1

Segnali e Sistemi

• Un segnale è una qualsiasi grandezza che evolve nel tempo.

• Sono funzioni che hanno come dominio il tempo e codominio l’insieme di tutti i valori che può assumere la grandezza

• I sistemi trasformano uno o più segnali in ingresso in uno o più segnali in uscita.– Operatore che trasforma una funzione del

tempo in una funzione del tempo

2

Proprietà dei sistemi ed operatori

• Linearità:

• Invarianza temporale: (L’effetto non dipende dall’istante di aplicazione della causa)

• Causalità:

0tt <∀ 0tt <∀

3

Proprietà dei sistemi ed operatori

• Un sistema è causale se i segnali d’uscita precedenti a tO non dipendono dai valori assunti dopo tO

• I sistemi sono generalmente tempo varianti e non-lineari. La ipotesi di sistemi lineari e temporalmente invariabili è utilizzabile in prima approssimazione.

4

Circuiti Elettronici

• Una rete elettrica è un sistema costituito da componenti connessi– resistori, condensatori, induttori, generatori

tensione e corrente, diodi, transistori,…

• Un circuito con N nodi ed R rami con L generatori di corrente ed M generatori ditensione associa alle correnti e tensioni diingresso le tensioni di tutti i nodi e le correntidi tutti i rami

5

Bipoli

• I componenti circuitali si possono classificare in base al numero dei terminali

• I più semplici sono i BIPOLI• Lo stato di un bipolo è

caratterizzato da due grandezze: tensione e corrente

6

Versi coordinati di tensione e corrente

• I versi di tensione e corrente vanno scelti in modo che il prodotto sia pari alla potenza assorbita

7

Relazione costitutiva del bipolo

• relazione tra corrente che attraversa e tensione ai capi

• se la conoscenza di v consente di ricavare i

• La conoscenza di i consente di ricavare v

8

Relazione costitutiva

• In generale i bipoli definiscono sia Z che W– eccezione: generatori di corrente e

tensione

9

Proprietà del bipolo

• Le proprietà del bipolo dipendono dalle proprietà degli operatori Z e W– in particolare:

• linearità• invarianza temporale• causalità

10

Bipoli istantanei (senza memoria)

• corrente e tensione sono determinabili, univocamente, nel medesimo istante

– istantaneo: corrente e tensione dipendono solo dai valori al tempo t.

• La relazione tensione corrente è una funzione rappresentata in un piano (v,i)– Tale funzione è denominata caratteristica del del bipolo

• Sono causali e tempo invarianti• Lineari se:

11

Bipolo non istantaneo

• un bipolo non istantaneo è detto “con memoria” perché per determinare v o i al tempo tO occorre conoscere i valori neitempi precedenti.

• “sistemi dinamici”

12

Bipoli ideali:generatore ideale di Tensione

• relazione costitutiva– dove f non dipende da altre grandezze

elettriche del circuito

13

Generatori ideali di tensione

• Fisicamente non realizzabili

V1 V2

14

Bipoli ideali:generatore ideale di Corrente

• relazione costitutiva– dove f non dipende da altre grandezze

elettriche del circuito

15

Generatori ideali di Corrente

• Fisicamente non realizzabili

I1

I2

16

Resistore Ideale

• relazione costitutiva

• unità: Ω, Ohm• bipolo lineare, istantaneo,

tempo invariante

• potenza assorbita (eff. Joule):

i

v

Pendenza =1/RPassa per L’origine

17

Condensatore Ideale

• relazione costitutiva

• unità F: Farad ([F]=[Ω-1s])• bipolo lineare, tempo-invariante, con

memoria• V=cost. ⇒ I=0.

18

Condensatore Ideale

• elemento inerziale:– si oppone alle variazioni della tensione ai

suoi capi

I<Imax

La limitazione sulla massima corrente erogata limita la variazione della tensione nel tempo.

19

Condensatore Ideale

• può assorbire e cedere energia ma non dissipare.

• Energia immagazzinata:

20

Condensatore Ideale

• calcolo energia:

21

Condensatore Ideale

• calcolo energia:– considerando v=0 a t=tO

• a cui corrisponde E=0

• Densità volumetrica di energia

– condensatore piano

Campo elettrico

dεSC ⋅=

22

Induttanza Ideale

• relazione costitutiva

• unità H: Henry ([H]=[Ωs])• bipolo lineare, tempo-invariante, con memoria• I=cost. ⇒ V=0.

23

Induttanza Ideale

• elemento inerziale:– si oppone alle variazioni della corrente che

la attraversa

V<Vmax

La limitazione sulla massima tensione erogata limita la variazione della corrente.

24

Induttanza Ideale

• può assorbire e cedere energia ma non dissipare.

• Energia immagazzinata:

25

Induttanza Ideale

• calcolo energia:

26

Induttanza Ideale

• calcolo energia:– considerando i=0 a t=tO

• a cui corrisponde E=0

• Densità volumetrica dienergia– interna alle spire

27

Calcolo energia per volume

2L2

22

2

2

L

222

L

2

H21

VE

n2Hl

lVnE

nHliSlV

2i

lnS

2iLE

lnS

lni

iSn

iSHn

iL

lniH

SHnSBn

⋅µ=∂

∂⇒

⋅⋅⋅µ⋅=

⋅==⋅⋅µ==

⋅⋅µ=⋅⋅µ⋅=⋅⋅µ⋅=Φ=

⋅=

⋅⋅µ⋅=⋅⋅=Φ

;

28

Linearizzazione di bipoli istantanei

• Un generico bipolo istantaneo non-lineare puòessere linearizzato attorno ad un punto di lavoro (Vo,Io) → caso della tensione

iI)V(I

)I(II)V(I

)V(IV(I)v

)I(II)V(I

)V(IVV(I)V

00

00

00

0

∗∂

∂≈−∗

∂∂

≈−=

−∗∂

∂+≈⇒=

I)V(I

R 0

∂∂

=

29

Linearizzazione di bipoli istantanei

• Un generico bipolo istantaneo non-lineare puòessere linearizzato attorno ad un punto di lavoro (Vo,Io) → caso della corrente

vV)I(V

)V(VV)I(V

)I(VI(V)i

)V(VV)I(V

)I(VII(V)I

00

00

00

0

∗∂

∂≈−∗

∂∂

≈−=

−∗∂

∂+≈⇒=

I)V(I

R 0

∂∂

=

30

Generatori di tensione reali

• Circuito equivalenteVO: generatore ideale, R resistenza interna

+

=+

=

L

0L

L0

RR1

1VRR

RVv

31

Generatori di Corrente reali

• Circuito equivalenteIO: generatore ideale, R resistenza interna

( ) ( )

+−=

+−=

+⋅

−=

RR

1

1IRRRI

RRRRR

IiL

0L

0LL

L0

32

Resistore reale

• La relazione ideale (legge di Ohm) vale nei metalli fino a che l’effetto Joule non introduce deviazioni dalla linearità.

• Dipendenza di R dal materiale (ρ) e dalla geometria (L,s).

33

Resistore reale

• circuito equivalente

34

Condensatore Reale

• circuito equivalente

perdita del dielettrico

contatti

35

Induttore Reale

• Circuito Equivalente– R: resistenza del filo

36

Induttore reale

• calcolo del coefficiente di autoinduzione di un solenoide– induzione magnetica:

• n=numero spire, i=corrente, µ: permeabilità magnetica

• nel vuoto:

– fem indotta (legge di Faraday-Neumann)

niµB 00 ⋅⋅=

dt(B)dv(i) Φ−=

37

Induttanza reale

• calcolo coefficiente autoinduzione:

– esempio: r=1cm, l=5cm, n=100spire/cm

Φ B( )= L ⋅ i t( )Φ B( )= B ⋅ n ⋅ S = µ ⋅ i ⋅ n( )⋅ n ⋅ S = µ ⋅ n2 ⋅ S ⋅ i

L = µ⋅ n2 ⋅ S

n =δn ⋅ l ; S = 2π ⋅ r 2

L = µ⋅ δn2 ⋅ l 2 ⋅ 2π ⋅ r 2

38

Induzione Elettromagnetica

– In un circuito elettrico, ogni volta che varia il flusso magnetico concatenato, si manifesta un fem indotta

dtdviΦ−=

legge di Lenz: la fem indotta è tale da opporsi alla corrente che genera il flusso magnetico

39

Autoinduzione• ogni circuito elettrico, percorso da corrente,

determina un campo magnetico le cui linee di forza sono sempre concatenate col circuito stesso.

• Se la corrente varia nel tempo, varia nel tempo il flusso magnetico concatenato, quindi si genera un fem indotta.

• L: coefficiente di autoinduzione: induttanza Φ = L ⋅ i

40

fem di autoinduzione

dtdiL

dtdv

diLd

i −=Φ−=

⋅=Φ ;

vi

iRdtdiLvi ⋅+=

41

espressione di L• solenoide: avvolgimento su un nucleo di

permeabilità magnetica µ

Φ = B ⋅ S = µ ⋅ H ⋅ S;

H = I ⋅ nl

Φc = n ⋅Φ = µ ⋅ n2 ⋅ Sl

⋅ I

L = Φc

I= µ ⋅ n2 ⋅ S

l

l

S

n

42

circuito RC uscita su R

1

2

CRVo

Vu

VA VB1 2 1

1→2 2→1

VA

t

• Inerzia del condensatore: non cambia la v istantaneamente

Vu

t

Vu= VA- VC

Vo

Vo

-Vo

+ VC -

43

circuito RC uscita su R

1

2

CR

Vo

Vu

vu = R ⋅ i;

Vo = 1C

i ⋅dt +0

t

∫ R ⋅ i;

dVo

dt= 0 = 1

C⋅ i + R di

dt;

dii

= − 1RC

dt ⇒ ln iiO

= − tRC

;

⇒ i = iO ⋅e−

tRC ; iO = Vo

R

vu = R ⋅ i = R ⋅ Vo

R⋅ e

−t

RC

=Vo ⋅ e

−t

RC

• io corrente iniziale– il condensatore non potendo

cambiare istantaneamente carica (quindi V) all’inizio è come un corto circuito

44

Il condensatore blocca la componente DC

valor medio diverso da 0

valor medio uguale a da 0

VA

Vu

Vo

Vo

-Vo

t

t

45

circuito differenziatore

• nell’ipotesi in cui R e C siano piccoli:

dtdvCRv

dtdvCi

dtdiRi

C1

dtdv

iRdtiC1v

iRv

iu

i

i

t

0i

u

⋅⋅=

⋅=

+⋅=

⋅+⋅=

⋅=

∫

;

;

;

;

+Vi-

CR

+Vu-

46

1 2 1

1→2 2→1

V

t

• Inerzia del condensatore: non cambia la v istantaneamente

Vu

t

Vu= VA- VB

Vo

Vo

1

2

CVoVu

VB

VA

R

circuito RC uscita su C

+

V

-

47

circuito RC uscita su C

vu = vc = 1C

i ⋅ dt;0

t

∫

Vo = 1C

i ⋅dt +0

t

∫ R ⋅ i; dVo

dt= 0 = 1

C⋅ i + R di

dt;

dii

= − 1RC

dt ⇒ ln iiO

= − tRC

;

⇒ i = iO ⋅e−

tRC ; iO = Vo

R

vu = 1C

⋅ Vo

R⋅e

− tRC ⋅dt

0

t

∫ = Vo

RCRC 1− e

− tRC

=

vu =Vo ⋅ 1− e−

tRC

2

Vo Vu1

CVB

VA

R

48

circuito integratore• nell’ipotesi in cui R e C siano grandi:

∫

∫

∫

⋅=

=

+⋅=

⋅+⋅=

⋅=

t

0iu

i

i

t

0i

t

0u

dtvRC1v

Rv

i

dtdiRi

C1

dtdv

iRdtiC1v

dtiC1v

;

;

;

;

+Vi- C

R

+Vu-

49

Vo

circuito RL uscita su R

1

R Vu

L

vu = R ⋅ i;

Vo = L ⋅didt

+ R ⋅ i ⇒ i =Vo

R−

Vo

R⋅ e

− RL

t

vu = R ⋅Vo

R⋅ 1 −e

− RL

t

=Vo ⋅ 1− e

− RL

t

1 2 1

1→2 2→1

VA

t

Vu

t

Vo

Vo