Projekt forskerspirer 2014 Ræsonnement i og uden for det ...Clara Guttman Andersen Vordingborg Gymnasium & HF Oktober 2014 ! 6 Bevisskemaer Harel og Sowder (2007) kategoriserer elevers

Projekt forskerspirer 2014

Ræsonnement i og uden for det

matematiske domæne - Didaktiske implikationer af tidlig introduktion til det matematiske bevis

Clara Guttman Andersen

Vordingborg Gymnasium & HF

Humaniora

Clara Guttman Andersen Vordingborg Gymnasium & HF Oktober 2014

2

Indholdsfortegnelse INDLEDNING 3

BEGREBSAFKLARING 4

AFGRÆNSNING 4

TEORI 5

KOMPETENCER I FAGET MATEMATIK 5 RÆSONNEMENTSKOMPETENCEN OG TANKEGANGSKOMPETENCEN 5 BEVISSKEMAER 6 DET EMPIRISKE BEVISSKEMA 6 DET DEDUKTIVE BEVISSKEMA 6 GENERELLE ÅBNE OG LUKKEDE UDSAGN 6

TEORIBASERET PROBLEMSTILLING 7

METODE OG FREMGANGSMÅDE 7

TOULMINS ARGUMENTATIONSMODEL I MATEMATISK BEVISFØRELSE 7 MODELLEN SOM VÆRKTØJ 7 EN MODIFICERET VERSION 7 PILOTFORSØG 9 OMSTÆNDIGHEDER 9 FORSØGSDESIGN 9 KVALITATIV OG ETNOGRAFISK METODE 10

KVALITATIV ANALYSE 10

FEJLKILDER 10 FINDINGS 10 FORVENTELIGE FINDINGS 10 NYE FINDINGS 11

KONKLUSION 11

EN ERKENDELSESPROCES? 11 ET SPØRGSMÅL OM ABSTRAKTION? 11

PERSPEKTIVERING 11

TAK 12

REFERENCER 12

BILAG 14

BILAG 1. FORSLAG TIL ANALYSER AF BEVISER 14 VINKELSUMMEN I EN TREKANT 14 PYTHAGORAS’ LÆRESÆTNING 14 BILAG 2. HVERDAGSARGUMENTER (OPGAVE TIL LEKTION 1): 15 BILAG 3. BEVIS FOR VINKELSUMMEN I EN TREKANT (OPGAVE TIL LEKTION 2): 16 BILAG 4. BEVIS FOR PYTHAGORAS’ LÆRESÆTNING (OPGAVEN TIL LEKTION 2): 17 BILAG 5. SPØRGSMÅL TIL LEKTION 3, FORMULERET UD FRA KOM-RAPPORTEN 18 BILAG 6. CASE 18 BILAG 7. BUDGET 21 PILOTFORSØG 21


3

Indledning

Selvom matematiske beviser ikke altid har haft en fremtrædende position i matematikundervisning

og i anvendt matematik, er beviser utvivlsomt en grundsten for matematikken (Hanna & de Villiers,

2009, s. 20). Matematiske beviser varierer i både form og indhold afhængigt af den matematiske

disciplin, dog antages det generelt, at al matematisk bevisførelse bygger på følgende princip: ”To

specify clearly the assumptions made and to provide an appropriate argument supported by valid

reasoning so as to draw necessary conclusions” (Hanna & de Villiers, 2009, s. 19). For at kunne

relatere til dette meget overordnede princip kræves en forståelse af, hvordan man ”specificerer sine

antagelser klart” samt hvilke krav, der stilles til et ”passende matematisk argument” og et

”matematisk gyldigt ræsonnement”.

På de gymnasiale uddannelser bliver elever for alvor introduceret til matematisk bevisførelse, og

det er min opfattelse, at mange for det første opnår en dybere forståelse af ovenstående princip i

gymnasieårene og for det andet ikke længere kun betragter matematikken som et værktøj til at

belyse problemstillinger i hverdagen og inden for andre fagområder, men som en selvstændig

disciplin. Derfor forekommer det vigtigt at undersøge, om det er muligt at præsentere elever for

matematiske beviser tidligt i uddannelsesforløbet.

Matematikdidaktiske undersøgelser peger på, at vanskeligheder ved at forstå princippet bag

bevisførelse kan skyldes, at elever, der er nybegyndere inden for bevisdisciplinen, forsøger at forstå

beviser ud fra hverdagsræsonnementer og –erfaringer (EMS, 2011). Ifølge Jahnke (2008) har

mange elever svært ved at forstå og erkende princippet om almengyldighed (forstået som det

princip, der sikrer at sætningen, der bevises, gælder for alle objekter inden for den givne

definitionsmængde) i matematiske sætninger og beviser, fordi vi i vores hverdag bl.a. er bekendt

med, at der til alle regler findes undtagelser, og at mængden af disse undtagelser ofte er udefinerbar

(Jahnke, 2008).

Det leder os til én af de mest problematiske tilgange elever tager, når de skal bevise og forstå

matematiske sætninger – den empiriske tilgang. Undersøgelser peger på, at størstedelen af førsteårs

gymnasieelever godkender og gennemfører matematisk bevisførelse, som udelukkende er

understøttet af eksempler (EMS, 2011).


4

Begrebsafklaring I dette projekt forstås

• ræsonnering som dét at tænke på en logisk rationel måde.

- Matematisk ræsonnering defineres som deduktiv ræsonnering.

- Hverdagsræsonnering defineres som ikke-deduktiv ræsonnering.

• et argument som en konstruktion, der indeholder en påstand og én eller flere begrundelser

for denne.

- Et matematisk argument defineres som et argument, hvor almengyldigheden af

påstanden opfyldes.

- Et hverdagsargument defineres som et argument, hvor almengyldigheden af påstanden

ikke opfyldes.

• et ræsonnement som en kæde af argumenter, som fremstilles ud fra en ræsonneringsproces

med henblik på at støtte op om en påstand.

- Et matematisk ræsonnement defineres som en kæde af matematiske argumenter, som

fremstilles ud fra deduktiv ræsonnering.

- Et hverdagsræsonnement defineres som en kæde af hverdagsargumenter, som fremstilles

ud fra ikke-deduktiv ræsonnering.

Et matematisk bevis er en bestemt type matematisk ræsonnement, og bevisførelse er en bestemt

type matematisk ræsonnering, der resulterer i et matematisk bevis.

Afgrænsning Selvom der allerede eksisterer undervisningsdesigns til at imødekomme nedenstående

målsætninger, vurderes det, at der er et stadigt og stort behov for

1. at hjælpe elever til at erkende, at et matematisk bevis adskiller sig fra et hverdagsargument.

2. at give elever en forståelse af, hvordan og hvorfor man kan skelne mellem matematiske

beviser og hverdagsargumenter.

I dette projekt rejses følgende spørgsmål:

1. I hvilket omfang er folkeskoleelever i stand til at identificere almengyldigheden i et

matematisk bevis og overveje eventuelle undtagelser tilknyttet et hverdagsargument ved at

analysere et skrevet matematisk bevis og et hverdagsargument?


5

2. I hvilket omfang kan en sådan identifikation og analyse give folkeskoleelever en erkendelse

af, at matematisk ræsonnering og hverdagsræsonnering er to forskellige discipliner?

Den egentlige problemstilling gives efter teoriafsnittet, da denne bygger på disse teorier.

Teori

Kompetencer i faget matematik Dette projekt kan ses som et skridt på vejen mod en forbedring af elevers ræsonnementskompetence

og tankegangskompetence. Niss og Jensen (2002) beskriver i alt otte kompetencer inden for faget

matematik, og da de alle er tæt forbundet, er det umuligt at undersøge ræsonnementskompetencen

og tankegangskompetencen uden at berøre andre af elevernes matematiske kompetencer. I dette

projekt kan særligt symbol- og formalismekompetencen, som er evnen til at afkode symbol- og

formelsprog (Niss & Jensen, 2002), blive en uønsket barriere, hvis denne kompetence er

underudviklet. Desuden findes der både en passiv og aktiv del af alle otte kompetencer.

Ræsonnementskompetencen og tankegangskompetencen

Ræsonnementskompetencens passive del er beskrevet som evnen til ”at kunne følge og bedømme et

matematisk ræsonnement […] og at kunne afgøre hvornår et matematisk ræsonnement faktisk

udgør et bevis, og hvornår ikke” (Niss & Jensen, 2002, s. 54). I dette projekt skal eleverne analysere

allerede konstruerede beviser og altså ikke producere beviser. Derfor er kun den passive del af

ræsonnementskompetencen i brug.

Tankegangskompetencens passive del er beskrevet som evnen til ”at kunne forstå hvad der ligger i

generalisering af matematiske resultater. […] Denne kompetence omfatter også det at kunne skelne,

både passivt og aktivt, mellem forskellige slags matematiske udsagn og påstande, herunder

’betingede udsagn’, ’definitioner’, ’sætninger’” (Niss & Jensen, 2002, s. 47). Der appelleres til den

passive del af tankegangskompetencen, da eleverne ikke selv skal generalisere matematiske

resultater, men forstå hvad der ligge i en generalisering. De skal skelne mellem matematiske udsagn

og påstande, der allerede er opgivet.


6

Bevisskemaer Harel og Sowder (2007) kategoriserer elevers forskellige metodiske tilgange til matematisk

bevisførelse. Disse metodiske tilgange fik navnet ”Proof Schemes”. I denne opgave oversættes det

til ”bevisskemaer”. Der findes tre overordnede bevisskemaer: ”Det eksterne bevisskema”, ”det

empiriske bevisskema” og ”det deduktive bevisskema”. (Harel & Sowder, 2007). Følgende gives

kun en introduktion til ”det empiriske bevisskema” og ”det deduktive bevisskema” da kun disse er

relevante for projektet.

Det empiriske bevisskema

I et empirisk bevisskema valideres påstande på baggrund af fysiske fakta eller sanselige erfaringer.

Der skelnes mellem det ”induktive empiriske bevisskema” og det ”sanselige empiriske

bevisskema”. Kun det ”induktive empiriske bevisskema” er relevant, og i dette bevisskema drages

der konklusioner på baggrund af måledata for enkelte tilfælde (Harel & Sowder, 2007).

Det deduktive bevisskema

I det ”deduktive bevisskema” valideres påstande ud fra operationel tænkning og logiske slutninger.

Man opererer med objekterne i et bevis trin for trin, således at forholdet mellem objekterne ændres

alt efter det operative indgreb. Det ”deduktive bevisskema” har altså tre centrale karakteristika:

Operationel tænkning, logiske slutninger samt princippet om almengyldighed (Harel & Sowder,

2007).

Generelle åbne og lukkede udsagn Hvis man gentagne gange erfarer nøjagtig det samme, vil man til sidst antage at det, der erfares,

gælder generelt. Sådanne generaliseringer beskrives som ”generelle åbne udsagn” (Jahnke, 2008).

Jahnke (2008) skriver følgende om disse: ”They are true as a rule but suffer exceptions if modifying

conditions occur” (Jahnke, 2008, s. 364). Altså er ”generelle åbne udsagn” åbne, fordi der kan opstå

afvigelser fra den generelle antagelse i fremtiden – et erfaringsgrundlag kan ikke spå om fremtidige

afvigelser. Jahnke (2008) bemærker desuden, at undtagelserne til generelle åbne udsagn som oftest

ikke gøres eksplicitte, da det er svært at kvantificere dem (Jahnke, 2008). I den anden ende af

skalaen findes de ”generelle lukkede udsagn”. Det er udsagn som ikke har tilhørende undtagelser.

Sådanne udsagn findes kun i matematikkens verden. Hvis matematiske sætninger har udefinerbare

mængder af undtagelser, vil matematikkens rolle som eksakt videnskab bortfalde (Jahnke, 2008).


7

Teoribaseret problemstilling På baggrund af Harel og Sowders (2007) teoretiske konstrukt om ”bevisskemaer” og Jahnkes

(2008) teoretiske konstrukt om ”åbne og lukkede udsagn” undersøges folkeskoleelevers evne til at

identificere sætningen og definitionerne i et matematisk bevis samt evnen til at identificere

påstanden, belægget og hjemlen i en række hverdagsargumenter med henblik på, at eleverne opnår

den erkendelse, at der altid findes undtagelser i et hverdagsargument, hvorimod et matematisk bevis

er almengyldigt.

Metode og fremgangsmåde

Toulmins argumentationsmodel i matematisk bevisførelse

Modellen som værktøj

Flere matematikdidaktikere har ønsket at sammenligne skrevne matematiske beviser med den

argumentation elever gør brug af, når de konstruerer disse (Knipping, 2008; 2010; Pedemonte,

2007; Douek, 2007). En sådan sammenligning vurderes ikke relevant for dette projekt, der centrerer

sig om den passive del af ræsonnementskompetencen. I nogle af disse projekter (Knipping, 2008;

2010; Pedemonte, 2007) er Toulmins argumentationsmodel benyttet som et værktøj til at

sammenligne strukturen af et matematisk bevis med strukturen af den argumentation, elever gør

brug af, når de konstruerer disse. Disse projekter er interessante for nærværende projekt, fordi de

bekræfter, at et matematisk bevis med fordel kan indskrives i Toulmins argumentationsmodel for at

danne overblik over bevisets forskellige informationer. Hverdagsargumenter kan også indsættes i

Toulmins argumentationsmodel (Toulmin, 1958). Modellen foreslås som et værktøj til at

kategorisere informationerne i skrevne matematiske beviser og hverdagsargumenter med henblik på

at tydeliggøre indholdsmæssige forskelle på de to konstruktioner.

En modificeret version

Toulmin (1958) beskriver strukturen af et rationelt argument ud fra tre hovedkategorier: Påstand,

belæg, hjemmel (se figur 1 s. 8). Belægget beskriver Toulmin (1958) som ”facts [presented] as the

foundation upon which our claim is based” (Toulmin, 1958, s. 90), og hjemlen beskrives som

”bridges [that] authorize the sort or step to which our paticular argument commits us” (som citeret i

Knipping, 2010, s. 179). Toulmin (1958) introducerer også begreberne styrkemarkør, gendrivelse

og rygdækning. Man kan med fordel bruge disse begreber i en analyse af den argumentation elever


8

gør brug af, når de skal konstruere matematiske beviser (Jahnke, 2007), men i dette projekt skal

eleverne analysere allerede konstruerede matematiske beviser, og det er altså ikke relevant at

medtage de tre sidstnævnte begreber.

På baggrund af Pedemontes (2007) analyser defineres

• påstanden som bevisets sætning

• belæg som de operative indgreb, der er nødvendige for at bevise sætningen, og som støttes

op af hjemler.

• hjemler som definitioner og aksiomer for påstanden samt sætninger for andre beviser.

Da det er folkeskoleelever, og dermed novicer i bevisførelse, der skal indsætte beviset i Toulmins

argumentationsmodel, omdøbes/uddybes begreberne sætning, definition, aksiom og operative

indgreb (se figur 2). Disse opfattes som bevisets informationer.

Af omdøbningen på figur 2 fremgår det desuden, at disse bevisinformationer befinder sig på

forskellige niveauer. Man kan forestille sig beviset som en bygning, hvor hjemlerne er fundamentet,

belæggene er skelettet og påstanden er vægge og tag. I senere afsnit kaldes disse niveauer for

bevisets informationsniveauer.

Der er unægteligt mange korrekte og meningsfulde måder at indsætte et matematisk bevis i

Toulmins argumentationsmodel på, og dette projekt har ikke til formål at give en vurdering af

hvilke måder, der er mest fordelagtige. For overblikkets skyld er der dog vedlagt mulige løsninger

(se bilag 1).

Figur 2: Toulmins argumentationsmodel med omdøbte begreber

Figur 1: Toulmins argumentationsmodel (reduceret)


9

Pilotforsøg

Omstændigheder • Teststørrelse: 21 elever fra 9. klassetrin på Gåsetårnsskolen i Vordingborg, inddelt i 7

grupper à 3 elever.

• Eleverne var inddelt i tre niveauer ud fra en matematiktest læreren havde gennemført. Dette

var for at få et godt sammenligningsgrundlag grupperne imellem.

• Pilotforsøget strakte sig over 3 lektioner.

Forsøgsdesign 1. Lektion:

• Der gives en kort introduktion til Toulmins argumentationsmodel i plenum. Begreberne

påstand, belæg og hjemmel forklares ud fra Toulmins definitioner (se afsnittet ”En

modificeret version”).

• Eleverne skal finde påstand, belæg og hjemmel i hverdagsargumenter og indsætte disse i

modellen. Dette gøres i de niveaudelte grupper på 3 elever. Grupperne er niveaudelte for at

have et sammenligningsgrundlag for næste lektion. Der er med omhu valgt nogle

hverdagsargumenter, som tydeligt er ”generelle åbne udsagn” (se bilag 2).

2. Lektion: • Der gives en introduktion til beviser for matematik fra pensum. Grupperne får beviser

tilsvarende deres matematiske niveau.

Niveau 1: Bevis for vinkelsummen i en trekant (se bilag 3).

Niveau 2: Bevis for vinkelsummen i en trekant (se bilag 3).

Niveau 3: Bevis for Pythagoras’ læresætning (se bilag 4).

Beviserne er allerede konstruerede, og det er nu elevernes opgave at indskrive informationer

fra disse i Toulmins argumentationsmodel med omdefinitionerne af begreberne påstand,

belæg og hjemmel i mente (jf. figur 2 s. 8). Beviserne var opstillet i punkter, for at

overskueliggøre trinene heri.

3. Lektion: Grupperne skriver en kort tekst (min. 5 linjer pr. spørgsmål), hvor de besvarer spørgsmål

formuleret ud fra KOM-rapportens afsnit ”Matematikkens karakter som fagområde” (se

bilag 5).


10

Kvalitativ og etnografisk metode I udførslen af pilotforsøget observerede jeg testgrupperne under løsningen af de forskellige opgaver,

og undersøgelsen følger i den forstand den etnografiske metode. Jeg lydoptog seks grupper – to fra

hvert niveau – i første og anden lektion, og jeg har på baggrund af videooptagelserne og

besvarelserne i de tre lektioner foretaget en kvalitativ analyse.

Kvalitativ analyse

Fejlkilder

• Nogle af eleverne havde svært ved at forstå de matematiske operationer i beviset, og brugte tiden

på at forstå disse frem for at kategorisere bevisinformationerne. For disse elever var symbol- og

formalismekompetencen en barriere.

• Nogle af eleverne opfattede bevisets punktopstilling som opgaver frem for trin.

Findings En kvalitativ analyse af videooptagelserne og opgavebesvarelserne indikerer, at fire overordnede

konklusioner kan drages. Heraf er to forventelige, fordi tidligere undersøgelser også peger på disse,

og de to resterende mindre forventelige og mere specifikke for dette projekt.

Se bilag 6 for case til belysning af finding 3 og 4 (de nye findings).

Forventelige findings

1. Novicer i bevisførelse har svært ved at gennemskue et allerede konstrueret matematisk

bevis. Nogle forsøger at overskueliggøre bevisinformationerne ved regneeksempler og

måleforsøg, og de gør dermed brug af det empiriske bevisskema1 (jf. Harel & Sowder,

2007).

2. Ved brug af Toulmins argumentationsmodel er det lettere for novicer i bevisførelse at

kategorisere informationerne i et hverdagsargument end bevisinformationerne (jf. Jahnke,

2008).

1 NB: Det er legalt at benytte sig af det empiriske bevisskema, så længe der ikke konkluderes noget generelt ud fra dette.


11

Nye findings

3. Analysen indikerer, at jo bedre eleverne er til at skelne mellem informationsniveauerne i et

bevis, desto mindre gøres der brug af det empiriske bevisskema.

4. Analysen indikerer, at jo bedre man er til at abstrahere fra Toulmins definitioner af påstand,

belæg og hjemmel fra 1. lektion, desto nemmere bliver det at indsætte bevisinformationerne

i modellen i 2. lektion ud fra omdefinitionerne af begreberne (figur 2).

Konklusion

En erkendelsesproces? Toulmins argumentationsmodel fungerede for de fleste af eleverne som et godt hjælpemiddel til at

identificere sætningen og definitionerne i et matematisk bevis samt påstanden, belægget og hjemlen

i et hverdagsargument. Selvom flere af grupperne var i stand til at gennemskue, at et

hverdagsargument er et ”generelt åbent udsagn” og formåede at medtage definitionsmængden af

sætningen i det matematiske bevis, som netop indikerer, at der er tale om et ”generelt lukket

udsagn”, kunne ingen dog ikke besvare spørgsmålet: ”Hvordan oplever I et matematisk bevis i

forhold til et hverdagsargument?”. Hvorvidt brugen af Toulmins argumentationsmodel fik eleverne

til at erkende hvordan og hvorfor, der må skelnes mellem et matematisk bevis og et

hverdagsargument, og dermed et lukket og et åbnet udsagn, kan pilotforsøget ikke vise.

Et spørgsmål om abstraktion? Elevernes brug af Toulmins argumentationsmodel indikerer, at de elever, der kunne abstrahere fra

definitionerne af påstand, belæg og hjemmel givet i 1. lektion, havde lettere ved at indsætte

bevisinformationerne i modellen, gjorde ikke brug af regneeksempler, og gjorde dermed i højere

grad brug af det deduktive bevisskema.

Perspektivering Hvis det fremover skal undersøges, hvorvidt folkeskoleelever (novicer i bevisførelse) kan opnå en

erkendelse af, at matematisk ræsonnering og hverdagsræsonnering er to forskellige discipliner ved

at identificere bevisinformationerne og informationerne i hverdagsargument, kræves der utvivlsomt

en længere testperiode end den for pilotforsøget. Erkendelsesprocesser er ofte langvarige, og elever,

der hidtil har benyttet sig af det empiriske bevisskema, lærer ikke at skelne mellem

hverdagsargumenter og matematiske beviser på tre lektioner.


12

Pilotforsøget viser, at man med fordel kan træne novicer i bevisførelse i at abstrahere fra

hverdagsargumenter, når de skal bruge deres ræsonnementskompetence og følge et matematisk

bevis. Abstraheres der, gøres der i højere grad brug af det deduktive bevisskema, og på den måde

bliver eleverne bedre rustet til de gymnasiale krav om at kunne ”Redegøre for matematiske

ræsonnementer og beviser samt deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori [og]

demonstrere viden om fagets identitet og metoder” (Matematik A - faglige mål, 2013).

Ord: 2499

Tak En stor tak skal lyde til Uffe Jankvist, lektor ved Institut for Uddannelse og Pædagogik (DPU), for

omhyggelig og inspirerende vejledning. Ligeledes en stor tak til Jessica Carter, lektor ved Syddansk

Universitet, som har givet mig faglig inspiration i den indledende fase, og Torben Lehn,

forskerspirerkoordinator og historie- og samfundsfagslærer ved Vordingborg Gymnasium & HF,

som motiverede mig til at deltage i Projekt Forskerspirer og gennem forløbet har informeret om

møder og lign.

Referencer Douek, N. (2007). Some Remarks about Argumentation and Proof an their Educational

Implications. I: Boero, Paulo (Ed.) Theorems in School – From History, Epistemology and

Cognition to Classroom Practice. (Vol 1, s. 163-179). Rotterdam, Holland: Sense Publishers.

European Mathematical Society (2011, december). Do Theorems admit Exeptions? Solid

Findings in Mathematics Education on Empirial Proof Schemes. EMS Newsletter, s. 50-53.

Fou-Lai Lin, Feng-Jui Hsieh, Gila Hanna, Michael de Villiers (Eds.) (2009). Proceedings of

the ICMI Study 19 conference: Proof and Proving in Mathematics Education. (Vol. 1. s. 19-

29). Taipei, Taiwan: The Department of Mathematics, National Taiwan Normal University.

Harel, G., & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and

teaching of proof. I: F. K. Lester Jr. (ed.), Second Handbook of Research on Mathematics

Teaching and Learning (s. 805-842). Charlotte, NC: Information Age Publishing.

Jahnke, H. N. (2007). Proof and Hypotheses. ZDM the international journal on mathematics

education, 39(1), 79-86.


13

Jahnke, H. N. (2008). Theorems that admit exceptions, including a remark on Toulmin. ZDM

The International Journal on Mathematics Education, 40(3), 363-371.

Knipping, C. (2008). A Method for Revealing Structures of Argumentations in Classroom

Proving Processes. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 40(3), 427-

441.

Knipping, C. (2010). Argumentation Structures. I: Reid, D., & Knipping, C. (Eds.) Proof in

mathematics education: Research, learning and teaching. (s. 179-192). Rotterdam, Holland:

Sense Publishers.

Matematik A – stx faglige mål og fagligt indhold (2013). Stx-bekendtgørelsen 2013. Hentet

fra https://www.retsinformation.dk/Forms/R0710.aspx?id=152507#Bil35.

Niss, M. A., & Højgaard Jensen, T. (2002). Kompetencer og matematiklæring: ideer og inspiration til

udvikling af matematikundervisning i Danmark. København, Danmark: Undervisningsministeriets

forlag. (Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie; Nr. 18). Pedemonte, B. (2007). How can the Relationship between Argumentation and Proof be

analyzed? Educational Studies in Mathematics, 66(1), 23-41.

Pedersen, J. S, & Marthinus, K. (2011). Matematisk bevissamling. København, Danmark:

Systime.

Toulmin, S. (1958). The Uses of Argument (1958). Cambridge, England: Cambridge

University Press.


14

Bilag

Bilag 1. Forslag til analyser af beviser

Vinkelsummen i en trekant

Pythagoras’ læresætning

B1: w+x+z=180° og B+z+x=180° B2: w+x+z=B+z+x B3: B=w B4: A=x og C=v B5: v+w+x=180° B6 (konklusion): A=x, B=w og C=v.

Vinkelsummen i en trekant er 180°, så A+B+C=180°.

H1: En ret linje spænder over 180° H2: a=a (to ens værdier er lige store) H3: a-a=0 (reduktion: to ens værdier trukket fra hinanden er 0). H4: Ensliggende vinkler H5: Se H1.

Hvis trekant ABC er retvinklet og C=90°, så er a2+b2=c2

B1: Sidelængden af et kvadrat er a+b B2: 4 kongruente trekanter dannes, hvor v1+v2=90° B3: Den inderste firkant er et kvadrat med arealet c2

B4: !! = (! + !)! − 4 ∗ !!∗ ! ∗ !

B5: !! = (!! + !! + 2 ∗ ! ∗ !) − 2 ∗ ! ∗ !

B6 (konklusion): !! = !! + !!

H2: Vinkelsummen i en trekant er 180° samt kongruensprincippet. H3: Kongruensprincippet, siderne i et kvadrat er lige lange, arealet af et kvadrat er s*s=s2. H4: Arealet af en trekant er A=½*g*h, arealet af et kvadrat er s*s=s2, ”hvis mængden x indeholder mængderne y og z og x=y+z, så må y=x-z, og z=x-y”. H5: Kvadratsætningen (! + !)! = !! + !! + 2 ∗ ! ∗ !, brøkregnereglen ! ∗ !

!= !∗!

!

H6: a-a=0 (reduktion: to ens værdier trukket fra hinanden er 0)


15

Bilag 2. Hverdagsargumenter (opgave til lektion 1):

1. Nogle elever bliver ufokuserede, fordi de er på Facebook i timen.

- Påstand:

- Belæg:

- Hjemmel:

2. Mikkel og Nanna har lige været til eksamen i mundtlig dansk, og de står nu

uden for eksaminationslokalet og taler sammen. Mikkel siger til Nanna: ”Du

får helt klart 12”. Nanna smiler lidt og spørger ham: ”Hvorfor, tror du det?”.

Mikkel svarer: ”Fordi du har forberedt dig i flere dage”.

- Påstand:

- Belæg:

- Hjemmel:

3. Hun råbte begejstret til ham: ”Du er da en sølle kriger, når en pige som mig,

kan ride fra dig”.

- Påstand:

- Belæg:

- Hjemmel:


16

Bilag 3. Bevis for vinkelsummen i en trekant (opgave til lektion 2): Det skal bevises, at vinkelsummen i trekant er 180°.

1. Gennem en af trekantens vinkelspidser, i dette tilfælde B, tegnes en linje der er parallel med

. Dernæst forlænges og gennem B. Derved dannes vinklerne m, u, v, w, x, z

2. Der gælder, at: og , da summen af de tre vinkler i

begge tilfælde spænder over en ret linje.

3. De to udtryk for vinkelsummer sættes lig hinanden:

4. Udtrykket reduceres:

5. Da vinklerne ∠! og x henholdsvis ∠! og v er ensliggende, gælder der:

og

6. Der gælder, at , da disse spænder over en ret linje.

7. Det konkluderes, at , da , og


17

Bilag 4. Bevis for Pythagoras’ læresætning (opgaven til lektion 2): Det skal bevises, at hvis trekant ABC er retvinklet og ∠! = 90°, så er !! + !! = !!.

1. Et kvadrat har sidelængderne a+b

2. Der markeres på hver side et punkt, der hvor a og b skiller. Derved opstår 4 kongruente

retvinklede trekanter med samme hypotenuse. Vinkelsummen i en trekant er 180°, og derfor

er v1 + v2 = 90 °. Dermed må den inderste firkant være et kvadrat med arealet c2.

3. Arealet af det inderste kvadrat må være det samme som arealet af det store kvadrat minus

arealet af de fire trekanter. Trekanternes areal bestemmes som halv højde gange grundlinje:

!! = ! + ! ! − 4 ∗ !!∗ ! ∗ !

4. Kvadratsætningen ! + ! ! = !! + !! + 2 ∗ ! ∗ ! anvendes på første led:

!! = !! + !! + 2 ∗ ! ∗ ! − 2 ∗ ! ∗ !


18

5. De to led går ud med hinanden, når parentesen ophæves:

!! = !! + !!

Bilag 5. Spørgsmål til lektion 3, formuleret ud fra KOM-rapporten I skal nu i grupper besvare nedenstående spørgsmål. I skal skrive nøjagtigt og alt, hvad der falder

jer ind. Skriv min. 10 linjer pr. spørgsmål.

1. Hvad er karakteristisk for matematikkens problemstillinger, tankegange og metoder?

2. Hvorfor beviser vi? Hvad bruges beviser til?

3. Hvordan oplever I et matematisk bevis i forhold til et hverdagsargument?

4. På hvilke måder adskiller matematikken sig som videnskab fra andre fag? (læg vægt på

sprogfag og fysik).

5. I har benyttet Toulmins model til at analysere både hverdagsargumenter og et matematisk

bevis – hvad synes I, var lettest? Hvorfor?

Bilag 6. Case I det følgende fremlægges data for to sammenlignelige grupper, der begge tilhørte det højeste

niveau, og som derfor begge arbejdede med beviset for Pythagoras’ læresætning. De to grupper

løste dog opgaven stillet i trin 2 meget forskelligt. Gruppe 1 lykkedes bedre med at indsætte

bevisinformationerne i Toulmins argumentationsmodel end gruppe 2. Dette kan der være flere

grunde til, dog var der to bemærkelsesværdige forskelle på de to gruppers arbejdsforløb:

1) Gruppe 1 var, i modsætning til gruppe 2, med det samme i stand til at identificere påstanden

(sætningen) i beviset.

2) Gruppe 1 gjorde, i modsætning til gruppe 2, ikke brug af regneeksempler da de skulle

kategorisere bevisinformationerne.

Gruppe 1:

Nedenfor gives et uddrag af en lydoptagelse fra gruppe 1. Her diskuterer de tre gruppemedlemmer,

hvorvidt bevisets punktinddeling skal opfattes som opgaver eller trin, samt hvad der er bevisets

hovedpåstand:

Anna: ”Jeg tror ikke, at det er opgaver. Det hele det beviser, hvorfor det dér gælder” (Anna peger

på c2=a2+b2).

Lotte: ”Det vil sige – vi skal sådan set sidde og finde ud af det… Som om det er løst…”


19

Anna: ”Det er løst. Det her er beviset. Det er også derfor, jeg tror, at dét her (Lotte peger igen på

c2=a2+b2) er påstanden”.

Selvom Lotte havde problemer med at acceptere, at punktopstillingen skulle forestille trin og ikke

opgaver, så nåede de til enighed om, at påstanden – defineret som det, der skulle bevises – var

c2=a2+b2. Da dette var på plads, gik de videre i beviset trin for trin, og kategoriserede

bevisinformationerne som vist på figuren (bemærk at de pga. tidsmangel ikke nåede gennem hele

beviset):

Det interessante, ved gruppe 1’s løsning på figuren, er, at

• de har medtaget definitionsmængden ”hvis ABC er retvinklet”. Dette kan betyde, at de har

en forståelse for, at Pythagoras læresætning er almengyldig inden for sin

definitionsmængde. De har dermed udvist en forståelse for princippet bag et ”generelt

lukket udsagn”.

• de har til en vis grad formået at skelne mellem informationsniveauerne, og der er til en vis

grad skelnet mellem bevisets definitioner som ”vinkelsummen i en trekant er (altid) 180°”

og specifikke antagelser for beviset som ”v1+v2=90°”.

Når det er sagt, er hjemlen ”trækker man arealet af alle trekanterne fra, får man arealet af

det inderste kvadrat” ikke af generel karakter, men den udtrykker dog et generelt princip

bag belægget ” !! = ! + ! ! − 4 ∗ !!!" ”, nemlig ”hvis mængden x indeholder

mængderne y og z og x=y+z, så må y=x-z, og z=x-y”. Gruppe 1 var altså i stand til at

identificere princippet, men ikke til at sætte dette ind i en generel kontekst.

• de har nummereret belæg og hjemler, således at de er ordnet i par. Dette viser en forståelse

for, at der til forskellige belæg kan høre forskellige hjemler.

Dog skal det nævnes, at de ikke var i stand til at eksplicere alle hjemlerne bag deres belæg.


20

Gruppe 2:

Nedenfor gives et uddrag af en lydoptagelse fra gruppe 2. De tre gruppemedlemmer diskuterer,

hvad der er bevisets påstand (sætning):

Kjeld: ”Påstanden er, at ’et kvadrat har sidelængderne a+b’”

Benny henvender sig til Egon: ”Det er da ikke påstanden her, vel?”

Egon: ”Altså det (et kvadrat har sidelængderne a+b) er jo noget man påstår…”

Benny: ”…jamen, påstanden er jo det, der skal bevises? Der er jo ikke så meget at bevise haha – a

og b, a og b, a og b, a og b…

Kjeld: ”Jamen før havde vi jo påstanden ’Jeg er sulten’, nu er det ’et kvadrat har sidelængderne

a+b’”

Kjeld og Egon har altså svært ved at abstraher fra øvelsen i 1. lektion, og de opfatter ikke påstanden

i beviset som ”det der skal bevises”, men som en konstatering på lige fod med konstateringen ”jeg

er sulten”. Fordi de tre gruppemedlemmer havde svært ved at skelne mellem definitionerne af

begreberne påstand, belæg og hjemmel i henholdsvis et matematisk bevis og et hverdagsargument,

var de lang tid om at identificere bevisets påstand defineret som ”dét der skal bevises”, og i den

forbindelse forsøgte Egon at få et overblik over bevisets informationer vha. et regneeksempel:

Egon indsætter tal i Pythagoras’læresætning: ”Det kan ikke helt passe det her hva’? Jeg lavede bare

sådan en ’for sjov eksempel’”.

Benny: ”Må jeg se?”

Egon: ”Hvis vi nu siger, at a=5”.

Benny: ”5*5=25”

Egon antager at b=10: ”10*10=100, er c2 så ikke 125?”

Jeg spørger Egon: ”Hvorfor har du valgt at indsætte tal i udtrykket?”

Egon: ”Det ved jeg ikke… Det giver bare mening…”

Formålet med at benytte sig af et regneeksempel står altså ikke helt klart for Egon, men han

fornemmer at ”det giver mening”. Dette kan tyde på, at han har svært ved at forstå symbolsproget i

beviset, og derfor forsøger at oversætte de for ham utydelige symboler til tydelige symboler, nemlig

tal. I så fald viser det, at hans symbol- og formalismekompetence er underudviklet og dermed bliver

en barriere for ham.

Det er legalt at benytte sig af regneeksempler i matematematisk bevisførelse, så længe eksemplerne

ikke bliver en del af det endelige bevis, som skal være almengyldigt. Egon, Benny og Kjeld indsatte

ikke regneeksemplet i Toulmins argumentationsmodel, og det er derfor ikke muligt at afvise en


21

forståelse af princippet om almengyldighed og et lukket udsagn. Dog er det interessant, at de efter

regneeksemplet fik endnu sværere ved at kategorisere bevisinformationerne. Gruppen endte med at

finde ét belæg, men kunne ikke identificere hjemlerne bag dette.

Med andre ord, kan det altså betyde, at det regneeksempel, der skulle være meningsgivende,

resulterede i yderligere forvirring. Det kan skyldes, at de gjorde brug af to former for symbolsprog

(algebra og tal), men også at gruppe 2 generelt kan have en mindre udviklet

ræsonnementskompetence og tankegangskompetence end gruppe 1, der, for det første, kom længere

i opgavebesvarelsen og, for det andet, ikke gjorde brug af regneeksempler. Dette bevidner desuden

om, at Niss’ (2002) beskrevne kompetencer er tæt forbundet. Gruppe 1 var bedre til at gennemskue

bevisets algebraiske symbolsprog (symbol- og formalismekompetencen), og gruppen kunne derfor

bedre følge beviset (ræsonnementskompetencen), og gruppen lykkedes derfor med at identificere og

skelne mellem bevisinformationerne (tankegangskompetencen).

Bilag 7. Budget

Pilotforsøg A4 sort/hvid = 1,50kr. A4 farve = 4,50kr 21 kopiark med beviser (m. farve pga. figurer): 7 kopiark med Toulmins model (u. farve) 7 kopiark med hverdagsargumenter (u. farve) 7 kopiark med spørgsmål fra KOM-rapport

A4 farveprint 4,50 kr. * 21 94,50 kr. A4 sort/hvidprint 1,50 kr. * 21 31,50 kr. 2 digitale diktafoner Ca. 600 kr. * 2 1200,00 kr. I alt 1326,00 kr.

Documents

Projekt forskerspirer 2014 Ræsonnement i og uden for det ...Clara Guttman Andersen Vordingborg Gymnasium & HF Oktober 2014 ! 6 Bevisskemaer Harel og Sowder (2007) kategoriserer elevers