Propriedade e Edi ca~o - Ludus-Opuscula JPMjpm.ludus-opuscula.org/PDF_Files/JPM_Numero4_Junho_2015_high.pdf · Jogos Explora c ao de conceitos~ probabil sticos nos primeiros anos

Propriedade e EdicaoAssociacao para a Educacao Matematica Elementar, Escola EB1 da ArcelaRua Nossa Sra. de Fatima, Azurem, 4800-007 Guimaraes, PortugalAssociacao Ludus, Museu de Ciencia, Rua da Escola Politecnica 561250-102 Lisboa, PortugalEmail: [email protected] URL: http://jpm.ludus-opuscula.org

DirectorCarlos Pereira dos Santos

Conselho EditorialAlexandra Gomes, [email protected], Universidade do MinhoCarlos P. Santos, [email protected], Universidade de LisboaCarlota Simoes, [email protected], Universidade de CoimbraJorge Nuno Silva, [email protected], Universidade de LisboaPedro Palhares, [email protected], Universidade do MinhoRicardo Cunha Teixeira, [email protected], Universidade dos Acores

InformacoesO Jornal das Primeiras Matematicas e semestral, eletronico e incide sobrea matematica do pre-escolar e dos 1.º e 2.º ciclos do ensino basico. Apesardisso, a comissao editorial podera aceitar artigos focados noutros nıveis deensino desde que o conteudo se mostre suficientemente relevante para per-mitir o devido aproveitamento para os nıveis que constituem o objeto dojornal. O publico alvo e constituıdo preferencialmente por educadores e porprofessores dos 1.º e 2.º ciclos, mas podera estender-se a pais, encarregadosde educacao e criancas. Os numeros saem nos exatos momentos de Solstıcio.As seccoes serao as seguintes (em cada numero podera haver mais de umartigo por seccao ou seccoes que nao sejam contempladas):

EntrevistasJogosMatematica no QuotidianoNecessidades Educativas EspeciaisNotıciasOs Primeiros LivrosProblemas e DesafiosRecursos DidaticosVaria

Os autores sao matematicos, professores, educadores, formadores e investi-gadores, proximos da realidade do pre-escolar e dos 1.º e 2.º ciclos. Isto euma norma geral nao obrigatoria. Os textos sao da inteira responsabilidadedos autores, nao refletindo qualquer posicao editorial do jornal.

Indice

Pagina

Jogos: Jose Antonio Fernandes e Pedro PalharesExploracao de conceitos probabilısticos nos primeiros anosde escolaridade atraves de jogos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Jogos: Dores FerreiraSyzygies – Um jogo de Lewis Carroll . . . . . . . . . . . . . . . 11

Recursos Didaticos: Maria H. Moreira e Maria H. MartinhoA utilizacao do geoplano no ensino e aprendizagem dageometria. Uma experiencia com alunos do 4.◦ ano doEnsino Basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Problemas e Desafios: Helder PintoProblemas dos nossos avos (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Varia: Carlos Pereira dos Santos e Ricardo Cunha TeixeiraMatematica na educacao pre-escolar: Esquemas todo-partes 55

Varia: Sara Ribeiro e Pedro PalharesO Desenvolvimento de conceitos ligados a area e ao perımetro:Uma exploracao com bissemis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Jogos

Exploracao de conceitos

probabilısticos nos primeiros anos de

escolaridade atraves de jogos

Jose Antonio Fernandes, Pedro PalharesUniversidade do Minho

[email protected], [email protected]

Resumo: Recentemente, o estudo das Probabilidades, conjuntamente com a Es-tatıstica, tem sido aprofundado nos programas escolares de Matemaica de muitospaıses, dando-se inıcio ao seu estudo logo nos primeiros anos de escolaridade.Motivado por essa tendencia, no presente artigo apresentam-se e discutem-sevarios jogos tendo em vista a aprendizagem de conceitos probabilısticos por alu-nos dos primeiros anos de escolaridade. Com os jogos propostos, vistos numaperspetiva exploratoria e de decoberta, promove-se a comparacao intuitiva deprobabilidades de acontecimentos, o desenvolvimento da compreensao de aspe-tos logicos e a descoberta de acontecimentos mutuamente exclusivos, contrariose identicos.

Palavras-chave: aprendizagem; conceitos probabilısticos; primeiros anos deescolaridade; jogos.

1 Introducao

Ao abordarmos a questao da introducao de jogos no ensino da matematica noEnsino Basico devemos ter presente a existencia de duas visoes que tem estadoem conflito desde ha mais de um seculo e que ainda subsistem hoje, uma e conhe-cida como tradicional ou instrumental e outra como relacional ou construtivista[7, 8, 12]. Estas duas visoes tem posicoes claramente distintas relativamente aaquisicao do conhecimento por parte das criancas e relativamente a escolha dotipo de tarefas por parte do professor.

No que respeita a aquisicao do conhecimento, a visao instrumental segue o ve-lho princıpio de Thorndyke, reforcado pelo behaviorismo de Skinner, da tabulaerasae, que implica a transmissao de conhecimento por parte do professor e a

Jornal das Primeiras Matematicas, N.o 4, pp. 3–10

4 Exploracao de probabilidades nos primeiros anos com jogos

nao consideracao de quaisquer conhecimentos intuitivos previos [6].

Ja a visao relacional defende a construcao do conhecimento pela crianca, re-conhecendo ainda assim que ha conhecimento de origem social para alem doconhecimento de tipo logico [5], ou seja, conhecimento arbitrario do qual acrianca tera de ser informada [3].

No que respeita ao tipo de tarefas na sala de aula, convem comecar pela dis-tincao de Ponte [10], que constroi um esquema com dois eixos bidirecionais, o dodesafio reduzido a elevado e o do grau de divergencia desde o totalmente abertoao totalmente fechado, de forma que emergem quatro categorias de tarefas:exercıcios (tarefas fechadas de desafio reduzido), problemas (tarefas fechadasde desafio elevado), exploracoes (tarefas abertas de desafio reduzido) e inves-tigacoes (tarefas abertas de desafio elevado).

A apologia fundamentada dos exercıcios no ensino de matematica na visao ins-trumental deve-se em grande medida a Thordyke, que no inıcio do seculo XX,estipulou os exercıcios como componente central do ensino da matematica. Asua teoria teve tanto sucesso junto de professores e demais agentes do sistemaeducativo que ainda hoje esta disseminada por todo o mundo [4].

E com Polya [9] que a resolucao de problemas emerge com forca suficiente parase ir impondo aos poucos, de tal forma que atualmente se encontra incluıdana maior parte dos curricula a nıvel mundial, podendo ainda assim consti-tuir apenas uma pratica pontual, ja que alguns mudaram o nome das tarefasque propoem mas nao a natureza das mesmas [11]. As exploracoes e as inves-tigacoes matematicas sao mais recentes, mas constituiram-se, juntamente coma resolucao de problemas, como escolhas do professor numa visao relacional queprocura fomentar a descoberta por parte dos alunos.

Tem havido algumas experiencias de introducao de jogos na educacao ma-tematica elementar, com pressupostos de base diferentes entre si. Para a visaoinstrumental do ensino da matematica, o jogo so e admissıvel como potenciadorde pratica de tecnicas ja ensinadas previamente. Ja na visao relacional do en-sino da matematica e possıvel introduzir o jogo como veıculo para a construcaode conhecimentos, sejam estes conhecimentos cientıficos, mais ou menos forma-lizados, ou conhecimentos intuitivos.

Na nossa opiniao, o uso de jogos so para pratica repetida de capacidades debaixo nıvel e limitador e pouco interessante. Os jogos com fins educativos po-dem e devem ser usados antes, durante e depois da instrucao seja para ajudaros alunos a desenvolver capacidades de nıvel mais elevado ou para construirconhecimento novo, ou mesmo para desenvolver o conhecimento intuitivo, cons-truindo pontes com o conhecimento formal de conceitos matematicos.

E neste ultimo sentido que propomos o conjunto de jogos que se seguem, que in-cluem atividade de tipo exploratoria no seu desenrolar. Cremos que devidamenteutilizados poderao permitir as criancas melhorar os seus conceitos intuitivos deprobabilidade, que mais tarde permitirao um acesso facilitado a construcao doconhecimento matematico formalizado.


Jose Antonio Fernandes, Pedro Palhares 5

2 Descricao e exploracao dos jogos

A pratica dos varios jogos, que se apresentam a seguir, requer a existencia deum saco com 5 contas vermelhas e 3 contas azuis. A cada um dos alunos queparticipa nos jogos devem ser distribuıdos os oito cartoes que sao apresentadosna Figura 1.

Figura 1: Cartoes a distribuir por cada um dos alunos que participa nos jogos.

Deve ser distribuıdo tambem um tabuleiro de jogo por cada um dos alunosparticipantes, onde ele registara o seu progresso ao longo das jogadas que vaosendo efetuadas por outro aluno, que assume o papel de lıder, retirando, ao acasoe sem ver, duas contas do saco, mostrando-as aos restantes alunos e voltandoa coloca-las no saco. O tabuleiro do jogo deve ter sete casas e o aluno avancada casa em que se encontra para a seguinte quando ganha (Figura 2), o quesignifica que o resultado da extracao das duas contas verifica o acontecimentodefinido no cartao por si previamente escolhido.

Figura 2: Tabuleiro do jogo a ser distribuıdo por cada um dos alunos partici-pantes.



2.1 Jogo 1

Objetivos. Comparar intuitivamente probabilidades de acontecimentos; e De-senvolver a compreensao de conectivos logicos.

Regras. Cada aluno escolhe um cartao e regista o seu numero. O aluno lıder tiraduas contas do saco. Cada aluno verifica, entao, se a afirmacao do cartao e ver-dadeira para as duas contas que foram retiradas. Se for, o aluno pode avancaruma casa no seu tabuleiro de jogo. Cada aluno mantem o mesmo cartao duranteo jogo, o qual termina quando algum aluno atingir a ultima casa do seu tabuleiro.

Exploracao. Naturalmente o jogo comeca com a exemplificacao do jogo de modoa que as suas regras sejam claramente compreendidas pelos alunos. A com-paracao intuitiva das probabilidades, tendo em vista a identificacao do aconte-cimento mais provavel, que conduzira mais provavelmente a vencer o jogo, podebasear-se na comparacao do numero de bolas de cada cor existentes no saco edo significado dos conectivos que intervem nas definicoes dos acontecimentos.Temos o seguinte:

1. Definindo os cartoes 2 e 6 o mesmo acontecimento, as suas probabilidadessao iguais, e o mesmo acontece em relacao aos acontecimentos definidospelos cartoes 5 e 7;

2. Entre os acontecimentos definidos pelos cartoes 1 e 4, o correspondenteao cartao 4 e mais provavel porque as duas contas de cor diferente podemser obtidas segundo duas ordens (primeiro a conta vermelha e seguida-mente a conta azul ou vice-versa), enquanto o mesmo nao acontece como acontecimento relativo ao cartao 1. Esta conclusao pode ser invalidadaa medida que o numero de contas azuis diminui em relacao ao numero decontas vermelhas;

3. Entre os acontecimentos definidos nos cartoes 3 e 8, o acontecimento es-tabelecido pelo cartao 3 e mais provavel porque o numero de contas ver-melhas e superior ao numero de contas azuis.

4. O acontecimento definido no cartao 3 e o mais provavel, donde da maischances ao aluno que o escolher de ganhar o jogo.

2.2 Jogo 2

Objetivos. Comparar intuitivamente probabilidades de acontecimentos; Desen-volver a compreensao de conetivos logicos; e Descobrir acontecimentos mutua-mente exclusivos.

Regras. Cada aluno escolhe dois cartoes e e permitido avancar no tabuleiro dejogo quando se verificar exatamente um dos dois acontecimentos definidos noscartoes escolhidos, o que significa que exatamente uma das afirmacoes dos doiscartoes e verdadeira.

Exploracao. Sendo a ideia nova neste jogo a questao de que exatamente umadas afirmacoes deve ser verdadeira para poder avancar no tabuleiro, iniciar-se-auma pequena discussao sobre o seu significado. Um aluno ou o professor pode



clarificar o seu significado com a seguinte formulacao: “Nao e permitido moveres-te se ambas as afirmacoes sao verdadeiras ou se ambas sao falsas”. Tendo emvista maximizar as possibilidades de vencer o jogo, o aluno deve proceder daseguinte forma:

1. Escolher dois cartoes cujos acontecimentos sejam mutuamente exclusivospois a verificacao de um implica a nao verificacao do outro, como acontececom os pares de acontecimentos definidos nos cartoes 2 e 5;

2. Escolher dois cartoes cujos acontecimentos sejam contrarios pois, alemde serem mutuamente exclusivos, a sua reuniao e o acontecimento certo,como acontece com os pares de acontecimentos definidos nos cartoes 1 e4, 2 e 4, 4 e 5, 3 e 7 ou 6 e 8. Neste caso, porque os acontecimentos saomutuamente exclusivos e a sua reuniao e o acontecimento certo, um dosdois acontecimentos verifica-se sempre e outro nao se verifica ou, por outraspalavras, qualquer par de acontecimentos contrarios e sempre ganhador.

2.3 Jogo 3

Objetivos. Comparar intuitivamente probabilidades de acontecimentos; Desen-volver a compreensao de conetivos logicos; e Descobrir acontecimentos mutua-mente exclusivos.

Regras. Neste jogo, cada aluno deve escolher um acontecimento definido numdos cartoes e definir um segundo acontecimento atraves de uma nova afirmacaopor si estabelecida. O aluno pode entao avancar no seu tabuleiro quando severificar exatamente um dos dois acontecimentos, seja o definido pelo cartaoescolhido ou o criado pelo aluno.

Exploracao. Este jogo e em tudo semelhante ao jogo 2, diferindo apenas pelofacto de um dos dois acontecimentos ser o aluno a defini-lo, enquanto antesambos os acontecimentos eram definidos pelos dois cartoes escolhidos. Nestecaso, porque se espera que os alunos sejam criativos, definindo um dos seusproprios acontecimentos, distinto dos definidos nos cartoes, a maximizacao dassuas possibilidades de vencer o jogo consiste em definir acontecimentos mutua-mente exclusivos, ja que o acontecimento contrario de qualquer um dos aconte-cimentos definidos nos oito cartoes esta tambem incluıdo nesses cartoes. Assim,embora a escolha do acontecimento contrario do acontecimento definido pelocartao escolhido maximize as hipoteses de ganhar o jogo, isso conduziria a esco-lher um acontecimento definido por outro cartao, ficando os dois acontecimentosdefinidos por dois cartoes, diferentemente do que se pretende. Na procura deacontecimentos mutuamente exclusivos, alguns alunos poderao definir aconteci-mentos como “Uma das contas e amarela”, que e um acontecimento impossıvele, portanto, incompatıvel com qualquer outro acontecimento.

2.4 Jogo 4

Objetivos. Comparar intuitivamente probabilidades de acontecimentos; Desen-volver a compreensao de conectivos logicos; e Descobrir acontecimentos iguais.



Regras. Neste jogo, cada aluno deve escolher um acontecimento definido num doscartoes e definir um segundo acontecimento atraves de uma nova afirmacao. Oaluno pode entao avancar no seu tabuleiro quando se verificarem ambos os acon-tecimentos ou quando nao se verificar nenhum dos dois acontecimentos, o quesignifica que ambas as afirmacoes sao verdadeiras ou que ambas as afirmacoessao falsas.

Exploracao. Este jogo envolve a definicao de acontecimentos iguais, ou seja,definidos atraves de afirmacoes com o mesmo significado. Em consequencia, osalunos podem apresentar pares de afirmacoes, como por exemplo:

1. Escolher o cartao 1 e definir a nova afirmacao: “As duas contas sao ambasvermelhas ou ambas azuis”;

2. Escolher o cartao 2 e definir a nova afirmacao: “Nenhuma das duas contase azul”;

3. Escolher o cartao 3 e definir a nova afirmacao: “Ha no maximo uma contaazul entre elas”;

4. Escolher o cartao 4 e definir a nova afirmacao: “As duas contas sao decores diferentes”.

Alterando a composicao do saco para 4 contas vermelhas, 3 contas verdes e 1conta azul, extraindo tres contas do saco e distribuindo os oito cartoes da Figura3 a cada um dos alunos, obtem-se novas versoes dos jogos antes apresentados,agora com um maior nıvel de desafio.

Figura 3: Cartoes a distribuir por cada um dos alunos que participa nos jogos.



Tal como anteriormente, deve ser distribuıdo tambem um tabuleiro de jogo porcada um dos alunos participantes (ver Figura 2), onde ele registara o seu pro-gresso ao longo das jogadas que vao sendo efetuadas por outro aluno, que assumeo papel de lıder retirando, ao acaso e sem ver, tres contas do saco, mostrando-asaos restantes alunos e voltando a coloca-las no saco. O aluno avanca da casaem que se encontra no tabuleiro para a seguinte quando ganha, o que significaque o resultado da extracao das tres contas verifica o acontecimento ou acon-tecimentos definidos, respetivamente, no cartao ou cartoes por si previamenteescolhidos.

Seguidamente, nas novas condicoes (nova composicao do saco e extracao detres contas em vez de duas), os alunos exploram cada um dos jogos referidosanteriormente, mantendo-se os objetivos e as regras. Naturalmente, o factode estarem envolvidas tres contas em vez de duas em cada extracao, torna aexploracao dos novos jogos muito mais desafiante.

3 Consideracoes didaticas

A pratica dos jogos descritos anteriormente podera ser explorada com alunos doultimo ano de escolaridade do 1.◦ ciclo do ensino basico e do 2.◦ ciclo do ensinobasico. No caso dos jogos que envolvem a extracao de duas contas do saco, aabordagem intuitiva sugerida no texto permite a alunos do 4.◦ ano identificaremo acontecimento mais provavel, o qual maximizara as chances de vencer o jogo.Sobretudo no caso de comparacoes de probabilidades, Fernandes [2] constatouque a maioria de alunos do 8.◦ ano, que nao tinham aprendido a calcular pro-babilidades pela regra de Laplace, adotaram uma abordagem intuitiva, e essasestrategias intuitivas continuaram a ser tambem largamente usadas por alunosdo 9.◦ ano, ja depois terem aprendido a determinar probabilidades pela regrade Laplace.

Ja a pratica dos jogos envolvendo a extracao de tres contas do saco e muitomais desafiante para os alunos, donde e recomendavel que eles sejam exploradosapenas por alunos de anos de escolaridade mais avancados, como seja do 2.◦ ci-clo do ensino basico. Nestes jogos, o facto de estarem envolvidas tres contas emvez de duas torna as situacoes bem mais complexas, especialmente por poderemimplicar a necessidade de os alunos reconhecerem as diferentes configuracoes derealizacao dos acontecimentos. A este respeito, Correia [1] verificou que alunosdo 9.◦ ano foram capazes de estabelecer tecnicas intuitivas de contagem, paraalem das tecnicas de contagem standard.

Em termos de organizacao dos alunos nos jogos, sugere-se que os alunos se or-ganizem em grupos de cerca de cinco alunos, em que um dos alunos assume opapel de lıder (responsabilizando-se pela extracao das conta do saco) e os res-tantes assumem o papel de jogador. A cada grupo sera distribuıdo o conjuntodos oitos cartoes, do qual cada aluno jogador escolhera um ou dois cartoes deacordo com o jogo. A cada aluno jogador deve ser-lhe distribuıdo um tabuleirode jogo onde ele assinalara o seu progresso ao longo da realizacao do jogo.

Depois de terminado o jogo, deve proceder-se a uma sıntese, no grupo-turma,



do que aconteceu nos diferentes grupos, seguindo-se uma discussao entre os alu-nos, com a orientacao do professor, de modo a serem identificadas as razoes queexplicam o facto de alguns acontecimentos terem sido vencedores, enquanto ou-tros nao se revelaram vencedores. Este momento de discussao reveste-se, assim,de uma importancia decisiva na elaboracao e refinamento dos argumentos dosalunos, acerca da comparacao de probabilidades e do significado dos conectivoslogicos, de acontecimentos mutuamente exclusivos e de diferentes definicoes domesmo acontecimento.

Referencias

[1] Correia, P. F. Raciocınios em Combinatoria de alunos do 9.º ano de escola-ridade, Dissertacao de mestrado, Universidade do Minho, Braga, Portugal,2008.

[2] Fernandes, J. A. Intuicoes e aprendizagem de probabilidades: uma propostade ensino de probabilidades no 9.º ano de escolaridade, Tese de doutora-mento, Universidade do Minho, Braga, Portugal, 1999.

[3] Hewit, D. “Arbitrary and necessary Part 1: a way of viewing the mathe-matics curriculum”, For the learning of mathematics, 19(3), 2-9, 1999.

[4] Kilpatrick, J. “A history of research in mathematics education”, in Dou-glas A. Grouws (Ed.), Handbook of research in mathematics teaching andlearning, 3-38, New York: MacMillan, 1992.

[5] Nunes, T., Bryant, P. Children doing mathematics, Oxford: Blackwell,1996.

[6] Orton, A. Learning mathematics: issues, theory and classroom practice,London: Cassell, 1992.

[7] Palhares, P., Gomes, A., Mamede, E. “A formacao para o ensino da ma-tematica no pre-escolar e no 1.º ciclo - analise teorica e estudo de caso”, inL. Serrazina (Org.), A formacao para o ensino da matematica na educacaopre-escolar e no 1.º ciclo do ensino basico, 21-36, Porto: Porto Editora,2002.

[8] Palhares, P., Gomes, A., Carvalho, P., Cebolo, V. “From teacher educa-tion to teacher practice: A gap affecting the implementation of tasks”, inR. Millman, B. Grevholm & B. Clarke (eds.), Effective Tasks in PrimaryMathematics Teacher Education, 275-284, New York: Springer, 2008.

[9] Polya, G. How to solve it, New York: Anchor Books, 1957.

[10] Ponte, J. P. “Gestao curricular em Matematica” in GTI (Ed.), O professore o desenvolvimento curricular, 11-34, Lisboa: APM, 2005.

[11] Schoenfeld, A. H. “Learning to think mathematically: problem solving,metacognition, and sense making in mathematics”, in D. A. Grouws (Ed.),Handbook of research in mathematics teaching and learning, 334-370, NewYork: Macmillan, 1992.

[12] Skemp, R. R. The psychology of learning mathematics, Middlesex, U. K.:Penguin Books, 1971.


Jogos

Syzygies – Um jogo de Lewis Carroll

Dores FerreiraAgrupamento de escolas de Real-Braga

[email protected]

Resumo: Lewis Carroll, autor do famoso livro “Alice no paıs das maravilhas”,foi tambem um inventor de jogos de palavras. Neste artigo apresenta-se um dosseus jogos de palavras, o qual batizou de “Syzygies”.

Palavras-chave: jogos de palavras, ensino basico, padroes.

1 Introducao

O matematico Charles Lutwidge Dodgson, ficou mais conhecido por Lewis Car-roll, o autor de “Alice no paıs das maravilhas” e “Alice do outro lado do es-pelho”, duas das suas mais famosas publicacoes. Sendo muito conhecido pelassuas historias e poesias, onde o seu sentido matematico esta muito presente,Lewis Carroll publicou obras cientıficas relevantes, principalmente no campo daLogica e da Geometria, deixando-nos ainda um numero consideravel de jogose puzzles. Algumas das suas recreacoes foram posteriormente compiladas porEdward Wikeling em dois livros, que recomendamos ao leitor: Lewis Carroll’sGames and Puzzles [4] e Rediscovered Lewis Carroll Puzzles [5].

O jogo Syzygies, tera sido inventado em 12 de Dezembro de 1879, como refereLewis Carroll no seu diario [5]. A primeira publicacao deste jogo data de 1891,no jornal The Lady. Trata-se de um jogo de palavras, que envolve o raciocıniologico, com a particularidade da descricao ser feita atraves de definicoes e re-gras numeradas, numa aproximacao a linguagem matematica [3]. Para obter apontuacao do jogo, e tambem sugerida a utilizacao de uma expressao algebrica.Alias, era precisamente em jornais importantes da epoca que Carroll publicavaos seus jogos, enunciando os problemas que os leitores deveriam resolver. Naseccao dedicada ao jogo, era proposto um torneio com premios para os vencedo-res. Tratava-se de um jogo para os leitores que participavam no torneio, sendoCarroll o mestre do jogo.

O jogo Syzygies parece ter surgido com base num outro jogo de palavras, o Dou-


12 Syzygies – Um jogo de Lewis Carroll

blets, tambem inventado por Lewis Carroll e que teve muito sucesso na epocacom a sua publicacao na revista Vanity Fair de marco de 1879 a abril de 1881 [4].

Os jogos e puzzles de Lewis Carroll, sao de um humor muito caracterıstico edesafiadores, pelo que Wakeling, um pouco ao jeito do humor de Lewis Carroll,considera-os “adequados para criancas dos cinco aos noventa e cinco anos deidade e para alguns adultos”. Entretanto, a experiencia do jogo Syzygies, levadaa cabo com alunos do 4.◦ e 5.◦ anos de escolaridade, leva-nos a considerar estejogo mais adequado a partir dos 8 anos de idade [2].

2 Syzygies

A descricao do jogo, que se fara de seguida, foi adaptada de Lewis Carroll ([1],pp. 288-304).

Figura 1: Syzygies, imagem retirada de [5].

2.1 Definicoes

definicao 1: Quando duas palavras contem o mesmo conjunto de uma ou maisletras consecutivas, uma copia desse conjunto, colocada entre parentesis entreduas palavras, e chamado um Syzygy. Diz-se tambem que ele emparelha umconjunto ao outro, e tambem que emparelha cada letra de um conjunto a letracorrespondente do outro conjunto.


Dores Ferreira 13

Figura 2: Exemplos relativos a Definicao 1.

No exemplo (1) o Syzygy pode ser visto como emparelhando um qualquer “a”de carta com o “a” de tarte. No exemplo (2) o Syzygy pode ser visto comoemparelhando o “t” de carta com um qualquer “t” de tarte. Ja no exemplo (4)o Syzygy “pa” esta a emparelhar o “pa” de partida com o segundo dos “pa” depapagaio, ja que nao podem ser emparelhados dois conjuntos que estejam noinıcio de duas palavras (ver Regra 3).

definicao 2: Um conjunto de quatro ou mais palavras, com Syzygy entre cadaduas, e chamado uma “cadeia”, na qual todas menos as palavras extremas saochamadas “elos”.

definicao 3: Num problema–Syzygy, dao-se duas palavras, que deverao formaros extremos de uma cadeia. Se as palavras dadas sao barbatana e homem, o pro-blema poderia ser formulado como “Coloque uma BARBATANA no HOMEM”.A cadeia exposta na Figura 3 seria uma solucao do problema.

Figura 3: “Coloque uma BARBATANA no HOMEM”

definicao 4: Cada letra numa cadeia, que nao esteja emparelhada a algumaoutra, diz-se um desperdıcio. No entanto, se qualquer das palavras extremascontem mais de 7 letras, as letras extra (para alem de sete) nao contam comodesperdıcio. Assim, na cadeia de cima, as letras “bartana” em “barbatana”,o “r” de “barco”, “saa” em “sacola” e “mem” em “homem” sao desperdıcio;esta cadeia tem assim 14 letras de desperdıcio; mas como duas das letras de“barbatana” nao contam como desperdıcio, a cadeia tem apenas 12 letras dedesperdıcio.



2.2 Regras para formar cadeias

regra 1: Uma cadeia deve ser escrita como descreve a Definicao 3. Nao inte-ressa qual das palavras extremas e colocada primeiro.

regra 2: Qualquer palavra, colocada como elo, deve satisfazer os seguintesrequisitos:

1. Nao pode ser estrangeira, a nao ser que seja de uso corrente;

2. Tem de ser de uso corrente em conversas, cartas, livros e na sociedade;assim, calao e jargao nao sao admissıveis;

3. Nao pode ser um nome que seja usualmente escrito com letra maiusculainicial; mas marta referindo-se ao animal, ja e admissıvel;

4. Nao pode ser uma abreviacao ou palavra composta.

regra 3: Quando duas palavras comecam com o mesmo conjunto de uma oumais letras consecutivas, ou comecariam se certos prefixos fossem retirados, cadaletra de um conjunto fica “proibida” com respeito a letra correspondente no ou-tro conjunto.

regra 4: Quando duas palavras terminam com o mesmo conjunto de umaou mais letras consecutivas, ou terminariam se certos sufixos fossem retirados,cada letra de um conjunto fica “proibida” com respeito a letra correspondenteno outro conjunto.

regra 5: Os substantivos e os verbos nao devem ser considerados prefixos ousufixos.

regra 6: As letras “i” e “y” devem ser tratadas como se fossem iguais.

regra 7: A pontuacao de uma cadeia deve ser calculada escrevendo setenumeros, como se segue:

1. O maior numero de letras num syzygy extremo, mais o dobro do menor;

2. O menor numero de letras num syzygy;

3. A soma de 7.1 com o produto dos dois numeros consecutivos acima de 7.2;

4. O numero de elos;

5. O numero de letras desperdicadas;

6. A soma do dobro de 7.4 com 7.5;

7. O que resta quando tiramos 7.6 a 7.3; Se 7.6 for maior do que 7.3, entaoo que resta deve ser 0. O que for obtido em 7.7 e a pontuacao da cadeia.

nota: Para os alunos do ensino basico, com idades compreendidas entre os 8 eos 14 anos aconselhamos acrescentar o seguinte ponto as regras de pontuacao:


Dores Ferreira 15

regra 7.8: Ao dobro de 7.7 adicionam-se pontos de acordo com as seguintescondicoes: 3 pontos – cadeia com 2 elos; 2 pontos – cadeia com 3 ou mais elos.O que for obtido em 7.8 e a pontuacao da cadeia.

Desta forma, valoriza-se a pontuacao original de Lewis Carroll, uma vez que seduplica o valor obtido em 7.7, havendo tambem um maior incentivo ao jogo,na medida em que o jogador consegue alguma pontuacao desde que nao cometaerros na formacao das cadeias.

A Figura 4 contem um exemplo relativo a regra 7.

Figura 4: Regra 7.

Como o maior numero de letras num syzygy terminal e 2 e o menor e 2, 7.1 e6; 7.2 e 2; 7.3 e 18, ou seja 6 + 3 × 4; 7.4 e 3; 7.5 e 12; 7.6 e 18; 7.7 e 0. Apontuacao para esta cadeia e assim de 0.

Se tivessemos uma diferente cadeia poderıamos ter uma diferente pontuacao(Figura 5).

Figura 5: Outra cadeia.

Como o maior numero de letras num syzygy terminal e 4 e o menor e 2, 7.1 e8; 7.2 e 1; 7.3 e 14, pois e 8 + 2 × 3; 7.4 e 2; 7.5 e 9; 7.6 e 13; 7.7 e neste caso



14− 13, ou seja 1. A pontuacao desta cadeia e assim 1.

Na pontuacao pode utilizar-se a expressao

(a+ 2b) + (m+ 1)(m+ 2)− (2k + w),

em que

a = maior numero de letras num syzygy extremo

b = menor numero de letras num syzygy extremo

m = menor numero de letras num syzygy

k = numero de elos

w = numero de desperdıcios

Ou seja, para a ultima cadeia apresentada temos

(4 + 2× 2) + (1 + 1)× (1 + 2)− (2× 2 + 9) = 1.

No caso de se utilizar a pontuacao sugerida para os alunos do ensino basico,temos para a primeira cadeia a pontuacao de 0, mas como e valida e tem 3 elossoma ao dobro da pontuacao anterior 2 pontos. Assim a pontuacao da primeiracadeia e 2. Na segunda cadeia, como e valida e tem 2 elos, soma 3 pontos aodobro da pontuacao anterior, que era 1, perfazendo 5 pontos no total. Destaforma os jogadores pontuam mais e e valorizada a construcao de cadeias validas.

2.3 Regras para a pontuacao das cadeias

regra 1: Se numa cadeia o jogador omite um syzygy, deve inserir-se um syzygyde uma letra, desde que haja uma valida.

regra 2: Se o jogador omite um elo, deve eliminar-se os dois syzygies adjacen-tes e proceder como na Regra 1.

regra 3: Se um elo esta mal escrito (com erro ortografico), deve ser corrigido.

regra 4: Se um syzygy contem letras ilegais, estas devem ser eliminadas ededuz-se o dobro desse numero de letras na pontuacao.

regra 5: Se um de dois syzygies consecutivos contem o outro, deve eliminar-seo elo intermedio e o syzygy contendo o outro. Veja-se os exemplos da Figura 6.


Dores Ferreira 17

Figura 6: Exemplos.

Na situacao (1) deve eliminar-se o elo “canto” e o primeiro syzygy (canto) quecontem o segundo. Em (2), deve eliminar-se o elo “canto” e um dos dois syzygies(uma vez que sao iguais). Dessa correcao resulta o exposto na Figura 7.

Figura 7: Exemplos (continuacao).

Ambas as situacoes nao sao validas, de acordo com a Regra 4.

regra 6: A penalizacao atribuıda pela regra precedente nao pode ser evitadaescrevendo syzygies mais curtos do que o que poderia ser reivindicado, na ten-tativa de evitar um syzygy contendo o outro. Estes casos devem tratar-se comose fossem escritos na totalidade. Veja-se o exemplo da Figura 8.

Figura 8: Regra 6.

Neste caso os syzygies seriam tratados como se fossem escritos na totalidade,ou seja “anto”, e a cadeia seria considerada invalida pela Regra 4.

regra 7: Se, por outro lado, uma cadeia contem menos de dois elos, ou um eloou syzygy invalidos, deve ser rejeitada. Caso contrario, deve ser calculada a suapontuacao.

regra 8: Ao calcular “o menor numero de letras num syzygy” nao se deve terem conta nenhum syzygy inserido pelo corretor/classificador a menos que naohaja outro.



regra 9: Se o jogador elabora uma cadeia suplementar, deve considerar-se amelhor.

regra 10: Se todas as cadeias elaboradas sao rejeitadas, coloca-se zero napontuacao do jogador em causa, assinalando a razao pela qual cada cadeia foirejeitada.

regra 11: Ao colocar um problema–syzygy pode-se barrar/impedir qualquerpalavra de ser usada como elo. Pode tambem anunciar-se a lista de elos que seconsiderem violar a Regra 2 e os syzygies que violem a ocorrencia de sufixos oude prefixos, a Regra 3 ou a Regra 4. Caso os jogadores ja tenham elaborado umaresolucao ao problema sem o conhecimento desta lista podem ser convidados auma segunda tentativa.

3 Sugestoes para a elaboracao de cadeias

Para facilitar a elaboracao de cadeias podera ser util verificarmos as diferentespossibilidades de construcao de novas palavras a partir de cada uma das palavrasdo problema. Vejamos o seguinte exemplo para o problema–syzygy “Transformeo CAMELO em DROMEDARIO”.

Iniciaremos a seguinte tentativa, procurando algumas possibilidades para cadauma das palavras. Para a palavra CAMELO surgem-nos as palavras “medica-mento”, “gamela”, “lamela”, “melodia”, “melodico”, que, por sua vez, poderaoformar as palavras “mental”, “mentira” e “dicotomia”.

Figura 9: CAMELO.

Em relacao a palavra DROMEDARIO, podemos formar as palavras “comedor”,“comedia”, “alameda”, “quadro”, “azedar”, “hospedar”, que, por sua vez, po-derao originar as palavras “mediador”, “media”, “amedrontar”, “medricas”,“pedal” e “pedalar”.


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Figura 10: DROMEDARIO.

Poder-se-ia continuar com este tipo de exercıcio, mas parece-nos que sera sufi-ciente para dar uma ideia do que se pretende.

Agora, vamos experimentar construir uma cadeia valida com as palavras acimaidentificadas. Na Figura 11, os numeros a direita de cada cadeia correspondemaos desperdıcios dessa cadeia.

Figura 11: Elaboracao de uma cadeia.

Assim, temos que a cadeia da esquerda obteve 4 pontos, a cadeia do meio ob-teve 28 pontos e a cadeia da direita obteve 32 pontos. Esta pontuacao teve emconsideracao os criterios propostos por Lewis Carroll.

Observem-se os seguintes desafios “Da IDEIA se faz LUZ” e “Leva a MINHOCAao PEIXE” (Figuras 12 e 13).



Figura 12: “Da IDEIA se faz LUZ”.

A pontuacao para esta resolucao do problema–syzygy, tendo em conta cada umdos numeros dos criterios de pontuacao sera 7,2,19,2,4,8,11, ou seja 11 pontos.Utilizando a expressao algebrica temos

(3 + 2× 2) + (2 + 1)× (2 + 2)− (2× 2 + 4) = 11.

Figura 13: “Leva a MINHOCA ao PEIXE”.

Esta solucao tem a seguinte pontuacao: 12, 4, 42, 3, 10, 16, 26, totalizando 26pontos. Ou,

(4 + 2× 4) + (4 + 1)× (4 + 2)− (2× 3 + 10) = 26.

E outros exemplos (Figuras 14 e 15).


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Figura 14: “Leva ERVA ao TOURO”.

Esta solucao teve 18 pontos e a que se segue teve 20 pontos. Sera que estaafirmacao e verdadeira?

Figura 15: “Vai de PESCAR a TECER”.

Para o leitor propomos o desafio de encontrar uma melhor solucao para cadaum deles e, ainda, os seguintes problemas:

1. “Como se faz PUDIM de LARANJA”

2. “Poe o CASACO no ROUPEIRO”

3. “Liga a CASA ao DINHEIRO”

4 O Syzygies e os padroes

No ambito de um estudo, onde se investigou a relacao entre a capacidade dejogar e a capacidade de identificar padroes [2], aplicaram-se varios “problemas”Syzygies a alunos do 4.◦ e do 5.◦ ano. Ao inventar os problemas utilizados no



estudo procurou-se ir ao encontro do humor praticado por Lewis Carroll, muitoembora se reconheca a dificuldade de igualar um grande mestre. As duas turmasenvolvidas neste jogo resolveram um maximo de 13 problemas, onde as palavrasa utilizar no jogo se encontravam devidamente sinalizadas.

A capacidade de identificar padroes foi medida atraves de um teste, devida-mente validado e a capacidade de jogar, neste caso, Syzygies mediu-se atravesdas pontuacoes obtidas no jogo. Apos a analise de dados, verificou-se que osalunos do 5.◦ ano tem maior facilidade em aplicar as regras do jogo do que osalunos do 4.◦ ano.

Atraves da analise estatıstica verificou-se que, apenas a amostra de alunos do5.◦ ano, revelou a existencia de uma relacao entre a identificacao de padroes(r = 0, 523; p < 0, 01) e a capacidade de jogar Syzygies, sendo esta moderada.No entanto, tendo em consideracao os diferentes tipos de padroes existentes noteste, identificados atraves de uma analise fatorial conduzida ao teste, verificou-se o seguinte:

1. para a amostra de alunos do 4.◦ ano, o jogo Syzygies apresentou umarelacao moderada (r = 0, 617; p < 0, 01) com padroes que envolvemnumeros pares e ımpares;

2. para a amostra de alunos do 5.◦ ano, o jogo Syzygies apresentou umarelacao forte entre a identificacao de padroes que envolvem progressoesnumericas (r = 0, 655; p < 0, 01).

Verifica-se assim uma maior importancia das progressoes numericas no jogoSyzygies, e vice-versa, um jogo de palavras que, a partida, poderia parecer naoter qualquer relacao com conceitos matematicos. Verifica-se ainda diferencassubstanciais entre os grupos do 4.◦ ano e do 5.◦ ano. Essas diferencas podemrefletir que este jogo e mais apropriado para alunos com mais maturidade, prin-cipalmente devido a relacao que apresenta com a identificacao de progressoesnumericas.

Referencias

[1] Carroll, L. The Lewis Carroll Picture Book: A Selectiom from the Unpu-blished Writings and Drawings of Lewis Carroll, Together with Reprintsfrom Scarce and Unacknowledged Work, London: Elibron, 2005.

[2] Ferreira, D., Palhares, P., Silva, J. N. “A Perspective on Games and Pat-terns”, in K-12 Education: Concepts, Methodologies, Tools, and Applicati-ons (3 Volumes), 14, 247-267, USA: IGI Global, 2014.

[3] Palhares, P., Ferreira, D., Vieira, L. Das Letras a Matematica, Braga:AEME, 2011.

[4] Wakeling, E. Lewis Carroll’s Games and Puzzles, New York: Dover Publi-cation, 1992.

[5] Wakeling, E. Rediscovered Lewis Carroll Puzzles, New York: Dover Publi-cation, 1995.


Recursos Didaticos

A utilizacao do geoplano no ensino e

aprendizagem da geometria.

Uma experiencia com alunos do 4.◦ ano

do Ensino Basico

Maria Helena Moreira, Maria Helena MartinhoIE Universidade do Minho, CIEd/IE – Universidade do Minho


Resumo: O presente artigo retrata parte de uma investigacao levada a cabonuma turma de 4.◦ ano do 1.◦ ciclo do ensino basico, a proposito da utilizacaode materiais manipulaveis no ensino e aprendizagem da matematica. Esta inves-tigacao, de carater qualitativo, foi desenvolvida segundo algumas caraterısticasda metodologia de investigacao-acao. Ao longo do artigo apresenta-se os resul-tados obtidos em duas sessoes concretizadas em torno dos conceitos de area eperımetro com recurso ao geoplano. A analise das sessoes em causa tera porbase as seguintes questoes de investigacao: Como foi utilizado o geoplano aolongo da realizacao das atividades propostas? Quais as dificuldades sentidas pe-los alunos quando resolviam a tarefa com recurso ao geoplano? De um modogeral, a utilizacao do geoplano funcionou como uma base concreta e dinamicapara a (re)construcao dos conceitos de area e perımetro, assim como para odesenvolvimento de capacidades de visualizacao espacial. As dificuldades maisnotorias foram na transferencia das figuras do geoplano para o papel ponteadoe vice-versa, na distincao entre os comprimentos do lado e da diagonal de umquadrado formado no geoplano, bem como na determinacao das medidas doslados de uma figura como sendo a distancia entre os pregos do geoplano.

Palavras-chave: geometria; geoplano; 1.◦ ciclo do Ensino Basico.

1 Aprendizagem da geometria com recurso ao

geoplano

Ao longo da revisao da literatura foram encontradas varias definicoes para mate-rial manipulavel, surgindo outros conceitos como o de material didatico, material


24 Geoplano no ensino: uma experiencia com alunos do 4.◦ ano

curricular e o de material concreto, que apesar de serem distintos, nao diver-gem muito uns dos outros, existindo mesmo alguma relacao entre eles. Nesteartigo sera adotado aquilo que Reys [8] defende a proposito dos materiais ma-nipulaveis, sendo que, para este autor, material manipulavel e aquele que apelaa todos os sentidos, caraterizando-se por um envolvimento fısico das criancasnuma situacao de aprendizagem ativa.

Sao varios os autores que defendem que a aprendizagem deve ser construıdapartindo do concreto para o abstrato, salientando a importancia dos materiaismanipulaveis neste processo. Para Serrazina [9] e Vale [13], a aprendizagemdeve ter por base a experiencia, ou seja, a construcao de conceitos matematicosconstitui-se como um processo longo que requer do aluno um papel ativo e quevai evoluindo do concreto para o abstrato. A primeira autora lembra que essaprogressao acontece independentemente da idade ou do conteudo especıfico eacrescenta ainda que, “quando o ensino e feito em abstrato e de uma maneirafechada, as criancas sao forcadas a memorizar a matematica mecanicamente”,comprometendo a aprendizagem futura e o uso da matematica ([10], p. 33).A este proposito, Matos e Serrazina ([12], p. 1) referem que o “conhecimentomatematico nao se transmite, mas ele e essencialmente construıdo pelos alu-nos”, sendo que ao proporcionar aos alunos a oportunidade de aprenderem ma-tematica atraves da manipulacao de materiais esta-se a fomentar uma atividadeludica, mas, mais do que isso, esta-se a criar condicoes para o desenvolvimentodo pensamento abstrato.

Os alunos chegam a escola com uma larga experiencia informal acerca da geo-metria. Estes conhecimentos, adquiridos de forma intuitiva, devem ser tidos emconta e constituir o ponto de partida para o desenvolvimento do conhecimentogeometrico e do raciocınio espacial, com crescente formalizacao ao longo da es-colaridade [1, 5, 3]. A geometria e uma area propıcia ao desenvolvimento dopensamento matematico e do raciocınio visual, constituindo um meio privilegi-ado para a crianca conhecer o espaco que a rodeia, pelo que o seu ensino devepromover a descoberta, baseando-se a sua aprendizagem na experimentacao ena manipulacao [1].

Neste sentido, a aprendizagem da geometria no 1.◦ ciclo do ensino basico deveser realizada de modo informal a partir de modelos concretos relacionados como mundo real das criancas, sendo que a exploracao e manipulacao de materiais,assim como a reflexao sobre as atividades realizadas desempenham um papelfundamental na construcao de conceitos [7]. Assim sendo, os materiais ma-nipulaveis podem desempenhar um importante papel no processo de ensino eaprendizagem da Geometria, na medida em que “permitem estabelecer relacoese tirar conclusoes, facilitando a compreensao de conceitos” ([5], p. 21).

A importancia da utilizacao de materiais como o geoplano na abordagem a estestemas e referida por Abrantes, Serrazina e Oliveira ([1], p. 80) onde de acordocom estes autores:

Ha uma gama consideravel de actividades relevantes que podem ser trabalhadas com os alu-

nos, desde simples pavimentacoes, para os alunos mais novos, ate investigacoes para os mais

velhos, passando pela construcao de figuras equivalentes, pela procura de relacoes entre figuras


Maria Helena Moreira, Maria Helena Martinho 25

e pela comparacao de areas e perımetros (por exemplo, num conjunto de figuras que tem o

mesmo perımetro, descobrir a que tem maior area). Nestas actividades, podem ser utilizados

variados materiais (geoplanos, papel quadriculado, papel ponteado,. . . ) (. . . ).

De igual modo, no PMEB [5] e tambem recomendada a utilizacao do geoplanoaquando do trabalho com perımetros e areas de figuras.

O geoplano e um material manipulavel estruturado criado pelo matematicoingles Galleb Gategno, sendo constituıdo por uma base onde estao espetadospregos (ou pinos) com uma determinada disposicao, de modo a formarem umamalha, na qual se podem, posteriormente, fixar elasticos de cores variadas eexplorar situacoes diversas [12].

A utilizacao deste material possui um enorme valor educativo, na medida emque se constitui como um excelente recurso na introducao e exploracao de umvasto leque de conceitos geometricos, permitindo uma aprendizagem significa-tiva, atrativa e ludica. Quando comparado com uma folha de papel, o geoplanoe um material dinamico, dado que, a sua mobilidade e flexibilidade, permitefazer e desfazer figuras com facilidade e observa-las em diferentes angulos eposicoes [12, 11, 4]. A sua utilizacao “facilita o desenvolvimento de habilidadesde exploracao, comparacao, relacao entre os seus elementos e oferece um apoioa representacao mental e a abstracao” ([2], p. 246).

Este material pode ainda ser complementado por papel ponteado, representativoda malha do geoplano utilizado, onde os alunos poderao registar a representacaodas situacoes exploradas [12, 11, 4].

2 O estudo

O estudo aqui apresentado constitui parte de um projeto de Intervencao Pe-dagogica Supervisionada realizado no ambito do estagio que integra o plano deestudos do 2.◦ ano do Mestrado em Ensino do 1.◦ e 2.◦ Ciclo do Ensino Basico,da Universidade do Minho.

Este estudo foi desenvolvido numa turma de 4.◦ ano do 1.◦ Ciclo do EnsinoBasico, constituıda por vinte e um alunos, treze do genero masculino e oito dogenero feminino, com idades compreendidas entre os nove e os dez anos.

O projeto foi desenvolvido ao longo de oito sessoes, sendo que os principaisconceitos trabalhados foram o perımetro, a area e as pavimentacoes. Ao longodestas sessoes foram utilizados diferentes materiais manipulaveis estruturados,como o geoplano, o tangram e os pentaminos. De um modo geral, cada sessaoenglobava cinco grandes momentos: dialogo sobre as ideias previas dos alunosacerca dos conceitos em questao, manipulacao e exploracao livre dos materi-ais, realizacao das fichas de trabalho propostas, apresentacao e partilha dosresultados e, por fim, sistematizacao das aprendizagens realizadas. A maioriadas atividades praticas foram realizadas a pares ou em grupos de 4 elementos,de modo a proporcionar a possibilidade de reflexao e a discussao entre os alunos.



Este estudo, de carater qualitativo, foi desenvolvido segundo algumas cara-terısticas da metodologia de investigacao–acao. Os dados foram recolhidosatraves de uma observacao participante, com recurso a varios instrumentos, taiscomo, as producoes dos alunos, registos reflexivos da estagiaria que eram com-plementados atraves de registos fotograficos e filmagens. Foi ainda elaboradoum questionario que, para alem de perguntas fechadas, incluiu espacos onde osalunos puderam dar a sua opiniao sobre as atividades realizadas e relatar asdificuldades sentidas. Como forma de complementar as informacoes contidasnos questionarios, foram realizadas pequenas entrevistas a alguns dos alunos.

De salientar ainda que, para nao por em causa a identidade das criancas queparticiparam neste estudo, os nomes utilizados sao fictıcios.

De seguida, apresenta-se os resultados obtidos nas duas sessoes concretizadasem torno dos conceitos de area e perımetro com recurso ao geoplano. A analisedas sessoes em causa tera por base as seguintes questoes de investigacao: Comofoi utilizado o geoplano ao longo da realizacao das atividades propostas? Quaisas dificuldades sentidas pelos alunos quando resolviam a tarefa com recurso aogeoplano?

2.1 Areas e perımetros com o geoplano

Numa fase introdutoria, no sentido de perceber as concecoes que os alunos japossuıam acerca dos conteudos que iam ser abordados, foram mobilizados paraa discussao os conhecimentos previos dos alunos. Quando questionados acercadestes conceitos, os alunos identificaram o perımetro como sendo a “medida daslinhas” de determinada figura e a area como “o espaco” que estava dentro dessafigura. Atraves disto, foi possıvel perceber que os alunos ainda nao detinhamuma nocao perfeita acerca destes dois conceitos, uma vez que a linguagem aindanao era a apropriada, concretamente quando referiram “linhas” em vez de me-dida do comprimento dos lados da figura e quando utilizaram o termo “espaco”em vez de medida de superfıcie. Por isso, esta abordagem inicial prendeu-seessencialmente com a discussao em volta de concecoes menos corretas que osalunos ja possuıam.

De seguida, os alunos puderam manipular e explorar livremente o material ma-nipulavel com que posteriormente iam trabalhar. Isto porque, e importante daroportunidade aos alunos de se familiarizarem com o material antes de partirempara as atividades propriamente ditas. Durante esta exploracao, foram coloca-das algumas questoes aos diferentes pares que se remetiam para as suas cons-trucoes, com o intuito de tirar partido das mesmas para aplicar os conteudosmatematicos que iam ser desenvolvidos nesta sessao, despertando o interessedos alunos para a realizacao das atividades posteriores. A tıtulo de exemplo,segue-se uma situacao de dialogo que ocorreu nessa parte da aula e que ilustraalgumas das perguntas que foram realizadas aos alunos em torno daquilo quehaviam construıdo livremente no geoplano (Figura 1).



Figura 1: Construcao realizada por Tania e Daniel, aquando da exploracao livre.

Helena: Construıram varios polıgonos! Digam-me la o nome de alguns deles.Tania: Retangulos, triangulos. . .Daniel: E quadrado, aqui (apontado para o geoplano – Figura 2).Helena: E qual e a area desse quadrado?Daniel: 1, 2, 3, 4 (contando no geoplano). E quatro.Helena: Quatro unidades de area, muito bem. E o perımetro?Daniel: O perımetro. . . deixa-me contar. . . 1,2,3. . . 8. Oito unidades.Helena: Exatamente, oito unidades de comprimento.(. . . )

Figura 2: Quadrado que Daniel identificou no geoplano.

Assim, relativamente a utilizacao do geoplano, a fase de exploracao livre per-mitiu tirar significado das construcoes realizadas e recordar conteudos que pos-teriormente utilizaram na realizacao da ficha de trabalho. Para alem disso,



permitiu que cada um dos alunos, em conjunto com o seu par, se familiarizassecom este material e pudesse dar asas a sua imaginacao, construindo diversasfiguras, sendo disso exemplo a Figura 3 que, segundo o par que a construiu(Ricardo e Joao), corresponde a um diamante.

Figura 3: “Diamante” construıdo pelo par Ricardo e Joao.

Depois desta abordagem inicial, os alunos, em trabalho de pares, realizaramuma ficha de trabalho onde, com recurso ao geoplano, puderam aplicar e desen-volver os conteudos propostos para esta sessao.

Ao longo da realizacao da ficha de trabalho, a utilizacao do geoplano revelou-seimportante na concretizacao das tarefas propostas, na medida em que funci-onou como elemento auxiliador na resolucao das atividades. Foi com recursoa este material manipulavel estruturado que os alunos exploraram e discuti-ram hipoteses, conseguindo tirar conclusoes mais facilmente. Isto porque, aotestarem hipoteses no geoplano conseguiam fazer e desfazer figuras com maiorfacilidade do que quando desenhadas em papel. Os alunos primeiro explora-vam hipoteses no geoplano e so depois de conseguirem chegar a uma respostae que passavam as figuras para o papel ponteado. A tentativa e erro foi aestrategia utilizada na construcao de figuras que tinham que obedecer a cara-terısticas previamente definidas no enunciado da tarefa, sendo que a utilizacaodo geoplano favoreceu a construcao sucessiva de figuras ate conseguirem chegara um resultado. A validacao da figura construıda era realizada com a contagemdas unidades de medida de comprimento e/ou de area, conforme o que era pe-dido. Exemplo do que atras e referido foi o dialogo travado entre Dinis e Dianaaquando da realizacao da alınea a), que pedia a construcao de um quadrilaterode perımetro 10, onde e possıvel verificar que os alunos recorreram ao geoplanopara explorar hipoteses ate obter uma resposta.

Daniel: Temos que construir um quadrilatero com perımetro 10, ou seja, temque ter 4 lados e 10 de perımetro.(Dinis constroi uma figura no geoplano, mas depressa o par se apercebeu quenao dava, atraves da contagem das unidades de comprimento)Diana: Nao, nao, tem que ser mais.(Constroem outra que tambem constatam que nao serve e so a terceira tentativa



conseguem construir a figura pretendida, Figura 4)Diana: 1,2,3,. . . 10, pronto copia la.

Figura 4: Figura contruıda por Dinis e Diana.

Na situacao anterior, para chegarem a uma resposta, o par foi fazendo tentativasate conseguirem chegar a figura pretendida.

Outro exemplo e o dialogo entre Salvador e Ana aquando da realizacao da alıneab), que pedia a construcao de dois retangulos com perımetros diferentes. Nestasituacao, Salvador lanca uma hipotese que foi validada apos construcao no geo-plano e posterior contagem do perımetro:

Ana: Temos que fazer dois retangulos com perımetros diferentes.Salvador: Eu tive a ideia de fazermos um grande e outro pequeno.(o par construiu os retangulos representados na Figura 5)(. . . )Salvador: O grande tem 10 de perımetro e o pequeno 8.Ana: Entao podemos fazer esses dois. . .(. . . )

Figura 5: Retangulos construıdos por Ana e Salvador.



Ao contrario da situacao anterior em que a hipotese lancada foi aprovada aposconstrucao no geoplano, na situacao seguinte, que diz respeito ao dialogo entreDiana e Dinis a proposito da alınea g) que pedia a construcao de duas figurascom o mesmo perımetro, aquilo que propuseram inicialmente nao foi validado.

Diana: A sorte pode ser tipo 1 de perımetro.(Testam no geoplano esta hipotese)Dinis: Nao, tem que ser mais do que 1.(. . . )

Nesta situacao, Diana lanca uma hipotese, mas quando o par a testa apercebem-se que nao e possıvel construir no geoplano uma figura com apenas uma unidadede comprimento.

Assim, para chegarem a um resultado, as criancas faziam suposicoes, testavamhipoteses e reformulavam, caso necessario. Para tal, utilizavam a tentativa e erroou comecavam por construir a figura obedecendo a um determinado criterio eprocuravam ver se os restantes eram satisfeitos ou nao, ajustando posterior-mente. Isto era possıvel porque o geoplano permitia-lhes construir, desfazer ereconstruir figuras com grande facilidade.

Quanto as dificuldades manifestadas, de um modo geral, as criancas nao tiveramgrandes dificuldades na manipulacao do geoplano como material. No entanto,numa fase inicial, alguns dos alunos demonstraram alguma dificuldade em co-locar os elasticos, rebentando-os. Isto acontecia quando pegavam em elasticosmais pequenos e tentavam desenhar com eles figuras de maior dimensao. Estadificuldade foi facilmente ultrapassada a medida que se apercebiam ou iam sendoalertados para que tivessem em atencao o tamanho dos elasticos consoante a di-mensao das figuras que queriam construir.

Outras das dificuldades sentidas apareceu na alınea c), que pedia a construcao deum quadrado com 3 unidades de lado, Ana e Salvador em vez de considerar tresunidades de comprimento considerou tres pregos, como se pode ver na Figura6.

Figura 6: Resposta de Ana e Salvador a alınea c).



Assim, na correcao da ficha de trabalho foi tida em atencao a interpretacao doenunciado desta tarefa, dando-se relevo ao significado da expressao “um qua-drado com tres unidades de lado”, uma vez que nem todos os alunos tinhampercebido o que significava. Desta forma, foram projetadas algumas das respos-tas dos alunos, para que eles refletissem sobre as mesmas. Segue-se um episodioque evidencia a situacao de dialogo com Ana.

Helena: Ana explica-me a tua resolucao.Ana: Fiz um quadrado.Helena: Fizeste um quadrado. E quantas unidades de comprimento tem de ladoo teu quadrado? Conta.(Silencio)Helena: Vem aqui ao quadro explicar.(Ja no quadro contou o total das unidades de comprimento que o quadrado tem– perımetro)Helena: Viste o perımetro do quadrado. Mas quantas unidades tem de lado?Aqui pede um quadrado com 3 unidades de lado. O que e que isso significa?(Silencio)Helena: Um lado, do quadrado, tem que ter 3 unidades. O que refere a propri-edade de um quadrado quanto aos seus lados?Ana: Tem que ter os lados todos iguais.Helena: Ou seja, todos os lados do quadrado tem que ter quanto?Ana: 3 unidades.Helena: 3 unidades de comprimento. E este tem quanto?(apontando para a figura que estava projetada no quadro)Ana: Duas.(. . . )

Ainda a proposito desta alınea, Mariana e Tomas fizeram um retangulo (Figura7). Como nao era isso que se pretendia ocorreu um dialogo quando Tomas foiexplicar o que fez.

Figura 7: Figura de Mariana e Tomas relativa a alınea c).



Helena: Esta figura quero que seja o Tomas a explicar. Esta figura e um qua-drado?Tomas: Nao.Helena: Nao. Entao e o que?Tomas: Um retangulo.Helena: Entao achas que esta correto?Tomas: Nao.Helena: Vamos contar. Como e que seria a figura?Tomas: 1, 2, 3.(contando as unidades de comprimento de um dos lados do retangulo)Helena: Esse lado esta certo ou errado?Tomas: Esta certo.Helena: E aqui?(apontando para o lado de quatro unidades de comprimento)Tomas: 1,2,3,4. Esta errado.Helena: Neste caso o que tinhas que fazer?Tomas: Tirar uma unidade.(. . . )

Nesta situacao e possıvel verificar que Tomas nao teve qualquer dificuldade emdefinir a figura que construiu e em corrigir o que havia realizado, nao revelandoqualquer dificuldade ao nıvel do conceito, o que leva a concluir que pode naoter feito uma leitura atenta do enunciado. Alias, nas duas situacoes anteriores,constata-se que com o decorrer do dialogo os alunos em questao se foram aper-cebendo onde e porque tinham errado, corrigindo o que haviam realizado. Asituacao seguinte mostra a resolucao levada a cabo por Dinis e Diana (Figura8), que corresponde aquilo que era pretendido nesta alınea.

Figura 8: Resposta de Dinis e Diana a alınea c).

Helena: E agora esta quero que seja o Dinis a explicar.Dinis: Fiz um quadrado com 12 de perımetro e 9 de area.Helena: E quantas unidades de comprimento tem de lado?Dinis: 3 unidades de lado.(. . . )



Segue um excerto da fala de Diana quando estavam a resolver esta questao daficha de trabalho:

Tem que ter 3 unidades de lado. 1,2,3 (. . . ) Se e um quadrado tem que ter tresem todos (. . . ) Entao qual e o seu perımetro, 1,2,3,. . . 12. Copia primeiro oquadrado. Agora poes aqui 12 de perımetro e 1,2,3,. . . 9 de area, e 9 de area.

Atraves deste excerto, e possıvel confirmar que o par percebeu o que era pedidona questao e, por isso, conseguiram com facilidade chegar a um resultado correto.

Outras das dificuldades por eles sentidas prendem-se com o facto de identifica-rem o comprimento entre 2 pontos na diagonal como sendo igual ao comprimentoentre dois pontos na horizontal ou na vertical. A figura seguinte (Figura 9) ilus-tra este facto e corresponde a resolucao levada a cabo por Francisca e Andrea proposito da alınea g) que pedia a construcao de duas figuras com o mesmoperımetro.

Figura 9: Resolucao da alınea g) realizada por Francisca e Andre.

Houve, no entanto, pelo menos um par que conseguiu chegar a conclusao, atravesda manipulacao do geoplano, que o comprimento entre dois pontos na diagonalera maior do que o comprimento entre dois pontos na horizontal ou na vertical.Durante a resolucao da alınea g), Rafaela construiu duas figuras em que umadelas era um triangulo, mas, entretanto, o seu par chega a conclusao que nao epossıvel essa resolucao e explica a Rafaela o porque, exemplificando no geoplano– “ah, mas sabes porque nao da? Porque esta parte [diagonal] e maior que esta[horizontal]” (Miguel).

Este aspeto foi objeto de discussao aquando da resolucao da ficha de trabalho emgrande grupo. Em particular, a proposito da alınea f), foi projetada a resolucaode Bernardo e Catarina (Figura 10).



Figura 10: Resolucao da alınea g) realizada por Francisca e Andre.

Depois dos alunos terem sido questionados acerca da medida de area das fi-guras, ao que responderam 4 unidades de area, foi-lhes pedido que comparas-sem o perımetro das figuras. Como afirmaram que as figuras tinham o mesmoperımetro, foi sugerido que pegassem no geoplano e que construıssem as figurasprojetadas no quadro interativo e, de seguida, que comparassem o perımetrodas figuras, recorrendo ao contorno das mesmas com um cordel, como ilustra aFigura 11.

Figura 11: Sequencia de imagens relativas a medicao do perımetro das figurascom um cordel.

Depois de ter sido dado algum tempo para a realizacao dessa tarefa, seguiu-seum dialogo com a turma:

Helena: Entao o que concluıram? As figuras tem perımetros iguais?Turma: Nao.Helena: Qual e o maior?Turma: O do triangulo.Helena: Entao voces podem considerar que o comprimento entre dois pontos nadiagonal e igual ao comprimento entre dois pontos na horizontal?Turma: Nao.(. . . )Helena: E qual e maior?(. . . )Helena: Confirmem no geoplano.



Os alunos retomaram as medicoes com o cordel (Figura 12).

Figura 12: Comparacao de distancias entre pregos do geoplano.

Helena: Qual e maior?Turma: A diagonal.(. . . )

Neste caso, a medicao com o cordel foi essencial para que os alunos constatas-sem que a diagonal e maior e que, portanto, nao a podiam tomar como sendo amesma unidade de medida de comprimento que aquela que estavam a utilizar.

Na resolucao da alınea e), que pedia a construcao de um quadrado de area 5e outro de area 8, a turma revelou claramente dificuldades relacionadas coma visualizacao espacial, mais concretamente ao nıvel da constancia perceptual,dado que apenas estavam a explorar os quadrados na posicao mais habitual,ou seja, situacoes em que os quadrados tem um dos lados paralelo a um doslados do geoplano. Durante esta exploracao foi-se ouvindo comentarios como:e impossıvel ou nao da para fazer. Por ser uma dificuldade geral, foi sugeridoa turma a construcao de quadrados numa posicao diferente da que estavam aexplorar, para que comecassem a explorar as diagonais e, desta forma, progre-dissem na atividade. Esta dica foi essencial para que avancassem na atividade,sendo que todos os pares conseguiram chegar ao quadrado de area 8. Contudo,nem todos os pares conseguiram construir o quadrado de area 5: “Aqui [qua-drado de area 5] tem de ser um quadrado mais pequeno que este [quadrado dearea 8] mas nao consigo fazer.” (Tomas)

Assim sendo, ao longo da correcao foi dedicada especial atencao a esta alınea,para que os alunos pudessem formar um conceito mais amplo acerca desta figurageometrica.

De salientar que na parte inicial da aula, aquando da exploracao e manipulacaolivre do geoplano, um dos pares (Dinis e Diana) tinham construıdo um quadradode area 8 (Figura 13), mas quando se confrontaram com esta questao levaramalgum tempo para conseguirem construir este quadrado. Este par conseguiufazer tambem o quadrado de area 5 (Figura 13), sendo que em dez pares apenasquatro o conseguiram fazer.



Figura 13: Exploracao inicial e resposta a alınea e) de Dinis e Diana.

Tambem relacionado com a visualizacao espacial, particularmente ao nıvel dapercecao da posicao no espaco, de ressaltar ainda que a proposito da alınea h),que solicitava a construcao de duas figuras com a mesma area, Tania e Da-niel fizeram duas figuras congruentes mas colocadas com orientacoes diferentes,como e possıvel constatar na Figura 14. Na correcao da ficha foi projetada estaresolucao e nesse mesmo instante ouviu-se “ah, sao iguais!”. Neste seguimento,atraves desta resolucao foi possıvel relembrar o conceito de figuras geometrica-mente iguais.

Figura 14: Resposta a alınea h) de Tania e Daniel.

E importante referir que a correcao da ficha de trabalho foi levada a cabo apartir das resolucoes dos alunos. O criterio de escolha das resolucoes era quepossibilitassem uma maior discussao e compreensao dos conteudos. Para cadatarefa eram apresentadas diferentes resolucoes e eram os proprios alunos queexplicavam como tinham pensado. Os autores ao explicarem o que fizeram ecomo fizeram puderam desenvolver a comunicacao e o raciocınio matematico e,deste modo, os alunos puderam discutir e refletir sobre o que cada par fez, ti-rando conclusoes e consolidando aprendizagens. Para alem disso, esta discussaofoi importante para que alguns elementos superassem algumas dificuldades econcecoes erroneas que haviam construıdo. Atraves da reflexao sobre as ativi-dades realizadas foi ainda possıvel introduzir conceitos (figuras equivalentes e



figuras isoperimetricas) e relembrar outros (figuras geometricamente iguais, porexemplo).

Assim sendo, as principais dificuldades na utilizacao do geoplano foram ao nıvelda visualizacao espacial, sendo que o geoplano permitiu a identificacao dessadificuldade ao mesmo tempo que possibilitou a construcao de figuras em di-versas posicoes. A identificacao do comprimento entre 2 pontos na diagonalcomo sendo igual ao comprimento entre dois pontos na horizontal ou na verti-cal, assim como a contagem de pregos em vez de distancias foram outras dasdificuldades sentidas pelos alunos. De igual modo, alguns alunos tambem ti-veram dificuldades na interpretacao dos enunciados, ao nıvel da terminologiausada e consequente identificacao do que era pedido.

Em sıntese, os desafios propostos na ficha de trabalho possibilitavam multiplassolucoes e apareceram de facto respostas diversificadas para uma mesma questao,o que se mostrou bastante enriquecedor aquando da discussao dos resultados.Para alem disso, o geoplano constitui-se como uma base concreta para a cons-trucao de conceitos e relacoes abstratas, promovendo aprendizagens ativas ediversificadas onde os alunos se constituıram como construtores ativos do seu co-nhecimento. Apesar das dificuldades sentidas, as tarefas propostas revelaram-seadequadas aquilo que se pretendia desenvolver nos alunos, constituindo o motepara lhes proporcionar uma aula diferente do habitual, onde a manipulacao, aexploracao de hipoteses e a discussao de ideias, assim como a cooperacao e inte-rajuda entre pares fizeram parte do processo de construcao de conhecimento. Ede salientar ainda que as criancas com algumas dificuldades tiveram a oportu-nidade de experimentar sucesso, sendo que destas se destaca o caso de Rafaelaque habitualmente tem dificuldades ao nıvel da matematica e que, neste caso,em cooperacao com o seu par se destacou pela positiva, concluindo com sucessotodas as atividades.

2.2 Area por enquadramento

A presente intervencao tinha como principal finalidade levar os alunos a calculara area das figuras por enquadramento e decomposicao, recorrendo ao geoplano.

Assim, a primeira parte da aula dedicou-se a discussao em volta do conceito dearea por enquadramento. So depois disto os alunos partiram para a realizacaoda ficha de trabalho.

Terminada a resolucao da ficha, procedeu-se a sua correcao, criando-se na turmaum ambiente de discussao que possibilitou a troca de ideias e a partilha dosdiferentes processos e resolucoes levados a cabo pelos diversos pares, dandooportunidade aos alunos de comunicarem e de desenvolverem o seu raciocıniomatematico. A partilha das resolucoes efetuadas pelos diferentes pares possi-bilitou ainda a discussao em volta de qual seria a estimativa por eles realizadaque mais se aproximava da area da figura.

De seguida, foi ainda lancado um desafio aos alunos que passava por calculara medida da area da figura da atividade 2, sendo gerada a seguinte questaoproblema: “Sera que conseguem determinar a area exata da figura da atividade



2?”. Apos terem calculado a area exata da figura e de terem confirmado queesse valor estava entre os valores da estimativa que realizaram, os alunos tiraramconclusoes acerca daquilo que haviam realizado.

Relativamente a utilizacao do geoplano, na segunda atividade, os alunos, depoisde se aperceberem que nao conseguiam desenhar a figura no geoplano porquetinha linhas curvas, concretizaram a atividade na ficha de trabalho, dividindoas figuras em unidades de medida de area para determinar a sua area. A Figura15 apresenta dois exemplos do modo como os alunos deram resposta a estaatividade.

Figura 15: Estrategia utilizada por Dinis e Bernardo, respetivamente.

A partir da Figura 15 e possıvel constatar que Dinis, em conjunto com o seupar, optou por dividir as figuras em unidades de area no papel ponteado, parade seguida proceder a sua contagem onde com recurso ao lapis ia colocandoum ponto nas unidades de area que ja havia contado. A estrategia seguida porBernardo e Catarina, imagem da direita da Figura 15, difere da primeira nacontagem das unidades de area. Embora tambem utilizem o mesmo processoseguido por Dinis e Diana, recorrem a dois momentos distintos: no interior dafigura por defeito escrevem o total de unidades de area dessa figura; a partir daına contagem da area restante da figura por excesso, vao assinalando em cadanova unidade o numero correspondente a contagem ate ao momento.

Quanto ao desafio lancado para calcular a area da figura da atividade 2, aquandoda correcao da ficha de trabalho, os alunos tiveram que decompor a figura emoutras das quais sabiam determinar a area, bem como enquadrar figuras, con-cretamente, enquadraram o triangulo por um retangulo ou um quadrado, tendoem consideracao que o triangulo tem metade da area dessas figuras, aplicandoaquilo que ja tinham realizado na sessao anterior a este proposito. Nesta si-tuacao, o calculo da medida de area foi realizado pela maioria dos alunos nopapel ponteado, como se pode ver nas resolucoes apresentadas na Figura 16.



Figura 16: Resolucoes de Rafaela e Mariana, respetivamente, relativamente aatividade 2.

Rafaela, em conjunto com o seu par, para dar resposta a este desafio optou pordividir parte da figura em unidades de area e, de seguida, determinar a areadas restantes partes utilizando quadrados e retangulos como enquadramentos.Na segunda situacao, Mariana e Tomas decompuseram a figura em retangulos etriangulos, relacionando a area dos triangulos com a area de outras figuras queos contem (retangulos).

E de salientar que, durante a resolucao da ficha, houve um par que, com recursoao geoplano (Figura 17), ja tinha chegado a conclusao de que dava para calculara area exata dessa figura, como se pode ver pelo dialogo seguinte:

Helena: Explica-me como fizeram?Diana: Nos primeiro fizemos retangulos para medirmos as unidades de area in-teiras e depois somei estas metades, e a seguir fiz uns retangulos aqui nestaspartes e depois vi: estes tem 3 de area, dividi a meio, ficou 1,5; depois meti aquium retangulo, este tinha 6 de area, dividi a meio, ficou 3.(. . . )Helena: Entao quanto e que a figura tem de area?Diana: (conta) 26,5.(. . . )

Figura 17: Estrategia utilizada por Dinis e Diana para calcular a area da figura.



Nesta situacao a utilizacao do geoplano constituiu a base para que Diana eDinis conseguissem determinar a medida da area desta figura, decompondo afigura e realizando enquadramentos. E ainda visıvel que Diana conseguiu expore explicar o seu raciocınio de forma clara, mostrando uma boa capacidade deraciocınio e comunicacao matematica.

Os alunos demonstraram algumas dificuldades na realizacao das atividades, querna passagem das figuras do papel ponteado para o geoplano e vice-versa, querna contagem das unidades de medida de area. Uma das explicacoes para asdificuldades anteriormente descritas terem surgido pode ser o facto de, nestaaula, terem trabalhado com o geoplano 11× 11 e, consequentemente, com figu-ras bastante maiores do que na intervencao anterior, sendo que este facto exigiauma maior atencao e concentracao por parte dos alunos e tambem uma maiorcooperacao e interajuda entre os elementos de cada par. Para alem disso, comas dificuldades encontradas, os alunos tiveram que procurar estrategias que lhespermitissem concluir com sucesso as tarefas propostas, concretamente, que osajudassem a determinar a medida de area das figuras em causa, por exemplo,ao nıvel da contagem das unidades de medida de area, como atras foi descrito.

Em sıntese, apesar das dificuldades sentidas, o geoplano revelou-se adequadoaquilo que se pretendia desenvolver, contribuindo para que os alunos cons-tituıssem parte ativa na construcao das suas aprendizagens e funcionando comobase para a construcao de conceitos. Os conteudos abordados e as ativida-des realizadas revelaram-se bastante acessıveis, permitindo que todos os alunosexperimentassem sucesso e se mostrassem motivados e empenhados na sua rea-lizacao. Claro que este tipo de atividades trouxe mais ruıdo a sala de aula, maseste ruıdo nao causou qualquer efeito de distracao nos alunos nem influenciou otrabalho entre pares, nao afetando por isso o desenrolar da aula.

3 Conclusoes

Com o recurso a materiais manipulaveis, as atividades planeadas pretendiamproporcionar aos alunos nao so a aquisicao de conceitos matematicos, mastambem potenciar uma melhor estruturacao dos mesmos. Deste modo, pretendia-se criar experiencias matematicas que fossem significativas para os alunos, paraque estes pudessem aprender com compreensao e construir de forma mais pro-funda e duradoura o conhecimento matematico. Para isso, foram tambem cri-adas diferentes oportunidades de trabalho em pares, para que os alunos pu-dessem discutir ideias e refletir sobre elas. E certo que este tipo de atividadesacrescentaram maior barulho a sala de aula e tambem levaram a que surgissemalguns conflitos entre os pares, mas as interacoes que se estabeleceram entre pa-res/grupos foram bastante ricas e profıcuas, na medida em que ao partilharemideias e discutirem resultados realizavam descobertas mais facilmente.

De acordo com Abrantes, Serrazina e Oliveira ([1], p. 25), “para haver uma apro-priacao de novas ideias e novos conhecimentos, nao basta que o aluno participeem atividades concretas, e preciso que ele se envolva no processo de reflexaosobre essas atividades”. Essa reflexao aconteceu quer durante a realizacao dasfichas de trabalho entre pares, quer na correcao das atividades em grande grupo.



Durante a realizacao das atividades, a dinamica de trabalho criada entre os pa-res passou pela discussao e partilha de ideias, pela exploracao de hipoteses epor uma atitude ativa e de cooperacao por parte dos alunos, tornando possıvelo desenvolvimento do raciocınio e da comunicacao matematica, assim como adescoberta de estrategias para dar resposta aos desafios propostos. A correcaodas atividades realizadas revelou-se tambem como um importante momento deaprendizagem, na medida em que este era o momento em que se discutiam osresultados obtidos, superando-se dificuldades e concecoes erroneas contruıdasao longo da concretizacao das atividades. Para alem disso, ao explicarem o quefizeram e como fizeram puderam desenvolver a comunicacao e o raciocınio ma-tematico.

As atividades aqui desenvolvidas respeitaram o ritmo de aprendizagem de cadaaluno, assim como permitiram que todos os alunos experimentassem sucesso nasua realizacao e que constituıssem parte ativa ao longo de todo o processo deconstrucao de conhecimento.

A utilizacao do geoplano revelou-se importante para o trabalho com areas eperımetros, na medida em que, ao constituir-se como uma base concreta, pos-sibilitou uma melhor compreensao e estruturacao destes conceitos. Numa faseinicial, a exploracao e manipulacao livre do geoplano permitiu que os alunosse familiarizassem com o material, aspeto fundamental para o posterior uso dogeoplano nas atividades mais orientadas. Tal como referem Serrazina e Matos([12], pp. 2-3), a aprendizagem constitui-se como um processo de crescimentocaraterizado por diferentes etapas e, nesse sentido, e difıcil “compreender oque se pode fazer com um geoplano, sem ter, de facto, manipulado um deles,ter experimentado, desde a colocacao dos elasticos, ate a tentativa de resolverproblemas mais complexos”. Ao longo da realizacao das fichas de trabalho ogeoplano constitui-se como um meio bastante dinamico para os alunos explora-rem os desafios propostos, na medida em que podiam fazer, refazer e desfazerfiguras com grande facilidade. A utilizacao do geoplano permitiu ainda o tra-balho ao nıvel da visualizacao espacial, sendo que, a este proposito, Matos eSerrazina ([12], p. 10) referem que “uma das grandes vantagens do geoplano e asua mobilidade que faz com que os alunos e habituem a ver figuras em diversasposicoes”. A decomposicao de figuras foi outro dos aspetos que a utilizacao dogeoplano potenciou.

As dificuldades sentidas pelos alunos prenderam-se essencialmente com a inter-pretacao dos enunciados, ao nıvel da terminologia usada e consequente identi-ficacao do que era pedido. Relativamente as dificuldades sentidas na utilizacaodo geoplano, as dificuldades mais notorias foram na transferencia das figuras dogeoplano para o papel ponteado e vice-versa. A identificacao do comprimentoentre 2 pontos na diagonal como sendo igual ao comprimento entre dois pon-tos na horizontal ou na vertical, assim como a contagem de pregos em vez dedistancias foram outras das dificuldades sentidas pelos alunos.

Assim, a utilizacao dos materiais manipulaveis funcionou como base para a cons-trucao de conceitos matematicos, possibilitando que os alunos aprendessem comcompreensao. De facto, no “contacto directo com o material, as criancas agem ecomunicam, adquirindo o vocabulario fundamental, associando uma accao real



a uma expressao verbal” ([4], p.5). Dando voz as criancas, seguem algumas dasopinioes dos alunos da turma a este proposito:

Se nos utilizarmos os materiais e mais facil perceber as coisas ;(. . . ) os materiais que utilizamos ajudaram-me a perceber melhor os conteudos ;As vezes nao percebia as coisas a primeira e as vezes quando a Helena usava omaterial para explicar percebia;Se uma pessoa, por exemplo, nos mostrasse uma bussola e nos ensinasse comomanusea-la entendıamos mas, entendıamos melhor se uma pessoa nos ensinassea mexer nela, com possibilidades de a manusear.

Ora, esta ultima citacao faz lembrar um antigo proverbio chines: “Se escuto,esqueco; se vejo, lembro; mas se faco, aprendo.” ([6], p. 71).

Agradecimento

Este trabalho e financiado por Fundos FEDER atraves do Programa Operacional Factores de Com-

petitividade – COMPETE e por Fundos Nacionais atraves da FCT-Fundacao para a Ciencia e

a Tecnologia no ambito do projeto “FCOMP-01-0124-FEDER-041405 (Ref. FCT, EXPL/MHC-

CED/0645/2013)”.

Referencias

[1] Abrantes, P., Serrazina, L., Oliveira, I. A matematica na Educacao Basica,Lisboa: Ministerio da Educacao – Departamento da Educacao Basica, 1999.

[2] Araujo, F. “Geoplano”, in P. Palhares & A. Gomes (coords.), Mat1C -Desafios para um novo rumo, 246-251, Braga: Instituto de Estudos daCrianca da Universidade do Minho, 2006.

[3] Breda, A., Serrazina, L., Menezes, L., Souza, H., Oli-veira, P. Geometria e Medida no Ensino Basico, Lisboa: Mi-nisterio da Educacao - DGIDC, Versao online disponıvel em:http://area.dgidc.min-edu.pt/materiais_npmeb/070_Brochura_Geometria.pdf

(acedido a 18 de maio de 2014), 2011.

[4] Damas, E., Oliveira, V., Nunes, R., Silva, L. Alicerces da Matematica. GuiaPratico para Professores e Educadores, Porto: Areal Editores, 2010.

[5] Direcao-Geral de Inovacao e de Desenvolvimento Curricular. Programa deMatematica do Ensino Basico, Lisboa: Ministerio da Educacao, Departa-mento de Educacao Basica, 2007.

[6] Lorenzato, S. Para aprender matematica, Campinas: Autores Associados,2006.

[7] Ponte, J. P., Serrazina, M. L. Didatica da Matematica do 1º ciclo, Lisboa:Universidade Aberta, 2000.

[8] Reys, R. “Considerations for teachers using manipulative materials”, TheArithmetic Teacher, 18(8), 551-558, 1971.



[9] Serrazina, L. “Os Materiais e o Ensino da Matematica”, Educacao e Ma-tematica, 13, 1, 1990.

[10] Serrazina, L. “Ensinar/Aprender Matematica”, in Actas ProfMat, 33-41,Lisboa: Associacao de Professores de Matematica, 1995.

[11] Serrazina, L. “Jogos Matematicos e Materiais manipulaveis”, in D. Moreira& I. Oliveira (coords.), O Jogo e a Matematica, 92-116, Lisboa: Universi-dade Aberta, 2004.

[12] Serrazina, L., Matos, J. O geoplano na sala de aula, Associacao de Profes-sores de Matematica, 1988.

[13] Vale, I. Materiais Manipulaveis, Viana do Castelo: ESE, 2002.




Problemas e Desafios

Problemas dos nossos avos (2)

Helder PintoCIDMA - Universidade de Aveiro

[email protected]

Resumo: Nesta seccao do Jornal das Primeiras Matematicas apresentam-seregularmente alguns problemas de matematica de livros escolares portugueses dopassado.

Palavras-chave: manuais de matematica antigos, problemas de matematicaelementar.

1 Preambulo

Os problemas escolares utilizados no ensino da Matematica, em particular noensino elementar, tem sofrido algumas alteracoes ao longo dos tempos. Mui-tas vezes a diferenca nao esta nos conteudos – pois as materias basicas como aaritmetica e a geometria, de grosso modo, mantem-se as mesmas – mas sim naforma e no contexto com que estes problemas sao apresentados.

Nesta seccao do Jornal das Primeiras Matematicas apresentaremos regular-mente alguns problemas de matematica que foram publicados em livros escolaresportugueses do passado. Contaremos com a colaboracao dos nossos leitores, quepoderao fazer-nos chegar copias de problemas antigos que considerem interes-santes atraves de o e-mail [email protected].

2 1111 Problemas de Aritmetica e Geometria

(4.ª Classe)

O texto apresentado nesta edicao e o livro de problemas 1111 Problemas deAritmetica e Geometria (4.ª Classe) da autoria de F. Cardoso Gouveia, JoaoGomes Ferreira e F. Acacio S. Judice [1]. Na Figura 1 reproduz-se a capa desselivro, onde se podem observar duas grandes personalidades da historia portu-


46 Problemas dos Nossos Avos (2)

guesa mas que nao estao relacionadas com a matematica . . .

Figura 1: Capa de [1].

O livro aqui apresentado refere-se ao tempo do Estado Novo, altura em quemuitos dos problemas de matematica eram relacionados com a agricultura e apastorıcia, bem como com outras profissoes usuais na epoca como carpinteiro,padeiro e moleiro, contextos que raramente aparecem nos problemas de ma-tematica actuais.

Para alem disso, os problemas desse tempo tinham muitas vezes uma compo-nente etica e moral muito forte, onde eram enaltecidos os valores tradicionaisda epoca tais como a nacao (o que justifica a escolha para a capa deste livro),o respeito pela famılia, o trabalho arduo e a poupanca.

Estes problemas sao interessantes, nao so pela matematica em si, mas tambempelo retrato sociologico que se pode obter da epoca em que foram criados.


Helder Pinto 47

O primeiro exemplo que se apresenta e uma “aplicacao de numeros decimais”no contexto de uma feira agrıcola (Figura 2). Note-se a referencia, desnecessariaa resolucao do problema, aos “primeiros tempos da nossa nacionalidade” . . .

Figura 2: Exercıcios relativos a representacoes decimais.



O segundo exemplo e uma “aplicacao de numeros fraccionarios” no contexto deuma escola onde sao louvadas as qualidades que os meninos devem ter como, porexemplo, a de serem estudiosos (Figura 3). Note-se ainda que um dos dados doproblema (numero de elementos do orfeao) apenas pode ser obtido pela figuraque acompanha o problema.

Figura 3: Exercıcios relativos a fracoes.


Helder Pinto 49

O proximo exemplo e uma curiosa “aplicacao de medidas de superfıcie” (Figura4). Em geral, nos problemas com estradas apenas se considera o seu compri-mento mas, nesta situacao, esta-se a considerar tambem a sua largura, ou seja,considera-se a estrada como sendo uma superfıcie. Note-se uma vez mais o longopreambulo etico e moral (“o amor que dedicava a sua aldeia”) que antecede oproblema propriamente dito . . . . Para a resolucao do problema relembre-se queuma legua sao cinco quilometros.

Figura 4: Medidas de superfıcie.



O exemplo a seguir esta ligado a agricultura, onde se apresenta um lavradorcuidadoso que sofreu um imprevisto (Figura 5). Note-se ainda o facto de oagricultor ter uma vara para “incentivar” os bois a trabalhar, facto que seriavisto com muito maus olhos num livro escolar actual . . .

Figura 5: Medidas agrarias.


Helder Pinto 51

O proximo exemplo e um problema relacionado com medidas de tempo (dias,horas e minutos) e as relacoes entre si (Figura 6). Mais uma vez se tem a apologiado aluno aplicado na escola e que por isso obtem o seu merecido premio.

Figura 6: Numeros complexos.



No problema seguinte tem-se a apologia da poupanca (Figura 7). Repare-se quea tia Rita comprou o relogio mais caro, nao por uma questao luxo ou ostentacao,mas sim para este objecto ser duravel e servir varias geracoes. Observe-se aindaatentamente o primeiro paragrafo, onde se faz referencia a morte, tema quedificilmente se encontra num livro escolar actual . . .

Figura 7: Poupanca.


Helder Pinto 53

No proximo problema temos a apologia “do nosso bom povo das provıncias”e das suas tradicoes (Figura 8). Seguidamente tem-se uma conversa bem ani-mada, onde um lisboeta “ganha” a um minhoto num dialogo um pouco diferentedo usual neste tipo de textos dado que nao e “politicamente correcto” (“o mi-nhoto entopiu e nao soltou mais palavra”). Em geral, numa situacao deste tipocostumava-se referir que, apesar de diferentes, todas as regioes tem a sua belezae encanto.

Figura 8: Provincıas e suas tradicoes.



No ultimo problema aqui apresentado faz-se referencia ao processo de producaodo pao, desde o semeador de trigo ate ao padeiro que leva o pao a casa (habitoja pouco usual actualmente mas que ainda se pode encontrar em muitas aldeiase vilas). Curiosa e ainda a referencia ao desconhecimento que os “rapazes dacidade” tem de todo este processo e do numero de pessoas envolvidas nestaactividade, numa crıtica que talvez se possa transportar para o presente (Figura9).

Figura 9: Producao do pao.

Solucoes: 18500$00; 54 alunos e 18 alunos; 4 leguas; 1200 ares; 2 dias 21 horase 30 minutos; 112$50; 7200000, 432000 e 288000; 8880 litros.

Agradecimento

Este trabalho foi financiado pelo CIDMA-Centro de Investigacao e Desenvolvimento em Matematica

e Aplicacoes e pela FCT-Fundacao para a Ciencia e Tecnologia, no ambito do projecto UID/MAT/04106/2013.

Referencias

[1] Gouveia, F. C., Ferreira, J. G., Judice, F. A. S. 1111 Problemas deAritmetica e Geometria (4.ª Classe), Empresa Contemporanea de Edicoes,Lisboa, s/a (2.ª edicao).


Varia

Matematica na educacao pre-escolar:

Esquemas todo-partes

Carlos Pereira dos Santos, Ricardo Cunha TeixeiraCentro de Analise Funcional, Estruturas Lineares e Aplicacoes, Universidade dos Acores


Resumo: O Singapore Math, metodo utilizado para o ensino da Matematica emSingapura e, segundo as mais prestigiadas avaliacoes internacionais, um exem-plo bem-sucedido da abordagem “concreto-pictorico-abstrato”. Um dos inumerosprocedimentos didaticos sao os number bonds (esquemas todo-partes), utilizadosno ensino de factos fundamentais relativos a primeira dezena: decomposicoes,adicoes e subtracoes. Neste artigo, analisaremos o que sao, quais as vantagense a forma de utilizacao destes esquemas desde a educacao pre-escolar.

Palavras-chave: Singapore Math, educacao pre-escolar, primeira dezena,abordagem “concreto-pictorico-abstrato”, esquemas todo-partes, number bonds.

1 Introducao

A abordagem classica “concreto-pictorico-abstrato” (CPA), de origem em teo-rias construtivistas [3], parece ser especialmente indicada para o ensino dasprimeiras matematicas. Uma das mais admiraveis caracterısticas do ser hu-mano e a faculdade de conseguir pensar e manipular conceitos abstratos de umaforma desligada da realidade. O desenvolvimento da Matematica e um caso pa-radigmatico dessa faculdade; por exemplo, os numeros e as formas geometricassao exemplos de objetos abstratos conhecidos por todos nos.

Vejamos um exemplo muito simples: 3 morangos e algo concreto; ao contrario,o numeral “3” e abstrato, na medida em que e aplicavel a milhares de situacoesquotidianas envolvendo essa quantidade. Se se tratasse de 3 cruzes, 3 quadra-dinhos ou 3 bolinhas, estarıamos perante um esquema (pictorico). A passagemdo concreto ao abstrato (capacidade de abstracao) pode ser consideravelmentedelicada quando pensamos em criancas de tenra idade. Trata-se de todo umcaminho a ser percorrido de forma faseada, passo a passo. Richard Bisk, daWorcester State University e estudioso do metodo de Singapura, defende que


56 Matematica na educacao pre-escolar: Esquemas todo-partes

o caminho nao pode ser divido em degraus estanques, sendo em vez disso umprocesso contınuo [2].

Concreto Abstrato

E um processo contınuo!

A ideia de intermediar o caminho com uma fase pictorica fundamenta-se preci-samente em auxiliar essa contınua passagem do concreto ao abstrato. Quandose propoe uma atividade a uma crianca que consiste em desenhar um numerode bolinhas correspondente ao numero de carros que ve numa imagem estamosperante uma atividade de natureza esquematica.

O Singapore Math, metodo para o ensino da Matematica em Singapura, um pe-queno paıs do Sudeste Asiatico, constitui um caso de sucesso desta abordagem.A CPA, inspirada nos nıveis propostos por Jerome Bruner (Enactive, Iconicand Symbolic levels of learning [3]), tem neste metodo de ensino um exemplo decomo pode ser colocada em pratica com sucesso. Singapura ocupa sistematica-mente os lugares cimeiros do TIMSS (Trends in International Mathematics andScience Study, ver [10]; 1.◦ lugar - 4th grade, [11]; 2.◦ lugar - 4th grade, [12]; 1.◦

lugar - 4th grade).

Este artigo descreve um dos muitos procedimentos didaticos utilizados, os jacelebres “esquemas todo-partes” (number bonds). Estas representacoes auxi-liam a compreensao numerica basilar relativa a primeira dezena, nomeadamentea algebra fundamental (adicoes e subtracoes) e a capacidade de decompor quan-tidades. Chamamos a esta fase de aprendizagem a fase dos 3 S’s: separacoes,somas e subtracoes1.

Na terminologia adotada por Liping Ma [5], os number bonds constituem umarepresentacao de um “no fundamental” imprescindıvel para a aprendizagem deoutros conceitos mais complexos. Sao tambem uma peca na engrenagem docalculo mental mais utilizado no dia a dia. Por tudo isto, o trabalho com os“esquemas todo-partes”, no final da educacao pre-escolar e inıcio do 1.◦ ciclodo ensino basico, e de extrema importancia para a compreeensao dos andaressuperiores do edifıcio matematico.

2 O que sao os esquemas todo-partes?

Um esquema todo-partes constitui uma imagem (inicialmente, concreta; a certaaltura, mental) que ilustra uma relacao entre um numero (todo) e pelo menosoutros dois numeros (partes). E claro que um mesmo numero pode ser decom-posto de muitas formas diferentes.

Na Figura 1, podemos ver dois exemplos, um totalmente esquematico e outroja com recurso a numerais.

1Trata-se de uma forma de simplificar a linguagem, desde que se tenha em conta as devidassalvaguardas: a palavra separacao e utilizada para designar uma decomposicao ou particao;a palavra soma remete para o resultado da operacao adicao.


Carlos Pereira dos Santos, Ricardo Cunha Teixeira 57

Figura 1: Number bonds, retirados de [6].

A memorizacao das decomposicoes dos numeros inferiores ou iguais a 10, bemcomo das “pequenas” adicoes e subtracoes (“pequenas”, no sentido em que otodo nao excede 10), e um dos conhecimentos expeditos ao nıvel do calculo men-tal mais uteis ao ser humano. De facto, o trabalho com os 3 S’s (separacoes,somas e subtracoes) estabelece as bases para procedimentos mentais mais so-fisticados. E nesta fase que se fornecem as “pecas de lego” que permitirao arealizacao de construcoes mentais mais elaboradas nos anos subsequentes. Arazao de ser da barreira do 10 prende-se com o sistema decimal que utilizamos,aspeto que desenvolveremos um pouco mais a frente.

Figura 2: Tabuada da adicao.

Em livros escolares antigos utilizava-se a “tabuada da adicao”, pronta a sermemorizada como a tradicional “tabuada da multiplicacao” (Figura 2). O pro-



blema desta tabuada antiga nao esta na memorizacao; e obvio que a memo-rizacao dos factos fundamentais e aconselhavel, na medida em que a memoria euma faculdade humana e o conteudo em causa sera util durante toda uma vida.A crıtica deve ser feita com outro nıvel de analise:

1. A forma de memorizacao atraves da tabela e feita de forma descontextua-lizada (abstrata, sem ligacao a casos concretos) e aborrecida (sem recursoa uma estrategia didatica mais adequada a criancas da faixa estaria emcausa).

2. A forma utilizada salta por cima da importante ideia de decomposicaonumerica. Decompor e tao importante como adicionar e subtrair. Anali-saremos o porque desse facto.

3. Nas tabelas tradicionais, algumas somas excedem 10. Esse detalhe tambemaponta para uma escolha didatica que nao e a espelhada neste artigo (nema utilizada no Singapore Math). O processo utilizado em 5 + 2 e quali-tativamente diferente do empregue em 5 + 8. Tambem analisaremos estetopico.

3 Vantagens didaticas dos esquemas todo-partes

Ha dois propositos fundamentais na utilizacao de esquemas todo-partes. Oprimeiro diz respeito a relacao ıntima entre os 3 S’s: “separacoes, somas esubtracoes”. O segundo diz respeito a importancia que os 3 S’s tem em processosoperatorios com maior grau de complexidade.

3.1 “Separar-somar-subtrair”

O todo pode ser separado em partes. Usualmente, e a aplicacao concreta ouo processo que pretendemos levar a cabo que dita a decomposicao adequadaem cada contexto. Ao contrario, quando conhecemos as partes, se assim oquisermos, podemos junta-las de forma a recuperar o todo. Se conhecermos otodo e uma das partes, podemos retirar essa parte ao todo para encontrar a outraparte. Sendo assim, os esquemas todo-partes permitem a crianca tomar contactocom a oposicao separar/juntar e com a relacao inversa adicionar/subtrair. Estasacoes nao podem ser dissociadas umas das outras, sao sim “diferentes faces damesma moeda”. A “moeda”, como objeto coeso, e precisamente o esquematodo-partes.



5

3

2

5

3

2

?

?

2

5

3

?

“Separar” “Somar”

Subtrair Subtrair

Figura 3: “Separar-somar-subtrair”.

Na Figura 3, podemos ver uma ilustracao do que acabamos de referir. Para “se-parar”, parte-se do todo para as partes (canto superior esquerdo); para “somar”,parte-se das partes e o objetivo consiste em recuperar o todo (canto superiordireito); nas subtracoes desconhece-se uma das partes e o objetivo consiste emencontrar a outra (linha de baixo).

3.2 Importancia em processos operatorios envolvendoordens numericas

Considere, a tıtulo de exemplo, o calculo 5 + 2. Se excluirmos a contagem con-tinuada (contar “para a frente”, pelos dedos ou usando objetos), a unica formade encarar este calculo e a memorizacao. Pense o leitor se sabe ou nao sabeo resultado desta simples conta de cor; em princıpio sabe. Considere agora ocalculo 8+7. Neste caso, para alem da memorizacao e da contagem continuada,temos mais uma forma de pensar. O numero 8 esta a precisar de 2 para compora dezena. Uma vez que 7 se pode partir em 2 e 5, a resultado e igual a 15.Utilizou-se uma decomposicao do 7 para compor a dezena mais proxima. AFigura 4 ilustra esta ideia.

Neste caso, o conhecimento relativo a decomposicao do 7 em 2 e 5 foi funda-mental. Este procedimento necessita tambem do conhecimento da nocao deordem das dezenas; e por isso que compor a dezena e um objetivo primordial,suportado no facto de o nosso sistema ser decimal. Nesta fase, a crianca ja devecompreender que 15 e composto por 1 dezena e 5 unidades.

Este aspeto do calculo mental so e trabalhado no 1.◦ ciclo do ensino basico(6 anos de idade), precisamente por ser necessaria alguma maturidade por parteda crianca. No entanto, as decomposicoes nao excedendo a dezena, como a do7, com uma boa abordagem, ja podem ser trabalhadas com criancas de 5 anosde idade. E por isso que 5+ 2 tem uma natureza diferente de 8+ 7. O segundo



Figura 4: Compondo a dezena mais proxima [4].

caso envolve ja o conceito de ordem numerica. E de frisar que este metodo naoe incentivado pela atual meta de aprendizagem do currıculo portugues: “Adi-cionar fluentemente dois numeros de um algarismo” ([7], NO1-3.5). No metodode Singapura a chave nao esta no facto das parcelas terem ou nao um algarismo.A chave esta em saber-se se o todo ultrapassa ou nao 10 o que, pela naturezado sistema decimal, faz todo o sentido.

Tambem nas subtracoes, os esquemas todo-partes se fazem notar. Considere-seo calculo 12−4. Aqui, a fronteira da dezena e atravessada em sentido contrario.Ha mais de uma forma de o fazer: (A) separar 4 em 2 e 2 e, em seguida, retirar 2duas vezes, obtendo-se 8 (fez-se novamente a ponte para a dezena mais proxima);(B) separar 12 em 10 e 2 e, em seguida, retirar 4 a 10, obtendo 6, somando nofinal 6 a 2, obtendo 8 (a Figura 5 ilustra este segundo metodo). Em ambosos casos, utilizam-se as decomposicoes fundamentais dos numeros da primeiradezena, para se efetuarem os processos. Ron Aharoni, investigador isrealita,observa: “Qual dos metodos deve ser usado? Ambos devem ser ensinados.Pela minha experiencia, sei que alguns estudantes se sentem confortaveis com oprimeiro metodo, enquanto outros se saem melhor com o segundo.” [1].

Figura 5: Decompondo a dezena mais proxima [4].



4 Como se utilizam na pratica os esquemas

todo-partes?

No currıculo de Singapura e proposta a utilizacao dos esquemas todo-partes, ouseja, dos number bonds ([8], p. 34). Os topicos relativos a esta tematica, no quediz respeito aos 6 anos de idade, sao os seguintes:

1. Number bonds for numbers up to 10 (tal como referido na seccao anterior,observe-se no detalhe up to 10).

2. Use number-bond posters and make number stories to build and consolidatenumber bonds for numbers up to 10.

3. Concepts of addition and subtraction. Use +, − and =.

4. Work in groups to make addition and subtraction stories using concreteobjects/pictures and write an addition or subtraction equation for eachstory.

A importancia dada a oralidade (make number stories) e uma constante. Nospensamos com palavras; se queremos que as criancas pensem bem, devemos in-centiva-las a explicar o seu raciocınio, promovendo a comunicacao oral, o usode um vocabulario rico e a construcao frasica seguindo um esquema gramaticaladequado. Estas stories, que por vezes se traduzem em simples frases, sao o meioque temos para avaliar se a comprensao numerica e algebrica esta realmente aser aplicada as situacoes concretas e quotidianas. E exatamente isto que e abase da compreensao. Nao interessa apenas saber que 5 se pode decompor em2 e 3 ou que 3 + 4 = 7; e necessario vizualizar e entender estes factos aplicadosa situacoes concretas.

As diretivas expostas aparecem no currıculo do 1.◦ ano do ensino basico. Noentanto, “separacoes, somas e subtracoes” dentro da primeira dezena sao traba-lhadas tambem na faixa dos 5 anos de idade (ultimo ano da educacao pre-escolar,ver [6]). Os esquemas mentais “para la da dezena” relativos a calculos do tipo8+ 5 sao deixados para o 1.◦ ano, mas as “separacoes, somas e subtracoes” naoenvolvendo a composicao da dezena podem e devem ser trabalhadas na educacaopre-escolar. Observe-se na Figura 6 um dos exercıcios mais paradigmaticos en-volvendo esquemas todo-partes.

Figura 6: Exemplo classico [4].



Neste tipo de “jogo”2, sao mostradas duas coisas as criancas, uma situacao“real” (a famılia de pinguins) e uma decomposicao (5 em 2 e 3). O objetivoconsiste em solicitar as criancas que digam uma ou mais frases, explicando oque a decomposicao tem a ver com a figura – make number stories. Neste exem-plo concreto, “Ha 5 pinguins; 2 estao dentro de agua e 3 estao ca fora.” ou“Ha 5 pinguins; 2 sao grandes e 3 sao pequenos.” sao duas boas possibilidades.Repare-se que esta tarefa exige que as criancas ja conhecam bem os primeirosnumeros e nao se trata de uma mera contagem. Trata-se de um trabalho dete-tivesco, a crianca tenta descobrir o que e que 5, 2 e 3 tem a ver com a situacao.A partir do momento em que as criancas percebem o objetivo deste jogo, estemodelo de atividade e maravilhoso; as criancas aprendem a aplicar os numerosa realidade e, em simultaneo, vao memorizando os factos essenciais da primeiradezena.

O primeiro objetivo consiste em fazer com que as criancas de 5 anos percebam ojogo. Aconselhamos vivamente a utilizar movimento nas primeiras explicacoes.Na Figura 7, e ilustrada uma forma de o fazer. Colocando a imagem no chao e 5animais de brincar no retangulo grande, um cao, um gato, um tigre, um elefantee um leao, pode perguntar-se “Quais os animais que podem viver na nossa casa?E quais os que tem de viver na selva?”. A medida que se discute o assunto coma crianca (“O leao tem de ir para a selva, senao comia as pessoas la de casa.” ou“O cao pode ir para casa, eu tenho um.”), fazem-se dois movimentos (leao, tigree elefante para a selva e cao e gato para casa). Acompanhe-se os movimentoscom uma number story: “Ha 5 animais, 2 vao para casa e 3 vao para a selva.”.Repita-se com outros contextos (por exemplo, agua e terra, juntamente comveıculos). Gradualmente, deixa-se ser a crianca a explicar.

Figura 7: Decomposicao basica.

2A palavra “jogo” tem um sentido amplo na educacao pre-escolar. Pode significar apenas“brincadeira” ou “atividade” (nao e por acaso que os verbos “jogar” e “brincar” sao um mesmoverbo em muitas lınguas, como por exemplo to play em ingles).



Os esquemas todo-partes podem ser classificados por grau de dificuldade deacordo com alguns pormenores relativamente a forma como podem ser explora-das as atividades:

1. Uma so explicacao possıvel para uma unica decomposicao. Em A, na Fi-gura 8, podemos ver um exemplo desse tipo. A explicacao unica e “Ha 5pinguins, 3 sao grandes e 2 sao pequenos.”.

2. Mais de uma explicacao possıvel para uma unica decomposicao. Em B,na Figura 8, podemos ver um exemplo desse tipo: “Ha 5 pessoas, 3 temoculos e 2 nao tem.” e “Ha 5 pessoas, 2 tem bigode e 3 nao tem.” saoduas explicacoes possıveis. Estas atividades sao otimas para trabalho emgrupo, na medida em que diferentes criancas podem apresentar diferentesexplicacoes.

3. Mais de uma decomposicao possıvel; a forma como se separa e deixadaem aberto. Em C, na Figura 8, podemos ver um exemplo desse tipo:“Ha 5 pessoas, 3 tem oculos e 2 nao tem.”, “Ha 5 pessoas, 1 menina e 4meninos.” ou “Ha 5 caras, 5 pessoas e 0 animais.” constituem todas asdecomposicoes possıveis do numero 5.

4. A crianca desenha e explica (exemplo D da Figura 8).

Figura 8: Classificacao dos esquemas todo-partes.



Um conselho vindo diretamente da pratica diz respeito a posicao do esquema.Deve variar-se; o que interessa e a decomposicao do todo nas partes e nao aposicao em que a dita decomposicao aparece (Figura 9).

Figura 9: Posicao dos esquemas todo-partes.

Com estas ideias gerais em mente, os educadores devem usar a imaginacao. AFigura 10 mostra algumas propostas. Em A, e apresentado um jogo de tapete.Tendo o cuidado de distribuir por duas equipas sacos em numero igual ou infe-rior a 10 (no total), uma das equipas tenta acertar na zona vermelha e a outratenta acertar na zona azul; no final, organiza-se o resultado num esquema todo-partes (N caıram sobre o tapete; x pontos para a equipa 1 e y pontos para aequipa 2; assim, N decompoe-se em x e y). Em B, remete-se para uma propostaapresentada em [9]. E uma optima ideia construir baralhos e conjuntos de ob-jetos (neste caso sapos, num exemplo anterior pinguins e pessoas) que originemum enorme numero de atividades. Dessa forma, a pratica torna-se quotidiana.Em C, ilustra-se o Jogo dos Comboios realizado com pecas Cuisenaire: pede-sea uma crianca para colocar uma peca na posicao horizontal (peca laranja, noexemplo). Essa peca sera a estacao. Em seguida, as criancas colocam comboioscom maquina e carruagem a frente da estacao, nao podendo haver comboiosmaiores ou menores do que a estacao (pecas preta e verde, no exemplo). EmD, mostra-se um exemplo puramente esquematico; ja nao ha caras, pinguins oucomboios; apenas bolinhas. E importante ir fazendo esse percurso, tornando assituacoes gradualmente mais abstratas.



Figura 10: Atividades utilizando esquemas todo-partes.

Tambem podem ser propostas decomposicoes do todo em mais de 2 partes. Tale possıvel, mas convem referir que apenas a decomposicao em duas partes evital para a interiorizacao dos esquemas mentais explicados no topico 3.2. Porisso, incentivamos vivamente que se procure de forma despreocupada a memo-rizacao do caso particular em que existem mais de 2 partes. Esta aconteceranaturalmente com a pratica deste tipo de atividades. A Figura 11 ilustra maisum exemplo em que se exploram os esquemas todo-partes.

Figura 11: Exemplo de uma atividade, que pode ser visualizada em:https://youtu.be/0XM_-VDIg10.



5 Adicoes e subtracoes dentro da primeira

dezena

Quando se separa, parte-se do todo para as partes; quando se adiciona, o ca-minho e feito em sentido contrario, das partes para o todo. Repare-se queutilizamos “quando se adiciona” e nao “quando se junta”. Isso foi propositado,uma vez que o verbo juntar esta associado a algum tipo de acao (“Chegam 3criancas ao parque.” ou “O pai do Joao deu-lhe 3 doces.”). No entanto, ha mui-tas situacoes estaticas. Na Figura 12, ilustra-se essa dualidade Estatico versusDinamico (existem no jardim flores vermelhas e amarelas versus chegam no-vas criancas ao jardim). E importante diversificar. Uma situacao problematicacomo “Temos 5 flores vermelhas e 2 flores amarelas, quantas flores existem aotodo?” e muito comum e nao envolve acao alguma.

Figura 12: Estatico versus Dinamico [6].

Os sinais + e = devem ser trabalhados de forma contextualizada. Considere--se a Figura 13. Ha uma historia para contar; “Estavam 7 formigas a comerum queijo; chegaram mais 2; no total, ficaram 9 formigas a comer o queijo.”.Depois, com a expressao 7 + 2 = 9, falando e apontando para os sinais aomesmo tempo, deve referir-se: “7 formigas a comer o queijo mais 2 formigas quechegaram e igual a 9 formigas a comer o queijo”. A contextualizacao significatudo em termos de compreensao.

Figura 13: Exemplo “com historia”.



Por incrıvel que possa parecer, existem inumeros livros de atividades infantiscom dezenas de paginas sem essa preocupacao! Na Figura 14, podemos verum exemplo desses, sem enquadramento. Nao ha historia para contar, os pin-guins fazem apenas papel de “corpo presente” com um proposito simbolico. Oseducadores devem ter a maxima preocupacao com o enquadramento e contex-tualizacao.

Figura 14: Exemplo “sem historia”.

Na Figura 15, apresenta-se uma atividade util para pedir a uma crianca umahistoria envolvendo a operacao de adicao. Neste exemplo, e ao contrario daatividade da Figura 13, utilizam-se apenas duas gravuras.

Figura 15: Exemplo de uma atividade com duas gravuras [6].

Na transicao das decomposicoes para as operacoes de adicao e subtracao, podeapresentar-se lado a lado o esquema todo-partes. Esse procedimento procurafazer com que as criancas percebam que uma adicao tem tracos comuns comuma decomposicao; ha tambem um todo e as partes, a unica diferenca e que opretendido consiste em juntar partes para encontrar o todo (Figura 16).



Figura 16: Esquema todo-partes auxiliando a operacao de adicao [4].

As addition and subtraction stories propostas no Singapore Math sao atividadesem tudo semelhantes as historias de decomposicao. E tambem sao alvo de umaclassificacao semelhante a que foi feita para as decomposicoes, na medida emque pode haver resposta unica, ou nao, e operacao unica, ou nao. Na Figura17, podemos ver dois exemplos com objetivos distintos. No exemplo de cima,solicita-se a crianca que identifique as adicoes expostas na situacao (“Estavam4 criancas a falar; chegaram mais 2; no total, ficaram 6 criancas”, “Havia 3rapazes e 3 raparigas; no total, havia 6 criancas”). E um exemplo interessante,na medida em que apresenta uma interpretacao estatica e outra dinamica. Noexemplo de baixo, a crianca deve escrever e explicar igualdades (recorrendo aossımbolos matematicos + e =). Estes exemplos, embora possıveis no final dos 5anos, sao fundamentalmente indicados para o 1.◦ ano de escolaridade.

Figura 17: Historias de exploracao da adicao; Historias que apelam a utilizacaode sımbolos matematicos [4].



No que diz respeito a subtracao, o caminho e em tudo identico. O sentido para asubtracao que se utiliza nos primeiros anos e o de “retirar” (por exemplo, “Havia9 cenouras. Depois de um coelho comer 3, quantas sobraram?”). Ha outros doissentidos fundamentais que devem ser trabalhados no 1.◦ ciclo: “comparar” – “OJoao tem 5 doces e o Antonio tem 3, quantos doces o Joao tem a mais do queo Antonio?”, “completar” – “O Joao tem 3 euros e pretende comprar uma bolaque custa 5, quanto dinheiro tem ainda de juntar?”). Na Figura 18, o leitorpode intuir que ha um claro paralelismo com os exemplos que apresentamospara a adicao.

Figura 18: Subtracao [6, 4].



O Singapore Math e um metodo que apela ao ensino em espiral. Isso significa queas aprendizagens nao acontecem de forma completamente linear. Os conceitosaparecem por camadas, sendo umas adicionadas gradualmente as anteriores. Ascriancas tem sempre oportunidade de recuperar ideias e de consolidar conceitos.O sentimento “Eu ja vi isto.” e uma constante.

Referencias

[1] Aharoni, R. Aritmetica para pais, Gradiva, 2012.

[2] Bisk, R. Concrete Pictorial Abstract: Singapores Approach to MathInstruction, Presentation at 2015 NCTM Conference in Boston(https://sites.google.com/site/singmathproject/), 2015.

[3] Bruner, J. The process of education, Harvard University Press, 1960.

[4] Hong, K. Primary mathematics Textbook 1A, American Edition: Curricu-lum Planning & Development Division Ministry of Education of Singapore,Times Media Private Limited, 1981.

[5] Ma, L. Saber e Ensinar Matematica Elementar, Gradiva, 2009.

[6] Marshall Cavendish Int (S) Pte Ltd, Earlybird Kindergarten Math, STDED, Textbook B, Singapore, 2003.

[7] Ministerio da Educacao e Ciencia. Programa e Metas Curriculares de Ma-tematica do Ensino Basico, MEC – Direcao Geral da Educacao, homolo-gado a 17 de junho de 2013.

[8] Ministry of Education. Primary mathematics teaching and learning sylla-bus, Singapore: Author, 2012.

[9] Santos, C., Teixeira, R. “Kindergarten Activities for Early Mathematics”,Actas do Recreational Mathematics Colloquium 2015, no prelo.

[10] TIMSS & PIIRLS International Study Center,http://timss.bc.edu/PDF/t03_download/T03INTLMATRPT.pdf, 2003.

[11] TIMSS & PIIRLS International Study Center,http://timss.bc.edu/TIMSS2007/PDF/TIMSS2007_InternationalMathematicsReport.pdf,2007.

[12] TIMSS & PIIRLS International Study Center,http://timss.bc.edu/timss2011/downloads/T11_IR_Mathematics_FullBook.pdf,2011.


Varia

O Desenvolvimento de conceitos

ligados a area e ao perımetro:

Uma exploracao com bissemis

Sara Ribeiro, Pedro PalharesCIEC, Instituto de Educacao, Universidade do Minho


Resumo: Neste artigo apresentam-se algumas potencialidades educativas de ummaterial inventado por Paulus Gerdes, os bissemis. A intervencao pedagogica,desenvolvida ao longo de tres aulas, ocorreu numa turma do 4.◦ ano de escolari-dade, no ambito da Pratica de Ensino Supervisionada, do Mestrado em ensinodo 1.◦ e 2.◦ ciclo do Ensino Basico da Universidade do Minho. Esta incidiusobre o domınio Medida, com enfoque para o desenvolvimento dos conceitos li-gados a area e ao perımetro.

Palavras-chave: bissemis; area; perımetro.

1 Introducao

Paulus Gerdes, nascido holandes mas tendo vivido a maior parte da sua vida emMocambique, foi um prolıfico autor matematico. Baseou quase toda a sua obrana etnomatematica, isto e, na matematica usada por grupos culturais determi-nados, no caso essencialmente africanos. Procurou refazer uma historia da ma-tematica muito centrada na visao do mundo ocidental moderno, argumentandoe trazendo provas relativas a uma maior importancia africana no desenvolvi-mento da Matematica. A sua analise de artefactos de todo o tipo, atraves dometodo de “descongelamento” do pensamento geometrico que esteve na base dasua construcao [3], trouxe-lhe o respeito da comunidade etnomatematica a nıvelmundial. Menos conhecida e a sua faceta de invencao de materiais direcionadosa criancas, tendo escrito varios livros, sobre os desenhos sona [4], sobre bisos[5], sobre bissemis [6]. Estes materiais ainda nao foram devidamente aproveita-dos pela comunidade educativa mas tem muitas potencialidades. Neste artigopretendemos mostrar algumas potencialidades de um destes materiais.


72 Uma exploracao com bissemis

2 Bissemis

Os bissemis, da autoria de Paulus Gerdes, constituem o material que presidiuao conjunto de atividades de natureza exploratoria que aqui nos propomos des-crever. A este proposito, [6] explica:

Ao dissecar um domino ao longo duma diagonal obtem-se dois triangulos rectangulos, cujos

catetos medem uma e duas unidades, respectivamente. Os triangulos assim obtidos consti-

tuem os elementos de base com os quais se pode construir figuras novas. Uma vez que esses

triangulos sao a metade dum domino chamamo-los semidominos (semi=metade), ou simples-

mente, semis. As figuras que se podem formar com dois semis chamaremos bissemis. (p. 9)

Em concordancia com a descricao anterior, os bissemis utilizados nas atividadesforam construıdos pela justaposicao dos lados de igual comprimento de doistriangulos retangulos congruentes cujos catetos medem 5 cm e 10 cm (Figura1).

Figura 1: Bissemis construıdos pela justaposicao dos lados de igual comprimentode dois triangulos retangulos congruentes.

3 Atividades desenvolvidas

As atividades doravante descritas foram desenvolvidas numa turma do 4.◦ ano deescolaridade de uma escola basica do 1.◦ ciclo de Braga, no ambito da UnidadeCurricular Pratica de Ensino Supervisionada, contemplada no plano de estudosdo Mestrado em Ensino do 1.◦ e 2.◦ Ciclo do Ensino Basico da Universidade doMinho.

3.1 Intervencao 1 – A area dos bissemis

Esta intervencao tinha como objetivo essencial a comparacao de areas de figurasdiferentes, tendo por base a construcao dos bissemis.


Sara Ribeiro, Pedro Palhares 73

Distribuiu-se aos alunos, organizados em grupos, a parte I da “Ficha de trabalho–Comparacao de areas de figuras diferentes” e o respetivo material (triangulosretangulos congruentes cujo cateto maior e o dobro do cateto menor). Estaficha era composta por tres tarefas matematicas: na primeira, os alunos deviamdescobrir as diferentes figuras que e possıvel construir justapondo os lados deigual comprimento de dois dos triangulos distribuıdos; na segunda, os alunos de-viam reproduzir as figuras em papel ponteado e identifica-las; e na terceira, osalunos deviam comparar a area das figuras, posteriormente designadas bissemis.

Logo numa fase inicial da exploracao, os grupos demonstraram dificuldades nainterpretacao da expressao “justapondo os lados de igual comprimento”, o queobstaculizou a construcao das diferentes figuras. Em decurso, realizou-se umesclarecimento em plenario, que favoreceu a descoberta das figuras.

No final, todos os grupos conseguiram construir as seis figuras possıveis (Figura2), realizando a tarefa 1 com sucesso. Estes grupos, quando questionados acercada existencia (ou nao) de mais figuras para alem daquelas, foram capazes dereconhecer que nao. Todavia, nenhum aluno conseguiu apontar uma razao parajustificar este facto. Na tarefa 2, os alunos demonstraram dificuldades tanto nareproducao, como na identificacao das figuras.

Figura 2: Construcao dos bissemis pelos alunos.

A tarefa 3 proporcionou aos alunos um nıvel de desafio que os envolveu emdiscussoes e argumentacoes contınuas no interior grupos, tendentes a promocaoda comunicacao matematica, no domınio oral (transcricoes 1, 2, 3, 4). Apesarda difıcil gestao durante esta fase de atividade, procurou-se estimular constan-temente a reflexao dos alunos.

CF: Para um triangulo, como e que nos descobrimos a area?Professora: Se calhar nao e preciso calcular.CF: Mas entao como e que nos vamos fazer?Professora: Tem que pensar noutra maneira.(tempo depois)



CF: Nos ja sabemos a resposta, so que nao sabemos explicar.Professora: Entao, qual e a resposta?CF: Nos achamos que sim por causa que alguns triangulos (refere-se aos triangulosutilizados para construir as figuras) sao maiores do que os outros e outros saomais pequenos.Professora: Entao, separem-me os triangulos maiores dos mais pequenos.(ficam confusos a separar)FV: Nao da.CR: E que se nos unirmos assim (coloca os triangulos todos uns em cima dosoutros), reparamos que a area deles e igual. Mas so que quando fazemos asfiguras, pensamos que nao.CF: Mas eu tambem ao mesmo tempo acho que sao todas iguais por causa queem todas so usamos dois triangulos.Transcricao 1–Discussao realizada num grupo (CF, CR, FV, GP) na exploracao da tarefa 3.

RM: Eu estou a ver por aqui por estas(aponta para as figuras que desenhou na tarefa).Professora: Nao podes ver por essas, tem que usar as figuras construıdas com omaterial.RM: Mas assim como e que nos vamos fazer quadradinhos?Professora: Que quadradinhos?RM: Porque nos antes, para saber a area, tinha quadradinhos um triangulo enos contavamos. E dizia assim, um quadradinho e um centımetro quadrado. . .(interrompi a aluna).Professora: E sera que e preciso desenhar quadradinhos para ver se tem a mesmaarea?RM: Como e que nos sabemos? E para fazer aproximadamente?IM: Eu acho que tem todas o mesmo porque os triangulos sao todos iguais.RM: Acho que nao. Os lados, alguns sao mais pequenos do que outros e porisso as figuras ficam com menos area quando estao assim (refere-se as figurasem que os catetos menores nao sao justapostos). Este lado aqui (aponta paraum dos lados do triangulo formado pela justaposicao dos catetos menores dedois triangulos) fica maior, fica com mais quadradinhos e mais centımetros qua-drados.Transcricao 2–Discussao realizada num grupo (BS, EG, IM, RM) na exploracao da tarefa 3.

DF: Nos pusemos: Sim, porque todas as figuras que se faz utiliza-se dois triangulospequenos (le a resposta).Professora: E o que e que isso quer dizer? Explica-me la.DF: Quer dizer que cada figura geometrica que nos construımos tem a mesmaarea.Professora: Porque?DA: Porque sao dois triangulos iguais.Professora: Entao quer dizer que se eu encostasse estes dois triangulos e fizesseuma figura qualquer, ela ia ter sempre a mesma area?DF: Nao, isso tambem nao.Professora: Entao encontra-me uma que nao tenha.IF: Sim, e sim.Transcricao 3–Discussao realizada num grupo (DA, DF, IF) na exploracao da tarefa 3.



MS: Ja construımos todas as figuras.DS: Acho que a que tem maior area e esta (aponta para o triangulo formadopela justaposicao dos catetos menores de dois triangulos).Professora: Porque? DS: Por causa que acho que essa e a maior figura de sem-pre, de todas.Professora: E agora se eu fizer assim (movimento os triangulos, justapondoagora os catetos maiores dos dois triangulos), a area e a mesma da outra figuraou e diferente?DS: E diferente. Nao, igual. (fica indeciso). Ora poe outra vez.MS: Para mim e igual, porque se nos trocarmos este por este vai dar a mesmacoisa. Mesmo que esteja diferente e a mesma coisa.Transcricao 4–Discussao realizada num grupo (DS, LM, MS) na exploracao da tarefa 3.

Na generalidade, nao foi intuitivo para nenhum dos grupos que a area das figuraspermanecia inalterada, independentemente dos lados dos triangulos justapostos.As transcricoes 1, 2, 3 e 4 ilustram essa dificuldade, associada a nocao de con-servacao de area.

Os grupos nao conceberam, de imediato, que podiam comparar a area das figu-ras, mobilizando um raciocınio baseado na decomposicao das mesmas em doistriangulos congruentes–nonmeasurement reasoning ([1], p. 903). Alguns gruposinsistiram, inicialmente, na utilizacao de formulas e procedimentos numericos,que o currıculo escolar tao prematuramente privilegia–measurement reasoning([1], p. 903). E certos grupos basearam o seu raciocınio, primordialmente, naaparencia das figuras, realizando descricoes meramente visuais na comparacaoda area destas, alicercadas em estrategias imprecisas.

Neste ambito, a manipulacao do material concreto pelos alunos constituiu-seessencial, uma vez que os impeliu a refletirem acerca das suas conceptualizacoese a elaborarem novas estrategias de raciocınio. Com efeito, os alunos formularamnovas conjeturas sobre a area das figuras, resultantes de inferencias baseadas nacomparacao direta (sobreposicao) dos dois triangulos congruentes em que estasse decompoem. Portanto, na tarefa 3, os grupos deduziram a conservacao daarea dos bissemis com base na equivalencia dos dois triangulos em que estes sepodem decompor (Figuras 3, 4 e 5). Atente-se na figura 5, em que o aluno explicaa congruencia dos triangulos, subdividindo-os num numero igual de unidadesde area.



Figura 3: Resolucao de um aluno (RM) na tarefa 3.

Figura 4: Resolucao de um aluno (CF) na tarefa 3.

Figura 5: Resolucao de um aluno (RP) na tarefa 3.



No final, promoveu-se um momento de discussao/reflexao acerca da parte I daficha. Para isso, diferentes alunos desenharam, no quadro de giz, uma das seisfiguras construıdas com os dois triangulos, colando, junto ao seu desenho, arespetiva figura feita em cartolina (Figura 6). Isto porque os desenhos apre-sentavam varias fragilidades. Veja-se, a este proposito, que o triangulo obtidopela justaposicao dos catetos menores dos triangulos nao e isosceles; os para-lelogramos nao apresentam dois pares de lados opostos paralelos; e os alunosdesconsideram a existencia de comprimentos iguais entre as diferentes figuras.Neste momento, introduziu-se a designacao das seis figuras–bissemis.

Figura 6: Apresentacao dos bissemis pelos alunos no quadro de giz.

Posteriormente, os diferentes grupos grupos partilharam oralmente as conclusoesrelativas a area dos bissemis. Aqui, os alunos limitaram-se a leitura das producoesescritas na tarefa 3, revelando dificuldades em explicar as suas ideias e ra-ciocınios. Embora diferentes, as respostas confluıram na ideia de que, sendoa area de cada um dos triangulos igual, qualquer bissemi, ao ser formado pordois destes triangulos, teria a mesma area.

Apos este momento, distribuiu-se aos alunos a parte II da “Ficha de trabalho- Comparacao de areas de figuras diferentes” e o respetivo material (bissemis).Nesta, os alunos deviam construir uma figura, justapondo os lados de igualcomprimento de um numero de bissemis a sua escolha e, a seguir, cola-la numafolha, atribuindo-lhe um tıtulo.

Denotou-se um envolvimento espontaneo dos mesmos nesta tarefa, que nao ge-rou quaisquer duvidas. No final, foram recolhidas as folhas com as construcoesdos alunos e coladas no quadro de giz (Figura 7).

Figura 7: Figuras construıdas com os bissemis pelos grupos.



A partir destas, promoveu-se um momento de discussao/reflexao acerca da areadas figuras. Neste, os alunos, baseados na observacao e desconhecendo o numerode bissemis utilizado pelos restantes grupos, compararam a area das figuras,expondo oralmente as suas ideias. Eles foram congruentes ao identificarem duasfiguras com menor area do que as restantes: “Eu acho que todas tem a mesmaarea a nao ser a primeira e o passaro com chapeu (refere-se a terceira)” (CF).E, justificaram as suas opinioes com base no numero de bissemis utilizado nasua construcao: “Porque eu contei aquelas coisinhas (refere-se aos bissemis)e acho que ali tem quatro (refere-se a primeira) e ali contei cinco (refere-sea terceira)” (MP). Para terminar, cada um dos grupos revelou o numero debissemis presente na sua figura, o qual foi confrontado com as previsoes dosalunos, que se revelaram corretas.

3.2 Intervencao 2 – Medicao direta da area de puzzlesconstruıdos com bissemis

A segunda intervencao objetivava, essencialmente, a medicao direta da area defiguras, utilizando unidades de area nao convencionais. Foi privilegiada a con-tinuidade na utilizacao do material manipulavel da aula anterior.

Distribuiu-se aos alunos, organizados em grupos, a “Ficha de trabalho–Medicaode areas de figuras, utilizando unidades nao convencionais” e o respetivo ma-terial (triangulos retangulos congruentes cujo cateto maior e o dobro do catetomenor; bissemis; quadrados equivalentes aos triangulos; puzzles). Esta era com-posta por sete tarefas matematicas: nas seis primeiras, os alunos deviam pre-encher tres puzzles com os modelos concretos indicados (triangulos, bissemis,quadrados) e determinar a sua area, fixada uma destas unidades de medida; nasetima, os alunos deviam identificar as regularidades existentes na area dos trespuzzles utilizando cada uma das unidades de medida e formular conclusoes.

Uma fragilidade demonstrada por determinados grupos foi o facto de nao com-preenderem como e que a contagem de unidades utilizadas para cobrir umafigura produz a medida de area da mesma. Efetivamente, na tarefa 1, depoisde preencherem o puzzle 1 com os triangulos, os grupos comprovaram que eramnecessarios dez triangulos para o cobrir. No entanto, nem todos associaram estevalor a medida da area do puzzle (transcricao 5).

De acordo com Battista [1], “many students do not properly maintain the con-nection between numerical measurements and the process of unit-measure ite-ration.” (p. 892). De facto, a transcricao 5 sugere que os alunos nao associama medida de area do puzzle ao processo de repeticao da unidade de area, otriangulo. No entendimento de Outhred e Mitchelmore [9], a fragilidade demons-trada pelos alunos constitui uma razao pela qual as atividades de preenchimentode figuras com materiais concretos, no caso particular para a compreensao daarea, podem constituir-se ineficazes: “children may not relate the concrete ma-terials to the mathematical concepts they are supposed to represent.” (p. 146).

Professora: Quantos triangulos e que usaram para construir este puzzle?Grupo: Dez.Professora: Agora, se o triangulo for a unidade de area, qual e a area deste



puzzle? (ficam em silencio)Professora: Entao, se utilizaram dez triangulos para cobrir este puzzle, qual e aarea dele, sabendo que cada triangulo vale uma unidade de area?DS: E cem.Professora: E cem porque?DS: Tinha de valer dez.FV: Ja sei. Vinte.Transcricao 5–Discussao realizada num grupo (BS, DS, FV) na exploracao da tarefa 1.

Uma outra fragilidade observada, esta transversal a totalidade dos grupos, ocor-reu ao nıvel das unidades de area utilizadas para expressar a area dos puzzles.De facto, os grupos, mesmo apreendendo que para determinar a area do puzzle 1tinham que contar as dez unidades de area (triangulos) utilizadas para o cobrir,expressaram a area deste puzzle sem qualquer unidade de area, ou com unida-des de area do sistema metrico (transcricao 6), ou ate mesmo com unidades decomprimento do sistema metrico (transcricao 7).

Esta fragilidade sugere-se ate paradoxal: se, por um lado, os alunos revelaramcompreender que a medicao direta da area “se traduz numa comparacao ime-diata entre a unidade e a grandeza a medir” ([2], pp. 133-134), por outro lado,demonstraram nao estar cientes da unidade de medida utilizada “para exauriro atributo” ([10], p. 378). E, ainda, alguns revelaram mesmo nao compreenderque a unidade tem que ser da mesma natureza do que o atributo. De acordo como NCTM [8], “Compreender que sao necessarias unidades distintas para mediratributos mensuraveis (grandezas) diferentes e, por vezes, difıcil para os alunosmais novos. Aprender a selecionar a unidade apropriada constitui o cerne dacompreensao da medicao.” (p. 49).

Professora: Entao, se o triangulo for a unidade de area, qual e a area destepuzzle?CF: (aponta para cada um dos triangulos utilizados, contando-os em silencio)E dez.Professora: Dez que?CF: Dez metros quadrados.Professora: Metros quadrados? Afinal o que estamos a considerar como unidadede area?CF: Dez triangulos.RM: A area e em centımetros quadrados!Professora: Mas tambem podemos utilizar outras unidades, nao podemos?CF: Por exemplo, naquela coisa “De que tamanho e o pe do rei”, naquilo dacama do aprendiz calculaste em pes. Entao aqui e a mesma coisa, esta a calcu-lar em triangulos.Transcricao 6–Discussao realizada num grupo (CF, MS, RM, RP) na exploracao da tarefa 1.

AM: Qual e a area do puzzle, utilizando como unidade de area o triangulo?(le a pergunta)Professora: Entao se a unidade de area for um triangulo, se eu considerar esta(aponto para um dos triangulos) a unidade de area. . .GP: Isso vale um!Professora: E qual e a area deste puzzle?



GP: E dez.Professora: Muito bem.GP: Mas temos que por dez centımetros?Transcricao 7–Discussao realizada num grupo (AM, DA, GP, MM) na exploracao da tarefa 1.

As fragilidades anteriores tornaram-se menos frequentes a medida que os alunosprogrediram na resolucao da ficha.

A tarefa 6 constituiu-se, porem, mais exigente e desafiante para os alunos, umavez que a unidade de medida utilizada nao permitia preencher o puzzle 3 (Figura8).

Figura 8: Tentativa de preenchimento do puzzle 3 com quadrados.

Apenas alguns grupos conjeturaram e comprovaram que o quadrado utilizadocomo unidade tinha a mesma area do que o triangulo, determinando a areado puzzle 3 corretamente. Alguns desses grupos chegaram a esta conclusaoquando preencheram o retangulo presente no puzzle 3 com dois quadrados eperceberam que, sendo o retangulo formado por dois triangulos, cada triangulotinha que ter a mesma area do que o quadrado. Outros grupos chegaram auma conclusao confluente ao sobrepor o triangulo e o quadrado, verificando quea parte do triangulo que ficava “de fora”do quadrado correspondia a parte doquadrado que o triangulo ”nao preenchia”. Como vemos, a manipulacao domaterial concreto constituiu-se fundamental para o estabelecimento da relacaode equivalencia entre o quadrado e o triangulo pelos grupos.

Na tarefa 7, todos os grupos conseguiram identificar as regularidades existentesna area dos tres puzzles utilizando como unidades de area os triangulos e os bis-semis, verificando que a area dos puzzles utilizando como unidade os triangulosera o dobro da area dos puzzles utilizando como unidade os bissemis. Relati-vamente as regularidades existentes na area dos tres puzzles utilizando comounidade de area, tambem, os quadrados, somente os grupos que comprovaram



que o quadrado era equivalente ao triangulo e que identificaram e justificaramesta regularidade.

Findo o tempo definido para a realizacao da ficha, promoveu-se um momento dediscussao/reflexao em plenario acerca da mesma. Depois de colados os puzzles1, 2 e 3 no quadro de giz, solicitou-se aos diferentes grupos que partilhasseme explicassem a area que determinaram para cada um dos puzzles, utilizandocada uma das unidades de medida.

Foi dada particular atencao a tarefa que implicava a utilizacao do quadrado comounidade de area, a qual nao foi acessıvel a todos os alunos. Assim, solicitou-se aos grupos que a realizaram com sucesso que expusessem a sua resolucao,incentivando-se os restantes a questionarem os seus pares sobre as ideias e con-clusoes apresentadas. A seguir, para concretizar a ideia de equivalencia entreo quadrado e o triangulo, e tendo por base uma das explicacoes apresentadas,solicitou-se aos grupos que colocassem um triangulo em cima de um quadrado,marcassem a parte do quadrado que ficava “de fora” do triangulo, cortassemessa parte e verificassem, entao, se o quadrado e o triangulo tinham (ou nao)a mesma area. Foi curioso ver as reacoes de admiracao dos alunos, mesmo atedos que tinham resolvido corretamente a tarefa. Uma vez compreendida a equi-valencia entre o triangulo e o quadrado, a discussao da tarefa 7 constituiu-selinear.

3.3 Intervencao 3 – A area e o perımetro dos bissemis

A terceira intervencao visava a distincao entre os conceitos de area e perımetro.Uma vez mais, foi privilegiada a continuidade na utilizacao dos bissemis.

Distribuiu-se aos alunos a “Ficha de trabalho - Area e Perımetro” e o respetivomaterial (bissemis). Esta era composta por quatro tarefas matematicas: naprimeira, os alunos deviam investigar os diferentes comprimentos nos bissemis;na segunda, os alunos deviam pintar, com cores iguais, os lados dos bissemiscom o mesmo comprimento, reproduzidos em tamanho real na tarefa; na ter-ceira, os alunos deviam investigar os bissemis isoperimetricos; e, na quarta1, osalunos deviam comentar a existencia de figuras com a mesma area e perımetrosdiferentes. Articulou-se, ainda, a tarefa 5, como complemento ao trabalho dosalunos que pudessem terminar antecipadamente as anteriores. Nesta, os alunosdeviam desenhar, em papel quadriculado (unidade de comprimento–1 cm), figu-ras nao geometricamente iguais a um dos bissemis a sua escolha, mas com igualperımetro.

Desde logo, a maioria dos alunos demonstrou dificuldades na interpretacao datarefa 1, revelando nao compreender o que era pretendido e, ate mesmo, mos-trando nao conseguir identificar uma estrategia de resolucao concreta. Comoconsequencia, os alunos demoraram bastante tempo a desenvolver a atividadede forma estruturada e com compreensao.

1Esta tarefa resulta da adaptacao de uma questao que integra a Prova Final de Matematicado 1.◦ Ciclo do Ensino Basico de 2013 (1.a Fase).



As respostas dos alunos na tarefa 1 denotaram a utilizacao de duas estrategias:na primeira, incluem-se os alunos que utilizaram a manipulacao do materialpara justaporem os lados dos bissemis e determinarem aqueles que seriam con-gruentes (Figura 9); na segunda, incluem-se os alunos que utilizaram a reguapara medirem os lados dos bissemis e determinarem aqueles que teriam a mesmamedida (Figura 10).

Figura 9: Resolucao efetuada por um aluno (AM) na exploracao da tarefa 1.

Figura 10: Resolucao efetuada por um aluno (MM) na exploracao da tarefa 1.

A segunda estrategia foi substancialmente mais usada. Portanto, os alunos, nacomparacao de comprimentos, privilegiaram a comparacao indireta, assente namedicao com regua, em detrimento da comparacao direta, baseada na justa-posicao dos lados.



De salientar que nenhum dos alunos da turma se baseou nas propriedadesgeometricas dos bissemis, particularmente a congruencia de lados, para fazerdeducoes relativas aos diferentes comprimentos existentes. E, os alunos reve-laram mesmo nao reconhecer, muitas vezes, estas propriedades no decurso dasua resolucao. Por exemplo, aquando da medicao ou da comparacao direta decomprimentos, os alunos repetiram este procedimento para todos os lados dosbissemis. Outros exemplos sao as fragilidades identificadas nas respostas dosalunos na tarefa 1, nomeadamente: os lados de um dos pares de lados conse-cutivos congruentes do papagaio nao apresentarem a mesma medida (Figura11); um dos pares de lados opostos paralelos do paralelogramo obtido pela jus-taposicao dos catetos menores dos triangulos apresentar uma medida diferentede todos os outros comprimentos encontrados nos bissemis (Figura 12); os qua-tro lados do paralelogramo obtido pela justaposicao dos catetos menores dostriangulos apresentarem a mesma medida (Figura 13); e o paralelogramo obtidopela justaposicao dos catetos menores dos triangulos apresentar dois pares delados consecutivos com a mesma medida (Figura 14). De notar que estas fragi-lidades ocorreram somente nas resolucoes dos alunos que utilizaram a estrategiade medicao.

Figura 11: Resolucao efetuada por um aluno (BB) na exploracao da tarefa 1.



Figura 12: Resolucao efetuada por um aluno (BS) na exploracao da tarefa 1.

Figura 13: Resolucao efetuada por um aluno (LM) na exploracao da tarefa 1.



Figura 14: Resolucao efetuada por um aluno (JR) na exploracao da tarefa 1.

Ora, nas Figuras 11 e 12, as fragilidades decorreram de erros na leitura da es-cala da regua pelos alunos, os quais nao convocaram os conhecimentos da con-gruencia dos lados dos bissemis para repensarem os resultados, obtendo cincocomprimentos diferentes. Por sua vez, nas Figuras 13 e 14, as fragilidades sur-giram do reconhecimento erroneo dos lados congruentes dos bissemis, que levouos alunos a atribuırem medidas iguais a estes lados, mesmo sem concretizarema medicao.

De uma forma geral, os alunos concluıram, na tarefa 1, a existencia de quatrocomprimentos diferentes. No entanto, alguns consideraram cinco comprimentos– facto associado as fragilidades supracitadas.

No decurso do processo exploratorio, a maioria dos alunos, independentementeda estrategia privilegiada, considerou util realizar as tarefas 1 e 2 em simultaneo,entendendo a segunda como um suporte a primeira. De facto, a tarefa 2permitiu-lhes registarem, gradualmente, as conclusoes que foram construindorelativamente aos diferentes comprimentos dos bissemis, o que facilitou a orga-nizacao das suas ideias na tarefa 1. Consequentemente, as respostas dos alunosna tarefa 2 convergem com as da tarefa 1, mesmo ao nıvel das fragilidades iden-tificadas.

Na tarefa 3, todos os alunos privilegiaram a utilizacao da medicao. Isto e, mesmoos alunos que anteriormente tinham investigado os diferentes comprimentos dosbissemis por comparacao direta, optaram, agora, por medir os comprimentosdos seus lados a fim de determinarem os bissemis isoperimetricos. Este facto



sugere que os alunos, perante a ausencia de medidas para os lados dos bisse-mis, nao conceberam a possibilidade de comparacao dos perımetros dos mesmos,pelo que recorreram a medicao. Genericamente, todos os alunos identificaram“o perımetro de um polıgono como a soma das medidas dos comprimentos doslados, fixada uma unidade” ([7], p. 13). De facto, nas respostas da tarefa 3,todos os alunos adicionaram as medidas dos lados de cada um dos bissemis paradeterminarem o seu perımetro. De notar que os alunos nao indicaram qualquerformula no calculo do perımetro.

Ainda que o procedimento utilizado na tarefa 3 tenha sido transversal a totali-dade dos alunos, o mesmo nao aconteceu com os resultados. Por um lado, estesforam determinados pelas discrepancias na leitura da escala da regua, aquandoda medicao dos comprimentos. Neste ambito, verificou-se uma tendencia ge-ral para a leitura incorreta de uma das quatro medidas dos lados dos bissemis(√125 ≈ 11, 18 cm), que foi apresentada como um numero inteiro (11 cm). Ora,

apenas um grupo muito restrito de alunos revelou maior rigor na leitura do ins-trumento, registando as medidas 11, 2 cm ou 11, 3 cm. Por outro lado, tambemas fragilidades anteriormente identificadas concorreram para a disparidade dosresultados nesta tarefa, pois os alunos calcularam o perımetro dos bissemis combase nas medidas ja determinadas, muitas delas com incorrecoes.

Na tarefa 4, a maioria dos alunos considerou a existencia de figuras com a mesmaarea e perımetros diferentes, reconhecendo validade a opiniao do Afonso: “Osbissemis sao figuras com a mesma area (figuras equivalentes) e que podem terperımetros diferentes”. Em contrapartida, alguns alunos corroboraram a ideiada Matilde: “Acho que nao! Nao pode haver figuras com a mesma area eperımetros diferentes!”. Relativamente aos exemplos dos alunos que concor-daram com o Afonso, grande parte apresentou dois bissemis com perımetrosdiferentes (Figura 15), apontando um exemplo concordante com a opiniao quevalidam. Destes alunos, alguns fizeram ainda alusao a equivalencia dos bisse-mis, traduzindo a area dos mesmos pela medida “dois triangulos” (Figura 16).Um aluno seguiu esta linha de pensamento, apresentando tres bissemis comperımetros diferentes, no entanto, decompo-los, nao em dois triangulos, mas emcinco triangulos (Figura 17), revelando confusao neste domınio. Outros alunosapresentaram dois exemplos de bissemis com o mesmo perımetro (Figura 18),fornecendo um exemplo contraditorio a situacao. E, um aluno, em vez de umexemplo, registou uma justificacao verbal erronea: “Os bissemis tem que ter operımetro diferente porque eles nao sao iguais”.



Figura 15: Resolucao efetuada por um aluno (IM) na exploracao da tarefa 4.

Figura 16: Resolucao efetuada por um aluno (CF) na exploracao da tarefa 4.

Figura 17: Resolucao efetuada por um aluno (MP) na exploracao da tarefa 4.

Figura 18: Resolucao efetuada por um aluno (DF) na exploracao da tarefa 4.



Quanto aos exemplos dos alunos que concordaram com a opiniao da Matilde, al-guns apresentaram dois bissemis com o mesmo perımetro (Figura 19), sugerindoum exemplo concordante com a opiniao que corroboram, mas nao extensıvel ageneralidade. E, outros nao apresentaram qualquer exemplo, registando: “naopode haver figuras com a mesma area e perımetros diferentes”.

Figura 19: Resolucao efetuada por um aluno (BB) na exploracao da tarefa 4.

As respostas anteriores sugerem que a maioria dos alunos reconheceu que figurascom a mesma area, como sao os bissemis, podem ter ou nao o mesmo perımetro.Contudo, alguns alunos explanaram a ideia de impossibilidade de existirem fi-guras com a mesma area e perımetros diferentes. De facto, mesmo depois daexploracao desenvolvida, estes parecem manter fixas as suas concecoes, resis-tindo as evidencias que os bissemis tao bem ilustram.

Mais de metade dos alunos da turma explorou, ainda, a tarefa 5. Em tracos ge-rais, todos conseguiram construir pelo menos uma figura nao geometricamenteigual a um dos bissemis a sua escolha mas com o mesmo perımetro. Destesalunos, alguns, para alem do bissemi escolhido, desenharam apenas o bissemicom o mesmo perımetro do que este (Figura 20); outros alargaram o numero defiguras com o mesmo perımetro, porem, cingiram-se as formas retangulares (Fi-gura 21); e um pequeno numero de alunos apresentou um conjunto mais variadode figuras com o mesmo perımetro, incluindo polıgonos irregulares (Figura 22).



Figura 20: Resolucao efetuada por um aluno (DS) na exploracao da tarefa 5.

Figura 21: Resolucao efetuada por um aluno (JR) na exploracao da tarefa 5.



Figura 22: Resolucao efetuada por um aluno (RP) na exploracao da tarefa 5.

Findo o tempo definido para a realizacao da ficha, promoveu-se um momento dediscussao/reflexao em plenario acerca da mesma. Na tarefa 1, os alunos apre-sentaram uma das duas estrategias utilizadas, concluindo a existencia de quatroou cinco comprimentos diferentes. Esta diferenca nas respostas intensificou odebate de ideias.

Enquanto suporte para esta discussao, colaram-se, no quadro de giz, os bisse-mis feitos em cartolina, nos quais estavam marcados os dois triangulos que oscompoem. A seguir, solicitou-se aos alunos que privilegiaram a estrategia demedicao que expusessem as medidas determinadas para os lados dos bissemis,registando-se no quadro de giz. Depois, desafiaram-se os alunos compararemdiretamente (com os seus bissemis) alguns dos lados considerados diferentes.Nesta altura, tornou-se evidente que determinados alunos questionaram a vali-dade das suas ideias, assumindo algumas incorrecoes.

Posteriormente, focalizou-se a atencao dos alunos na congruencia de lados entreos bissemis, o que permitiu sustentar e aprofundar as conclusoes anteriores. Apar disto, foram, tambem, debatidas as diferentes medidas determinadas paraos lados dos bissemis. Neste ambito, tornou-se consensual a consideracao detres medidas de valor inteiro (5 cm, 10 cm, 20 cm) e de uma medida de valoraproximado (11, 2 cm). Em virtude do aprofundamento e da abrangencia sub-jacentes a discussao da tarefa 1, as restantes tarefas foram corrigidas com maiorceleridade, nao se identificando constrangimentos.



4 Reflexao final

Tendo por base o objetivo subjacente a primeira intervencao, importa relevarque as oportunidades concedidas aos alunos para compararem a area de dife-rentes figuras se constituıram fundamentais, pois permitiram focar a atencaodos mesmos na compreensao do proprio atributo area. Segundo Van de Walle[11], “when students compare objects on the basis of some measurable attribute,that attribute becomes the focus of the activity.” (p. 312). Neste ambito, osbissemis revelaram-se um material potencial, que facilitou a compreensao e arepresentacao do conceito matematico area e que envolveu os alunos, nao so pornao o conhecerem, como tambem porque foi construıdo por eles e nao introdu-zido como algo ja feito.

Atendendo ao objetivo subjacente a segunda intervencao, interessa acentuarque as experiencias de aprendizagem pensadas para os alunos medirem direta-mente a area de puzzles por meio da repeticao de diferentes unidades de medidase constituıram essenciais, no sentido em que permitiram focar a atencao dosmesmos na compreensao do atributo area e, sobretudo, no proprio processode medicao deste atributo, ausente de procedimentos numericos rotineiros. Aopcao pela continuidade na utilizacao do material revelou-se, por um lado, estru-turante para os alunos e, por outro lado, permitiu acentuar as potencialidadesdo mesmo para o prosseguimento da exploracao do conteudo area, em particularna concretizacao da medicao direta da area.

Considerando o objetivo subjacente a terceira intervencao, e importante sali-entar que as atividades desenvolvidas pelos alunos, tendentes a distincao entreos conceitos de area e perımetro, constituıram-se importantes, no sentido emque permitiram responder a um erro amplamente documentado pela literaturae evidenciado por varios alunos da turma. Neste domınio, os bissemis, pelassuas caracterısticas (todos equivalentes e alguns com perımetro distinto), cons-tituıram-se um material importante para auxiliar as exploracoes dos alunos,possibilitando situacoes de aprendizagem ativas e com sucesso.

No final, realizou-se uma sistematizacao geral acerca de todo o trabalho desen-volvido com os bissemis, retomando, em interacao com a turma, as atividadesdesenvolvidas pelos alunos ao longo das tres aulas precedentes, bem como osprincipais conteudos explorados.

Na verdade, o material permitiu contornar as dificuldades experimentadas pelosalunos ao longo das aulas, facilitando a compreensao dos conteudos.

Referencias

[1] Battista, M. “The development of geometric and spatial thinking”, in F. K.Lester, Jr. (Ed.), Second Handbook of Research in Mathematics Teachingand Learning: a project of the national council of teachers of mathematics,2, 843-908, Charlotte, NC: Information Age Publishing, 2007.



[2] Ferreira, D., Sousa, F. “A Medida” in A. Gomes (Coord.), MAT 1C: de-safio a matematica, 133-142, Braga: Universidade do Minho - Instituto deEstudos da Crianca, 2007.

[3] Gerdes, P. Sobre o despertar do pensamento geometrico, Curitiba, PR: Edi-tora da Universidade Federal do Parana, 1991.

[4] Gerdes, P. Desenhos da Africa, Sao Paulo, SP: Editora Scipione, 1997.

[5] Gerdes, P. Jogo dos Bisos - Puzzles e divertimentos, Maputo, Mocambique:Editora Girafa, 2008.

[6] Gerdes, P. Jogo de bissemis - mais de cem puzzles, Morrisville, NC: LULU,2008.

[7] Ministerio da Educacao e Ciencia. Metas Curriculares de Matematica doEnsino Basico, Lisboa: Ministerio da Educacao e Ciencia, 2012.

[8] National Council of Teachers of Mathematics. Princıpios e Normas paraa Matematica Escolar, Lisboa: Associacao de Professores de Matematica,2007.

[9] Outhred, L., Mitchelmore, M. “Young Children’s Intuitive Understandingof Rectangular Area Measurement”, Journal for Research in MathematicsEducation, 31 (2), 144-167, 2000.

[10] Ralha, E., Gomes, A. “A Medida”, in P. Palhares (Coord.), Elementosde Matematica para Professores do Ensino Basico, 375-405, Lisboa: Lidel,2004.

[11] Van de Walle, J. Elementary and Middle School Mathematics: teachingdevelopmentally (3rd ed.), New York: Longman, 1998.


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