Filtro: función de transferencia en tensión de una red bipuerta que tranf. La tensión de entrada v1(t) en v2(t) mediante T(p)=v2(p)/v1(p)Filtro modifica la forma de onda de entrada a la salida

Filtros RLC o activos (A.O.) Son func. reales pero no positivas Funciones racionales de p

Pasa baja, pasa alta, pasa banda, elimina banda

Factor Q=ωc

Δω=

ωc

ω2−ω1;Retardo de fase Δt=−θ (ω)

ω;

Retardo de grupo tan (ω)=−dθdω

Desnormalizar

p→ pω0

;ω0=2π f 0

Filtro de ButterworthButterworth: aproximación máximamente plana.Síntesis Butterworth.

|T ' ( jω)|2= 1

1+F (ω2);F (ω2)={0 0<ω<1

∞ ω>1Aprox. Butterworth:

F (ω2)≅ ω2 N ;F (ω2)=l í mN→∞

ω2N ; F (ω2)={l í mN→∞

ω2 N 0<ω<1

l í mN→∞

ω2 N ω>1

Función de transferencia de orden N para un filtro pasa-baja de

Butterworth

Coef. Butterworth (Sólo el de p. Los de p2 y p0 valen 1)

N 2 4 6 8 10b1 1,414213 0,765367 0,517638 0,390180 0,312869b1 1,847759 1,414213 1,111140 0,907981b1 1,931851 1,662939 1,414213b1 1,961570 1,782013b1 1,975376

[|T ( jω)|]ω= p

j

2=T ( p)T (−p); 1

1+( pj )2N=T ( p)T (−p)

1+( pj )2 N

=0⇒ ( pj )2N

=−1⇒ p2N=e jπ ej π2 2N

p=ejπ 1+N+2k

2N

ϕk=π 1+N+2k2N }Asignar polos

Filtros de TchebychevRizado constante en banda pasante, caída más abrupta.

F (ω2)=l í mN →∞

ε2CN2 (ω) CN

2(w): polinomios de Tchebyshev de

grado N; 10

|T ( jω)|2= 11+ε2CN

2 (w) {ω≤1⇒ CN(ω)=cos [N cos−1ω]ω>1⇒ CN (ω)=cos h [N cos h−1ω]

N=0 ⇒ C0(ω)=1 ¿N=1 ⇒ C1(ω)=ω ¿N=2 ⇒ C2(ω)=cos [2 cos−1ω ]=…=2ω2−1 ¿N=3 ⇒ C3(ω)=4ω3−3ω ¿

ω=1⇒|T ( jω )|ω=1=1

√1+ε2

ω=0 ORDEN⥂PAR |T ( jω )|0=1

√1+ε2

ORDEN⥂ IMPAR |T ( jω )|0=1Aparecen tantas oscilaciones en la banda pasante como orden del filtro. Usa los polinomios de Chebychev.Cálculo T(p)

Parto de [|T ( jω )|]

ω=pj

2=T (p )T (−p )= 1

1+ε2CN2 ( pj )

Saco y , que me permite obtener los polos de T(p)T(-p), de la forma p=+j. Luego asigno polos a T(p) y T(-p)

σ=sinα sin h βω=cos α cosh β α=(2n+1 )N

π2

β= 1N

ln (1+√1+ε 2

ε )ε=√10

δ10−1; δ=10 log (1+ε2 )

Los polos forman una elipse σ 2

sin h2β+ ω2

cos h2β=1

Coef. Chebyshev pasa-baja rizado 1 dB (b2=>p2; b1=>p)N 2 4 6 8 10b2 0,907021 1,013679 1,009354 1,005894 1,003957

b1 0,995668 0,282889 0,125525 7,0429e-2 4,500e-2

b2 3,579122 1,793016 1,382088 1,227863

b1 2,411396 0,609201 0,275574 0,159743

b2 8,018803 2,933762 1,921118

b1 3,721731 0,875459 0,389282

b2 14,23260 4,412333

b1 5,009828 1,126613

b2 22,22130

b1 6,289486

Filtros de BesselSistema en el que el retardo es constante para toda w. Se parte de una red ideal de retardo y se aproxima mediante una función racional. Función de transferencia de la forma:

T ( p )= 1DN ( p )

, con DN(p) polinomio de Bessel orden N.

D0=1; D1=p+1; D2=p2+3p+3; D3=p3+6p2+15p+15; D4=p4+10p3+45p2+105p+105; …; DN+1(p)=(2N+1)DN(p)+p2DN-1(p)Sensibilidad de los filtros

SxQ=

ΔQQΔxx

= xQΔQΔx

Pasando al límite SxQ= x

Q∂Q∂ x

= ∂ [ lnQ ]∂ [ ln x ]

Transformaciones en frecuenciaFiltro pasa-baja->transf. Conforme->función transferencia de otro filtroPasabaja->Pasa alta Pasabaja->Pasa banda Pasabaja-

>Eliminabanda

p= 1p̄

T ( p)= a p2

p2+b1 p+b0(orden 2)

p=Q ( p̄+ 1p̄ )

T ( p)= app2+b1 p+b0

(orden 2)

p= 1

Q( p̄+ 1p̄ )

T ( p)= p2+ap2+b1 p+b0

(orden 2)Transf. Elementos.Pasabaja->pasaalta

Pasabaja->pasabanda

Resumen EA2 v1.2020. ETSE-UV

|T ( jω )|2= 11+ω2N

N Polin. Denominador T(p)1 p+12 p2+2p+13 p3+2p2+2p+14 p4+2,1631p3+3,144p2+2,6131p+1

Pasabaja->eliminabanda

Realización de filtros pasivosSe emplean para altas frecuencias o frecuencias de audio en etapas de potencia. Básicamente, disponen de tantos elementos reactivos como el orden del filtro. Se parte del filtro pasa baja y se realizan transf. En frec. De los elementos para obtener los diversos tipos de filtros. Estrictamente, se extraería la func. de transf. del circuito y se igualarían los coeficientes a los de la función del filtro que buscamos (Butterworth, Tchebyshev,...). Normalización: (en fnc. Transf.. dividir por wc)

Magnitud UnidadImpedancia RPulsación 2f0

Tiempo 1/2f0

Capacidad 1/2f0RAutoinducción R/2f0

Filtro pasa baja orden 4:

Valores normalizados de comp. para filtro de Butterworth:Componente Valor normalizado

C1 1,84776C2 0,76536L1 0,76536L2 1,84776

Filtro pasa-baja orden 5:

Valores normalizados comp.. para filtro Chebyshev:(dB) C1 C2 C3 L1 L20,5 1,70577 2,54082 1,70577 1,22962 1,229621 2,13488 3,00092 2,13488 1,09111 1,091111,5 2,49559 3,40166 2,49559 0,98496 0,98496

Resumen EA2 v1.2020. ETSE-UV

Valores normalizados comp.. para filtro Butterworth:Componente Valor normalizado

C1 0,60075C2 1,99903C3 0,63633L1 1,58955L2 1,64646

Mediante transformaciones en frecuencia, se obtienen los demás filtros.Pasa alta orden 4:

Valores normalizados de comp. para filtro de Butterworth:Componente Valor normalizado

C1 1,30657C2 0,54119L1 0,54119L2 1,30657

Pasa alta orden 5:

Valores normalizados comp.. para filtro Chebyshev:(dB) L1 L2 L3 C1 C2

0,5862 0,3935 0,5862 0,8132 0,81321 0,4684 0,3333 0,4684 0,9165 0,91651,5 0,4007 0,2939 0,4007 1,0152 1,0152

Valores normalizados comp. para filtro Butterworth:Componente Valor normalizado

L1 1,6646L2 0,5000L3 1,5715C1 0,6291C2 0,6073

Filtro pasa banda orden 8

Valores normalizados de comp. para filtro de Butterworth según Q:Componente Valor normalizado

L1 0,7653QL2 1/1,8477QL3 1,8477QL4 1/0,7653QC1 1/0,7653QC2 1,8477QC3 1/1,8477QC4 0,7653Q

Filtro elimina-banda orden 8

Valores normalizados de comp. para filtro de Butterworth según Q:Componente Valor normalizado

L1 0,7653/QL2 1,8477/QL3 Q/1,8477L4 Q/0,7653C1 Q/0,7653C2 Q/1,8477C3 1,8477/QC4 0,7653/Q

Realización de funciones de transferenciaCirc. desenergetizadopuedo cambiar p por d/dt ecuaciones diferenciales. Las puedo implementar por bloques activos.Integrador inversor:

v2 ( t )=−1RC∫

0

t

v1 ( t )dt

Integrador no inversor:

v2 (t )= 2RC∫

0

t

v1 ( t )

Sumador inversor:

v2 (t )=∑−RR i

v i (t )

Derivador

v2 ( t )=−RCd v1 (t )dt

Síntesis activaSallen Key (gan=0dB)

T ( p )=v2 ( p )v1 ( p )

=Y 1Y 2

Y 1Y 2+Y 1Y 4+Y 3Y 4+Y 2Y 4Pasa baja orden 2:Y1=1/R1; Y2=1/R2; Y3=pC3; Y4=pC4

H (p )= 1R1R2C3C4 p

2+(R1+R2 )C4 p+1Pasa alta orden 2:Y1= pC3; Y2= pC4;Y3=1/R1; Y4=1/R2

H (p )=R1R2C3C4

R1R2C3C4 p2+(C3+C4 ) R1 p+1

Célula de Rauch

T ( p )=v2 ( p )v1 ( p )

=−Y 1Y 3

Y 5 (Y 1+Y 2+Y 3+Y 4 )+Y 3Y 4Filtro pasa baja orden 2:Y1=1/R1; Y2=pC2; Y3=1/R3; Y4=1/R4; Y5=pC5

H (p )=

R4

R1

R4 R3C5C2 p2+( R4 R3

R1+R4+R3)C 5 p+1

Pasa alta orden 2:Y1=C1p; Y2=1/R2; Y3=C3p; Y4=C4p; Y5=1/R5

Resumen EA2 v1.2020. ETSE-UV

H (p )=

C1

C4R5 R2C4C3 p

2

R5R2C4C3 p2+ (C1+C3+C4 )R2 p+1

Osciladores:Criterio de Barkhaussen A ∙ β=1 ⌊0 °¿¿

Oscilador de desfasaje progresivo

A≥29; f 0=0,065RC

Oscilador de Puente de Wien

A≥3; f 0=0,159RC

Osciladores de cristal

ωS=1

√LC s

ωP=√ CS+CP

CSCPLωP>ωSComoCP≫CS⇒ωo≈

1√LCS

Comparador de Schmitt

Oscilador en cuadratura

f 0=1

2∙ π ∙ RC; A= 1

√2

Generador de onda cuadrada

|v1|=R1

R1+R2|vsat|

f 0=1

2RCsi R2=1,16 R1

Generador de onda triangular

f o=R3

4 R1C1R2

vo( pp)=2R2

R3(v sat)

Generador de diente de sierra

Resumen EA2 v1.2020. ETSE-UV

Detector de picos/S&H

Rectificadores de media onda

Rectificador de onda completa

Enclavadores

555

Astable Monostable

tH= ln (2)∙(R1+R2)CT=ln(3)RC

tL=ln (2 ) ∙R2 ∙C

f o≅1

ln(2)C (R1+2R2)

Oscilador Hartley Oscilador Colpitts

f o=1

2π [ 1C (L1+L2) ]

12

f o=1

2π [ C1+C2

C 1C 2L ]12

gm≈L1

R1L2

gm≈C2

R1C2

Análisis de osciladores mediante el determinante1. Dibujar el diagrama equivalente de pequeña señal2. Extraer las ecuaciones del circuito en alterna. Agrupar variables3. Calcular el determinante del sistema, y separarlo en parte real e

imaginaria4. Igualar a cero ambas partes, para sacar frecuencia y ganancia

Etapas de potenciaSeguidor de emisor Emisor común

Clase B

Clase AB

Resumen EA2 v1.2020. ETSE-UV

Multiplicador AB

Clase D

Realimentación

Tipos de realimentación

Efectos de la realimentación

Margen de ganancia y de fase Posiciones de polos al realimentar

Polo dominante

Dos polos Tres polos

Resumen EA2 v1.2020. ETSE-UV