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Page 48
Propriété du triangle (angle, inégalité triangulaire, hauteur médiatrice,
triangles semblables)
I. Somme des angles dans un triangle
Propriété : La somme des angles d’un triangle vaut 180°.
Conséquence : - Les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°. - Les angles à la base d’un triangle isocèle ont la même mesure. - La somme des angles aigus d’un triangle rectangle vaut 90°
II. Inégalités triangulaire
« Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite, donc tout autre chemin qui passe par un 3e
point est plus long. »
Propriété : Inégalité triangulaire :
Dans tout triangle non aplati, la longueur d’un côté
est inférieure à la somme des longueurs des deux
autres côtés.
AB < AC + BC
AC < AB + BC
BC < AC + AB
Conséquence :
Pour vérifier l’existence d’un triangle, il suffit de vérifier si la mesure du plus grand côté est
inférieure à la somme des mesures des deux autres côtés.
Cas d’un segment :
BC = AB + AC équivaut à les points A, B, C sont alignés (plus précisément, A [BC].
On obtient un triangle plat.
III. Droites remarquables
a. Médiatrice
Définition : La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
Définition : Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe
par ses trois sommets.
Propriété : Les trois médiatrices d'un triangle sont
concourantes.
Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit au
triangle ABC. (O sur le dessin)
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