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Aula de Teoria dos Conjuntos, com lista de exercícios resolvidos. Exelente apresentação em Power point totalmente personalizada. Boa aula.
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Projeto Pré-Vestibular
EE Francisco D´amico Taboão da Serra 2010
MATEMÁTICA
Professores:
Julio Cesar, Luis, Marlua, Minoru, Morgana,
Raquel,Rodrigo
TEORIA DOS CONJUNTOS Um pouco de História Símbolos lógicos Pertinência Representação Igualdade e Desigualdade Inclusão Reunião e Intersecção Diferença Exercícios resolvidos Exercícios de Vestibulares
Aula 01
Um Pouco de História
Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845–1918), e se baseia na ideia de definir conjunto como uma noção primitiva.Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos.
Nascimento3 de Março de 1845São Petersburgo
Falecimento6 de Janeiro de 1918 (72 anos)
Nacionalidade
Russo
George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
Símbolos Lógicos
Pertinência
Igualdade e DesigualdadeIgualdade e Desigualdade
RepresentaçãoRepresentação
InclusãoInclusão
Diferença e ComplementarDiferença e Complementar
União e IntersecçãoUnião e Intersecção
Exemplo 1Exemplo 1
Resolução
3000 pessoas
EN
DN
FM
100
200
250
400
450 400
650
1000 liam o DN1100 liam o EN1400 liam a FM
300 liam o DN e o EN
500 liam a FM e o EN
350 liam a FM e o DN
100 liam os três jornais
Informações
550Nenhum dos Jornais
Resolução
1000 pessoas
400 pessoas
Temos: 400 + 650 = 1050 pessoas
550 pessoas
Temos: 450 + 400 + 350 = 1500 pessoas
Temos: 100 + 400 + 200 + 250 = 950 pessoas
ResoluçãoResolução
Exemplo 2
Resolvendo:
Informações:A B
128 40
Temos Portanto:
Número de elementos de B é: 12 + 40 = 52 elementos
Alternativa e
Exemplo 2
Exercícios
01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é:a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) N.d.a.
02) (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Assim:a) 150 operários trabalham em 2 períodos;b) há 500 operários na indústria;c) 300 operários não trabalham à tarde;d) há 30 operários que trabalham só de manhã;e) N.d.a.
03) (UNIV. FED. PARÁ) Num colégio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado está resumido na tabela abaixo.
150 180 100 30 40 25 20 245
O número total de alunos da escola é:a) 790 b) 600 c) 675 d) 570 e) 335
04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de X é:a) 22 b) 27 c) 24 d) 32 e) 20
05) (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:b) 48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80%
06) (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:210 compram o produto A.210 compram o produto B.250 compram o produto C.20 compram os três produtos.100 não compram nenhum dos três produtos.60 compram os produtos A e B.70 compram os produtos A e C.50 compram os produtos B e C.Quantas pessoas foram entrevistadas?
07) (UF-BH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês?
Exercícios
08) (FAAP) Os sócios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios do clube B se A tem 1600 e existem 600 que pertencem aos dois clubes?
09) (MED. RIO PRETO) Num almoço, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56 comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois, o número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 18
10) (UNIV. FED. PARÁ) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 Química e 4 ensinam Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. Quantos professores ensinam Química e Física e quantos ensinam somente Física?
a) 3 e 2. b) 2 e 5. c) 2 e 3. d) 5 e 2. e) 3 e 4.
Exercícios
Gabarito
Resolução dos Exercícios
01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é:a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) N.d.a.
Resolvendo:Informações:
Total (Universo) = 360Estudam Português P = 180Estudam matemática M= 240Estudam Português e
MatemáticaP∩M = ?
360 Alunos
P M
Temos que:240 + 180 = 420Se temos 360 alunos logo:
420 – 360 = 60 alunos
Temos no diagrama:P ∩ M = 60P = 180 M = 240
60120 180
Resolução dos Exercícios
02) (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Assim:a) 150 operários trabalham em 2 períodos;b) há 500 operários na indústria;c) 300 operários não trabalham à tarde;d) há 30 operários que trabalham só de manhã;e) N.d.a.
Informações:M = 120T = 130N = 80MT = 60MN = 50TN = 40MTN = 20
M
N
T
2020
30
40
10
5030
Respondendo Temos:Há 30 operários que trabalham só de manhã
Resolução dos Exercícios
03) (UNIV. FED. PARÁ) Num colégio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado está resumido na tabela abaixo.
150 180 100 30 40 25 20 245O número total de alunos da escola é:a) 790 b) 600 c) 675 d) 570 e) 335
Informações:A = 150B = 180C = 100A ∩ B = 30A ∩ C = 40C ∩ B = 25A ∩ B ∩ C = 20Nenhum = 245
A
C
B
245
20520
10
55
145
100
Temos Portanto:
Total de Alunos = 100+20+20+10+145+5+55+245 = 600 alunos
Resolução dos Exercícios
04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de X é:a) 22 b) 27 c) 24 d) 32 e) 20
Informações:
M4 = 12
M6 = 7
M12 = 5
M4 ∩ M6 ∩ M12 = 5
I= 8
Resolvendo:Importante observar que os múltiplos de 12 também são múltiplos de 4 e 6. Portanto temos:12- 5 = 77-5 = 2 Então 5 é a intersecção entre M4 M6 e M12. Vejamos no Diagrama:
M4
M12
M6
I5
7
0
2
8Temos então: 7+5+2+8 = 22 elementos
Resolução dos Exercícios
05) (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:a) 48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80%
Informações:Jornal A = 80%Jornal B = 60%A ∩ B = ?
Resolvendo:
Temos 80 + 60 = 140 Façamos agora : 140-100 = 40% No diagrama temos:
A B
4040 20Temos portanto o percentual de alunosQue lêem ambos é 40%
Resolução dos Exercícios
06) (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:210 compram o produto A.210 compram o produto B.250 compram o produto C.20 compram os três produtos.100 não compram nenhum dos três produtos.60 compram os produtos A e B.70 compram os produtos A e C.50 compram os produtos B e C.Quantas pessoas foram entrevistadas?
Informações:A = 210B = 210C = 250AB = 60AC = 70BC = 50ABC = 20Nenhum = 100
Resolvendo:
A
C
Nenhum
B
100
20
3050
40
150
120
100
Temos no Total:100+40+20+50+120+30+150+
100 =
610 Pessoas
Resolução dos Exercícios
07) (UF-BH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês?
Informações:Total: 45I e F = 13F = 22I = ?
Temos No Diagrama:
I F
13
9 Se temos um total de 45 alunosFazemos 45-22 = 23 alunos
Portanto temos:23 +13 =
36 alunos que estudam Inglês
23
Resolução dos Exercícios
08) (FAAP) Os sócios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios do clube B se A tem 1600 e existem 600 que pertencem aos dois clubes?
Informações:AUB = 2200A = 1600A∩B = 600B = ?
No diagrama Temos:
A B
6001000Se temos 2200 pessoas
fazemos:2200-1600 =600 pessoas.Portanto são: 600 + 600=1200 sócios do clube B
600
Resolução dos Exercícios
09) (MED. RIO PRETO) Num almoço, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56 comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois, o número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 18
Informações:Total = 94F = 56L = 41F ∩ L = 21Nenhum =
Temos No diagrama:
F L
Nenhum
21 2035
Temos portanto:94 – 76 = 18 pessoas
18
18
Resolução dos Exercícios
10) (UNIV. FED. PARÁ) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 Química e 4 ensinam Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. Quantos professores ensinam Química e Física e quantos ensinam somente Física?
a) 3 e 2. b) 2 e 5. c) 2 e 3. d) 5 e 2. e) 3 e 4.
Informações:M = 10F = 9Q = 7MF = 4MQ = 0QF = ?Somente F =
Temos no diagrama:
M
Q
F4
0
6
Temos: Se somarmos 6 + 4 + 9 + 7 = 22Portanto temos 2 professores que é exatamente a Intersecção entre Química e Física.Logo temos: 9 – 2 = 77 – 2 = 5 Professores de Física e Química são 2 e somente Física são 3
2
5
3
EE Francisco D´amicoTaboão da Serra SP
Professores: Julio Cesar
Ensino Médio
Luis GonzagaEnsino Fundamental
MarluaReforço Ensino Fundamental
MinoruEnsino Médio
MorganaEnsino Fundamental
RodrigoEnsino Fundamental
Direção e CoordenaçãoMônica Arezes
Diretora
Patricia PereiraCoordenadora
Carina MaganinCoordenadora