Projetos de compensadores lineares clássicos

UFES – UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

Trabalho de Controle Automático II

Análise e síntese de controladores clássicos via LGR e via Bode

Bruno Micaela

Vitória - 06/06/2011

1

Sumário

Objetivo ......................................................................................................................................... 2

Análise e Síntese de compensadores via LGR (Parte 1) ................................................................ 2

Metodologia .............................................................................................................................. 2

Sistema de Fase Mínima ........................................................................................................... 2

Compensador Proporcional .................................................................................................. 2

Compensador Proporcional-Derivativo ................................................................................. 6

Compensador Proporcional-Integrativo ............................................................................... 8

Compensador Proporcional-Integrativo-Derivativo .............................................................. 9

Tabelas de Testes dos Compensadores PD, PI e PID: .......................................................... 11

Sistema de Fase Não Mínima .................................................................................................. 13

Compensador Proporcional ................................................................................................ 13

Compensador Proporcional-Derivativo ............................................................................... 13

Compensador Proporcional-Integrativo ............................................................................. 15

Compensador PID ................................................................................................................ 16

Análise de Compensadores via Bode (Parte 2) ........................................................................... 19

Metodologia ............................................................................................................................ 19

Sistema de Fase Mínima ......................................................................................................... 19

Compensador Proporcional (P) ........................................................................................... 19

Compensador Proporciona Derivativo (PD)– Procedimento Padrão .................................. 21

Compensador Proporcional Integral (PI)– Procedimento padrão ...................................... 24

Compensador Proporcional Integral Derivativo (PID) – Procedimento Padrão .................. 27

Controlador Atraso – Procedimento Padrão ....................................................................... 31

Controlador Avanço – Procedimento Padrão ..................................................................... 33

Sistema de fazer não mínima .................................................................................................. 34

Compensador PD ................................................................................................................. 34

Compensador PID ................................................................................................................ 36

Compensador Avanço ......................................................................................................... 37

Outros compensadores ....................................................................................................... 38

Conclusão .................................................................................................................................... 40

2

Objetivo

Esse trabalho tem como objetivo e motivação o estudo de projetos de compensadores lineares

clássicos (P, PD, PI e PID) usando o gráfico de Lugar Geométrico das Raízes (LGR), a fim de

verificar o comportamento de controladores diante de diferentes ganhos e diferentes posições

de zeros e polos.

Para tal será usado a ferramenta rltool do programa Matlab, tal ferramenta gera o gráfico do

LGR de malha fechada e realimentação unitária, a partir da função de transferência de malha

aberta.

O objeto de estudo será a FTMA:

Em um primeiro momento faremos a análise com todos os polos negativos e, posteriormente,

faremos com um dos polos no lado positivo do plano cartesiano.

Análise e Síntese de compensadores via LGR (Parte 1)

Metodologia

Os projetos dos compensadores serão feitos de tal forma que se aproxime das seguintes

especificações: Mp = 5%, e ajuste de Tr (tempo de subido em resposta ao degrau) e erro

estacionário para o mínimo possível.

Será usado o gráfico de Bode para explicitar os valores de banda passante, frequência e

modulo de ressonância.

O ajuste do compensador será feito na técnica da tentativa e erro, onde serão alterados

ganhos no gráfico do LGR de forma que se chegue aos valores descritos na especificação e,

dependendo do compensador, também serão feitos ajustes na posição dos zeros para que se

chegue a um melhor ajuste.

Sistema de Fase Mínima

Compensador Proporcional

Para o compensador proporcional foram testados cinco valores de Kp, segue os testes de cada

um deles:

3

Kp= 1145

Figura 1: Saída da resposta ao degrau com Kp=1145.

Para esse valor de Kp foi alcançado o valor de Mp de 5%, mas os valores de Tr e de erro,

principalmente, ficaram muito ruins. O Tr ficou em 0,0568 e o valor estacionário ficou em

0,332, bem distante do almejado, que seria um.

Então iremos testar outros valores de Kp, ultrapassando o valor de Mp, para tentar melhorar o

erro estacionário.

Kp= 1822

Figura 2: Resposta a um Kp = 1822.

4

Podemos ver que o valor final melhorou passando para 0,422, em compensação o valor de Mp

subiu para 10%.

Kp = 3460

Figura 3: Resposta a um Kp = 3460.

Kp = 5370

Figura 4: Resposta a um Kp = 5370

5

Kp = 9200

Figura 5: Resposta a um Kp = 9200

Resultados:

Valores para C Peak Final Value Rise Time Erro

1145 0,349 (5%) 0,332 0,0649 0,668

1822 0,496 (10%) 0,422 0,0471 0,578

3460 0,732 (21,9%) 0,6 0,0351 0,4

5370 0,938 (34,1%) 0,7 0,0284 0,3

9200 1,23 (53,7%) 0,8 0,0218 0,2

Analisando a tabela vemos que para atender a especificação de Mp = 5% teríamos um erro

estacionário muito grande. Por isso, escolheremos o valor de C = 3460 como o compensador

proporcional desse projeto. Apesar de ter um valor de pico bem acima do especificado (o que

pode representar mais oscilação para o sistema), esse controlador consegue se aproximar de

forma aceitável do valor um e apresenta um melhor tempo de subida em relação ao

compensador de C = 1145.

Através do diagrama de Bode, podemos verificar os valores de frequência, para uma queda de

3 dB e o módulo de ressonância.

6

Figura 6: Diagrama de Bode para C = 3460

Compensador Proporcional-Derivativo

Para o compensador PD foi adicionado um zero ao sistema e depois de alguns testes, concluiu-

se que o melhor lugar para ele seria na posição -39, a esquerda do polo mais perto da origem.

Primeiro foi ajustado o ganho para que se tenha um erro de 0,3 e logo após foi feito uma

tentativa de chegar ao erro de apenas 0,2.

Para erro = 0,3, temos C = 5380:

Figura 7: Saída para C = 5380.

7

Para erro = 0,2, o valor de C encontrado foi 9190:

Figura 8: Saída para C = 9190.

Para esse valor de C o LGR encontrado foi:

Figura 9: LGR para o compensador PD.

E ainda o Diagrama de Bode:

Figura 10: Diagrama de Bode do Compensador PD.

8

No projeto do compensador PD, mas uma vez o valor de Mp teve que ser sacrificado por conta

dos altos valores de erro estacionário.

Dessa maneira o compensador escolhido (C = 9190), teve tempo de subida igual a tr = 0,0146,

erro estacionário igual a 0,2 e a localização do zero fixado em -39.

Para o auxilio do calculo dos valores de Kp e Kd, temos a equação que o Matlab nos fornece do

compensador:

Dessa forma, temos Kp = 9190 e o Kd = 9190.0,026s = 238,94s.

Compensador Proporcional-Integrativo

No compensador PI, fixa-se um polo na origem e varia o zero de forma a obter a melhor

resposta transitória.

Como se trata de um sistema de tipo 0, o polo integrativo irá retirar o erro estacionário que o

sistema tinha em resposta ao degrau.

Nos testes realizados, foi encontrado um bom valor para o zero em -15 no eixo real e o ganho

foi ajustado para que o Mp ficasse em 5%.

Figura 11: Resposta ao degrau do compensador PI.

9

E tendo como LGR o gráfico:

Figura 12: LGR do compensador PI.

Na bateria de teste foi detectado que ao se aproxima o zero da origem o valor de tr diminuía

bastante, mas o sistema passa a sofrer com o tempo de assentamento que se tornava muito

alto.

Como no compensador anterior as contas de Kp e Ki são feitas através da conta que o Matlab

nos fornece:

O que nos fornece os valores Ki = 42970 e Kp = 42970.0,067 = 2878,99.

Compensador Proporcional-Integrativo-Derivativo

Nesse compensador, foi usado os valores de zeros obtidos dos compensadores anteriores (-39

e -15) e apenas ajustado o ganho para Mp = 5%.

Dessa forma temos a seguinte saída para a entrada degrau:

10

Figura 13: Resposta ao degrau do compensador PID.

Com LGR igual a:

Figura 14: LGR do compensador PID.

Diagrama de Bode do compensador PID:

11

Figura 15: Diagrama de Bode do compensador PID.

Dessa forma o compensador PID obteve um tempo de subida de 0,022, com um Mp = 5% e sem

erro estacionário. Já o módulo da ressonância é igual a 65,5 rad/s e possui banda passante de

104 rad/s.

Tabelas de Testes dos Compensadores PD, PI e PID:

Compensador PD:

Variando a localização do zero e fixando o ganho:

Posição do Zero Valores de C Rise Time Peak Erro est.

-10 2565x(1 + 0,1s) 0,0106 0,76 (44%) 0,473

-25 2565x(1 + 0,04s) 0,0221 0,579 (10%) 0,473

-37 2565x(1 + 0,027s) 0,0295 0,554 (5,2%) 0,473

-39 2565x(1 + 0,026s) 0,0304 0,553 (5%) 0,473

-44 2565x(1 + 0,023s) 0,0325 0,552 (4,82%) 0,473

-47 2565x(1 + 0,021s) 0,0336 0,552 (4,86%) 0,473

-49 2565x(1 + 0,02s) 0,0342 0,553 (5%) 0,473

-60 2565x(1 + 0,017s) 0,0368 0,556 (5,59%) 0,473

Fixando a localização do zero em -39 e variando o ganho:

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Valores de C Rise Time Peak Erro est.

3460x(1 + 0,026s) 0,0259 0,646(7,6%) 0,4

5380x(1 + 0,026s) 0,0201 0,788(12,7%) 0,3

9190x(1 + 0,026s) 0,0146 0,964(20,6%) 0,2

20700x(1 + 0,026s) 0,009 1,21(34,9%) 0,1

5e+006x(1 + 0,026s) 0,00048 1,93(93,5%) 0

Compensador PI:

Variando a localização do zero e fixando o ganho:

Posição do Zero Valores de C Rise Time Peak Ts (Assentamento)

-1 6334x[(1+s)/s] 0,0351 1,05 (5%) 4

-10 38795x[(1+0,1s)/s] 0,0499 1,05 (5%) 0,4

-15 42970x[(1+0,067s)/s] 0,0527 1,05 (5%) 0,25

-25 37300x[(1+0,04s)/s] 0,0759 1,05 (5%) 0,22

-37 28570x[(1+0,027s)/s] 0,106 1,05 (5%) 0,33

-39 27670x[(1+0,026s)/s] 0,109 1,05 (5%) 0,33

-44 25910x[(1+0,023s)/s] 0,117 1,05 (5%) 0,38

-47 25100x[(1+0,021s)/s] 0,121 1,05 (5%) 0,4

-49 24630x[(1+0,02s)/s] 0,123 1,05 (5%) 0,4

-60 22800x[(1+0,017s)/s] 0,132 1,05 (5%) 0,42

Fixando a localização do zero em -15 e variando o ganho:

Valores de C Rise Time Peak Ts

48550x[(1+0,067s)/s] 0,0468 1,10(10%) 0,24

54500x[(1+0,067s)/s] 0,422 1,15(15%) 0,22

60800x[(1+0,067s)/s] 0,0386 1,20(20%) 0,3

Compensador PID:

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Valores de C Rise Time Peak Ts

99750x{[(1+0,0026s)x(1+0,067)]/s} 0,022 1,05(5%) 0,015

1.205e+005x{[(1+0,0026s)x(1+0,067)]/s} 0,0186 1,10(10%) 0,01

1.452e+005x{[(1+0,0026s)x(1+0,067)]/s} 0,0159 1,15(15%) 0,01

1.752e+005x{[(1+0,0026s)x(1+0,067)]/s} 0,0138 1,20(20%) 0,09

Sistema de Fase Não Mínima

Compensador Proporcional

Deslocando-se um dos polos para o valor de +38 no plano cartesiano, o sistema proporcional

passa a ter o seguinte LGR:

Figura 16: LGR do compensador proporcional com um polo positivo.

Fica fácil visualizar que existe um caminho saindo de +38 e indo para o infinito, que em

nenhum momento passa para o lado negativo do plano, desse modo o sistema em questão é

inteiramente instável.

Compensador Proporcional-Derivativo

Para o projeto desse compensador foi aceito valores de Mp de até 10% para que se tenha um

balanceamento em valor final, ts e Mp.

Foram observados alguns pontos:

14

- Inserindo o zero a esquerda do polo -48 e andando com ele para a esquerda (afastando-o do

polo), observa-se que a assíntota vertical se aproxima do eixo jw, diminuindo, assim, o domínio

de sistema estável, observa-se também que o valor final fica absurdamente grande, chegando

a 200.

- Inserindo o zero a direita da origem, se cria um caminho inteiro no lado direito do plano, fazendo com que o sistema se torne instável.

Figura 17: Root Locus para zero a direita da origem.

- Inserindo o zero próximo e a esquerda da origem, percebemos um aumento do valor final e

do tempo de subida de forma que se torna inaceitável o projeto. Com o zero em -1 e ganho em

2310, tem-se um valor final de 385 e tempo de subida de 833, obtendo-se, também, muita

oscilação no tempo próximo de zero.

Figura 18: Resposta ao degrau do sistema com zero em -1.

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A melhor resposta obtida foi ao se inserir o zero próximo do polo -48 pelo lado direito, tendo a

seguinte saída em resposta ao degrau:

Figura 19: Resposta ao degrau com zero inserido em -47.

E o diagrama de Bode:

Compensador Proporcional-Integrativo

Ao se colocar um polo integrativo, foi criado um caminho entre +38 e 0, deixando o sistema

instável, mesmo aproximando o zero da origem o caminho das assíntotas não consegue passar

para o lado esquerdo do plano, desse modo, não foi possível fazer o compensador PI. Como

pode ser visto no Root Locus do sistema:

16

Figura 20: Root Locus do compensador PI com zero inserido em -10.

Compensador PID

No projeto PID foram feitas as seguintes observações:

- Zero a direta da origem desestabiliza o sistema, já que se cria um caminho todo no lado

direito.

- Zero muito a esquerda do polo -48 também desestabiliza. Neste caso o zero teve que ficar

bem próximo do polo -48 e mesmo assim o domínio de atuação do ganho ficou bem restrito.

- Houve muita dificuldade em se ajustar o compensador, já que aumentando o ganho a

frequência do sistema aumentava muito e diminuindo o ganho, o valor de pico dispara. Nas

melhores situações o valor de Mp nunca ficou abaixo de 95%.

Então, o ajuste escolhido foi colocando o zero em -3 e em -33, obtendo-se os seguintes

resultados.

Figura 21: Root Locus para o sistema com zeros em -3 e -33.

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Figura 22: Resposta ao degrau do compensador PID.

O diagrama de Bode obtido foi:

Figura 23: Diagrama de Bode do compensador PID.

Com esses zeros e ganho os valores de Kp, Kd e Ki obtidos foram:

Desse modo, temos Kp = 28800, Kd = 792 e Ki = 80000, e ts = 0,00616, Mp = 95,9%.

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Como o sistema obtido não foi muito satisfatório foi feito uma tentativa inserindo zeros com

parte imaginária, desse modo, os zeros escolhidos foram e o LGR encontrado foi:

Figura 24: LGR para o sistema com zeros imaginários.

Resposta ao Degrau:

Figura 25: Resposta ao Degrau do sistema com zero com parte imaginária.

Diagrama de Bode:

19

Figura 26: Diagrama de Bode

Para essa nova configuração os valores de K encontrados são:

Obtendo-se os valores Kp = 30000, Kd = 64000, Ki = , Ts = 0,00389 e Mp = 85,1%, e

observou-se também que o sistema torna-se instável para valores de K < .

O que torna esse compensador pouca coisa melhor que o primeiro apresentado, que só

continha zeros reais.

Análise de Compensadores via Bode (Parte 2)

Metodologia

Para a síntese dos compensadores via Gráfico de Bode, irá ser usado o método padrão

ensinado em sala de aula e encontrado em diversos livros do gênero.

Sistema de Fase Mínima

Compensador Proporcional (P)

Para o compensador proporcional foram feitas duas abordagens. A primeira é priorizando a

Margem de Fase (MF) especificado no trabalho (60°) e segunda tentando diminuir ao máximo

possível o erro estacionário.

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Dessa maneira, para a primeira abordagem o valor do Kp foi sendo alterado até que fosse

alcançado o valor de MF desejado, desse modo foram encontrados os seguintes valores:

Figura 27: Ganho com Margem de Fase de 60°

Com Margem de Ganho (MG) de 11,2 dB e frequência da MF em 37,3 rad/s. O erro

encontrado para essa configuração foi de 31%, erro que pode ser considerado alto dependo da

finalidade do controlador.

Figura 28: Resposta ao degrau para a configuração de controlador com MF em 60°.

Para a segunda abordagem, o valor de Kp foi aumentado até o ponto em que o sistema fique

instável. Dessa forma o maior valor de Kp encontrado e que o sistema ainda esteja estável foi

21

Kp = 18684, retornando um valor de MF = 0,00224° e erro = 11%. Como pode ser visto nas

figuras abaixo:

Figura 29: Gráfico de Bode para Kp no limite da estabilidade.

Figura 30: Resposta ao degrau para Kp = 18684.

Compensador Proporciona Derivativo (PD)– Procedimento Padrão

O procedimento padrão consiste em escolher um Kp que atende ao erro em regime

estacionário, para logo em seguida inserir um zero na frequência ωg em que a margem de fase

seja de 15°. Se o zero for inserido em ωg, o módulo não subirá nesta frequência e a fase subirá

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em 45 graus, aumentando a MF. Logo, variações em torno desta frequência permitirão obter a

melhor MF possível.

Como o sistema permite erro estacionário mínimo de 11% foi escolhido um Kp = 9190, onde o

erro fique em 20% o que pode ser considerado um erro considerável e também foi o erro

escolhido na síntese do compensador via LGR.

Logo após esse procedimento é verificado a frequência em que a MF = 15°, assim:

Figura 31: Frequência ωg para MF = 15°.

Como verificado iremos colocar o zero na posição -63.6, fornecendo assim os seguintes

resultados:

Figura 32: Gráfico de Bode para o sistema PD.

23

Figura 33: Resposta para o sistema PD.

Como pôde ser visto, a síntese gerou resultados satisfatórios, com a MF chegando a um valor

bem próximo do desejado pela especificação, 58.3° para 60°, e tivemos uma boa resposta ao

degrau.

A síntese via bode mostrou-se pouca coisa inferior ao LGR, já que obteve um overshoot um

pouco maior (1.5%).

Para fins didáticos será feito uma variação nos valores de Kp para ilustrar o comportamento do

sistema diante dessa mudança:

Kp MF Erro Overshoot Ts(s)

12350 49.5° 16% 27.2% 0.112

1150 51.6° 17% 25.9% 0.092

10550 54° 18% 24.5% 0.0953

9650 56.7° 19% 23% 0.0986

8750 60° 21% 21.3% 0.102

Através da tabela é possível verificar que a diminuição do valor do Kp aumenta o erro

estacionário e a MF, ao mesmo tempo em que diminui o overshoot do sistema.

24

Também pode ser observado que, caso a MF seja uma prioridade fundamental, a escolha de

Kp= 8750 é a mais apropriada para o sistema, pois faz com que a MF fique exatamente como a

pedida pela especificação.

Compensador Proporcional Integral (PI)– Procedimento padrão

O controlador PI adiciona um polo na origem e um zero no sistema, esse polo na origem

provoca um aumento na inclinação da curva de módulo em 20dB que só é anulado a partir da

frequência de corte do zero. Além disso, ele diminui em 90° a fase do sistema, que só volta a

fase normal uma década depois do zero inserido pelo PI. A síntese do compensador será feita

usando esses fatos.

O procedimento padrão consiste em colocar o zero uma década antes do cruzamento de

ganho (módulo = 0dB) para que a margem de fase existente não seja alterada pelo distúrbio de

fase causado pelo PI, mas para usar isso de forma a atender a especificação, deve-se antes

encontrar uma frequência ωg que torne a margem de fase existente = 60°(fase exigida).

Como foi feito na síntese do compensador PD, primeiro ajustasse o sistema para um erro em

regime igual a 20% inserindo um ganho de 9190. Em seguida verifica-se em qual frequência a

MF = 60°:

Figura 34: Gráfico de Bode para MF = 60°.

Dessa maneira iremos adicionar ao sistema um polo na origem e um zero uma década antes

da frequência encontrada em MF = 60°, que nesse caso é em 3.74.

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Desse modo, obtemos as seguintes saídas:

Figura 35: Gráfico de bode para o compensador PI.

Figura 36: Resposta ao Degrau para o compensador PI.

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Figura 37: Resposta a rampa para o compensador PI.

Desse modo, chegamos a um compensador que tem a equação C

, tendo

como resultado uma MF = 117°, sem overshoot, com tempo de acomodação (Ts) = 1.54s e erro

à rampa de 0.12.

Esses valores fogem consideravelmente da especificação do sistema, então tentaremos ajustar

esse compensador para que possamos nos aproximar da Margem de Fase desejada (60%).

Ajuste do Compensador PI

Para tentarmos melhorar o compensador faremos uso da variação do valor Ki e observamos

como o sistema se comporta.

Kp MF Erro (rampa) Overshoot Ts(s)

5170 116° 0.12 Sobreamortecido 2.23



11600 92.9° 0.05 Sobreamortecido 1.16




17500 60° Instável Sobreamortecido 1.03

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Assim podemos escolher o compensador C

, para que possamos atender a

especificação do sistema e que tenha valores de resposta aceitáveis.

Em relação a síntese via LGR, esse método se mostrou mais fácil de ser feito e apresentou

resultados mais satisfatórios.

Compensador Proporcional Integral Derivativo (PID) – Procedimento Padrão

O controlador PID é escolhido para aproveitar as vantagens dos dois controladores, a ação que

é responsável por eliminar o erro estacionário ao degrau (regime permanente) mas que possui

um efeito desestabilizador que pode ser compensado com a ação derivativa que tende a

aumentar a estabilidade relativa do sistema ao mesmo tempo que torna a resposta mais

rápida devido ao seu efeito antecipatório.

O controlador PID será analisado como um PI seguido de um PD, dessa forma o procedimento

usado será a combinação dos dois apresentados anteriormente. Será feito um PI com um zero

uma década antes da frequência de cruzamento de ganho que leve a margem de fase a 15° (e

não mais a 60°) para que o PD adicione os outros 45° ao colocar o seu zero exatamente na

frequência de cruzamento de ganho, combinando 60°.

Como foi visto no compensador PD o valor Kp que torna a MF = 15° é Kp = 12350, e o

cruzamento de ganho ocorre em 63.6 rad/s, logo será colocado um zero em -6.3 (uma década

antes), o integrador e um zero em -63.6. Dessa forma foram obtidos os seguintes resultados:

Figura 38: Gráfico de Bode para o ajuste padrão de PID.

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Figura 39: Resposta do Sistema para o ajuste padrão de PID.

Figura 40: Erro estacionário para uma entrada rampa no sistema PID.

Desta forma obtivemos os valores de MF = 118°, Ts = 1.04s e overshoot praticamente zero.

Esse foi a forma padrão de síntese de um compensadores PID, agora iremos tentar construir

mais dois compensadores PID, um será um ajuste desse PID que encontramos de forma que

ele se aproxime do valor desejado na especificação para a margem de fase(60°) e um segundo

será feito para tentarmos aproximar, no tempo, do valor de 5% de overshoot.

Para o primeiro compensador o valor de Kp foi aumentado até que a MF se iguale a 60° e

possamos obter o valor da especificação, assim tivemos os resultados:

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Figura 41: Ajuste de ganho do compensador PID.

Figura 42: Resposta à entrada degrau do compensador PID ajustado.

Esse segundo compensador se mostrou mais eficiente que o achado na forma padrão, ficando

dentro de todos os requisitos da especificação, com MF = 60°, overshoot = 0.0614% e Ts =

0.453s.

E para o segundo compensador onde buscamos o overshoot de 5%, obtivemos a saída:

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Figura 43: Gráfico de Bode para sistema PID com 5% de overshoot.

Figura 44: Resposta ao sistema com 5% de overshoot.

Com esse novo compensador encontramos os valores de MF = 54.7%, Ts = 0.411s e overshoot

= 5%.

Análise e Síntese de Controladores Atraso/Avanço via Bode

Controladores do tipo atraso/avanço seguem a estrutura abaixo. Onde, com a > 0 o

controlador é do tipo avanço, e com a < 0 do tipo atraso.

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Figura 45: Estrutura de um controlador Atraso/Avanço

Logo, um controlador do tipo atraso/avanço possui um zero e um polo, onde o zero está a

uma distância 1/a do polo, se a > 0 o zero será inserido à direita do polo, e se a < 0 o zero será

inserido à esquerda do polo. O valor de a será calculado a partir da abaixo, onde é a

freqüência onde ocorre a margem de fase desejada.

| |

Equação 1: Relação modulada da curva com a

O procedimento padrão é inicialmente colocar o ganho no valor desejado para erro

estacionário. Para encontrar o ganho necessário para o erro estacionário será usado a

Equação.

Daí, usaremos o menor erro possível para essa planta que é 11% para acharmos o valor de Kp,

assim encontramos kp > 16.6k.

Controlador Atraso – Procedimento Padrão

Com o ganho encontrado. O próximo passo é procurar a frequência da margem de fase

desejada . Para isso foi traçado o Bode do sistema com ganho 16.6k, ver Figura:

Figura 46: Gráfico de Bode para o erro estacionário.

G(s) (Planta)

K(1+a*T*s) (1+T*s)

R(s) Y(s) +

-

32

Note que, a margem de fase desejada (60°) encontra-se na frequência 37.4 rad/s.

Note também que o | | . Usando então a Equação 1, chega-se no valor de a =

0.028. Ou seja, dessa forma encontra-se um controlador do tipo atraso.

Agora, com o ganho e a frequência da margem de fase desejada ( encontrados

coloca-se o zero uma década antes da frequência (

) e o polo a uma distância a

(

) desse zero.

Substituindo valores, chega-se em zero na posição -3.75 e polo na posição -1.05. As Figuras 47

e 48 mostram o diagrama de Bode e a resposta ao degrau do sistema com um compensador

atraso de K=1.6k, zero em -3.75 e polo em -1.05.

Figura 47: Gráfico de Bode para o compensador atraso padrão.

Figura 48: Resposta ao Degrau para o compensador de atraso padrão.

33

A resposta ao procedimento padrão mostrou-se bem satisfatória com valores de MF = 55°, Ts =

0.76s e overshoot de 11.6%, logo não haverá a necessidade de um ajuste mais fino no

compensador.

Controlador Avanço – Procedimento Padrão

Com o ganho encontrado. O próximo passo é procurar o valor de a. Sabe-se que o máximo de

aumento de fase que o controlador pode jogar na planta é de 90°, mas como o cruzamento de

ganho deixa a margem de fase existente em 1,5° e a especificação é de 60°, é necessário que a

fase máxima que o controlador jogue no sistema seja = 58,5°. Mas para isso,

é necessário encontrar uma distância a entre o polo e o zero que faça com que essa seja a fase

máxima a ser calculada. A distância a pode ser calculada através da Equação 7.

A frequência onde o avanço vai ser máximo será onde o módulo do Bode seja igual ao M da

equação anterior, basta encontrá-la no Bode.

Com isso, usa-se esses valores para encontrar as posições do zero e do polo.

√

Com esses valores foi encontrado o controlador do tipo avanço. Jogando esses valores no

sisotool chega-se na Figura 41, que é o diagrama de Bode do sistema com o avanço. A Figura

42 mostra a resposta do sistema ao degrau.

Figura 49: Gráfico de Bode para o compensador Avanço padrão.

34

Figura 50: Gráfico de resposta ao degrau do compensador Avanço padrão.

Os valores encontrados não foram muito satisfatórios (MF = 30.5° e overshoot = 52%), então

foram feitas novas tentativas de ajustem movimentando as localizações do zero e do polo, no

entanto, nenhuma abordagem usada conseguiu criar uma mudança significativa no sistema,

com variações de apenas 1° no valor da MF. Desse modo, esse compensadores não foram

implementados.

Sistema de fazer não mínima

Compensador PD

Para o sistema não mínimo a MF não fica positiva em nenhum momento, logo não foi possível

colocá-la em 15° para que possa ser feito o procedimento padrão na implementação de um

compensador PD. Dessa forma, foram feitos aproximações e testes para tentarmos achar qual

seria o melhor compensador possível.

Como só foi possível encontrar MF de valor negativo, tentamos encontrar um ganho em que

ela se torne o mais próximo de zero possível, dessa forma chegamos ao valor de Kp = 2305.

Dessa maneira, ao adicionarmos o zero esperasse que a MF chegue a um valor próximo de 45°,

na teoria o zero deveria ser adicionado na frequência de ωg, mas nesse caso, para tentarmos

achar um melhor resultado, percorremos com o zero entre os valores de 0 e -48 tentando

achar o lugar em que ele gerasse um melhor resultado para a MF, e percebeu-se que fixando-

se ele em -15.2 teríamos a melhor MF possível. As figuras 51 e 52 ilustram os resultados:

35

Figura 51: Gráfico de Bode para o compensador PD.

Figura 52: Resposta ao degrau do compensador PD.

Analisando os resultados, observa-se que o tempo de acomodação do sistema se tornou muito

alto, chegando ao valor de Ts = 546s, o que pode ser intolerável para a maioria dos sistemas.

Dessa maneira, e para testar o comportamento do sistema, foram feitos alguns testes no valor

Kp para vermos se conseguimos melhorar esses valores. Os resultados estão expressos na

tabela abaixo:

36

Kp MF Erro Overshoot Ts (s)

2305 33.6° 2400% Sobreamortecido 456

2500 32.1° 218% Sobreamortecido 2.48

3000 29.1° 531% Sobreamortecido 0.808

4000 25° 136% Sobreamortecido 0.416

5000 22.3° 85% 0.74% 0.311

5500 21.6° 72% 7.555 0.276

6000 20.3° 62% 13.2% 0.249

10000 15.6° 30% 38.6% 0.178

12350 14° 23% 46.5% 0.191

Com essa tabela é possível que o usuário escolha o compensador que melhor se encaixa na

aplicação desejada, tendo que escolher entre MF e tempo de acomodação.

Compensador PID

Usando os procedimentos padrões de síntese de compensadores não foi possível encontrar

um PID razoável, mas fazendo alguns testes naquilo que poderiam ser os valores dos zeros, no

que se refere a diferença de uma década entre eles, foi encontrado um ajuste com Z1= -0.1 e

Z2= -0.5 que conseguiu trazer a MF para o lado positivo, obtendo-se os seguintes resultados:

Figura 53: Gráfico de Bode para o compensador PID não mínimo.

37

Figura 54: Resposta à entrada degrau para o compensador PID.

Os resultados foram muito ruins, considerando que a MF seja algo prioritário. Não foi

encontrado valores que melhorasse esse resultado.

Compensador Avanço

Mais uma vez não foi possível fazer o procedimento padrão para síntese do compensador de

fase não mínima. Mais em uma tentativa de achar um compensador de Atraso/Avanço que

gerasse pelo menos algum resultado com MF positiva, foi possível, através de testes e

tentativas, encontrar valores para polo e zero que gerasse um compensador de Avanço.

Para isso primeiro ajustou-se o valor do zero de forma que se tenha a maior MF possível, desse

modo, o zero foi fixado em -18. Em seguida, ajustou-se o valor de Kp para uma posição que

torne o sistema estável, e essa foi uma das maiores dificuldades. E por último variámos a

posição do polo para entendermos o comportamento do sistema. E esse comportamento é

ilustrado pela tabela abaixo:

polo MF overshoot Ts (s)

-1301 0.007° 92.5% 291

-1500 1.26° 86.2% 1.51

-2000 3.35° 81.4% 0.553

-3000 5.47° 76.5% 0.332

-5000 7.19° 72.6% 0.25

-10k 8.49° 69.9% 0.22

-20k 9.15° 68.5% 0.195

-50k 9.54° 67.7% 0.194

-100k 9.67° 67.4% 0.194

38

Escolhendo a penúltima entrada da tabela, geram-se os seguintes gráficos:

Figura 55: Gráfico de Bode para o compensador de avanço não mínimo.

Figura 56: Resposta ao degrau do compensador de avanço.

Outros compensadores

Para os compensadores P, PI e de atraso não foi possível encontrar nenhum compensador que

torne o sistema estável.

O que pode ser facilmente visualizado nos seus gráficos polares:

39

Figura 57: Gráfico Polar do compensador P não mínimo.

Figura 58: Gráfico Polar do compensador PI não mínimo.

Figura 59: Gráfico Polar do compensador de atraso não mínimo.

40

Conclusão

Ao fim desse trabalho, conclui-se que o método de tentativa e erro para projetar

compensadores lineares clássicos é uma boa forma de aprendizagem, já que, a partir, do LGR

das raízes e da resposta ao degrau, é possível visualizar em tempo real o comportamento do

sistema para diversas situações e configurações de zeros e ganhos.

Sobre os compensadores viu-se se que, para a FTMA em questão, os compensadores PI e PID

são melhores para a retirada do erro estacionário, já que este é eliminado e quando o objetivo

é ter uma resposta rápida ao sistema o melhor é usar os compensadores P e PD.

Para a síntese de compensadores via Gráfico de Bode foram usadas técnicas mais precisas para

serem encontrados os compensadores desejados, o que tornou a tarefa mais precisa e menos

no “chute”. Não que ela apresente os melhores resultados, mas apresenta resultados

totalmente aceitáveis de maneira mais precisa, rápida e fácil de ser feita.

Na comparação entre os compensadores PID de fase mínima, os dois métodos encontraram de

forma rápida o resultado dentro dos requisitos exigidos, mas via LGR encontrou um PID com

tempo de acomodação de 0.180s enquanto o via Bode teve um tempo de acomodação de

0.411s, nos outros itens dos requisitos os dois obtiveram resultados igualmente satisfatórios.

Quando um dos polos foi passado para o lado positivo do plano, foi encontrada uma grande

dificuldade em se estabilizar o sistema, não sendo possível encontrar valores para os

compensadores P e PI. Para os compensadores PD e PID foram encontrados valores aceitáveis

que estabilize o sistema, mas em ambos os casos o valor de Mp foi prejudicado.

41

Índice de Figuras

FIGURA 1: SAÍDA DA RESPOSTA AO DEGRAU COM KP=1145. ..................................................................................... 3

FIGURA 2: RESPOSTA A UM KP = 1822. ................................................................................................................ 3

FIGURA 3: RESPOSTA A UM KP = 3460. ................................................................................................................ 4

FIGURA 4: RESPOSTA A UM KP = 5370 ................................................................................................................. 4

FIGURA 5: RESPOSTA A UM KP = 9200 ................................................................................................................. 5

FIGURA 6: DIAGRAMA DE BODE PARA C = 3460 ..................................................................................................... 6

FIGURA 7: SAÍDA PARA C = 5380. ........................................................................................................................ 6

FIGURA 8: SAÍDA PARA C = 9190. ........................................................................................................................ 7

FIGURA 9: LGR PARA O COMPENSADOR PD. .......................................................................................................... 7

FIGURA 10: DIAGRAMA DE BODE DO COMPENSADOR PD. ........................................................................................ 7

FIGURA 11: RESPOSTA AO DEGRAU DO COMPENSADOR PI. ........................................................................................ 8

FIGURA 12: LGR DO COMPENSADOR PI. ................................................................................................................ 9

FIGURA 13: RESPOSTA AO DEGRAU DO COMPENSADOR PID. ................................................................................... 10

FIGURA 14: LGR DO COMPENSADOR PID. ........................................................................................................... 10

FIGURA 15: DIAGRAMA DE BODE DO COMPENSADOR PID. ...................................................................................... 11

FIGURA 16: LGR DO COMPENSADOR PROPORCIONAL COM UM POLO POSITIVO. .......................................................... 13

FIGURA 17: ROOT LOCUS PARA ZERO A DIREITA DA ORIGEM. ................................................................................... 14

FIGURA 18: RESPOSTA AO DEGRAU DO SISTEMA COM ZERO EM -1. ........................................................................... 14

FIGURA 19: RESPOSTA AO DEGRAU COM ZERO INSERIDO EM -47. ............................................................................. 15

FIGURA 20: ROOT LOCUS DO COMPENSADOR PI COM ZERO INSERIDO EM -10. ........................................................... 16

FIGURA 21: ROOT LOCUS PARA O SISTEMA COM ZEROS EM -3 E -33. ........................................................................ 16

FIGURA 22: RESPOSTA AO DEGRAU DO COMPENSADOR PID. ................................................................................... 17

FIGURA 23: DIAGRAMA DE BODE DO COMPENSADOR PID. ...................................................................................... 17

FIGURA 24: LGR PARA O SISTEMA COM ZEROS IMAGINÁRIOS. .................................................................................. 18

FIGURA 25: RESPOSTA AO DEGRAU DO SISTEMA COM ZERO COM PARTE IMAGINÁRIA. .................................................. 18

FIGURA 26: DIAGRAMA DE BODE ....................................................................................................................... 19

FIGURA 27: GANHO COM MARGEM DE FASE DE 60° ............................................................................................. 20

FIGURA 28: RESPOSTA AO DEGRAU PARA A CONFIGURAÇÃO DE CONTROLADOR COM MF EM 60°. .................................. 20

FIGURA 29: GRÁFICO DE BODE PARA KP NO LIMITE DA ESTABILIDADE. ....................................................................... 21

FIGURA 30: RESPOSTA AO DEGRAU PARA KP = 18684. .......................................................................................... 21

FIGURA 31: FREQUÊNCIA ΩG PARA MF = 15°. ...................................................................................................... 22

FIGURA 32: GRÁFICO DE BODE PARA O SISTEMA PD. ............................................................................................. 22

FIGURA 33: RESPOSTA PARA O SISTEMA PD. ........................................................................................................ 23

FIGURA 34: GRÁFICO DE BODE PARA MF = 60°. ................................................................................................... 24

FIGURA 35: GRÁFICO DE BODE PARA O COMPENSADOR PI. ...................................................................................... 25

FIGURA 36: RESPOSTA AO DEGRAU PARA O COMPENSADOR PI. ............................................................................... 25

FIGURA 37: RESPOSTA A RAMPA PARA O COMPENSADOR PI. ................................................................................... 26

42

FIGURA 38: GRÁFICO DE BODE PARA O AJUSTE PADRÃO DE PID. .............................................................................. 27

FIGURA 39: RESPOSTA DO SISTEMA PARA O AJUSTE PADRÃO DE PID. ........................................................................ 28

FIGURA 40: ERRO ESTACIONÁRIO PARA UMA ENTRADA RAMPA NO SISTEMA PID. ........................................................ 28

FIGURA 41: AJUSTE DE GANHO DO COMPENSADOR PID. ......................................................................................... 29

FIGURA 42: RESPOSTA À ENTRADA DEGRAU DO COMPENSADOR PID AJUSTADO. .......................................................... 29

FIGURA 43: GRÁFICO DE BODE PARA SISTEMA PID COM 5% DE OVERSHOOT. ............................................................. 30

FIGURA 44: RESPOSTA AO SISTEMA COM 5% DE OVERSHOOT. ................................................................................. 30

FIGURA 45: ESTRUTURA DE UM CONTROLADOR ATRASO/AVANÇO ............................................................................ 31

FIGURA 46: GRÁFICO DE BODE PARA O ERRO ESTACIONÁRIO. ................................................................................... 31

FIGURA 47: GRÁFICO DE BODE PARA O COMPENSADOR ATRASO PADRÃO. .................................................................. 32

FIGURA 48: RESPOSTA AO DEGRAU PARA O COMPENSADOR DE ATRASO PADRÃO. ........................................................ 32

FIGURA 49: GRÁFICO DE BODE PARA O COMPENSADOR AVANÇO PADRÃO. ................................................................. 33

FIGURA 50: GRÁFICO DE RESPOSTA AO DEGRAU DO COMPENSADOR AVANÇO PADRÃO.................................................. 34

FIGURA 51: GRÁFICO DE BODE PARA O COMPENSADOR PD. .................................................................................... 35

FIGURA 52: RESPOSTA AO DEGRAU DO COMPENSADOR PD. .................................................................................... 35

FIGURA 53: GRÁFICO DE BODE PARA O COMPENSADOR PID NÃO MÍNIMO. ................................................................ 36

FIGURA 54: RESPOSTA À ENTRADA DEGRAU PARA O COMPENSADOR PID. .................................................................. 37

FIGURA 55: GRÁFICO DE BODE PARA O COMPENSADOR DE AVANÇO NÃO MÍNIMO. ...................................................... 38

FIGURA 56: RESPOSTA AO DEGRAU DO COMPENSADOR DE AVANÇO. ......................................................................... 38

FIGURA 57: GRÁFICO POLAR DO COMPENSADOR P NÃO MÍNIMO. ............................................................................ 39

FIGURA 58: GRÁFICO POLAR DO COMPENSADOR PI NÃO MÍNIMO. ........................................................................... 39

FIGURA 59: GRÁFICO POLAR DO COMPENSADOR DE ATRASO NÃO MÍNIMO. ................................................................ 39

Documents

Projetos de compensadores lineares clássicos