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PROJETO GEOMÉTRICO DE
RODOVIAS
Curso: 7º Período - Engenharia de Agrimensura e Cartográfica
Prof. Paulo Augusto F. Borges
CURVAS VERTICAIS
O projeto de uma estrada em perfil é constituído de
greides retos, concordados dois a dois por curvas verticais. Os
greides retos são definidos pela sua declividade, expressa em
porcentagem (𝑖 %).
A declividade é a tangente do ângulo que fazem com a
horizontal.
Greides ascendentes: rampas positivas (+𝑖 %).
Greides descendentes: rampas negativas (−𝑖 %).
O perfil longitudinal deve assumir o mesmo sentido do
estaqueamento.
CURVAS VERTICAIS
1. Introdução
PIV – Interseção dos greides retos
PCV – Ponto de Curva Vertical
PTV – Ponto de Tangência Vertical
O comprimento 𝐿 de uma curva vertical é definido pela
projeção horizontal da curva.
CURVAS VERTICAIS
1. Introdução
Figura 1: Perfil de uma estrada.
Tipos de curvas clássicas de concordância vertical:
Parábola de 2º grau;
Curva circular;
Elipse;
Parábola cúbica.
Recomendação do DNIT: Parábola de 2º grau.
Preferência por simetria em relação ao PIV, ou seja,
mesma projeção da distância horizontal entre o PCV e PIV e do
PIV ao PTV.
CURVAS VERTICAIS
1. Introdução
Figura 2: Parábolas de 2º grau: simples (a) e composta (b).
CURVAS VERTICAIS
1. Introdução
Essas parábolas são definidas pelo seu parâmetro de
curvatura K, que traduz a taxa de variação da declividade
longitudinal na unidade do comprimento, estabelecida para cada
velocidade. O valor de K representa o comprimento da curva no
plano horizontal, em metros, para cada 1% de variação na
declividade longitudinal.
Os comprimentos L das curvas de concordância vertical
são obtidos multiplicando os valores do parâmetro K pela diferença
algébrica A, em percentagem, das rampas concordadas, ou seja,
𝐿 = 𝐾 ∙ 𝐴. Para facilidade de cálculo e locação, os valores
adotados para L são geralmente arredondados para múltiplos de
20 m.
CURVAS VERTICAIS
1. Introdução
Vantagens do uso de parábolas do 2º grau:
A equação da curva é simples;
A transformada da parábola devido às duas escalas
no perfil é também um parábola;
A taxa de variação de declividade da parábola é
constante;
O PCV e o PTV pode ser locado em estaca inteira
ou +10.00 m, conforme conveniência do projeto.
CURVAS VERTICAIS
1. Introdução
𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2; (𝐿1 ≠ 𝐿2)
𝐹 =𝐿1∙𝐿2
2∙𝐿∙ 𝑔 𝑓1 =
𝐹
𝐿1²∙ 𝑥1² 𝑓2 =
𝐹
𝐿2²∙ 𝑥2²
CURVAS VERTICAIS
1. Introdução
Figura 3: Elementos da parábolas de 2º grau composta.
Nos estudos de curvas verticais é muito utilizada a
expressão 𝑖1 − 𝑖2, que é a variação total da declividade do
greide:
g = 𝑖1 − 𝑖2
A expressão acima é algébrica e os sinais das
rampas 𝑖1 𝑒 𝑖2 devem ser mantidos. Pelo sinal de 𝑔
podemos dizer se a curva é côncava ou convexa:
Se 𝑔 > 0 a curva será convexa;
Se 𝑔 < 0 a curva será côncava;
CURVAS VERTICAIS
1. Introdução
A parábola simples é uma curva muito próxima a uma
circunferência. Assim é comum referir-se ao valor do raio da
curva vertical 𝑅𝑣. O valor de 𝑅𝑣 é o menor raio instantâneo da
parábola:
L = 𝑅𝑣 ∙ 𝑔 = 𝑅𝑣 ∙ 𝑖1 − 𝑖2
Observa-se um maior conforto nas curvas convexas em
relação às côncavas. Nas curvas côncavas, a aceleração da
gravidade terrestre e a aceleração centrífuga se somam. Nas
convexas as acelerações são subtrativas, gerando um efeito de
flutuação.
CURVAS VERTICAIS
1. Introdução
CURVAS VERTICAIS
2. Tipos de Curvas Verticais
Figura 4: Tipos de Curvas Verticais.
CURVAS VERTICAIS
3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples
Figura 5: Esquema para cálculo das cotas e flechas das parábolas.
CURVAS VERTICAIS
3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples
Inicialmente precisamos determinar os coeficientes 𝑎, 𝑏
e 𝑐 da equação da parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Para isso,
temos:
a) Na origem dos eixos 𝑥 = 0𝑦 = 0
→ 𝑐 = 0
b) A derivada da curva no ponto PCV é igual à inclinação da
reta tangente à curva.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑖1
2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑖1𝑥 = 0
} → 𝑏 = 𝑖1
CURVAS VERTICAIS
3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples
c) A derivada da curva no ponto PTV é igual à inclinação da
reta tangente à curva. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑖2
2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑖2𝑥 = 𝐿
} → 2𝑎𝐿 + 𝑖1 = 𝑖2
𝑎 =𝑖2 − 𝑖12𝐿
Substituindo os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐, e fazendo g = 𝑖1 − 𝑖2, a
equação geral da parábola será dada por:
𝑦 =−𝑔
2𝐿∙ 𝑥2 + 𝑖1 ∙ 𝑥
CURVAS VERTICAIS
3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples
A equação anterior fornece a ordenada y de qualquer ponto
de abcissa x da curva, o que permite a determinação das
coordenadas dos pontos da curva em relação ao PCV. Para o cálculo
das cotas de um ponto genérico P em relação a um plano de
referência, deve-se utilizar a seguinte equação:
𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃 =−𝑔
2𝐿∙ 𝑥2 + 𝑖1 ∙ 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑎 (𝑃𝐶𝑉)
Ainda observando a figura 5 temos:
𝑓 + 𝑦 = 𝑖1 ∙ 𝑥 ∴ 𝑓 −𝑔
2𝐿∙ 𝑥2 + 𝑖1 ∙ 𝑥 = 𝑖1 ∙ 𝑥
CURVAS VERTICAIS
3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples
𝑓 =𝑔
2𝐿∙ 𝑥2
Onde:
𝑓 = flecha da parábola
𝑔 = diferença algébrica das rampas
𝐿 = Comprimento da curva vertical
𝑥 = distância horizontal do ponto de cálculo da flecha ao PCV.
No ponto PIV temos a flecha máxima dada por:
𝐹 =𝑔
2𝐿∙
𝐿
2
2
=𝑔 ∙ 𝐿
8
CURVAS VERTICAIS
4. Cálculo do Ponto de Ordenada Máxima ou Mínima
Derivando a equação 𝑦 =−𝑔
2𝐿∙ 𝑥2 + 𝑖1 ∙ 𝑥 temos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
−𝑔
𝐿∙ 𝑥 + 𝑖1
No ponto de máximo ou mínimo temos:
𝑥 = 𝐿0 e 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0
Fazendo as substituições temos:
𝐿0 =𝑖1∙𝐿
𝑔 𝑦0 =
𝑖1²∙𝐿
2𝑔
CURVAS VERTICAIS
5. Cálculo das Cotas e Estacas do PCV e PTV
Para este cálculo utilizamos as seguintes relações:
𝐸 𝑃𝐶𝑉 = 𝐸 𝑃𝐼𝑉 −𝐿
2
𝐸 𝑃𝑇𝑉 = 𝐸 𝑃𝐼𝑉 +𝐿
2
𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐶𝑉 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑖1 ∙𝐿
2
𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝑇𝑉 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 + 𝑖2 ∙𝐿
2
CURVAS VERTICAIS
6. Comprimento mínimo de Curvas Verticais
(Critério de Distância de Visibilidade)
Elementos retos do perfil longitudinal são concordados por
curvas verticais, convexas ou côncavas, cujos comprimentos mínimos
devem satisfazer os requisitos de visibilidade.
Sempre que possível utilizar valores maiores que os mínimos
estabelecidos, caso contrário têm-se curvas verticais muito curtas, as
quais devem ser evitadas.
Devem ser consideradas dois tipos de distâncias de visibilidade:
Distância de Visibilidade de Parada;
Distância de Visibilidade de Ultrapassagem.
No segundo caso, normalmente leva-se a valores exagerados para o
comprimento das curvas verticais, que são de difícil aplicação prática.
CURVAS VERTICAIS
6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas
O mínimo comprimento das curvas verticais
convexas é determinado em função das condições
necessárias de visibilidade nas curvas, de forma a dar
espaço necessário ao motorista para frenagem segura,
quando este avista um obstáculo. O critério recomendado
requer que um motorista com seu campo de visão situado a
uma altura 𝐻 = 1,10 𝑚 acima do plano da pista enxergue
um obstáculo situado sobre a pista, com altura ℎ =0,15 𝑚.
CURVAS VERTICAIS
6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas
CASO I: A distância de visibilidade (S) é menor ou
igual ao comprimento da curva (L), isto é, 𝑆 ≤ 𝐿.
Figura 6: Comprimento mínimo de curvas verticais convexas, (𝑆 ≤ 𝐿).
CURVAS VERTICAIS
6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas
Sabemos que 𝑓 =𝑔
2𝐿∙ 𝑥2, logo, na figura anterior,
a equação da parábola para o sistema de eixos escolhido é:
𝑧 =𝑔
2𝐿∙ 𝑥2 = 𝑘 ∙ 𝑥2
Como 𝐹 =𝑔∙𝐿
8→ 𝑔 =
8∙𝐹
𝐿, logo 𝑧 =
8∙𝐹
𝐿
2𝐿∙ 𝑥2 =
4∙𝐹
𝐿2∙ 𝑥2, e
assim:
𝑧 =𝐹
𝐿 2 2∙ 𝑥2
CURVAS VERTICAIS
6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas
Ainda com relação à Figura 6, temos:
𝐻 = 𝑘 ∙ 𝑆12 e ℎ = 𝑘 ∙ 𝑆2
2. Fazendo as devidas substituições
temos: 𝐻
𝑆12 =
𝐹
𝐿 2 2 e ℎ
𝑆22 =
𝐹
𝐿 2 2
Obtendo-se portanto:
𝑆1 =𝐿
2∙
𝐻
𝐹 e 𝑆2 =
𝐿
2∙
ℎ
𝐹
Substituindo estes valores na equação 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2, temos:
CURVAS VERTICAIS
6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas
𝑆 =𝐻 ∙ 𝐿 2 + ℎ ∙ 𝐿 2
𝐹=
𝐿
2∙
𝐻 + ℎ
𝐹
Numa curva vertical 𝐹 =𝐴∙𝐿
800. Substituindo-se na anterior,
temos:
𝑆 =10 8 ∙ 𝐿 ∙ 𝐻 + ℎ
2 ∙ 𝐴 ∙ 𝐿
𝐿 =𝑆2
200 ∙ 𝐻 + ℎ2 ∙ 𝐴
CURVAS VERTICAIS
6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas
Substituindo os valores 𝐻 = 1,10 𝑚 e ℎ = 0,15 𝑚, temos:
𝐿 =𝑆2
412∙ 𝐴 = 𝐾 ∙ 𝐴
Na condição limite, temos 𝑆 = 𝐷𝑃. Logo, o comprimento mínimo da
curva vertical é:
𝐿𝑚í𝑛 =𝐷𝑃
2
412∙ 𝐴 = 𝐾𝑚í𝑛 ∙ 𝐴
Onde:
𝐴 = diferença algébrica das rampas, em %.
𝐾 = parâmetro da parábola, em metros.
CURVAS VERTICAIS
CURVAS VERTICAIS
6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas
CASO 2: A distância de visibilidade (S) é maior que
o comprimento da curva (L), isto é, 𝑆 > 𝐿.
Figura 7: Comprimento mínimo de curvas verticais convexas (S > L).
CURVAS VERTICAIS
6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas
Da Figura 7 podemos deduzir:
𝑆 =𝐿
2+
𝐻
𝑚+
ℎ
𝑛
Para S mínimo, a linha de visão deve ser tangente ao
vértice da curva. Logo, a taxa de variação de n deve ser
igual e oposta à de m, ou seja:
𝛿𝑆
𝛿𝑚=
𝛿𝑆
𝛿𝑛→
−𝐻
𝑚2=
−ℎ
𝑛2→
𝐻
𝑚2=
ℎ
𝑛2
CURVAS VERTICAIS
6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas
onde:
𝑚 = 𝑛 ∙𝐻
ℎ e 𝑛 = 𝑚 ∙
ℎ
𝐻
Escrevendo m e n em função da diferença algébrica dos greides
(A), temos:
𝑚 =𝐴 100
ℎ
𝐻+1
e 𝑛 =𝐴 100
𝐻
ℎ+1
Substituindo os valores de m e n na equação 𝑆 =𝐿
2+
𝐻
𝑚+
ℎ
𝑛,
temos:
CURVAS VERTICAIS
6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas
𝑆 =𝐿
2+
ℎ + 𝐻2
𝐴 100
Isolando L, temos:
𝐿 = 2S −2 ∙ ℎ + 𝐻
2
𝐴 100
Substituindo os valores de 𝐻 = 1,10 𝑚 e ℎ = 0,15 𝑚, temos:
𝐿 = 2S −412
𝐴
CURVAS VERTICAIS
6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas
Na condição limite, temos 𝑆 = 𝐷𝑃, logo o comprimento mínimo
da curva vertical é:
𝐿𝑚í𝑛 = 2𝐷𝑃 −412
𝐴
Onde:
𝐴 = diferença algébrica das rampas, em %.
𝐷𝑃 = distância de visibilidade de parada, em metros.
CURVAS VERTICAIS
6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas
Durante o dia e no caso de pistas iluminadas
artificialmente, geralmente não ocorrem problemas de
visibilidade. Para pistas não iluminadas, aplica-se o critério
da visibilidade noturna, ou seja, a pista deve ser iluminada à
distância de visibilidade de parada pelo farol do veículo, por
hipótese situado a 0,61 𝑚 acima do plano da pista,
supondo que o seu facho luminoso diverge 1º do eixo
longitudinal do veículo.
CURVAS VERTICAIS
6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas
CASO 1: A distância de visibilidade (S) é menor ou
igual ao comprimento da curva (L), isto é, 𝑆 ≤ 𝐿.
Figura 8: Comprimento mínimo de curvas verticais côncavas (𝑆 ≤ 𝐿).
CURVAS VERTICAIS
6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas
Da figura 8 pode-se deduzir:
𝐹
𝐿 2 2=
𝑣 ∙ 𝑆100 + ℎ
𝑆2
Como 𝐹 =𝐴∙𝐿
800, temos:
𝐴 ∙ 𝐿800𝐿 2 2
=𝑣 ∙ 𝑆 + 100 ∙ ℎ
100 ∙ 𝑆2
CURVAS VERTICAIS
6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas
𝐿 =𝐴 ∙ 𝑆2
2 ∙ 𝑣 ∙ 𝑆 + 100 ∙ ℎ
Empregando os valores (ℎ = 0,61 𝑚 𝑒 𝑣 = 1,75%)
recomendados, temos:
𝐿 =𝑆2
122 + 3,5 ∙ 𝑆∙ 𝐴
CURVAS VERTICAIS
6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas
Na condição limite, temos 𝑆 = 𝐷𝑃, logo o comprimento
mínimo da curva vertical é:
𝐿𝑚í𝑛 =𝐷𝑃
2
122 + 3,5 ∙ 𝐷𝑃∙ 𝐴
Onde:
𝐴 = diferença algébrica das rampas, em %.
𝐷𝑃 = distância de visibilidade de parada, em metros.
CURVAS VERTICAIS
6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas
CASO 2: A distância de visibilidade (S) é maior que
o comprimento da curva (L), isto é, 𝑆 > 𝐿.
Figura 9: Comprimento mínimo de curvas verticais côncavas (𝑆 > 𝐿).
CURVAS VERTICAIS
6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas
Na figura 9 podemos observar que:
𝑆 =𝐿
2+ 𝑆1
Dos triângulos semelhantes ABC e ADE, podemos deduzir:
𝑆1
𝑣 ∙ 𝑆100 + ℎ
=𝐿 2
4 ∙ 𝐹
CURVAS VERTICAIS
6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas
Como 𝐹 =𝐴∙𝐿
800, temos:
𝑆1𝑣 ∙ 𝑆100
+ ℎ=
𝐿 2
4 ∙𝐴 ∙ 𝐿800
𝑆1 =
𝑣 ∙ 𝑆100 + ℎ
𝐴 100
Donde:
𝑆 =𝐿
2+
𝑣 ∙ 𝑆 + 100 ∙ ℎ
𝐴
CURVAS VERTICAIS
6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas
Isolando o valor de L e empregando os valores
(ℎ = 0,61 𝑚 𝑒 𝑣 = 1,75%) recomendados, temos:
𝐿 = 2 ∙ 𝑆 −122 + 3,5 ∙ 𝑆
𝐴
Na condição limite, temos 𝑆 = 𝐷𝑃, logo o comprimento
mínimo da curva vertical é:
𝐿𝑚í𝑛 = 2 ∙ 𝐷𝑃 −122 + 3,5 ∙ 𝐷𝑃
𝐴
CURVAS VERTICAIS
CURVAS VERTICAIS
CURVAS VERTICAIS
CURVAS VERTICAIS
CURVAS VERTICAIS