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projeto pontes
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1
ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO
PEF - DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS E FUNDAES
P E F - 240 4 : P o n t es e G ran d e s E s t ru t u ras
Professor: Fernando Stucchi
PROJETO
DE
PONTES
2
NDICE 1. Caractersticas dos componentes 1.1 Longarina 03 1.2 Transversina 05 1.3 Guarda-Rodas06 1.4 Pavimento 07 1.5 Laje 07 1.6 Conjunto Longarina + Laje 08 2. Carregamentos 2.1 Longarina Extrema 10 2.2 Longarina Intermediaria 15 2.3 Longarina Central 23 2.4 Resumo dos Resultados 28 3. Linhas de Influncia 3.1 Reaes de Apoio 30 3.2 Momento Fletor 30 3.3 Fora Cortante 33 4. Esforos Solicitantes 4.1 Longarina Extrema 37 4.2 Longarina Intermediaria 46 4.3 Longarina Central 55 4.4 Resumo dos Resultados 44 5. Envoltrias 4.1 Longarina Extrema 64 4.2 Longarina Intermediaria 66 4.3 Longarina Central 68 6. Protenso 6.1 Longarina Extrema 70 6.1.1 Determinao da protenso necessria 70 6.1.2 Detalhe do Lanamento dos Cabos 73 6.1.3 Perdas Imediatas 75 6.1.4 Perdas Lentas 79 6.1.5 Perdas Totais 81 6.1.6 Verificao do ELU 81 6.2 Longarina Intermediaria 83 6.2.1 Determinao da protenso necessria 83 6.2.2 Detalhe do Lanamento dos Cabos 86 6.2.3 Perdas Imediatas 88 6.2.4 Perdas Lentas 92 6.2.5 Perdas Totais 94 6.2.6 Verificao do ELU 94 6.3 Longarina Central 96 6.3.1 Determinao da protenso necessria 96 6.3.2 Detalhe do Lanamento dos Cabos 99 6.3.3 Perdas Imediatas 101 6.3.4 Perdas Lentas 105 6.3.5 Perdas Totais 107 6.3.6 Verificao do ELU 107
3
1. CARACTERSTICAS DOS COMPONENTES 1.1. LONGARINA
Clculo da rea da longarina:
2
6565
4343
22
11
m056,0AA2
50,1075,0AA
m015,0AA2
375,008,0AA
m036,0A08,045,0A
m144,0A12,020,1A
m45,0A50,130,0A 77
ATOTAL = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7
ATOTAL = 0,144 + 0,036 + 2 x 0,015 + 2 x 0,056 + 0,45
ATOTAL = 0,77 m
Clculo do volume por metro de comprimento da longarina:
V = ATOTAL x L
V = 0,77 x 1
V = 0,77 m
Clculo do peso por metro de comprimento da longarina:
P = V x c P = 0,77 x 25
P = 19,25 KN/m
Determinao do centro de gravidade da longarina:
7654321
77665544332211
AAAAAAA
AyAyAyAyAyAyAyy
4
45,0056,0056,0015,0015,0036,0144,0
45,075,0056,01056,01015,0553,1015,0553,1036,054,1144,064,1y
y = 1,02 m
Determinao do momento de inrcia das sees divididas em relao ao centro de
gravidade da longarina:
23
2
1CG1 02,164,1*12,020,112
12,020,1dAII
I1 = 0,0555 m
4
23
2
2CG2 02,154,1*08,045,012
08,045,0dAII
I2 = 0,0097536 m
4
23
2
4CG43 02,1553,1*2
08,0375,0
36
08,0375,0dAIII
I3=I4= 0,00427 m
4
23
2
6CG65 0,102,1*2
5,1075,0
36
5,1075,0dAIII
I5 = I6 = 0,0071 m
4
23
2
7CG7 75,002,1*5,130,012
5,130,0dAII
I7 = 0,1172
Portanto, o momento de inrcia da longarina em relao ao centro de gravidade :
I = I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 + I7
I = 0,0555 + 0,0097536 + 0,00427 + 0,00427 + 0,0071 + 0,0071 + 0,1172
I = 0,205 m4
Determinao dos mdulos de resistncia flexo da longarina:
Modulo resistente superior
ys = 1,70 1,02 ys = 0,68 m
68,0
205,0
y
IW
s
s Ws = 0,301 m
Mdulo resistente inferior
yi = 1,02 m
02,1
205,0
y
IW
I
i Wi = 0,201 m
Determinao das distncias nucleares da longarina:
Distncia nuclear superior
77,0
301,0
A
WK ss Ks = 0,391 m
Distncia nuclear inferior
77,0
201,0
A
WK ii Ki = 0,261 m
5
1.2. TRANSVERSINA
Clculo da rea da transversina entre duas longarinas:
m14,0A12,020,1A
m13,0A2
08,02,195,1A
m62,2A2
3,195,108,2A
33
22
11
ATOTAL = A1 + A2 + A3 ATOTAL = 2,62 + 0,13 + 0,14
ATOTAL = 2,89 m
Clculo do volume da transversina entre duas longarinas:
V = ATOTAL x e
V = 2,89 x 0,25
V = 0,72 m
Clculo do peso total da transversina:
P = 4 trechos x V x c P = 4 x 0,72 x 25
P = 72,0 KN
Peso que ser descarregado em cada longarina:
n
PP TOTALi
onde:
Pi peso da transversina na longarina em estudo n nmero de longarinas
5
72Pi
P = 14,4 KN
NOTA: Considera-se que o peso da transversina se distribuir igualmente entre todas as longarinas.
6
1.3. GUARDA-RODAS
Clculo da rea do guarda-rodas:
025,02
25,020,0
0625,025.025.0
068,015,045,0
33
22
11
mAA
mAA
mAA
0125,0
2
50,005,0
10,050,020,0
35
44
mAA
mAA
ATOTAL = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 ATOTAL = 0,068 + 0,0625 + 0,025 + 0,10 + 0,0125
ATOTAL = 0,2675 m
Clculo do volume por metro de comprimento do guarda-rodas:
V = ATOTAL x L
V = 0,2675 x 1
V = 0,2675 m
Clculo do peso por metro de comprimento do guarda-rodas:
P = V x c P = 0,2675 x 25
P = 6,69 KN/m
Determinao do centro de gravidade:
54321
5544332211
AAAAA
AxAxAxAxAxx
2
50,005,050,020,0
2
25,020,025,025,015,045,0
2
50,005,0217,050,020,010,0
2
25,020,0267,025,025,0
2
25,015,045,0
2
45,0
x
x = 0,158m
7
54321
5544332211
AAAAA
AyAyAyAyAyy
2
50,005,050,020,0
2
25,020,025,025,015,045,0
2
50,005,0567,050,020,065,0
2
25,020,0233,025,025,0275,015,045,0
2
15,0
y
y = 0,374m
1.4. PAVIMENTO
Clculo do peso por metro quadrado de pavimento:
p = espessura x P p = 0,10 x 24
p = 2,4 KN/m
1.5. LAJE
Clculo da rea da laje sobre a longarina:
A = 2,40 x 0,20 A = 0,48 m
Clculo do volume da laje por metro de
comprimento:
V = ATOTAL x L
V = 0,48 x 1
V = 0,48 m
Clculo do peso da laje sobre a longarina por metro de comprimento:
P = V x c P = 0,48 x 25
P = 12 KN/m
8
1.6. CONJUNTO LONGARINA + LAJE
Os trs tipos de longarinas (extremas, intermedirias e centrais) so idnticas.
Clculo da rea do conjunto:
A1 = 0,77 m (j calculado no item 1.1)
A2 = 0,48 m (j calculado no item 1.5)
ATOTAL = A1 + A2 ATOTAL = 0,77 + 0,48
ATOTAL = 1,25 m
Clculo do volume por metro de comprimento do conjunto:
V = ATOTAL x L
V = 1,25 x 1
V = 1,25 m
Clculo do peso por metro de comprimento do conjunto:
P = V x c P = 1,25 x 25
P = 31,25 KN/m
Determinao do centro de gravidade do conjunto:
21
2211
AA
AyAyy
48,077,0
48,080,177,002,1y
y = 1,32 m
9
Determinao do momento de inrcia das sees divididas em relao ao centro de
gravidade do conjunto:
221CG1 02,132,1*77,0205,0dAII I1 = 0,274 m4
23
2
2CG2 32,180,1*48,012
20,040,2dAII
I2 = 0,112 m
4
Portanto, o momento de inrcia do conjunto em relao ao centro de gravidade :
I = I1 + I2
I = 0,274 + 0,112
I = 0,386 m4
Determinao dos mdulos de resistncia flexo do conjunto:
Modulo resistente superior
ys = 1,90 1,32 ys = 0,58 m
58,0
386,0
y
IW
s
s Ws = 0,666 m
Mdulo resistente inferior
yi = 1,32 m
32,1
386,0
y
IW
i
i Wi = 0,292 m
Determinao das distncias nucleares do conjunto:
Distncia nuclear superior
25,1
666,0
A
WK ss Ks = 0,533 m
Distncia nuclear inferior
25,1
292,0
A
WK ii Ki = 0,233 m
10
2. CARREGAMENTOS
2.1. LONGARINA EXTREMA
2.1.1. CARGAS PERMANENTES
g1 carga permanente devido ao peso prprio do conjunto (longarina + laje)
g1 = 31,25 KN/m
g2 carga permanente devido ao peso prprio da transversina
g2 = 14,4 KN/m
g3 carga permanente devido ao peso prprio do pavimento
g3 = 2,4 KN/m
g4 carga permanente devido ao peso prprio do guarda rodas
g4 = 6,69 KN/m
As cargas g3 e g4 so aplicadas aps a construo da grelha, portanto deve ser
considerado o efeito grelha na sua distribuio.
Devido simetria transversal, o centro elstico est no centro da obra.
onde:
ei posio da longarina em estudo em relao ao centro elstico (m); ej posio da carga em relao ao centro elstico (m); rij parcela da carga unitria aplicado em ej que vai para a longarina i em estudo; n nmero de longarinas.
Quando as longarinas so iguais:
2
i
ji
ije
ee
n
1r
Para a longarina extrema:
2222
j
j18,44,204,28,4
e8,4
5
1r
11
r1j = 0,2 0,083 x ej Para a variao da posio da carga ej, tem-se os seguintes valores:
ej r1j
- 6,0 0,698
- 4,8 0,5984
- 2,4 0,3992
0 0,2
2,4 0,0008
4,8 - 0,1984
6,0 - 0,298
A posio da carga que no provoca reao na longarina extrema :
r1j = 0,2 0,083 x ej 0 = 0,2 0,083 x ej
ej = 2,41 m
Graficamente, tem-se:
g5 carga que recebe a longarina devido g3 e g4
12
g5 = g4 x [r1(-6,0 + 0,158) + r1 (6,0 0,158)] + g3 x Ar1j
2
2561,059,3
2
6608,096,74,2285,0685,069,6g5
g5 = 2,68 + 5,21
g5 = 7,89 KN/m
O carregamento permanente distribudo total :
gper = g1 + g5
gper = 31,25 + 7,89
gper = 39,14 KN/m
ESQUEMA LONGITUDINAL DAS CARGAS PERMANENTES
13
2.1.2. TREM TIPO
Clculo do fator de impacto:
= 1,4 0,007 x l
= 1,4 0,007 x 30,00
= 1,19
O grfico do coeficiente de repartio :
TREM TIPO POSITIVO
SEO NO EIXO DO VECULO
SEO FORA DO VECULO
14
TREM TIPO NEGATIVO
SEO NO EIXO DO VECULO
SEO FORA DO VECULO
As cargas geradas pelo trem tipo positivo na longarina extrema so:
Q carga das rodas na longarina em estudo
Q = 75 x x [ r1(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r1(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (0,6399 + 0,4739)
Q = 99,41 KN
q1 carregamento distribudo da seo do eixo do veculo na longarina em estudo
2
21,5)50,00,225,045,00,6(r5q 11
2
21,54324,019,15q1
q1 = 6,70 KN/m
q2 carregamento distribudo da seo fora do veculo na longarina em estudo
2
96,7)45,00,6(r5q 12
2
96,76607,019,15q 2
q2 = 15,65 KN/m
15
TREM TIPO POSITIVO
As cargas geradas pelo trem tipo negativo na longarina extrema so:
Q carga das rodas na longarina em estudo
Q = 75 x x [ r1(6,0 0,45 0,25) + r1(6,0 0,45 0,25 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (- 0,2399 - 0,0739)
Q = - 28,00 KN
q1 carregamento distribudo da seo do veculo na longarina em estudo
2
39,0)50,00,225,045,00,6(r5q 11
2
39,0)0324,0(19,15q1
q1 = - 0,038 KN/m
q2 carregamento distribudo da seo fora do veculo na longarina em estudo
2
14,3)45,00,6(r5q 12
2
14,3)26,0(19,15q 2
q2 = - 2,43 KN/m
TREM TIPO NEGATIVO
Quando o vo for maior ou igual a 30m, permite-se o uso do trem tipo homogeneizado
que corresponde ao TT-45 com a carga distribuda de 5KN/m tambm sobre o veculo,
subtraindo-se das rodas o acrscimo de carga correspondente, ou seja:
Novo valor da carga na roda:
KN606
)536(75
n
cA75 VEIC
onde:
c carga sobre o veculo n nmero de rodas
Portanto, os novos valores das cargas que atuam na longarina sero de:
16
Trem-Tipo Positivo:
Q = 60 x x [ r1(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r1(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 60 x 1,19 x (0,6399 + 0,4739)
Q = 79,53 KN
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
Trem-Tipo Negativo:
Q = 60 x x [ r1(6,0 0,45 0,25) + r1(6,0 0,45 0,25 2,0)] Q = 60 x 1,19 x (- 0,2399 - 0,0739)
Q = - 22,40 KN
TREM TIPO NEGATIVO HOMOGENEIZADO
17
2.2. LONGARINA INTERMEDIRIA
2.2.1. CARGAS PERMANENTES
g1 carga permanente devido ao peso prprio do conjunto (longarina + laje)
g1 = 31,25 KN/m
g2 carga permanente devido ao peso prprio da transversina
g2 = 14,4 KN/m
g3 carga permanente devido ao peso prprio do pavimento
g3 = 2,4 KN/m
g4 carga permanente devido ao peso prprio do guarda rodas
g4 = 6,69 KN/m
As cargas g3 e g4 so aplicadas aps a construo da grelha, portanto deve ser
considerado o efeito grelha na sua distribuio.
Devido simetria transversal, o centro elstico est no centro da obra.
onde:
ei posio da longarina em estudo em relao ao centro elstico (m); ej posio da carga em relao ao centro elstico (m); rij parcela da carga unitria aplicado em ej que vai para a longarina i em estudo; n nmero de longarinas.
Quando as longarinas so iguais:
2
i
ji
ije
ee
n
1r
Para a longarina intermediria:
2222
j
j28,44,204,28,4
e4,2
5
1r
r2j = 0,2 0,0417 x ej
18
Para a variao da posio da carga ej, tem-se os seguintes valores:
ej r2j
- 6,0 0,4502
- 4,8 0,4002
- 2,4 0,3001
0 0,2
2,4 0,0999
4,8 - 0,0002
6,0 - 0,0502
A posio da carga que no provoca reao na longarina intermediria :
r2j = 0,2 0,0417 x ej 0 = 0,2 0,0417 x ej
ej = 4,80 m
Graficamente, tem-se:
g5 carga que recebe a longarina devido g3 e g4
19
g5 = g4 x [r2(-6,0 + 0,158) + r2 (6,0 0,158)] + g3 x Ar2j
2
314,075,0
2
4314,035,104,20436,04436,069,6g 5
g5 = 2,68+ 5,64
g5 = 8,32 KN/m
O carregamento permanente distribudo total :
gper = g1 + g5
gper = 31,25 + 8,32
gper = 39,57 KN/m
ESQUEMA LONGITUDINAL DAS CARGAS PERMANENTES
2.2.2. TREM TIPO
Clculo do fator de impacto:
= 1,4 0,007 x l
= 1,4 0,007 x 30,00
= 1,19
O grfico do coeficiente de repartio :
20
TREM TIPO POSITIVO
SEO NO EIXO DO VECULO
SEO FORA DO VECULO
TREM TIPO NEGATIVO
SEO NO EIXO DO VECULO
SEO FORA DO VECULO
21
As cargas geradas pelo trem tipo positivo na longarina intermediria so:
Q carga das rodas na longarina em estudo
Q = 75 x x [ r2(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r2(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (0,421 + 0,338)
Q = 67,74 KN
q1 carregamento distribudo da seo do eixo do veculo na longarina em estudo
2
00,8)50,00,225,045,00,6(r5q 21
2
00,8317,019,15q1
q1 = 7,54 KN/m
q2 carregamento distribudo da seo fora do veculo na longarina em estudo
2
35,10)45,00,6(r5q 12
2
35,10431,019,15q 2
q2 = 13,27 KN/m
TREM TIPO POSITIVO
As cargas geradas pelo trem tipo negativo na longarina intermediria so:
Q carga das rodas na longarina em estudo
Q = 75 x x [ r1(6,0 0,45 0,25) + r1(6,0 0,45 0,25 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (- 0,021 + 0,062)
Q = + 3,66 KN
Obs: O valor encontrado ser desprezado porque resultou positivo.
q1 carregamento distribudo da seo do veculo na longarina em estudo Obs: O carregamento q1 no existe, porque o eixo do veculo j est do lado positivo, sendo assim
na seo do eixo do veculo no sobra lugar para o carregamento distribudo.
q2 carregamento distribudo da seo fora do veculo na longarina em estudo
22
2
75,0)45,00,6(r5q 12
2
75,0)031,0(19,15q 2
q2 = - 0,07 KN/m
TREM TIPO NEGATIVO
Quando o vo for maior ou igual a 30m, permite-se o uso do trem tipo homogeneizado
que corresponde ao TT-45 com a carga distribuda de 5KN/m tambm sobre o veculo,
subtraindo-se das rodas o acrscimo de carga correspondente, ou seja:
Novo valor da carga na roda:
KN606
)536(75
n
cA75 VEIC
onde:
c carga sobre o veculo n nmero de rodas
Portanto, os novos valores das cargas que atuam na longarina sero de:
Trem-Tipo Positivo:
Q = 60 x x [ r1(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r1(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 60 x 1,19 x (0,421 + 0,338)
Q = 54,19 KN
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
Trem-Tipo Negativo:
Como as cargas das rodas resultaram em um valor positivo e esse valor foi
desprezado, no existe nenhuma reduo a ser feita na carga de rodas e o trem tipo
negativo homogeneizado igual ao carregamento da seo fora do veculo.
TREM TIPO NEGATIVO HOMOGENEIZADO
23
2.3. LONGARINA CENTRAL
2.3.1. CARGAS PERMANENTES
g1 carga permanente devido ao peso prprio do conjunto (longarina + laje)
g1 = 31,25 KN/m
g2 carga permanente devido ao peso prprio da transversina
g2 = 14,4 KN/m
g3 carga permanente devido ao peso prprio do pavimento
g3 = 2,4 KN/m
g4 carga permanente devido ao peso prprio do guarda rodas
g4 = 6,69 KN/m
As cargas g3 e g4 so aplicadas aps a construo da grelha, portanto deve ser
considerado o efeito grelha na sua distribuio.
Devido simetria transversal, o centro elstico est no centro da obra.
onde:
ei posio da longarina em estudo em relao ao centro elstico (m); ej posio da carga em relao ao centro elstico (m); rij parcela da carga unitria aplicado em ej que vai para a longarina i em estudo; n nmero de longarinas.
Quando as longarinas so iguais:
2
i
ji
ije
ee
n
1r
Para a longarina c entr:
2222
j
j38,44,204,28,4
e0
5
1r
r3j = 0,2
24
Para a variao da posio da carga ej, tem-se sempre os mesmos valores:
ej r3j
- 6,0 0,2
- 4,8 0,2
- 2,4 0,2
0 0,2
2,4 0,2
4,8 0,2
6,0 0,2
Graficamente, tem-se:
g5 carga que recebe a longarina devido g3 e g4
g5 = g4 x [r3(-6,0 + 0,158) + r3 (6,0 0,158)] + g3 x Ar3j
2,010,114,22,02,069,6g5
g5 = 2,68 + 5,33
g5 = 8,01 KN/m
O carregamento permanente distribudo total :
gper = g1 + g5
gper = 31,25 + 8,01
gper = 39,26 KN/m
25
ESQUEMA LONGITUDINAL DAS CARGAS PERMANENTES
2.3.2. TREM TIPO
Clculo do fator de impacto:
= 1,4 0,007 x l
= 1,4 0,007 x 30,00
= 1,19
O grfico do coeficiente de repartio :
TREM TIPO POSITIVO
SEO NO EIXO DO VECULO
26
SEO FORA DO VECULO
TREM TIPO NEGATIVO
No existe o trem tipo negativo. No h coeficiente de repartio negativo.
As cargas geradas pelo trem tipo positivo na longarina central so:
Q carga das rodas na longarina em estudo
Q = 75 x x ( r3 + r3 ) Q = 75 x 1,19 x (0,2 + 0,2)
Q = 35,70 KN
q1 carregamento distribudo da seo do eixo do veculo na longarina em estudo
35,8r5q 31
35,82,019,15q1
q1 = 9,94 KN/m
q2 carregamento distribudo da seo fora do veculo na longarina em estudo
10,11r5q 32
10,112,019,15q2
q2 = 13,21 KN/m
TREM TIPO POSITIVO
Quando o vo for maior ou igual a 30m, permite-se o uso do trem tipo homogeneizado
que corresponde ao TT-45 com a carga distribuda de 5KN/m tambm sobre o veculo,
subtraindo-se das rodas o acrscimo de carga correspondente, ou seja:
Novo valor da carga na roda:
KN606
)536(75
n
cA75 VEIC
27
onde:
c carga sobre o veculo n nmero de rodas
Portanto, os novos valores das cargas que atuam na longarina sero de:
Trem-Tipo Positivo:
Q = 60 x x ( r3 + r3 ) Q = 60 x 1,19 x (0,2 + 0,2)
Q = 28,56 KN
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
28
2.4. RESUMO DOS RESULTADOS
2.4.1. LONGARINA EXTREMA
CARREGAMENTO PERMANENTE
TREM TIPO
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
TREM TIPO NEGATIVO HOMOGENEIZADO
2.4.2. LONGARINA INTERMEDIRIA
CARREGAMENTO PERMANENTE
TREM TIPO
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
29
TREM TIPO NEGATIVO HOMOGENEIZADO
2.4.3. LONGARINA CENTRAL
CARREGAMENTO PERMANENTE
TREM TIPO
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
30
3. Linhas de Influncia
3.1. Reaes de apoio
onde:
x distncia da carga em relao a origem em A; a distncia da seo em estudo em relao a origem A; l comprimento da viga; P carga unitria aplicada a longarina; RA reao no apoio A devido ao carregamento P; RB reao no apoio B devido ao carregamento P;
l
)xl(PR A
l
xPR B
3.2. Momento Fletor
Clculo da linha de influncia para momento fletor:
O momento na seo S dado por:
Quando a carga P est a esquerda de S: Quando a carga P est a direita de S: (Quando x a)
MS = RB (l - a)
all
xPMS
(Quando a x l)
MS = RA a
al
)xl(PMS
Supondo uma diviso da longarina em 10 trechos iguais, pode-se calcular a linha de
influncia para as diferentes sees apenas substituindo valores nas equaes.
31
SEO 0 = SEO 10
a = 0
Para qualquer posio da carga: MS = 0
SEO 1 = SEO 9
a = 3m
Quando a carga est a esquerda de S:
Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 2,7 KN x m
Quando a carga est a direita de S:
Para x = a MS = 2,7 KN x m Para x = l MS = 0
LINHA DE INFLUNCIA DE MOMENTOS PARA A SEO 1
SEO 2 = SEO 8
a = 6m
Quando a carga est a esquerda de S:
Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 4,8 KN x m
Quando a carga est a direita de S:
Para x = a MS = 4,8 KN x m Para x = l MS = 0
32
LINHA DE INFLUNCIA DE MOMENTOS PARA A SEO 2
SEO 3 = SEO 7
a = 9m
Quando a carga est a esquerda de S:
Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 6,3 KN x m
Quando a carga est a direita de S:
Para x = a MS = 6,3 KN x m Para x = l MS = 0
LINHA DE INFLUNCIA DE MOMENTOS PARA A SEO 3
SEO 4 = SEO 6
a = 12m
Quando a carga est a esquerda de S:
Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 7,2 KN x m
Quando a carga est a direita de S:
Para x = a MS = 7,2 KN x m Para x = l MS = 0
LINHA DE INFLUNCIA DE MOMENTOS PARA A SEO 4
SEO 5
a = 15m
33
Quando a carga est a esquerda de S:
Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 7,5 KN x m Quando a carga est a direita de S:
Para x = a MS = 7,5 KN x m Para x = l MS = 0
LINHA DE INFLUNCIA DE MOMENTOS PARA A SEO 5
3.3. Fora Cortante
Clculo da linha de influncia para fora cortante:
A fora cortante na seo S dada por:
Quando a carga P est a esquerda de S: Quando a carga P est a direita de S: (Quando x a)
VS = - RB
l
xPVS
(Quando a x l)
VS = + RA
l
)xl(PVS
Supondo uma diviso da longarina em 10 trechos iguais, pode-se calcular a linha de
influncia para as diferentes sees apenas substituindo valores nas equaes.
SEO 0 = SEO 10
a = 0
34
Quando a carga est em x=0: VS = + 1 KN
Quando a carga est em x = L: VS = 0
LINHA DE INFLUNCIA DE CORTANTES PARA A SEO 0
SEO 1 = SEO 9
a = 3m
Quando a carga est a esquerda de S:
Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,1 KN
Quando a carga est a direita de S:
Para x = a VS = + 0,9 KN Para x = l VS = 0
LINHA DE INFLUNCIA DE CORTANTES PARA A SEO 1
SEO 2 = SEO 8
a = 6m
Quando a carga est a esquerda de S:
Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,2 KN
Quando a carga est a direita de S:
Para x = a VS = 0,8 KN Para x = l VS = 0
35
LINHA DE INFLUNCIA DE CORTANTES PARA A SEO 2
SEO 3 = SEO 7
a = 9m
Quando a carga est a esquerda de S:
Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,3 KN
Quando a carga est a direita de S:
Para x = a MS = 0,7 KN Para x = l MS = 0
LINHA DE INFLUNCIA DE CORTANTES PARA A SEO 3
SEO 4 = SEO 6
a = 12m
Quando a carga est a esquerda de S:
Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,4 KN
Quando a carga est a direita de S:
Para x = a VS = 0,6 KN x m Para x = l VS = 0
LINHA DE INFLUNCIA DE CORTANTES PARA A SEO 4
SEO 5
a = 15m
Quando a carga est a esquerda de S:
36
Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,5 KN
Quando a carga est a direita de S:
Para x = a VS = + 0,5 KN Para x = l VS = 0
LINHA DE INFLUNCIA DE CORTANTES PARA A SEO 5
37
4.1. LONGARINA EXTREMA
4.1.1. CARGAS PERMANENTES
MOMENTO FLETOR
distncia
x (m) Seo Clculo
Mg
(KN x m)
0 0 0,00 0,00
3,0 1 (587,10 14,4) x 3 39,14 x 32/2 = 1541,97
6,0 2 (587,10 14,4) x 6 39,14 x 62/2 = 2731,68
9,0 3 (587,10 14,4) x 9 39,14 x 92/2 = 3569,13
12,0 4 (587,10 14,4) x 12 14,4 x 2 39,14 x 122/2 = 4025,52
15,0 5 (587,10 14,4) x 15 14,4 x 5 39,14 x 152/2 = 4115,25
FORA CORTANTE
distncia
x (m) seo Clculo
Vg
(KN)
0 0 615,90 14,4 = 601,50
3,0 1 601,50 39,14 x 3 = 484,08
6,0 2 484,08 39,14 x 3 = 366,66
9,0 3 366,66 39,14 x 3 = 249,24
12,0 4 249,24 14,4 39,14 x 3 = 117,42
15,0 5 117,42 39,14 x 3 = 0,00
4.1.2. CARGAS VARIVEIS
A) SEO 0
MOMENTO FLETOR
As cargas variveis, em quaisquer posies, no geram momentos fletores nessa
seo, portanto:
MQ + = 0 KN x m
Mq + =
0 KN x m
MQ = 0 KN x m
Mq = 0 KN x m
38
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
13065,15 Vq + = 234,75 KN
VQ +
= 79,53 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ +
= 226,66 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
13043,2 Vq = - 36,45 KN
VQ
= - 22,4 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ = - 63,84 KN
B) SEO 1 = SEO 9
MOMENTO FLETOR
MQ + = 79,53 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ
+ = 608,40 KN x m (devido carga concentrada)
Mq + =
2
7,23065,15 Mq
+ = 633,83 KN x m (devido carga distribuda)
39
MQ = - 22,4 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ
= - 171,36 KN x m (devido carga concentrada)
Mq
= 2
7,23043,2 Mq
= - 98,42 KN x m (devido carga distribuda)
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
9,02765,15 -
2
)1,0(343,2
Vq + = 190,51 KN
VQ1 +
= 79,53 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ1 +
= 202,80 KN (adota-se esse, pois o maior!)
VQ2 +
= - 22,4 x (- 0,1 - 0,05 - 0,0) VQ2 +
= 3,36 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)1,0(365,15
2
9,02743,2
Vq = - 31,87 KN
VQ1 = - 22,4 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ1
= - 57,12 KN (adota-se esse, pois o menor!)
VQ2 = 79,53 x (-0,1 - 0,05 0,0) VQ2
= - 11,93 KN
40
C) SEO 2 = SEO 8
MOMENTO FLETOR
MQ + = 79,53 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ
+ = 1073,66 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
8,43065,15 Mq
+ = 1126,80 KN x m (devido a carga distribuda)
MQ = - 22,4 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ
= - 302,40 KN x m (devido carga concentrada)
Mq
= 2
8,43043,2 Mq
= - 174,96 KN x m (devido carga distribuda)
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
8,02465,15 -
2
)2,0(643,2
Vq + = 151,70 KN
VQ1 +
= 79,53 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ1 +
= 178,94 KN (adota-se esse, pois o maior!)
41
VQ2 +
= - 22,4 x (- 0,2 - 0,15 - 0,1) VQ2 +
= 10,08 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)2,0(665,15
2
8,02443,2
Vq = - 32,72 KN
VQ1 = - 22,4 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ1
= - 50,40 KN (adota-se esse, pois o menor!)
VQ2 = 79,53 x (-0,2 - 0,15 0,1) VQ2
= - 35,79 KN
D) SEO 3 = SEO 7
MOMENTO FLETOR
MQ + = 79,53 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ
+ = 1395,75 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
3,63065,15 Mq
+ = 1478,93 KN x m (devido a carga distribuda)
MQ = - 22,4 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ
= - 393,12 KN x m (devido carga concentrada)
Mq
= 2
3,63043,2 Mq
= - 229,64 KN x m (devido carga distribuda)
42
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
7,02165,15 -
2
)3,0(943,2
Vq + = 118,31 KN
VQ1 +
= 79,53 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ1 +
= 155,08 KN (adota-se esse, pois o maior!)
VQ2 +
= - 22,4 x (- 0,3 - 0,25 - 0,2) VQ2 +
= 16,8 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)3,0(965,15
2
7,02143,2
Vq = - 38,99 KN
VQ1 = - 22,4 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ1
= - 43,68
VQ2 = 79,53 x (-0,3 - 0,25 0,2) VQ2
= - 59,65 KN (adota-se esse, pois o menor!)
E) SEO 4 = SEO 6
MOMENTO FLETOR
43
MQ + = 79,53 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ
+ = 1598,55 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
2,73065,15 Mq
+ = 1690,20 KN x m (devido a carga distribuda)
MQ = - 22,4 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ
= - 450,24 KN x m (devido carga concentrada)
Mq
= 2
2,73043,2 Mq
= - 262,44 KN x m (devido carga distribuda)
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
6,01865,15 -
2
)4,0(1243,2
Vq + = 90,34 KN
VQ1 +
= 79,53 x (0,6 + 0,55 + 0,5) VQ1 +
= 131,22 KN (adota-se esse, pois o maior!)
VQ2 +
= - 22,4 x (- 0,4 - 0,35 - 0,3) VQ2 +
= 23,52 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)4,0(1265,15
2
6,01843,2
Vq = - 50,68 KN
44
VQ1 = - 22,4 x (0,4 + 0,35 + 0,3) VQ1
= - 23,52 KN
VQ2 = 79,53 x (-0,4 - 0,35 0,3) VQ2
= - 83,51 KN (adota-se esse, pois o menor!)
F) SEO 5
MOMENTO FLETOR
MQ + = 79,53 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ
+ = 1670,13 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
5,73065,15 Mq
+ = 1760,63 KN x m (devido a carga distribuda)
MQ = - 22,4 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ
= - 470,40 KN x m (devido carga concentrada)
Mq
= 2
5,73043,2 Mq
= - 273,38 KN x m (devido carga distribuda)
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
45
Vq +
= 2
5,01565,15 -
2
)5,0(1543,2
Vq + = 67,80 KN
VQ1 +
= 79,53 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ1 +
= 107,37 KN (adota-se esse, pois o maior!)
VQ2 +
= - 22,4 x (- 0,5 - 0,45 - 0,4) VQ2 +
= 30,24 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)5,0(1565,15
2
5,01543,2
Vq = - 67,80 KN
VQ1 = - 22,4 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ1
= - 30,24 KN
VQ2 = 79,53 x (-0,5 - 0,45 0,4) VQ2
= - 107,37 KN (adota-se esse, pois o menor!)
4.1.3. RESUMO DA LONGARINA EXTREMA
RESUMO DOS MOMENTOS FLETORES
distncia
x(m) Seo
Mg (KN x m)
MQ +
(KN x m)
Mq +
(KN x m)
MQ
(KN x m)
Mq
(KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1541,97 608,40 633,83 - 171,36 - 98,42
6,0 2 2731,68 1073,66 1126,80 - 302,40 - 174,96
9,0 3 3569,13 1395,75 1478,93 - 393,12 - 229,64
12,0 4 4025,52 1598,55 1690,20 - 450,24 - 262,44
15,0 5 4115,25 1670,13 1760,63 - 470,40 - 273,38
RESUMO DAS FORAS CORTANTES
distncia
x(m) Seo
Vg (KN)
VQ +
(KN)
Vq +
(KN)
VQ
(KN)
Vq
(KN)
0 0 601,50 226,66 234,75 - 63,84 - 36,45
3,0 1 484,08 202,80 190,51 - 57,12 - 31,87
6,0 2 366,66 178,94 151,70 - 50,40 - 32,72
9,0 3 249,24 155,08 118,31 - 59,65 - 38,99
12,0 4 117,42 131,22 90,34 - 83,51 - 50,68
15,0 5 0,00 107,37 67,80 - 107,37 - 67,80
46
4.2. LONGARINA INTERMEDIRIA
4.2.1. CARGAS PERMANENTES
MOMENTO FLETOR
distncia
x (m) Seo Clculo
Mg
(KN x m)
0 0 0,00 0,00
3,0 1 (622,35 14,4) x 3 39,57 x 32/2 = 1645,79
6,0 2 (622,35 14,4) x 6 39,57 x 62/2 = 2935,44
9,0 3 (622,35 14,4) x 9 39,57 x 92/2 = 3868,97
12,0 4 (622,35 14,4) x 12 14,4 x 2 39,57 x 122/2 = 4417,56
15,0 5 (622,35 14,4) x 15 14,4 x 5 39,57 x 152/2 = 4595,63
FORA CORTANTE
distncia
x (m) seo Clculo
Vg
(KN)
0 0 622,35 14,4 = 607,95
3,0 1 607,95 39,57 x 3 = 489,24
6,0 2 489,24 39,57 x 3 = 370,53
9,0 3 370,53 39,57 x 3 = 251,82
12,0 4 251,82 14,4 39,57 x 3 = 118,71
15,0 5 118,71 39,57 x 3 = 0,00
4.2.2. CARGAS VARIVEIS
A) SEO 0
MOMENTO FLETOR
As cargas variveis, em quaisquer posies, no geram momentos fletores nessa
seo, portanto:
MQ + = 0 KN x m
Mq + =
0 KN x m
MQ = 0 KN x m
Mq = 0 KN x m
47
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
13027,13 Vq + = 199,05 KN
VQ +
= 54,19 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ +
= 154,44 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
13007,0 Vq = - 1,05 KN
VQ
= 0 KN
B) SEO 1 = SEO 9
MOMENTO FLETOR
MQ + = 54,19 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ
+ = 414,55 KN x m (devido carga concentrada)
Mq + =
2
7,23027,13 Mq
+ = 537,44 KN x m (devido carga distribuda)
48
MQ = 0 KN x m (devido carga concentrada)
Mq
= 2
7,23007,0 Mq
= - 2,84 KN x m (devido carga distribuda)
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
9,02727,13 -
2
)1,0(307,0
Vq + = 161,24 KN
VQ +
= 54,19 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ +
= 138,18 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)1,0(327,13
2
9,02707,0
Vq = - 2,84 KN
VQ
= 54,19 x (-0,1 - 0,05 0,0) VQ
= - 8,13 KN
49
C) SEO 2 = SEO 8
MOMENTO FLETOR
MQ + = 54,19 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ
+ = 731,57 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
8,43027,13 Mq
+ = 955,44 KN x m (devido a carga distribuda)
MQ
= 0 KN x m (devido carga concentrada)
Mq
= 2
8,43007,0 Mq
= - 5,04 KN x m (devido carga distribuda)
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
8,02427,13 -
2
)2,0(607,0
Vq + = 127,43 KN
VQ +
= 54,19 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ +
= 121,93 KN
50
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)2,0(627,13
2
8,02407,0
Vq = - 8,63 KN
VQ
= 54,19 x (-0,2 - 0,15 0,1) VQ
= - 24,39 KN
D) SEO 3 = SEO 7
MOMENTO FLETOR
MQ + = 54,19 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ
+ = 951,03 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
3,63027,13 Mq
+ = 1254,02 KN x m (devido a carga distribuda)
MQ
= 0 KN x m (devido carga concentrada)
Mq
= 2
3,63007,0 Mq
= - 6,62 KN x m (devido carga distribuda)
FORA CORTANTE
51
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
7,02127,13 -
2
)3,0(907,0
Vq + = 97,63 KN
VQ +
= 54,19 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ +
= 105,67 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)3,0(927,13
2
7,02107,0
Vq = - 18,43 KN
VQ
= 54,19 x (-0,3 - 0,25 0,2) VQ
= - 40,64 KN
E) SEO 4 = SEO 6
MOMENTO FLETOR
MQ + = 54,19 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ
+ = 1089,22 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
2,73027,13 Mq
+ = 1433,16 KN x m (devido a carga distribuda)
52
MQ
= 0 KN x m (devido carga concentrada)
Mq
= 2
2,73007,0 Mq
= - 7,56 KN x m (devido carga distribuda)
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
6,01827,13 -
2
)4,0(1207,0
Vq + = 71,83 KN
VQ +
= 54,19 x (0,6 + 0,55 + 0,5) VQ +
= 89,41 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)4,0(1227,13
2
6,01807,0
Vq = - 32,23 KN
VQ
= 54,19 x (-0,4 - 0,35 0,3) VQ
= - 56,90 KN
F) SEO 5
MOMENTO FLETOR
53
MQ + = 54,19 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ
+ = 1137,99 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
5,73027,13 Mq
+ = 1492,88 KN x m (devido a carga distribuda)
MQ
= 0 KN x m (devido carga concentrada)
Mq
= 2
5,73007,0 Mq
= - 7,88 KN x m (devido carga distribuda)
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
5,01527,13 -
2
)5,0(1507,0
Vq + = 50,03 KN
VQ +
= 54,19 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ +
= 73,16 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)5,0(1527,13
2
5,01507,0
Vq = - 50,03 KN
VQ
= 54,19 x (-0,5 - 0,45 0,4) VQ
= - 73,16 KN
54
4.2.3. RESUMO DA LONGARINA INTERMEDIRIA
RESUMO DOS MOMENTOS FLETORES
distncia
x(m) Seo
Mg (KN x m)
MQ +
(KN x m)
Mq +
(KN x m)
MQ
(KN x m)
Mq
(KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1645,79 414,55 537,44 0,00 - 2,84
6,0 2 2935,44 731,57 955,44 0,00 - 5,04
9,0 3 3868,97 951,03 1254,02 0,00 - 6,62
12,0 4 4417,56 1089,22 1433,16 0,00 - 7,56
15,0 5 4595,63 1137,99 1492,88 0,00 - 7,88
RESUMO DAS FORAS CORTANTES
distncia
x(m) Seo
Vg (KN)
VQ +
(KN)
Vq +
(KN)
VQ
(KN)
Vq
(KN)
0 0 607,95 154,44 199,05 0 - 1,05
3,0 1 489,24 138,18 161,24 - 8,13 - 2,84
6,0 2 370,53 121,93 127,43 - 24,39 - 8,63
9,0 3 251,82 105,67 97,63 - 40,64 - 18,43
12,0 4 118,71 89,41 71,83 - 56,90 - 32,23
15,0 5 0,00 73,16 50,03 - 73,16 - 50,03
55
4.3. LONGARINA CENTRAL
4.3.1. CARGAS PERMANENTES
MOMENTO FLETOR
distncia
x (m) Seo Clculo
Mg
(KN x m)
0 0 0,00 0,00
3,0 1 (617,70 14,4) x 3 39,26 x 32/2 = 1633,23
6,0 2 (617,70 14,4) x 6 39,26 x 62/2 = 2913,12
9,0 3 (617,70 14,4) x 9 39,26 x 92/2 = 3839,67
12,0 4 (617,70 14,4) x 12 14,4 x 2 39,26 x 122/2 = 4384,08
15,0 5 (617,70 14,4) x 15 14,4 x 5 39,26 x 152/2 = 4560,75
FORA CORTANTE
distncia
x (m) seo Clculo
Vg
(KN)
0 0 617,70 14,4 = 603,30
3,0 1 603,30 39,26 x 3 = 485,52
6,0 2 485,52 39,26 x 3 = 367,74
9,0 3 367,74 39,26 x 3 = 249,96
12,0 4 249,96 14,4 39,26 x 3 = 117,78
15,0 5 117,78 39,26 x 3 = 0,00
4.3.2. CARGAS VARIVEIS
Obs.: Conforme foi explicado no item 2 (clculo dos carregamentos), vale lembrar que para a
longarina central no existe trem tipo negativo.
A) SEO 0
MOMENTO FLETOR
As cargas variveis, em quaisquer posies, no geram momentos fletores nessa
seo, portanto:
MQ + = 0 KN x m
Mq + =
0 KN x m
56
FORA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
13021,13 Vq + = 198,15 KN
VQ +
= 28,56 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ +
= 81,40 KN
Obs.: Como no h trem tipo negativo, no existe contribuio negativa nessa seo.
Vq = 0 KN
VQ
= 0 KN
B) SEO 1 = SEO 9
MOMENTO FLETOR
MQ + = 28,56 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ
+ = 218,48 KN x m (devido carga concentrada)
Mq + =
2
7,23021,13 Mq
+ = 535,00 KN x m (devido carga distribuda)
FORA CORTANTE
57
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
9,02721,13 Vq + = 160,50 KN
VQ +
= 28,56 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ +
= 72,83 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)1,0(321,13
Vq = - 1,98 KN
VQ
= 28,56 x (-0,1 - 0,05 0,0) VQ
= - 4,28 KN
C) SEO 2 = SEO 8
MOMENTO FLETOR
MQ + = 28,56 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ
+ = 385,56 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
8,43021,13 Mq
+ = 951,12 KN x m (devido a carga distribuda)
FORA CORTANTE
58
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
8,02421,13 Vq + = 126,82 KN
VQ +
= 28,56 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ +
= 64,26 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)2,0(621,13
Vq = - 7,93 KN
VQ
= 28,56 x (-0,2 - 0,15 0,1) VQ
= - 12,85 KN
D) SEO 3 = SEO 7
MOMENTO FLETOR
MQ + = 28,56 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ
+ = 501,23 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
3,63021,13 Mq
+ = 1248,35 KN x m (devido a carga distribuda)
FORA CORTANTE
59
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
7,02121,13 Vq + = 97,09 KN
VQ +
= 28,56 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ +
= 55,69 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)3,0(921,13
Vq = - 17,83 KN
VQ
= 28,56 x (-0,3 - 0,25 0,2) VQ
= - 21,42 KN
E) SEO 4 = SEO 6
MOMENTO FLETOR
MQ + = 28,56 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ
+ = 574,06 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
2,73021,13 Mq
+ = 1426,68 KN x m (devido a carga distribuda)
FORA CORTANTE
60
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
6,01821,13 Vq + = 71,33 KN
VQ +
= 28,56 x (0,6 + 0,55 + 0,5) VQ +
= 47,12 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)4,0(1221,13
Vq = - 31,70 KN
VQ
= 28,56 x (-0,4 - 0,35 0,3) VQ
= - 29,99 KN
F) SEO 5
MOMENTO FLETOR
MQ + = 28,56 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ
+ = 599,76 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
2
5,73021,13 Mq
+ = 1486,13 KN x m (devido a carga distribuda)
FORA CORTANTE
61
ESQUEMA PARA CORTANTE MXIMA
Vq +
= 2
5,01521,13 Vq + = 49,54 KN
VQ +
= 28,56 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ +
= 38,56 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MNIMA
Vq
= 2
)5,0(1521,13
Vq = - 49,54 KN
VQ
= 28,56 x (-0,5 - 0,45 0,4) VQ
= - 38,56 KN
4.3.3. RESUMO DA LONGARINA CENTRAL
RESUMO DOS MOMENTOS FLETORES
distncia
x(m) Seo
Mg (KN x m)
MQ +
(KN x m)
Mq +
(KN x m)
MQ
(KN x m)
Mq
(KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1633,23 218,48 535,00 0,00 0,00
6,0 2 2913,12 385,56 951,12 0,00 0,00
9,0 3 3839,67 501,23 1248,35 0,00 0,00
12,0 4 4384,08 574,06 1426,68 0,00 0,00
15,0 5 4560,75 599,76 1486,13 0,00 0,00
RESUMO DAS FORAS CORTANTES
distncia
x(m) Seo
Vg (KN)
VQ +
(KN)
Vq +
(KN)
VQ
(KN)
Vq
(KN)
0 0 603,30 81,40 198,15 0 0
3,0 1 485,52 72,83 160,50 - 4,28 - 1,98
6,0 2 367,74 64,26 126,82 - 12,85 - 7,93
9,0 3 249,96 55,69 97,09 - 21,42 - 17,83
12,0 4 117,78 47,12 71,33 - 29,99 - 31,70
15,0 5 0,00 38,56 49,54 - 38,56 - 49,54
62
4.4. RESUMO GERAL DOS RESULTADOS
MOMENTOS FLETORES
LONGARINA EXTREMA
distncia
x(m) Seo
Mg (KN x m)
MQ +
(KN x m)
Mq +
(KN x m)
MQ
(KN x m)
Mq
(KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1541,97 608,40 633,83 - 171,36 - 98,42
6,0 2 2731,68 1073,66 1126,80 - 302,40 - 174,96
9,0 3 3569,13 1395,75 1478,93 - 393,12 - 229,64
12,0 4 4025,52 1598,55 1690,20 - 450,24 - 262,44
15,0 5 4115,25 1670,13 1760,63 - 470,40 - 273,38
LONGARINA INTERMEDIRIA
distncia
x(m) Seo
Mg (KN x m)
MQ +
(KN x m)
Mq +
(KN x m)
MQ
(KN x m)
Mq
(KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1645,79 414,55 537,44 0,00 - 2,84
6,0 2 2935,44 731,57 955,44 0,00 - 5,04
9,0 3 3868,97 951,03 1254,02 0,00 - 6,62
12,0 4 4417,56 1089,22 1433,16 0,00 - 7,56
15,0 5 4595,63 1137,99 1492,88 0,00 - 7,88
LONGARINA CENTRAL
distncia
x(m) Seo
Mg (KN x m)
MQ +
(KN x m)
Mq +
(KN x m)
MQ
(KN x m)
Mq
(KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1633,23 218,48 535,00 0,00 0,00
6,0 2 2913,12 385,56 951,12 0,00 0,00
9,0 3 3839,67 501,23 1248,35 0,00 0,00
12,0 4 4384,08 574,06 1426,68 0,00 0,00
15,0 5 4560,75 599,76 1486,13 0,00 0,00
FORAS CORTANTES
LONGARINA EXTREMA
distncia
x(m) Seo
Vg (KN)
VQ +
(KN)
Vq +
(KN)
VQ
(KN)
Vq
(KN)
0 0 601,50 226,66 234,75 - 63,84 - 36,45
3,0 1 484,08 202,80 190,51 - 57,12 - 31,87
6,0 2 366,66 178,94 151,70 - 50,40 - 32,72
9,0 3 249,24 155,08 118,31 - 59,65 - 38,99
12,0 4 117,42 131,22 90,34 - 83,51 - 50,68
15,0 5 0,00 107,37 67,80 - 107,37 - 67,80
63
LONGARINA INTERMEDIRIA
distncia
x(m) Seo
Vg (KN)
VQ +
(KN)
Vq +
(KN)
VQ
(KN)
Vq
(KN)
0 0 607,95 154,44 199,05 0 - 1,05
3,0 1 489,24 138,18 161,24 - 8,13 - 2,84
6,0 2 370,53 121,93 127,43 - 24,39 - 8,63
9,0 3 251,82 105,67 97,63 - 40,64 - 18,43
12,0 4 118,71 89,41 71,83 - 56,90 - 32,23
15,0 5 0,00 73,16 50,03 - 73,16 - 50,03
LONGARINA CENTRAL
distncia
x(m) Seo
Vg (KN)
VQ +
(KN)
Vq +
(KN)
VQ
(KN)
Vq
(KN)
0 0 603,30 81,40 198,15 0 0
3,0 1 485,52 72,83 160,50 - 4,28 - 1,98
6,0 2 367,74 64,26 126,82 - 12,85 - 7,93
9,0 3 249,96 55,69 97,09 - 21,42 - 17,83
12,0 4 117,78 47,12 71,33 - 29,99 - 31,70
15,0 5 0,00 38,56 49,54 - 38,56 - 49,54
64
5. ENVOLTRIAS
5.1. LONGARINA EXTREMA 5.1.1. MOMENTOS FLETORES
Tabela Resumo de todos os resultados calculados para a longarina extrema
distncia
x (m) Seo
Mg
(KN x m) MQ
+ (KN x m)
Mq +
(KN x m)
MQ
(KN x m)
Mq
(KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1541,97 608,40 633,83 - 171,36 - 98,42
6,0 2 2731,68 1073,66 1126,80 - 302,40 - 174,96
9,0 3 3569,13 1395,75 1478,93 - 393,12 - 229,64
12,0 4 4025,52 1598,55 1690,20 - 450,24 - 262,44
15,0 5 4115,25 1670,13 1760,63 - 470,40 - 273,38
Tabela Momentos mximos e mnimos para a longarina extrema
distncia
x (m) Seo
MMAX (KN x m)
(Mg + MQ +
+ Mq +
)
MMIN (KN x m)
(Mg + MQ - + Mq
-)
0 0 0 0
3,0 1 2784,2 1272,19
6,0 2 4932,14 2254,32
9,0 3 6443,81 2946,37
12,0 4 7314,27 3312,84
15,0 5 7546,01 3371,47
ENVOLTRIA DE MOMENTOS PARA A LONGARINA EXTREMA
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seo
M (
KN
x m
)
65
5.1.2. FORAS CORTANTES
Tabela Resumo de todos os resultados calculados para a longarina extrema
distncia
x(m) Seo
Vg (KN)
VQ +
(KN)
Vq +
(KN)
VQ
(KN)
Vq
(KN)
0 0 601,50 226,66 234,75 - 63,84 - 36,45
3,0 1 484,08 202,80 190,51 - 57,12 - 31,87
6,0 2 366,66 178,94 151,70 - 50,40 - 32,72
9,0 3 249,24 155,08 118,31 - 59,65 - 38,99
12,0 4 117,42 131,22 90,34 - 83,51 - 50,68
15,0 5 0,00 107,37 67,80 - 107,37 - 67,80
Tabela Foras cortantes mximas e mnimas para a longarina extrema
distncia
x (m) Seo
VMAX (KN)
(Vg + VQ +
+ Vq +
)
VMIN (KN)
(Vg + VQ - + Vq
-)
0 0 1062,91 501,21
3,0 1 877,39 395,09
6,0 2 697,30 283,54
9,0 3 522,63 150,60
12,0 4 338,98 -16,77
15,0 5 175,17 -175,17
18,0 6 16,77 -338,98
21,0 7 -150,60 -522,63
24,0 8 -283,54 -697,30
27,0 9 -395,09 -877,39
30,0 10 -501,21 -1062,91
ENVOLTRIA DE FORAS CORTANTES PARA A LONGARINA EXTREMA
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seo
V (
KN
)
66
5.2. LONGARINA INTERMEDIRIA 5.2.1. MOMENTOS FLETORES
Tabela Resumo de todos os resultados calculados para a longarina intermediria
Distncia
x (m) Seo
Mg
(KN x m) MQ
+ (KN x m)
Mq +
(KN x m)
MQ
(KN x m)
Mq
(KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1645,79 414,55 537,44 0,00 - 2,84
6,0 2 2935,44 731,57 955,44 0,00 - 5,04
9,0 3 3868,97 951,03 1254,02 0,00 - 6,62
12,0 4 4417,56 1089,22 1433,16 0,00 - 7,56
15,0 5 4595,63 1137,99 1492,88 0,00 - 7,88
Tabela Momentos mximos e mnimos para a longarina intermediria
distncia
x (m) Seo
MMAX (KN x m)
(Mg + MQ +
+ Mq +
)
MMIN (KN x m)
(Mg + Mq -)
0 0 0,00 0,00
3,0 1 2597,78 1642,95
6,0 2 4622,45 2930,40
9,0 3 6074,02 3862,35
12,0 4 6939,94 4410,00
15,0 5 7226,50 4587,75
ENVOLTRIA DE MOMENTOS PARA A LONGARINA INTERMEDIRIA
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seo
M (
KN
x m
)
67
5.2.2. FORAS CORTANTES
Tabela Resumo de todos os resultados calculados para a longarina intermediria
distncia
x(m) Seo
Vg (KN)
VQ +
(KN)
Vq +
(KN)
VQ
(KN)
Vq
(KN)
0 0 607,95 154,44 199,05 0 - 1,05
3,0 1 489,24 138,18 161,24 - 8,13 - 2,84
6,0 2 370,53 121,93 127,43 - 24,39 - 8,63
9,0 3 251,82 105,67 97,63 - 40,64 - 18,43
12,0 4 118,71 89,41 71,83 - 56,90 - 32,23
15,0 5 0,00 73,16 50,03 - 73,16 - 50,03
Tabela Foras cortantes mximas e mnimas para a longarina intermediria
distncia
x (m) Seo
VMAX (KN)
(Vg + VQ +
+ Vq +
)
VMIN (KN)
(Vg + VQ - + Vq
-)
0 0 961,44 606,90
3,0 1 788,66 478,27
6,0 2 619,89 337,51
9,0 3 455,12 192,75
12,0 4 279,95 29,58
15,0 5 123,19 -123,19
18,0 6 -29,58 -279,95
21,0 7 -192,75 -455,12
24,0 8 -337,51 -619,89
27,0 9 -478,27 -788,66
30,0 10 -606,90 -961,44
ENVOLTRIA DE FORAS CORTANTES PARA A LONGARINA INTERMEDIRIA
-1000
-750
-500
-250
0
250
500
750
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seo
V (
KN
)
68
5.3. LONGARINA CENTRAL 5.3.1. MOMENTOS FLETORES
Tabela Resumo de todos os resultados calculados para a longarina central
Distncia
x (m) Seo
Mg
(KN x m) MQ
+ (KN x m)
Mq +
(KN x m)
MQ
(KN x m)
Mq
(KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1633,23 218,48 535,00 0,00 0,00
6,0 2 2913,12 385,56 951,12 0,00 0,00
9,0 3 3839,67 501,23 1248,35 0,00 0,00
12,0 4 4384,08 574,06 1426,68 0,00 0,00
15,0 5 4560,75 599,76 1486,13 0,00 0,00
Tabela Momentos mximos e mnimos para a longarina central
distncia
x (m) Seo
MMAX (KN x m)
(Mg + MQ +
+ Mq +
)
MMIN (KN x m) (Mg)
0 0 0,00 0,00
3,0 1 2386,71 1633,23
6,0 2 4249,80 2913,12
9,0 3 5589,25 3839,67
12,0 4 6384,82 4384,08
15,0 5 6646,64 4560,75
Obs.: Note que como no existe trem tipo negativo o valor do momento mnimo o prprio valor do
momento devido ao peso prprio.
ENVOLTRIA DE MOMENTOS PARA A LONGARINA CENTRAL
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seo
M (
KN
x m
)
69
5.3.2. FORAS CORTANTES
Tabela Resumo de todos os resultados calculados para a longarina central
distncia
x(m) Seo
Vg (KN)
VQ +
(KN)
Vq +
(KN)
VQ
(KN)
Vq
(KN)
0 0 603,30 81,40 198,15 0 0
3,0 1 485,52 72,83 160,50 - 4,28 - 1,98
6,0 2 367,74 64,26 126,82 - 12,85 - 7,93
9,0 3 249,96 55,69 97,09 - 21,42 - 17,83
12,0 4 117,78 47,12 71,33 - 29,99 - 31,70
15,0 5 0,00 38,56 49,54 - 38,56 - 49,54
Tabela Foras cortantes mximas e mnimas para a longarina central
distncia
x (m) Seo
VMAX (KN)
(Vg + VQ +
+ Vq +
)
VMIN (KN)
(Vg + VQ - + Vq
-)
0 0 882,85 603,30
3,0 1 718,85 479,26
6,0 2 558,82 346,96
9,0 3 402,74 210,71
12,0 4 236,23 56,09
15,0 5 88,10 -88,10
18,0 6 -56,09 -236,23
21,0 7 -210,71 -402,74
24,0 8 -346,96 -558,82
27,0 9 -479,26 -718,85
30,0 10 -603,30 -882,85
ENVOLTRIA DE FORAS CORTANTES PARA A LONGARINA CENTRAL
-1000
-750
-500
-250
0
250
500
750
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seo
V (
KN
)
70
6.1. LONGARINA EXTREMA
6.1.1. DETERMINAO DA PROTENSO NECESSRIA
Os dados conforme clculo no item 1.6 so:
A = 1,25 m
Wi = 0,292 m Ws = 0,666 m
Ki = 0,233 m Ks = 0,533 m
yi = 1,32m ys = 0,58m
Analisaremos a seo 5, que a mais solicitada. Para esta longarina temos os seguintes
esforos solicitantes:
Mg = 4115,25 KN x m
MQ +
= 1670,13 + 1760,63
MQ +
= 3430,76 KN x m
Para a condio de protenso limitada, preciso verificar se o pior caso ocorre com o
carregamento quase permanente (CQP) ou com o carregamento freqente (CF).
Carregamento Quase Permanente (CQP)
Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de descompresso, ou seja, a mxima tenso admissvel trao na pea :
t = 0
O momento utilizado nesse caso :
M = Mg + 0,3 x MQ +
M = 4115,25 + 0,3 x 3430,76
M = 5144,48 KN x m
A fora de protenso necessria dada por:
pi
iiCQP
eK
WMP
Onde:
M momento calculado para o carregamento quase permanente(KN x m); i tenso mxima permitida de trao nas fibras inferiores(KN/m); Wi modulo de resistncia flexo das fibras inferiores(m); Ki distncia nuclear para as fibras inferiores(m); ep excentricidade da fora de protenso em relao ao c.g. da seo(m).
71
O valor da excentricidade da protenso pode ser calculado do seguinte modo:
ep = yi 0,15 ep = 1,32 0,15
ep = 1,17 m
Obs: Foi suposto que a distncia da face inferior do conjunto at o centro de geomtrico das armaduras
de 0,15m, ao final do clculo se essa distncia for maior que o arbitrado, devem ser refeitos os clculos
para a nova distncia e verificar se ainda a pea ainda possui resistncia adequada. Caso a distncia seja menor que 0,15m no necessria nenhuma verificao, pois isso resulta um brao de alavanca interno
maior do que o arbitrado, ou seja, a favor da segurana.
O clculo do valor da fora necessria de protenso :
17,1233,0
292,0048,5144PCQP
PCQP = 3666,77 KN
Carregamento Freqente (CF)
Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de formao de fissuras, ou seja, a
mxima tenso admissvel trao na pea :
3 2
t fck21,0
3 2
t 3521,0
t = 2,25 Mpa ou
t = 2250 KN/cm
O momento utilizado nesse caso :
M = Mg + 0,5 x MQ +
M = 4115,25 + 0,5 x 3430,76
M = 5830,63 KN x m
O clculo do valor da fora necessria de protenso :
17,1233,0
292,0225063,5830PCF
PCF = 3687,55 KN
Como o valor de PCF > PCQP, ento o valor que deve ser utilizado para protenso :
PCF = P = 3687,55 KN
72
O valor calculado acima o valor necessrio para a fora, porm sempre existe uma
perda de aproximadamente 25%. Sendo assim, a fora inicial com que deve ser
protendida a viga :
75,0
PPINICIAL
75,0
55,3687PINICIAL PINICIAL = 4916,73 KN
Iremos adotar cabos com 12 12,5mm, cujas caractersticas esto descritas abaixo.
Tipo: CP 190 RB
A = 0,987 cm (rea de 1 de 12,5mm)
O valor da fora que um cabo de protenso pode fornecer :
Po = 12 x A x 0,77 x e Po = 12 x 0,987 x 0,77 x 190
Po = 1732,77 KN
O nmero de cabos necessrios :
O
INICIAL
P
Pn
77,1732
73,4916n n = 2,83
Como precisamos de um nmero inteiro de cabos, poderiamos arredondar para o
nmero inteiro mais prximo (3 cabos), mas como 2,83 est muito prximo de 3, pode
ser que ao adotar 3 cabos, aps todas as perdas, os mesmos no tenham eficincia em
fornecer a fora de protenso necessria. Portanto iremos adotar um cabo o seguinte
nmero de cabos:
n = 4 cabos
73
6.1.2 DETALHE DO LANAMENTO DOS CABOS
DETALHE DA SEO CENTRAL
DETALHE DA SEO DO APOIO
74
DETALHE DA SADA DOS CABOS NA SEO DO APOIO
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEO CENTRAL
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEO DO APOIO
75
6.1.3 PERDAS IMEDIATAS
Todas as perdas imediatas acontecem em canteiro, onde a viga protendida,
portanto todas as caractersticas geomtricas devem ser tomadas em relao a viga pr-
moldada, conforme calculado em 1.1
6.1.3.1 PERDAS POR ATRITO EM CABOS PS-TRACIONADOS
A fora de protenso aps as perdas por atrito dada pela equao:
P = Po x (1 k x)
Onde:
coeficiente de atrito = 0,2 ngulo de sada do cabo em relao a horizontal (rad); k coeficiente de atrito por irregularidade do cabo = 0,002 m -1 x comprimento do trecho analisado.
Para o cabo 1, aps as perdas por atrito, a fora de protenso :
Na posio x = 5,0m (posio do fim do trecho parablico):
5002,0
180
30,72,0177,1732P1
P1 = 1671,29 KN
Na posio x = 15,0m (posio da seo analisada):
15002,0
180
30,72,0177,1732P1
P1 = 1636,63 KN
Para o cabo 2, aps as perdas por atrito, a fora de protenso :
Na posio x = 7,5m (posio do fim do trecho parablico):
5,7002,0
180
87,102,0177,1732P2
P2 = 1641,03 KN
Na posio x = 15,0m (posio da seo analisada):
15002,0
180
87,102,0177,1732P2
P2 = 1615,04 KN
76
Para o cabo 3, aps as perdas por atrito, a fora de protenso :
Na posio x = 10,0m (posio do fim do trecho parablico):
75,8002,0
180
88,122,0177,1732P3
P3 = 1624,54 KN
Na posio x = 15,0m (posio da seo analisada):
15002,0
180
88,122,0177,1732P3
P3 = 1602,88 KN
Para o cabo 4, aps as perdas por atrito, a fora de protenso :
Na posio x = 10,0m (posio do fim do trecho parablico):
10002,0
180
64,152,0177,1732P4
P4 = 1603,52 KN
Na posio x = 15,0m (posio da seo analisada):
15002,0
180
64,152,0177,1732P4
P4 = 1586,19 KN
A fora total P antes da protenso era:
P = 4 x 1732,77
P = 6931,08 KN
A fora total de protenso aps as perdas por atrito :
P = 1636,63 + 1615,04 + 1602,88 + 1586,19
PREDUZIDO = 6440,74 KN
A perda representativa das foras de atrito :
% perdas de atrito = 100P
PP
INICIAL
REDUZIDOINICIAL
77
% perdas de atrito = 10008,6931
74,644008,6931
% perdas de atrito = 7,07 %
6.1.3.2 PERDAS POR ACOMODAO DAS CUNHAS
A perda por acomodao das cunhas dada por:
0,006
AE
)a(aP
2
a
AE
2PP211aXo 1
Onde:
a1 posio do final do trecho parablico, em relao ao apoio; Px=a1 fora de protenso no final do trecho parablico; E mdulo de elasticidade do concreto = 19000 KN/cm; A rea de ao do cabo em anlise = 12 x0,987 = 11,844 cm; a2 posio da seo em estudo, em relao ao apoio; P perda de protenso (KN).
Para o cabo 1:
0,006
844,1190001
5)1(P
2
5
844,1190001
229,167177,7321 1
P1 = 69,52 KN
Para o cabo 2:
0,006
844,1190001
5)1(P
2
7,5
844,1190001
203,164177,7321 2
P2 = 44,14 KN
Para o cabo 3:
0,006
844,1190001
5)1(P
2
8,75
844,1190001
254,162477,7321 3
P3 = 26,88 KN
Para o cabo 4:
0,006
844,1190001
5)1(P
2
10
844,1190001
252,160377,7321 4
P4 = 3,85 KN
78
A fora total P antes da protenso era: P = 6931,08 KN
A perda de protenso por cravao :
PTOTAL = P1 + P2 + P3 + P4
PTOTAL = 69,52 + 44,14 + 26,88 + 3,85
PTOTAL = 144,39 KN
A perda representativa da cravao das cunhas :
% perdas por cravao = 100P
P
INICIAL
TOTAL
% perdas por cravao = 10008,6931
39,144
% perdas por cravao = 2,08 %
A perda total devido s foras de atrito e cravao das cunhas :
% perdas por atrito + cravao = 7,07 + 2,08
% perdas por atrito + cravao = 9,15 %
6.1.3.3 PERDAS NA PROTENSO SUCESSIVA
A perda de tenso na armadura por protenso sucessiva dada por:
2n
1n CPgP
Onde:
perda de tenso na armadura (KN/m); P relao entre o mdulo elasticidade do ao de protenso e do concreto = 5,85; g tenso no c.g. da armadura devido ao peso prprio somente da longarina; cp tenso no concreto devido a protenso (KN/m); n nmero de cabos.
O valor de g :
P
VP
go
g eI
M )15,002,1(
0,205
2165,63g g = 9190,70 KN/m
O valor de cp :
I
e
A
1P
2
Pcp
0,205
0,87
0,77
135,2966
2
cp cp = - 31424,43 KN/m
79
42
1443,3142470,919085,5
= - 48775,25 KN/m
A perda por protenso sucessiva :
PTOTAL = x A
PTOTAL = - 48775,25 x 4 x 12 x 0,0000987
PTOTAL = 231,08 KN
A perda representativa da protenso sucessiva :
% perdas por protenso sucessiva = 100P
P
INICIAL
TOTAL
% perdas por protenso sucessiva = 10008,6931
08,231
% perdas por protenso sucessiva = = 3,33 %
A perda imediata total :
% perdas por atrito + cravao + protenso sucessiva = 9,15 + 3,33
% perdas por atrito + cravao + protenso sucessiva = 12,48 %
6.1.4 PERDAS LENTAS
As perdas lentas possuem quatro origens:
- Retrao no concreto; - Fluncia no concreto; - Relaxao do ao; - Fluncia da armadura de protenso;
A perda de tenso aps todas as perdas lentas dada por:
21
1
21
2
1000
1000,
C
P
C
PP
PipigcPPCS
I
e
AA
E
onde:
cs deformao de retrao aps a estabilizao = - 0,00021 m/m c,pig tenso no concreto na posio da resultante da armadura de protenso; pi tenso na armadura devido a fora de protenso aps perdas imediatas; Ap rea das armaduras de protenso; Ac rea da seo composta (viga + laje).
80
O valor da protenso aps todas as perdas imediatas :
P = 1732,77 x 4 0,1248 x (1732,77 x 4)
P = 6066,08 KN
O valor de c,pig :
Mg = 4115,25 KN x m (retirado da tabela 5.1)
c,pig = - 13891,76 KN/m
O valor de pi :
A perda de tenso devido as perdas lentas :
= - 229868,17 KN/m
A perda lenta total :
PTOTAL = x A
PTOTAL = - 229868,17 x 4 x 12 x 0,0000987
PTOTAL = 1089,02 KN
A perda lenta total :
% perdas lentas = 100P
P
INICIAL
TOTAL
% perdas lentas = 10008,6931
02,1089
% perdas lentas = = 15,7 %
386,0
)15,032,1(08,6066
1,25
6066,08)15,032,1(
0,386
4115,25
2
pigc,
I
eP
A
Pe
I
M
2
Pp
g
pigc,
2
pipi
P
pi KN/m02,28041210,0000987124
6066,08
A
P
2
2,21
386,0
17,1
25,1
10000987,012485,5
2
059,01
059,002,12804122,276,1389185,51900000000021,0
2
81
6.1.5 PERDAS TOTAIS
A perda total :
Perda Total = Perdas imediatas + Perdas Lentas
Perda Total = 12,48 + 15,7
Perda Total = 28,18 %
A fora final de protenso na seo 5 aps todas as perdas :
P = 1732,77 x 4 0,2818 x (1732,77 x 4) P = 4977,90 KN
Concluso: Como a fora final de protenso aps todas as perdas ainda maior que a
fora de protenso necessria, esta protenso atende a protenso limitada.
P < P APS PERDAS
3687,55 < 4977,90
6.1.6 VERIFICAO DO ELU
Iremos adotar como armadura passiva 2 16mm. Fora de protenso aps perdas: P = 4977,90 KN (calculado no item 6.1.4.5)
O ao de protenso j possui um pr-alongamento de:
O momento de clculo na ruptura :
Md = 1,35 x 4115,25 + 1,5 x 3430,76
Md = 10701,73 KN x m
Fazendo a hiptese de que a pea est nos domnios 2 ou 3, ento a armadura escoa, e a
fora no ao :
FAO = 7999,51 KN
Para esta fora a rea de concreto necessria para equilibrar essa fora de:
FAO = F CON = Ac x 0,85 x fcd
005,0190000000
1
4120000987,0
90,49779,0
PR
15,1
190987,0124
15,1
5098,12 AOF
82
AC = 0,38 m
rea da laje = 2,40 x 0,20 = 0,48 m (conclui-se que a rea est dentro da laje)
0,38 = x x 2,40 x = 0,16 m
A verdadeira posio da linha neutra :
x = 1,25 x 0,16
x = 0,20m
Considerando que o centro geomtrico das armaduras continua no centro geomtrico
das armaduras de protenso, o que a favor da segurana j que o brao de alavanca
seria aumentado caso fosse calculado, pois a armadura passiva est mais abaixo da
armadura de protenso), o brao de alavanca :
Z = 1,90 0,15 0,5 x 0,16
Z = 1,67 m
Sendo assim o momento ltimo resistente dessa viga :
MU = FAO x Z
MU = 7999,51 x 1,67
MU = 13359,18 KN x m
Concluso: Como o momento ltimo resistente maior que o momento ltimo de
clculo a pea passa pela verificao da ruptura.
Md < MU
10701,73 < 13359,18 KN x m
4,1
3500085,051,7999 CA
83
6.2 LONGARINA INTERMEDIRIA
6.2.1. DETERMINAO DA PROTENSO NECESSRIA
Os dados conforme clculo no item 1.6 so:
A = 1,25 m
Wi = 0,292 m Ws = 0,666 m
Ki = 0,233 m Ks = 0,533 m
yi = 1,32m ys = 0,58m
Analisaremos a seo 5, que a mais solicitada. Para esta longarina temos os seguintes
esforos solicitantes:
Mg = 4595,63 KN x m
MQ +
= 1137,99 + 1492,88
MQ +
= 2630,87 KN x m
Para a condio de protenso limitada, preciso verificar se o pior caso ocorre com o
carregamento quase permanente (CQP) ou com o carregamento freqente (CF).
Carregamento Quase Permanente (CQP)
Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de descompresso, ou seja, a mxima tenso admissvel trao na pea :
t = 0
O momento utilizado nesse caso :
M = Mg + 0,3 x MQ +
M = 4595,63 + 0,3 x 2630,87
M = 5384,89 KN x m
A fora de protenso necessria dada por:
pi
iiCQP
eK
WMP
Onde:
M momento calculado para o carregamento quase permanente(KN x m); i tenso mxima permitida de trao nas fibras inferiores(KN/m); Wi modulo de resistncia flexo das fibras inferiores(m); Ki distncia nuclear para as fibras inferiores(m); ep excentricidade da fora de protenso em relao ao c.g. da seo(m).
84
O valor da excentricidade da protenso pode ser calculado do seguinte modo:
ep = yi 0,15 ep = 1,32 0,15
ep = 1,17 m
Obs: Foi suposto que a distncia da face inferior do conjunto at o centro de geomtrico das armaduras
de 0,15m, ao final do clculo se essa distncia for maior que o arbitrado, devem ser refeitos os clculos
para a nova distncia e verificar se ainda a pea ainda possui resistncia adequada. Caso a distncia seja menor que 0,15m no necessria nenhuma verificao, pois isso resulta um brao de alavanca interno
maior do que o arbitrado, ou seja, a favor da segurana.
O clculo do valor da fora necessria de protenso :
17,1233,0
292,0048,5144PCQP
(5384,89-0x0,292)/0,233+1,17
PCQP = 3838,13 KN
Carregamento Freqente (CF)
Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de formao de fissuras, ou seja, a
mxima tenso admissvel trao na pea :
3 2
t fck21,0
3 2
t 3521,0
t = 2,25 Mpa ou
t = 2250 KN/cm
O momento utilizado nesse caso :
M = Mg + 0,5 x MQ +
M = 4595,63 + 0,5 x 2630,87
M = 5911,1 KN x m
O clculo do valor da fora necessria de protenso :
17,1233,0
292,0225063,5830PCF
(5911,1-2250x0,292)/0,233+1,17
PCF = 3744,9 KN
Como o valor de PCF < PCQP, ento o valor que deve ser utilizado para protenso :
PCQP = P = 3838,13 KN
85
O valor calculado acima o valor necessrio para a fora, porm sempre existe uma
perda de aproximadamente 25%. Sendo assim, a fora inicial com que deve ser
protendida a viga :
75,0
PPINICIAL
75,0
55,3687PINICIAL (3838,13/0,75) PINICIAL = 5117,5 KN
Iremos adotar cabos com 12 12,5mm, cujas caractersticas esto descritas abaixo.
Tipo: CP 190 RB
A = 0,987 cm (rea de 1 de 12,5mm)
O valor da fora que um cabo de protenso pode fornecer :
Po = 12 x A x 0,77 x e Po = 12 x 0,987 x 0,77 x 190
Po = 1732,77 KN
O nmero de cabos necessrios :
O
INICIAL
P
Pn
77,1732
73,4916n (5117,5/1732,77) n = 2,95
Como precisamos de um nmero inteiro de cabos, poderiamos arredondar para o
nmero inteiro mais prximo (3 cabos), mas como 2,95 est muito prximo de 3, pode
ser que ao adotar 3 cabos, aps todas as perdas, os mesmos no tenham eficincia em
fornecer a fora de protenso necessria. Portanto iremos adotar um cabo o seguinte
nmero de cabos:
n = 4 cabos
86
6.2.2. DETALHE DO LANAMENTO DOS CABOS
DETALHE DA SEO CENTRAL
DETALHE DA SEO DO APOIO
87
DETALHE DA SADA DOS CABOS NA SEO DO APOIO
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEO CENTRAL
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEO DO APOIO
88
6.2.3 PERDAS IMEDIATAS
Todas as perdas imediatas acontecem em canteiro, onde a viga protendida,
portanto todas as caractersticas geomtricas devem ser tomadas em relao a viga pr-
moldada, conforme calculado em 1.1
6.2.3.1 PERDAS POR ATRITO EM CABOS PS-TRACIONADOS
A fora de protenso aps as perdas por atrito dada pela equao:
P = Po x (1 k x)
Onde:
coeficiente de atrito = 0,2 ngulo de sada do cabo em relao a horizontal (rad); k coeficiente de atrito por irregularidade do cabo = 0,002 m -1 x comprimento do trecho analisado.
Para o cabo 1, aps as perdas por atrito, a fora de protenso :
Na posio x = 5,0m (posio do fim do trecho parablico):
5002,0
180
30,72,0177,1732P1
P1 = 1671,29 KN
Na posio x = 15,0m (posio da seo analisada):
15002,0
180
30,72,0177,1732P1
P1 = 1636,63 KN
Para o cabo 2, aps as perdas por atrito, a fora de protenso :
Na posio x = 7,5m (posio do fim do trecho parablico):
5,7002,0
180
87,102,0177,1732P2
P2 = 1641,03 KN
Na posio x = 15,0m (posio da seo analisada):
15002,0
180
87,102,0177,1732P2
P2 = 1615,04 KN
89
Para o cabo 3, aps as perdas por atrito, a fora de protenso :
Na posio x = 10,0m (posio do fim do trecho parablico):
75,8002,0
180
88,122,0177,1732P3
P3 = 1624,54 KN
Na posio x = 15,0m (posio da seo analisada):
15002,0
180
88,122,0177,1732P3
P3 = 1602,88 KN
Para o cabo 4, aps as perdas por atrito, a fora de protenso :
Na posio x = 10,0m (posio do fim do trecho parablico):
10002,0
180
64,152,0177,1732P4
P4 = 1603,52 KN
Na posio x = 15,0m (posio da seo analisada):
15002,0
180
64,152,0177,1732P4
P4 = 1586,19 KN
A fora total P antes da protenso era:
P = 4 x 1732,77
P = 6931,08 KN
A fora total de protenso aps as perdas por atrito :
P = 1636,63 + 1615,04 + 1602,88 + 1586,19
PREDUZIDO = 6440,74 KN
A perda representativa das foras de atrito :
% perdas de atrito = 100P
PP
INICIAL
REDUZIDOINICIAL
90
% perdas de atrito = 10008,6931
74,644008,6931
% perdas de atrito = 7,07 %
6.2.3.2 PERDAS POR ACOMODAO DAS CUNHAS
A perda por acomodao das cunhas dada por:
0,006
AE
)a(aP
2
a
AE
2PP211aXo 1
Onde:
a1 posio do final do trecho parablico, em relao ao apoio; Px=a1 fora de protenso no final do trecho parablico; E mdulo de elasticidade do concreto = 19000 KN/cm; A rea de ao do cabo em anlise = 12 x0,987 = 11,844 cm; a2 posio da seo em estudo, em relao ao apoio; P perda de protenso (KN).
Para o cabo 1:
0,006
844,1190001
5)1(P
2
5
844,1190001
229,167177,7321 1
P1 = 69,52 KN
Para o cabo 2:
0,006
844,1190001
5)1(P
2
7,5
844,1190001
203,164177,7321 2
P2 = 44,14 KN
Para o cabo 3:
0,006
844,1190001
5)1(P
2
8,75
844,1190001
254,162477,7321 3
P3 = 26,88 KN
Para o cabo 4:
0,006
844,1190001
5)1(P
2
10
844,1190001
252,160377,7321 4
P4 = 3,85 KN
91
A fora total P antes da protenso era: P = 6931,08 KN
A perda de protenso por cravao :
PTOTAL = P1 + P2 + P3 + P4
PTOTAL = 69,52 + 44,14 + 26,88 + 3,85
PTOTAL = 144,39 KN
A perda representativa da cravao das cunhas :
% perdas por cravao = 100P
P
INICIAL
TOTAL
% perdas por cravao = 10008,6931
39,144
% perdas por cravao = 2,08 %
A perda total devido s foras de atrito e cravao das cunhas :
% perdas por atrito + cravao = 7,07 + 2,08
% perdas por atrito + cravao = 9,15 %
6.2.3.3 PERDAS NA PROTENSO SUCESSIVA
A perda de tenso na armadura por protenso sucessiva dada por:
2n
1n CPgP
Onde:
perda de tenso na armadura (KN/m); P relao entre o mdulo elasticidade do ao de protenso e do concreto = 5,85; g tenso no c.g. da armadura devido ao peso prprio somente da longarina; cp tenso no concreto devido a protenso (KN/m); n nmero de cabos.
O valor de g :
P
VP
go
g eI
M )15,002,1(
0,205
2165,63g g = 9190,70 KN/m
O valor de cp :
I
e
A
1P
2
Pcp
0,205
0,87
0,77
135,2966
2
cp cp = - 31424,43 KN/m
92
42
1443,3142470,919085,5
= - 48775,25 KN/m
A perda por protenso sucessiva :
PTOTAL = x A
PTOTAL = - 48775,25 x 4 x 12 x 0,0000987
PTOTAL = 231,08 KN
A perda representativa da protenso sucessiva :
% perdas por protenso sucessiva = 100P
P
INICIAL
TOTAL
% perdas por protenso sucessiva = 10008,6931
08,231
% perdas por protenso sucessiva = = 3,33 %
A perda imediata total :
% perdas por atrito + cravao + protenso sucessiva = 9,15 + 3,33
% perdas por atrito + cravao + protenso sucessiva = 12,48 %
6.2.4 PERDAS LENTAS
As perdas lentas possuem quatro origens:
- Retrao no concreto; - Fluncia no concreto; - Relaxao do ao; - Fluncia da armadura de protenso;
A perda de tenso aps todas as perdas lentas dada por:
21
1
21
2
1000
1000,
C
P
C
PP
PipigcPPCS
I
e
AA
E
onde:
cs deformao de retrao aps a estabilizao = - 0,00021 m/m/ c,pig tenso no concreto na posio da resultante da armadura de protenso; pi tenso na armadura devido a fora de protenso aps perdas imediatas; Ap rea das armaduras de protenso; Ac rea da seo composta (viga + laje).
93
O valor da protenso aps todas as perdas imediatas :
P = 1732,77 x 4 0,1248 x (1732,77 x 4)
P = 6066,08 KN
O valor de c,pig :
Mg = 4595,63 KN x m (retirado da tabela 5.1)
c,pig = - 12435,69 KN/m
O valor de pi :
A perda de tenso devido as perdas lentas :
= - 214814,14 KN/m
A perda lenta total :
PTOTAL = x A
PTOTAL = - 214814,14 x 4 x 12 x 0,0000987
PTOTAL = 1017,7 KN
A perda lenta total :
% perdas lentas = 100P
P
INICIAL
TOTAL
% perdas lentas = 10008,6931
02,1089 (954,27/6931,08)*100
% perdas lentas = 14,68 %
386,0
)15,032,1(08,6066
1,25
6066,08)15,032,1(
0,386
4115,25
2
pigc,
I
eP
A
Pe
I
M
2
Pp
g
pigc,
2
pipi
P
pi KN/m02,28041210,0000987124
6066,08
A
P
2
2,21
386,0
17,1
25,1
10000987,012485,5
2
059,01
059,002,12804122,276,1389185,51900000000021,0
2
94
6.2.5 PERDAS TOTAIS
A perda total :
Perda Total = Perdas imediatas + Perdas Lentas
Perda Total = 12,48 + 14,68
Perda Total = 27,16 %
A fora final de protenso na seo 5 aps todas as perdas :
P = 1732,77 x 4 0,2716 x (1732,77 x 4) P = 5048,6 KN
Concluso: Como a fora final de protenso aps todas as perdas ainda maior que a
fora de protenso necessria, esta protenso atende a protenso limitada.
P < P APS PERDAS
3838,13 < 5048,6
6.2.6 VERIFICAO DO ELU
Iremos adotar como armadura passiva 2 16mm. Fora de protenso aps perdas: P = 5048,6 KN (calculado no item 6.2.5)
O ao de protenso j possui um pr-alongamento de:
0,00511
O momento de clculo na ruptura :
Md = 1,35 x 4595,63 + 1,5 x 2630,87
Md = 10150,41 KN x m
Fazendo a hiptese de que a pea est nos domnios 2 ou 3, ento a armadura escoa, e a
fora no ao :
FAO = 7999,51 KN
Para esta fora a rea de concreto necessria para equilibrar essa fora de:
FAO = F CON = Ac x 0,85 x fcd
005,0190000000
1
4120000987,0
90,49779,0
PR
15,1
190987,0124
15,1
5098,12 AOF
95
AC = 0,38 m
rea da laje = 2,40 x 0,20 = 0,48 m (conclui-se que a rea est dentro da laje)
0,38 = x x 2,40 x = 0,16 m
A verdadeira posio da linha neutra :
x = 1,25 x 0,16
x = 0,20m
Considerando que o centro geomtrico das armaduras continua no centro geomtrico
das armaduras de protenso, o que a favor da segurana j que o brao de alavanca
seria aumentado caso fosse calculado, pois a armadura passiva est mais abaixo da
armadura de protenso), o brao de alavanca :
Z = 1,90 0,15 0,5 x 0,16
Z = 1,67 m
Sendo assim o momento ltimo resistente dessa viga :
MU = FAO x Z
MU = 7999,51 x 1,67
MU = 13359,18 KN x m
Concluso: Como o momento ltimo resistente maior que o momento ltimo de
clculo a pea passa pela verificao da ruptura.
Md < MU
10150,41 < 13359,18 KN x m
4,1
3500085,051,7999 CA
96
6.3 LONGARINA CENTRAL
6.3.1. DETERMINAO DA PROTENSO NECESSRIA
Os dados conforme clculo no item 1.6 so:
A = 1,25 m
Wi = 0,292 m Ws = 0,666 m
Ki = 0,233 m Ks = 0,533 m
yi = 1,32m ys = 0,58m
Analisaremos a seo 5, que a mais solicitada. Para esta longarina temos os seguintes
esforos solicitantes:
Mg = 4560,75 KN x m
MQ +
= 599,76 + 1486,13
MQ +
= 2085,89 KN x m
Para a condio de protenso limitada, preciso verificar se o pior caso ocorre com o
carregamento quase permanente (CQP) ou com o carregamento freqente (CF).
Carregamento Quase Permanente (CQP)
Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de descompresso, ou seja, a mxima tenso admissvel trao na pea :
t = 0
O momento utilizado nesse caso :
M = Mg + 0,3 x MQ +
M = 4560,75 + 0,3 x 2085,89
M = 5186,52 KN x m
A fora de protenso necessria dada por:
pi
iiCQP
eK
WMP
Onde:
M momento calculado para o carregamento quase permanente(KN x m); i tenso mxima permitida de trao nas fibras inferiores(KN/m); Wi modulo de resistncia flexo das fibras inferiores(m); Ki distncia nuclear para as fibras inferiores(m); ep excentricidade da fora de protenso em relao ao c.g. da seo(m).
97
O valor da excentricidade da protenso pode ser calculado do seguinte modo:
ep = yi 0,15 ep = 1,32 0,15
ep = 1,17 m
Obs: Foi suposto que a distncia da face inferior do conjunto at o centro de geomtrico das armaduras
de 0,15m, ao final do clculo se essa distncia for maior que o arbitrado, devem ser refeitos os clculos
para a nova distncia e verificar se ainda a pea ainda possui resistncia adequada. Caso a distncia seja menor que 0,15m no necessria nenhuma verificao, pois isso resulta um brao de alavanca interno
maior do que o arbitrado, ou seja, a favor da segurana.
O clculo do valor da fora necessria de protenso :
17,1233,0
292,0048,5144PCQP
(5186,52-0*0,292)/(0,233+1,17)
PCQP = 3696,74 KN
Carregamento Freqente (CF)
Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de formao de fissuras, ou seja, a
mxima tenso admissvel trao na pea :
3 2
t fck21,0
3 2
t 3521,0
t = 2,25 Mpa ou
t = 2250 KN/cm
O momento utilizado nesse caso :
M = Mg + 0,5 x MQ +
M = 4560,75 + 0,5 x 2085,89
M = 5603,7 KN x m
O clculo do valor da fora necessria de protenso :
17,1233,0
292,0225063,5830PCF
(5603,7-2250X0,292)/(0,233+1,17)
PCF = 3525,8 KN
Como o valor de PCF < PCQP, ento o valor que deve ser utilizado para protenso :
PCQP = P = 3696,74 KN
98
O valor calculado acima o valor necessrio para a fora, porm sempre existe uma
perda de aproximadamente 25%. Sendo assim, a fora inicial com que deve ser
protendida a viga :
75,0
PPINICIAL
75,0
55,3687PINICIAL (3696,74)/0,75 PINICIAL = 4929 KN
Iremos adotar cabos com 12 12,5mm, cujas caractersticas esto descritas abaixo.
Tipo: CP 190 RB
A = 0,987 cm (rea de 1 de 12,5mm)
O valor da fora que um cabo de protenso pode fornecer :
Po = 12 x A x 0,77 x e Po = 12 x 0,987 x 0,77 x 190
Po = 1732,77 KN
O nmero de cabos necessrios :
O
INICIAL
P
Pn
77,1732
73,4916n (4929/1732,77) n = 2,84
Como precisamos de um nmero inteiro de cabos, poderiamos arredondar para o
nmero inteiro mais prximo (3 cabos), mas como 2,83 est muito prximo de 3, pode
ser que ao adotar 3 cabos, aps todas as perdas, os mesmos no tenham eficincia em
fornecer a fora de protenso necessria. Portanto iremos adotar um cabo o seguinte
nmero de cabos:
n = 4 cabos
99
6.3.2. DETALHE DO LANAMENTO DOS CABOS
DETALHE DA SEO CENTRAL
DETALHE DA SEO DO APOIO
DETALHE DA SADA DOS CABOS NA SEO DO APOIO
100
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEO CENTRAL
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEO DO APOIO
101
6.3.3 PERDAS IMEDIATAS
Todas as perdas imediatas acontecem em canteiro, onde a viga protendida,
portanto todas as caractersticas geomtricas devem ser tomadas em relao a viga pr-
moldada, conforme calculado em 1.1
6.3.3.1. PERDAS POR ATRITO EM CABOS PS-TRACIONADOS
A fora de protenso aps as perdas por atrito dada pela equao:
P = Po x (1 k x)
Onde:
coeficiente de atrito = 0,2 ngulo de sada do cabo em relao a horizontal (rad); k coeficiente de atrito por irregularidade do cabo = 0,002 m -1 x comprimento do trecho analisado.
Para o cabo 1, aps as perdas por atrito, a fora de protenso :
Na posio x = 5,0m (posio do fim do trecho parablico):
5002,0
180
30,72,0177,1732P1
P1 = 1671,29 KN
Na posio x = 15,0m (posio da seo analisada):
15