NOMBRE: DENISSE ASTRID HERNNDEZ CASTELN FECHA: 31-AGOSTO-15

MAESTRA: M.I.Q. NORMA ALEJANDRA VALLEJO CANT MATERIA: MATEMTICAS

MAESTRIA: CIENCIAS EN INGENIERA QUMICA TAREA N2: PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.- Sean A y B dos matrices de n x n. Entonces es decir, el determinante del producto es el producto de los determinantes. Ejemplo:

= [1 23 5

] = [4 52 3

]

Det= (1)(5)-(3)(2) =-1 det B= (4)(3)-(2)(5)= 2

= [1 23 5

] [4 52 3

]= [(1)(4) + (2)(2) (1)(5) + (2)(3)(3)(4) + (5)(2) (3)(5) + (5)(3)

] = [8 11

22 30]

Det AB = (8)(30) - (22)(11)= 240 - 242= -2

det AB = -2 = (-1)(2)= det A det B

(Grossman S. S y Flores G. J. 2012.)

2.- Si cualquier rengln o columna de A es un vector cero, entonces Suponga que el rengln i de A contiene solo ceros. Esto es aij= 0 para j = 1, 2,. . ., n. Entonces, det A =ai1Ai1 + ai2Ai2 +. . . + ainAin = 0 +0 +. . . + 0 =0. La misma prueba funciona si la columna j es el vector cero. Ejemplo:

= [0 0 0

21 22 2331 32 33

] det A= (0) |22 2332 33

| (0) |21 2331 33

|+ (0) |21 2231 32

| = 0

(Grossman S. S y Flores G. J. 2012.)

3.- Si A tiene dos renglones o columnas iguales, entonces Suponga que los renglones i y j de A son iguales. Al intercambiar dichos renglones se obtiene una matriz B que tiene la propiedad de que det B = - det A pero

como el rengln i = rengln j, al intercambiarlos se obtiene la misma matriz. As, A= B y det A =det B = - det A. Por lo

tanto, 2 det A= 0, lo que puede ocurrir solo si det A= 0. Ejemplo:

= [1 2 03 5 71 2 0

] det A= (7) |1 21 2

| = (-7) [(1)(2) (1)(2)] = 0

(Grossman S. S y Flores G. J. 2012. )

4.- El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales; o sea Ejemplo:

= [1 23 5

] det A = (1)(5) (3)(2) = -1 = [1 32 5

] det AT = (1)(5) (2)(3) = -1

(Lipschutz S. S. 1992.)

det AB = det A det B

det A=0

det A=0

det A = det AT

5.- Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operacin elemental entra filas (columnas) Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, Ejemplo:

= [0 3 24 1 30 2 7

] det A = (-4) |3 22 7

| = (-4) [(3)(7) (2)(2)] = -100

= [4 1 30 3 20 2 7

] det B = (4) |3 22 7

| = (4) [(3)(7) (2)(2)] = 100 = -det A

(Lipschutz S. S. 1992.)

6.-Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si El teorema 4 agrega el enunciado det A _ 0 al teorema de la matriz invertible. Un til corolario es que det A _ 0 cuando las columnas de A son linealmente

dependientes. Adems, det A _ 0 cuando las filas de A son linealmente dependientes. (Filas de A son columnas de AT, y

columnas linealmente dependientes de AT hacen que AT sea singular. Cuando AT es singular, tambin lo es A, de

acuerdo con el teorema de la matriz invertible). En la prctica, la dependencia lineal es evidente cuando dos columnas

o dos filas son iguales, o una columna o fila es cero. Ejemplo:

Calcule det A, donde A = [

3 1 2 50 5 3 6

6 7 7 45 8 0 9

] sume la fila 1 multiplicada por 2 a la fila 3 para obtener

det = [

3 1 2 50 5 3 60 5 3 6

5 8 0 9

] = 0 Ya que la segunda y tercera filas de la segunda matriz son iguales.

(Lay D.C. 2012)

Bibliografa:

Grossman S. S y Flores G. J. 2012. Algebra lineal. Mc. Graw-Hill. Mxico, D.F. Lipschutz S. S. 1992. Algebra lineal. Mc. Graw-Hill. Madrid. Lay D.C. 2012.Algebra lineal y sus aplicaciones. Pearson educacin. Mxico.

|B|= - |A|

det A 0.