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Proporcionalidad directa y Proporcionalidad inversa

Resumen:

Dos variables y y x son proporcionales si se cumplen una y sólo una de las siguientesrelaciones:• Su razón y/x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son

directamente proporcionales.• Su producto y·x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son

inversamente proporcionales.

Ejemplos:

Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo tanto, necesitas3500 pesos. Con estos datos tenemos siguiente tabla:

Cantidad de

latas (X)

Costoen

dinero(Y)

1 3502 7003 10504 14005 17506 21007 24508 28009 3150

10 3500

Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y el costo en dinero, enambas los valores aumentan y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en laotra.

El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:

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Con la tabla anterior divide cada par de valores (x e y)

Cantidad de

latas (x)

Costoen

dinero(y)

Cocientey/x= c

Constante deproporcionalida

dc

1 350 350/1 = 3502 700 700/2 = 3503 1050 1050/3 = 3504 1400 1400/4 = 3505 1750 1750/5 = 3506 2100 2100/6 = 3507 2450 2450/7 = 3508 2800 2800/8 = 3509 3150 3150/9 = 35010 3500 3500/10 = 350

Notamos que cuando se divide el costo y por la cantidad de latas x se obtiene un valorconstante c en cada cuociente.

En resumen observamos que:

• Tenemos dos variables una de las cuales (y), cambia en términos de los valores quetoma la otra (x), además

• A partir de la tabla de valores podemos verificar que la constante deproporcionalidad es c = 350 para cada par de valores (x, y) y

• El gráfico que muestra la variación de x e y es una recta. Como c > 0, la recta esascendente.

Revisemos otro caso

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Consideremos un auto que parte con una velocidad inicial de Vo de 25 m/s ydesacelera de manera que baja su velocidad en 3 m/s en cada segundo, entonces sigraficamos la velocidad del auto por segundo transcurrido obtenemos:

Tiempo Velocidad V- Vo (V-Vo)/TTranscurrido del auto

1 22 3 32 19 6 33 16 9 34 13 12 35 10 15 5

Entonces observamos que la disminución de velocidad (V-Vo) es proporcional al tiempotranscurrido T y en este caso la constante de proporcionalidad tiene un valor negativo –3.

En resumen tenemos:

• Dos variables una disminuye mientras la otra aumenta, además• A partir de la tabla verificamos que la constante de proporcionalidad es negativa y• El gráfico de la velocidad del auto versus el tiempo transcurrido es una recta

descendente

Revisemos otro caso:

Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con elfestejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace enpartes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a cada uno, es decir, una décimaparte de la torta o también el 10 % del total.Veámoslo ilustrado:

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6

Serie1

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Ahora, en caso de 10 invitados sabemos cuanta torta te correspondería. Si antes departir la torta se retiraron 2 invitados, ¿el trozo que te tocaría sería más grande o máspequeño? Si llegan 5 invitados más antes de repartir la torta el pedazo que tecorrespondería ¿es más grande o más pequeño?

Las ilustraciones correspondientes son:15 invitados 8 invitados

La tabla siguiente describe la distribución de torta por cantidad de invitados, los trozosde torta lo expresaremos en porcentajes, los invitados en número de personas.

Invitados(persona

s)

Trozosde

torta(%)

1 100,002 50,003 33,334 25,005 20,006 16,667 14,288 12,509 11,11

10 10,0011 9,0912 8,33

Veamos el gráfico que describe la tabla anterior:

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Igual que en el caso anterior, calcula la constante de proporcionalidad

Invitados(x)

Porción detorta (y)

Producto

x x y =c1 100,00 1002 50,00 1003 33,33 1004 25,00 1005 20,00 1006 16,66 1007 14,28 1008 12,50 1009 11,11 10010 10,00 10011 9,09 10012 8,33 100

El producto de la cantidad de invitados x por la porción de torta y es constante e igual a100.

En resumen:

• Hay dos variables que se relacionan. La relación se establece en condiciones queal aumentar los valores de una variable disminuye los valores de la otra, yademás

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• El gráfico de y versus x es una curva, llamada rama de hipérbola y.

• El producto entre cada uno de los pares de valores (x , y) es constante.

Por lo tanto la porción de torta es inversamente proporcional al número de invitados.

Otros ejemplos

• Si me sirvo un café muy caliente, él estará a unos 90ºC y supongamos, haciendouna simplificación de la realidad, que perderá (digamos) 12ºC por minuto en lascondiciones ambientales. El enfriamiento observado (temperatura final - temperaturainicial) será directamente proporcional al tiempo transcurrido.

• En los bancos, supermercados, etc. se junta gran cantidad de monedas. Como lascajeras pierden mucho tiempo contándolas, en general, se pesan bolsas demonedas. Supongamos que se tienen los siguientes datos.

Bolsas Peso de labolsa (gr)

Valor monetario($)

1 550 11.0002 850 17.0003 1250 25.0004 1300 26.0005 1850 37.0006 2000 40.0007 2250 45.000

¿Existe proporcionalidad entre el peso de las bolsas y valor monetario de ellas?

Notas metodológicas:

i) Podríamos reformular la definición diciendo “y es proporcional a x si y esdirectamente proporcional a x o a su recíproco 1/x ”.

ii) Si hay proporcionalidad directa entre x e y, entonces a cada par de valores 1x y2x le corresponderán dos valores 1y e 2y tales que, x1/y1 = x2/y2 expresión que

usualmente se denomina "proporción" leyéndose " 1x es a 1y como 2x es a2y " (regla de tres directa)

iii) En general, si la variable y es proporcional a x y se tiene un conjunto de pares devalores )}),...(,{( 11 nn yxyx se cumple

cxx

y

x

y

x n

===== ..y

.y n

3

3

2

2

1

1

7

iv) Cuando hablamos de proporcionalidad estamos refiriéndonos a dos variables, noa dos valores de una variable (dos números).

v) Que y aumente al aumentar x, NO implica que tengamos proporcionalidaddirecta.

Por ejemplo:

vi) Que y disminuya al aumentar x NO implica que tengamos proporcionalidadinversa.

Por ejemplo:

Posibilidades didácticas:

• Visualizaciones

• Se relaciona con ...

RazónVemos que si las variables y y x son directamente proporcionales entonces

cx

y

x

y

x

y

n

n === ...2

2

2

1 , luego la razón entre los valores que puede tomar y y los que toma x

en la misma situación se mantiene constante y es igual a la constante deproporcionalidad.

Variable

Ecuación de primer grado

El saber que dos variables son proporcionales o inversamente proporcionales permiteestablecer una ecuación de primer grado:

Si se sabe que y es directamente proporcional a x con constante de proporcionalidadigual a 5 y se sabe que y=3 entonces el valor correspondiente de x satisface:

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3/x=5; luego x=3/5.

Representación gráfica de datos

Muchas veces se presentan situaciones donde se requiere estudiar la relación existenteentre varias cantidades. Esto se puede hacer representando cada cantidad por unavariable y mostrando las variables tabular o gráficamente.

Pendiente de una recta.

• En contexto

En Física

Por ejemplo relacionando el estiramiento (d) de un resorte con el peso al que essometido (p) para estirarse, se pudo comprobar empíricamente que d = k p donde k esun valor constante e independiente de d o p.

Por ejemplo el tiempo de llenado de un estanque es inversamente proporcional al flujode agua que usa para llenarlo.

En Geometría

Si dos triángulos rectángulos son semejantes se sabe que la relación entre altura ybase satisface una relación de proporcionalidad directa.

La proporcionalidad también aparece en el Teorema de Thales.

Una maqueta un modelo a escala

Un auto de juguete tiene la siguiente inscripción: 1:20, señalando que la relaciónproporcional entre el juguete es una (1) unidad en el modelo a escala por 20 en el autoreal.

Estimación de medidas

La sombra de un objeto, a una hora determinada, es proporcional a su altura.

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ACTIVIDADES PROPUESTAS

Desafíos1. Valor de la UF

Considere el valor de la UF en algunos meses particulares. Grafíquelo en el tiempo ydetermine el tipo de relación que tiene el valor de la UF y la fecha. ¿Es la misma paratodos los meses?¿Que pasa si se observa la UF a lo largo de todo un año?

2. Estiramiento de un resorte.Los resortes se estiran según un comportamiento relacionado con la fuerza a la queestán sometidos. Diseña un experimento para determinar la relación entre“estiramiento” y “fuerza”. ¿Es siempre válida esta relación?

3. Temperatura del café.Toma una taza de café caliente y mide su temperatura a intervalos regulares de tiempo.Grafica tus datos ¿Qué observas?

4. Determina cuáles de las siguientes relaciones son de proporcionalidad directa:a. Nº de horas de trabajo de un pintor y nº de metros de valla que pinta.b. Cantidad de jamón que se compra y precio que se paga.c. Un aire limpio contiene un 21% de oxígeno. En cada inspiración que

realizamos la tercera parte de éste pasa a la sangre. ¿Son directamenteproporcionales la cantidad de oxígeno que pasa a la sangre y el númerode inspiraciones?

d. Altura de un poste y longitud de la sombra que produce a una horadeterminada del día.

e. Peso de una persona y superficie que abarca su sombra.f. Nº de hojas de una novela y tiempo que se tarda en leerla.

5. Indica si hay proporcionalidad directa, inversa o si no hay ningunaproporcionalidad:

a. Cantidad de personas que viajan en un autobús y dinero recaudado.

10

b. Cantidad de personas que viajan en un autobús y ganancias netas de laempresa.

c. Número de horas que está encendida una máquina de refrescos y dineroque recauda.

d. Cantidad de refrescos que cabe en una caja y diámetro de las botellas.e. Número de litros que escapan por segundo en el desagüe de una piscina

y diámetro del desagüe.f. Número de vueltas que da una rueda para recorrer una distancia y

diámetro de la rueda.g. Número de comensales para comerse una tarta y cantidad que

corresponde a cada uno.h. Tiempo que tarda un balón en caer al suelo y altura desde la que se lanza.i. Número de horas que está encendida una bombilla y gasto que ocasiona.j. Número de peldaños de una escalera de altura fija y anchura de ellos.

5. Completa las tablas:

Velocidad del vehículo 60 75Revoluciones por minuto 2400 5050

6. Sabiendo que en cada inspiración introducimos 2 litros de aire aproximadamente,y que inspiramos unas 15 veces por minuto:

Cantidad de oxígeno procesada (en litros) 2.1 1103760Tiempo computado de respiración (enminutos)

1 60

7. Analiza si las siguientes tablas son de proporcionalidad.:

Magnitud A 2 7 3Magnitud B 3 10,5 2000

Magnitud A -3 4 -7Magnitud B 6 -8 14

Magnitud A 4 12 100Magnitud B 3 9 75