PROPRITS PHYSIQUES, MCANIQUES, ETLECTRONIQUES DES MATRIAUX SOLIDESRoland FORTUNIERCentre Micro-lectronique de ProvenceDpartement Packaging et Supports SouplesAvenue des anmones13541 - GARDANNEquipe enseignante 2005-2006 :Frdric BAROU, Guillaume BATTAIA, Sbastien BOISSIERE,Stphanie DECLAIR, Mourad LAKHSSASSI, Claire MAURICE,Jacques MOUTTE, Amed RAIHANE, Franois VALDIVIESO,Sbastien VILLERT, Krzysztof WOLSKIversion 3.0 du 30 Novembre 20052Table des matiresIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11PREMIRE PARTIE. LLECTRON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Chapitre 1. Description physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1. Description dune onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.1. Onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2. Paquet donde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.3. Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.4. Relation dincertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2. Description dune particule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.1. Fonction donde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.2. Onde de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3. Principe de superposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Chapitre 2. quations de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1. quation de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.1. Mise en place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2. tats stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3. Cas limite de la mcanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Particule dans un puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1. Description et rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.3. Particule dans une bote. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3. Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.1. Description et rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Chapitre 3. Grandeurs physiques, mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1. Oprateurs ou Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.1. Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4456 P2MEMS3.2. Moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.1. Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.2. Valeurs propres et fonctions propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3. Premire description des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.1. quation de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.2. Moment cintique intrinsque - spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.3. Classication des lments chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Chapitre 4. tudes de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1. Le paquet donde gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. Le rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3. Le modle de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4. Particule dans une bote 1D innie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5. Le microscope effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5.1. La marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5.2. La barrire de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5.3. Le microscope STM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6. Spectroscopie de la molcule HCl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6.1. Rgles de slection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6.2. Populations des niveaux dnergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.7. Le laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.7.1. Le laser deux niveaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7.2. Le laser trois niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.7.3. Questions complmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66DEUXIME PARTIE. LE SOLIDE CRISTALLIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Chapitre 5. Rseau cristallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1. Classication des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.1.1. Rseau de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.1.2. Motif, ranges, plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.1.3. Allotropie, structures non cristallines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2. Structures cristallines usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.1. Chlorure de sodium et chlorure de csium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.2. Structure cubique faces centres (cfc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.3. Structure cubique centre (cc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2.4. Structure hexagonale compacte (hc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2.5. Structure diamant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Chapitre 6. Interaction onde-rseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1. Modlisation de linteraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.1.1. Loi de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.1.2. Rseau rciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.1.3. Loi de Bragg gnralise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2. Effets de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2.1. Zones de Brillouin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2.2. Facteur de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Table des matires 7Chapitre 7. Liaisons cristallines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.1. Diffrents types de liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.1.1. Liaison atomique ou de Van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.1.2. Liaison ionique ou htropolaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.1.3. Liaison covalente ou homopolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.1.4. Liaison mtallique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.1.5. Autres liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.2. Phonons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2.1. Vibration des rseaux monoatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2.2. Vibration de rseaux diatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2.3. Densit de modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.2.4. Capacit calorique dun cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2.4.1.Modle dEinstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.2.4.2.Modle de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Chapitre 8. Dfauts dans les cristaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.1. Dfauts ponctuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.1.1. Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.1.2. Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2. Dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.2.1. Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.2.2. Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Chapitre 9. tudes de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1. Le carbone sous toutes ses formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1.1. Graphite et Diamant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.1.2. Le fullerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.1.3. Les nanotubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2. Le rseau rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.2.1. Ranges cristallines et plans rticulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.2.2. Microscopie lectronique en transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.3. Le module dYoung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.3.1. Module et potentiel dinteraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.3.2. rigidit dune poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.4. Diffraction des rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.4.1. Nombre et nature des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.4.2. Etude de la phase Pb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.4.3. Facteur de structure du silicium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.5. Limite dlasticit des cristaux mtalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.5.1. Glissement simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.5.2. Glissement double. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132TROISIME PARTIE. LES LECTRONS DANS UN SOLIDE . . . . . . . . . . . . . . 135Chapitre 10. Modle de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.1.Description du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378 P2MEMS10.1.1.Le gaz dlectrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.1.2.Les collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13910.2.Quelques proprits physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.2.1.Conductivit lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.2.2.Conductivit thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14210.2.3.Interaction avec un rayonnement lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . 143Chapitre 11. Modle de Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14711.1.Description du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14711.1.1.Approximation des lectrons libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14711.1.2.Distribution de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15011.2.Quelques proprits physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15211.2.1.Capacit calorique des lectrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15211.2.2.Conductibilit lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.2.3.Loi de Wiedemann-Franz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711.2.4.Surfaces libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Chapitre 12. Bandes dnergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.1.Description du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.1.1.lectron dans Potentiel priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.1.2.Apparition de bandes interdites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16512.1.3.Approximation de Krnig-Penney. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16712.2.Quelques proprits physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17112.2.1.Surface de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17112.2.2.Classication des matriaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Chapitre 13. Cristaux semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.1.Reprsentation nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.1.1.Densit dtats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.1.2.Occupation des niveaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18113.2.Proprits de conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18413.2.1.Semi-conducteur intrinsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18413.2.2.Semi-conducteur extrinsque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18613.2.2.1.Semi-conducteurs de type n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18613.2.2.2.Semi-conducteurs de type p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18713.2.2.3.Position du niveau de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Chapitre 14. tudes de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19114.1.Leffet thermo-lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19114.1.1.Le pouvoir thermo-lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19114.1.2.Leffet Seebeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19314.2.Capteurs effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19414.2.1.Caractrisation de semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19414.2.2.Capteurs de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19614.3.Conductivit lectrique et temprature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19614.4.Jonction PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Table des matires 914.4.1.Modle de la jonction abrupte lquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19814.4.2.Polarisation de la jonction abrupte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19914.4.3.Le transistor bipolaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20014.5.Plaquettes de lithium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203A. Tableau des constantes utilises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20710IntroductionLa complexit du monde ne saborde pas uniquement en utilisant des outils, aussi sophistiqussoient-ils. Elle ne saborde pas non plus en construisant les couches successives dun dice scien-tique unique. Elle doit saborder aujourdhui avec une grande ouverture desprit, et une insatiablecuriosit, qui mettront prot vos capacits dabstraction actuelles et futures. Lobjectif de ce coursnest donc pas de vous donner une liste de matriaux, avec leurs principales proprits, mais plu-tt de vous expliquer comment ils sont structurs, do viennent ces proprits, et les principauxmodles qui servent les reprsenter et les prvoir.Lapremirepartieestunebrveintroductionunoutilmajeurdelaphysiquemoderne:lamcanique quantique. Nous nous contentons des bases physiques de cet outil, souvent rassemblessous le nom de mcanique ondulatoire. Ces bases physiques illustrent bien louverture desprit dontdoit faire preuve un scientique en gnral, et un ingnieur en particulier. En effet, pour les mettreen place, il a fallu se sortir du contexte habituel de description dune particule par une position, unevitesse et une nergie, pour aboutir une approche probabiliste dans laquelle la particule devientcomparable une onde lectromagntique.Dans la seconde partie, nous dcrivons les principaux solides qui nous entourent comme des ar-rangements priodiques datomes. Cette partie se situe donc volontairement une chelle beaucoupplus macroscopique que la prcdente. On y voit cependant vite que la cohsion des solides est direc-tement fonction des nergies de liaison entre les atomes qui les constituent, et donc de leur structurelectronique. On se rend alors compte que les lectrons jouent un rle fondamental dans les diff-rentes proprits des solides qui nous entourent, proprits aussi bien mcaniques qulectriques,optiques, thermiques, . . .Dans la troisime partie, les principaux modles de description des lectrons dans un solide sontdonns, du plus rustique (gaz dlectrons libres) au plus sophistiqu (bandes dnergie). Chaquemodle est utilis pour dcrire certaines proprits des solides cristallins. Nous voyons que le modlele plus sophistiqu nest pas toujours ncessaire. Ceci illustre le fait que modliser nest rien dautreque simplier. Toutefois, nous voyons que le simple classement des matriaux comme mtaux ouisolants ncessite un modle sophistiqu. Cette partie se termine par une introduction la physiquedes semi-conducteurs, qui est une parfaite illustration des proprits vues auparavant.Ce survol de la physique applique aux matriaux solides poursuit deux objectifs principaux. Ilse veut dune part une formation terminale destine ceux qui nen entendront plus jamais parler, et1112 P2MEMSdautre part une formation ouverte destine ceux qui dsirent poursuivre dans un domaine connexetel que la micro-lectronique, la science des matriaux, la mcanique, le gnie des procds, lner-gtique, . . . Pour cela, le contenu de ce document est illustr la n de chaque partie par une sriedexercices donnant soit un clairage nouveau sur certains points du cours (rayonnement du corpsnoir, particule dans une bote 1D, module dYoung, rseau rciproque, . . . ), soit des applicationsconcrtes des notions abordes (microscopie effet tunnel, LASER, jonction PN, . . . ).PREMIRE PARTIELLECTRON1314Chapitre 1Description physiqueComment doit-on dcrire physiquement un lectron ? Il nous vient naturellement lesprit quunlectron est une particule de masse m = 9, 10953.1031kg et de charge e = 1, 60219.1019C.Toutefois, certaines expriences faites dans les annes 1920 montrent que ces particules ont un ca-ractre ondulatoire. Par exemple, Davisson et Germer ont mis en vidence la diffraction des lectronspar un rseau cristallin. La gure gomtrique obtenue est alors identique celle produite par desrayons X.Dans ce chapitre, nous donnons les outils de base de description des lectrons. Ces outils reposenten fait sur ceux servant dcrire les ondes. Nous abordons donc dans un premier temps la descriptiondune onde, avant dcrire les postulats de description des lectrons dans un cadre quantique.1.1. Description dune onde1.1.1. Onde planeLonde plane est la schmatisation la plus simple dune onde. La description dune onde plane sefait sous la forme de la fonction suivante :(r , t) = aei( k . r t)(1.1)Dans cette expression, des quantits importantes sont introduites :kest le vecteur donde (en m1),r est le vecteur position (en m), est la pulsation (en s1ou Hertz), t est le temps (en s), a est lamplitude donde (si dsigne le nombre complexe conjugu de , alors a2= ).1516 P2MEMSOn constate sur lquation 1.1 que, si t est modi en t +t etr enr+r , alors la fonction ne sera pas modie si r =(/|k |)tn , o nest le vecteur unitaire de la direction k ,cest--dire n= k /|k |. On en dduit que londe plane dcrite par la fonction 1.1 se propage la vitesse /|k | dans la direction du vecteur dondek . Dans le vide, les ondes se propagent lavitesse de la lumire c. On a donc = |k |c.Les ondes sont souvent classes par longueur donde ou par frquence . La longueur dondecorrespond la priodicit de la fonction 1.1 dans sa direction de propagation, tandis que sa fr-quence est linverse de sa priode, cest--dire de sa priodicit en temps. On constate facilementsur lquation 1.1 que = 2/|k | et = /2.1.1.2. Paquet dondeLes ondes planes, vecteur donde x, ne sont quune vue de lesprit, et ne sont pas rali-sables en pratique. En effet, elles ne sont pas localises puisque leur amplitude a est constante (ellesoccupent tout lespace), de sorte que lnergie ncessaire leur mise en place est innie.En fait, une onde relle peut tre considre comme une superposition continue dondes planes,chacune vecteur donde x. Cette superposition, appele paquet donde, peut tre dcrite par unetransforme de Fourier applique une distribution (k , t) de vecteurs donde :(r , t) =1(2)3/2

(k , t)ei( k . r t)dk (1.2)En utilisant la transforme de Fourier inverse, on peut maintenant crire la distribution (k , t)du vecteur donde en fonction de la distribution (r , t) du vecteur position :(k , t) =1(2)3/2

(r , t)ei( k . r t)dr (1.3)Dans les quations 1.2 et 1.3, le coefcient 1/(2)3/2est introduit pour des questions de norma-lisation, et les quantits dket dr scrivent dans un repre cartsien (0, x, y, z) :dk= dkxdkydkzdr = dxdydzUn paquet donde est donc caractris par une distribution (k , t), ou de faon quivalente parune distribution(r , t) puisque les quations 1.2 et 1.3 permettent de passer indiffremment delune lautre.Il est important de constater maintenant que, si 1et 2sont deux distributions de position,avec comme transformes de Fourier associes 1 et 2 respectivement, alors cette transformationDescription physique 17conserve le produit scalaire suivant :(1, 2) =

1(r , t)2(r , t)dr=1(2)3/2

1(r , t)2(k , t)ei( k . r t)dk

dr=1(2)3/2

2(k , t)

1(r , t)ei( k . r t)

dr

dk=

2( k , t)1(k , t)dk= (1, 2)Cette relation est appele relation de Parseval-Plancherel. Elle stipule que la transformation deFourier est isomtrique, cest--dire conserve la mtrique associe ce produit scalaire. En parti-culier, la norme associe cette mtrique est conserve. On a donc pour deux distributions et transformes lune de lautre :A =

[[2dr =

[[2dk1.1.3. Vitesse de groupeFigure 1.1. distributions damplitude dun paquet dondeNous verrons par la suite que les distributions damplitudes en position [[2et en vecteur donde[[2jouent un rle important. La gure 1.1 donne une volution typique de ces distributions, centressur une positionr0 et sur un vecteur dondek0 respectivement. De telles distributions constituent lepaquet donde. Il est maintenant intressant de voir comment volue le paquet donde au cours dutemps. Pour cela, on effectue un dveloppement au premier ordre de la pulsation autour dek0, cequi donne :(k ) = (k0) +k

k =k0.(k k0) = 0 +v .(k k0)18 P2MEMSEn incorporant maintenant ce dveloppement dans lexpression 1.2, on peut crire la fonctiondonde (r , t) sous la forme dune amplitude a(r , t) et dune onde porteuse de vecteur dondek0et de pulsation 0 :(r , t) = a(r , t)ei(k0. r 0t)a(r , t) =1(2)3/2

(k , t)ei( k k0).( r v t)dkLa distribution damplitude en position du paquet donde, [[2, est donc donne par le carr dumodule de lamplitude, [a[2. Or, on constate que cette amplitude vrie la relation :a(r , t) = a(r v t, 0)La distribution damplitude du paquet donde se dplace donc la vitessev . Cette vitesse estappele vitesse de groupe du paquet donde (voir gure 1.2).Figure 1.2. vitesse de groupe : volution de la distribution damplitude enposition dun paquet donde1.1.4. Relation dincertitudePour simplier, nous nous plaons dans un cas monodimensionnel. Nous notons ensuite r et k lesvaleurs de position et de vecteur donde dans cette direction, et nous considrons un paquet dondedont les distributions damplitude [[2et [[2sont centres sur des valeurs moyennes r0 et k0. Cesvaleurs, ainsi que lcart quadratique de ces distributions, sont alors donnes sous la forme suivante :k0 =< k >=

k[[2dk

[[2dk=1A

k[[2dkr0 =< r >=

r[[2dr

[[2dr=1A

r[[2drDescription physique 19(k)2=1A

(k k0)2[[2dk =< k2> < k >2(r)2=1A

(r r0)2[[2dr =< r2> < r >2Nous considrons ensuite lintgrale suivante, o est un scalaire rel quelconque etf(k)=eir0k(k) :I =

(k k0)f(k) +dfdk

2dkCette intgrale est positive ou nulle quelle que soit la valeur de . Dautre part, elle peut scrirede la faon suivante :I =

(k k0)2[f[2dk +

(k k0)

f dfdk +dfdkf

dk +2

dfdk

2dkIl est important maintenant de remarquer que : lamplitude de f est identique celle de : [f[2= [[2, la transforme de Fourier de f est la fonction g(r) = (r +r0), la transforme de Fourier de df/dk est la fonction irg(r), soit la fonction ir(r +r0).Partant de ces remarques, on constate que le premier terme de lintgraleIest proportionnelau carr de lcart quadratique en vecteur donde, (k)2. Ensuite, en utilisant le fait que le carr dumodule de la fonction f, intgrable, doit tre nul linni, le second terme peut sintgrer par partiessous la forme :

(k k0)

f dfdk +dfdkf

dk =

(k k0)d[f[2dkdk=

(k k0)[f[2

[f[2dk= 0 AEnn, le dernier terme peut tre transform en utilisant la transforme de Fourier dedf/dk etcelle de f sous la forme :

dfdk

2dk =

r2[(r +r0)[2dr =

(r r0)2[[2dr = A(r)2On en dduit nalement que lintgrale I, positive ou nulle quel que soit, peut scrireI =A((k)2 + 2(r)2). Le discriminant de cette forme quadratique en doit donc tre ngatifou nul, soit 1 4(k)2(r)20. On obtient ainsi une ingalit fondamentale liant les cartsquadratiques en position et en vecteur donde :kr 12(1.4)20 P2MEMSCette relation est appele relation dincertitude. Il convient de bien noter ici quelle se dduitdirectement des proprits de la transformation de Fourier. Cette relation signie que, si une ondeest fortement localise (r faible), alors elle sera forcment polychromatique (k grand). Inverse-ment, une onde monochromatique (peu de dispersion sur le vecteur donde) sera forcment trs peulocalise (grande dispersion sur la position). La gure 1.3 donne un aperu de la grande diversit desondes que nous ctoyons quotidiennement (lumire visible, ondes radio, ...).Figure 1.3. exemples dondes1.2. Description dune particule1.2.1. Fonction dondeNous posons le principe selon lequel la description dune particule un instant t se fait au moyendune fonction donde complexe(r , t) dont linterprtation physique est que la probabilit detrouver la particule linstant t dans un volume dr entourant le pointr est :dP= [(r , t)[2dr (1.5)Cette fonction donde doit donc tre normalise, puisque sa distribution damplitude doit corres-pondre une densit de probabilits. La probabilit de trouver la particule dans tout lespace doittre gale 1, soit :

[(r , t)[2dr = 1Description physique 21Cette description probabiliste a le sens suivant. Supposons que nous prparions indpendammentun nombre trs grand,N, de particules dans le mme tat, cest--dire dcrites par strictement lamme fonction donde. Lors de la mesure de la position de ces particules, on obtient des valeursrn,n = 1, . . . , N, qui ne seront pas toutes identiques (mme la prcision de mesure prs), mais quiseront distribues suivant la loi de probabilit 1.5. La valeur moyenne de ces rsultats est la valeurmoyenne de la position de la particule. Elle est note< r > et a comme composantes, et . Par exemple la valeur moyenne de la position de la particule dans la direction xest :< x >=

x[(r , t)[2dxLa dispersion des rsultats de mesure sera caractrise par un cart-type, que lon appellera cartquadratiquemoyensurla positionde laparticule.On alhabitude deconsidrer sparmentlescarts selon les trois coordonnes de lespace, x, y et z. On aura par exemple pour la directionx :x =

(x < x >)2[(r , t)[2dx =< x2> < x >2Plus les carts quadratiques moyens seront faibles (par rapport aux grandeurs caractristiquesdu problme, comme par exemple la prcision de lappareil de mesure), plus la particule sera bienlocalise.1.2.2. Onde de de BroglieDun point de vue macroscopique, une particule de masse m peut tre caractrise par une quan-tit de mouvementp et une nergie c=p2/2m = p .p /2m. Nous posons ici le postulat de deBroglie, selon lequel cette particule on peut associe une onde plane caractrise par : un vecteur dondektel quep= hk , une pulsation telle que c = h.LaconstantedePlanckh(ouh)ainsi introduiteest unevaleurfondamentalequi donnelafrontire entre une description quantique et une description macroscopique de la particule. Cetteconstante vaut :h = 6, 6262.1034Js , ou h =h2= 1, 05459.1034JsLa constante de Planck est homogne une nergie fois un temps, cest--dire en mcanique une action. Cest pour cela quelle est parfois appele quantumdaction. La fonction donde associe une onde de de Broglie, cest--dire une particule libre dimpulsionpet dnergie c, est doncdonne sous la forme :(r , t) = aei h( p . r Et)avec c =p .p2m22 P2MEMSOn constate que cette expression correspond une onde plane, et na donc pas de ralit phy-sique. En effet, si limpulsion de la particule est xe, alors cette particule ne peut tre localisedans lespace (voir paragraphe prcdent). En fait, limpulsion de la particule, ou dun ensemble departicules, ne peut valoirpqu une certaine approximation prs. Il faut donc introduire un nouveauprincipe pour pouvoir dcrire physiquement une particule en tant quobjet quantique.1.2.3. Principe de superpositionNous posons le principe de superposition des fonctions donde, selon lequel toute superpositionlinaire de fonction donde est une fonction donde possible. Il en rsulte que la description physiquedune particule sera ralise par une expression de fonction donde (r , t) analogue celle utilisepour dcrire un paquet donde (quation 1.2) :(r , t) =1h3/2

(p , t)ei h( p . r Et)dp (1.6)Cettefonctiondcritunedistributionenpositiondelaparticule.Commepourlesondes,onassocie cette distribution en position une distribution en impulsion par la transforme de Fourier(quation 1.3) :(p , t) =1h3/2

(r , t)ei h( p . r Et)dr (1.7)La constante de Planck a t introduite comme facteur multiplicatif ces quations par soucis denormalisation. Il est maintenant possible de reprendre les proprits de la transforme de Fourier, etde les appliquer au cas des particules quantiques.Lisomtrie de la transforme de Fourier (conservation de la mtrique) nous conduit dire que,si nous dnissons une distribution damplitude de position [[2correspondant une densit deprobabilit, cest--dire normalise par 1, alors la distribution damplitude dimpulsion [[2sera elleaussi normalise par 1, et correspondra une distribution de probabilit.La gure 1.4 donne une volution typique des distributions damplitude en position et en im-pulsion dune particule. Ces deux distributions sont des densits de probabilit, de sorte que lona :

[[2dr =

[[2dp= 1La relation dincertitude due la transforme de Fourier conduit ici afrmer que, plus la parti-cule sera localise, cest--dire aura une distribution damplitude de position concentre au voisinagede sa moyenner0, plus son impulsion sera tale autour de sa valeur moyennep0. Inversement, uneparticule avec une impulsion connue assez prcisment sera forcment mal localise.En reprenant lquation 1.4, et en ladaptant simplement en remplaant le facteur multiplicatif2 (quations 1.2 et 1.3) par h = 2h (quations 1.6 et 1.7), on peut crire la relation suivante dansDescription physique 23Figure 1.4. distribution damplitude en position et en impulsion duneparticulechaque direction de lespace, en notant r la position et p limpulsion :pr h2(1.8)Cette ingalit est connue sous la nom de relation dincertitude de Heisenberg. Elle est valablequelle que soit la fonction donde, et donc la particule considre. En particulier, cette ingalit narien voir avec les instruments de mesure utiliss, ni avec leur prcision. Elle donne la limite aveclaquelle une particule peut tre localise la fois en impulsion et en position.En fait, dans une description classique de particule, cette relation na souvent pas lieu dtreutilise car la limite est plutt donne par la prcision des instruments de mesure. En effet, la valeurde la constante h est sufsamment faible pour que les ordres de grandeur mis en jeu soient dansce cas beaucoup plus grands. Lors dobservations macroscopiques, on peut mesurer la position etlimpulsion dune particule de faon extrmement prcise, tout en satisfaisant la relation 1.8.En pratique, on utilise plutt lingalit 1.8 sous la forme dun ordre de grandeur. Dans chaquedirectionx, yetz, le produit des carts quadratiques moyens en position et en impulsion est delordre de grandeur de la constante h :xpx hypy hzpz hEnn, si on reprend la dnition de la vitesse de groupe dun paquet donde, et quon ladapte une particule de massem sufsamment bien localise autour de r0et avec une impulsion biencentre surp0, alors la vitesse de groupe du paquet donde correspondant fournit bien lexpressionclassique de la vitesse dune particule :v =cp

p =p0= p . p2mp

p =p0=p0m24Chapitre 2quations de mouvementNous savons maintenant que la description dobjets quantiques tels que les lectrons, objets quenous qualions en gnral de particules, se fait sous la forme dun paquet donde. Ce paquet dondeest dni laide dune fonction donde (r , t), et de sa transforme de Fourier (p , t), fournis-sant une distribution de positions r , [[2, et dimpulsions p , [[2, correspondant chacune unedensit de probabilit. Maintenant, nous pouvons tudier le mouvement de telles particules, lors-quelles sont soumises ou non des forces extrieures.Nous allons commencer par mettre en place les fameuses quations de Schrdinger pour dcrirele mouvement dune particule dans un cadre quantique, puis montrer que ces quations se ramnent la limite la mcanique classique. Ensuite, nous allons appliquer ces quations quelques casparticuliers, et mettre en vidence quelques proprits fondamentales de llectron grce ce forma-lisme.2.1. quation de Schrdinger2.1.1. Mise en placePour mettre en place lquation de Schrdinger, nous allons partir dune onde plane de de Brogliede la forme suivante :(r , t) = aei hSavec S =p .r ctDans cette quation, a (amplitude de londe) est un paramtre rel, de mme que le termeScorrespondant laction dune particule. Cette action sexprime en fonction de limpulsion p etde lnergie cde la particule. Lorsquune particule de masse m est soumise un potentiel V , sonnergie totale scrit sous la forme :c =p .p2m+V=p22m +V2526 P2MEMSOn peut maintenant calculer la variation de la fonction donde au cours du temps, ainsi queson laplacien. Sa variation au cours du temps sobtient directement sous la forme :t= ichLes deux quations prcdentes permettent dcrire :iht= c =p22m +V Pour obtenir le laplacien, on commence par calculer le gradient, puis on en prend la divergence.Cela donne : = div(grad()) = div(iph) = iph.grad() = p2h2En incorporant nalement cette quation dans lquation prcdente, on obtient la relation sui-vante :h22m(r , t) +V (r )(r , t) = iht (r , t) (2.1)Schrdinger a postul que cette quation tait lquation gnrale dont la solution est la fonctiondonde associe une particule soumise un potentiel V . Elle est appele quation de Schrdinger.On peut remarquer que cette quation est linaire en, de sorte que sa solution gnrale est unesuperposition continue dondes planes : un paquet donde.2.1.2. tats stationnairesPour rechercher les tats stationnaires solutions de lquation de Schrdinger, on regarde silexiste des solutions de lquation 2.1 variables spares, soit de la forme (r )(t). En incorporantde telles fonctions dans lquation de Schrdinger, on obtient :h22m +V = ihddtEn divisant maintenant les deux membres de lquation par , on obtient :h22m1 +V= ih 1ddtSi le potentiel Vest indpendant du temps, alors lquation prcdente fournit une galit entreun terme uniquement fonction der (celui de gauche) et un terme uniquement fonction de t (celuide droite). Cette galit nest possible que si chaque membre est une constante indpendante derquations de mouvement 27et de t. crivant que cette constante est lnergie totale du systme, c, on peut aisment intgrer leterme de droite pour obtenir (C est une constante) :(t) = Cei hEtQuant au terme de gauche, on peut maintenant lcrire en multipliant par sous la forme :h22m(r ) +V (r )(r ) = c(r ) (2.2)Cette quation est appele quation de Schrdinger indpendante du temps. En effet, la rso-lution de cette quation permet dcrire la solution sous la forme C(r )ei hEt. Cette solution estbien stationnaire, puisquelle fournit une densit de probabilit de prsence [C(r )[2indpendantedu temps.Il convient de remarquer ici que le terme de gauche de lquation 2.2 est lhamiltonien du sys-tme. Nous verrons par la suite que cette quation nadmet de solution non triviale (par exemplenon nulle) que pour certaines valeurs de lnergie c, et ceci en fonction des conditions aux limiteset des conditions de continuit imposes la fonction donde recherche. Les diffrentes valeursde lnergie, cn, pour lesquelles cette quation a une solution particulire, n, forment un spectreen nergie. Lorsque ce spectre est constitu de valeurs discrtes, on dit que lon a quantication delnergie.Notons enn que le principe de superposition nous conduit pouvoir crire une solution sousla forme dune fonction donde rsultant de la contribution possible de chaque fonction particuliren dnergie cn :(r , t) =Nn=1nn(r )ei hEntCe type de solution nest pas forcment stationnaire. En effet, elle ne fournit pas obligatoirementune probabilit de prsence [[2indpendante du temps t.2.1.3. Cas limite de la mcanique classiqueIl est intressant ce stade de faire le lien entre lapproche prsente et la description mcaniqueclassique dune particule. Pour cela, on part nouveau de la fonction donde associe une ondeplane de de Broglie, mais sans expliciter le terme daction S, et en considrant a comme une fonctionde lespace et du temps :(r , t) = a(r , t)ei hS( r ,t)Partant de cette expression, on peut calculer les diffrents termes de lquation de Schrdinger.Ces termes mettent en jeu le laplacien de la fonction donde, et sa drive partielle par rapport autemps. Ces quantits scrivent :t=

1aat+ihSt

28 P2MEMS = div(grad())= div(

grad(a) +i hagrad(S)

ei hS)=div(grad(a)) +i hadiv(grad(S)) +i hgrad(a).grad(S)+ i hgrad(S).

grad(a) +i hagrad(S)

ei hS=

1aa +i hS + 2ia hgrad(a).grad(S) 1 h2grad(S).grad(S)

En remplaant maintenant dans lquation de Schrdinger 2.1 le laplacien et la drive par rap-port au temps de la fonction donde par ces expressions, et en divisant le tout par ei hS, on obtient :

St+12mgrad(S).grad(S) +V h22maa

ih

at+a2mS +1mgrad(S).grad(a)

= 0Pour annuler cette quantit, il faut annuler sa partie relle (premier terme entre parenthses) etsa partie imaginaire (second terme entre parenthses). Ceci fournit deux quations relles, dont lapremire met en jeu un terme en h2. Dans une approche classique (non quantique), ce terme seranglig devant les autres. On peut dailleurs remarquer ici quil napparat pas de terme en h, ce quisignie que lapproche classique est encore valable au premier ordre. Finalement, les deux quationsrelles que lon obtient peuvent scrire de la faon suivante :St+12mgrad(S).grad(S) +V= 0 (2.3)a2t+div(a2grad(S)m) = 0 (2.4)La premire de ces deux quations, lquation 2.3, nest autre que lquation classique dHamilton-Jacobi pour laction S de la particule. Cette quation permet par exemple de retrouver lexpressionde laction S sous la forme S = p .r ct. En effet, si lon postule que le gradient de laction estlimpulsion,grad(S) =p , alors cette quation nous donneSt+c = 0, avec c =p22m +V .La seconde de ces deux quations porte sur a2, qui nest autre que la densit de probabilit deprsence de la particule. En reprenantgrad(S) = p , on trouve que cette quation nest autre quelquation de continuit, qui montre que la densit de probabilit de prsence se dplace suivant leslois de la mcanique classique, avec une vitessev =p /m en chaque point.2.2. Particule dans un puits de potentiel2.2.1. Description et rsolutionNous considrons une particule de masse m en mouvement dans une direction x, avec une ner-gie c, et rencontrant un puits de potentiel carr V (x), de largeur a (gure 2.1).quations de mouvement 29Figure 2.1. puits de potentiel carrOn recherche la fonction donde stationnaire(x) qui satisfait lquation de Schrdinger 2.2.On peut crire cette quation de la faon suivante :

+ 2mh2 c = 0 pour 0 x a

+ 2mh2 (c V0) = 0 pour x 0 ou x aLes solutions vont dpendre de lnergie c de la particule. Nous nous limitons ici au cas o cettenergie est infrieure au potentiel V0. On en dduit que : lintrieur du puits, la solution est du type :(x) = A1eix+A2eixavec =2mch lextrieur du puits, la solution est de la forme :(x) = B1ex+B2exavec =

2m(V0c)hLes constantesA1, A2, B1et B2sont obtenues en crivant les conditions aux limites et desconditions de continuit : pour x et x +, la fonction donde doit sannuler pour tre intgrable, ce quidonne :(x) = B1expour x 0(x) = B2expour x a enx=0, la fonction donde doit tre continue, ainsi que sa drive premire

. On endduit que, lintrieur du puits, on a : = B1(cos(x) + (/)sin(x)) pour 0 x a en x =a, la fonction donde doit tre continue, ainsi que sa drive premire

. La conti-nuit de donne une relation entre les constantes B2 et B1 de la forme :B2 = B1ea((cos(x) + (/)sin(x))30 P2MEMSLa condition sur la drive premire conduit enn lquation suivante :B1(2cos(a) 22sin(a)) = 0Il est vident que B1 = 0 permet de satisfaire toutes les conditions prcdentes. Mais ceci donneune fonction donde identiquement nulle=0. Pour obtenir des solutions non triviales, cest--dire non nulles, il faut que la dernire condition soit satisfaite en annulant le terme entre parenthses.Ceci donne la relation suivante :tan(a) =2/1 (/)2, soit

tan(a/2) = /outan(a/2 /2) = /Il est intressant maintenant dutiliser les notations suivantes : = a/2 =2mca2 h 0 = a/2 =

2m(V0c)a2h 0En remarquant maintenant que 2+ 2= 2mV0a2/h2= K2, o K est une constante xe parla taille du puits (a et V0) et la masse de la particule, on peut crire les conditions prcdentes sousla forme de relations entre et :2+2= K2et

tan() = outan( /2) = Ces relations peuvent facilement tre reprsentes graphiquement. La gure 2.2 montre que lessolutions prennent des valeurs discrtes en , n (avec n = 1, . . . , N), correspondant chacune unevaleur discrte en nergie cn :cn = 2h22nma2On dit que le spectre en nergie est dgnr. Le nombre Nde valeurs discrtes dpend de K,et donc en particulier de la valeur du potentiel V0. Pour V0 trs faible (K proche de 0), il ny auraquune valeur (N= 1). Pour V0 lev, le nombre Npeut lui aussi devenir assez lev. A chacunede ces valeurs (n, n), et donc cn, correspond une fonction donde n :n(x, t) =

B1e2nxaei hEntpour x 0B1

cos(2nxa) +nnsin(2nxa)

ei hEntpour 0 x aB1

cos(2n) +nnsin(2)

e2n(xa1)ei hEntpour x aquations de mouvement 31Figure 2.2. solutions stationnaires non nulles de lquation de Schrdinger(K= 5)Lemoduleaucarrdecettefonctiondondedonneladensitdeprobabilitdeprsencedellectron le long de laxe x (La constante B1 est calcule en appliquant la condition de normalisation 1 de cette densit) :[n[2=

B21e4nx/apour x 0B21

cos(2nxa) +nnsin(2nxa)

2pour 0 x aB21

cos(2nxa) +nnsin(2n)

2e4n(xa1)pour x a2.2.2. ExemplesConsidrons maintenant par exemple le cas dune particule dans un puits de potentiel de largeur1(soit1010m)etdehauteur379lectron-Volts(soitenviron6.1017J). Cesvaleurssontdebons ordres de grandeurs pour un lectron priphrique sur un noyau. On obtient alors une valeurdenviron 5J.s pour la constante K, et les quatre solutions obtenues sont listes dans le tableau 2.1.Les gures 2.3 et 2.4 donnent respectivement, dans ce cas, les fonctions donde et les densitsde probabilit correspondant aux quatre niveaux dnergie pour lesquels lquation de Schrdingerfournit une solution non nulle (tableau 2.1). On remarque sur la gure 2.4 que la particule a une pro-babilit de prsence non nulle lextrieur du puits (x 0 et x a). Dans une analyse mcaniqueclassique, ceci nest pas possible car lnergie cintique de la particule c = p2/2m est infrieure aupotentiel V0. En fait la valeur de la constante K devient trs vite trs leve, car la largeur du puits32 P2MEMSnn(Js)n(Js) cn(eV )11,3064 4,8263 25,841122,5957 4,2734102,012133,8375 3,2052222,957844,9063 0,9634364,4467Tableau 2.1. solutions non nulles pour K= 5J.sFigure 2.3. fonctions donde avec K= 5J.sa, la masse de la particule m et le potentiel V0 peuvent prendre des valeurs beaucoup plus grandesque celles mentionnes ici.La gure 2.5 donne la probabilit de prsence du niveau dnergie le plus lev dans les casK = 10 et K = 100 ( largeur de puits constante, par exemple pour une masse ou un potentiel pluslev). On remarque que cette probabilit tend vers 0 lextrieur du puits.2.2.3. Particule dans une boteNous considrons ici une particule se dplaant dans lespace, soumise un potentiel nul dansune bote de dimensions a, b et c dans les directions x, y et z respectivement, et inni ailleurs (gure2.6)Dans le cas dune dimensionx, on peut utiliser le cas du puits de potentiel carr (paragrapheprcdent), en faisant tendre V0 vers linni. On obtient alors comme rsultat :quations de mouvement 33Figure 2.4. probabilits de prsence avec K= 5J.sFigure 2.5. probabilits de prsence de la particule avec K= 10J.s etK= 100J.s (niveau dnergie le plus lev) Une fonction donde nulle lextrieur du puits, ce qui signie que la particule est connedans le puits (probabilit de prsence nulle lextrieur du puits),34 P2MEMSFigure 2.6. bote de dimensions a, b et c dans les drections x, y et zrespectivement A lintrieur du puits, le second terme (en sinus) de la fonction donde est prpondrant, ce quidonne (la constante multiplicative de la fonction est dtermine par la condition de normalisation de[n[2) :

n(x, t) =

2asin

2nxa

ei hEnt[n[2=2asin2

2nxa

Lesniveauxdnergie cnproviennentdessolutionsnobtenuessurlagure2.2.Pourunpotentiel inni, ces solutions donnent :

n = n2cn =2h22mn2a2La gure 2.7 donne la distribution de probabilit de prsence de la particule, dans le cas monodi-mensionnel, pour des nergies correspondant n = 1 4. Dans le cas tridimensionnel, pour connerla particule dans une bote de dimensions a, b et c, on peut crire le potentiel suivant :V (x, y, z) = Vx(x) +Vy(y) +Vz(z) avec

Vx(x) =

0 si 0 x asinonVy(y) =

0 si 0 y bsinonVz(z) =

0 si 0 z csinonDans ce cas, on peut chercher des solutions stationnaires particulires de lquation de Schrdin-ger sous la forme suivante, o na, nbet ncsont les solutions du problme monodimensionnelquations de mouvement 35Figure 2.7. probabilit de prsence de la particule dans le casmonodimensionnel (a = 1) pour n = 1 4trait auparavant, avec un puits de dimension a, b et c, dans chaque direction x, y et z :n(x, y, z) = na(x).nb(y).nc(z)Les gures 2.8 et 2.9 donnent la probabilit de prsence dune particule, dans deux cas bidimen-sionnels, aveca=b=1. Les solutionsna,nbetnccorrespondent chacune un niveauxdnergie cna, cnb et cnc. Finalement, lnergie globale sobtient comme le potentiel en ajoutant cestrois nergies, ce qui donne :cn = cna +cnb +cnc =2h22mn2aa2+n2bb2+n2cc2

On remarque quil peut exister des fonctions donde diffrentes avec le mme niveau dnergie.Ceci se produit par exemple pourna=nbeta=b. Dans ce cas, on peut intervertir les axesxet y. On dit dans ce cas que lnergie est dgnre. Son degr de dgnrescence est donn par lenombre de fonctions donde indpendantes correspondant cette nergie.2.3. Oscillateur harmonique2.3.1. Description et rsolutionUn oscillateur harmonique est un systme mcanique constitu dun point matriel de masse mlastiquement li un centre, cest--dire soumis une force de rappel proportionnelle sa distance36 P2MEMSFigure 2.8. probabilit de prsence de la particule - cas bidimensionnel avec(a = 1, na= 2) et (b = 1, nb= 1)Figure 2.9. probabilit de prsence de la particule - cas bidimensionnel avec(a = 1, na= 2) et (b = 1, nb= 2)quations de mouvement 37au centre. Les systmes se prsentant en bonne approximation sous la forme doscillateurs harmo-niques sont trs nombreux. On peut citer par exemple la position relative de deux atomes voisinssoumis de faibles perturbations (lastiques), ou un pendule lastique. Nous nous limitons ici au casmonodimensionnel, nous notons x laxe de dplacement de la particule, et nous choisissons loriginede cet axe au point dquilibre.Au voisinage dun point dquilibre, le potentiel V (x) peut tre dvelopp au second ordre en x.Au point dquilibre x = 0, la force de rappel doit tre nulle, do dV/dx = 0 en ce point. De plus,en plaant lorigine des nergies en V (0), on obtient un potentiel de la forme V (x) =x2. Enn,on peut dnir une pulsation (ens1) telle que le potentielV (x) et la force de rappel associeF(x) scrivent :V (x) =12m2x2et F(x) = grad(V ) = m2xEnmcaniqueclassique, lquationdquilibredesforcesconduit lquationdiffrentielled2x/dt2+2x=0. Sit =0, lepointmatrielestenx=0animdunevitessev0nonnulle, alors la solution gnrale de cette quation est une oscillation sinusodale de la particule, depriode , et damplitude a =v0/, soit x =a sin t. Ainsi, la probabilit dobserver la particuleentre les instants t et t + dt au point x dx prs est de la forme P(x)dx = 2dt/T, o T= 2/est la priode. Comme dx et dt sont relis sous la forme dx = a cos tdt, la densit de probabilitP(x) scrit :P(x) =dxdt=1a cos t=1a2x2La gure 2.10 donne lallure de cette probabilit en fonction de x. Elle est videmment nulle lextrieur du segment ] a, a[, tend vers linni aux points extrmits du segment (o la particulepasse trs lentement), et est minimum au centre du segment (o la particule passe trs vite).Dans une approche quantique, on recherche les tats stationnaires, et donc des fonctions(x)non triviales solutions de lquation de Schrdinger 2.2. Cette quation scrit ici :d2dx2+ 2mh2

c 12m2x2

= 0La rsolution de cette quation seffectue laide de deux transformations successives : un changement de variable=x

m/h qui permet de transformer lquation, qui scritmaintenant :d2d2+

2ch 2

= 0 une recherche de solutions de la forme () = ()e2/2, avec des fonctions polynmialesde faon conserver des fonctionsde carr intgrable (et en particulier nulles linni). Ceciconduit chercher des fonctions () polynmiales solutions de lquation diffrentielle suivante :d2d2 2dd+ 2

ch 12

= 038 P2MEMSFigure 2.10. probabilit de prsence dun oscillateur harmonique - cas de lamcanique classique - a = 1Des solutions polynmiales existent lquation prcdente lorsque le terme c/h 1/2 prenddes valeurs entires. En notant n cette valeur, et en remarquant quelle ne peut prendre que desvaleurs suprieures 1/2, on sait que la solution gnrale n ( n donn) est proportionnelle aupolynme dHermite de degr n : Hn. En notant C la constante de proportionnalit, on obtient :n() = CHn() avec Hn() = (1)ne2dn

e2

dnOn peut maintenant utiliser les proprits des polynmes dHermite pour crire la solution com-plte.Enparticulier,ilsformentunensembledepolynmesorthogonauxaveclafonctionpoidse2, et on peut les obtenir par une relation de rcurrence simple . On a les relations suivantes :

e2H2n()d = 2nn!

e2Hn()Hm()d = 2nn!nmH0() = 1, H1() = 2 et pour n 0 Hn+2() = 2Hn+1() 2(n + 1)Hn()quations de mouvement 39Ceci nous permet dcrire la solution stationnaire normalise dindice n pour loscillateur har-monique une dimension :

n(x, t) =12nn!

mh

1/4em2 hx2Hn

x

mh

ei hEntcn = h

n + 12

[[2=12nn!

mh em hx2H2n

x

mh

(2.5)2.3.2. ExemplesFigure 2.11. fonctions dondeLes gures 2.11 et 2.12 reprsentent respectivement les fonctions donde et les probabilits deprsence dune particule pour un oscillateur harmonique, avec un indice n et donc une nergie cncroissante. La masse m de la particule, le potentiel V (x), et donc la pulsation , ont t choisis telsque lon ait m = h. On remarque sur ces gures que : Quelle que soit la valeur de n, et donc de lnergie cn, la probabilit de prsence de la particuleest partout non nulle. Pourn=0, la probabilit de prsence de la particule est maximum enx=0, alors quenmcanique classique elle y est minimum.La gure 2.13 donne la probabilit de prsence de la particule obtenue pourn trs lev et enmcanique classique (gure 2.10). On constate que les deux rsultats sont semblables. En fait, lecaractre quantique (donc ondulatoire) de la particule ne se manifeste que lorsque ses grandeurs40 P2MEMSFigure 2.12. probabilits de prsenceFigure 2.13. probabilits de prsence pour n levcaractristiques (masse, nergie, . . . ) sont du mme ordre que la constante de Planck rduite h. Ceciest principalement le cas pour des particules telles que llectron, le proton, . . .Chapitre 3Grandeurs physiques, mesuresCe chapitre est consacr un aspect trs important de la mcanique : la mesure de grandeursphysiques. Il sagit par exemple de mesurer la position dune particule, son impulsion, son nergie,. . . En mcanique classique, lopration de mesure est relativement simple. La prcision de la mesureest donne par la mthode, linstrument de mesure, et le traitement de cette mesure. Par exemple, lesmthodes optiques de mesures de dplacement demandent un ensemble de traitement avant darriverau rsultat souhait.Dans un cadre quantique, lopration de mesure revt un caractre particulier li la mthodeutilise pour dcrire physiquement ltat des particules. Cet tat est dcrit par une fonction donde(r , t). Mais si on prpare indpendamment Nparticules dans le mme tat , alors nous avonsvu au chapitre 2 que le rsultat de la mesure dune grandeur (nergie, position, impulsion, . . . ) nesten gnral pas unique, mais distribu selon une loi de probabilit dont la densit est donne par lecarr du module de la fonction donde.Dans ce chapitre, nous allons dans un premier temps introduire la notion doprateur pour la me-sure de grandeurs physiques, puis donner quelques exemples de tels oprateurs (nergie, impulsion,position, . . . ). Ensuite, nous allons tudier plus particulirement loprateur moment cintique, en lequantiant, puis en introduisant le formalisme du spin de llectron pour aboutir une descriptioncomplte de cette particule.3.1. Oprateurs ou Observables3.1.1. DnitionNous introduisons ici les oprateurs de mesure par une approche heuristique, sans faire appel lathorie mathmatique associe. Le lecteur pourra trouver une description complte de cette thoriedans des ouvrages de physique thorique ddis la mcanique quantique tels que [LAN 75], oudans des supports de cours dans ce domaine tels que [BAS 86], [LOW 00].Considrons une grandeur physique f que nous souhaitons mesurer sur un systme dont ltat estdcrit par une fonction donde (r , t). Cette grandeur physique peut tre la position dune particule,4142 P2MEMSson impulsion, ou lnergie dun systme form dune particule dans un potentiel donn, . . . Lesvaleurs que peut prendre cette grandeur physique sont appeles ses valeurs propres. Lensemble deces valeurs constitue le spectre des valeurs propres de cette grandeur. Par exemple, au chapitre 2,nous avons trait divers exemples (puits de potentiel, oscillateur harmonique, . . . ), pour lesquelsnous avons obtenu le spectre en nergie du systme form de la particule et du potentiel.Pour simplier, nous allons supposer ici que la grandeur fprsente un spectre discret, et nousdsignerons par fn ses N valeurs propres (n = 1, 2, . . . , N). De plus, nous noterons n la fonctiondonde dcrivant ltat du systme lorsquefprend la valeurfn. Ces fonctionsnsont appelesfonctions propres de la grandeur physique f.Lquation 2.5 du chapitre 2 donne les fonctions propres n dun oscillateur harmonique, ainsique les valeurs propres dnergie cn associes ces fonctions. Les fonctions propres n sont vi-demment normalises, de sorte que lon a :

[n[2dr = 1Si le systme se trouve dans un tat quelconque, alors la mesure de la grandeurfdonneraune des valeurs propres fn. Si maintenant nous refaisons la mesure immdiatement aprs, alors lersultat obtenu doit tre le mme, soit fn, avec une probabilit de 1. Ceci signie que le systme estdans ltat n : la premire mesure a modi ltat du systme, qui est pass dun tat quelconque ltat n.Le principe de superposition nous conduit dire que les fonctions n forment un systme com-pletde fonctions propres. En effet, comme toute fonctionest susceptible de devenirn, cettefonction doit pouvoir tre crite comme une superposition linaire des fonctions n, o les coef-cients complexes an sont constants : =Nn=1annIl est maintenant tentant de supposer que la probabilit de mesurer fn pour la grandeur physiquefsoit [an[2. En effet, il sagit dun nombre rel positif. De plus, lorsque le systme est dans ltatn, alors an est le seul coefcient non nul, et il vaut 1. Enn, si an= 0, alors le systme ne peuttre dans ltat n, et la valeur propre fn ne peut tre observe. Comme la mesure de f doit donnerune des valeurs propres fn avec une probabilit de 1, on doit avoir la relation suivante :Nn=1[an[2= 1Grandeurs physiques, mesures 43Finalement, les relations prcdentes nous permettent dcrire les composantesancomme lesprojections de la fonction donde sur les fonctions propres n :1 =Nn=1anan =

dr =Nn=1an

ndr , do an =

ndrOn peut ici effectuer une analogie entre la fonction donde servant mesurer une grandeurphysique f, et un vecteurudans un espace vectoriel de dimension N muni dun repre orthonorm(e1, . . . ,eN). En effet, ce vecteur a des composantes un qui peuvent tre obtenues par projection surles vecteurs de base, soit un =u .en. De plus, ces composantes servent construireuen crivantu=unen. Dans le cas de la fonction donde , on peut dnir un produit scalaire sous la forme :(1, 2) =

12drAvec ce produit scalaire, on constate que les coefcientsanjouent le rle de composantes de sur la base des fonctions propres n associes la grandeur physique f. On peut en effet crirean= (, n) et = ann. Ainsi, les fonctions propres n associes la mesure dune gran-deur physique f forment une base orthonorme dans lespace des fonctions donde muni du produitscalaire dni prcdemment. En particulier, on peut crire :n, m = 1, . . . , N, (n, m) =

nmdr = nmRevenons maintenant la mesure de la grandeur physique f. Si [an[2est la probabilit dobtenirfnlors de la mesure def, alors on peut introduire la valeur moyenne defsous la forme 'f`=fn[an[2. Ceci nous permet dcrire cette valeur moyenne de la faon suivante :'f` =Nn=1fnanan =Nn=1fnan

ndr =

Nn=1anfnndrCette relation nous permet dintroduire la notion doprateurou dobservable, notion fonda-mentale en mcanique quantique. A chaque grandeur physique est associ un oprateur, appel aussiobservable. Loprateurfassoci la grandeur physique fest une application linaire de lespacedes fonctions dondes vers ce mme espace dni par :f: f =Nn=1anfnn(3.1)44 P2MEMSLe rle fondamental de loprateurfest dextraire des informations de la grandeur physique f.Par exemple, la valeur moyenne de cette grandeur est obtenue sous la forme :'f` =

fdr (3.2)Pour chaque oprateurf, on peut dnir son oprateur conjuguf, son oprateur transposft,et son oprateur adjointfa. Si et sont deux fonctions donde, on peut dnir ces oprateurscomme suit : Sif = , alors loprateur conjugu est tel quef = . Loprateur transpos est tel que :

fdr =

ftdr Loprateur adjoint defest celui qui est associ la grandeur physique complexe conjuguede f, soit f. Il est donc tel que la valeur moyenne de cette grandeur conjugue est :'f` =

fadrLes oprateurs de la mcanique quantique doivent tre hermitiens, cest--dire tels quef =ft,etauto-adjoints,cest--diretelsquefa=f.Cesdeuxpropritssontprincipalementliesaufait que lopration de mesure doit fournir des nombres rels, et pas des nombres complexes. Leurdmonstration est laisse titre dexercice au lecteur.3.1.2. ExemplesLorsque lon applique un oprateurf une des fonctions propresnassocies la grandeurphysique f, on obtient directement en appliquant la relation 3.1 :fn = fnnAinsi, les fonctions n et les valeurs fn sont respectivement les fonctions propres et les valeurspropres de loprateur, cest--dire les solutions non triviales de lquationf =f. Cette notiona dj t utilise dans le chapitre 2 lors de la rsolution de lquation de Schrdinger stationnaire.Cette quation signie simplement que le spectre dnergie totale du systme est lensemble desvaleurs propres de loprateur hamiltonienH dni par :Grandeurs physiques, mesures 45H = h22m +V Ainsi, loprateur (ou observable) hamiltonienHest li la grandeur physique nergie totalec, et lquation de Schrdinger stationnaire est lquation aux valeurs propres de cet oprateur, quiscritH = c.On peut dnir dautres oprateurs. Le plus simple est celui qui est li la grandeur physiqueposition, r , qui consiste multiplier la fonction donde par le vecteur positionr . Loprateur rpermet dextraire de la fonction donde des informations sur la position de la particule : r =r 'r ` =

r dr =

r [[2dr(3.3)On pourrait imaginer que, de la mme faon, loprateur impulsion p consiste simplement multiplier la fonction donde par le vecteur impulsionp . En effet, limpulsion moyenne est obtenuepar la formule suivante utilisant la densit de probabilit [[2associe la transforme de Fourier de la fonction donde :'p ` =

p dp=

p [[2dpMaisloprateurimpulsiondoitagirsurlafonctiondonde, etnonsursatransformedeFourier. Pour lobtenir, on utilise la relation suivante montrant que, si est la transforme deFourier de , alors higrad() est la transforme de Fourier dep : =1h3/2

ei h( p . r Et)dp grad() =1h3/2

ihp ei h( p . r Et)dpComme la transformation de Fourier conserve le produit scalaire, on peut maintenant crire que :

p dp=

higrad()drCeci conduit la dnition suivante de loprateur impulsion p:46 P2MEMS p =higrad()'p ` =

p dr =

higrad()dr(3.4)Connaissant maintenant les oprateurs impulsion et position, on peut remarquer quils ne com-mutent pas toujours. En effet, on peut crire par exemple la commutation des oprateurs rx et px,dans la direction x, puis celle des oprateurs px et py, le tout dans un repre cartsien. On obtient :( rx px px rx) = xhix hixx= ih( rx py py rx) = xhiy hixy= 0grandeur physique oprateur associpositionr r =r impulsionp p =higrad()nergie cintique cc =p22mcc = h22mnergie potentielle VV = V nergie totale c = cc +VH = h22m +V Tableau 3.1. tableau de correspondance de quelques oprateurs de mesureLe tableau 3.1 donne la correspondance entre les principales grandeurs physiques associes un systme et les oprateurs de mesure associs. Loprateur moment cintique fait lobjet du pa-ragraphe suivant, car il est dune grande importance pour la description physique et mcanique desparticules en gnral, et des lectrons en particulier.3.2. Moment cintique3.2.1. DnitionEn mcanique classique, le moment cintique dune particule est dni partir de sa positionr et de son impulsion ppar L= r p . Par exemple, le moment cintique dans la direction zdun repre cartsien est Lz=xpy ypx. En mcanique quantique, on dnit de la mme faonun oprateur moment cintique orbital Lcomme le produit vectoriel entre les oprateurs position etimpulsion :Grandeurs physiques, mesures 47 L= r p, soit L =hir grad()

ur = sincosux +sinsinuy +cosuzu = coscosux +cossinuysinuzu = sinux +cosuyFigure 3.1. coordonnes sphriquesDans un repre cartsien, cet oprateur appliqu dans la directionz une fonction dondedonneLz = xy yx. Toutefois, dans le cadre de ce paragraphe, nous allons utiliser un systmede coordonnes sphriques (gure 3.1). Dans ce cas, les oprateurs gradient et laplacien appliqus un scalaire (fonction donde par exemple) donnent :

grad() =rur + 1ru +1rsinu =2()r2+ 2r()r+1r22()2+cosr2sin()+1r2sin22()2On peut vrier que, en coordonnes sphriques, loprateurLzne dpend que de . De plus,on dnit loprateurL2=L2x +L2y +L2z, qui ressemble la norme au carr de loprateur L. LesoprateursLz etL2scrivent dans le systme de coordonnes sphriques :Lz =hiL2= h222+cossin +1sin222

(3.5)Enn, on peut vrier une relation importante donnant le laplacien en coordonnes sphriques,dans laquelle la partie oprant des drivations sur r est dissocie de celle oprant des drivations sur et , cette dernire pouvant tre directement exprime en fonction de loprateurL2:48 P2MEMS =2r2+ 2rr 1r2h2L2 (3.6)Le qualicatif de orbital de loprateur Lvient du fait que nous pouvons ici dnir une classedoprateurs moment cintique Jplus gnraux que ceux-l. Nous qualions en effet en mcaniquequantique doprateur moment cintique tout oprateur Jqui satisfait la condition suivante : J J= ih J (3.7)Nous laissons au lecteur, titre dexercice, le soin de montrer que loprateur L, moment ci-ntique orbital, est bien un oprateur de moment cintique. Maintenant, nous allons nous intresserplus particulirement aux oprateurs suivants :Jz : composante selon z du moment cintique JJ2=J2x +J2y +J2zJ+ =Jx +i Jy : oprateur de saut positifJ =Jxi Jy : oprateur de saut ngatifOn peut remarquer que des oprateursJ+ etJ sont hermitiens (combinaison linaire dopra-teurs hermitiens). Par contre, il ne sagit pas doprateurs de mesure en mcanique quantique car ilsne sont pas auto-adjoints. On peut vrier en fait quils sont adjoints lun de lautre :Ja+ =J etJa =J+3.2.2. Valeurs propres et fonctions propresLa premire proprit fondamentale de loprateur moment cintique Jque nous allons utiliserest queJ2et les composantes de Jcommutent. Par exemple, en utilisant simplement la dnition3.7, on montre que les oprateursJ2etJz commutent :J2 Jz=Jx2Jz +Jy2Jz +Jz2Jz=Jx( Jz Jx +ih Jy) +Jy( Jz Jyih Jx) +Jz Jz2=Jx Jz Jx +Jy Jz Jy +ih Jz +Jz Jz2= ( Jz Jx +ih Jy) Jx + ( Jz Jyih Jx) Jy +ih Jz +Jz Jz2=Jz Jx2+Jz Jy2+Jz Jz2=Jz J2Grandeurs physiques, mesures 49Cette proprit permet dafrmer que les oprateursJ2etJz peuvent tre dcrits par une familleunique de fonctions propres. De plus, commeJ2est la somme de carrs doprateurs, ses valeurspropres sont positives. Nous les noteronsj(j + 1)h2(avecj 0), tandis que nous noteronsmhcelles deJz. Les nombresj etm sont pour linstant des rels quelconques. En notant maintenantj,m les fonctions propres de la base commune choisie, on peut crire :J2j,m = j(j + 1) h2j,mJzj,m = mhj,mAppliquons maintenant les oprateursJ2etJz limage des fonctions propres j,m par les op-rateurs sautJ+ etJ. On obtient en utilisant simplement la dnition des oprateurs, leur linarit,et le fait queJ+ etJ, commeJx etJy, commutent avecJ2:

J2( J+j,m) =J+( J2j,m) = [j(j + 1) h2] J+j,mJ2( Jj,m) =J( J2j,m) = [j(j + 1) h2] Jj,m

Jz( J+j,m) = ( Jz Jx +i Jz Jy)j,m=

Jx Jz +ih Jy +i( Jy Jzih Jx)

j,m= ( Jx +i Jy) Jzj,m + h( Jx +i Jy)j,m=J+(mhj,m) + h J+j,m= (m+ 1) h J+j,mJz( Jj,m) = ( Jz Jxi Jz Jy)j,m=

Jx Jz +ih Jyi( Jy Jzih Jx)

j,m= ( Jxi Jy) Jzj,mh( Jxi Jy)j,m=J(mhj,m) h Jj,m= (m1) h Jj,mAinsi,j,m tant une fonction propre commune aux oprateursJ2etJz, avec comme valeurspropres respectives j(j + 1) h2et mh, on a le rsultat suivant :J+j,m est une fonction propre commune aux oprateursJ2etJz, avec comme valeurs propresrespectives j(j + 1) h2et (m+ 1) h,Jj,m est une fonction propre commune aux oprateursJ2etJz, avec comme valeurs propresrespectives j(j + 1) h2et (m1) h.Ce rsultat justie le choix du nom des oprateursJ+ etJ (oprateurs sauts). De plus, on peutmaintenant crire le module au carr des fonctionsJ+j,m etJj,m. on obtient par exemple pourla fonctionJ+j,m :50 P2MEMS

j,mJ+aJ+j,mdr =

j,mJJ+j,mdr=

j,m( Jxi Jy)( Jx +i Jy)j,mdr=

j,m( Jx2+Jy2+i( Jx JyJy Jx))j,mdr=

j,m( J2Jz2h Jz)j,mdr= (j(j + 1) m2m) h2

j,mj,mdr= (j(j + 1) m(m+ 1)) h2De la mme faon, on peut calculer la norme au carr de la fonctionJj,m. Ces deux normesscrivent nalement sous la forme :| J+j,m|2= (j(j + 1) m(m+ 1)) h2| Jj,m|2= (j(j + 1) m(m1)) h2Figure 3.2. valeurs propres bornes de loprateurJzComme ces normes au carr doivent tre positives ou nulles, on en dduit que, pour j x, m estborn par j et j. Ceci est illustr sur la gure 3.2.LapplicationrpteNfoisdeloprateurJ+permet dengendrer, partir dunefonctiondonde j,m, toute une srie dtats j,m+1, j,m+2, . . . , j,m+N. De mme, lapplication MfoisdeJ permet dengendrer les tats j,m1, j,m2, . . . , j,mM. Pour que tous ces tats respectentla condition symtrique j mn j (avec n entier), on doit avoir :m+N= jmM= jGrandeurs physiques, mesures 51En soustrayant et en additionnant ces deux quations, on obtient le rsultat fondamental selonlequel 2j et 2mdoivent tre entiers. En rsum, on peut crire que, si Jest un oprateur de momentcintique, cest--dire tel que J J= ih J , alors : les valeurs propres de sa composanteJz sont de la forme mh, m tant entier, demi-entier ounul, les valeurs propres deJ2=Jx2+Jy2+Jz2sont de la forme j(j +1) h2, j tant entier positif,demi-entier positif, ou nul, Pour un systme dans un tat propre deJ2, cest--dire pour une valeur de j donne, m est telque :m j, j + 1, . . . , 0, . . . , j 1, j3.3. Premire description des atomes3.3.1. quation de SchrdingerLa comprhension de la structure des atomes est la base de nombreuses applications techno-logiques modernes, du laser lexploration du cosmos. Nous donnons ici une premire description,trs sommaire, de cette structure, en considrant le comportement dun lectron (particule de chargee et de massem) dans un potentiel central V (r) schmatisant son interaction avec le reste delatome. Pour cela, nous nous plaons en coordonnes sphriques.Lquation de Schrdinger dans un potentiel central V (r) repose sur loprateur hamiltonienHqui, appliqu une fonction donde , fournit la quantitH = h22m+V (r). En coordonnessphriques, on peut utiliser la relation 3.6 pour lcrire sous la forme suivante, o loprateurL2estle carr du moment cintique orbital de llectron :H = h22mr2(r)r2+12mr2L2 +V (r)On peut remarquer ici que loprateurH commute avecL2etLz. En effet, ces derniers nagissentque sur les coordonnes et , et commutent entre eux, tandis queH agit sur r, contientL2, et im-plique une simple multiplication par le potentielV (r). Cette remarque essentielle nous conduit choisir les fonctions dans une base de fonctions propres commune aux trois oprateurs. Nous al-lons maintenant afner lexpression de ces fonctions propres en utilisant les proprits des oprateursmis en jeu :1) Puisque Lest unoprateurdemoment cintique, lesvaleurspropresdeLzetL2sontrespectivement mhet l(l+ 1)h2, omet l sont desentiersoudemi-entiersavecl 0etm= l, l + 1, . . . , l 1, l. Ceci nous conduit exprimer les fonctions propres sous la formel,m(r, , ), et lquation prcdente sous la forme :52 P2MEMSHl,m = h22mr2(rl,m)r2+l(l + 1) h22mr2l,m +V (r)l,m2) Daprs lexpression de loprateurL2(quation 3.5), qui nagit que sur les variables et ,les fonctions propres l,m peuvent scrire sous la forme :l,m(r, , ) = Rl(r)Yl,m(, )Dans cette expression, les fonctionsYl,m(, ) doivent dune part satisfaire les quations auxvaleurspropresdeL2etLz, et dautrepart formerunebaseorthonormesurlasphreunit.On montre que les fonctions harmoniques sphriques, qui scrivent sous la formeYl,m(, )=Pl,m(cos)eim, o les Pl,m sont des polynmes de Legendre, satisfont ces conditions. Le lecteurpourra trouver une description dtaille de ces fonctions dans des ouvrages spcialiss.3) Lorsdunetransformation + 2, lesfonctionspropresdoiventresterinchangespuisque le systme de coordonnes nest pas modi. Il sen suit que lon doit avoir ei2m= 1, etdonc une valeur de m entire. Enn, comme m prend en particulier les valeurs l et l, l doit aussitre entier.Les fonctions l,m(r, , ) ainsi dnies, avec l et mentiers, l 0 et m = l, l+1, . . . , l1, lpeuvent maintenant tre incorpores dans lquation de Schrdinger (quation aux valeurs propresdeH). On peut alors dnir le potentiel suivant :Vl(r) =l(l + 1) h22mr2+V (r)Avec la condition de normalisation des fonctions dondes, et en utilisant les proprits dortho-normalit des harmoniques sphriques, on obtient lquation suivante rsoudre :h22md2(rRl(r))dr2+ (Vl(r) c) (rRl(r)) = 0 , avec

0[rRl(r)[2dr = 1Cette quation est une quation radiale fournissant la fonction donde radiale Rl(r). Pour lob-tenir, il est commode deffectuer le changement de variable ul(r) = rRl(r) pour crire lquation rsoudre sous la forme :h22md2(ul(r))dr2+ (c Vl(r)) ul(r) = 0 , avec

0[ul(r)[2dr = 1Onestainsiramenunequationsemblablecelleutilisepourdcrirelecomportementdune particule dnergie cdans un potentiel central Vl(r). Ce cas conduit une quantication deGrandeurs physiques, mesures 53lnergie lorsque c>1. Donner lexpression approche den, et comparer cettevaleur la frquence de radiation fmise par une charge tournant la mme vitesse et la mmedistance du centre. Commenter.5) Montrer que la relation dincertitude de Heisenberg empche lutilisation du modle classiquede Bohr pour latome dhydrogne.4.4. Particule dans une bote 1D innieOn considre une particule de masse m dans une bote de potentiel innie de largeur a dans ladirection x. Il a t vu dans le cours que les solutions stationnaires, fonctions propres de lquationde Schrdinger indpendante du temps, scrivent sous la forme suivante :n(x, t) =

2/asin(nx/a)ei hEntavec cn =2h2n22ma21) Pourquoi lesfonctionsn(x, t)sont-ellesditesstationnaires ?Donnerlexpressiondunefonction donde gnrale (x, t) solution de lquation de Schrdinger. Pour crire cela, quel prin-cipe de la mcanique quantique avez-vous utilis ?2) Montrer que les fonctions donde n(x, t) forment une base orthonorme dans lespace desfonctions donde.3) On considre la particule dans un tat propre n. Calculer la position moyenne de la particule,< x >, et son cart type x. Calculer limpulsion moyenne de la particule, < p >, et son cart typep. Calculer le produit xp. Commenter.4.5. Le microscope effet tunnelLe microscope a effet tunnel fonctionne sur le principe de la mesure de lintensit du couranttunnel passant entre une pointe trs ne, monte sur un moteur pizolectrique, et la surface ana-lyser, lorsquune tension est applique entre ces deux lments (voir gure 4.2). La pointe est place quelques nanomtres de la surface, donc sans contact. Lintensit du courant tunnel dpend forte-ment de la distance entre la pointe et la surface. Il suft denregistrer les variations de ce courant enfonction de la position de la pointe sur la surface, pour tracer une reprsentation de la topographietudes de cas 61Figure 4.2. Schma de principe du microscope effet tunnel (STM)de la surface. La prcision du moteur est sub-nanomtrique puisque le dplacement est assur parun moteur pizolectrique. Lobjet est de montrer comment partir de la notion de fonction dondeet de barrire de potentiel, on peut comprendre la haute rsolution dun tel appareil.4.5.1. La marche de potentielNousconsidronslecasduneparticulelibredemassemsoumiseunpotentiel V (x), telqueV (x) =0, si x 0. Laparticuleest misedepuis avecune nergie ctelle que 0< c a et V (x) =V0 si 0=13v2. De plus, le terme ndc/dTreprsente la capacitcaloriquedumatriauCv(voirchapitre7).Onaalorslexpressionsuivantedelaconductivitthermique := grad(T) avec =13v2Cv =13lvCvDans cette quation, v est la vitesse quadratique moyenne des lectrons dans le gaz, et l leur libreparcours moyen. Malheureusement, lexpression contient nouveau le temps de relaxation , qui esttrs difcile estimer.Modle de Drude 14310.2.3. Interaction avec un rayonnement lectromagntiqueNous pouvons utiliser le modle de Drude pour tudier la propagation dun rayonnement lec-tromagntique dans le gaz dlectrons de densitn (nombre dlectrons de conduction par unitde volume). Dans ce modle, le comportement dun lectron est suppos celui dune particule demassem. Sous leffet dun champ lectrique Eet dune induction magntique B, lquation dumouvement de llectron peut scrire sous la forme (xest sa position courante) :m x+m x+e(E+ x B) = 0Dans cette quation, llectron, de charge e, est soumis la force lectrostatique eEet la force de Laplace e x B. En pratique, la force de Laplace peut tre nglige. En effet, sivest la vitesse moyenne des lectrons dans le gaz, cette force est dans un rapportv/c avec la forcelectrostatique. Or, la vitesse moyenne des lectrons dans le modle de Drude est au maximum delordre de 106mm/s, de sorte que le rapport v/c est denviron 1/300.En ngligeant la force de Laplace, on peut chercher une solution stationnaire aux quations demouvement de llectron, cest--dire sous la formex=x0eit, rsultant dun champ lectriquede la formeE=E0eit. On obtient :m2x0 +imx0 +eE0 = 0, soitx0 =em12+iE0Finalement, la densit de courant tant donne sous la formeJ = nev = ne x , on peutcrireJ=J0eitavec :J0 = neix0 =ne2m11 iE0On dnit ainsi une conductivit complexe de la faon suivante :J= Eavec =1 i(10.2)Pour un champ lectrique frquence nulle, on retrouve la valeur de obtenue dans le cadre deltude de la conductivit lectrique pour un courant continu.Laprincipaleapplicationdelquation10.2estltudedelapropagationdunrayonnementlectromagntique dans un solide, laide du modle de Drude. Pour raliser cette tude, on doit144 P2MEMStout de mme mentionner que la conductivit complexea t obtenue en supposant un champdpendant du temps, mais pas de lespace. Or, les rayonnements lectromagntiques sont en gnralfonctions de lespace et du temps (voir le chapitre 1).La densit de courant en un point donn du matriau, calcule par la relation 10.2, est entirementdtermine par linuence du champ lectrique sur chaque lectron (quation de mouvement) en cemme point, depuis sa dernire collision. Cette dernire collision a eu lieu en moyenne une distancegale au libre parcours moyen des lectrons. Ainsi, si la longueur donde du rayonnement est grandedevant ce libre parcours moyen, on peut supposer que le champ est constant dans son action surchaque lectron, et on peut appliquer la relation 10.2. Ceci est en gnral le cas dans le domaine duvisible, avec une longueur donde de lordre de 1000 10000 Angstrm. Dans le cas contraire, il estncessaire de dvelopper des approches locales, beaucoup plus complexes.En supposant que la longueur donde du rayonnement est grande devant le libre parcours moyendes lectrons de conduction dans le mtal, on peut utiliser la relation 10.2 pour rsoudre les quationsde Maxwell crites ici en units SI et en labsence de densit de charges (Eest le champ lectrique,etBest linduction magntique) :loi de Maxwell-Gauss div(E) = 0loi de Biot et Savart div(B) = 0loi de Maxwell-Faradayrot(E) = Btloi de Maxwell-Amprerot(B) = 0J+00Et(10.3)Larecherchedesolutionsstationnaires E =E0eit, B =B0eitet J =J0eitconduit liminer B0en utilisant la loi de Maxwell-Faraday, puis celle de Maxwell-Gauss. Onobtientrot(B0) sous la forme suivante :rot(B0) =rot( 1irot(E0))=1i(grad(div(E0)) div(grad(E0)))= 1idiv(grad(E0))Cette expression de rot(B0) peut maintenant tre incorpore dans la loi de Maxwell-Amprepour obtenir, en utilisant la relation 10.2, lquation suivante portant sur le champ lectrique :div(grad(E0)) = 2c2 E0 avec= 1 0(i +)Modle de Drude 145Onreconnat danscettequationunequationdepropagationclassiquedansunmilieudeconstante dilectrique:div(grad(E)) =

c22Et2La constante dilectriquesexprime en fonction de , la conductivit lectrique du matriau,de la pulsation du rayonnement, et du temps de relaxation . On a utilis ici la relation 00c2=1, valable en unitsSI, oc est la vitesse de la lumire, 0la permabilit magntique et0lapermittivit du vide. En units SI, ces quantits sont :c = 3.108m/s0 = 1, 25489896.106V s/Am

0 = 8, 85418782.1010As/V mDans le cas dun rayonnement avec une pulsation leve, pour lesquelles 1, la constantedilectrique dcrivant le gaz dlectrons scrit sous la forme : = 1 2p2avec p =ne2

0m(10.4)La frquence p=p/2, associe la pulsation p, est appele frquence de plasmon. Si lafrquence de londe lectromagntique est infrieure cette frquence de plasmon, alors la constantedilectriquedonneparlarelation10.4estpositive. Danscecas,lasolutiondelquationdepropagation donnant le champ lectrique est une onde samortissant dans le solide. Inversement,pour des frquences suprieures, londe solution se propage dans le gaz dlectrons.mtal p (nm) 0 (nm)Li 150 200Na 200 210K 280 310Ag 140 160Tableau 10.2. longueurs donde de plasmon calcules p et mesures 0,daprs [ASH 76]On met ainsi en vidence une longueur donde p = c/p au dessus de laquelle les mtaux sontopaques, et en dessous de laquelle ils sont transparents. Cette longueur donde, dite longueur dondede plasmon, est donne sous la forme :146 P2MEMSp =ce

mnLa tableau 10.2 donne une comparaison entre les longueurs donde de plasmon mesures, 0, etcalcules avec le modle de Drude, p. Laccord est relativement bon.Chapitre 11Modle de SommerfeldLe modle de Drude a t dvelopp bien avant la physique quantique. Il tait donc difcile dansce modle de traiter correctement le gaz dlectrons. En particulier, la distribution des vitesses deslectrons tait suppose suivre une statistique issue de la thorie cintique des gaz. Or, les lectronsne peuvent pas tre traits simplement comme des particules massiques ayant une cintique donne.En effet, nous avons vu au chapitre 3 que les lectrons taient des fermions, cest--dire possdaientun nombre quantique de spin demi-entier, et surtout obissaient au principe de Pauli.Le modle de Sommerfeld repose sur lapproximation des lectrons libres, comme le modle deDrude. Cependant, la nature quantique des lectrons est prise en compte, conduisant une meilleureestimation de certaines quantits en jeu dans ce type de modle. Ceci est expliqu dans le premierparagraphe de ce chapitre. Ensuite, les proprits des matriaux sont nouveau analyses laide dece modle.11.1. Description du modle11.1.1. Approximation des lectrons libresComme dans le modle de Drude, nous considrons un gaz dlectrons conns dans une bote devolume V . De plus, nous gardons lapproximation des lectrons indpendants, de sorte que lon peutraisonner sur un seul lectron, puis remplir la bote en recommenant lopration tout en respectantle principe de Pauli.Nous allons en fait utiliser une bote en forme de cube de ct L, soit V= L3. Ce cube constitueun lment de volume reprsentatif du matriau, et non une bote dans laquelle sont conns leslectrons. En fait, lorsquun lectron sort de cette bote, un autre est suppos arriver avec les mmescaractristiques par le ct oppos. Comme illustr en 2D dans la gure 11.1, ceci revient utiliserles conditions aux limites suivantes, aussi appeles conditions de Born - Von Karman ou conditionsaux limites priodiques sur la fonction donde (r ) dcrivant ltat dun lectron :(x, y, z) = (x +L, y, z) = (x, y +L, z) = (x, y, z +L)147148 P2MEMSFigure 11.1. lment de volume reprsentatif et conditions aux limitespriodiques en 2DEn choisissant une rfrence telle que le potentiel soit constant et nul dans le matriau, et doncdans la bote, lquation de Schrdinger correspondant aux tats stationnaires de chaque lectronscrit :H(r ) = h22m(r ) = c(r )En appliquant les conditions aux limites priodiques et en utilisant les rsultats obtenus danslechapitre2surlafonctiondondeduneparticuledansunebote, onpeutcrirelessolutionsstationnaires de lquation de Schrdinger n et leur nergie cn sous la forme suivante, o nx, nyet nz sont des entiers relatifs non simultanment nuls :n(r ) =1L3/2ei kn. raveckn =2L(nx, ny, nz) (11.1)cn =h22mkn.kn = c0(n2x +n2y +n2z) avec c0 =h22m

2L

2(11.2)Dans ces quations, on voit que lnergie des lectrons dans la bote (cube de ctL) est d-gnre en bandes dnergie. En effet, les entiers nx, nyet nzprennent des valeurs discrtes. ParModle de Sommerfeld 149exemple, pour nx = 1, ny= 0 et nz= 0, on a c= c0. On parle de ltat (100). On remarque queles tats (010), (001), (100), (010) et (001) sont tous au niveau nergtique c0 (1 signie 1). Onpeut ensuite traiter le niveau dnergie 2c0, par exemple pour ltat (110), etc. . .Figure 11.2. Illustration en 2D des niveaux dnergie et du nombre N dtatspossibles associsLa gure 11.2 illustre en 2D que les niveaux de mme nergie sont tous situs sur un mme cercle(une mme sphre en 3D) daprs lquation 11.2. Chaque tat possible correspond un point surcette gure. Ainsi, pour chaque niveau dnergie, on peut compter le nombre dtats possibles. Cettemmeguredonnelvolutiondunombredtatspossiblesniveaudnergiegalouinfrieurceluidonnparunvecteurdonde k , denormek. Enabscisse, nousavonsportlaquantit150 P2MEMSk2divise par la surface dune cellule lmentaire dans lespace des k , soit (2/L)2. On trouveapproximativement une droite de pente. En fait, le nombre dtat peut tre estim en 2D par lerapport entre la surface du cercle de rayon k et celle dune cellule lmentaire. Cette estimation seradautant plus valide lorsque k augmentera. En effet, cette estimation revient supposer quil existeun tat possible (un point) par cellule lmentaire. En 3D, le mme raisonnement conduit au nombresuivant dtats possibles Ns, en utilisant des volumes au lieu de surfaces :Ns =43k3

2L

3=k362L311.1.2. Distribution de Fermi-DiracChaque tat illustr dans la gure 11.2 correspond un tat lectronique particulier, sans tenircompte du nombre quantique de spin et du principe de Pauli. Il rsulte de cela que, pour chaque tat,on peut associer deux lectrons, un avec un spin parallle (s = 1/2) et un avec un spin anti-parallle(s = 1/2). Le nombre dlectrons possibles est donc le double du nombre dtats possibles.On note kF le rayon de la sphre correspondant au niveau dnergie maximum des lectrons dansle matriau au zro absolu (T= 0K). A cette temprature, on peut donner sa densit lectronique,cest--dire le nombre dlectrons par unit de volume, sous la forme (N est le nombre dlectrons,Vest le volume de llment reprsentatif utilis) :n =NV= 2NsL3=k3F32(11.3)Le vecteur donde kFest appel vecteur donde de Fermi. On peut lui associer une nergie cF,appele nergie de Fermi, et une vitesse vF, appele vitesse de Fermi, sous la forme :cF=h22mk2F=h22m(32n)2/3vF=hmkF=hm(32n)1/3La surface dlimitant dans lespace des vecteurs dondek les tats nergtiques possibles desautres est celle de rayonkF. On lappelle surface de Fermi. Dans lapproximation des lectronslibres, cette surface est celle dune sphre.Lorsquelatempratureaugmente, lnergiecintiquedugazdlectronsaugmente. Certainsniveaux dnergie, vides au zro absolu, deviennent occups, tandis que dautres, remplis au zroModle de Sommerfeld 151absolu, deviennent libres. La fonction de distribution de Fermi-Dirac donne la probabilit quuneorbitale dnergie c soit occupe, dans le cas dun gaz lectronique idal en quilibre thermique :fD(c) =1e(E)/kBT+ 1(11.4)DanscettequationkBestlaconstantedeBoltzmann, cestlnergie, Testlatempratureabsolue, et est une fonction de la temprature, homogne une nergie. La fonction doit tretelle que le nombre de particules (dlectrons dans notre cas)Nsoit constant. Au zro absolu,vaut lnergie de Fermi, = cF, car lorsque T 0 la distribution de Fermi-Dirac passe de faondiscontinue de la valeur 1 (niveau rempli) la valeur 0 (niveau vide) pour c = cF= .Figure 11.3. Fonction de distribution de Fermi-Dirac diffrentestempratures, pour une temprature de Fermi TF= EF /kB= 50000KLa gure 11.3 illustre lvolution de la fonction de distribution de Fermi-Dirac lorsque la temp-rature augmente. Au zro absolu, tous les niveaux infrieurs = cFsont occups (la fonction vaut1), et tous les niveaux suprieurs sont vides (la fonction vaut 0). Lorsque la temprature augmente,par exemple 500Ksur cette gure, certains niveaux dnergie infrieure (cette fois diffrentde cF) peuvent tre vides (la fonction peut tre infrieure 1) et dautres niveaux suprieurs peuvent tre remplis (la fonction peut tre non nulle).A toutes les tempratures, la fonction de distribution de Fermi-Dirac vaut 1/2 lorsque c=.Laquantitestappelepotentielchimique.LorsquelnergiedevientsuprieureauniveaudeFermi, on a c kBT, et dans la fonctionfDde lquation 11.4 le terme en exponentielledevient prpondrant. Cette fonction sapproche alors de la fonction de distribution suivante, qui estla fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann :152 P2MEMSfB(c) = e(E)/kBT11.2. Quelques proprits physiques11.2.1. Capacit calorique des lectronsDans le paragraphe 7.2 du chapitre 7, la capacit calorique dun mtal est estime laide de lacontribution des phonons, cest--dire celle du rseau cristallin. Or, le gaz dlectrons a galementune contribution cette proprit thermique. Cette contribution est surtout forte basse temprature.Pour la calculer, on utilise la densit dtats D(c), qui donne le nombre dlectrons de conductionpar unit dnergie dans un volume unit. En utilisant les relations prcdentes, on peut calculer lenombre dlectrons un niveau dnergie infrieur c sous la forme :n(c) =132

2mch2

3/2La densit dtat est maintenant simplement la vari