Projekt z Rachunku Prawdopodobieństwa MAEW00104

MAP1064

Gabriel Szuter, 170877Wydział Elektroniki

Kierunek Teleinformatyka

Temat: Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych.

Metoda Monte Carlo liczenia całek podwójnych:

Całkę

D

n

kkk yxf

n

abdxdyyxf

1

2

),()(

),(

przy czym przyjmujemy 0 dla punktów leżących poza D.),( kk yxf

D

dxdyyxf ),( gdzie D to obszar zamknięty w kwadracie

[a,b] x [a,b] obliczamy w następujący sposób:

• Losujemy niezależnie liczby u1, u2, … , un oraz v1, v2, … , vn z rozkładu jednostajnego U[0, 1];

• Przekształcamy xk= a + (b - a)uk i yk= a + (b - a)vk dla k = 1, 2, . . . , n;

• Jako przybliżoną wartość całki przyjmujemy:

Zajmijmy się teraz kolejno różnymi funkcjami:

1) Niech D będzie kwadratem [0,2] x [0,2], natomiast

xyyxf ),(

Policzmy dokładną wartość całki:

2

0

2

0

22

0

2

0

22

0

2

0

42

222

x

x

y

y

xxdxdx

yxxydydx

Wylosowane liczby będziemy przeliczać następująco:

xk=2uk yk=2vk

Nasza całka przyjmie postać:

D

n

kkk yxf

ndxdyyxf

1

),(4

),(

Policzmy wartości całki dla różnych rzędów n

• Dla n=100:

• Dla n=1000:

• Dla n=3000:

D

dxdyyxf 375,43832,109100

4),(

D

dxdyyxf 964,3991,04371000

4),(

D

dxdyyxf 993,32994,6843000

4),(

Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:

Wartość całki Błąd bezwzględny

Wartość prawdziwa

4 0

n=100 4,375 0,375

n=1000 3,964 0,036

n=3000 3,993 0,007

Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach:

0

5

10

15

20

25

30

35

<3,5 3.6-3.7

3.8-3.9

4.0-4.1

4.2-4.3

4.4-4.5

0

10

20

30

40

50

60

70

<3,5 3.6-3.7

3.8-3.9

4.0-4.1

4.2-4.3

4.4-4.5

0102030405060708090

<3,5 3.6-3.7

3.8-3.9

4.0-4.1

4.2-4.3

4.4-4.5

n=100

n=1000

n=3000

3

3,2

3,4

3,6

3,8

4

4,2

4,4

4,6

4,8

5

0 50 100 150 200 250

3

3,2

3,4

3,6

3,8

4

4,2

4,4

4,6

4,8

5

0 50 100 150 200 250

3

3,2

3,4

3,6

3,8

4

4,2

4,4

4,6

4,8

5

0 50 100 150 200 250

Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:

Przybliżenie całki

WartośćBłąd

bezwzględnyBłąd względny

n=100

Minimalna wartość

3,254 0,746 18,65%

Maksymalna wartość

4,826 0,826 20,65%

n=1000

Minimalna wartość

3,72 0,28 7%

Maksymalna wartość

4,345 0,345 8,63%

n=3000

Minimalna wartość

3,815 0,185 4,63%

Maksymalna wartość

4,228 0,228 5,7%

2) Teraz niech obszar będzie ograniczony krzywymi:

2)1( xy 1xy 3 xy

Funkcją niech pozostanie:

xyyxf ),(

Policzmy dokładną wartość całki:

133,2120

256

120

173

120

83

43

2

4

5

5

4

6

144

3

82

4

165

5

324

6

642

4

5

5

4

6

1

2

1

43

2

4

5

5

4

62

4

5

5

4

62

1

)8254()654(2

1

)]1464(69[2

1

)]1464(12[2

1

2

)1(

2

)3(

2

)1(

2

)1(

22

2

1

234561

0

3456

1

0

2

1

234234

2

1

2342

1

0

2342

2

1

421

0

42

2

1

3

)1(

21

0

1

)1(

2

1

3

)1(

1

0

1

)1(

2

22 2 2

x

x

x

x

xy

xy

x

x

x

x

xy

xy

xxxxx

xxxx

dxxxxxxdxxxxxx

dxxxxxxxx

dxxxxxxxx

dxxx

xdxxx

x

dxy

xdxy

xxydydxxydydx

Policzmy wartości całki dla różnych n:

• Dla n=100:

• Dla n=1000:

• Dla n=3000:

D

dxdyyxf 074,25422,5181000

4),(

D

dxdyyxf 317,29316,57100

4),(

D

dxdyyxf 148,2314,16113000

4),(

Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:

Wartość całki Błąd bezwzględny

Wartość prawdziwa

2,133 0

n=100 2,317 0,184

n=1000 2,074 0,059

n=3000 2,148 0,015

Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach:

0

5

10

15

20

25

30

35

<1,6 1,7-1,8

1,9-2,0

2,1-2,2

2,3-2,4

2,5-2,6

0

20

40

60

80

100

<1,6 1,7-1,8

1,9-2,0

2,1-2,2

2,3-2,4

2,5-2,6

0

20

40

60

80

100

120

140

<1,6 1,7-1,8

1,9-2,0

2,1-2,2

2,3-2,4

2,5-2,6

n=100

n=1000

n=3000

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

0 50 100 150 200 250

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

0 50 100 150 200 250

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

0 50 100 150 200 250

Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:

Przybliżenie całki

WartośćBłąd

bezwzględnyBłąd względny

n=100

Minimalna wartość

1,327 0,806 37,79%

Maksymalna wartość

2,923 0,79 37,04%

n=1000

Minimalna wartość

1,961 0,172 8,06%

Maksymalna wartość

2,337 0,204 9,56%

n=3000

Minimalna wartość

1,938 0,195 9,14%

Maksymalna wartość

2,227 0,094 4,41%

3) Nasz obszar umieśćmy w kwadracie: [2,5] x [2,5]

Niech będzie on ograniczony prostymi:

Nasza funkcja będzie miała postać: yxyxf ),(

y = 3 , y = (0,5x - 2)2 + 2 , y = (x - 4)3 + 2

Policzmy dokładną wartość całki:

029,13...22

)()(

4

2

5

4

3

2)4(

23

222

1

2

3

222

1

3

2)4(

5

4

4

2

32

2 3

dxy

xydxy

xy

dyyxdxdyyxdx

y

xy

y

xy

xx

Policzmy wartości całki dla różnych n:

• Dla n=100:

• Dla n=1000:

• Dla n=3000:

D

dxdyyxf 518,143058,161100

9),(

D

dxdyyxf 679,1279,14081000

9),(

D

dxdyyxf 022,13608,43403000

9),(

D

n

kkk yxf

ndxdyyxf

1

),(9

),(kk ux 32 kk vy 32

Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:

Wartość całki Błąd bezwzględny

Wartość prawdziwa

13,029 0

n=100 14,518 1,489

n=1000 12,679 0,35

n=3000 13,022 0,007

Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach:

0

5

10

15

20

25

<9 9,8-10,6

11,2-12

12,8-13,6

14,4-15,2

16-16,8

0

10

2030

4050

6070

80

<9 9,8-10,6

11,2-12

12,8-13,6

14,4-15,2

16-16,8

0

20

40

60

80

100

120

140

<9 9,8-10,6

11,2-12

12,8-13,6

14,4-15,2

16-16,8

n=100

n=1000

n=3000

7

9

11

13

15

17

19

21

0 50 100 150 200 250

7

9

11

13

15

17

19

21

0 50 100 150 200 250

7

9

11

13

15

17

19

21

0 50 100 150 200 250

Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:

Przybliżenie całki

WartośćBłąd

bezwzględnyBłąd względny

n=100

Minimalna wartość

7,169 5,86 44,98%

Maksymalna wartość

20,149 7,12 54,65%

n=1000

Minimalna wartość

10,732 2,297 17,63%

Maksymalna wartość

15,038 2,009 15,42%

n=3000

Minimalna wartość

11,906 1,123 8,62%

Maksymalna wartość

14,123 1,094 8,4%

4) Niech obszar znajduje się w kwadracie: [2,6] x [2,6]Zamknijmy go prostymi:

4)2sin( xy6)4( 2 xy

Funkcją pozostanie: yxyxf ),(

Policzmy dokładną wartość całki:

6)4(4)2sin( 2 xx

Znajdźmy punkty przecięcia się prostych zamykających obszar:

x=2,272 lub x=5,707

707,5

727,2

)4(6

4)2sin(

2707,5

272,2

)4(6

4)2sin(

629,32...2

)(

22

dxy

xydyyxdxxy

xy

x

x

Policzmy wartości całki dla różnych n:

• Dla n=100:

• Dla n=1000:

• Dla n=3000:

D

dxdyyxf 273,31588,19541000

16),(

D

dxdyyxf 407,35221,297100

16),(

D

dxdyyxf 539,32056,61013000

16),(

kk ux 42 kk vy 42

D

n

kkk yxf

ndxdyyxf

1

),(16

),(

Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli:

Wartość całki Błąd bezwzględny

Wartość prawdziwa

32,629 0

n=100 35,407 2,778

n=1000 31,273 1,356

n=3000 32,539 0,09

Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach:

0

10

20

30

40

50

60

70

<28 29-30

31-32

33-34

35-36

37-38

0

10

20

30

40

50

<28 29-30

31-32

33-34

35-36

37-38

0

10

20

30

40

50

<28 28-29

29-30

30-31

31-32

32-33

33-34

34-35

35-36

36-37

37-38

>38

n=100

n=1000

n=3000

18

23

28

33

38

43

48

0 50 100 150 200 250

18

23

28

33

38

43

48

0 50 100 150 200 250

18

23

28

33

38

43

48

0 50 100 150 200 250

Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu:

Przybliżenie całki

WartośćBłąd

bezwzględnyBłąd względny

n=100

Minimalna wartość

18,659 13,97 42,81%

Maksymalna wartość

49,338 16,709 51,21%

n=1000

Minimalna wartość

28,701 3,928 12,04%

Maksymalna wartość

38,533 5,904 18,09%

n=3000

Minimalna wartość

29,26 3,369 10,33%

Maksymalna wartość

35,603 2,974 9,11%

Wnioski:

• Widzimy, iż wraz ze wzrostem ilości losowanych liczb błąd przybliżenia maleje;

• Przy n=3000 we wszystkich przypadkach

zostało uzyskane zadowalające przybliżenie;

• Im mniejszą część kwadratu zajmuje badany obszar, tym bardziej błąd przybliżenia rośnie.

Do obliczeń, a także rysowania wykresów użyto

następujących aplikacji:

• MS Excel

• Derive 6

Obszary całkowania i funkcje podcałkowe na podstawie własnej wyobraźni