Propuesta de Clasificación de Paradojas Lógicas

Resumen

En esta oportunidad nos dedicaremos a la tarea de definir a la paradoja lógica de tal manera que abarque tanto a las paradojas auténticas como a las paradojas aparentes. Luego, describo, critico y comparo los criterios de las diversas clasificaciones de paradojas que los estudiosos han propuesto o sugerido. El objetivo que se persigue es el de construir una propia clasificación que le haga justicia a cada paradoja lógica. A continuación, tratamos 6 de las clasificaciones más difundidas:

1) las paradojas de la teoría de conjuntos y las paradojas semánticas de Frank Plumpton Ramsey;

2) las paradojas lógicas, matemáticas y falaces de Bertrand Russell; 3) las paradojas en lenguaje natural y las paradojas en lenguaje formal de Eugene

Northrop; 4) las antinomias, las paradojas verídicas y las paradojas falsídicas de Willard Van

Orman Quine; 5) los sofismas, las paradojas positivas y las “enfermedades inmunizadoras” de

Alfred Tarski; 6) y las oraciones y conjuntos relacionados al concepto de ‘fundación’ o ‘infundación’

de James Thomson.

Después nos dedicaremos a criticar con más especificidad la preponderante clasificación de Ramsey. Finalmente, proponemos nuestro propio criterio de clasificación.

Palabras clave: paradoja lógica, paradoja tipo oración, paradoja tipo argumento, familia de Russell, familia del Mentiroso, seudoparadojas, cuasiparadojas, Ramsey, Russell, Northrop, Quine, Tarski, Thomson, criterio fuerte-débil.

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1. Definición de paradoja lógica

Empecemos por esclarecer los términos. Estrictamente, la paradoja lógica es la

posibilidad increíble capaz de ser expresada, formalizada y estudiada mediante el

lenguaje lógico. Técnicamente, la paradoja lógica se define como aquel

argumento válido cuya conclusión es una contradicción del tipo p&¬p o del tipo

V(p)↔F(p). Pero, si solo hay una premisa, dicha oración también será llamada

paradoja lógica precisamente por ser el origen de la contradicción. Ahora bien,

basándome en las declaraciones de los filósofos, he encontrado que las paradojas

lógicas pueden ser entendidas en dos niveles. Por un lado, está el nivel

argumentativo 1 y por otro lado, el nivel oracional 2. Si reduzco el argumento de la

paradoja a la oración esencial “a” gracias a la cual derivamos que V(a)↔F(a),

puedo decir que una paradoja oracional tiene las propiedades de autorreferencia

infundada (directa o indirecta), circularidad y contradicción 3. Respecto a su

definición técnica, la paradoja lógica entendida como un argumento tiene la forma

lógica: P→(Q&¬Q) o P→(Q↔¬Q). En este tipo de paradojas, la clasificación de

Quine expuesta en The Ways of Paradox (1976) de las paradojas en verídicas y

falsídicas (dejando de lado a las ya mentadas antinomias) tiene una aplicación

1 Russell (1983) habla de las paradojas como falacias. Northrop (1949) habla de paradojas como razonamientos en un cierto lenguaje. Y Hart (2007), asume que todas las paradojas son argumentos. 2 Popper (1945) trata a las paradojas como oraciones. Kripke (1997) habla de oraciones paradójicas. García Zárate (2007) sugiere definir a la paradoja como la proposición cuya verdad implica su falsedad y viceversa. En ésta última definición se acepta que la proposición es lo que expresa una oración.3 Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Madrid. Juegos de Lógica. En esta página Web se caracteriza a la paradoja como autorreferente, circular y contradictoria. Sin embargo, no toda autorreferencia da lugar a paradojas, por ejemplo, “Esta oración tiene cinco palabras” es verdadera de sí misma. Sólo la autorreferencia infundada será la responsable de la aparición de paradojas lógicas.

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interesante. La paradoja verídica se constituye como una reducción al absurdo

(propia o trivial) 4 que, en el caso de la primera forma lógica, culmina en ¬P. Aquí

se presenta lo verdadero mediante un argumento paradójico. La paradoja falsídica

se relaciona con la falacia porque también su ‘prueba’ se construye en base a una

desafortunada relación de consecuencia lógica, pero se diferencia de ésta en que

la matriz lógica de la paradoja falsídica es inválida (de hecho, es contradictoria) y

en ella se concluyen sólo cosas falsas mientras que la matriz lógica de la falacia

es consistente (Ferrater Mora, 1994, p. 2693). Además, la paradoja falsídica (o

débil según nuestro criterio fuerte-débil el cual trataremos más adelante) también

podría ser una oración o un argumento no paradójico, mientras que la falacia es

solo un mal argumento. En este punto intervienen los conceptos de cuasiparadoja

y seudoparadoja.

2. Cuasiparadoja y Seudoparadoja

La paradoja puede presentarse o bien como una oración teoremática

sorprendente, o bien como un argumento desorientador pero resoluble. La primera

dimensión de lo paradójico nos permite definir a la paradoja, como aquella oración

que tiene las propiedades de autorreferencia, círculo vicioso y contradicción. Pero,

aquellas oraciones que sólo tienen 2 de las 3 propiedades antedichas serán

consideradas como cuasiparadojas. El término “cuasiparadoja” aparece en la

página web del Departamento de Matemática aplicada de la Facultad de 4 La reducción al absurdo es propia cuando la premisa adicional en forma de negación que se hace ingresar al cuerpo de premisas participa de modo activo en el desarrollo de la prueba mediante deducciones logradas con su ayuda. La reducción será trivial cuando dicha premisa adicional no participe en ninguna forma en el desarrollo de la prueba.

3

Informática de la Universidad Politécnica de Madrid (DM/FI/UPM) intitulada

“Juegos de Lógica” (2007). Si consideramos que la autorreferencia (infundada) es

constante, entonces las cuasiparadojas tendrán o bien la propiedad de la

circularidad o bien la de la contradicción. Tales entes encuentran soporte en la

Teoría de Puntos Fijos de Saúl Kripke según la cual además de las jerarquías

tarskianas existe una regularidad de nivel en la atribución de verdad que una

oración le hace a otra. Esta teoría define dos puntos fijos que nos interesan: el

punto fijo intrínseco y el maximal. Las oraciones con punto fijo intrínseco que

pueden ser sólo verdaderas o sólo falsas se caracterizan por tener las

propiedades de autorreferencia y contradicción. La ausencia de la circularidad se

explica porque si “$” es una oración con punto fijo intrínseco, entonces o bien

V($)→F($) o bien F($)→V($), es decir, V($)↮F($). Las oraciones con punto fijo

máximo que pueden ser tanto verdaderas como falsas se caracterizan por tener

las propiedades de autorreferencia y circularidad. La ausencia de la contradicción

se justifica debido a que si “%” es una oración con punto fijo máximo, entonces

V(%)→V(%) y F(%)→F(%), es decir, V(%) F(%).

La segunda dimensión de lo paradójico nos permite definir a la paradoja,

según el criterio de la validez, como aquél argumento extraordinario, correcto pero

incompleto o inválido pero persuasivo. Este último tipo de argumentos

extraordinarios que sean inválidos y persuasivos serán llamados

seudoparadójicos. La palabra “seudoparadoja” fue introducida en la literatura

hispana sobre lógica por Gerold Stahl (1971, pp. 94-96) en su opúsculo titulado “Al

explorar lo infinito”. Con esta palabra se alude a la calidad de un argumento cuya

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conclusión es falsa e inverosímil. Este conjunto de entes estará constituido por

argumentos incorrectos que tendrán la apariencia de ser válidos, es decir, estará

constituido por falacias, pero no por cualquier tipo de falacias sino solamente por

aquellos malos argumentos considerados por la tradición como problemáticos.

Toda seudoparadoja es una falacia pero no toda falacia es una seudoparadoja,

porque si bien hay un error de razonamiento, este necesita que el argumento sea

reinterpretado (reformulado, corregido y aumentado) de manera un tanto diferente

a la versión original para que ya no desafíe a lo razonable. Además, la

contradicción positiva (que hace “progresar” la ciencia en el sentido de continuar el

debate a lo largo de la historia) que cierra la paradoja sirve para comparar el

pensamiento científico y proto-científico.

3. Familias de paradojas

Existen muchas clases de paradojas lógicas tradicionales. Todas ellas se

construyen como pruebas, es decir, como sucesiones de oraciones de la forma

p →…→ q que representa la tríada: premisas-pasos deductivos-conclusión. Si la

forma de q es “R&¬R”, ello permite que por reducción al absurdo podamos

concluir ¬p. En el caso de la familia argumental de Russell (paradoja del barbero,

de los catálogos, de los alcaldes, de Grelling (1943) y de Berry) y las paradojas

matemáticas (paradoja de Cantor, de Burali-Forti, de Richard y de Russell) dicha

fórmula sirve para terminar la prueba por reducción al absurdo. Pero, también la

forma de q puede ser R↔¬R. En este caso, puede tratarse tanto de una paradoja

oracional como de una argumental. Por ejemplo, las familias oracionales de

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Russell (paradoja de las clases, de las propiedades y de las relaciones) y el

Mentiroso (Versión de Haack (1982) , versiones de Quine (Hofstadter, 1987),

Tarjeta de Jourdain, Libro antinómico de Tarski (2000)) permiten construir un

argumento que concluya que V(a)↔F(a), siendo ‘a’ el nombre de una oración

infundada que puede contener términos circulares y

a = {“Esta oración es falsa”, “La siguiente oración es verdadera: La anterior

oración es falsa”, “El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí

mismos se contiene a sí mismo”, “La propiedad impredicable se aplica a sí

misma”, “La relación que no guarda consigo mismo un término la guarda un

término consigo mismo”, etc.}.

La familia argumental del Mentiroso (paradoja del Quijote (1995) , dilema de los

caníbales, dilema del cocodrilo, paradoja de Protágoras) puede ser susceptible de

reformulación mediante la construcción de dilemas y contradilemas, además, en

esa familia la oración “a” que aparece en V(a)↔F(a) puede verse en una de las

premisas en forma de identidad y

a={m, donde m se lee “El pasante será colgado” en el caso de la paradoja del

Quijote; H(e), donde H(e) se lee “El explorador será hervido” en el caso del dilema

de los caníbales; C(k,h), donde C(k,h) se lee “El cocodrilo se come al niño” en el

caso del dilema del cocodrilo; ¬N(e,p), donde ¬N(e,p) se lee “Evatlo no le paga a

Protágoras” en el caso de la paradoja de Protágoras}.

Como podemos notar la díada oración-argumento ha sido la base para reunir

estas paradojas en grupos de familias argumentas u oracionales. Esto permite

visualizar la gran relación existente entre las paradojas del Mentiroso y las de

Russell: las familias del Mentiroso y de Russell se corresponden puesto que las

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dos están divididas en familias oracionales y familias argumentales, según nuestro

análisis. Las paradojas matemáticas también forman una familia argumental

debido a que tienen la forma de una prueba por reducción al absurdo y además

porque no es posible generalizar sus premisas que son más de una.

4. Anteriores Clasificaciones de Paradojas

Frank Plumpton Ramsey (1931, pp. 1-61) en su ensayo titulado

“Fundamentos de Matemáticas” dividió a las paradojas en dos, a saber, ‘paradojas

lógicas’ o de teoría de conjuntos y ‘paradojas epistemológicas’ o semánticas.

Según Kleene (1974, p. 51) : “Ramsey (…) observó que las antinomias lógicas son

(aparentemente) detenidas por la jerarquía simple de tipos, y en cuanto a las

[paradojas] semánticas, se previene de que surjan dentro del lenguaje simbólico

por la ausencia en éste de medios requeridos para referirse a expresiones del

mismo lenguaje. (…)”. A la cabeza de cada tipo de paradojas se encontraban la

paradoja de Russell, y la paradoja del Mentiroso (las cuales actuaban como

condiciones sin las cuales no se garantizaba la consistencia de teorías formales o

semánticas, respectivamente). El primer grupo de paradojas involucran

esencialmente conceptos de la Teoría de Conjuntos (y también conceptos lógicos)

tales como clase, pertenencia, número ordinal, procedimiento diagonal, conjunto

potencia, etc., y como ejemplos de ellos tenemos: la paradoja de Russell, la de

Cantor y la de Burali-Forti. El segundo grupo de paradojas involucran conceptos

“semánticos”, conceptos “epistemológicos” (como el mismo Ramsey propuso) y

también conceptos “lingüísticos” (como aseguró originalmente Peano refiriéndose

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a la paradoja de Richard) tales como falso, falso de, definible, afirmación,

pensamiento, lenguaje, y en fin, términos empíricos no lógicos. Como ejemplos de

este segundo grupo tenemos la paradoja del Mentiroso y sus variantes, la

paradoja de Grelling (o de Weyl) (Ramsey, 1931, pp. 20-21), la de Richard y la de

Berry.

Bertrand Russell en “Los Principios de la Matemática” al respecto de la

clasificación de paradojas lógicas encuentra tres tipos de paradojas (no solo dos

como Ramsey propone): las paradojas matemáticas, las paradojas lógicas y los

trabalenguas irrelevantes que “aparentan” ser paradójicos. Sin embargo, a pesar

de esta triple división de las paradojas Russell no se olvida de la unidad al

pronunciarse en lo que atañe a la solución de todas las paradojas, las mismas que

nacen como el resultado de un error infiltrado en nuestros razonamientos que es

“diluible” con la Teoría Simple de los Tipos o su principio del círculo vicioso.

También, observemos que dentro de esta clasificación él privilegia su paradoja (la

de las clases) y la designa como lógica. Escribe Russell (1983, p. 16):

“A primera vista, las contradicciones parecen ser de tres tipos: las matemáticas, las lógicas y las que se puede sospechar que pueden deberse a juegos más o menos triviales de palabras. De las contradicciones definidamente matemáticas pueden tomarse como típicas las que se refieren a máximo cardinal [(paradoja de Cantor)] y al máximo ordinal [(paradoja de Burali-Forti)]. ”

Con esta visión russelliana de la división de las paradojas lógicas podemos

percatarnos de la necesidad de ser lo suficientemente amplio como para

considerar dentro de un mismo grupo la reunión de los contrarios

complementarios. Para Russell, las paradojas se dividirán en ‘lo que es una

paradoja de la ciencia formal x’, ‘lo que es una paradoja de la ciencia formal y’ y ‘lo

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que no es una paradoja aunque lo parezca’. Lo que no es una paradoja, aunque lo

parezca, es decir, lo falsídico, será o un argumento falaz o una oración infundada

con punto fijo máximo o intrínseco. Siguiendo la clasificación russelliana diremos

que la paradoja de Cantor y la paradoja de Burali-Forti son paradojas matemáticas

porque utilizan el lenguaje matemático de la Teoría de Conjuntos. También

afirmamos que las paradojas solo serán lógicas aceptando el enfoque logicista de

Russell que coloca a la Matemática como una rama de la Lógica. Rescataremos

en nuestra clasificación el criterio más amplio deslizado por Russell en su

clasificación. Sin embargo, el criterio de la unidad de la clasificación de Bertrand

Russell comparte la misma errónea premisa que el criterio de la clasificación de

Ramsey. Según ellos, lo paradójico es lo que puede resolverse. Estas posturas

apuestan por un optimismo latente que confía en que nuestra mente podrá salir

del estado paradójico mediante algún artificio lógico. Esta unidad, no obstante, no

se consolida gracias al carácter lógico (en sentido coloquial) de las paradojas. Lo

lógico para Russell se relaciona con el lenguaje de la Teoría de Conjuntos no con

el sentido de razonamiento, ni corrección.

Eugene P. Northrop en “Paradojas Matemáticas” afirma que: “El caso del

mentiroso que se contradice a sí mismo, no es más que uno, de toda una

colección de paradojas lógicas de considerable importancia [tales como la de

Protágoras, la de los barberos, la de Berry y la Grelling]. (…) ” (1949, p. 44).

Advirtamos que dentro de esta perspectiva todas las paradojas que estén

formuladas con la ayuda del lenguaje natural serán variantes de la paradoja del

Mentiroso. Notemos, además, que en relación a la paradoja de Grelling, Ramsey y

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Northrop coinciden, pues mientras el primero la considera como una paradoja

semántica, el segundo la considera como una paradoja variante de la del

Mentiroso. Como sugiere la cita, otro término universal usado por el mismo

Northrop para designar a todas las paradojas interesantes es el término ‘lógica’.

Con éste autor (y también con Karl Popper) el significado de ‘lógica’ en ‘paradoja

lógica’ es el mismo significado coloquial que asume en ciertos contextos como ‘lo

razonable’ o ‘el razonamiento’ mismo. En este sentido, afirmaremos que la

paradoja será lógica cuando sea interesante desde el punto de vista de sus

consecuencias, realmente problemática, y engañosa para el novato. Respecto a la

clasificación de Ramsey, Northrop no supone que la paradoja de Richard sea

parte de las paradojas semánticas. Según él: “cuando a principios de de este siglo

[Cantor], Burali-Forti, Russell, y Richard les pusieron un ropaje matemático [a las

paradojas lógicas] y las exhibieron en esta forma, originaron una revolución que

todavía no se ha extinguido.” (1949, p. 280). De acuerdo a la cita diremos que

para Eugene Northrop la paradoja richardiana es compañera de las paradojas de

la Teoría de Conjuntos. Esto es contrario respecto de lo sostenido por Ramsey

acerca de su carácter semántico y no-lógico (en el sentido de usar el lenguaje de

la Teoría de Conjuntos). Respecto de la clasificación de Russell, Northrop intenta

ser unicista sin lograrlo. Él se revela como un dualista que considera que las

paradojas lógicas son o bien variantes de la paradoja del Mentiroso formuladas

con el lenguaje natural o bien paradojas matemáticas disfrazadas con el lenguaje

formal.

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Según W. V. O. Quine (1976, pp. 1-18) en “The Ways of Paradox”, las

paradojas según el criterio más amplio (ya aplicado por Russell) son de tres tipos:

antinomias, paradojas verídicas y paradojas falsídicas. Las antinomias son las

paradojas que envuelven contradicciones insalvables que nos obligan a cambiar

nuestros esquemas conceptuales, principios y axiomas. Ejemplos de antinomias

para Quine son: la paradoja de Berry, la de Grelling, la familia oracional del

Mentiroso y la familia oracional de Russell. Este primer tipo de paradojas son

aquéllas cuya contradicción necesaria no puede ser explicada apelando al sentido

común estándar sino a una teoría forzada a mantener la consistencia. Las

paradojas verídicas son paradojas inofensivas y aparentes que demuestran

verdades en virtud de una prueba indirecta por reducción al absurdo trivial o no

trivial. La reducción al absurdo será trivial cuando la premisa negativa introducida

forme parte del proceso deductivo; será no trivial cuando la premisa negativa

introducida no forme parte del proceso deductivo. Ejemplos de paradojas

verídicas: familia argumental de Russell, paradoja de Galileo y paradojas

matemáticas. Las paradojas falsídicas son aquellas que pretenden demostrar algo

que en realidad es falso pero mediante pruebas tan persuasivas que parecen ser

verdaderos. Por ejemplo, las antinomias de Kant, las paradojas de Zenón, la

paradoja de Epiménides y la demostración de que 2=1 serían paradojas falsídicas.

Esta clasificación influirá decididamente la clasificación que propondremos.

Alfred Tarski en “Verdad y Prueba” (2000, pp. 191-230) sugirió una

clasificación de las paradojas basándose en el criterio de los contrarios

complementarios y el intermedio de tales contrarios. Según él, en la literatura en

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cuanto a las paradojas lógicas se pueden encontrar dos enfoques opuestos. Un

enfoque consiste en pasarlas por alto, para enfrentarlas como sofismas, como

juegos que no son serios, sino maliciosos y que tienen como fin principal mostrar

la inteligencia del hombre que las formula. De acuerdo con el enfoque opuesto, las

paradojas lógicas constituyen un elemento muy importante del pensamiento

humano, deben aparecer una y otra vez en las actividades intelectuales y su

presencia es la fuente básica del progreso real. El par de contrarios sofismas-

antinomias es el criterio clasificador de Tarski. Sin embargo, el propio Tarski

neutralmente pretenderá colocarse al medio de estos dos enfoques. Para él, la

paradoja es un signo de enfermedad que si no pone en riesgo la vida del

“paciente” (el sistema lógico), mejora su calidad de autodefensa (limitando ciertas

implicaciones y equivalencias notables). El tercer enfoque es aquél que acepta

que las paradojas no son sólo aparentes y ni sólo necesarias, sino aparentes y

necesarias a la vez, es decir, enfermedades inmunizadoras. Como hemos podido

apreciar los criterios más amplios de Quine y Tarski con respecto a la clasificación

de las paradojas que dividen a las paradojas en tres partes han mostrado cierto

éxito y no han dejado de conservar la unidad del concepto de paradoja. En nuestra

propuesta no dejaremos que se pierda esta triple partición paradojal que, de modo

general, se basa en el criterio de los opuestos. Este criterio de los opuestos usado

para clasificar paradojas es lo más universal, y lo más aceptable en virtud del

tercio excluso.

James F. Thomson en “On some Paradoxes” pretende hallar semejanzas

entre las paradojas semánticas y lógicas bajo una nueva clasificación que unifique

a las paradojas. Según Ferrater Mora (1994, pp. 2695-2696):

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“(…) Thomson ha estudiado la correspondencia o falta de correspondencia entre distintos tipos (o “familias”) de paradojas. A este efecto ha introducido las nociones de fundamentación (…) y falta de fundamentación (…). Estas nociones corresponden grosso modo a las familias lógica y semántica (o parasemántica), pero lejos de separar de nuevo los dos tipos o familias de paradojas dichas nociones permiten estudiar aspectos estructurales comunes a ellas. (…)”

Para Thomson, dentro de las Teorías de Relaciones la tautología más prominente

que comunica la paradoja “semántica” de Grelling con las paradojas lógicas de

Russell y de Richard es ésta: “Nada puede tener ninguna relación R con justa y

precisamente aquellas cosas que no tienen ellas mismas la relación R”. La

correspondencia o falta de correspondencia entre las distintas familias de

paradojas son estudiadas de acuerdo a los conceptos de fundamentación o falta

de fundamentación. En sentido flexible, fundar y fundamentar serán considerados

sinónimos. Según Kripke (que recoge las ideas de Hans G. Herzberger expuestas

en “Paradoxes of Grounding in Semantics”) el concepto de ‘fundación’ o ‘falta de

fundación’ puede explicarse de la siguiente manera para las paradojas

semánticas. En general, si una oración afirma que las oraciones de cierta clase C

son verdaderas, su valor de verdad puede evaluarse. Si algunas de estas

oraciones contienen a su vez la noción de verdad, su valor de verdad debe

evaluarse considerando otras oraciones y así sucesivamente. Si este proceso

finaliza en último término en oraciones que no contienen el concepto de verdad, de

manera que el valor de verdad del enunciado original puede establecerse,

decimos que la oración original es fundada; de otra manera será infundada. Para

las paradojas conjuntistas, el concepto de infundación estará asociado al de

circularidad: un conjunto estará infundado, si está construido con elementos que

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son circulares porque no pueden ser descritos sin apelar a otro conjunto que no

sea el mismo en el que están contenidos.

5. Crítica de la Clasificación de Ramsey

A pesar de las evidentes ventajas de las clasificaciones de Russell, Northrop,

Quine, Tarski y Thomson la clasificación de Ramsey sigue siendo la

preponderante en cuanto a la literatura vigente que sigue tratando a algunas

paradojas como ‘semánticas’ y a otras como ‘lógicas’. La clasificación de Ramsey

sigue siendo considerada el punto de referencia para elaborar una propia

clasificación. Por ello, en esta parte final criticaremos la clasificación de Ramsey

buscando consolidar los lineamientos principales de una próxima propuesta. En

primer lugar, trataremos la falta de unidad de la clasificación de Ramsey. Y, en

segundo lugar, trataremos la naturaleza no semántica de las paradojas de Grelling

y de Richard que son consideradas semánticas. Comenzaremos indicando la

implícita clasificación del propio Bertrand Russell quien “ (…) no consideró que las

paradojas se distribuyesen en dos grupos distintos, ya que pensaba que todas

ellas surgían como resultado de una falacia, de las violaciones del “principio del

círculo vicioso”.(…)” (Haack, 1982, pp. 161-162). Esta postura unicista se vería

confirmada por la formulación de la paradoja del Mentiroso sin términos

semánticos 5. Según Susan Haack (1982, p. 175), si esta paradoja fuera posible 5 Susan Haack en Filosofías de las Lógicas trata esta versión de la paradoja del Mentiroso considerando solamente el aspecto formal de la misma y dejando de lado el uso de predicados veritativos. La versión que presentamos a continuación está basada en la propuesta de Haack, pero ha sido modificada de tal modo que la premisa sea única puesto que ella prefiere utilizar dos y hasta tres premisas algo a nuestro parecer innecesario. Como ya hemos anotado, la formulación más simple de la paradoja del

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de formular en lenguaje formal, la clasificación de Ramsey sería inadecuada, dado

que

“(…) el hecho de que las paradojas puedan ser generadas sin predicados semánticos podría parecer sugerir que, después de todo, podría haber algo en el presentimiento que Russell tenía de que las paradojas no deberían manejarse en grupos distintos de acuerdo con los predicados semánticos o de teoría de conjuntos que ocurriesen esencialmente en ellas, sino que deberán manejarse todas juntas como resultado de una falacia. ”

Esta tentativa de clasificación es unificadora porque se basa en la idea de

que todas las paradojas tienen algo en común: todas las paradojas se originan por

una falla común de razonamiento, ellas son falacias. Este debe ser el principio de

toda clasificación: la unidad, como la que proclama Karl Popper cuando reduce la

totalidad de las paradojas a una de sus supuestas clases, y las llama a todas

juntas ‘paradojas lógicas’, como indicando que son ‘razonables’. A diferencia de

Northrop quien divide a las paradojas en dos grupos, según Popper (1962, p. 18)

las paradojas que son de un solo tipo, son las “(…) paradojas lógicas- [que tienen]

como [ejemplares a] la del mentiroso (“[E]n este momento no estoy diciendo la

verdad”) y las encontradas por Russell, Richard y otros-”. Este principio unitario se

levanta sobre la tentativa de encontrar algo común a todas las paradojas: lo lógico,

lo racional, lo real. Nuestra próxima clasificación de las paradojas en fuertes y

Mentiroso es la siguiente: “Esta oración es falsa”. En este caso hemos necesitado utilizar una oración más larga y más compleja. El argumento de la paradoja del Mentiroso es éste:1. La oración numerada con 1 es la oración “Toda oración numerada con 1 está negada”. POR LO TANTO, la oración numerada con 1 es verdadera sii es falsa. Hemos utilizado la siguiente abreviatura: el nombre r de “la oración numerada con 1”, además de los predicados veritativos correspondientes a la falsedad y la verdad, es decir, V o F. A nivel de reglas de deducción hemos considerado conveniente hacer uso de la regla que rige las identidades (I), según la cual si S es una fórmula abierta, de S y t 1 = t 2 es posible deducir T, siempre que T resulte de S por reemplazo de una o más indicencias de t1, en S, por t2. Enseguida presentamos el argumento sin desarrollar.

1. = y ( ( = y) y ) //

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débiles también partirá del supuesto de la correspondencia que todas las

paradojas deben guardar entre sí, ya sean paradojas reales o aparentes. Gracias

a esta visión unicista de las paradojas las consideraremos a todas como ‘lógicas’

en un sentido coloquial no riguroso.

La segunda evidente crítica a Ramsey es acerca de la consideración de la

paradoja de Grelling y la de Richard como paradojas semánticas o

epistemológicas: la de Grelling debería ser una paradoja lógica análoga a la de

Russell; y la de Richard debería ser una paradoja matemática. Como hemos visto

Northrop sostiene que la paradoja de Richard consiste en un ropaje matemático de

otra paradoja más simple, quizá la paradoja de Berry. Expone Arthur Pap (1970,

p. 273) en Semántica y Verdad Necesaria las razones que tiene para comparar la

paradoja de Russell con la de Grelling: “(…) la paradoja de Grelling Weyl referente

a la distinción heterológico-autológico, por ejemplo, se puede desarrollar sin

presumir ninguna premisa empírica (…), y a fortiori sin presumir un

acontecimiento-aseveración. En este respecto, es similar a las paradojas

puramente lógicas (como la paradoja de Russell) y diferente de la paradoja del

mentiroso.” Incluso Douglas R. Hofstadter (1987, p. 23) escribe: “Una variante

vistosa de la paradoja de Russell es la llamada paradoja de Grelling, en la cual se

utilizan adjetivos en vez de conjuntos. (…) ” Lo que sugieren las citas es que

Ramsey se equivoca en tipificar a la paradoja de Grelling como una paradoja

semántica, ella forma parte de la familia de Russell y se comporta como una

paradoja conjuntista. Estas y otras dificultades se derivan de la aceptación de la

clasificación de Ramsey de las paradojas en semánticas y de teoría de conjuntos.

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6. Propuesta de Clasificación de Paradojas Lógicas

El objetivo principal de este artículo radica en sentar las bases para una

clasificación de las paradojas. Con este fin, hemos citado y discutido los criterios

clasificatorios de 6 filósofos que se han pronunciado al respecto. Comenzamos

con la tradicional clasificación de Ramsey (1931) de las paradojas en lógicas y

semánticas. Esta resultó defectuosa en vista del criterio poco convincente de la

solucionabilidad. Dicho criterio supone que las paradojas son falacias bien

disfrazadas. Pero, ya hemos dicho que la paradoja no es una apariencia sino una

realidad: ella es la posibilidad increíble reconstruible en términos formales.

Además, dicha clasificación es insuficiente con respecto a las paradojas de

Grelling (1943) y de Richard que son, erróneamente, consideradas ‘semánticas’.

La clasificación de Russell (1983) de las paradojas busca la unidad de todas las

paradojas pero (de nuevo) a través del concepto de solucionabilidad. Asimismo,

esta clasificación resulta más abierta y abarcadora ya que considera que la

paradoja también puede ser una falacia que viola el principio del círculo vicioso.

No puedo aceptar el criterio de la solucionabilidad para hacer una clasificación de

las paradojas más adecuada, porque, de acuerdo a Popper (1962), la paradoja

lógica puede ser mejor entendida en su significado no-riguroso de tal manera que

abarquemos el mayor número de referentes. Y, además, porque según el

dialeteismo de Graham Priest (2008) es posible que existan contradicciones

verdaderas que no hagan triviales a los sistemas. La clasificación de Northrop

(1949), basada en la naturaleza del lenguaje utilizado para formular las paradojas,

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se dividió en: paradojas del lenguaje natural (variantes del Mentiroso) y paradojas

del lenguaje formal (paradojas matemáticas). Esta clasificación tuvo la virtud de

explicar la “matematicidad” de la paradoja de Richard. La clasificación de Quine

(1976) de las paradojas las dividió en: antinomias, paradojas verídicas y paradojas

falsídicas. Las antinomias son contradicciones que sirven para desechar falsos

presupuestos metateóricos, las paradojas verídicas son argumentos que funcionan

por reducción al absurdo y las paradojas falsídicas son falacias con apariencia de

paradoja. Modificaremos esta clasificación tripartita y la utilizaremos como criterio

en nuestra propuesta de clasificación de paradojas. La clasificación de Tarski

(2000) de las paradojas las dividió en tres especies: las paradojas positivas que

condicionan el avance de la ciencia, las paradojas que son falacias o sofismas y

las que tienen ambas características, es decir, las “enfermedades inmunizadoras”.

Este último tipo de paradojas se corresponden con las antinomias quineanas. La

clasificación de Thomson de las paradojas, según el criterio de la correspondencia

o falta de correspondencia, las dividió en fundamentadas y sin fundamentar

resaltando más las semejanzas que las diferencias que existen entre paradoja y

paradoja. Como hemos visto en la segunda parte de éste artículo, Kripke (1997)

en base a estos estudios pudo determinar la infundamentación semántica de

ciertas oraciones. 6

Para construir nuestra propia clasificación no aplicaremos el criterio que se

basa en si son o no solucionables o disolubles. El criterio más adecuado en este

caso es el de “todo lo que sobre, debe ser eliminado”: reunamos a todo en el par

6 Véase p. 3s de este artículo.

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de contrarios ‘es verdaderamente una paradoja’ y ‘no es un paradoja pero lo

parece’. Esta visión nos permitirá hablar en un primer nivel de paradojas fuertes y

paradojas débiles. Y dado que ‘ser la condición sin la cual no se garantiza

consistencia’ caracteriza tanto a la paradoja del Mentiroso dentro de las teorías

semánticas como a la de Russell dentro de las teorías de conjuntos, las dos

paradojas formarán un grupo de paradojas fuertes; las restantes paradojas

aparentes (es decir, las débiles) serán consideradas apenas las sombras de las

paradojas fuertes. Elegimos este par de términos contradictorios para poder

encontrar relaciones entre las paradojas y las malas imitaciones de ellas y,

además, porque nuestro objetivo es el de lograr la mayor abarcabilidad posible a

fin de reunirlo todo en uno, es decir, en la categoría “paradoja lógica” entendida

como paradoja razonada o formalizable con lenguaje lógico. Este será el primer

par de opuestos que abarcará el total de paradojas existentes. En un segundo

nivel, según el criterio de la clasificación de Quine, las paradojas fuertes serán o

bien antinomias o bien paradojas verídicas; y las paradojas débiles serán

paradojas falsídicas. Como podemos apreciar la clasificación de Quine ha dividido

en tres este grupo de dos. Las paradojas fuertes serán o bien antinomias o bien

paradojas verídicas. Las paradojas débiles serán paradojas falsídicas. En un

tercer nivel, siguiendo el criterio de la díada oraciones-argumentos, las antinomias

serán paradojas oracionales; las paradojas verídicas serán paradojas

argumentales; y las paradojas falsídicas que tienen apariencia de paradoja estarán

constituidas tanto por seudoparadojas (v. g. argumentos no paradójicos) como por

cuasiparadojas (v. g. oraciones no paradójicas). En este nivel, la naturaleza

oracional y argumental de la paradoja lógica será el nuevo criterio de las

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antinomias y de las paradojas verídicas, respectivamente. Las antinomias son las

paradojas oracionales que se constituyen sin muchas dificultades y que son

necesarias. Las paradojas verídicas son las paradojas argumentales que son

usadas como pruebas por reducción al absurdo. En cambio, las paradojas

falsídicas o débiles no son ni paradojas oracionales ni paradojas argumentales (es

decir, son cuasi y seudoparadojas) pero intentan ser sin éxito como ellas.

Finalmente, presentamos nuestra propuesta de clasificación gráficamente.

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BIBLIOGRAFÍA

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Paradojas lógicas

Paradojas fuertes Paradojas débiles

Antinomias Paradojas verídicas

Paradojas falsídicas

Familia oracional del Mentiroso

Familia oracional de Russell

Familia argumental del

Mentiroso

Cuasiparadojas SeudoparadojasParadojas matemáticas

Criterio fuerte-débil

Criterio de Quine Criterio de Quine

Criterio oración-argumento

Criterio oración-argumento

Criterio oración-argumento

Paradoja del Mentiroso

Versión de Haack

Versiones de Quine

Tarjeta de Jourdain

Libro antinómico de Tarski

Paradoja de Yablo

Paradoja de las clases

Paradoja de las propiedades

Paradoja de las relaciones

Paradoja de Eubúlides

Paradoja del Quijote

Dilema de los caníbales

Dilema del cocodrilo

Paradoja de Protágoras

Paradoja de Cantor

Paradoja de Russell

Paradoja de Richard

Paradoja de Burali-Forti

Oraciones con punto fijo intrínseco

Oraciones con punto fijo máximo

Tautologías lógicas

Paradoja de Epiménides

Principio de Verificación

El Honesto

Bucles finitos

Bucles infinitos

Paradoja de Aquiles y la

Tortuga

Primera Antinomia de

Kant

Paradoja Epiménides

Paradoja de Galileo

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