Propagation et antennes Chap. 1

Propagation 2007-2008 1

Propagation et antennesChapitre 1:

Propriétés des ondes électromagnétiques et mécanismes de propagation

H. TOUIRAcadémie Internationale Mohammed VI de l’Aviation Civile


Plan du chapitre

Introduction Équations de Maxwell Propagation dans le vide

Ondes planes progressives Énergie des ondes électromagnétiques Ondes sphériques Polarisation Spectre des ondes électromagnétiques Quelques applications typiques

Propagation dans un milieu Différents type de la polarisation Propagation dans un diélectrique Propagation dans un conducteur


IntroductionRappel:

L’électrostatique est l’étude du champ électrique créé par une densité de charge statique ρ(r), exprimée en coulomb par mètre-cube.

La magnétostatique est l’étude du champ magnétique créé par une densité de courant électrique statique j(r), exprimée ampère par mètre-carré.

L’électromagnétisme est l’étude du champ électrique et du champ magnétique créés respectivement par une densité de charge dynamique ρ(r,t), et par une densité de courant électrique dynamique j(r,t)


Introduction

984 Ibn al-Haytham propose des expériences optiques utilisant la réflexion et la réfraction de la lumière en utilisant des lentilles et des miroirs

1637 Descartes propose la formulation mathématique de la réflexion et de la réfraction de la lumière

1678 Huygens montre la nature ondulatoire de la lumière1747: FRANCKIN identifie les charges négatives et positivesTry1820 : Ampère établie le théorème de la circulation du champ magnétique1830: Gauss établie le théorème du flux électrique1831: Faraday découvre l’induction magnétiqueExcept/ finnaly1864: Maxwell présente la théorie de l’électromagnétisme1885: Hertz réussit à émettre et détecter des ondes électromagnétismes1905: Einstein précise les référentiels dans lesquels s’appliquent les équations de

Maxwell et postule la dualité onde matière (notion de photon)End;


IntroductionPropagation libre ou guidéeLe but des télécommunications est de transmettre d’un point à un autre un

signal porteur d’une information.Pour atteindre cet objectif, on module une porteuse haute-fréquence, ce qui

nous permet de transmettre des signaux sur un même support sans qu’ils se mélangent puisqu’ils ont des fréquences de porteuses différentes

La distance à parcourir peut être très variable et les techniques utilisées différentes comme on peut le constater sur les exemples suivants:

transmission d’un signal haute-fréquence modulé entre deux endroits de l’émetteur vers le récepteur. Le signal est transformé en onde électromagnétique par l’antenne et se propage dans l’espace environnant : c’est la propagation libre

transmission de la porteuse modulée en amplitude, en fréquence ou en numérique (GSM) du mélangeur à l’amplificateur de puissance radiofréquence puis à l’antenne. Le signal haute fréquence suit la piste de circuit imprimé ou le tronçon de câble coaxial: c’est la propagation guidée


Introduction

Les deux types de propagation

Propagation libre

Propagation guidée


Équations de Maxwell

Les équations de Maxwell régissant l’étude du champ électrique E et du champs magnétique B créés respectivement par une densité de charge dynamique ρ(r,t), exprimée en coulomb par mètre-cube, et par une densitéde courant électrique dynamique i(r,t), exprimée ampère par mètre-carré

(Équation Maxwell-Gauss)

(Équation de Maxwell-Farady)

(Équation de Maxwell flux magnétique)

(Pas de charge magnétique)

(Équation Maxwell-Ampère)

avec ε0 et µ0 dont respectivement la permittivité et la perméabilité du vide

)t

Eεt),r(j(µ BBrot 00 ∂

∂+=∧∇=v

rvvv

t

B E E tro

∂∂−=∧∇=v

rvrv

ε

t),rρ(E. E div

0

rvvv

=∇=

0B. B div =∇=vvv

-70 10 x Π4µ =

9010 x 9

1

4Π

1ε =


Propagation dans le vide

Équations de Maxwell dans le vide:

(1) (3)

(2) (4)

On peut montrer que E et de B satisfaisant chacun à l’équation d’onde classique non dispersive

avec est la vitesse de la lumière dans le vide = 2,997 10 8 m s-1

Les équations d’ondes en E et en B satisfont à l’équation d’Alembert:

2

t

Eµε E

2

00

2

∂∂=∇

rrv

t

Eεµ B 00 ∂

∂=∧∇v

vv

t

(t)B E

∂∂−=∧∇v

rv

0E. =∇vv

0B. =∇vv

2

2

00

2

t

Bµε B

∂∂=∇

rrv

00 µε

1 c =

2

t

s

v

1 s

2

2

2

∂∂=∇


Propagation dans le videSolution générale

Avec f et g des fonctions quelconques Les solutions f (r-vt) et g (r+vt) se déplacent avec la vitesse v respectivement dans les

directions r et –r.

Cas r=x

f(t –x/v ) représente une onde progressive vers les x > 0 qui se déplace sans déformation. Entre les instants t1 et t2 d’abscisses x1 et x2, respectivement tel que:

t2 – x2/v =t1 – x1/v d’où la distance (x2 - x1)=(t2 - t1).v

f(x2 , t2) = f(x1, t1 )

De même, g(t +xv )) représente une onde progressive vers les x<0.

vt)rg(vt)rf( t),rs( ++−=rrr



Rappel des ondes progressivesAnalogie des OEM progressives avec les ondes mécaniques dans un milieucontinue



Rappel des ondes progressivesMode transversal Mode longitudinal


Propagation dans le videOndes planes progressives

Le champ électrique E et le champ magnétique B d’une onde électromagnétique (OEM) plane se propageons dan la direction r, dans le sens croissant, s’écrivent:

Où E0(B0) est l’amplitude du E (B), k est le vecteur d’onde (k = 2p/λ; l étant la longueur d’onde) , ω ( ω= 2π/ T; T étant la période) est la pulsation et ϕ est la phase à l’origine des temps et de l’espace

Avec c=λ/T=ω/k= la vitesse de propagation

En notation complexe les champs E et B s’écrivent :

)( cos E t),r(E 0 ϕω −−= rktrrvvv

)( cos B t),r(B 0 ϕω −−= rktrrrvr

)(

0

)(j

0 e B~

ee B t),r(B~ rktjrktj

rrrrrrv

r−−−− == ωωϕ

)(

0

)(j

0 e E~

ee E t),r(E~ rktjrktj

rrrrrvv

r−−−− == ωωϕ



et sont les amplitudes complexes

Le retour à la notation réelle s’obtient par les relations :

Propriété 1: E0 et B0 sont perpendiculaires au vecteur d’onde k

Démonstration:En introduisant la solution d’onde plane dans l’équation de Maxwell (1), on

obtient E0.k=0En introduisant la solution d’onde plane dans l’équation de Maxwell (2), on

obtient B0.k=0

ϕj00 e E E

~ vr

=

t)),r(E~

Re( t),r(Ev

rvv

= t)),r(B~

Re( t),r(Bv

rvr

=

ϕj00 e B B

~ rr

=



Propriété 2: (k, E0, B0) est un trièdre régulier

Démonstration:En utilisant les équations (3) ou (4), on peut montrer que

Propriété 3: La forme des équations de Maxwell impose que les champs Eet B soient en phase, ce qui implique la condition cB0 = E0

ω

Ek B

vvv ∧=



o Propriété 4: L’impédance d’onde:

o Propriété 5: La densité moyenne d’énergie (en J/m3) électrique et magnétique sont données par :

Remarques: Les deux densités sont égales

L’énergie électrique (magnétique) totale dans un volume V est obtenue par l’intégral de ωe(r,t) (ωm(r,t))

Ω=Π==== 377 120B

E

H

E Z

0

0

0

εµ

µ

r

v

r

v

20

e E2

εt),r(

vr =ϖ 2

0

m B2µ

1t),r(

vr=ϖ

2

0

2

00

02202

0e B

2µ

1B

µε

1

2

εBc

2

εE

2

ε ====

vϖ



Énergie des ondes électromagnétiques

En natation réelle, la quantité d’énergie, par unité de temps et par unitéd’aire, appelée vecteur de Poynting, est donnée par:

On peut montrer que sa valeur moyenne dans le temps est donnée par :

En notation complexe, cette moyenne s’écrit:

Puisque sont nuls, la valeur moyenne de ΠΠΠΠ devient:

0µ

BEt),r(

vvrr ∧=Π

k

kB

c2µ

1

k

kE c ε

2

1.dtt),r(Π

T

1 )r(Π 2

0

2

0

T

0

rrrrrr

=== ∫

+∧+=∧=Π2

B~

B~

2

E~

E~

µ

1

µ

BE)r(

**

00

rrrrvvrr

** B~

B~

et E~

E~

rrrr

++

∧+∧=Π B

~E~

B~

E~

µ4

1)r( **

0

rrrrrr



Énergie des ondes électromagnétiques

Comme sont conjuguée l’une et l’autre, on obtient:

Théorème de Poynting:

Le transfert de puissance électromagnétique est donnée par :

L’intégration de cette équation sur le volume V entouré d’une surface S n’est que l’équation de la conservation de l’énergie

Remarque: Cette équation n’est valable que dans le cas d’une OEM dans le vide. Pour un milieu dissipatif un terme s’ajoute traduisant les pertes d’énergie électrique, diélectrique, magnétique (effet joule….)

( ) ( ) ( )tt ∂

∂−∂

∂−=

∂∂−

∂∂−=×∇×∇=×∇=∇= t),r(t),r(

t

EEε

t

BBµ)B.E(-)E.B(

µ

1)BE.(

µ

1 t,rΠ.t,rΠdiv. em

00

00

rrrr

rrvrvvrvvvrrrrrr ϖϖ

B~

E~

et B~

E~ **

rrrr

××

)~

Re(2

1)r( Π=Π

rrr ( )*

0

B~

E~

µ

1)r(

~rr

rr

×=Π


Propagation dans le videOndes sphériques

Coordonnées sphériques:

ϕ

θ

r

er

eθ

eϕ


Propagation dans le videOndes sphériques

La symétrie des sources ou des conditions aux limites impose parfois dechercher des solutions de symétrie sphérique. L’équation de propagation s’écrit en coordonnées sphériques :

Solution générale:

Avec f et g des fonctions quelconques

Les solutions f (r-vt) et g (r+vt) se déplacent avec la vitesse v respectivement dans les directions r et –r

Les ondes sphériques sinusoïdales s’écrivent:

( )( ) ( )2

2

00

2

t

tr,Eµε

r

tr,Er.

r

12 ∂

∂=∂

∂rr ( )( ) ( )

2

2

00

2

t

tr,Bµε

r

tr,Br.

r

12 ∂

∂=∂

∂rr

( )vt)g(rvt)f(rr

1 t)s(r, ++−=

Θ= er

e E~

t),r(E~

)rk-tj(-

0r

r

rr rrω

ϕ

ω

er

e B~

t)(r,B~

)rk-tj(-

0r

rr rr

=


Propagation dans le videPolarisation

La polarisation est par définition celle du champ électrique E. Considérons E se propageant suivant l’axe z du trièdre direct (x,y,z)

Et définissons le vecteur de polarisation (appelé vecteurs de Jones)

L’OEM polarisée se caractérise par : la phase relative φ= φy- φx

le rapport E0y/E0x (B0y/B0x )

eE

eEy

x

jΦ

0y

jΦ

0x

yE xE t)y,(x,E yxvvv

+=

)Φkz-tcos(E E

)Φkz-tcos(E E

y0yy

x0xx

−=−=

ωω


Propagation dans le vide Polarisation

Polarisation elliptique: (le cas le plus générale)

La projection du E sur un plan perpendiculaire à z décrit une ellipse contenue dans un rectangle de cotés 2 E0x et 2 E0y

Polarisation elliptique gauche Polarisation elliptique droite

E0x x

y

Eoy

E ω

y

E0y

Eω E0x x



Polarisation circulaire:

La projection du E sur un plan perpendiculaire à z décrit un cercle. Dans ce cas E0x = E0y et φ = π/2 [Π]

Polarisation circulaire gauche Polarisation circulaire droite

E0x x

y

E0y

Eω E0x x

y

E0y

Eω



Polarisation rectiligne:La projection du E sur un plan perpendiculaire à z décrit une droite.On distingue dans ce cas φ = 0 et φ = Π

φ = 0 φ =Π

x

Eoy

E

xEoxEEox

Eoy


Propagation dans le videSpectre des ondes électromagnétiques

1 MHz 1 GHz


Propagation dans le videOnde radio et micro-onde

Gamme d’ondes (λλλλ vide) Fréquence Désignation

Millimétrique 1 mm à 10 mm 30 GHz-300 GHz Extreme High Frequency (EHF)

Centimétrique 1 cm à 10 cm 3 GHz -30 GHz Super High Frequency (SHF)

ou Hyperfréquence

Décimétrique 1 dm à 10 dm 300 MHz – 3 GHz Ultra High Frequency (UHF)

Métrique 1 m à 10 m 30 MHZ – 300 MHz Very High Frequency (VHF)

Décamétrique 10 m à 100 m 3 MHz – 30 MHz High Frequency (HF)

ou onde courte Hectométrique 100 m à 1000 m 300 KHz 3 MHz Medium Frequency (MF)

ou onde moyenne Kilométrique 1 Km à 10 Km 30 KHz - 300 KHZ Low Frequency (LF)

ou Grande angle Myriamétrique 10 Km à 30 KM 10 KHz - 30 KHz Very Low Frequency (VLF)


Propagation dans le videLumière visible, Onde infrarouge et ultraviolet

Infrarouge: 0,7 µm-200 µm

Visible:Violet 400 nm-450 nm

Bleu 450 nm-520 nm

Vert 520 nm-560 nm

Jaune 560 nm-600 nm

Orange 600 nm-630 nm

Rouge 630 nm-750 nm

Ultraviolet: 90 nm 400 nm

Remarque:Fréquence acoustique perceptibles à l’oreille humain : 16 Hz-20 KHz

Vitesse du son : 340 m.s-1


Propagation dans le videQuelques applications typiques

Pour tenter de satisfaire tous les utilisateurs, le spectre hertzien a été divisé en différentes plages ou bandes de fréquences attribuées essentiellement pour les applications militaires, les télécommunications civiles et la radionavigation. La répartition des fréquences est effectuée par l’Union Internationale des Télécommunications (UIT), organisme international dont le siège est à Genève et qui dépend de l’ONU


Propagation dans le videApplications typiques des onde radio et micro-onde

Fréquence Désignation Applications typiques

30 GHz-300 GHz Extreme High Frequency (EHF) Radar, Expériences3 GHz -30 GHz Super High Frequency (SHF) Satellite de

télécommunication liaisons 300 MHz – 3 GHz Ultra High Frequency (UHF) Télévision, communications

satellites, sondes radio, surveillance radar, aide à la navigation30 MHZ – 300 MHz Very High Frequency (VHF) Télévision, Radars, Téléphone

GSM3 MHz – 30 MHz High Frequency (HF) Télévision et radio en

modulation de fréquence, communication de l’armée et la police300 KHz 3 MHz Medium Frequency (MF) Radiodiffusion AM, radio

maritime30 KHz - 300 KHZ Low Frequency (LF) Radio, aide à la navigation10 KHz - 30 KHz Very Low Frequency (VLF) Navigation


Propagation dans le videApplications typiques des onde radio et micro-onde

Postes téléphoniques sans cordon : 26,4 MHZ ; 41,4 MHz… Microphones sans fil : 36,4 MHz ; 39,2 MHz (canaux simplex

200 kHz) ; 4,3 MHz ; 175,5 MHz; 863 MHz… Radiodiffusion FM : 87,5 MHz à 108 MHz Services aéronautiques (aide à l’atterrissage et au

décollage) : 108 MHz 118 MHz Télévision : 47 MHz à 68 MHz ; 174 MHz à 223 MHz ; 470 MHz à

830 MHz Radiocommunication mobile publique : GSM : 890 MHz…960

MHz; 1800 MHz Liaison inter-satellites : 23,5 GHz Radars de véhicules : 76 GHz



Application en radiocommunication mobile publique

Principe et fréquences de fonctionnement des technologies GSM et DCS 1800


Propagation dans un milieu

Dans un milieu l’OEM interagit la matière en induisant des moments dipolaires

Dans un milieu homogène (isotrope), permanent et linéaire, les équations de Maxwell s’écrivent:

Avec D le déplacement électrique et H l’induction magnétique

Avec χ est la susceptibilité diélectrique, ε est la constante diélectrique et P la polarisation (dipôle par unité de volume) du matériau

0D. D div =∇=vvv

( ) ( ) E E E1EEPE D 0000

vvvvvvvvεεεχεχεε ==+=+=+= r

0µ

B H

vv

=

t

(t)B E E tro

∂∂−=∧∇=v

rvrr

0H. H div =∇=rvr

t

D HH tro

∂∂=∧∇=r

rrrv


Propagation dans un milieuAvec les solutions de l ’onde plane, en notation complexe e-j(ωt-kr), on fait correspondre les opérateurs:

kjrr

→∇

2

2

2

ω−→∂∂t

22 k∆ −→=∇r

jωt

−→∂∂


Propagation dans un milieu

Avec les solutions des ondes planes, les équations de Maxwell deviennent:

On multipliant vectoriellement l’éq. (2) et on utilisant l’éq. (4) on obtient:

On développant le double produit vectorielle et en utilisant la propriété k ⊥ E0(div D=0), on obtient:

Remarques: La propagation dans un milieu dépend de sa permittivité La permittivité d’un milieu est en générale complexe :

0 E..k (1) 0 =vr

ε000 H.µ.ω Ek (2)

rrr=∧

0 H.k (3) 0 =rr

00 E ε ω- Hk (4)rrr

=∧

0r002

0 E ε ε µ ω )Ek(krrrr

−=∧∧

r0022 ε ε µ ω k =

''

r

'

rr ε jεε +=


Propagation dans un milieuLe vecteur d’onde est donc complexe:

L’OEM devient:

Avec un terme d’amortissement:

un terme de propagation:

Indice de réfraction complexe:

(n étant l’indice de réfraction réel du milieu (la partie réelle de l’indice de réfraction complexe) et k étant le coefficient d’extinction du milieu) :

Coefficient d’absorption (en m-1):

''k j 'k k rrr

+=

( )c )n(

ε ω)(4''kα(ω)

''

r

ωω

λω =Π== k

22'

r knε −= kn 2ε ''

r =

)'(r''k-

0 ee E~

t),r(E rktjrrvrr

vv −−= ω )r'k-tj(-r''k-

0 ee H~

t),r(Hvrvr

rvr

ω=r''k-e vr

)r'k-t-j(evr

ω

jknn~ +=

Propagation dans un milieuLes paramètres de propagation dans le vide deviennent donc:

L’impédance d’onde:

Où Z0 est l’impédance du vide

Remarque : l’impédance est en générale une grandeur complexe.

La vitesse de propagation:

0

0

0 11 Z Z

rr εεµ

ε==

n

cv =


Propagation dans un milieuLes différents types de la polarisation

Dans un milieu non magnétique isotrope et linéaire, on distingue 3 types de polarisation:

1) Polarisation électronique ( rapide: s’établissant en un temps de l’ordre de 10-15 à 10-14 s)

2) Polarisation ionique ( s’établissant en un temps de l’ordre de 10-13 à 10-11 s)

3) Polarisation d’orientation des dipôles (lente: s’établissant en un temps de l’ordre de 10-10 s et plus)

L’interaction d’une OEM avec le milieu excite généralement un seul type de polarisation. En effet, le type de polarisation privilégié est celui qui correspond à des fréquences de l’OEM de l’ordre de son établissement. Ainsi dans le domaine optique c’est la polarisation électronique qui joue un rôle prépondérant. Pour des longueurs d’onde de l’ordre de 10 µm et plus, la polarisation ionique devient substantielle à côté de la polarisation électronique.


Propagation dans un milieuLes différents type de la polarisation

Polarisabilité électronique: déplacement des électrons de valence par rapport par rapport aux électrons du coeur

E=0 E<>0

Polarisabilité ionique: déplacement des ions

+ - + - + - + -

E=0 E<>0

+ +-

p

cortége électronique

noyau E

Epp



Polarisabilité réorientationnelle: changement d’orientation des dipôles permanents

E=0 <p>=0 E<>0 <p> <> 0

E



10 9 10 12 10 15

L’allure typique de la partie réelle de la permittivité en fonction de la fréquence

Hz

ε’ ε

Relaxation électronique

Relaxation ionique

Relaxation d’orientation

(0)

ε (∞)



10 9 10 12 10 15

L’allure typique de la partie réelle de la permittivité en fonction de la fréquence

Hz

ε ’’

Relaxation électronique

Relaxation ionique

Relaxation d’orientation


Propagation dans un conducteur

permittivité des conducteurs

On peut monter que la permittivité d’un conducteur (modèle de Drude) s’écrit:

Avec est la fréquence de plasma (n étant la concentration des

e-; m étant la masse de l’e-; q étant la charge électrique d’un e- ; τ étant le temps de relaxation des e- )

Pour un conducteur parfait (τ∞) ε(ω) devient:

et l’équation d’onde devient: ( )2

2p

rω

ω1 ε −=ω

( )2

24

2p

2

24

22pr

τωω

τω

ω j

τωω

ωω1 ε

−+

−−=ω

mp

0

2qn

εω =

)ω

ω-(1 µ ω k

2

2p

0022 ε=




Région d 'absorption Région de propagation

-1,2

-1-0,8

-0,6-0,4

-0,2

00,2

0,40,6

0,8

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

ω/ωω/ωω/ωω/ω

ε(ω

)ε(

ω)

ε(ω

)ε(

ω)

pCas du métal:pour des concentrations d’électrons de l’ordre de 1023 / cm-3 : ωp ≅ 1016 Hz

Cas d’ionosphère:pour des concentrations d’électrons de l’ordre de 1018 / cm-3 : ωp ≅ 9 MHz




Dans un conducteur réel ((1/τ)≠0) on peut montrer que:

Où δ est appellé épaisseur de peau et σ est la conductivité du milieu

Pour une incidence normal le long de l’axe z, le champ E devient:

Le signal est donc atténué par un facteur e-1 pour une longueur z=δ. A uneprofondeur de quelques δ, le courant volumique est partiquement nul.

2

1

ωµσδ

α ==

)(

z-

0 ee Et)(z,E kztj −−= ωδvv


Propagation dans un conducteurpermittivité des conducteurs

Profondeur de pénétration de plusieurs métaux en fonction de la fréquence


Propagation dans un diélectriquepermittivité des conducteurs

Dans un conducteur réel ((1/τ)≠0), on peut monter également que résistance s’écrit:

Résistance pour plusieurs métaux en fonction de la fréquence

σωµ2

R m =


Propagation dans un diélectriquePermittivité des diélectriques

On peut monter que la permittivité d’un diélectrique (modèle de Lorentz) s’écrit:

Avec est la fréquence de plasma (n étant la concentration

des e-; m étant la masse de l’e-; q étant la charge électrique d’un e- ; τ étant le temps de relaxation des e- )

mε

qn ω

0

2

p =

( ) ( ) 222220

2

222220

2202 1)(

τωωω

ωτωτωωω

ωωωωε+−

++−

−+= ppr j


Propagation dans un diélectriquePermittivité des diélectriques

ωp=510+13(rad/s); ω0=510+14(rad/s); Γ=510+12 (s-1)

Contribution de l’oscillateur de Lorentz à la permittivité des diélectriques

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5E+13 7E+13 9E+13 1,1E+14 1,3E+14 1,5E+14

w (rad/s)

Im(e

ps)

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

5E+13 7E+13 9E+13 1,1E+14 1,3E+14 1,5E+14

w (rad/s)

Re(

eps)


Annexe 1: Effet Doppler (Application radar)Considérons deux référentiels Galiléens R (ex,ey,ez) et R’ (ex’,ey’,ez’) où R est animé

par rapport à R’ avec une vitesse uniforme u le long de l’axe ex .

Les transformation des coordonnée d’un événement, dans l’approche de Galilée, sont:

ez

ey

exu

ez’

ey’

ex’

ν


Annexe 1: Effet Doppler (Application radar)x=x’+ut x’=x-uty=y’ ou y’=yz=z’ z’=z

Soit une source de lumière fixe de fréquence ν émise dans R le long de l’axe ex .L’observateur dans R’ perçoit une fréquence (effet Doppler longitudinal)

Où c est la vitesse de la lumière dans le vide

Ceci est la conséquence de la propagation d’onde lumineuse dans le vide qui s’effectue à la même vitesse c dans tous référentiels Galiléens:

INVARIANCE DE c

Par la suite de l’invariance de c, les temps dans deux référentiels Galiléens ne s’écoulent pas de la même manière.

c

u1

c

u-1

γγ'

+=


Annexe 1: Effet Doppler (Application radar)Pour deux événements A et B produits dans R respectivement en (x,y,z,t) et (x+∆x,y+∆y,z+∆z,t+∆t), l’observateur en R’ perçoit respectivement les événements A et B en (x,’y’,z’,t’) et (x’+∆x’,y’+∆y’,z’+∆z’,t’+∆t’) tels que :

∆s2= ∆x2+ ∆y2+∆z2- c2∆t=∆x’2+ ∆y’2+∆z’2- c2∆t’

C’est L’INVARIANCE DE L’INTERVALLE ESPACE-TEMPS

Les transformation des coordonnée d’un événement, dans l’approche d’Einstein, deviennent:

x=(1-(u/c)2) -1/2.(x’+ut) x’=(1-(u/c)2) -1/2.(x’-ut)

y=y’ y’=y

z=z’ z’=z

t=(1-(u/c)2)-1/2.(t’+(u/c2)x’) t’=(1-(u/c)2)-1/2.(t-(u/c2)x)


Annexe 1: Effet Doppler (Application radar)Si une source de lumière, fixe dans le référentiel R émet une onde de fréquence ν dans la direction k du plan xOy, telle que (ex,k)=θ , l’observateur dans R’ perçoit une fréquence ν’

dans la direction θ‘

c

u1

cosc

u-1

γγ'2

−

Θ=

ez

ey

exu

ez’

ey’

ex’

νθ

cosc

u1

c

u-cos

'c

Θ−

Θ=Θos


Annexe 2: permittivité des conducteurs

Calcul de la permittivité des conducteurs (Modèle de Drude):

Équation de mouvement des e – libres sous l’action du E0e-jωt:

avec m est la masse de l’e-, r est la position d’un e-, q est la charge électrique d’un e- (q>0) et τ le temps de relaxation des e-

Solution permanente:

Polarisation électronique:

Avec n est la concentration des e-

tj-

02

2

e E q dt

r d

τ

m

dt

r d m ω

rvv

=+

t-j

0 e r (t) r ωvv =

( ) ( )ωω E

τωjωm

n q r n q P

vvv

+−==

2

2 1


Annexe 2: permittivité des conducteurs

τωωεεωε

ωωεjmE

Pr +

−=+==2

0

2

00

1qn 11

)(E

)(D )( v

v

v

v

2

24

2

2

24

22

2

2

11)(

τωωτ

ωω

τωω

ωωτ

ωωω

ωε−

+−

−=+

−= ppp

r jj

Avec est la fréquence de plasmamε

qn ω

0

2

p =

La permittivité d’un conducteur s’écrit donc:


Annexe 3: permittivité des diélectriques

Calcul de la permittivité des diélectriques (Modèle de Lorentz):

Équation de mouvement des e –élastique ment lié au noyau sous l’action du E0e-jωt:

avec m est la masse de l’e-, r est la position d’un e-, q est la charge électrique d’un e- (q>0), Γ est le temps de relaxation des e- et ω0 es la fréquence propre des dipôles

Solution permanente:

Polarisation électronique:

Avec n est la concentration des e-

tj-0

2

2

2

e E q r dt

r d m

dt

r dm

0

ωωτrr

vv

=++ m

t-j

0 e r (t) r ωvv =

)(E1qn

r qn )( P 22

0

2

ωωτωω

ωvvv

jm −−==


Annexe 3: permittivité des diélectriques

La permittivité d’un diélectrique (modèle de Lorentz) s’écrit:

Avec est la fréquence de plasma

ωτωωεεωεωωε

jmE

Pr −−

+=+==22

00

2

00

1qn 11

)(E

)(D )( v

v

v

v

( ) ( ) 222220

2

222220

2202 1)(

τωωω

ωτωτωωω

ωωωωε+−

++−

−+= ppr j

mε

qn ω

0

2

p =

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Propagation et antennes Chap. 1