Propiedades de los límitesPropiedades generales

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes

propiedades:

Límite de Expresión

Una constante

La función identidad

El producto de una función y una

constante

Una suma

Una resta

Un producto

Un cociente

Una potencia

Un logaritmo

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El número e

Función f(x) acotada y

g(x) infinitesimal.

Indeterminaciones

Véase también: Forma indeterminada

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el

límite que tiende a infinito y al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación Indeterminación

Sustracción

Multiplicación

División

Elevación a

potencia

Ejemplo.

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0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un

límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es

siempre el mismo. Por ejemplo:

Regla de l'Hôpital

Artículo principal: Regla de l'Hôpital

Esta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse

directamente en límites que son «igual» a 0/0 o a ±∞/±∞.

Otras formas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por lo general,

establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y

entonces aplicar la regla de l'Hôpital.

Por ejemplo:

Límites trigonométricos

1.

2.

3.

4.

5.

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Demostraciones

Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límites trigonométricos, se utilizará la

inecuación sin(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y

tangente. Luego dividimos por sin(x), obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se logra demostrar utilizando las propiedades de los límites y el valor

obtenido en el límite anterior. Es decir:

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