CENTRO DE PREPARACIN ESTUDIANTIL MUNICIPAL
CENTRO DE PREPARACIN ESTUDIANTIL MUNICIPALMUNICIPALIDAD
DISTRITAL DE SORITORARITMTICA PREPROPIEDADES DE LOS NMEROS
DIVISIBILIDAD
Nmeros divisibles:Si A representa un nmero entero y B un nmero
natural (B 0), se dice que:
A es divisible entre B B se llama divisor de A
99 es divisible entre 11.(11 es divisor de 99)
DIVISOR DE UN NMERO:Se llama as a cualquier valor que lo divide
exactamente mediante una divisin entera.Divisores de 8: {1; 2; 4;
8}Divisores de 15:..Divisores de 40:.
MULTIPLICIDAD DE NMEROSSe dice que un nmero entero es mltiplo de
otro entero positivo llamado mdulo, si el primero es el resultado
de multiplicar el segundo por otro factor entero. A = B.K A, K Z;
Mdulo: B Z+
Representacin:
; Se lee A es mltiplo de B
OBSERVACIONES:1. El cero es mltiplo de cualquier nmero entero
positivo.
; ; 2. Todo nmero entero es mltiplo de la unidad.
; 3. Todo nmero entero es divisible entre s mismo.
; 4. Un nmero entero negativo podra ser mltiplo de un nmero
entero positivo.
; 5. Si un nmero no es divisible entre otro(Divisin inexacta)a
bb: Mdulo (divisor)r kr: residuo; a: dividendo
PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
1.
2.
3.
4.
5. Si: p = a.b 6.
Si: 7.
Si: ; a y N tienen como nico factor comn la unidad, se cumple
que:
OBSERVACIONES:1.
2.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
1. Divisibilidad entre 2n:
2. Divisibilidad entre 5n:
3. Divisibilidad entre 3 9:
Dado:
4. Divisibilidad entre 7:
Dado:
5. Divisibilidad entre 11:
Dado:
6. Divisibilidad entre 13:
Dado:
NMEROS PRIMOSNmero primo.- Es aquel que tiene solamente dos
divisores; l mismo y la unidad2; 3; 5; 7; 31; Nmero simple: Es
aquel que tiene un solo divisor: 1; 2; 3; 5; 7; Nmero compuesto: Es
aquel que tiene ms de 2 divisores: 4; 6; 8; 10; 12; 14;
NMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI)Varios nmeros naturales son PESI o
primos relativos cuando tienen como nico divisor comn a la
unidad.Ejemplo: 14; 12; 21PROPIEDAD DE LOS NMEROS COMPUESTOS1. Todo
nmero compuesto se puede expresar como el producto de ciertas
potencias; expresin llamada descomposicin cannica.1080 = 23.33.51;
24 = 23.3; 140 = 22.5.72. Calculo de los divisores de un
nmero:Siendo N un nmero compuesto
A; B; C: Factores primos; ; : Exponentes ( N)
A) Cantidad de Divisores:
B) Suma de divisores:
C) Suma de las inversas de los divisores: D) Producto de los
divisores de un nmero:
AH! RECUERDE:1. Nmero perfecto: Es aquel igual a la suma de sus
divisores propios; forma: 28 = 1 + 2+ 4+ 7 + 146 = 1 + 2 + 32.
Nmeros amigos: Dos nmeros naturales sern amigos cuando cada uno es
igual a la suma de los divisores del otro, excepto l.220 y 2843.
Nmeros saturados: Son aquellos con la mayor cantidad posible de
divisores que cualquier otro nmero menor que l.4. Nmero abundante:
Es aquel nmero cuya suma de sus divisores propios es mayor que
dicho nmero.
MXIMO COMN DIVISOR (MCD)MNIMO COMN MLTIPLO (MCM)
1. MXIMO COMN DIVISOR (MCD)Se llama mximo comn divisor de un
conjunto de dos o ms nmeros, al mayor de los divisores comunes que
comparten dichos nmeros.MCD (a1; a2; a3: a4; an) = dDonde d es el
mayor divisor comn.MCD (30; 36) = 6Nota: Si los nmeros son PESI su
MCD es 1.
2. MNIMO COMN MLTIPLO (MCM)Se llama mnimo comn mltiplo de un
conjunto de dos o ms nmeros, al menor de los mltiplos comunes
positivos que comparten dichos nmeros.MCM (a1; a2; a3: a4; an) =
mDonde m es el menor mltiplo comn.MCM (8; 12) = 24
3. ALGORITMO DE EUCLIDESEs un procedimiento que no permite
calcular el MCD para dos nmeros solamente mediante divisiones
sucesivas.De manera general: Calcular el MCD para dos nmeros A y
B(A>B)
Cocientesq1q2q3q4
ABr1r2r3 MCD
Residuosr1r2r30
Donde: A BB r1 r1 r2 r2 r3r1 q1r2 q2 r3 q3 0 q4 Hallar el MCD de
424 y 120 Hallar el MCD de 300 y 192
PROPIEDADES:1. Si A y B son PESI se cumple:MCD (A; B) = 1MCM (A;
B) = A.B2. Si: se cumple: MCD (A; B) = BMCM (A; B) = A
3. Sean A y B, donde el MCM (A; B) = d
PESI
4. Para dos nmeros A y B, donde: MCM (A; B) = d y MCM(A; B) =
m
5. Dados:
Un comerciante tiene entre 406 y 420 manzanas, si los embolsa de
5 en 5 le sobraran 2, si las embolsa de 7 en 7 le sobraran 4.
cuntas manzanas tiene el comerciante?a) 415 b) 116 c) 417 d) 418 e)
410PROBLEMAS
1. Hallar el residuo que se obtiene al dividir 253 entre 6a) 1
b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Hallar el residuo que se obtiene al dividir 314 entre 7a) 2
b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
3. Un comerciante tiene entre 406 y 420 manzanas, si los embolsa
de 5 en 5 le sobraran 2, si las embolsa de 7 en 7 le sobraran 4.
Cuntas manzanas tiene el comerciante?a) 416 b) 418 c) 412 d) 410 e)
417
4. El nmero de pginas de un libro es mayor que 299 y menor que
313 si se cuentan de 4 en 4 sobran 2, si se cuentan de 6 en 6
faltan 2. Cuntas pginas tiene el libro?a) 310 b) 308 c) 300 d) 306
e) 312
5. Del 1 al 100. cuntos son mltiplos de 6?a) 15 b) 16 c) 14 d)
17 e) 18
6. Del 18 al 200. Cuntos son mltiplos de 5?a) 35 b) 36 c) 38 d)
37 e) 40
7. Del 1 al 300 Cuntos no son mltiplos de 8?a) 36 b) 37 c) 262
d) 263 e) 264
8. Cuantos nmeros existen entre 300 y 500, que sean a la vez
divisibles por 4 y por 5?a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 159. Hallar el
valor de a, si: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
10. Calcule el residuo de dividir: E = 11 + 13 + 21 + 23 + 31 +
33 + + 111 + 113, entre 5.a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
11. Cuntos divisores menos tiene el nmero 240 que el nmero
720?a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15
12. Determinar el valor de n sabiendo que 40n tiene 65
divisoresa) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Cul es el mayor nmero de nios entre los cuales hay que
repartir 12, 24 y 60 panes simultneamente para que, en cualquiera
de los casos cada uno reciba una misma cantidad. Cuntos panes en
total toca a cada nio?a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12
14. Cul es el mayor nmero de nios entre los cuales se pueden
repartir simultneamente 26 y 38 caramelos, de manera que sobre 2 y
6 caramelos, respectivamente?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
15. Un fabricante de jabones, quiere envasar su producto en
cajas de 840cm3 y 960cm3. Cul debe ser el mayor volumen de cada
jabn para que cada caja entre el mayor nmero exacto de jabones?
cuntos jabones entran en cada caja?a) 110 b) 120 c) 100 d) 150 e)
250
16. Las edades de Manuel y de la de su hija estn comprendidas
entre 23 y 49 aos y son a la vez divisibles por 8 y por 12. Qu edad
tiene el mayor?a) 40 b) 36 c) 24 d) 48 e) 42
17. Tres amigos parten regularmente de la misma ciudad cada 8;
12 y 16 das, respectivamente. La ltima vez que salieron juntos fue
le 16 de octubre de 1998, con la promesa de reunirse los tres en la
primera oportunidad para intercambiar informacin sobre las carreras
profesionales a seguir. En que fecha se produce en encuentro?a) 03
de diciembre de 1998 b) 04 de enero de 1999 c) 6 de noviembre del
1006 d) 03 de noviembre de 1998 e) 08 de diciembre de 1998
18. Cuando Timoteo y Karina desean encontrarse, deben recorrer
entre ambos 777km; con velocidades constantes de 9km/h y 6km/h. En
cuntos puntos distintos se pueden encontrar?a) 40 b) 36 c) 24 d) 48
e) 42
19. Una correa cuesta S/. 21, 00 si un comprador tiene 15
monedas de S/. 5 y la cajera tiene 20 monedas de S/. 2, De cuntas
maneras diferentes se puede efectuar el pago?a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e)
6
20. Cul es la suma de de las cifras que deben sustituir a 2 y 3
del nmero 52103 para que sea divisible entre 72?a) 10 b) 12 c) 8 d)
6 e) 16
21. El nmero de alumnos que se encuentran en un aula es menor
que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 del total usan
anteojos y los 5/13 son alumnos de la especialidad de ciencias. cul
es la suma de los alumnos que usan anteojos y los que son de
ciencias?a) 140 b) 136 c) 124 d) 112 e) 122
22. En un lapso de 15 das una madre es visitada por sus 3 hijas.
Mara la visita un da si y otro no, Lucia cada 3 das y Betty cada 4
das. Si el primer da concuerdan en visitarla las 3, cuntos das no
recibi la visita de sus hijas?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 823. De los
divisores de 180, hallar la suma de los que sean mltiplos de 6.a)
420 b) 423 c) 422 d) 432 e) 480
24. Hallar la suma de las inversas de los divisores de 800.a)
2,44 b) 1,44 c) 2,48 d) 2, 22 e) 2,60
25. Cuntos ceros a la derecha hay que agregarle a 275 para que
tenga 70 divisores?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
26. Si el nmero: 15(30x) tiene 294 divisores, hallar xa) 3 b) 5
c) 6 d) 7 e) 8
27. En una avenida de 5km de largo se desea plantar rboles, tal
que la distancia entre rbol y rbol sea la misma y en nmero entero
de metros. De cuntas maneras se pueden sembrar los rboles? Obligado
debe haber un rbol al inicio y otro al final?a) 20 b) 30 c) 60 d)
70 e) 80
28. Hallar la suma de dos nmeros cuyo MCD sea 18 y que el
primero tenga 10 divisores y el segundo 15 divisores.a) 308 b) 306
c) 406 d) 408 e) 198
29. Tres mviles A; B y C parten al mismo tiempo de un punto de
una pista circular que tiene 240m de circunferencia. A se desplaza
con velocidad de 8m/s; B con velocidad de 5m/s y C con velocidad de
3m/s. Cunto tiempo transcurrir para que los tres mviles realicen el
primer encuentro?a) 4min b) 5min c) 6min d) 7min e) 8min
30. Cuntas cajas cbicas como mximo se podrn utilizar para
empaquetar 2400 barras de jabn cuyas dimensiones son: 20; 15 y
12cm, de modo que todos estn completamente llenos.a) 200 b) 300 c)
600 d) 400 e) 800
El secreto de la felicidad no esta en hacer lo que se quiere
sino querer siempre lo que hace.Un comerciante tiene entre 406 y
420 manzanas, si los embolsa de 5 en 5 le sobraran 2, si las
embolsa de 7 en 7 le sobraran 4. cuntas manzanas tiene el
comerciante?a) 415 b) 116 c) 417 d) 418 e) 410
