion som också är nedåtbegränsad, så vet vi att gränsvärdet limh→0+ ∆φ(h) existerar. Detta betyder attfunktionen φ har en högerderivata i x, dvs gränsvärdet

limh→0+

φ(x+ h)− φ(x)

h= φ′+(x) (13)

existerar. Notera att vi gjort denna räkning för ett fixt x ∈ R, men att valet av xinte påverkar våra räkningar. Därför kan vi nu konstatera att en konvex funktionφ har högerderivata i varje punkt. Genom att använda ett snarlikt resonemangkan vi även visa att φ har vänsterderivata i varje punkt. Eftersom räkningar föratt visa detta blir identiska med de vi redan gjort ovan, avstår vi här från attutföra dessa.

I de fall då φ är deriverbar så är det inte speciellt svårt att visa att φ′ är enväxande funktion. Detta följer av (11). Det går också att visa att om en funktionhar växande derivata så är den konvex enligt definitionen ovan.

Ett välkänt faktum som avhandlats i denna kurs är att om en funktion ärderiverbar så är den också kontinuerlig. Deriverbarhet visar sig dock vara ettonödigt restriktivt villkor.

6. Visa att om en funktion f har höger- och vänsterderivata i en punkt x så ärf kontinuerlig i x.

Vi formulerar de resultat vi nåt hittills som en sats.

Sats 1. Låt φ vara en konvex funktion. Då är φ kontinuerlig. Om φ dessutom ärderiverbar så är φ′ en växande funktion.

Vi ska nu härleda ett resultat för integraler och några konsekvenser. Vi behöverförst ett lemma.

Lemma 1. Låt φ vara en konvex funktion. Då är

φ(n∑i=1

λixi) ≤n∑i=1

λiφ(xi) (14)

för alla x1, x2 . . . xn ∈ R och alla λ1, λ2 . . . λn ≥ 0 sådana att∑n

i=1 λi = 1.

Ett tal∑n

i=1 λixi där λ1, λ2 . . . λn ≥ 0 och∑n

i=1 λi = 1 kallas för en konvexkombination av talen x1, x2 . . . xn ∈ R.

7. Bevisa ovanstående lemma.(Ledning: För n = 2 är detta bara definitionen av konvexitet.)

För en Riemannintegrerbar funktion f : [a, b]→ R gäller att

limn→∞

n∑i=1

b− an

f(ci(n)) =

∫ b

a

f(x)dx (15)

Page 20: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

20 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

där punkterna ci(n) väljs i intervallet [a+ i−1n

(b− a), a+ in(b− a)]. Riemanninte-

grerbara funktioner innefattar dels kontinuerliga funktioner, men även begränsadefunktioner som inte är diskontinuerliga “alltför ofta”.

Vi har nu verktygen för att bevisa vårt huvudresultat, kallat Jensens olikhet.

Sats 2. Låt f : [a, b] → R vara en Riemannintegrerbar funktion, och φ : R → Rvara en konvex, positiv funktion. Om dessutom intervallet [a, b] har längden 1 sågäller att

φ(

∫ b

a

f(x)dx) ≤∫ b

a

φ(f(x))dx (16)

Notera att längden av intervallet [a, b] ges av b− a.8. Bevisa Jensens olikhet.

(Ledning: Approximera integralen till vänster med en Riemannsumma. An-vänd konvexitet och jämför med Riemannsumman för integralen till höger.)

Exempel 1. Det enklaste exemplet på en tillämpning av Jensens olikhet är denså kallade triangelolikheten för integraler. Denna säger att om f är Riemannin-tegrerbar över [a, b] så är

|∫ b

a

f(x)dx| ≤∫ b

a

|f(x)|dx (17)

Ett sätt att visa detta är att använda Jensens olikhet med φ(x) = |x|. fn så längefungerar dock detta bevis bara om b− a = 1.

9. Bevisa triangelolikheten för integraler även i fallet då b− a 6= 1.(Ledning: Använd konvexa kombinationer för att göra ett variabelbyte.)

Vi kommer nu till ett avslutande exempel på en integralolikhet, kallad Höldersolikhet. Denna olikhet är ett mycket användbart verktyg inom analys.

Sats 3. Låt p, q ∈ (1,∞) vara två tal sådana att 1p

+ 1q

= 1. Låt f, g : [a, b] → Rvara två kontinuerliga funktioner. Då gäller att∫ b

a

|f(x)||g(x)|dx ≤ (

∫ b

a

|f(x)|pdx)1p (

∫ b

a

|g(x)|qdx)1q (18)

Ett tal par (p, q) sådant att 1q

+ 1q

= 1 kallas för Hölderkonjugerat.Vi kommer nu att bevisa Hölders olikhet. Detta involverar flera steg och är att

betrakta som en ganska svår uppgift.Det första steget är att anta att funktionen g inte är konstant lika med 0 på något

delintervall. Intuitivt kan detta motiveras med att ett delintervall där g ≡ 0 intebidrar till någon av sidorna i olikheten ovan. Kontakta detta projekts upphovsmanvid önskemål om en mer precis motivering.

Det andra steget är att anta att∫ b

a

|g(x)|qdx = 1 (19)

Page 21: PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) filePROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antag att lösningarna till olika begynnelsevärdesproblem korsar varandra. Visaatttvåsådanalösningarmåstevarasamma

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 21

10. Visa att om Hölders olikhet är sann under antagandet (19) så är den sannäven för godtyckliga funktioner g.(Ledning: Inför talet

‖g‖q = (

∫ b

a

|g(x)|qdx)1q (20)

Inför därefter den normaliserade funktionen

h(x) =g(x)

‖g‖q(21)

Denna nya funktion h uppfyller villkoret (19).)

Inför nu funktionenG(y) =

∫ y

a

|g(x)|qdx (22)

för y ∈ [a, b]. Notera att G(a) = 0, G(b) = 1 samt att G′(y) = |g(y)|q som ärpositiv förutom i enstaka punkter. Därför är G en inverterbar funktion.

Det tredje steget är att göra omskrivningen∫ b

a

|f(x)||g(x)|dx =

∫ b

a

|f(x)||g(x)|1−q|g(x)|qdx (23)

12. Gör variabelbytet y = G(x) i integralen ovan. Använd sedan Jensens olikhetmed φ(t) = |t|p. Gör därefter det inversa variabelbytet x = G−1(y). Beräknaslutligen talet (1− q)p+ q.

Efter att ha gjort denna räkning blir resultatet

(

∫ b

a

|f(x)||g(x)|dx)p ≤∫ b

a

|f(x)|pdx (24)

Därmed har vi bevisat Hölders olikhet.

References

[AE] R.A. Adams, C. Essex: Calculus - A Complete Course, 7th Ed, Pearson Canada (2010)

Svårighet: +++