Propagação de cheias em rios Prof. Benedito C. Silva IRN/UNIFEI MMC44 - Modelagem e Simulação Computacional em Recursos Hídricos

Propagação de cheias em rios

Prof. Benedito C. Silva

IRN/UNIFEI

MMC44 - Modelagem e Simulação Computacional em Recursos Hídricos

Objetivo

Qual é o hidrograma em um local B a jusante se o hidrograma em um local A a montante é conhecido?

magnitude da vazão Níveis máximos tempo de ocorrência dos picos tempo de chegada da onda

?

Exemplo rio Uruguai

distância: 192 Km

Propagação

O que acontece com uma onde de cheia enquanto viaja ao longo do rio?

translação amortecimento contribuição de afluentes efeitos de jusante

Translação

A

B

Q

t

Hidrograma em A

Hidrograma em B

Amortecimento

A

B

Q

t

Hidrograma em A

Hidrograma em B

Efeitos de jusante

A

B

Q

t

Hidrograma em AHidrograma em B

h em B (maré)

Efeitos de jusante

Exemplo rio Amazonas Entre Óbidos e Macapá

Óbidos (efeito ausente ou imperceptível) Macapá (efeito da maré é

preponderante) Aramanduba (ponto intermediário –

efeitos mistos)

Cotas no posto Obidos (17050000) no ano de 1997 (último posto c/ medidas de vazão no rio Amazonas)

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

31/1

2/96

15/1

/97

30/1

/97

14/2

/97

1/3/

9716

/3/9

731

/3/9

715

/4/9

730

/4/9

715

/5/9

730

/5/9

714

/6/9

729

/6/9

714

/7/9

729

/7/9

713

/8/9

728

/8/9

712

/9/9

727

/9/9

712

/10/

9727

/10/

9711

/11/

9726

/11/

9711

/12/

9726

/12/

97

Cot

a(cm

)

Cotas no posto Macapá (19500000) no ano de 1997 (último posto fluviométrico do rio Amazonas)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

31/12/96

15/1/97

30/1/97

14/2/97

1/3/97

16/3/97

31/3/97

15/4/97

30/4/97

15/5/97

30/5/97

14/6/97

29/6/97

14/7/97

29/7/97

13/8/97

28/8/97

12/9/97

27/9/97

12/10/97

27/10/97

11/11/97

26/11/97

11/12/97

26/12/97

Cot

a(cm

)

Cotas no posto Aramanduba (18400000) no ano de 1938(Rio Amazonas, montante da confluência com rio Xingu, jusante de Óbidos)

0

100

200

300

400

500

600

31/1

2/37

15/1

/38

30/1

/38

14/2

/38

1/3/

3816

/3/3

831

/3/3

8

15/4

/38

30/4

/38

15/5

/38

30/5

/38

14/6

/38

29/6

/38

14/7

/38

29/7

/38

13/8

/38

28/8

/38

12/9

/38

27/9

/38

12/1

0/38

27/1

0/38

11/1

1/38

26/1

1/38

11/1

2/38

26/1

2/38

Cot

a(cm

)

Velocidade de propagação de ondas de cheia

Ondas de cheia se propagam para jusante com uma velocidade que é maior do que a própria velocidade média da água.

Assim, a velocidade de propagação da onde de cheia em um rio cuja velocidade média, durante uma cheia, é de 1 m.s-1, é superior a 1 m.s-1, podendo chegar a 1,6 m.s-1, por exemplo.

Celeridade

A velocidade de propagação das ondas de cheia em rios pode ser estimada pela celeridade cinemática, que pode ser obtida com base nas características médias das seções transversais do rio e de sua declividade.

Velocidade da onda cinemática

Uma abordagem mais intuitiva...

Ideia mais intuitiva sobre celeridade de onda cinemática

Considerando que:

Então: AfQ

0f SS

Q2Q1


Imaginando uma onda de cheia gerada por um aumento de vazão de Q1 para Q2...

Q2 Q1

Frente da onda


Depois de um pequeno intervalo de tempo a onda deve ter se deslocado para jusante

Q2 Q1

Frente da onda

tt t


O volume adicional necessário para o avanço da onda é:

Q2 Q1

Frente da onda

tt t

tQQVolume 12


Q2 Q1

tt t

xAAVolume 12

x

Considerando que A1 é a área molhada da seção quando Q = Q1;e que A2 é a área molhada da seção quando Q = Q2;

Ou,


Q2 Q1

tt t

xAAtQQ 1212

x

Os dois volumes devem ser iguais, então:


Q2 Q1

tt t

12

12

AAQQ

tx

x

Reorganizando:

Mas, x/t é a velocidade de avanço da onda...


Q2 Q1

tt t

AQ

tx

x

Se pensarmos numa variação de vazão bem pequena

Assim...

A celeridade da onda cinemática pode ser estimada por:

AQ

dtdxc

Portanto a velocidade com que se propaga a onda de cheia depende da relação entre vazão e área molhada, que é uma característica da seção transversal, da declividade e da rugosidade do rio ou canal.

Celeridade

dAdQc

nSR

AAuQ21

32

h

u35c

combinando:

pode-se obter:

O que significa que a celeridade(velocidade de propagação da onda de cheia)é superior à velocidade média da água.

Celeridade

A velocidade de propagação das ondas de cheia é maior do que a própria velocidade média da água

Além disso, a velocidade de propagação das cheias tende a ser maior para cheias maiores, porque o nível da água e a velocidade média tendem a ser maiores.

u35c

Celeridade

Por outro lado, em rios com grandes planícies de inundação, a velocidade de propagação das ondas de cheia tende a diminuir drasticamente no momento em que o rio começa a transbordar.

Celeridade aumenta

Celeridade diminui

Celeridade

Evidências experimentais

Murrumbidgee river - Wang e Laurenson, 1983 Water Resources Research

Tempo de viagem

192 km mais ou menos 2 dias

Cálculos de propagação

Modelos hidrodinâmicos Modelos simplificados

Equações de Saint-Venant

As equações utilizadas para descrever o comportamento do escoamento em rios e canais foram inicialmente derivadas no século XIX

Hipóteses assumidas

1. O escoamento é unidimensional; a velocidade é uniforme e igual à média; a nível da água é horizontal na seção transversal.

Escoamento em meandros e transições é fortemente tridimensional

Velocidade é maior no centro da seção Em curvas o nível da água pode não ser

horizontal


2. Pressão é hidrostática (depende apenas da profundidade)

Variações de forma da seção devem ser relativamente suaves.


3. É possível usar fórmulas para perda de carga semelhantes às usadas em escoamento permanente (como Manning).

4. A declividade do canal é pequena, o cosseno do ângulo é quase igual a 1.

Continuidade ou conservação de massa

x1

x2

Considere um volume de controle entre as seções x=x1 e x=x2e ao longo de um intervalo de tempo de t=t1 a t=t2

A A

Continuidade ou conservação de massa de água:

dxAAx

xtt

2

112 dtuAuA

t

txx

2

121

02

112

2

112

t

txx

x

xtt dtQQdxAA

=

considerando que Q=u.Ae que a massa específica da água é constante:

Forças agindo sobre o volume de controle

Elevation View

Plan View

Fg = Força da gravidade

Ff = Força de atrito com o fundo e margens

Fe = Força devida às contrações e expansões da seção

Fw = força de atrito do vento na superfície

Fp = diferença de pressão nos limites de montante e jusante do volume de controle

Equações na forma integral

2

1

2

10

2

1

2

12

2

12111

2

12

21

22

112

t

t

x

xf

t

t

x

x

t

txx

t

txx

x

xtt dxdtSSAgdxdtIgdtIIgdtAuAudxuAuA

02

112

2

112

t

txx

x

xtt dtQQdxAA

Equações estabelecidas sem exigir que A; Q; u fossem variáveis contínuas e diferenciáveis.

Também não exigem que x2-x1 seja uma distância infinitesimalmente pequena.

Alguns esquemas numéricos estão baseados na forma integral das equações, em vez de usar a forma diferencial.

Método dos volumes finitos se baseia em equações na forma integral.

Equações na forma integral

Considerando variáveis contínuas e diferenciáveis e usando expansão em série de Taylor pode se chegar a outra forma:

02

1

2

1

dtdxtA

xQx

x

t

t

dtdxSSAIxIgdtdx

xAu

tQ x

x

t

tf

x

x

t

t

2

1

2

102

12

1

2

1

2

Equações na forma diferencial

Em um volume infinitamente pequeno as equações anteriores também devem valer, assim:

0

tA

xQ

201

2

gISSgAxIg

xAu

tQ

f


considerando que

Q=u.A

0

tA

xQ

201

2

gISSgAgIAQ

xtQ

f


combinando os termos com I1 e I2

0

tA

xQ

00

2

fgASSdxdhgA

AQ

xtQ

que não é mais exatamente uma equação de conservação de quantidade deMovimento, muitas vezes chamada de “equação dinâmica”

h é a profundidade

Equações de Saint-Venant na forma mais usual atualmente

0

0

2

fSAgxhAg

AQ

xtQ

xQ

tA

Vazão e nível da água

322 RAnQQ

S f

Solução das equações de Saint-Venant Não existem soluções analíticas para as

equações de Saint-Venant na maior parte das aplicações úteis.

Somente nas décadas mais recentes é que os métodos numéricos e os computadores digitais permitiram a solução das equações completas de Saint-Venant.

Atualmente existem diversos programas computacionais de modelos matemáticos que resolvem as equações de Saint-Venant numericamente para resolver problemas de propagação de vazão em rios e canais.

0qtA

xQ

0Sxh

AgAQ

xtQ

f

2

34

RA

QQnS

2

2

f

t2

ZZZZtZ j

1iji

1j1i

1ji

i

ji

j1i

i

1ji

1j1i

xZZ

1x

ZZxZ

2

ZZ1

2ZZ

Zji

j1i

1ji

1j1i

Aplicando este esquema:

A estas equações:

Equações de diferenças numéricas

0

2qq

t2AAAA

xQQ

1xQQ j

i1j

ij

1iji

1j1i

1ji

i

ji

j1i

i

1ji

1j1i

0SxhhAgAQ

AQ

1

SxhhAgAQ

AQ

t2QQQQ

x

jfi

ji

j1i

jj

i

2j

1i

2

1jfi

1ji

1j1i

1j1j

i

21j

1i

2

j1i

ji

1j1i

1ji

i

1ii AA5.0A 1ii RR5.0R 3

4RA

QQnS

2

2

f

continuidade

Dinâmica

Incógnitas – não linear

0

2qq

t2AAAA

xQQ

1xQQ j

i1j

ij

1iji

1j1i

1ji

i

ji

j1i

i

1ji

1j1i

0SxhhAgAQ

AQ

1

SxhhAgAQ

AQ

t2QQQQ

x

jfi

ji

j1i

jj

i

2j

1i

2

1jfi

1ji

1j1i

1j1j

i

21j

1i

2

j1i

ji

1j1i

1ji

i

1ii AA5.0A 1ii RR5.0R 3

4RA

QQnS

2

2

f

continuidade

Dinâmica

Esquema de Preissmann

Cada trecho entre duas seções define duas equações: continuidade dinâmica

Cada seção tem duas incógnitas: h e Q no tempo

futuro

Modelos hidrodinâmicos

Atualmente existem programas de modelos como o HEC-RAS que podem ser utilizados para os cálculos de propagação de cheias em rios

Simulação hidrodinâmica

Modelos simplificados

Em função da dificuldade que havia para resolver as equações de Saint-Venant, um grande número de métodos simplificados foi criado para calcular os efeitos que ocorrem em ondas de cheia à medida que se propagam ao longo de rios

Estes métodos utilizam a equação da continuidade mas simplificam ao máximo a equação da conservação da quantidade de movimento

Escoamento em riosModelo Muskingum

Criado na década de 1930 por McCarthy para representar a propagação de vazão ao longo do rio Muskingum.

),( QIfS

QIdtdS

Supõe que S (armazenamento) estárelacionado a I (vazão de entrada) e Q (vazão de saída)

52

Escoamento em rios: Muskingum

Continuidade

Relação

tttt QCICICQ 32111

2t)X1(K

2t)X1(K

C ;

2t)X1(K

2tKX

C ;

2t)X1(K

2tKX

C 321

QIdtdS

S = K [X I +(1-X) Q]

C1+C2+C3=1K é o tempo médio de deslocamento da ondaX é um ponderador entre as vazões de entrada e saída

A vazão (Q) na seção de jusante é dada por:

53

Intervalo de tempo

Para que os coeficientes da equação sejam positivos

t 2KX e 0

2t)X1(K

2tKX

C1

t X)-2K(1 e 0

2t)X1(K

2t)X1(K

C3

)X1(K2tKX2 )X1(2K

tX2

5,0X0

0 0,5 X

2K/t

1

0

R egião v ál id a

é o intervalo de tempo para simulação da propagaçãot

K e X

O método Muskingum tem dois parâmetros de cálculo (K e X) que devem ser definidos antes dos cálculos.

Definir valor de X

O parâmetro X é um ponderador adimensional cujo valor deve estar entre 0 e 0,5, mas na maior parte dos rios e canais naturais seu valor é próximo a 0,3.

Dependendo do valor de X ocorre mais ou menos amortecimento da onda de cheia.

Para um valor de X igual a 0,5 não ocorre amortecimento.

Quando X é igual a zero o amortecimento é máximo.

Efeito de X

Efeito de K

Definir K

O parâmetro K têm unidades de tempo e deve ser expresso nas mesmas unidades de t.

O valor de K pode ser estimado pelo tempo de viagem do pico da cheia do início ao final do trecho de rio, ou seja, a distância dividida pela celeridade.

Quanto maior o valor de K, mais afastados no tempo ficam os picos de vazão na entrada e saída do trecho de canal.

Estimativa de K e XTradicional método da laçada

S/∆t

QI

X=X1 X= XnVariar o valor de X até que se crie uma laçada, com forma mais próxima possível de uma reta

Ajustar uma linha de tendência linear

K será igual ao coeficiente angular da reta

S/∆t = a. QI + b

K = a

𝑆𝑡+1∆𝑡 = 0,5ሾሺ𝐼𝑡+1 +𝐼𝑡ሻ−ሺ𝑄𝑡+1 +𝑄𝑡ሻሿ+ 𝑆𝑡∆𝑡

60

Método da laçada - Exemplo

A tabela abaixo apresenta os hidrogramas de vazões medidos nas seções de entrada e saída de um trecho de rio. Determine os valores dos parâmetros K e X

Tempo (h)

Entrada (m3/s)

Saída (m3/s)

0 30 306 120 3912 286 4518 412 9324 373 18130 306 23736 246 26442 198 26148 165 24654 141 22560 123 20266 108 18472 93 17478 81 15384 72 13590 63 117

Muskingum-Cunge

)1(5,0xcSb

QXooo

o

ocxK

6,04,0

4,00

3,00

.35

nbQSc

oo

Adaptado para estimativa com base em parâmetros físicos do trecho

2,08,00

000

0 ..8,0..

xtccSb

Qx

0

1/2

0 02

0 0

. 1 1 1,5.2 . . .c t Qx

b S t c

Ou:

62

Roteiro de Ajuste

1) Fixar ∆t = tp/5 ou outro valor para ∆t ≤ tp/5

2) Adotar valor de Qo = 2/3 da vazão máxima do hidrograma de entrada

3) Calcular co

4) Calcular ∆x por processo iterativo

5) A primeira estimativa de ∆x pode ser obtida por

6) Calcular K e X e verifique se está dentro da faixa de validade

7) Caso contrário modifique ∆x

ooo

oo cSb

Qx 5,2

63

Exemplo Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção de

um rio. As características do trecho são: largura=30m, declividade=0,0007 m/m; rugosidade de Manning n=0,045.

o tempo tp = 240 min e =240/5=48 min, ∆t=40min. A vazão máxima de montante é 130 m3/s, Qo=87m3/s

smbonQoSoco /86,1

35

4,06,0

4,03,0

mxx

x 568.586,10007,030

87.5,2

mx 6018Por convergência

tK = 1,34X=0,31

Tempo(40min)

vazão de entrada m s3 /

vazão de saída m s3 /

1 20 202 30 203 60 204 90 205 100 21,16 130 27,07 115 42,28 95 63,99 80 85,910 60 103,011 40 102,412 20 92,413 20 77,214 20 59,415 20 41,9

mx 6000 adotado

Muskingum Cunge não linear

A celeridade não é constante Os parâmetros do método de

Muskingum Cunge deveriam variar Celeridade varia com o nível da

água ou com a vazão

Celeridade aumenta

Celeridade diminui


Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis

A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3)

Só o que não muda é o x


Qual vazão usar como referência? Criar tabela Q x C a partir de tabela h x A x Q

67

Solução não-linear

Cálculo de X e K em cada célula de cálculo

t

xi i+1

t

t+1 It+1

It

Qt+1

Qt

Calcular K e X com base em:

(1) Qt

(2) Qt, It e It+1

(3) todos.

31

tttt

IQIQo

68

Exemplo Jacuí

Linear x Não-linear

Evento Linear Não-Linear1 0,91 0,972 0,83 0,943 0,92 0,964 0,88 0,98

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