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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL.
PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
DE LOS PRISMAS Y CILINDROS EN LA ESCUELA PRIMARIA.
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN DESARROLLO EDUCATIVO
LINEA: INFORMÁTICA Y EDUCACIÓN
P R E S E N T A :
JESUS CASTILLEJOS AGUILAR
DIRECTOR DE TESIS: MTRO. WILLIAM JOSE GALLARDO
MÉXICO, D.F. SEPTIEMBRE 2001.
2
INTRODUCCION
La actividad física es un placer para una persona sana. La actividad intelectual también lo
es. La matemática orientada como saber hacer autónomo, bajo una guía adecuada, es un
ejercicio atrayente. De hecho, una gran parte de los niños y jóvenes pueden ser introducidos
de forma agradable en actividades y manipulaciones que constituyen el inicio de un
conocimiento matemático.
El gusto por el descubrimiento en matemáticas es posible y fuertemente motivador para
superar otros aspectos rutinarios necesarios de su aprendizaje. La apreciación de las
posibles aplicaciones del pensamiento matemático en las ciencias y en las tecnologías
actuales puede llenar de asombro y placer a muchas personas más orientadas hacia la
práctica. Otros se sentirán más movidos ante la contemplación de los impactos que la
matemática ha ejercido sobre la historia del hombre, o ante la intervención de las
computadoras en la educación.
Es necesario pensar que la enseñanza de las matemáticas no es aburrida, inútil, inhumana y
muy difícil. El siglo XIX fue el siglo de oro del desarrollo de la geometría elemental, del tipo de
geometría al que tradicionalmente se dedicaba la enseñanza inicial de la matemática, que
vivía a la sombra de creaciones muy interesantes y muy de moda de la matemática superior
tales como la geometría descriptiva, geometría proyectiva, geometría sintética, geometrías no
euclidianas, entre otras. El mismo sentido geométrico que estimuló los desarrollos
espectaculares del siglo XIX sigue vivo también hoy en campos tales como la teoría de
grafos, teoría de cuerpos convexos, geometría combinatoria y la teoría de optimización. Como
rasgos comunes a todos estos desarrollos se pueden señalar: una fuerte relación con la
intuición espacial, un cierto componente lúdico y tal vez un rechazo tácito de desarrollos
analíticos excesivos.
Entonces se debe permitir jugar a quien más le gusta para que se beneficie con el juego
matemático.
La necesidad de una vuelta del espíritu geométrico a la enseñanza matemática, es algo en lo
que se está de acuerdo y se intenta llevar a cabo. Se evita una introducción rigurosamente
sostenida en una geometría axiomática, sin que ello signifique que ésta no sea necesaria. Sin
embargo, se requiere de una orientación que consista en que las clases de matemáticas, no
3
se hagan de un modo único, y dar cabida a otros recursos matemáticos como los procesos
de matematización que los mismos niños hacen aún con su lenguaje informal y el empleo de
programas computacionales.
Dado que el estudio de las Matemáticas presenta un campo tan amplio, se realizó la
investigación hacia uno de sus aspectos: la geometría, particularizando en el estudio de los
prismas y el cilindro, haciendo referencia al concepto, clasificación y manejo de fórmulas
para el cálculo del volumen, el área lateral y el área total, en correspondencia con lo
establecido en los ejes temáticos de Geometría y Medición, así como Contenidos de 5º y 6º
grados, de educación primaria del Plan y Programas 93 vigente, correspondientes a la
asignatura de matemáticas.
Lo anterior mediante el empleo de un software educativo en cuya programación se
desglosan actividades que favorecen el trabajo en equipo, la realización de juegos que
permiten al educando ir diseñando estrategias que lo conduzcan a la apropiación del
conocimiento, contando además con el apoyo de materiales concretos.
Los niños manifiestan efectos adecuados a sus preferencias intelectuales a través del uso
de las computadoras, y además efectúan actividades como escribir, dibujar, comunicarse y
obtener información que afirma su identidad intelectual; aprenden a utilizar estas tecnologías
de manera más emotiva que lo que aprenden en procesos tradicionales. Además aprenden a
utilizar la tecnología de manera sencilla y con naturalidad; de aquí, la necesidad de
vislumbrar este potencial para generar herramientas adecuadas para transmitir el
conocimiento.
Se determinan a las computadoras, como herramientas didácticas de innovación, cuya
utilidad va mucho más allá de la realización de tareas administrativas o como sustituto de una
máquina de escribir.
Este fenómeno comunicativo y masivo de la actualidad, manifiesta su carácter educativo
con una proyección específica para ello, como el caso de las computadoras y por otra parte,
el impacto que provoca la globalización y las implicaciones de exigencias de un desarrollo,
que requiere más capacidades analíticas y críticas; las cuales están formando parte de la
visión de la escuela. Se puede lograr en la escuela la capacidad de este nuevo desarrollo y
una reorganización del quehacer pedagógico de profesores para darle cabida a lo nuevo y
que éstos revaloren su labor social.
4
El quehacer dentro de algunas escuelas, apunta en dirección a los requerimientos de un
aprendizaje efectivo y significativo debido a la exigencia de la aprehensión en forma
sistemática del conocimiento y la experiencia de los alumnos, incluso en la posibilidad de la
construcción propia del conocimiento.
Las computadoras representan recursos didácticos para que los alumnos se vean
favorecidos en los resultados de su aprendizaje.
Con el conocimiento y puesta en práctica de diversos programas computacionales, se ha
tenido la inquietud de realizar un software educativo con una propuesta alternativa de
manejo, que ofrece a los educandos la apropiación de estrategias que les faciliten la
adquisición de conocimientos acerca de los prismas y el cilindro.
En el capitulo I, se hace una introducción a la Planeación e instrumentación didáctica desde
el punto de vista del aprendizaje, así como otros que son consustanciales a dicha
instrumentación, como los objetivos, contenidos, actividades o situaciones de aprendizaje y
evaluación con el fin de ofrecer un marco de referencia, ya que la concepción del aprendizaje
determina el manejo que se haga de todos los componentes de esta propuesta o
programación didáctica.
Ya que una propuesta didáctica es la organización de los factores que intervienen en un
proceso de enseñanza- aprendizaje, con el fin de facilitar en un tiempo determinado el
desarrollo de las estructuras cognoscitivas, la adquisición de habilidades y los cambios de
actitud en el alumno, para su diseño, entran en juego diversas interpretaciones de acuerdo al
marco teórico desde el cual se enfoque y, la forma específica como se haga operativa
dependerá de la postura que se adopte, en consecuencia es pertinente reflexionar sobre las
diversas posturas didácticas en el quehacer docente con el fin de llegar a comprender el
porqué de una sustentación constructivista en esta propuesta de aprendizaje.
En el capítulo II desde un punto de vista didáctico, científico e histórico, se describen los
contenidos espacial e intuitivo de la matemática, en lo que se refiere a la geometría y los
prismas, en los conceptos que provienen de ésta, para brindar información a los lectores de
la presente tesis que pretendan aplicarlo con sus educandos para apoyarlos en la exploración
y análisis racional del espacio físico en que viven, de la figura, de la forma física y del cuerpo.
Una vez revisada la parte que corresponde al sustento teórico en el Capítulo I y a la
información sobre los prismas, sus relaciones geométricas y conceptos referidos en el
5
Capítulo II. En el Capítulo III, se hace referencia al papel que juega la computadora en la
enseñanza, a los modelos computacionales en los procesos de aprendizaje con un análisis
que permitió tomar elementos a considerar en el diseño del software educativo “Los prismas
y el cilindro”, así como de aquellos otros elementos que también se tomaron en cuenta, de
exploraciones sobre programas preferidos por los niños, que dan referentes importantes para
el diseño de la interfaz del software educativo.
También, se describe a través de diagramas, el código fuente de manera general de toda la
estructura de programación realizada para el desarrollo del software.
Posteriormente se describe la fase de monitoreo de aplicación del Software “Los prismas y
el cilindro” en algunas escuelas, lo que da lugar a la Propuesta de enseñanza sobre prismas y
cilindros donde el alumno aplica sus conocimientos geométricos previos y construye sus
propios conceptos. Sin embargo, la experimentación se debe continuar para obtener más
elementos que ayuden a correcciones futuras con base a muestras más grandes.
6
CAPÍTULO I.
ENFOQUES EDUCATIVOS.
1.1 PLANEACIÓN E INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA. Al hablar de instrumentación didáctica, es importante partir de un concepto de aprendizaje
así como otros que son consustanciales a dicha instrumentación como los objetivos,
contenidos, actividades o situaciones de aprendizaje y la evaluación y con ello formar un
marco de referencia, ya que la concepción del aprendizaje determina el manejo que se
efectúe de todos los componentes de una planeación o programación didáctica.
El concepto de planeación didáctica, se presta a diversas interpretaciones de acuerdo al
marco teórico desde el cual se enfoque y, la forma específica como se haga operativo,
dependerá de la postura que se adopte.
Con mucha frecuencia, a la instrumentación didáctica suele ubicársele en los límites
estrechos del aula, por lo cual no se abre una posibilidad de análisis que contemple otros
elementos sustantivos inherentes a la instrumentación didáctica, como pueden ser los
esquemas referenciales de los alumnos, su importancia en la dinámica interna del grupo, la
problemática específica de la institución, la del plan de estudios, la de la organización
académico-administrativa, etc.
La planeación didáctica es “ la organización de los factores que interviene en el proceso de
enseñanza- aprendizaje, a fin de facilitar en un tiempo determinado el desarrollo de las
estructuras cognoscitivas, la adquisición de habilidades y los cambios de actitud en el
alumno. Es el quehacer docente en constante replanteamiento, susceptible de continuas
modificaciones, producto de revisiones de todo un proceso de evaluación “1.
La planeación didáctica se desarrolla en tres situaciones básicas:
- Cuando el maestro organiza los elementos o factores que incidirán en el proceso, sin
tener presente al alumno, más allá de las características genéricas del grupo.
- Cuando se detecta la situación real de los sujetos que aprenden y se comprueba el
valor de la planeación como una propuesta teórica, tanto en sus partes como en la
totalidad.
1 PANSZA González Margarita y otros. Instrumentación didáctica. Conceptos Generales, en Fundamentación didáctica, México, Gernika, 1988. pp 168.
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- Cuando se rehace la planeación a partir de la puesta en marcha concreta de las
acciones o interacciones previstas.
La instrumentación didáctica no solamente consiste en el acto de planear, organizar,
seleccionar, decidir y disponer de todos los elementos que hacen posible la puesta en
marcha del proceso de enseñanza- aprendizaje, sino representa además, el acontecer en el
aula como una actividad circunstanciada, con una gama de determinaciones, tanto
institucionales como sociales.
1.1.1 LA DIDÁCTICA TRADICIONAL.
La pedagogía y la didáctica han sido caracterizadas en diferentes concepciones que han
abordado históricamente la relación enseñanza- aprendizaje y la función que han tenido los
protagonistas de este proceso: docentes y alumnos.
En la pedagogía tradicional del siglo XIX, los ideales educativos estaban representados por
el cultivo a la inteligencia y el hábito de la disciplina mediante los mecanismos que lo hacían
posible, como la memorización y la repetición, además, el vínculo docente- alumno se
caracterizaba por una relación autoritaria, derivada del poder que la sociedad le adjudicaba al
status del maestro, mientras que en el alumno destacaban las actitudes de imitación,
obediencia y pasividad.
La noción de la didáctica tradicional que se maneja con frecuencia es muy relativa, dado
que esta corriente educativa no se puede considerar como un modelo puro, sino que existen
distintas versiones e interpretaciones al respecto.
De hecho, la educación tradicional pone en marcha preponderantemente la formación del
hombre que el sistema social requiere. En ella cuenta el intelecto del educando mientras deja
de lado el desarrollo afectivo y en la domesticación y freno del desarrollo social suelen ser
sinónimos de disciplina”2.
2 Ibidem. pp. 170
8
En esta forma de educación sistemática, el maestro, consciente o no de ello, ha venido
siendo factor determinante en la tarea de fomentar, entre otras cosas el conformismo a través
de la imposición del orden y la disciplina vigentes que tienen su origen en la propia familia.
Según Hans Aebli, esta corriente educativa se ubica en la lógica de la psicología sensual-
empirista, dado que concibe la noción de las cosas y los fenómenos como derivados de
imágenes mentales, de intuiciones y de percepciones.
La psicología sensual- empirista explica el origen de las ideas a partir de la experiencia
sensible y no atribuye al sujeto sino un papel insignificante en su adquisición. Esta postura
encuentra su expresión más clara en la clásica concepción filosófica de que el espíritu del
niño es una tabla rasa sobre la que se imprimen progresivamente las impresiones
proporcionadas a través de los sentidos, y que lo único que varía de un sujeto a otro es el
grado de sensibilidad.
La escuela tradicional es la escuela de los modelos intelectuales y morales. Para
alcanzarlos hay que regular la inteligencia y encarnar la disciplina; la memoria, la repetición y
el ejercicio son los mecanismos que lo posibilitan.
En la didáctica tradicional, se maneja un concepto receptivista del aprendizaje, porque se le
concibe como la capacidad para retener y repetir información, es decir, la acción
cognoscitiva registra los estímulos procedentes del exterior y el producto de este proceso de
conocimiento, es un reflejo cuya génesis está en la relación mecánica del objeto sobre el
sujeto. En este modelo los educandos no son llamados a conocer sino a memorizar, y el
papel del profesor es el de un mediador entre el saber y los educandos.
Los componentes de la instrumentación didáctica dentro de la didáctica tradicional
presentan las siguientes características:
Objetivos de aprendizaje.
Los planes y programas de estudio cubren este rubro de manera muy general, y llega a ser
en forma ambigua y difusa. Se formulan a través de grandes metas, como políticas
orientadoras de la enseñanza más que de aprendizaje, es decir, el aspecto de la
intencionalidad de la enseñanza centra su atención en ciertas metas o propósitos de la
institución y del profesor, más que explicitar los aprendizajes importantes a que deben arribar
los educandos. En consecuencia, el profesor no tiene suficientemente claros los propósitos
9
que persigue, por lo que el alumno menos tiene la posibilidad de conocer las metas que debe
tener.
Contenidos de la enseñanza.
Se maneja como un listado de temas, capítulos o unidades. Un signo muy característico de
este enfoque es el enciclopedismo, representado por un gran cúmulo de conocimientos que
el alumno tiene que aprender. Este fenómeno se expresa en la fragmentación y abuso del
detalle. Los contenidos no requieren que el estudiante realice un esfuerzo de comprensión e
interpretación, sino de memorización y repetición. En suma, los contenidos se consideran
como algo estático, recortado, acabado, legitimado, con pocas posibilidades de análisis y
discusión, o de objeción y de proposición de alternativas por parte de profesores y
estudiantes.
Actividades de aprendizaje.
En este tipo de enseñanza no existen variantes significativas; por el contrario, el profesor
se limita en términos generales al uso de la exposición.
Es el predominio de la cátedra magisterial, de la clásica lección, donde el alumno asume
fundamentalmente su papel de espectador. El extremo de esta práctica se da cuando se cae
en el verbalismo, considerado como el mecanismo a través del cual esta educación oculta la
verdad en la palabra, en detrimento de la observación sistemática y la experiencia vivida.
Los recursos empleados en este modelo son escasos, los más frecuentes son: notas,
textos, láminas, carteles, gis, pizarrón, empleados más de las veces sin criterios teóricos
claros que permitan seleccionarlos, organizarlos y aplicarlos adecuadamente a cada
situación de aprendizaje.
La evaluación del aprendizaje.
Tradicionalmente se ha concebido y practicado la evaluación escolar como una actividad
terminal del proceso de enseñanza- aprendizaje; se le ha adjudicada una posición estática e
intrascendente en el proceso didáctico; se le ha conferido una función mecánica consistente
en aplicar exámenes y asignar calificaciones al final del curso; se ha utilizado además como
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un arma de represión e intimidación que los profesores suelen esgrimir en contra de sus
alumnos.
La evaluación, no obstante la trascendencia en la toma de decisiones del acto docente, ha
cumplido más bien el papel de auxiliar en la tarea administrativa de las instituciones
educativas.
Un rasgo interesante es la nula consideración del grupo como propiciador de aprendizajes,
así como los roles de profesor y alumno que suelen considerarse como estáticos. En
términos generales, la didáctica tradicional se preocupa por la transmisión del conocimiento
o descubrimiento del mismo.
1.1.2. TECNOLOGÍA EDUCATIVA.
Esta corriente se genera en México en la década de los 50’s como consecuencia de la
expansión económica caracterizada por considerables inversiones extranjeras y el empleo de
tecnología más desarrollada. Bajo este contexto, “ la tecnología educativa retoma el carácter
instrumental de la didáctica para racionalizar al máximo la enseñanza en el aula.; en ella se
convergen e interactúan una serie de prácticas educativas pero sin existir una reflexión
mayor sobre ellas por lo que cae en un practicismo inmediatista carente de una crítica previa
a su implantación “3.
Aunque verdaderamente la tecnología educativa se propone explícitamente superar los
problemas de la escuela tradicional, durante la práctica esta idea se enfocó a las formas, es
decir, al cómo de la enseñanza, sin cuestionarse el qué y para qué del aprendizaje. Por otra
parte, cambió en cierta medida la dinámica, ya que se pasa del receptivismo al activismo,
sobre ello estudiosos como Vainstein lo calificó como la ocurrencia de un “salto vertiginoso
del problema a la solución” sin mediar para ello un proceso de reflexión y elaboración, como
condicionante para reelaborar el marco teórico de esta propuesta didáctica.
Dentro de las prioridades de la tecnología educativa está el replanteamiento del rol de poder
que juega el maestro con respecto al alumno, sin embargo, la realidad era que el poder del
maestro cambia de naturaleza desde el punto de vista de que su autoridad ya no reside tanto
3 Ibidem. pp. 174
11
en el dominio de contenidos sino en el dominio de las técnicas, y con ello obtiene una
condición de control de la situación educativa. Es decir, da la impresión de que el maestro se
eclipsa del centro de la escena y juega el papel principal el alumno. Pero esta actitud tiene
detrás del clima democrático principios rigurosos de planeación y de estructuración de la
enseñanza.
La tecnología educativa se apoya en los supuestos teóricos de la psicología conductista,
porque entiende el aprendizaje como conjunto de cambios y/o manifestaciones en la
conducta que se opera en el sujeto como resultado de acciones determinadas y a la
enseñanza como el control de la situación en la que ocurre el aprendizaje.
La didáctica de esta versión de carácter instrumental brinda una serie de recursos técnicos
para que el maestro controle, dirija, oriente y manipule el aprendizaje, el maestro se convierte
en un ingeniero conductual.
Los elementos principales de esta instrumentación didáctica son los siguientes:
-Objetivos de aprendizaje:
Punto de partida de una programación didáctica. Estos objetivos se definen como la
descripción y delimitación clara, precisa y unívoca de las conductas que se espera que el
educando logre y manifieste al final de un ciclo escolar que puede corresponder a un tema,
unidad, capítulo, etc.
Una de las tesis fundamentales del discurso de la tecnología educativa, en términos de
programación didáctica, es la especificación de objetivos de aprendizaje, los cuales
constituyen la definición operatoria de los cambios propuestos en la conducta del estudiante
como resultado de sus experiencias de aprendizaje.
Benjamín Bloom, con su obra Taxonomía de los objetivos de la educación, que mayor
influencia tuvo y sigue teniendo en el campo de la programación didáctica por objetivos de
aprendizaje, sus trabajos desarrollados en torno a la taxonomía de los objetivos de la
educación divididos en los dominios cognoscitivo, afectivo y psicomotor, marcaron pautas a
seguir en el terreno de la formulación de objetivos conductuales; pero ello tiene serias
implicaciones que se reflejan en la forma de entender el aprendizaje debido a que uno de sus
rasgos característicos es sostener que en el aprendizaje prevalece como condición necesaria
un criterio rígido de organización lógico-psicológica como factor para que el aprendizaje se
produzca.
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-Análisis de los contenidos:
En la noción de objetivos conductuales que sustenta la tecnología educativa, subyace un
concepto fragmentado y mecanicista del aprendizaje, del conocimiento y consecuentemente
de la realidad; el problema de los contenidos pasa en segundo plano porque son algo ya dado
y validado por la institución educativa y sus grupos de “expertos”, lo importante no son los
contenidos, sino las conductas.
-Actividades de aprendizaje:
Para la tecnología educativa, al enseñanza se define como el control de la situación en que
sucede el aprendizaje, los procedimientos y técnicas didácticas son estudiados,
seleccionados, organizados y controlados con anticipación al proceso de enseñanza y en
consecuencia, rechaza terminantemente la improvización.
Se considera al salón de clases como un laboratorio donde se experimentan técnicas,
recursos y experiencias de aprendizaje.
-Evaluación del aprendizaje:
En la corriente de la tecnología educativa, la evaluación se concibe por la relación de los
objetivos de aprendizaje y con el concepto de aprendizaje mismo. es decir, se entiende por
aprendizaje la modificación de la conducta como resultado de la experiencia. Esta
concepción de aprendizaje se reduce a lo que el sujeto cognoscente es capaz de manifestar
de modo objetivo.
La evaluación se ocupa de la verificación y/o comprobación de los aprendizajes planteados
en los objetivos buscando evidencias exactas relacionadas con las conductas formuladas
con anticipación y papa ello, se hace necesario elaborar instrumentos de evaluación
adecuados para tal fin (no se evalúa, se mide), las preguntas o reactivos de exámenes
(pruebas) no son otra cosa que definiciones operacionales de los objetivos de aprendizaje.
Es muy importante considerar que en la tecnología educativa se maneja una noción de
evaluación cuyas características distintivas se expresan en mecanismos de control de
eficiencia y retroalimentación del sistema del sujeto sometido al proceso, considerándolo
como un ser aislado sin determinaciones (descontextuado de lo social).
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1.1.3. DIDÁCTICA CRÍTICA
La didáctica crítica, “es considerada aún como una propuesta en construcción, que va
configurándose sin un grado de caracterización como es el caso de la Didáctica Tradicional y
la Tecnología Educativa “4.
Esta didáctica, requiere dos elementos:
a) Considerar de su competencia el análisis de los fines de la educación.
b) No considerar que su tareas central sea guiar, orientar, dirigir o instrumentar el proceso
de aprendizaje en el que están inmersos el docente y el alumno.
La didáctica crítica es una propuesta que no trata de cambiar una modalidad técnica por
otra, sino que plantea analizar “críticamente” la práctica docente, la dinámica de la institución
y los roles de sus miembros, entre otros.
Hay que considerar que es toda la situación de aprendizaje la que realmente educa, con
todos los que intervienen en ella, en la que nadie tiene la última palabra, todos aprenden de
todos y sobre todo lo que realizan en conjunto.
Aunque sabemos que las modificaciones en el terreno didáctico no se pueden realizar
tajantemente, pueden ser producto del análisis y la reflexión, por ello, la Didáctica Crítica
supone desarrollar en el docente una actividad científica, apoyada en la investigación, en el
espíritu crítico y en la autocrítica.
Con la perspectiva de la didáctica crítica, se evita hablar de clasificaciones exhaustivas de
los objetos, únicamente se emplean categorías de Objetivos Terminales y Objetivos de la
Unidad. Ahora no se trata sólo de cuestionarse qué contenido debe ser presentado a las
necesidades de cada situación educativa, sino preguntarse a quién corresponde el
seleccionarlo y estructurarlo, si la tarea del profesor sólo debe concretarse a cubrir el
requisito de programarlo o si le compete participar en un análisis y determinación.
El problema de los contenidos es un renglón fundamental en la tarea del docente; el
problema del conocimiento, por sus múltiples determinantes e implicaciones políticas e
ideológicas, convierte al contenido en una verdadera encrucijada, cuyo análisis, enfoque y
metodología para tratarlo, confronta carencias, dificultades y limitaciones.
4 Ibidem. pp. 210
14
Hoy, debido a los efectos de la carga ideológica, el conocimiento escolarizado se ha
fragmentado excesivamente impidiendo a profesores y alumnos contemplar la realidad como
una totalidad concreta y coherente.
En el proceso de enseñanza-aprendizaje es fundamental presentar los contenidos lo menos
fragmentados posible y promover aprendizajes que impliquen operaciones superiores del
pensamiento como son: el análisis y la síntesis, así como las capacidades críticas y creativas.
Se requiere buscar las relaciones e interacciones en que se manifiesta el conocimiento y no
presentarlo como fragmento independiente y estático.
1.1.3.1. EL CONSTRUCTIVISMO
Hay que cuestionarse la noción que tienen los docentes sobre las teorías que sustentan la
Modernización Educativa; es decir, al Plan Y Programas, ya que de ello depende la posición
que asuman dentro del aula frente al proceso de aprendizaje de los alumnos. En toda práctica
educativa subyace una concepción de aprendizaje que orienta la acción educativa,
otorgándole mayor énfasis a uno y otro de los protagonistas en el proceso de enseñanza y de
aprendizaje.
En México, se han emprendido reformas educativas porque, entre otras razones, “ existe
una gran distancia entre lo que los alumnos pueden y tienen interés por aprender y lo que
presenta la institución escolar. La búsqueda de solución a este problema, suele subyacer al
empleo de conceptos y teorías psicológicas en los procesos de las reformas educativas “5.
Se oye hablar de constructivismo como si estuviera claro lo que significa y todos dijeran lo
mismo. Sin embargo, no es cierto. Se pueden entender cosas muy diferentes por
constructivismo. De igual manera se cree que es algo totalmente elaborado como si fuera una
tarea en el sentido estricto del término cuando no hay una teoría totalmente elaborada de la
construcción del conocimiento de la escuela.
5 CARRETERO Mario. Constructivismo y educación. Edelvives. Madrid, 1993. pp.46
15
La concepción constructivista “ es ahora un campo para reflexionar y una estrategia para
actuar. No es asumir la teoría constructivista de la enseñanza y el aprendizaje como una
forma de solución a todos los males, sino como un instrumento de reflexión y acción “6.
La concepción constructivista de la enseñanza y el aprendizaje es ahora una empresa
integradora, por la sencilla razón de integrar ideas de otras teorías (Piaget, Vigotsky,
Ausubel...) que poseen más elementos en común que diferencias y se insertan en un
esquema coherente de conjunto.
La perspectiva constructivista consiste en aceptar lo común y lo propio de cada una de
ciertas teorías y a partir de éstas formular una nueva.
Los puntos de controversia entre estas teorías no son tan significativas como para conducir
a pensar que son excluyentes entre sí. Hay que observar su complementariedad y
funcionalismo. El constructivismo sostiene que el niño construye su particular modo de
pensar, de conocer activamente, como consecuencia de la interacción de sus capacidades
innatas y la exploración ambiental que realiza a través del tratamiento de la información que
recibe de su entorno.
En el constructivismo, el aprendizaje no puede ser entendido únicamente como el resultado
de una influencia externa, sino como un proceso dinámico e interactivo a través del cual la
información externa es interpretada y reinterpretada por la mente que va construyendo
progresivamente. Lo que el sujeto construye son significados, es decir, representaciones
relativas a los contenidos.
Constructivismo es la construcción propia que se va produciendo diario, como resultado de
la interacción de los aspectos cognitivos y sociales. De acuerdo a esto, el conocimiento no es
una copia de la realidad sino una construcción del ser humano.
Para hablar de constructivismo, se requieren tres puntos:
- ¿ Quién construye ?
- ¿ Qué se construye ?
- ¿ Cómo se construye ?
6 LUNA Pichardo, Laura Hilda. Teorías que sustentan el Plan y Programas 93 en Educativa No.8, Departamento Académico de Educ. Primaria, SEP, México. 1997. pp. 5
16
para el ámbito de trabajo escolar, quien construye es el alumno, porque es él, quien elabora
sus conocimientos y nadie lo puede hacer por él (principio básico de la concepción
constructivista).
La actividad constructivista del alumno se da cuando éste manipula, descubre inventa,
explora, escucha, lee, recibe explicaciones, etc.; aunque es evidente que determinadas
situaciones favorecen más o menos la actividad constructivista. Lo que se construye son
saberes ya preexistentes que es lo específico de la situación escolar.
Alumno y maestro en la escuela, se encuentran con que tienen que reconstruir
conocimientos que ya están construidos y que son más o menos aceptados como saberes o
formas culturales a nivel social. Por ejemplo, cuando el alumno ingresa a la escuela, tiene
que construir el sistema de la lengua escrita, tiene que aprender a leer y a escribir, aunque es
obvio que la lengua escrita ya está construida antes de que éste se inicie en el aprendizaje.
Se construye cuando el conjunto de informaciones y series de fuentes diferentes que le
llegan al alumno, son seleccionadas, organizadas de una manera determinada y establece
relaciones entre ella, es decir, el alumno construye un modelo o una representación de un
contenido, cuando aprende un contenido le atribuye un significado; en este proceso de
elaboración de conocimientos, los contenidos previos son fundamentales porque son con los
que el alumno se acerca al nuevo contenido de aprendizaje. Todo conocimiento nuevo se
construye a partir de otro anterior (otro principio básico del constructivismo)
En una perspectiva constructivista, el maestro ya no es un transmisor, sino un guía, un
orientador que intente engarzar los procesos de construcción del alumno con el saber
colectivo, culturalmente organizado; y organizar los procesos de construcción del alumno
hacia lo que significan y representan los contenidos escolares.
Un aprendizaje constructivista es el resultado de aplicar el sentido común a la enseñanza.
PIAGET.
Biólogo, filósofo, psicólogo y pedagogo suizo, orientó sus trabajos hacia la formación de
los conocimientos en el niño. Uno de sus grandes descubrimientos fue el poner de manifiesto
que el crecimiento intelectual no consiste en una adición de conocimientos sino en grandes
períodos de reestructuración, incluso en la reestructuración de las mismas informaciones
anteriores, las cuales cambian de naturaleza al entrar a un nuevo sistema de relaciones.
17
En su teoría, el conocimiento objetivo aparece como un logro y no como un dato inicial. La
vía para el conocimiento objetivo no es lineal, ni por aproximaciones paso a paso agregando
piezas de conocimiento una sobre otra, sino por reestructuramientos globales, algunos de los
cuales son erróneos respecto al punto final, pero constructivos en la medida en que le
permiten acceder a él.
Según Piaget, toda nueva adquisición implica construir, es decir, aprender siempre implica
construir. El desarrollo intelectual es un proceso de reestructuración del conocimiento, que
comienza con una estructura o forma de pensar propia de un nivel. Algún cambio externo o
instrucciones de pensar crean conflicto y desequilibrio; la persona compensa esa confusión y
resuelve el conflicto a través de su propia actividad intelectual, con ello resulta una nueva
forma de pensar y estructurar las cosas que da lugar a la nueva comprensión y satisfacción
del sujeto, en un estado de equilibrio.
VIGOTSKY.
Lev Seminovich Vigotsky, nacido en Bielorrusia en 1896, hijo de familia judía de posición
prominente en la ciudad de Gomel, se destacó desde sus estudios elementales tanto en el
campo de la ciencia como en el de la literatura, estudió derecho como carrera base y
literatura, lingüística y filosofía como estudios complementarios.
Al terminar sus estudios regresó a Gomel y aceptó trabajar en la Escuela de formación de
docentes, decisión que le permitió seguir integrándose en la lingüística y la literatura, y
además le abrió una nueva perspectiva: la investigación en pedagogía y especialmente en los
aspectos de psicopedagogía.
Vigotsky se interesó en 3 áreas de estudio e investigación:
- Las relacionadas a cuestiones pedagógicas. Enseñó psicología y la aplicó a la educación.
- Las referidas al arte, a su promoción y búsqueda de las raíces culturales de la creación
artística.
- Las propias a la psicología. Vigotsky relaciona todas éstas áreas con la génesis de la
cultura.
La propuesta de Vigotsky se fundamenta en la creación de zonas de desarrollo próximo con
los alumnos para determinados dominios del conocimiento. La creación de éstas zonas se da
en un contexto interpersonal maestro-alumno. El interés del maestro consiste en trasladar al
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educando de los niveles inferiores a los superiores de la zona “prestando” un cierto nivel de
competencia cognoscitiva y guiando con una sensibilidad muy fina, con base en los
desempeños alcanzados por los alumnos; lo que un niño es capaz de hacer hoy con ayuda de
alguien, mañana podrá hacerlo por sí solo.
Es importante observar, que el educando durante todo ese proceso debe ser activo y
manifestar un alto nivel de involucramiento en la tarea.
El trabajo del docente debe preocuparse menos por las conductas, conocimientos
automatizados y más por aquellos en proceso de cambio.
Los procesos de desarrollo no son independientes de los procesos educativos, ambos
están relacionados desde el primer día de vida del niño, en tanto que éste es participante de
un contexto sociocultural y los otros (compañeros, padres, escuela, computadora, etc.),
quienes interactúan con él para transmitirle la cultura. La cultura proporciona a los
integrantes de una sociedad las herramientas requeridas para modificar su entorno físico y
social, por ejemplo, las relaciones matemáticas y las dimensiones (lenguaje de área y
volumen)
La enseñanza debe coordinarse con el desarrollo del niño en sus dos niveles real y
potencial, sobre todo el segundo, para promover niveles superiores de avance y
autorregulación.
Vigotsky remarca la importancia que tiene la instrucción formal en el crecimiento de las
funciones psicológicas superiores (la memoria, la inteligencia y en especial el leguaje, etc.)
adquiridas, primero en un contexto social y luego se internalizan.
D.P. AUSUBEL.
La aportación fundamental de Ausubel, consistió en la concepción de que el aprendizaje
debe ser una actividad significativa para la persona que aprende. La significatividad está
directamente relacionada con la existencia de relaciones entre el conocimiento nuevo y el que
ya posee el alumno. Aprender es sinónimo de comprender, lo que se comprende será lo que
se aprenderá y recordará mejor porque quedará integrado en nuestra estructura de
conocimientos.
19
1.2 LA DIDÁCTICA CRITICA EN LAS MATEMÁTICAS.
La puesta en práctica de la didáctica de la psicología de Piaget respecto a las matemáticas
debe partir del supuesto de que el pensamiento no es un conjunto de términos estáticos, una
colección de “contenidos de conciencia”, de imágenes, etc., sino un juego de operaciones
vivientes y actuantes.
La imagen no es el elemento fundamental del pensamiento; mas bien forma su soporte, con
frecuencia útil pero no indispensable, debido a que la imagen propia constituye un acto real y
no un residuo de sensación: es una reproducción de los trazos principales de la exploración
perceptiva que tuvo lugar durante la percepción de su modelo. Decir que el alumno debe
conocer la geometría equivale entonces a aprender a ejecutar determinadas operaciones, ya
que éstas definen a las nociones y es su ejecución lo que debe provocar la enseñanza,
efectivamente primero y bajo forma interiorizada o representativa después.
Interpretadas las matemáticas en términos de operaciones, para provocar su adquisición
por el alumno, se crean situaciones de tal manera que el alumno pueda construir las
operaciones que debe adquirir. Debe apelar a los esquemas anteriores de los que dispone y a
partir de ellos desarrollar nuevos procesos y conceptos,.
La concepción constructivista piagetiana implica algunas limitaciones importantes. En
primer lugar, se ha ocupado fundamentalmente de la construcción de estructuras mentales y
ha presentado una escasa o nula atención a los contenidos específicos. En segundo lugar,
para Piaget el proceso de construcción del conocimiento es un proceso fundamentalmente
interno e individual, basado en el proceso de equilibración, que la influencia del medio sólo
puede favorecer o dificultar.
Las propuestas pedagógicas inspiradas en el constructivismo piagetiano se caracterizan
por la poca atención a los contenidos y a la interacción social y en consecuencia, a la
instrucción. Aquí se reflexiona acerca de aprender matemáticas, con la aplicación de un
software educativo, que vincule los contenidos a través de interacciones y se genere la
construcción de estructuras mentales con la guía del docente.
Gran parte del éxito de las matemáticas, es atribuible a la variedad de aplicaciones de la
misma, dentro de las diversas actividades humanas, es decir, las variedades de aplicaciones
20
en campos tan diversos se debe esencialmente a la utilización, para la resolución de
problemas prácticos dentro de dichos campos, del método de los modelos matemáticos.
Un método de los modelos matemáticos es una especie de “método axiomático deductivo
en miniatura” debido a que conserva la misma estructura y funcionamiento de este, a saber;
elementos dados (axiomas), razonamiento deductivo, y elementos deducidos a partir de lo
dado.
De esta manera, cuando se aplica el método de los modelos matemáticos, ésta estructura y
funcionamiento es empleada en la resolución de problemas del comercio, la industria, etc.
Los elementos dados suelen ser las características, propiedades o hechos que el matemático
considera esenciales, dentro de un problema práctico de alguna actividad humana.
Los elementos que se producen sólo son los conocimientos deducidos empleando una
lógica aristotélica a partir de los elementos dados, con el propósito de lograr aplicaciones
útiles a la situación real que les dio origen.
Esta estructura del método de los modelos matemáticos se puede adoptar con una
presentación más accesible y adecuada en la educación primaria, de forma didáctica para la
construcción de conocimientos matemáticos, y esto sucede cuando se da el caso de que las
características, propiedades o hechos esenciales de una situación o problema, pueden ser
representados por un modelo material o recurso manipulativo, como un geoplano, tangrama o
programa de computadora adecuado a las características esenciales del problema.
En este caso las características esenciales del problema en cuestión no se manejarán en
forma deductiva, sino empírica e inductivamente, esto es, se propicia la interacción del
alumno con su entorno a través del empleo de material o modelos físicos.
Como ejemplo a lo anterior, el siguiente problema puede resolverse en varias formas
alternativas a través de la construcción de modelos materiales de las características,
propiedades o “actores” esenciales en el problema.
“Un campesino acompañado de un perro, un pollo y una bolsa de maíz, desea cruzar un río
en una lancha, en la que sólo caben él y una de sus pertenencias. Si cruza por ejemplo, con el
perro, deja solos el pollo y la bolsa de maíz, y aquél se come a éste. Si cruza con la bolsa de
maíz, el perro se como al pollo. ¿ Cómo podrá cruzar el río sin perder alguna de sus
pertenencias ?
21
Parece que desde tiempos antes de cristo (previo a la aparición del método axiomático-
deductivo) los griegos desarrollaron otro método de hacer matemáticas, que con base a sus
características serían comparables con un juego sin utilidad práctica en el que se jugaba con
dos instrumentos geométricos, una regla euclidiana y un compás euclidiano, (la regla sin
graduación alguna y el compás plegadizo), si la regla actual se usa sólo como borde liso y el
compás para dibujar un círculo, entonces estas herramientas equivaldrían a las euclidianas,
porque permitirían jugar el mismo juego, ajeno a fines pragmáticos que consiste en resolver
problemas de construcción de figuras geométricas con base a dos reglas:
- Con la regla sólo se permite dibujar rectas de longitud indefinida a través de dos puntos
distintos dados.
- Con el compás sólo se permitía dibujar el círculo con un punto dado como centro y que
pasara por un segundo punto dado.
Los problemas de construcción podían ser:
- Construir un hexágono regular.
- Construir un círculo inscrito en un triángulo.
- Construir una línea perpendicular a otra dada.
La historia de las construcciones geométricas con herramientas euclidianas, reveló que 3
famosos problemas de construcción permanecieran inmunes a cualquier intento por
resolverlos durante más de 2000 años. Dichos problemas fueron los siguientes:
- La duplicación de un cubo (Encontrar con regla y compás la longitud del lado del cubo
cuyo volumen es el doble de otro cubo dado)
- La trisección de un ángulo arbitrario (Encontrar con regla y compás, los trisectores de un
ángulo arbitrario)
- La cuadratura del círculo (Construir con regla y compás un cuadrado de igual área que la
del círculo dado)
Estos problemas ilustran y hacen plausibles algunas de las características de la didáctica
constructivista, a saber:
- El papel fundamental de los problemas como elementos iniciadores o desencadenadores
de construcción de conocimiento.
Los intentos por resolver los 3 famosos problemas de construcción de la antigüedad
generaron saber matemático por más de 2000 años.
22
La necesidad de que los problemas sean ubicados en un nivel aceptable de operatividad, es
decir, lo suficientemente difíciles para provocar un conflicto cognitivo que induzca al
funcionamiento de los procesos mentales necesarios para su resolución, y lo suficientemente
significativos para que el alumno disponga de los medios conceptuales para su comprensión
y herramientas para su resolución.
1.3 La Psicología de las Matemáticas
Dentro de un enfoque psicológico centrado en responder preguntas acerca del aprendizaje y
la ejecución de las matemáticas, debemos llegar a comprender la estructura del contenido en
sí, es decir, comprender algo acerca de las matemáticas como las ve el matemático.
Esta perspectiva dualista (conocimiento de la estructura de las matemáticas, y el
conocimiento de cómo los alumnos piensan, razonan y emplean sus capacidades
intelectuales) nos ofrece los elementos necesarios para una psicología adecuada en la
enseñanza de las matemáticas. Es el estudio de cómo el contenido y el pensamiento humano
se interrelacionan.
Hoy se define a la psicología de las matemáticas como:
El campo particular de la investigación de la enseñanza desde hace décadas, el aprendizaje del contenido
no ha sido centro de experimentos ni de teorías psicológicas porque la psicología se ha ocupado sobre todo
de los principios universales del aprendizaje, del pensamiento y del desarrollo, dando por hecho que los
principios generales proporcionan automáticamente la explicación de la conducta de las personas en
situaciones específicas.7
Se sabe mucho acerca de las características generales del aprendizaje humano - las
condiciones en las que las personas aprenden, cómo recuerdan y cómo se interrelaciona el
aprendizaje con el recuerdo del pasado, sin embargo, faltan referencias de cómo devolver
esta información a su contexto natural - la aplicación de los conocimientos a la vida real -
7 RESNICK Lauren B. La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. Paidós. España, 1990. pp.16
23
para que nos diga todo lo posible acerca de cómo se aprenden contenidos determinados,
como los referidos a geometría en las matemáticas.
A principios del siglo XX, los trabajos realizados por Edward L. Thorndike fueron las
primeras manifestaciones de una psicología de la educación basada en el aprendizaje de
contenidos, en los 30's se empezaron a distanciar la psicología experimental y la educativa y
el los 50's, los psicólogos conductistas se volvieron a interesar en los problemas de la
instrucción, y algunos como B. F. Skinner empezaron a aplicar sistemáticamente a la
educación los principios del análisis conductual y de la teoría del refuerzo, desarrollaron
técnicas de aprendizaje programadas y diseñaron entornos de aula que pretendían reforzar el
aprendizaje, desde los puntos de vista social e intelectual y al mismo tiempo los psicólogos
experimentales comenzaron a ampliar su campo de estudios para incluir en el mismo las
conductas no observables, como el razonamiento , el pensamiento y la resolución de
problemas naciendo el campo de la psicología experimental llamado Psicología cognitiva.
En nuestros días, se puede apuntar hacia una psicología del contenido, específicamente la
psicología de las matemáticas, que trate directa y explícitamente de la interacción entre la
estructura del contenido y la naturaleza del pensamiento humano con el fin de que ofrezca las
bases para el desarrollo de la teoría y para la práctica de la enseñanza de este campo.
Una de las definiciones posibles de las matemáticas es como "conjunto de reglas y
procedimientos para realizar cálculos" aunque no lo parezca, esta definición domina casi toda
la enseñanza matemática de las escuelas primarias, porque la realización de cálculos domina
las matemáticas de las escuelas.
E. L. Thorndike, es en cierto modo, el "padre fundador de la psicología de las matemáticas",
porque se apoyaba en una tradición de experimentos de laboratorio y a la vez aprovechar los
descubrimientos de los experimentos para establecer directrices para la enseñanza en el
aula. En su libro " The Psychology of Aritmetic", publicado en 1922 se da la aportación de la
ley del efecto "Cuando se realiza una conexión modificable entre una situación y una
respuesta, y dicha conexión está acompañada o seguida de un estado de cosas satisfactorio,
se aumenta la fuerza de dicha conexión: cuando se realiza y está acompañada o seguida de
24
un estado de cosas molesto, su fuerza disminuye"8, versión anterior de lo que hoy se
denomina principios de refuerzo.
Cómo se podrían construir capacidades complejas, a partir de las más sencillas, y cómo se
podía aplicar este principio de "ordenación", que se refleja en las jerarquías de aprendizaje,
para mejorar el aprendizaje de las matemáticas.
En las matemáticas hay que aprender más que el cálculo puro, los alumnos deben
comprender algunos conceptos básicos de las matemáticas, entre ellos los conceptos
subyacentes a las reglas y los procedimientos de la aritmética sencilla, también a aprender a
aplicar de forma flexible y correcta sus conocimientos conceptuales y de procedimiento de
resolución de los problemas de matemáticas.
Algunos educadores como Brownell advertían de los peligros al emplear los ejercicios y la
práctica como técnica primordial de la enseñanza, porque creían que los niños llegarían a
entender las matemáticas como un conjunto de datos y procedimientos que no se
relacionaban entre sí, y no como un conjunto de estructuras de conocimiento complejas e
interrelacionadas.
1.4 LAS ESTRUCTURAS DE LAS MATEMÁTICAS
Las estructuras matemáticas “ son el sustracto matemático de los conceptos y de las
habilidades “ 9 ; y para entenderlas, hay que comprender en consecuencia las interrelaciones
entre los conceptos y las operaciones como las reglas por las que se pueden manipular y
reorganizar para descubrir nuevos patrones y propiedades.
Con el empleo de objetos concretos en el que los alumnos manipulan y descubren
soluciones a las cuestiones del profesor, se intenta transmitir conceptos matemáticos
complejos en términos sencillos de forma que se consigue el aprendizaje con una
comprensión y un significado.
8 Ibidem. pp. 27 9 Ibidem. pp. 129
25
Para entender mejor lo anterior se analiza una secuencia de enseñanza, diseñada para
poner de manifiesto las estructuras matemáticas acerca del cálculo del volumen de un prisma
rectangular en geometría. El maestro o la maestra pueden demostrar al niño que para calcular
el volumen de cualquier prisma rectangular, basta con multiplicar los siguientes datos: la
medida de la longitud de la base, la medida del ancho de la base y la altura del prisma
(Volumen = largo x ancho x altura). Después los profesores podrían dar a los alumnos más
problemas de muestra para trabajar este algoritmo de solución. Este algoritmo es
perfectamente aceptable, y se espera que el niño sea capaz de emplearlo de forma rápida sin
tener que recordar la lógica paso a paso y de la misma manera no requerir del análisis visual
ni manipulable del cuerpo geométrico. Pero tal algoritmo de solución al cálculo del volumen
de un prisma rectangular se debe aprender "con un significado", es decir, en el contexto de
una comprensión del concepto de volumen y su relación estructural con el prisma. En este
caso, se debe atrasar la presentación del algoritmo de solución para evitar el empleo de una
representación simbólica para un procedimiento de cálculo de volumen, hasta que vaya
aprendiendo a fondo lo que representa a través de la manipulación y visualización del cuerpo
en estudio.
El tipo de enseñanza inicial refleja con precisión la estructura matemática que es el
fundamento del algoritmo de solución para el cálculo del volumen de todo prisma rectangular.
Pero ¿hasta qué punto responden estos métodos de enseñanza a las capacidades
intelectuales específicas de los alumnos? Si se pretende conseguir que los alumnos
adquieran una comprensión de las estructuras matemáticas, no se debelimitar a señalar
dichas estructuras, también hay que determinar qué capacidades cognoscitivas aportan los
alumnos al aprendizaje de la matemáticas y cómo se interrelacionan con las capacidades de
los niños los actos de enseñanza que presentan dichas estructuras. Es decir, se debe
disponer de una teoría del funcionamiento intelectual con la cual evaluar la posibilidad de que
las presentaciones pedagógicas específicas lleguen a formar la comprensión adecuada.
26
CAPITULO II GEOMETRÍA DE PRISMAS Y CILINDROS
2.1 CONCEPTOS BÁSICOS RELACIONADOS A LOS PRISMAS CUERPO GEOMÉTRICO Todo aquello que ocupa un lugar en el espacio como una pluma, un disco, un papel, etc., se
denomina “cuerpo”, y la extensión del lugar ocupado por éste se llama “volumen del cuerpo”.
Ahora bien, un “ Cuerpo geométrico es toda porción limitada del espacio “10, sea o no
ocupada por materia, ya que en los cuerpos geométricos sólo se atiende a la forma y se hace
abstracción de la materia.
Superficie: Es el límite de los cuerpos y dicho límite determina su forma y los separa del
espacio inmediato.
Línea: Es el límite de las superficies indicando el contorno o perímetro.
Punto: Es el límite de las líneas y define sus extremos o la intersección de varias de ellas.
Por ejemplo, en la siguiente imagen, el prisma cuadrangular es un “cuerpo geométrico”, sus
caras laterales y las bases son superficies, sus aristas son líneas y sus vértices son puntos.
10 WENTWORTH Jorge. Geometría Plana y del espacio. Porrúa. México, 1986. pp. 2
Caras laterales
Vértices
aristas
PRISMA CUADRANGULAR
27
DIMENSIONES DE LOS CUERPOS
Los cuerpos tienen 3 dimensiones: largo o longitud, ancho o anchura, y alto o altura. A esta
última dimensión a veces se le denomina grueso, espesor o profundidad.
Algunos cuerpos como la esfera, no tienen sus dimensiones muy visibles; sin embargo, por
analogía, se les puede atribuir longitud, ancho y altura.
DIMENSIONES DE LAS SUPERFICIES Y LÍNEAS
Las superficies tienen sólo 2 dimensiones: largo y ancho y las líneas no tienen más que una
sola dimensión, que es la longitud. Por otra parte, el punto es el límite elemental de la
extensión y carece de dimensiones.
EL PUNTO Y TODA SU ABSTRACCIÓN.
La superficie, la línea y el punto no existen en realidad fuera de los cuerpos geométricos,
pero se pueden concebir aisladamente por medio de consideraciones abstractas. Por
ejemplo, si tenemos un cuerpo y éste empieza a disminuir indefinidamente en sus
dimensiones, la reducción total de éste culminará en un punto y éste punto al moverse de
manera libre en el espacio, generará una línea, luego la línea genera una superficie, y luego la
superficie generará de nuevo un cuerpo.
Pero, si dicha línea se desliza sobre sí misma, no generará ninguna superficie, y si la
superficie se desliza sobre sí misma no generará cuerpo alguno.
28
LA GEOMETRÍA
La geometría es la ciencia que estudia las propiedades de las formas geométricas y la medida
de su extensión. Comprende la geometría plana y la geometría del espacio.
La geometría plana o planimetría, estudia y trata sobre las formas o figuras planas, es decir,
aquellas cuyos elementos están todos en un mismo plano, estando éste en cualquier
inclinación, no sólo de manera horizontal, ya que el plano puede estar en infinitas posiciones
respecto al espacio.
La geometría del espacio o esterometría, estudia y trata sobre las formas y figuras cuyos
elementos no están en un mismo plano.
2.2. POLÍGONOS
Polígono: “ Se llama polígono a una figura plana limitada por rectas, las cuales forman una
línea quebrada cerrada “11.
Los lados son las rectas que limitan el polígono, y atendiendo al número de lados o
ángulos, los polígonos se clasifican en triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos,
heptágonos, octágonos, eneágonos, decágonos, endecágonos, dodecágonos,
pentedecágonos, según tengan 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 lados, etc.
Polígonos convexos y cóncavos.
Los polígonos convexos, se caracterizan por tener todos sus ángulos menores que 180º.
11 WENTWORTH Op. Cit. pp. 68
29
Por ejemplo los siguientes triángulos:
Todos los triángulos dada su construcción geométrica sólo pueden estar dentro de la
clasificación de polígonos convexos, debido a que la suma total de sus 3 ángulos internos es
igual a 180º.
Según las características de los lados y ángulos, los polígonos se denominan de la
siguiente manera:
Polígono equilátero: es el que tiene todos sus lados iguales.
Polígono equiángulo: es el que tiene todos sus ángulos iguales.
Polígono regular: es el que es a la vez equilátero y equiángulo.
2.3. POLIEDROS – PRISMAS. Se llama poliedro al “ cuerpo o sólido geométrico limitado por planos, las intersecciones de
estos planos forman polígonos llamados caras del poliedro; los lados de las caras se llaman
aristas; y las intersecciones de las aristas se llaman vértices “12. Los diedros y los ángulos
poliedros formados por las caras son los ángulos diedros y poliedros del poliedro.
Un poliedro regular es un cuerpo cuyas caras son polígonos regulares iguales y cuyos
ángulos poliedros son también iguales, de acuerdo al número de caras, los poliedros se
clasifican en tetratedros, pentaedros, hexaedros, etc.
Con referencia a lo anterior, se llama PRISMA “al poliedro formado por dos caras iguales y
paralelas cuyas caras restantes son paralelogramos. Las caras iguales y paralelas se
denominan bases, y las demás se denominan caras laterales” 13.
En todo prisma, “ las aristas laterales son iguales y paralelas y la altura está determinada
como la distancia que hay entre las dos bases, medida por la perpendicular común a ellas “14.
12 SEP. Matemáticas I, Mexicana, México, 1980. pp 200 13 WENTWORTH Op. Cit. pp. 317 14 Idem.
30
Los prismas son rectos si las aristas laterales son perpendiculares a las bases y en
consecuencia, las aristas laterales son iguales a la altura. Cuando las aristas laterales no son
perpendiculares a las bases y diferentes a la altura, se denominan prismas oblicuos.
Un prisma es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. según sean sus bases triángulos,
cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.
AREA LATERAL Y TOTAL DEL PRISMA
El área lateral de un prisma es igual al producto de la medida de la arista lateral por el
perímetro de la sección recta (perímetro de los polígonos que tiene como bases).
El área total es igual al área lateral más el área de ambas bases.
2.3.1. LOS TRIÁNGULOS, EL PRISMA TRIANGULAR Y SU DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN.
TRIANGULO.
Se llama triángulo, al polígono de tres lados.
La base de un triángulo es el lado sobre el cual parece descansar, dependiendo de la
perspectiva en que sea observado y no restringirlo sólo a una posición. Se puede observar en
los triángulos arriba trazados, que las alturas respectivas serán las perpendiculares a las
bases o a sus prolongaciones, trazadas desde el vértice opuesto al lado considerado como
base. Es decir, en todos los triángulos, cualquiera de sus 3 lados pueden considerarse como
bases y en consecuencia pueden trazarse a éstas 3 perpendiculares o alturas. A cada base
corresponde una altura.
31
CLASES DE TRIANGULOS:
Con relación a los lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos.
Triángulo equilátero: es el triángulo que tiene los 3 lados iguales.
Triángulo isósceles: es el triángulo que tiene 2 lados iguales Triángulo escaleno: es el triángulo que tiene los 3 lados desiguales.
Con relación a los ángulos, los triángulos se clasifican en acutángulos, rectángulos y
obtusángulos:
Triángulo acutángulo: es el triángulo que tiene sus 3 ángulos agudos (es decir, menores de
90º cada uno)
Triángulo rectángulo: es el triángulo en el que uno de sus 3 ángulos es recto ( un ángulo
mide 90º ).
Triángulo obtusángulo: es el triángulo en el que uno de sus tres ángulos es obtuso. ( un
ángulo mayor de 90º y menor de 180º )
32
PRISMA TRIANGULAR.
Con base a las referencias del prisma y a la clasificación de los triángulos, el prisma
triangular, es un poliedro cuyas bases son paralelas e iguales y están determinadas por
triángulos y además es RECTO si sus aristas laterales son perpendiculares a las bases e
iguales a la altura y OBLICUO cuando sus aristas laterales no son perpendiculares a las
bases y diferentes a la altura.
Si el prisma tiene como bases triángulos equiláteros, se denomina PRISMA TRIANGULAR
REGULAR, debido a que sus bases son polígonos regulares, es decir, todos los lados son
iguales. Cuando el prisma triangular tiene como bases, triángulos distintos al equilátero, en
consecuencia las respectivas caras laterales varían de acuerdo a las diferencias de longitud
de los lados; denominándose a este tipo de prismas como TRIANGULARES IRREGULARES.
AREA LATERAL
PRISMA TRIANGULAR
RECTO RECTO REGULAR IRREGULAR
33
El área lateral del prisma triangular, es el total de la superficie de las 3 caras laterales (ya
sean éstas cuadradas o rectangulares).
Por construcción geométrica, para calcular el área lateral del prisma triangular; ésta
equivale a la suma de las áreas de cada una de las caras laterales:
AREA LATERAL =
Y dado que la suma de las bases de las caras laterales es igual al perímetro del triángulo de
las bases, entonces obtenemos la siguiente fórmula:
AREA LATERAL = Perímetro de la base triangular X Altura del Prisma
AREA LATERAL
+ +
Base x Altura Base x Altura Base x Altura
34
AREA TOTAL
El área total del Prisma Triangular, se refiere a la superficie total externa de dicho prisma, la
cual equivale a la suma de las áreas de las 5 figuras geométricas que lo conforman: 3 caras
laterales rectangulares o cuadradas y 2 bases triangulares iguales.
El área total del prisma triangular, es la suma de las áreas de todas las figuras geométricas
que conforman su desarrollo plano.
ALTURA
LADO 1 LADO 2
LADO 3 Puesto que para calcular el área lateral, ésta se obtiene del producto del perímetro de la base por la medida de la altura. Para obtener el área total, se agrega el área de las bases triangulares. Observando la relación geométrica de los datos de las bases, se deriva la siguiente fórmula: AREA TOTAL DEL PRISMA TRIANGULAR=
Area lateral + Area de las 2 bases triangulares
35
VOLUMEN DEL PRISMA TRIANGULAR.
El volumen del prisma triangular, es la medida de espacio que ocupa, y se obtiene del
producto del área de la base triangular y la medida de la altura. Esto es fácil de entender, por
ejemplo, si se van juntando triángulos iguales de papel, conforme aumente la cantidad de
éstos, se irá conformando un prisma triangular, lo que permite observar que la superficie del
triangulo es constante y en cambio la altura del prisma que se va generando es variable.
VOLUMEN DEL PRISMA TRIANGULAR
V = (AREA DE LA BASE TRIANGULAR) X ALTURA DEL PRISMA
V = ( )X ALTURA
DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN. Al desarrollar un prisma triangular, se trazan en un plano todas sus caras, dispuestas de
cierta manera que, doblando las diferentes partes de la figura, resulte un cuerpo hueco de
igual forma y magnitud que el prisma propuesto.
BASE X ALTURA 2
Estas medidas de la base y la altura, son las referidas a las del triángulo de base. Esta altura es la del triángulo, no la del prisma.
ALTURA
BASE
ALTURA
36
El desarrollo plano de cualquier Prisma Triangular, está conformado por 5 figuras geométricas: 2 triángulos y 3 paralelogramos (cuadrados o rectángulos)
37
2.3.2. EL CUADRADO, EL PRISMA CUADRANGULAR Y SU DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN.
CUADRADO
Se llama cuadrado a la “ figura geométrica que tiene sus cuatro lados iguales y sus
ángulos rectos “15. Dadas sus características geométricas, pertenece al conjunto de
paralelogramos por ser un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos y paralelos 2 a 2.
PROPIEDADES GENERALES DEL CUADRADO
- Sus lados opuestos son paralelos y tiene lados perpendiculares.
- Sus ángulos contíguos internos son suplementarios (suman 180 grados)
- Sus 4 lados tienen la misma longitud.
- Las diagonales se cortan en el punto medio.
El área de un cuadrado en función de sus lados, es igual al producto de la longitud
de 2 sus lados (lado x lado)
Area = l x l
l = longitud de cualquiera de los lados.
El área del cuadrado en función de la diagonal, es igual a la mitad del cuadrado de
su diagonal.
Si A = Area del cuadrado y d = diagonal del cuadrado, se tiene:
A =
15 BALDOR, Aurelio. ARITMÉTICA. Edime, España, 1990. pp.451
d _ 2
2
38
PRISMA CUADRANGULAR.
El prisma cuadrangular, es un poliedro cuyas bases son paralelas e iguales y están
determinadas por cuadrados, de aquí se deriva su nombre; y cuando sus aristas laterales
son perpendiculares a las bases e iguales a la altura, se considera como “regular”.
La altura del prisma cuadrangular, es la distancia que hay entre las dos bases cuadradas y
se mide por la perpendicular común a ellas. Cuando se iguala la medida de la altura del
prisma cuadrangular a la medida de la longitud de cualquiera de los lados del cuadrado de
las bases, se forma entonces un CUBO.
Las bases son las caras iguales y paralelas
BASE CARAS LATERALES ARISTAS
CUBO
39
AREA LATERAL
El área lateral del prisma cuadrangular, es el total de la superficie de las 4 caras
laterales.
Por construcción geométrica, para calcular el área lateral del prisma cuadrangular,
ésta equivale a la suma del área de cada una de las caras laterales:
AREA LATERAL =
Base x Altura Base x Altura Base x Altura Base x Altura
y puesto que la suma de las bases de las caras laterales es igual al perímetro del
cuadrado de las bases, entonces obtenemos la siguiente fórmula:
AREA LATERAL = Perímetro de la base cuadrada X Altura del Prisma
AREA LATERAL
+ + +
40
AREA TOTAL
El área total del Prisma Cuadrangular, se refiere a la superficie total externa de
dicho prisma, la cual equivale a la suma de las áreas de las 4 caras laterales y de las 2
bases cuadradas.
LADO LADO
El área total del prisma cuadrangular, es la suma de las áreas de todas las figuras
geométricas que conforman su desarrollo plano.
Puesto que para calcular el área lateral, ésta se obtiene por el producto del perímetro de la base por la medida de la altura. Para obtener el área total, sólo basta agregar el área de las bases cuadradas. Observando la relación geométrica de los datos de las bases, se deriva la siguiente fórmula: AREA TOTAL DEL PRISMA CUADRANGULAR
=
Ares lateral + Area de las 2 bases ó
(4 X lado X altura) + 2 (Lado )
ALTURA
2
41
VOLUMEN DEL PRISMA CUADRANGULAR.
El volumen del prisma cuadrangular, es la medida de espacio que ocupa, y se
obtiene del producto del área de la base cuadrada y la medida de la altura. Esto es
fácil de entender, por ejemplo, si se van juntando cuadrados de papel, conforme
aumente la cantidad de éstos, se irá conformando un prisma cuadrangular, lo que nos
permite observar que la superficie del cuadrado es constante y en cambio la altura del
prisma que se va generando es variable.
VOLUMEN DEL PRISMA CUADRANGULAR
V = LADO X LADO X ALTURA DEL PRISMA
V = LADO ² X ALTURA
DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN. Al desarrollar un prisma cuadrangular, se trazan en un plano todas sus caras, dispuestas
de cierta manera que, doblando las diferentes partes de la figura, resulta el cuerpo hueco de
igual forma y magnitud que el prisma cuadrangular propuesto.
El desarrollo plano de todo Prisma Cuadrangular está conformado de 6 figuras geométricas:
2 cuadrados y 4 rectángulos.
ALTURA
LADO
42
2.3.3. EL RECTÁNGULO, EL PRISMA RECTANGULAR Y SU DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN.
RECTÁNGULO
Se llama rectángulo a la figura geométrica que tiene sus lados opuestos iguales dos a dos y
sus 4 ángulos son rectos. Dadas sus características geométricas, pertenece al conjunto de
paralelogramos por ser un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos y paralelos.
PROPIEDADES GENERALES DEL RECTÁNGULO
- Todos sus lados opuestos son paralelos y perpendiculares.
- Sus ángulos contíguos internos son suplementarios (suman 180 grados)
- Sus lados tienen la misma longitud dos a dos.
- Las diagonales se cortan en el punto medio.
El área de un rectángulo, es igual al producto de su base por su altura. Dependiendo de cuál
sea considerado el lado como base, éste puede ser mayor o menor que la altura y no afecta
la relación geométrica.
Siendo A = Area del rectángulo, b = base y h = altura, se tiene:
A = b X h
BASE
BASE BASE
A L T U R A
ALTURA
ALTURA
43
PRISMA RECTANGULAR. ( ORTOEDRO)
El prisma rectangular, es un poliedro cuyas bases son paralelas e iguales y están
determinadas por rectángulos, de aquí se deriva su nombre aunque también se llama
ORTOEDRO; dada su construcción geométrica, cuando sus aristas laterales son
perpendiculares a las bases e iguales a la altura, se considera como “regular”.
Las 6 caras que conforman a todo prisma rectangular, son rectangulares.
La altura del prisma rectangular, es la distancia que hay entre las dos bases y se mide por la
perpendicular común a ellas. Cuando se ajusta la longitud de la altura del prisma rectangular
a la medida de la longitud de cualquiera de los lados de los rectángulos de las bases, se
forma entonces un PRISMA CUADRANGULAR. Aquí se aprecia una gran semejanza
geométrica entre el Prisma rectangular y el Prisma cuadrangular; la diferencia sólo radica en
el número de caras rectangulares que tiene cada uno de ellos, mientras uno tiene 6 caras
rectangulares, el otro tiene 4 caras rectangulares y 2 caras cuadradas.
Las bases son las caras iguales y paralelas
BASE CARAS LATERALES ARISTAS
44
AREA LATERAL DEL PRISMA RECTANGULAR U ORTOEDRO.
El área lateral del prisma rectangular, es el total de la superficie de las 4 caras laterales
rectangulares.
Por su construcción geométrica, para calcular el área lateral del prisma rectangular,
ésta equivale a la suma del área de cada una de las 4 caras laterales rectangulares:
AREA LATERAL =
Base x Altura Base x Altura Base x Altura Base x Altura
y puesto que la suma de las bases de las caras laterales es igual al perímetro del
rectángulo de las bases, entonces obtenemos la siguiente fórmula:
AREA LATERAL = Perímetro de la base rectangular X Altura del Prisma
+ + +
45
AREA TOTAL
El área total del Prisma Cuadrangular, se refiere a la superficie total externa de dicho
prisma, la cual equivale a la suma de las áreas de las 4 caras laterales rectangulares y de las 2
bases también rectangulares.
El área total del prisma rectangular, es la suma de las áreas de todas las figuras
geométricas que conforman su desarrollo plano, el cual está formado por 6
rectángulos.
Puesto que para calcular el área lateral, ésta se obtiene del producto del perímetro de la base por la medida de la altura. Para obtener el área total, sólo basta agregar el área de las bases rectangulares. Observando la relación geométrica de los datos del prisma, se deriva la siguiente fórmula:
AREA TOTAL DEL PRISMA RECTANGULAR =
Ares lateral + Area de las 2 bases ó
( Perímetro de la base X Altura) + 2 ( Largo X Ancho )
A L T U R A
LARGO ANCHO
46
VOLUMEN DEL PRISMA RECTANGULAR.
El volumen del prisma rectangular, es la medida de espacio que ocupa, y se obtiene del
producto del área de la base y la medida de la altura. Esto es fácil de entender, por ejemplo, si
vamos juntando rectángulos de papel, conforme aumente la cantidad de éstos, se irá
conformando un prisma rectangular, lo que nos permite observar que la superficie del
rectángulo es constante y en cambio la altura del prisma que se va generando es variable.
VOLUMEN DEL PRISMA RECTANGULAR
V = AREA DE LA BASE X ALTURA DEL PRISMA
V = LARGO X ANCHO X ALTURA
DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN.
Al desarrollar un prisma rectangular, se trazan en un plano todas sus caras, dispuestas de
cierta manera que, doblando las diferentes partes de la figura, resulta el cuerpo hueco de
igual forma y magnitud que el prisma rectangular propuesto.
LARGO ANCHO
AL T URA
47
2.3.4. EL CUBO, SU DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN.
CUBO
El cubo “ es un poliedro regular constituído por 6 caras (hexahedro), poliedro por el hecho
de ser un cuerpo geométrico constituído por un cierto número de caras, aristas y vértices y
regular porque sus caras tienen la misma forma y tamaño “16. Sus caras se unen 2 a dos en
segmentos de línea llamados aristas y las aristas se unen en puntos llamados vértices.
El cubo, es el ejemplo más claro del polígono poliedro regular.
Los griegos demostraron que existen tan sólo cinco poliedros regulares, resultado
asombroso, considerando que existen poligonos regulares de cualquier número de lados.
Esto es, el número de polígonos regulares es infinito, mientras que el número de poliedros
regulares es finito.
Dado el interés que Platón tenía en estos poliedros, se conocieron como sólidos platónicos.
Los poliedros regulares toman su nombre del número de caras que tienen:
1.- Tetraedro (pirámide triangular perfecta) 4 caras triangulares
2.- Hexaedro (cubo) 6 caras cuadradas
3.- Octaedro 8 caras triangulares
4.- Dodecaedro 12 caras pentagonales
5.- Icosaedro 20 caras triangulares
El cubo, como poliedro regular, obedece o satisface la fórmula de Euler, que es válida para
cualquier poliedro. La fórmula de Euler dice que el número de caras (f), el número de vértices
(v), y el número de aristas (e) de cualquier poliedro están relacionados con la fórmula f + v = e + 2
16 SEP Matemáticas I. Op. Cit. pp. 201
48
6 + 8 = 12 + 2
14 = 14 Esta fórmula fue anunciada en 1752 por el matemático Leonard Euler, y en aquel tiempo fue
aceptada como un descubrimiento nuevo. Se sabe que Descartes (1635) conocía esta
relación, y además que probablemente fue conocida por Arquímedes (hacia 225 A.C.)
Puesto que el cubo, tienen grandes similitudes con las características de los prismas, en
especial con el Prisma Cuadrangular cuando la longitud de la altura es idéntica a la longitud
de la base cuadrada y en cuanto a caras laterales y bases formadas por cuadriláteros, se
puede inscribir dentro del conjunto de Prismas
AREA LATERAL DEL CUBO.
El área lateral del cubo, es el total de la superficie de 4 de las 6 caras cuadradas,
considerándose las 2 caras restantes como bases.
BASE
CARAS LATERALES
AREA LATERAL
ARISTAS
49
Dada su construcción geométrica, para calcular el área lateral del cubo, ésta equivale a la
suma del área de cada una de las 4 caras laterales cuadradas:
AREA LATERAL =
Lado X Lado Lado X Lado Lado X Lado Lado X Lado
y puesto que la suma de las bases de las caras laterales es igual al perímetro del
cuadrado considerado como base, e idéntico a las caras laterales, entonces obtenemos
la siguiente fórmula:
AREA LATERAL = 4 X Lado X Lado ó 4 X Arista X Arista
4 X ( Lado ) ó 4 X (Arista )
AREA TOTAL
El área total del Cubo, se refiere a la superficie total externa de dicho poliedro, la cual
equivale a la suma de las áreas de las 6 caras cuadradas; es decir, el área de todos los
cuadrados que conforman el desarrollo plano.
AREA TOTAL = 6 X (Lado X Lado) = 6 X (Arista X Arista)
AREA TOTAL = 6 X ( Lado )
+ + +
2
2
AREA TOTAL
2
50
VOLUMEN DEL CUBO.
El volumen del Cubo, es la medida de espacio que ocupa, y se obtiene del producto del área
de la base y la medida de la altura, la cual es de igual longitud a los lados del cuadrado de la
base. Esto es fácil de entender, por ejemplo, si vamos juntando cuadrados de papel,
conforme aumente la cantidad de éstos hasta llegar a una altura igual a la longitud de los
lados de dichos cuadrados como bases, se conforma un cubo.
VOLUMEN DEL CUBO = V
V = AREA DE LA BASE X ALTURA DEL CUBO
y como la altura es igual a la arista de los lados...
V = (LADO X LADO) X LADO
V = LADO
V = ARISTA
DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN DEL CUBO
Al desarrollar un cubo, se trazan en un plano todas sus caras cuadradas, dispuestas de
cierta manera que, doblando las diferentes partes de la figura, resulta un cuerpo hueco de
igual forma y magnitud que el cubo propuesto.
Se pueden derivar hasta 20 desarrollos planos del cubo, tomando las siguientes
consideraciones:
1.- Dada la construcción geométrica del cubo, para su desarrollo plano se requiere
necesariamente como mínimo un Triedro con 3 de sus caras dispuestas de la siguiente
manera:
ARISTA
ARISTA
ALTURA = ARISTA
3
3
51
2.- Se puede observar que cada uno de los cuadrados restantes, se unirán sólo en dos de sus
lados a cada lado del triedro en los 3 espacios respectivos
3.- Con base a combinaciones, a continuación se ilustran todos los desarrollos planos
posibles del cubo. (Siempre y cuando se respete su forma en el plano, ya que algunos serán
idénticos si se rotan, en cuyo caso quedarían 11 desarrollos planos distintos)
1
2 3
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
52
12 13 14 15
16 17
11
18 19
20
53
2.3.5. EL PENTÁGONO Y EL PRISMA PENTAGONAL: SU
DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN.
PENTÁGONO
Se llama pentágono al “ poligono o porción de plano limitada por 5 segmentos de recta “17;
cuando todos sus lados y ángulos son iguales, se refiere a un pentágono regular, e irregular
si no cumple con esta condición.
El perímetro del pentágono regular es la suma de la longitud de sus lados, y dado que éstos
son iguales, el perímetro es igual a la longitud de un lado multiplicado por 5.
El centro, es el punto interior del pentágono en el cual se cortan las perpendiculares de los
puntos medios de cada lado; dicho centro equidista de todos los vértices y todos los lados.
El apotema del pentágono regular, es medida de la perpendicular desde el centro al punto
medio de cualquiera de los lados.
17 BALDOR Op. Cit. pp. 454
54
PROPIEDADES GENERALES DEL PENTÁGONO REGULAR
PROPIEDADES GENERALES
- Todos sus ángulos internos son respectivamente iguales y miden 108 grados cada uno.
- Los ángulos contiguos internos suman 540 grados
- Sus 5 lados tienen la misma medida de longitud.
- Tiene 5 ángulos iguales de 108 grados (5 ángulos obtusos)
- Las diagonales no se cortan en el punto medio.
- Las partes principales de todo pentágono para el cálculo de su área son: la medida de
longitud de sus lados y la medida de longitud del apotema (Medida de longitud del centro
del polígono a la parte media de cualquiera de los lados)
CALCULO DEL ÁREA DE UN PENTÁGONO REGULAR
Si se trazan líneas de los vértices hacia el centro del pentágono se dibujan 5 triángulos
iguales; entonces para calcular el área de todo el polígono se tiene que calcular el área de
los 5 triángulos, y puesto que éstos son iguales, bastaría obtener el área de uno de ellos
(base x altura entre 2 ) y multiplicar el resultado por 5.
Ahora bien, para cada triángulo conviene considerar como base al lado que forma parte
del perímetro del polígono y entonces la altura será la perpendicular a dicho lado y
terminaría exactamente en el centro; a ésta línea se le llama APOTEMA.
Con base a lo anterior, para obtener el área de manera más sencilla, sumaríamos las
longitudes de las bases de los 5 triángulos lo cual equivale a la medida de la longitud del
perímetro del polígono, después se multiplicaría por la medida de longitud del apotema y
por último se divide el resultado obtenido entre 2 (ESTA DIVISIÓN ENTRE 2 ES PORQUE SE
ESTÁN EMPLEANDO TODOS LOS TRIANGULOS)
Amanera de síntesis, para calcular el área o la superficie de un pentágono regular, sólo se
multiplica la medida de longitud de su perímetro por la medida de longitud del apotema; y el
producto obtenido se divide entre 2.
Área = (Perímetro por Apotema) entre 2
Perímetro X Apotema
2 Área =
55
TRAZO DEL PENTÁGONO REGULAR
Para trazar un pentágono regular, se traza un círculo y se divide el ángulo central de 360
grados entre 5, correspondiendo a cada ángulo central un valor de 72 grados. Luego se
trazan los ángulos y por último se unen las intersecciones de los ángulos en la
circunferencia.
PRISMA PENTAGONAL.
72 o
El prisma pentagonal, es un poliedro cuyas bases son
paralelas e iguales y están determinadas por pentágonos, de
aquí se deriva su nombre. Dada su construcción geométrica,
cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases e
iguales a la altura, se considera como “regular”.
Está compuesto en su totalidad por 5 caras cuadradas o
rectangulares y 2 bases pentagonales paralelas.
La altura del prisma pentagonal, es la distancia que hay entre las dos bases y se mide por la perpendicular común a ellas.
56
AREA LATERAL DEL PRISMA PENTAGONAL.
El área lateral del prisma pentagonal, es el total de la superficie de las 5 caras laterale, sean
cuadradas o rectangulares.
Por su construcción geométrica, para calcular el área lateral del prisma pentagonal,
ésta equivale a la suma del área de cada una de las 5 caras laterales, sean todas éstas
cuadradas ó rectangulares:
AREA LATERAL =
Base x Altura Base x Altura Base x Altura Base x Altura Base x Altura
y puesto que la suma de las bases de las caras laterales es igual al perímetro del
pentágono de las bases, entonces se obtiene la siguiente fórmula:
AREA LATERAL = Perímetro de la base pentagonal X Altura del Prisma
+ + + +
57
AREA TOTAL DEL PRISMA PENTAGONAL
El área total del Prisma Pentagonal, se refiere a la superficie total externa de dicho prisma,
la cual equivale a la suma de las áreas de las 5 caras laterales y de las 2 bases pentagonales.
El área total del prisma pentagonal, es la suma de las áreas de todas las figuras
geométricas que conforman su desarrollo plano;, el cual está formado por 5
cuadriláteros (rectángulos o cuadrados) y 2 pentágonos regulares.
Puesto que para calcular el área lateral, ésta se obtiene del producto del perímetro de la base pentagonal por la medida de la altura. Para obtener el área total, sólo basta agregar el área de las bases. Observando la relación geométrica de los datos del prisma, se deriva la siguiente fórmula:
AREA TOTAL DEL PRISMA PENTAGONAL =
Area lateral + Area de las 2 bases pentagonales ó
( Perímetro de la base X Altura) + 2 ( ) simplificando.....
(Perímetro X Altura) + (Perímetro X Apotema)
Perímetro X Apotema
2
58
VOLUMEN DEL PRISMA PENTAGONAL.
El volumen del prisma pentagonal, es la medida de espacio que ocupa, y se obtiene del
producto del área de la base y la medida de la altura. Esto es fácil de entender, por ejemplo, si
se van juntando pentágonos regulares de papel, conforme aumente la cantidad de éstos, se
irá conformando un prisma pentagonal, lo que permite observar que la superficie del
pentágono es constante y en cambio la altura del prisma que se va generando es variable.
VOLUMEN DEL PRISMA PENTAGONAL
V = AREA DE LA BASE X ALTURA DEL PRISMA
V = (AREA DEL PENTAGONO) X ALTURA DEL PRISMA
V = ( ) X Altura del prisma ó
V =
DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN DEL PRISMA PENTAGONAL.
Al desarrollar un prisma pentagonal, se trazan en un plano todas sus caras y bases,
dispuestas de cierta manera que, doblando las diferentes partes de la figura, resulta el cuerpo
hueco de igual forma y magnitud que el prisma pentagonal propuesto.
ALTURA
APOTEMA
Perímetro X Apotema
Perímetro X Apotema X Altura
2
2
59
2.3.6. EL HEXÁGONO Y EL PRISMA HEXAGONAL: SU DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN.
HEXÁGONO
Se llama hexágono al poligono o porción de plano limitada por 6 segmentos de recta;
cuando todos sus lados y ángulos son iguales, se refiere a un hexágono regular, e irregular si
no cumple con esta condición.
El perímetro del hexágono regular es la suma de la longitud de sus lados, y dado que éstos
son iguales, el perímetro es igual a la longitud de un lado multiplicado por 6.
El centro, es el punto interior del hexágono en el cual se cortan las diagonales; dicho centro
equidista de todos los vértices y todos los lados.
El apotema del hexágono regular, es la perpendicular trazada desde el centro a uno de
cualquiera de los lados, es decir, la altura de uno de los triángulos iguales en que se puede
descomponer.
CENTRO
PERÍMETRO
APOTEMA
60
PROPIEDADES GENERALES DEL HEXÁGONO REGULAR
PROPIEDADES GENERALES
- Todos sus ángulos internos son respectivamente iguales y miden 120 grados cada uno.
- Sus 6 lados tienen la misma longitud.
- Tiene 6 ángulos iguales de 120 grados (6 ángulos obtusos)
- Las diagonales se cortan en el punto medio, por ser un polígono regular de un número de
lados par.
- Las partes principales de todo hexágono para el cálculo de su área o superficie son: la
longitud de sus lados y el apotema (Medida de longitud del centro del polígono a la parte
media de cualquiera de los lados)
CALCULO DEL ÁREA DE UN HEXÁGONO REGULAR
Si se trazan líneas de los vértices hacia el centro del pentágono se dibujan 6 triángulos
equiláteros iguales; entonces para calcular el área de todo el polígono se tiene que calcular
el área de los 6 triángulos, y puesto que éstos son iguales, basta obtener el área de uno de
ellos (base x altura entre 2 ) y multiplicar el resultado por 6.
Ahora bien, para cada triángulo conviene considerar como base al lado que forma parte
del perímetro del polígono y entonces la altura será la perpendicular a dicho lado y
terminaría exactamente en el centro; a ésta línea se le llama APOTEMA.
Con base a lo anterior, para obtener el área de manera más sencilla, se suman las
longitudes de las bases de los 6 triángulos lo cual equivale a la medida de longitud del
perímetro del polígono, después se multiplica por la medida de longitud del apotema y por
último se divide el resultado obtenido entre 2 .
Amanera de síntesis, para calcular el área o la superficie de un hexágono regular, sólo se
multiplica la medida de su perímetro por la medida de longitud del apotema; y el producto
obtenido se divide entre 2; este algoritmo de solución es idéntico al pentágono, así como
todos los polígonos regulares.
Área = (Perímetro por Apotema) entre 2
Perímetro X Apotema
2 Área =
61
TRAZO DEL HEXÁGONO REGULAR
Para trazar un hexágono regular, se traza un círculo y se divide el ángulo central de 360
grados entre 6, correspondiendo a cada ángulo central un valor de 60 grados. Luego se
trazan los ángulos y por último se unen las intersecciones de los ángulos en la
circunferencia.
60 60
60
60
60
60
oo
o
o
o
o
62
PRISMA HEXAGONAL.
AREA LATERAL DEL PRISMA HEXAGONAL.
El área lateral del prisma hexagonal es la suma total de las superficies de las 6 caras
laterales.
El prisma hexagonal, es un poliedro cuyas bases son
paralelas e iguales y están determinadas por hexágonos, de
aquí se deriva su nombre. Dada su construcción geométrica,
cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases e
iguales a la altura, se considera como “regular”.
Está compuesto en su totalidad por 6 caras cuadradas o
rectangulares y 2 bases hexagonales paralelas.
La altura del prisma hexagonal, es la distancia que hay entre
las dos bases y se mide por la perpendicular común a ellas.
63
Por su construcción geométrica, para calcular el área lateral del prisma hexagonal,
ésta equivale a la suma del área de cada una de las 6 caras laterales, sean todas éstas
cuadradas ó rectangulares:
AREA LATERAL =
Base x Alt. Base x Alt. Base x Alt. Base x Alt. Base x Alt. Base X Alt.
y puesto que la suma de las bases de las caras laterales es igual al perímetro del
hexágono de las bases, entonces obtenemos la siguiente fórmula:
AREA LATERAL = Perímetro de la base hexagonal X Altura del Prisma
AREA TOTAL DEL PRISMA HEXAGONAL
El área total del Prisma Hexagonal, se refiere a la superficie total externa de dicho prisma, la
cual equivale a la suma de las áreas de las 6 caras laterales y de las 2 bases pentagonales.
+ + +
Puesto que para calcular el área lateral, ésta se obtiene del producto del perímetro de la base hexagonal por la medida de la altura. Para obtener el área total, sólo basta agregar el área de las bases. Observando la relación geométrica de los datos del prisma, se deriva la siguiente fórmula:
AREA TOTAL DEL PRISMA PENTAGONAL =
Area lateral + Area de las 2 bases hexagonales ó
( Perímetro de la base X Altura) + 2 ( ) simplificando.....
(Perímetro X Altura) + (Perímetro X Apotema) NOTA: Es la misma solución para el prisma pentagonal, heptagonal, octagonal, etc...
+ +
Perímetro X Apotema
2
64
El área total del prisma hexagonal, es la suma de las áreas de todas las figuras
geométricas que conforman su desarrollo plano, el cual está formado por 6
cuadriláteros (rectángulos o cuadrados) y 2 hexágonos regulares.
VOLUMEN DEL PRISMA HEXAGONAL.
El volumen del prisma hexagonal, es la medida de espacio que ocupa, y se obtiene del
producto del área de la base y la medida de la altura. Esto es fácil de entender, por ejemplo, si
apilamos hexágonos regulares de papel, conforme aumente la cantidad de éstos, se irá
conformando un prisma hexagonal, lo que nos permite observar que la superficie del
hexágono es constante y en cambio la altura del prisma que se va generando es variable.
VOLUMEN DEL PRISMA HEXAGONAL
V = AREA DE LA BASE X ALTURA DEL PRISMA
V = (AREA DEL HEXÁGONO) X ALTURA DEL PRISMA
V = ( ) X Altura del prisma ó
V =
ALTURAPerímetro X Apotema
Perímetro X Apotema X Altura
2
2
APOTEMA
ALTURA DEL PRISMA
65
DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN DEL PRISMA HEXAGONAL.
Al desarrollar un prisma hexagonal, se trazan en un plano todas sus caras y bases,
dispuestas de cierta manera que, doblando las diferentes partes de la figura, resulta el cuerpo
hueco de igual forma y magnitud que el prisma hexagonal propuesto. A continuación se
ilustran algunos modelos del desarrollo plano del Prisma hexagonal.
66
2.4. EL CÍRCULO
La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, en la cual todos los puntos equidistan
de un punto interior llamado centro; y el círculo es la parte de plano limitada por una
circunferencia.
CALCULO DEL ÁREA DEL CÍRCULO
“ El área de un círculo es igual a la mitad del producto de la circunferencia por el radio”18.
Si tenemos r, C, S respectivamente como radio, circunferencia y área de un círculo, y
circunscribimos al círculo un polígono regular de n lados; y sea p su perímetro, S’ su área y
su apotema r, entonces se tiene que:
S’ = ½ pr
18 WENTWORTH Op. Cit. pp. 240
CIRCUNFERENCIA CÍRCULO
Radio
Diámetro
Espacio de plano limitado por la circunferencia
67
Si n aumenta indefinidamente, entonces p (Perímetro) tiende hacia el límite C
(Circunferencia) y r se mantiene constante; por lo tanto
½ Perímetro x apotema tiende hacia el límite ½ Circunferencia x radio
además S’ (Área del polígono) tiende hacia S (Área del círculo).
Pero como S’ es siempre igual a ½ pr, por lo tanto
S = ½ Cr
Área del circulo = Semiproducto de la Circunferencia x radio
Con base a la demostración anterior, el área de un círculo también es igual a pr puesto que
S = ½ Cr = ½ r x 2pr = p r
En este caso n = 5 Perímetro (p)
r
2
2
68
2.5. EL CILINDRO “ Una superficie cilíndrica es aquella engendrada por una recta que se mueve de tal modo
que es siempre paralela a una recta fija y pasa por una curva fija cuyo plano no contiene la
recta fija ”19.
La curva fija es la directriz; por ejemplo, en la siguiente figura, la directriz es ABC.
19 WENTWORTH Op. Cit. pp. 353
A
B
C
Generándose una superficie cilíndrica Superficie cilíndrica completa
69
La GENERATRIZ de una superficie cilíndrica es tanto la recta que la engendra como toda la
recta que representa ésta en una de sus posiciones.
Tomando en consideración lo anterior...
CILINDRO
Es un sólido limitado por una superficie cilíndrica y dos superficies planas paralelas; no es
un prisma, aunque geométricamente presenta algunas semejanzas.
Un cilindro es recto, cuando su generatriz es perpendicular a las bases; en caso contrario
es oblicuo.
Los términos base, altura y área lateral, se usan como en los prismas
CILINDRO RECTO CIRCULAR
CILINDRO OBLICUO CIRCULAR
ALTURA
BASE
BASE
Un cilindro circular recto, se puede generar también al girar un rectángulo alrededor uno de sus lados. A este cilindro se le denomina Cilindro de revolución.
Este cilindro ha sido engendrado por el rectángulo ABOO’girando alrededor del lado OO’, el lado OO’es el eje y la altura del cilindro, y el lado ABes la generatriz del cilindro. Los lados AO’ y BO son los radios iguales de las bases circulares.
O
O’ A
B
70
AREA LATERAL DEL CILINDRO CIRCULAR RECTO
El área lateral del cilindro es el total de la superficie circular.
Por su construcción geométrica, para calcular el área lateral del cilindro circular
recto, ésta equivale al área de la superficie cilíndrica, la cual se obtiene del producto
del perímetro de la base circular por la altura de dicho cilindro. Puesto que la
superficie circular al desplegarse en un plano, corresponde a un cuadrilátero (ya sea
cuadrado o rectángulo); la base corresponde al perímetro de la base circular y la
altura, a la altura de dicho cilindro.
AREA LATERAL =
AREA LATERAL = ( Perímetro de la base circular ) X Altura del Cilindro
= ( ? X diámetro ) X Altura
PERÍMETRO DE LA BASE CIRCULAR
ALTURA
Base ó Perímetro del círculo de base
Al t u r a
71
AREA TOTAL DEL CILINDRO CIRCULAR RECTO.
El área total del cilindro, se refiere a su superficie total, la cual equivale a la suma del área
de la superficie cilíndrica y de las 2 bases circulares.
El área total del cilindro, es la suma de las áreas de todas las figuras geométricas que
conforman su desarrollo plano;, el cual está formado por 2 círculos y 1 rectángulo ó
cuadrado.
Puesto que para calcular el área lateral, ésta se obtiene del producto del perímetro de la base circular por la medida de la altura. Para obtener el área total, sólo basta agregar el área de las bases circulares. Observando la relación geométrica de los datos del cilindro circular, se deriva la siguiente fórmula:
AREA TOTAL DEL CILINDRO =
Area lateral + Area de las 2 bases circulares ó
( ) + 2 X ( ? X radio )
? X diámetro X Altura 2
radio
Altura
72
VOLUMEN DEL CILINDRO CIRCULAR RECTO.
El volumen del cilindro recto, es la medida de espacio que ocupa, y a semejanza de los
prismas, se obtiene del producto del área de la base y la medida de la altura. Esto es fácil de
entender, por ejemplo, si se apilan círculos de papel, conforme aumente la cantidad de éstos,
se irá conformando un cuerpo con forma cilíndrica recta, lo que permite observar que la
superficie del círculo es constante y en cambio la altura del cilindro que se va generando es
variable.
VOLUMEN DEL CILINDRO CIRCULAR RECTO
V = AREA DE LA BASE X ALTURA DEL CILINDRO
V = (AREA DEL CÍRCULO) X ALTURA DEL CILINDRO
V = ( ) X Altura del cilindro
ALTURA? X radio
2
ALTURA
RADIO
73
DESARROLLO Y CONSTRUCCIÓN DEL CILINDRO CIRCULAR RECTO.
Al desarrollar un cilindro circular recto, a similitud de los prismas, se trazan en un plano
todas sus caras y bases, dispuestas de cierta manera que, doblando las diferentes partes de
la figura, resulta el cuerpo de igual forma y magnitud que el cilindro propuesto, sin embargo,
la figura que corresponde a la superficie circular deberá doblarse de acuerdo la
circunferencia de las bases.
Este desarrollo plano no sufre cambios significativos en su estructura, ya que sólo cambian
de posición las bases circulares sobre los lados donde están colocadas.
74
CAPITULO III
PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE
LOS PRISMAS Y CILINDROS EN LA ESCUELA PRIMARIA.
3.1 LA COMPUTADORA Y SU INTEGRACION EN LA ENSEÑANZA Hasta hace pocos años, la idea de poseer una computadora en el hogar, la escuela o el
trabajo, parecía algo inalcanzable; hoy esta perspectiva ha cambiado y a pesar de que
muchas personas no han empleado una computadora, la introducción de ésta en sus hogares
o trabajo será inevitable. La microelectrónica y la tecnología de los años 70, colocó las
computadoras de los laboratorios en la vida cotidiana. El contar con las computadoras
supone nuevas alternativas para mejorar la calidad de la educación. Sin embargo, también
representa un nuevo reto en materia educativa, cuando se reflexiona cómo se aprende a
usarlas y qué posibilidades ofrecen.
A través del análisis de los aspectos teóricos subyacentes a la computadora, ésta
encuentra su fundamento de aplicación con fines educativos en diferentes disciplinas tales
como filosofía, psicología y educación. Sin embargo, las innovaciones en el terreno educativo
siempre conllevan aspectos relacionados con el proceso práctico de enseñanza: el reto de
incorporar la teoría en la práctica.
La descompensación existente entre la nueva tradición intelectual vinculada a la
computadora y su aplicación práctica se ve mejorada con la computadora personal. Se
pretende que la nueva tecnología transforme la manera en que tiene lugar la educación, ya
que las computadoras están entrando en la escuela. Sin embargo, aunque cuenten en
algunas escuelas, con computadoras, existe una falta de comprensión entre algunos
profesores sobre lo que representan las computadoras y la forma en que influyen en el
proceso de aprendizaje y en el pensamiento.
Muchos docentes están de acuerdo en que la presencia de la computadora en la escuela
ofrece una nueva oportunidad de estimular la vida de los niños y de mejorar la calidad,
contenido y prestación de la educación y coinciden también en el hecho de que la
computadora es una herramienta intelectual tanto para el docente como para el alumno. Sin
embargo, la mejora en la calidad de la educación dependerá, esencialmente, de la capacidad
75
del propio docente para aprovechar los recursos potenciales de la computadora y para
lograrlo es necesario comprender las posibilidades que ofrece la misma.
Algunos docentes pueden hacer consideraciones de qué tipo de computadora necesita,
dónde las usará, y que tipo de software y hardware se requiere. Sin embargo, algunas
interrogantes surgen en las escuelas sobre el número de computadoras requeridas y dónde
encontrar profesores con perfil de preparación en este campo. Las soluciones a estos
planteamientos pueden diferir, sin embargo, todas las respuestas llevan profundas
implicaciones.
Dado que cada vez es mayor el número de docentes que emplean en sus actividades a las
computadoras, ha surgido una tendencia predominante en su aplicación escolar, y por otra
parte los niños se introducen al contexto de la computadora mediante el contacto directo con
programas educativos, juegos y de programación. Sin embargo, este planteamiento elimina
cualquier pretensión intelectual que no pueda conseguirse en cinco o diez minutos, y viene
dificultado por las propias condiciones escolares, en donde a falta de experiencia y de
tiempo para adquirir una cualificación adecuada por parte de los profesores, se une el hecho
de existir pocas computadoras que sean manejadas por un grupo de alumnos.
Las directrices actuales de los planes de estudio incorporan lo que los alumnos deberían
conocer con el fin de poder ayudarlos en su aprendizaje y desarrollo, y si se tiene la
oportunidad de operar tres o cuatro veces por semana la computadora, se ofrece a los
alumnos la oportunidad de explorar en el potencial de las computadoras y el ejercicio
práctico con éstas brinda la oportunidad de analizar de manera diferente temas dentro de su
contexto real de vida.
Si en una clase, se ponen en práctica programas para que los alumnos aprendan
geometría por sí mismos, se requiere emplear primeramente programas simples pero
consistentes que los motiven y maravillen; de esta manera a lo largo de un determinado
proceso, los alumnos van afrontando nuevos niveles de abstracción.
76
3.1.1.- La computadora y los modelos en los procesos de aprendizaje.
En los años 60’ y 70’ diversos centros de investigación en las universidades y en la
industria ofrecieron algunos modelos de la forma en que las computadoras podían ayudar en
el proceso de aprendizaje. A continuación se hace referencia a 4 modelos que van desde los
conductistas de aprendizaje en los que los alumnos siguen pasos estrictamente marcados
hasta los inspirados en Piaget y modelos desarrollistas como el de Seymourt Papert en los
cuales se estimula a los alumnos con el fin de que éstos vayan desarrollando sus propios
caminos hacia el aprendizaje.
Con base a las características de cada modelo cada uno representa una corriente
diferente de pensamiento en el campo educativo, con arraigadas convicciones teóricas que
han sido puestas en práctica y son una buena muestra de la enorme influencia que las
computadoras y las ideas surgidas en torno a ellas tienen sobre quienes las emplean.
Dichos modelos, se centran en 2 enfoques generales de acuerdo a Cynthia Solomon 20:
1.- La computadora como un libro de texto interactivo que controla al alumno.
2.- La computadora como medio de expresión bajo el control del alumno.
Modelo de Patrick Suppes.
Patrick Suppes, de la Universidad de Stanford, llevó a cabo un programa en el que los
alumnos de educación básica ejecutan una serie gradual de tareas de ejercitación
caracterizado por 2 elementos básicos “ejercitación y aprendizaje memorístico”
Suppes, profesor en la Universidad de Stanford, en la que estuvo adscrito a los
departamentos de psicologías filosofía, entre otros, y actualmente director del “ Institute for
Mathematical Studies in the Social Sciences “ y Presidente del Computer Curriculum
Corporation (CCC), que produce y comercializa su propio material basado en la aplicación de
las computadoras con fines educativos. El instituto es el laboratorio donde Suppes llevó a
cabo la mayoría de sus trabajos de investigación con computadoras.
Dado el perfil de preparación de Suppes hacia el campo de la lógica y de la filosofía,
“concibe las matemáticas desde un planteamiento lógico asumiendo un modelo conductista-
20 SOLOMON Cynthia. Entornos de aprendizaje con ordenadores. Paidós. España. 1987. pp 19
77
matemático, en su teoría del aprendizaje: las matemáticas -o cualquier otra materia- pueden
descomponerse en una serie de datos elementales, estableciéndose una relación jerarquizada
entre cada elemento de la serie”21. En este modelo, la disciplina objeto de estudio por los
alumnos se compone de conocimientos determinados, de modo que un elemento conduce a
otro de nivel superior en la estructura lógica.
Enseñar a los alumnos un bloque de conocimientos implica que se les presenten una serie
de ejercicios (estímulos) y que sean reforzadas sus respuestas, dicho refuerzo consiste en
estructurar las respuestas con señalamientos hacia los alumnos indicándoles que el ejercicio
es «correcto» y planteándoles otro nuevo, o diciéndoles que se han «equivocado», con la
consecuente repetición del ejercicio; o indicándoles que se han equivocado, dándoles la
respuesta correcta y repetir el ejercicio. En este modelo, la tarea del docente asumida por la
computadora consiste en proponerles ejercicios con un nivel de dificultad cada vez mayor,
partiendo de la experiencia precedente del alumno, con el fin de llegar al aprendizaje de un
bloque determinado de conocimientos.
Las computadoras, desde la perspectiva de este modelo de Suppes, son atractivas porque
ofrecen ejercicios a diferentes alumnos dentro de una misma modalidad de aprendizaje y,
algo importante, es que permiten programar de forma individualizada el contenido de los
ejercicios a resolver, seleccionando los más fáciles o los más difíciles en función de la
capacidad de resolución de cada alumno. Por otra parte, la computadora puede actuar como
un psicólogo que capte una serie de datos empíricos sobre el comportamiento de los
educandos. De esta manera, se establecen unos modelos predictivos del nivel de resolución
de cada alumno cuya evaluación se efectúa con base a los datos concretos de cada caso.
Con este modelo es posible elaborar programas mejor acondicionados a las cualidades
individuales de cada alumno.
El curriculum básico de matemáticas elaborado por Suppes está disponible en sistemas
CCC, y su planteamiento de ejercitación tiene un gran interés para los centros escolares con
elevado número de alumnos que no consiguen alcanzar una calificación suficiente en su
curso y que necesitan llevar a cabo un plan de recuperación. De acuerdo a estudios
realizados por el propio Suppes en torno a habilidades de cálculo, las computadoras
21 SOLOMON Cynthia. Entornos de aprendizaje con ordenadores. Paidós. España. 1987. pp 19
78
demostraron ser tan útiles en sesiones de cinco a diez minutos diarios para cada estudiante
equivalentes con un docente que realizase las mismas tareas de ejercitación en sesiones de
25 minutos diarios, probado en grupos de estudiantes de condiciones económicos bajas y
minoritarios.
Con este modelo, si los alumnos reciben de diez a veinte minutos diarios de instrucción
con la computadora, se progresa en las habilidades matemáticas. Sin embargo, se demostró
su poca eficiencia aplicándose a programas de lectura e idiomas, no significando que
empeoren los alumnos, sino que las mejoras de aprendizaje no son muy visibles.
“ El papel de las computadoras dentro del planteamiento de aprendizaje memorístico encuentra una
buena cantidad de apoyo en la práctica de la enseñanza. Además, contribuye a la esperanza popular de
que las computadoras enseñen algunas capacidades que han resultado difíciles de enseñar para los
maestros, a poblaciones con las que los sistemas escolares han fracasado ”22.
En esencia y considerándose las particularidades de este modelo, la computadora juega
un papel como libro de texto interactivo, muy aceptable y válido, sobre todo en el progreso de
habilidades matemáticas.
Y dado los resultados de la aplicación de este tipo de software, se consideran los
siguientes elementos a integrar en el software educativo “Los prismas y el cilindro”
1.- Acondicionamiento a las cualidades particulares de los alumnos (de 5º y 6º grados)
dentro de una misma modalidad de aprendizaje, de lo más fácil a difícil de acuerdo a la
capacidad de resolución de cada alumno.
2.- Partir de la experiencia precedente del alumno.
Modelo de Robert B. Davis
Robert B. Davis, profesor de matemáticas, encargado de la formación de maestros y autor
de un plan de estudio de “Nueva matemática” adaptado a las escuelas primarias. Es uno de
los matemáticos y hombres de ciencia que tuvo en cuenta las condiciones creadas por la
posguerra respecto a la enseñanza primaria a la luz de fenómenos científicos como el del
Sputnik. Davis observó que había muchos problemas en el aprendizaje de las matemáticas
elementales en las clases de los años 50; particularmente, que la aritmética estaba
22 Ibidem. pp. 20
79
empezando a impartirse sin aplicarse, por ejemplo, al álgebra, a la geometría o a la ciencia, y
que suponía una forma memorística de aprendizaje que no conducía a una comprensión real
de los conocimientos matemáticos. De ahí que Davis difiera de Suppes, cuando menos, en
dos aspectos.
1.- Considerar a las matemáticas desde un punto de vista pragmático más que lógico.
2.- El mecanismo de aprendizaje, es más un proceso de descubrimiento que el resultado
de un refuerzo.
El modelo de Davis está orientado en el sentido de ubicar el aprendizaje de la aritmética en
un contexto más rico, al tiempo que comienza todo un proceso para cambiar el clima
existente en las clases y las formas predominantes de enseñanza. “ Comparte con otros
innovadores, la idea de que los alumnos aprenden con más facilidad de una manera informal
y a través del descubrimiento de los conocimientos por ellos mismos “23. Desde el punto de
vista psicológico, su teoría contó con el apoyo de las investigaciones realizadas por Jean
Piaget en Suiza. Para Davis, el trabajo de Piaget marca nuevas vías en la comprensión del
pensamiento matemático de los niños y aporta un contexto adecuado para la aprehensión de
esta problemática.
Desde la perspectiva de Davis, las ciencias cognitivas, al utilizar técnicas y metáforas
computacionales, conducen a nuevos caminos en el pensamiento matemático y en la manera
de considerar los errores conceptuales de los niños.
La estrategia de enseñanza de este modelo consiste en comenzar desde la experiencia
cotidiana de los niños, de esta manera, la estrategia de enseñanza es enfocada en un
paradigma basado en ejemplos, como hacer que los alumnos busquen y presenten unas
cajas de zapatos, como medio de introducción a la geometría de prismas y por medio de otras
tácticas, emplazaría a configurar nuevas relaciones matemáticas mediante un diálogo de tipo
socrático. Davis elaboró su propio instrumental y adaptó otros materiales pedagógicos y es
defensor del empleo de materiales manipulativos, en las clases de nivel elemental.
La educación desde este modelo, “ consiste en poner en práctica actividades en las que los
alumnos juegan a hacer el papel de matemáticos en la clase con 2 características
fundamentales de la condición del matemático: la de llevar a cabo una serie de
23 Ibidem. pp. 21
80
descubrimientos y, la posibilidad de establecer generalizaciones “24. Estas actividades se
dan dentro de un bloque concreto de conocimientos, consistente en una serie de elementos y
técnicas de cálculo aritmético básico, dentro de un contexto de cálculo algebraico, de
geometría analítica, de representación gráfica de funciones, etc. De esta manera, se pone en
práctica un curriculum elemental de matemáticas en un entorno informatizado, de acuerdo a
un plan de estudio, de una práctica pedagógica así como un modelo del alumno.
Davis empezó su labor en el sistema PLATO como parte integrante de un proyecto de
evaluación, en el cual las matemáticas elementales sirven tanto como indicador de la validez
del sistema como instrumento de aprendizaje.
La forma de enseñanza y el contenido de los conocimientos, así como el propio sistema de
la computadora difieren del sistema puesto en práctica por el CCC. En contraste con el
entorno de aprendizaje de la experiencia de Suppes, Davis concede gran importancia a los
gráficos y a las representaciones visuales, en tanto a componentes integrados en la propia
formulación del material utilizado.
Desde este modelo, el papel de la computadora es enfocado como medio de expresión por
una parte bajo el control del alumno y por otra bajo el control del docente.
Con resultados de la aplicación de este tipo de software, se considera el siguiente
elemento a integrar en el software educativo “Los prismas y el cilindro”
1.- Considerar el empleo de gráficos y representaciones visuales con material didáctico
manipulativo sobre prismas y cilindros.
Hasta ese momento, tomando en cuenta las características de los 2 modelos
experimentados con alumnos, ya se tienen 3 elementos a considerar en el diseño del software
educativo:
1.- Acondicionamiento a las cualidades particulares de los alumnos (de 5º y 6º grados)
dentro de una misma modalidad de aprendizaje, de lo más fácil a difícil de acuerdo a la
capacidad de resolución de cada alumno.
2.- Partir de la experiencia precedente del alumno.
3.- Uso de gráficos y representaciones visuales con material didáctico manipulativo.
24 Ibidem. pp 22
81
El Modelo de Tom Dwyer.
Tom Dwyer considera que “ si se crean unas condiciones favorables a la investigación da
lugar a un descubrimiento del conocimiento y un aprendizaje efectivo. La computadora como
medio de expresión ofrece la posibilidad de crear tales condiciones favorables ”25. En
contraste con Suppes y Davis, el modelo de Dwyer no parte de unas teorías psicológicas o
matemáticas definidas ya que se centra en el trabajo práctico para llegar a encontrar
actividades en las que los alumnos puedan emplear la computadora como una herramienta
personal. En este proceso, el docente y el alumno se convierten en codescubridores de
verdades. Los métodos que aprenden a poner en práctica, y los resultados obtenidos,
suponen un despliegue de ingenio por parte de alumnos y profesores de manera que es como
si fueran descubriendo, por sí mismos, toda una serie de secretos que se encuentran más allá
de las posibilidades de cualquier eminente profesor. El único secreto que todo ello entraña,
es que consiste en emplear la tecnología de la computadora a manera de construir un entorno
instrumental en el que el aprendizaje de las matemáticas sea al mismo tiempo, sencillo y
estimulante.
Para Dwyer, la importancia de la computadora radica en permitir a los estudiantes diseñar
sus propios procesos de aprendizaje. El problema es contar con un marco educativo que
estimule un aprendizaje autónomo y creativo y que, al tiempo, proclame la importancia de un
repertorio estándar. La computadora controlada por el docente y el alumno, aporta tal marco.
La computadora termina por convertirse en una herramienta cuya utilidad se extiende a
diferentes áreas de actividad y que ofrece diversas posibilidades, como por ejemplo; la
posibilidad de emplear la computadora en el desarrollo de conocimientos geométricos o la
posibilidad de su uso en la adquisición de conocimiento específico. Además, todas esas
posibilidades experimentales pueden provenir tanto de la programación de la computadora,
como de la utilización de un programa en la misma.
Dwyer considera a la computadora como un medio de expresión y como un motivo de
inspiración para profesores y alumnos, ejemplo de ello fue utilizar el lenguaje BASIC, primero
con computadoras en régimen de tiempo compartido y luego con computadoras personales.
25 Ibidem. pp. 22
82
Su planteamiento respecto al empleo de las computadoras en la enseñanza se basa en el
entusiasmo e imaginación de los docentes. Debido a que BASIC ha sido un lenguaje popular
en las computadoras personales, los materiales Solaworks de Dwyer y sus libros sobre
BASIC han resultado útiles para muchos docentes con imaginación.
A diferencia con los planteamientos de los modelos anteriores, el de Dwyer no ha sido
objeto de una evaluación exhaustiva. Su naturaleza ecléctica lo ha hecho adaptable como
una actividad auxiliar de aprendizaje en las clases de ciencias y de matemáticas,
fundamentalmente. Este planteamiento apoya el paradigma de que aprender a programar es
una necesidad social para cualquier persona instruida y un elemento de cualificación para el
mundo laboral. Por eso, el trabajo de Dwyer, generalmente, se convierte en un proceso de
aprendizaje de los principios elementales de un lenguaje de programación como BASIC.
El propio Dwyer subraya el proceso por el cual el alumno se ve cada vez más
profundamente inmerso en las actividades de programación. Este proceso está ligado a una
concepción bastante ecléctica de la forma en que tiene lugar el aprendizaje y lo que el niño
aprende.
Puesto que el modelo propuesto por Dwyer implica el aprendizaje de principios elementales
del lenguaje de Programación BASIC, con la idea de que a través de la programación propia
del alumno, se desarrollen aprendizajes. Es difícil Integrar este tipo de propuesta a un
programa generado en Authorware, ya que con éste, se construye software cuyo
funcionamiento radica en el uso de ventanas y pantallas interactivas dentro de la plataforma
Windows, muy diferente al entorno en que se ejecuta BASIC, el cual utiliza MS-DOS,
circunstancia por la cual, por el momento, no se consideró este tipo de entorno. Aunque
análogamente, el desarrollo de construcción con programación en Authorware, desarrolla
aprendizajes nuevos en el profesor que diseñe determinados programas.
Modelo de Seymour Papert.
Para Seymour Papert, “ el proceso de aprendizaje es más efectivo cuando tiene lugar en un
medió activo en el que los alumnos participan en el propio proceso a través de
construcciones de objetos, siendo la noción de aprendizaje autónomo la idea central “26.
26 Ibidem. pp.24
83
Papert asume una filosofía educativa y una epistemología concretas; ambas, en parte,
derivadas de Piaget y de la inteligencia artificial. La formación de Papert se basa en las
matemáticas, la psicología, la filosofía y la informática. Fue colaborador cercano a Piaget
antes de diseñar logo y comparte su interés en el análisis de los mecanismos mentales,
intentando comprender cómo se aprende, cómo construir máquinas inteligentes y cómo lo
uno puede contribuir al conocimiento de lo otro. Papert con su concepción amplia de las
matemáticas, propone el aprendizaje en torno al propio contexto, la resolución de problemas
por medios ingeniosos, la utilización de la intuición y la reflexión sobre los propios actos.
Las operaciones matemáticas consisten en construir objetos -físicos y mentales- y
depurarlos. El objetivo en el modelo de Papert consiste en continuar la expansión de una
especie de «Matemalandia», un mundo matemático que los niños pueden explorar libremente
y aprehender por medio de la invención, la construcción y la utilización de entidades
computacionales.
El programa LOGO es un ejemplo, el cual ha llegado a convertirse en sinónimo de una
manera de pensar acerca de las computadoras y del aprendizaje. LOGO es un lenguaje de
programación creado por Papert para su utilización por niños como un entorno instrumental
con una serie de ingenios controlados por computadora, como tortugas robot, cajas de
música y tortugas gráficas. Dado que el entorno instrumental es rico en contenidos, la
función del docente es distinta. De hecho, el currículum se desarrolla a través de las propias
exploraciones de los alumnos. Por lo demás, al igual que hacen los alumnos, los docentes
también pueden llevar a cabo sus propios descubrimientos acerca de sí mismos, de sus
alumnos y de la «Matemalandia» que están explorando. Las probabilidades de que los
alumnos aprendan los hechos y las habilidades fundamentales que Suppes y Davis valoran,
son mayores, ya que son herramientas que los alumnos adquieren fácilmente en el curso de
sus exploraciones.
Desde 1982 LOGO ha sido promovido como el lenguaje de programación en las escuelas
de enseñanza básica, en tanto el BASIC se ha considerado, cada vez en mayor medida, como
el lenguaje más apropiado para los alumnos de las escuelas secundarias y superiores. Sin
embargo, LOGO no se ha convertido en «Matemalandia». Papert ha tomado esta dirección,
pero es necesario que se lleve a cabo una mayor investigación y desarrollo de la misma. Su
método quizá sea el más difícil de adoptar porque comporta un modo radicalmente diferente
84
de considerar a los alumnos y los programas de estudio escolares en cuanto al manejo del
programa. Hay una diferencia muy grande en este modelo, ya que permite la programación
propia por parte de los alumnos.
De acuerdo a Papert, las matemáticas no deben considerarse como una recopilación de
datos y técnicas aunque éstos sean productos surgidos de ellas. Las matemáticas generan
ideas que coadyuvan a reflexionar sobre la vida propia, a organizar el conocimiento y a
contribuir al desarrollo social, emocional e intelectual. Esta concepción se ve sustentada por
la presencia de la computadora.
Papert considera el aprendizaje como un proceso constructivo y que las aportaciones más
importantes de Piaget no estriban en la constatación de la existencia de fases de desarrollo,
sino en la apreciación de que los individuos poseen diversas teorías para explicar el mundo.
Las teorías de los niños contrastan marcadamente con las de los adultos. Piaget demostró
que aún los niños muy pequeños poseen teorías que se van modificando conforme el niño
crece, en relación a ello, Parpert manifiesta que dicho proceso de transformación de esas
teorías es un proceso constructivista, los niños construyen sus propias estructuras
intelectuales para cuyo efecto utilizan los materiales disponibles que les proporcionan sus
respectivas culturas. Papert cuestionaba ¿qué tipos de experiencias y de conocimientos
inducen a los niños a modificar sus teorías y por qué aprenden algunas cosas sin recibir una
instrucción formal para ello y no aprenden otras, a pesar de haber sido formalmente
instruidos para tal fin? Son esas y otras interrogantes los que motivan la labor investigadora
de Papert.
Para Papert los niños aprenden mejor cuando se les estimula a seguir sus propias
intuiciones y emplean lo que ya conocen para elaborar nuevas ideas. Considera que la
computadora proporciona un contexto en el cual se puede llevar a cabo ese tipo de
aprendizaje, siendo necesario para ello que las cualidades de las computadoras estén
adaptadas a las necesidades de los niños y que se invente un nuevo tipo de matemáticas que
coincida con el proceso natural y evolutivo del aprendizaje; para ello, la concepción de la
computadoras se modela como una serie de imágenes vinculadas entre sí con el fin de crear
condiciones para que las personas y las computadoras puedan relacionarse, lo cual supone
un impulso simultáneo al sentido de uno mismo como aprendiente y la autovalorización de la
propia persona
85
“ El tipo de matemáticas que Papert considera necesario para las escuelas primarias es
una matemática de tipo constructiva e intuitiva más que formalizada, regida por reglas y en
consecuencia meramente axiomática “27. Este nuevo enfoque de las matemáticas se forma
partiendo de las características específicas de la tecnología de la computadora y de la
ciencia, siendo un ejemplo la geometría de la tortuga en el programa LOGO totalmente
diferente a la mayoría de geometrías modernas respecto de las prácticas escolares actuales.
Se trata de una matemática moderna inexistente antes del surgimiento de las computadoras.
Es una geometría computacional, diferente en muchos otros aspectos de la geometría
analítica o plana. Se trata de una investigación sobre la construcción de objetos, utilizando
métodos descriptivos, la cual se basa en las experiencias y las interacciones personales que
se tienen con los objetos. Su capacidad descriptiva es en parte dinámica y procesual.
Las nociones matemáticas, en lugar de aparecer formalmente, son introducidas
previamente como entidades, como si se tratara de personas, con sus propias peculiaridades.
Este planteamiento de las matemáticas sigue los perfiles del intuicionismo y del
constructivismo.
Las nociones matemáticas, como los programas y los ordenadores mismos, son pensados
como cosas vivientes que se pueden construir (describir) y que pueden adoptar diferentes
características. Este planteamiento antropomórfico ha sido un eficaz instrumento heurístico
dentro del pensamiento científico que en este mundo computacional se utiliza a menudo. Los
usuarios pueden hablar acerca de lo que hacen los programas y de lo que quieren que hagan;
del mismo modo pueden hablar sobre los errores y sus rasgos característicos.
Las investigaciones de Piaget aportaron a Papert un conjunto de ejemplos que describían
el proceso de aprendizaje de los niños sin la explícita intervención del docente y de un
currículum. En este sentido, Papert considera a Piaget como «el teórico de aquello que
pueden aprender los niños por si mismos sin necesidad de la intervención de los docentes».
Piaget, por ejemplo, estudió la adquisición y conservación de las nociones numéricas por los
niños. Sus hallazgos acerca de las nociones numéricas se demuestran por medio del
planteamiento de una serie de cuestiones sobre este tema a niños de diversas edades. En
ciertos momentos, digamos a la edad de cuatro años, el niño puede dar respuestas
27 Ibidem. pp. 122
86
incorrectas, si bien unos pocos años después el mismo niño puede «llegar a la respuesta
"adulta">. «En el lenguaje de Piaget el niño habrá adquirido-(y descubierto) la conservación
del número» (PAPERT, 1980d, pág. 994).
Una cosa es decir que el aprendizaje debería continuar de una manera tan natural como
comienza en el momento del nacimiento; pero para que esto pueda ocurrir, es necesario crear
las condiciones adecuadas. El constructivismo de Papert se basa en el modelo de
epistemología genética de Piaget. Para Papert, Piaget es el teórico que concibe a los niños
como constructores de sus propias estructuras intelectuales. Ahora bien, necesitan
materiales con los que poder construirlas, y esos materiales se los proporciona la cultura en
la que están inmersos. Cuando la cultura es rica en materiales adecuados, los niños
construyen con estabilidad y prontitud. Y cuando la cultura es pobre en materiales, la
construcción se ve entorpecida. Las matemáticas no sólo son la noción de número sino
también la comprensión de procesos y cálculos, la comprensión de los mecanismos de
pensamiento y la solución activa de problemas de la vida real.
Papert considera a la computadora “como un agente potencial capaz de cambiar tanto la
manera de hacer las cosas como la forma en que crecemos pensando acerca de las cosas
que hacemos“28.
Todas las personas al pensar están matemáticamente dotada, sin embargo la mayoría de
ellas pierde el contacto con sus propias facultades matemáticas, creándose un
enajenamiento que en opinión de Papert, es causado por el medio cultural tanto dentro como
fuera de la escuela. Considera que el medio cultural apoya algunas nociones matemáticas,
como el concepto de número, pero que otras muchas nociones fundamentales de las
matemáticas, como las de procedimiento o proceso -instrumentos dinámicos de
pensamiento- no se encuentran tan bien representados en nuestra cultura tal como es hoy en
día.
Según Papert, las matemáticas enseñadas en las escuelas son unas «matemáticas
desnaturalizadas», desvitalizadas y despersonalizadas debido a que no tienen o encuentran
una conexión con lo que los niños piensan, lo que les preocupa, y aquello con lo que se
relacionan. Papert es partidario a la tradición matemática de los teóricos que consideran al
28 Ibidem. pp. 131
87
pensamiento como un hecho creativo, y para los cuales el pensamiento matemático, en
particular, y cualquier actividad intelectual, en general, son actos personales, vivos, activos e
interactivos, que forman parte de un proceso en el que el individuo hace sus aportaciones
originales. Su sentido de lo poético, la estética y la belleza se basan en una cultura rica en
metáforas personales y en el reconocimiento de que existen diversas, y concretas maneras
de contemplar los problemas.
El pensamiento matemático permite relacionarse al individuo consigo mismo y con su
mundo ayudándole a comprender analogías y diferencias entre las gentes y las culturas. El
principio de unificación no proviene de un sistema lógico, sino de las propias relaciones
existentes entre las personas, en cuanto actores y constructores de sus propias estructuras
intelectuales. Desde este punto de vista en el que se relacionan las matemáticas con el medio
cultural, recuerda las ideas y la práctica que siguen Davis y Dwyer.
El entorno computacional propuesto por Papert, es similar al de Dwyer, en cuanto a la
necesidad de una programación propia por parte del alumno, que lo lleve al desarrollo de
aprendizajes, aunque con grandes diferencias entre los programas para su desarrllo como
BASIC y LOGO respectivamente. Sin embargo, para el diseño del software “Los prismas y el
cilindro”, se toman en cuenta los siguientes referentes propuestos por Papert, los cuales se
deben tener presentes por el docente en la conducción de dicho software y manejo de los
contenidos temáticos.
- Considerar el aprendizaje como un proceso constructivo, el cual desarrollan los alumnos
al emplear sus diversas teorías para explicar situaciones.
- Considerar que los niños construyen sus propias estructuras intelectuales usando los
materiales disponibles que se les proporcione. (Programa educativo y material didáctico
adicional)
- La computadora proporciona un contexto y debe ser adaptada a las necesidades de los
niños, considerando la secuencia de imágenes vinculadas entre sí, para crear
condiciones adecuadas a dicho contexto.
88
3.2.-COMPARACIONES ENTRE LOS MODELOS
COMPUTACIONALES EN LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE.
Al realizar comparaciones entre los modelos de Suppes, Davis y Dwyer, las diferencias
son relativas a sus respectivas experiencias observables en sus métodos de enseñanza y en
sus teorías acerca de la forma en que se lleva a cabo el aprendizaje. Sin embargo, comparten
un mismo punto de vista sobre lo que constituye el contenido de las matemáticas básicas:
Las matemáticas son la aritmética, el álgebra y la geometría como un conjunto total y no
como elementos aislados.
No hay coincidencias en cuanto al momento en que se han de introducir ciertos temas y
las ideas sobre las que hay que hacer especial hincapié, pero concuerdan en que los alumnos
deberían aprender un cierto bloque de conocimientos matemáticos.
Seymour Papert por su parte, plantea una nueva cuestión al docente. Propone la
invención de nuevos temas matemáticos. Para poder comprender esa propuesta, es
necesario situar sus ideas, al igual que las de Suppes, Davis y Dwyer, bajo una perspectiva
filosófica, dentro de la historia de las matemáticas. Al hacerlo así, se abarcan las
aplicaciones de este movimiento en favor de unas matemáticas nuevas. En este caso,
Suppes y Davis incorporaron una nueva matemática de los años 60’. Por un lado, algunos,
como Suppes, introdujeron nuevos contenidos en el currículum. Optaron por introducir
nuevos contenidos de lógica y teoría de conjuntos, que consideraban el fundamento de todas
las matemáticas. Tales ideas intersecan con la tradición dentro de la cual la obra mejor
conocida y más consistente son los Principios Matemáticos (PM), de Whitehead y Russell,
en la cual toda la matemática queda reducida a lógica. La trascendencia de esta obra ha sido
enorme: contribuyó a crear un nuevo campo de las matemáticas, la lógica matemática, como
algo distinto de la lógica, que es un campo filosófico. Contribuyó a revitalizar otra área de las
matemáticas: la matemática fundamental, un área de las matemáticas en la que trabajan los
matemáticos, ya sean geómetras, topólogos, algebristas o lógicos, recurrentemente, pero
que, desde los PM, ha estado dominada por quienes defienden el pensamiento lógico-formal
como base del pensamiento matemático.
Se puede apreciar en el currículum de Suppes la influencia de los puntos de vista de los
PM. Suppes divide las matemáticas en una serie de habilidades componentes. Su filosofía
89
subyacente apoya los métodos tradicionales de enseñanza, según los cuales el profesor
aporta el conocimiento a los niños de forma dosificada con la diferencia en que tanto a
docentes y alumnos se les da un pormenorizado programa de estudio que reduce las
nociones básicas de matemáticas a una jerarquía de conceptos diferenciados.
Seymour Papert no comparte esta visión reduccionista de la reforma de las matemáticas
en la enseñanza, igual que Davis y Dwyer. En el currículum de Davis, todo se centraba en el
proceso de «hacer» matemáticas. Rompe con la tradición de los PM, para la cual las
matemáticas responden a un planteamiento formal en el que tienen una especial importancia
las fórmulas. Por el contrario Papert intenta enfatizar la tradición intuicionista y
constructivista para la cual las operaciones matemáticas se conciben como una tarea
personal. Pretende desarrollar en los niños unas estrategias heurísticas respecto a las
matemáticas, con el fin de que intenten utilizar lo que ya saben para solucionar los nuevos
problemas que se les planteen. Pero Davis mantiene una perspectiva tradicional respecto a
cómo alcanzar los grados superiores de sofisticación matemática. Por otro lado, Papert
considera que es necesario un nuevo contenido que haga hincapié en los procesos de
computación más que en las técnicas aritméticas. Lo que se propone es ofrecer a los
alumnos un entorno intelectual en el que puedan discurrir y construir nuevas nociones y
aprender de sus propias experiencias personales en un entorno significativo rico en
contenidos.
Es dentro de esta tradición en la que la utilidad de las. matemáticas se concibe más a nivel
personal que a nivel abstracto, en donde Davis y Papert comparten la misma posición en el
sentido de que la importancia de un teorema no radica en lo que puede demostrar, sino en la
utilidad que pueda tener como un instrumento para realizar nuevas construcciones
matemáticas (o descubrimientos). Papert cree que la aritmética no es un terreno rico en el
que los niños puedan hacer descubrimientos originales.
Aunque Papert comparte con Davis y Dwyer la especial importancia del aprendizaje
experimental que involucra a la totalidad del niño y el descubrimiento de las ideas
matemáticas por parte de los propios niños, no coincide con ellos en la manera como esto
pueda ocurrir, su teoría acerca de la forma en que se produce el aprendizaje, mediante las
propias construcciones que hacen los niños, a los cuales Davis cree que hay que ayudar,
exige que el contenido al que se enfrentan los niños en las clases de matemáticas se cambie,
90
para que se adapte a sus tendencias naturales. Para Papert, las matemáticas que proponen
Davis y Suppes, son unas matemáticas «desnaturalizadas». Para Suppes, está bien así; es
como debería ser. Para Davis, que se entronca con una tradición intuicionista y
constructivista, esto seria una clara distorsión de sus intenciones.
En cierto modo, Papert acepta los propósitos tanto de Suppes como de Davis, en
referencia a cambiar por un lado los contenidos de las matemáticas básicas, poniéndolas en
consonancia con las ideas actuales sobre los fundamentos de las matemáticas, y, por otro
lado, el proceso de puesta en práctica de las matemáticas en la escuela de modo que se
aproximen a las intuiciones de los niños y al pensamiento cotidiano.
Lo que diferencia a Papert de Suppes, Davis y Dwyer, es el hecho de que si se quiere
enseñar aritmética a los niños, quizá no sea la aritmética la mejor vía para poder llegar a
comprender fácilmente el tema ya que lo que se requiere primero es una forma de
matematizar al niño; después de esto, cualquier tema matemático se convierte en una materia
fácil.
La aritmética se compone de una serie de reglas formales y de algoritmos con los que es
difícil para muchas personas establecer relaciones y discurrir nuevos conceptos. Lo primero
que se requiere son ciertas experiencias sobre las que se pueda desarrollar un modo de
razonamiento matemático. Claro que para Suppes y los demás autores de la tradición de los
PM, la lógica es la que representa el razonamiento matemático. Papert y otros autores ajenos
a la tradición de los PM en la que el pensamiento lógico se considera fundamental,
consideran que la forma matemática de pensar se deriva de una serie de actividades
intuitivas y constructivas, según una «teoría genética de las matemáticas» ; por ello se
buscan crear unos contenidos más personalizados con los que aprender las matemáticas.
Para Papert, aprender es un proceso activo consistente en hacer y pensar acerca de lo que se
hace. Esto contrasta con el planteamiento de los PM basado en reglas-guía, según el cual se
aprende mediante directrices expresamente dictadas y una serie de tareas de ejercitación que
tienen por objeto llegar a dominar ciertas técnicas o habilidades que se consideran
fundamentales.
91
3.3 - INVESTIGACIÓN EXPLORATORIA ACERCA DEL TIPO DE
SOFTWARE PREFERIDO POR ALUMNOS DE EDUCACIÓN PRIMARIA,
PARA EL DISEÑO DE LA INTERFAZ.
Esta investigación permitió recabar la información necesaria para describir el tipo de
software preferido entre alumnos de 5º y 6º grados de escuelas primarias en el D.F. y
considerar con ello el tipo de interfaz más recomendable.
La información obtenida, brindó elementos necesarios para el diseño e interfaz del software
“Los prismas y el cilindro”, como herramienta computacional, para ser empleado en un
entorno de aprendizaje para los alumnos, así como un apoyo en una propuesta de enseñanza-
aprendizaje sobre los prismas y el cilindro, en correspondencia con el Plan y Programas de
estudios de educación primaria 1993, vigente a la fecha.
METODOLOGÍA
Dado el objetivo de búsqueda del tipo de software preferido entre alumnos, se realizó un
estudio de tipo exploratorio de campo, debido a que el instrumento aplicado en las escuelas
corresponde al lugar donde los alumnos conviven y aprenden.
El muestreo se sujetó a las siguientes características asignadas de antemano:
- alumnos de 5º y 6º grados de escuelas primarias oficiales
- conocimiento de computación
- establecimiento específico del número de participantes
La muestra estuvo compuesta por 54 alumnos, de 2 escuelas primarias ubicadas en la
delegaciones Gustavo A. Madero (Escuela primaria de tiempo completo “José Revueltas” y
Escuela primaria “Insurgente Morelos”)
Los alumnos participantes se seleccionaron de acuerdo a su experiencia en el manejo de
videojuegos y software educativo, tanto en computadora como en consolas de juego
(Nintendo y Play Station).
Los instrumentos consistieron en 1 cuestionario para alumnos de 5º y 6º grados de
educación primaria. El cuestionario “Mi videojuego o software preferido” aplicado a los
alumnos, consistió en atender los aspectos de Videojuegos, Software y Hábitos de estudio,
diseñado con la intención de obtener información que permitiera conocer las preferencias de
alumnos y alumnas sobre videojuegos y software así como las estrategias que usan cuando
92
estudian y además, cómo emplean o no, la computadora como herramienta de apoyo en este
proceso.
CUESTIONARIO (ALUMNOS)
“MI VIDEOJUEGO O SOFTWARE PREFERIDO”
NOMBRE DEL ALUMNO:________________________________________GRADO:____________
INSTRUCCIONES: Contesta las siguientes preguntas:
1.- Indica 3 títulos de los videojuegos que más te agradan:
___________________________ ________________________ _________________________
2.- Describe qué es lo que más te agrada de los videojuegos indicados con anterioridad:____
________________________________________________________________________________
3.- Describe cómo son las estrategias de los juegos (En qué consisten y cuál es el chiste de
jugarlos)_________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
4.- Escribe 3 títulos de videojuegos que no te agraden:_________________________________
__________________________________ ___________________________________________
5.- Describe brevemente porqué no te agradan los videojuegos indicados anteriormente_____
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
6.- Describe cuáles son tus estrategias para aprender o estudiar algo:_____________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
7.- ¿Utilizas la computadora como herramienta para estudiar o aprender algo?_____________
8.- ¿ Cómo utilizas la computadora para aprender?____________________________________
________________________________________________________________________________
9.- ¿ Haz utilizado algún programa de computadora para estudiar o para aprender ?________
En caso afirmativo, menciona cuál o cuáles programas haz empleado:___________________
_______________________________________________________________________________
10.- Te gustaría que en tu escuela, se utilizaran más programas educativos de computadora?
_______________________________________________________________________________
.
93
La información obtenida de la aplicación de estos cuestionarios, durante el mes de febrero
de 2000, permitió tener un panorama más claro acerca del tipo de videojuego y software
utilizado por alumnos y profesores y con ello, tener referentes para la confección de la
interfaz (manejo e interacción programa-usuario), así como de algunos elementos de forma
del software educativo “Los prismas y el cilindro”.
La información, se analizó y se obtuvieron los siguientes resultados, de los cuales se
tomaron en consideración los elementos subrayados:
Títulos de videojuegos más agradados:
1.- Mortal Kombat, Street Fighter, King of the figther, Killer Instinc, Tomb Raider I, II, III, IV,
Zelda, Final Fantasy (Los 4 primeros son del tipo luchas o peleas y dadas su características
se descartaron, y se consideraron los de tipo estrategia: Tomb Raider, Zelda y Final Fantasy).
2.- King of dragon I y II, Metal Sluts 2, Vart. (la mayoría son juegos de misiones y estrategias)
3.- Mario Bros, Sider Kicks. (estrategia y de entretenimiento)
Lo que más les agrada y tipo de estrategias de los juegos con mayor demanda:
1.- Música de fondo, interactividad, elementos gráficos, retos difíciles, colores, personajes,
dinamismo, y estrategia de juego simple y difícil que invitan al reto.
2.- Estrategia de juego con incremento de dificultad que invita al reto, fondos musicales.
3.- Estrategia de juego sencilla y entendible, dinámicos y de reto fácil.
En qué consisten los juegos con mayor agrado
1.- Las estrategias de solución de parte de ellos, implican el éxito o el logro del reto que está
en juego, hay recompensas o castigos y se requieren niveles distintos de concentración que
conllevan a desarrollar habilidades mentales.
Videojuegos que no agradan y porqué
1.- Diversos Juegos de Nintendo I – causa: poca variedad, son viejos, gráficos simples.
2.- Diversos – causa: son de manejo y estrategia muy simple.
Estrategias para estudio
1.- Lectura de apuntes, ejercicios, repaso de lecciones.
94
2.- Consulta de libros, uso de la Internet.
3.- Resúmenes, cuestionarios y uso de guías de estudio.
Uso de la computadora como herramienta.
1.- Uso de programas como Word, Power Point como sustituto de máquina de escribir.
2.- Un mínimo número, emplea programas como la Enciclopedias Salvat y Encarta para la
búsqueda de información para tareas.
Uso de la computadora en la escuela.
1.- La totalidad de alumnos coincidieron en que las escuelas cuenten con computadoras y se
utilicen programas educativos.
Con ello, la interfaz del software “Los prismas y el cilindro”, se diseñó con las siguientes
características:
- Analogías a un juego de estrategias en donde se tiene implícita la aplicación de
estrategias e ingenio con incremento de dificultad que invite al reto.
- Música de fondo del agrado de los alumnos (Se tomaron de temas de algunos
videojuegos de la compañía NEO-GEO Inc.)
- Movimientos de navegación dinámicos y a la vez simples. (Máximo 3 pulsaciones con el
mouse sobre botones para ingreso a una sección y sus elementos, así como para el
regreso al Menú principal.
- Elementos gráficos de alta calidad.
- Provocar distintos niveles de concentración.
95
3.4 – EL PLAN Y PROGRAMAS DE EDUCACIÓN PRIMARIA Y LA
CORRESPONDENCIA DE CONTENIDOS A DESARROLLAR EN EL
SOFTWARE “LOS PRISMAS Y EL CILINDRO”
Una vez establecidos los elementos como entorno computacional e interfaz de
desarrollo, así como tomar en cuenta, el apoyo de material didáctico adicional para el diseño
del software “Los prismas y el cilindro”, se procedió al análisis de cuáles son los propósitos
y contenidos educativos a lograr en los alumnos de 5º y 6º grados de educación primaria, con
referencia a la asignatura de Matemáticas en el tema de “Prismas y cilindros”.
De acuerdo al Plan y Programas de Educación Primaria 1993, vigente a la fecha, se
establece en el enfoque de Matemáticas, que éstas son un producto del quehacer humano y
su proceso de construcción está sustentado en abstracciones sucesivas y que muchos
desarrollos de esta disciplina han partido de la necesidad de resolver problemas concretos,
propios de los grupos sociales. También se menciona que las matemáticas, permiten resolver
problemas en diversos ámbitos, y que si bien, todas las personas construyen conocimientos
fuera de la escuela que les permiten enfrentar dichos problemas, estos conocimientos no
bastan para actuar eficazmente en la práctica diaria. Contar con habilidades, conocimientos y
formas de expresión que la escuela proporciona, permite la comunicación y comprensión de
la matemática presentada a través de medios de distinta índole. Una de las funciones de la
escuela es brindar situaciones en las que los niños utilicen sus conocimientos para resolver
ciertos problemas y que, a partir de sus soluciones iniciales, compare sus resultados y
formas de solución para hacerlos evolucionar hacia los procedimientos y las
conceptualizaciones propias de las matemáticas.
Con base a lo anterior, también se indican los siguientes Propósitos generales:
Los alumnos de la escuela primaria deberán adquirir conocimientos básicos de las
matemáticas y desarrollar la capacidad de utilizar las matemáticas como instrumento para
reconocer, plantear y resolver problemas, de anticipar y verificar resultados y de comunicar e
interpretar información matemática. También, desarrollar la imaginación espacial, la habilidad
para estimar resultados de cálculos y mediciones, al destreza de uso de instrumentos de
medición, dibujo y cálculo, así como el pensamiento abstracto por medio de distntas formas
96
de razonamiento, entre otras, la sistematización y generalización de procedimientos y
estrategias
La selección de contenidos se este Plan y Programas, se articulan con base a seis ejes a
saber, cuya organización permite que la enseñanza incorpore de manera estructurada, no
sólo contenidos matemáticos, sino el desarrollo de ciertas habilidades y destrezas,
fundamentales para una buena formación básica en matemáticas.
- Los números, sus relaciones y susoperaciones.
- Medición.
- Geometría.
- Procesos de cambio.
- Tratamiento de la información
- Predicción y azar.
En lo que respecta al tema “Los prismas y el cilindro”, se establecen en el Plan y programas
de educación primaria los siguientes propósitos de acuerdo a los ejes de Geometría y
Medición.
A continuación, se presentan los contenidos asociados a las secciones del software “Los
prismas y el cilindro”, mismos que se escuentran establecidos en la asignatura de
Matemáticas, en los ejes de Geometría y Medición de 5º y 6º grados, del Plan y programas de
educación primaria.
Referente al Eje Geometría: A lo largo de la primaria, se presentan contenidos y situaciones que favorecen la ubicación del alumno en relación con su entorno. Asimismo se proponen actividades de manipulación, observación, dibujo y análisis de formas diversas. A través de la formalización paulatina de las relaciones que el niño percibe y de su representación en el plano, se pretende que estructure y enriquezca su manejo e interpretación del espacio y de las formas.
Referente al Eje Medición: El interés central a lo largo de la primaria en relación con la medición es que los conceptos ligados a ellas se construyan a través de acciones directas sobre los objetos, mediante la reflexión sobre esas acciones y la comunicación de sus resultados. Con base en la idea anterior, los contenidos de este eje integran tres aspectos fundamentales:
- El estudio de las magnitudes - La noción de unidad de medida - La cuantificación, como resultado
de la medición de dichas magnitudes.
97
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS Contenidos 5º Grado
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS Contenidos 6º Grado
Eje: Medición Longitudes, áreas y volúmenes
- Planteamiento y resolución de problemas que impliquen el cálculo del perímetro de polígonos y de figuras curvilíneas utilizando diversos procedimientos. SECCIONES: FIGURAS GEOMÉTRICAS
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO MEMORAMA INICIAL - Resolución de problemas que impliquen el
cálculo del área de polígonos, trapecios y romboides por descomposición en cuadrados, triángulos y rectángulos. SECCIONES: FIGURAS GEOMÉTRICAS
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO MEMORAMA INICIAL - Planteamiento y resolución de problemas
que impliquen el cálculo de áreas utilizando el metro cuadrado, el decímetro cuadrado y el centímetro cuadrado. SECCIÓNES: FIGURAS GEOMÉTRICAS
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO MEMORAMA INICIAL - Relación entre el perímetro y área de una
figura. - Medición de volúmenes del cubo y de
algunos prismas, mediante el conteo de unidades cúbicas.
SECCIONES: PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO. MULTIJUEGO GEOMÉTRICO. A BUSCAR PRISMAS Y CILINDROS. A JUGAR CON CUBOS. Eje :Geometría
Cuerpos geométricos – Construcción y armado de patrones de
cubos y prismas. SECCIONES: PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO.
MEMORAMA FASE 2. MULTIJUEGO GEOMÉTRICO. A BUSCAR PRISMAS Y CILINDROS.
Figuras geométricas – Trazo de figuras utilizando la regla y
escuadra. – Clasificación de figuras utilizando diversos
criterios (igualdad de ángulos, igualdad de lados, paralelismo y simetría).
SECCIONES: MEMORAMA INICIAL MULTIJUEGO GEOMÉTRICO. FIGURAS GEOMÉTRICAS.
Eje Medición Longitudes, áreas y volúmenes
- Perímetro del círculo. - Uso de fórmulas para resolver problemas
que impliquen el cálculo de áreas de diferentes figuras. SECCIONES: FIGURAS GEOMÉTRICAS
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO - Planteamiento y resolución de problemas
sencillos que impliquen el cálculo del volumen de cubos y de algunos prismas mediante el conteo de unidades cúbicas.
SECCIONES: PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO. MULTIJUEGO GEOMÉTRICO. A JUGAR CON CUBOS. - Fórmula para calcular el volumen del cubo y
de algunos prismas. SECCIONES: PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO. A BUSCAR PRISMAS Y CILINDROS. MULTIJUEGO GEOMÉTRICO. - Variación del área de una figura en función
de la medida de sus lados. SECCIONES: FIGURAS GEOMÉTRICAS.
- Cálculo del área total de prismas. SECCIONES: PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL
CILINDRO. ACOMODA PRISMAS.
Eje: Geometría Cuerpos geométricos
- Construcción y armado de patrones de prismas, cilindros y pirámides. SECCIONES: MEMORAMA FASE 2.
PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO. Figuras geométricas
- Construcción de figuras a través de sus diagonales. SECCIONES: FIGURAS GEOMÉTRICAS.
- Clasificación de figuras utilizando diversos criterios (tamaño de lados, número de lados, medida de sus ángulos, número de vértices, pares de lados paralelos, diagonales iguales, diagonales diferentes, puntos de intersección de las diagonales, número de ejes de simetría, etcétera) SECCIONES: FIGURAS GEOMÉTRICAS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO. - Trazo y reproducción de figuras utilizando
regla y compás. SECCIONES: FIGURAS GEOMÉTRICAS.
98
Después del análisis de los contenidos de 5º y 6º grados de la asignatura de matemáticas
marcados en el Plan y programas de educación primaria, se procedió a la correspondencia de
las secciones que conforman al software educativo, con las lecciones establecidas en los
libros de matemáticas de los alumnos de los grados indicados, lo cual se muestra en los
esquemas siguientes:
QUINTO GRADO (Libro del alumno Página 12-13)
LECCIÓN 2 : “QUIÉN TIENE RAZÓN”
(Clasificacón de polígonos y otras figuras)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO
MEMORAMA INICIAL
99
QUINTO GRADO (Libro del alumno Página 32-33)
LECCIÓN 12 : “EL FORRO DE LAS CAJAS”
(Desarrollo en el plano de cubos y prismas)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO.
MEMORAMA INICIAL.
PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO.
A BUSCAR PRISMAS Y CILINDROS.
MEMORAMA FASE 2.
100
QUINTO GRADO (Libro del alumno Páginas 34-35)
LECCIÓN 13 : “TRIÁNGULOS Y RECTÁNGULOS”
(Area, alturas y bases del triángulo)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO
MEMORAMA INICIAL
101
QUINTO GRADO (Libro del alumno Páginas 58-59)
LECCIÓN 24 : “EL ÁREA DE LOS POLÍGONOS”
(Area de polígonos que tienen fórmula o no la tienen)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO
MEMORAMA INICIAL
102
QUINTO GRADO (Libro del alumno Páginas 68-69)
LECCIÓN 29 : “PERÍMETROS Y ÁREAS”
(Relación entre área y perímetro deuna figura)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO
MEMORAMA INICIAL
103
QUINTO GRADO (Libro del alumno Páginas 88 y 92)
LECCIÓN 38 : “TRAZO DE TRIÁNGULOS Y CUADILÁTEROS”
(Trazos con regla y compás)
LECCIÓN 40 : “PARA CALCULAR EL ÁREA”
(Area de polígonos y figuras curvilíneas. Diferentes recursos)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTOS CONTENIDOS:
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO
MEMORAMA INICIAL
104
QUINTO GRADO (Libro del alumno Páginas 98-99)
LECCIÓN 43 : “LOS POLÍGONOS REGULARES”
(Trazo de figuras en un círculo usando ejes de simetría)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO
MEMORAMA INICIAL
105
QUINTO GRADO (Libro del alumno Páginas 122-123)
LECCIÓN 54 : “ALGO MÁS SOBRE EL ÁREA”
(El área por transformación de figuras y otros recursos)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO
MEMORAMA INICIAL
106
QUINTO GRADO (Libro del alumno Páginas 124-125)
LECCIÓN 55 : “CUADRADOS MÁGICOS”
(El principio lógico de la resolución de cuadrados mágicos,
se aplicó empleando el acomodo de prismas geométricos a manera de juego)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
ACOMODA PRISMAS
107
QUINTO GRADO (Libro del alumno Páginas 132-133)
LECCIÓN 59 : “EL VOLUMEN DE LOS PRISMAS”
(El cm como unidad de volumen)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO
MEMORAMA INICIAL
3
108
QUINTO GRADO (Libro del alumno Páginas 144-145)
LECCIÓN 65: “LA PARED SIN VENTANA”
(Cálculo de volumen)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO
PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO
109
QUINTO GRADO (Libro del alumno Páginas 168-169)
LECCIÓN 76 : “LAS ALBERCAS Y LAS CISTERNAS”
(Relaciones del volumen)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO
PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO.
110
SEXTO GRADO
111
SEXTO GRADO (Libro del alumno Páginas 14-17)
BLOQUE I : “AVENTURA EN EL TIEMPO”
(Area de rectángulo, triángulo, cuadrado, y volumen con cubos)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
A JUGAR CON CUBOS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO.
MEMORAMA INICIAL.
PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO.
SEXTO GRADO (Libro del alumno Página 31)
BLOQUE I : “DESAFIOS”
(Desarrollos planos del cubo y predicción)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
A JUGAR CON CUBOS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO.
PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO.
112
113
SEXTO GRADO (Libro del alumno Página 42-46)
BLOQUE II : “A CONTAR CUBOS”
(Volumen con cubos en diversos prismas)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
A JUGAR CON CUBOS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO.
PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO.
114
SEXTO GRADO
(Libro del alumno Páginas 47-52)
BLOQUE II : “EL PEQUEÑO TALLER”
(Desarrollo plano de prismas, área lateral,
área total, y nociones de pirámides)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN
ESTE CONTENIDO:
PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO
MEMORAMA INICIAL
MEMORAMA FASE 2
115
116
SEXTO GRADO (Libro del alumno Páginas 67-73)
BLOQUE II : “MANUALIDADES CON CUBOS Y PRISMAS”
(El cubo como unidad de volumen, volumen deprismas)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
A JUGAR CON CUBOS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO.
PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO.
MEMORAMA INICIAL.
A BUSCAR PRISMAS Y CILINDROS.
ACOMODA PRISMAS
117
118
SEXTO GRADO (Libro del alumno Páginas 74-80)
BLOQUE II : “LA CONSTRUCCIÓN”
(Cálculo del volumen de prismas en situaciones de la vida real)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN ESTE CONTENIDO:
A JUGAR CON CUBOS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO.
PRISMAS GEOMÉTRICOS Y EL CILINDRO.
SEXTO GRADO
(Libro del alumno Página 81)
BLOQUE III : “LOS PAPALOTES”
(Área de polígonos y su ángulos)
SECCIONES DEL SOFTWARE QUE APOYAN
ESTE CONTENIDO:
A JUGAR CON CUBOS.
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
MULTIJUEGO GEOMÉTRICO.
119
3.5 - ESTRUCTURA DE LA PROGRAMACIÓN Y REFERENCIAS
TÉCNICAS DEL SOFTWARE EDUCATIVO
“LOS PRISMAS Y EL CILINDRO”
El software “Los prismas y el cilindro”, está diseñado con el programa de tipo “autor”:
Authorware Attain, Version 5.0, con una programación conformada con el manejo de iconos
en las diversas modalidades compatibles con Authorware: Iconos de pantalla fija general
(Display), Iconos de movimiento (Motion), Iconos de borrado (Erase), Iconos de espera (Wait),
Iconos de navegación (Navigate), Iconos de compilación de trabajo (Framework), Iconos de
decisión (Decisión), Iconos de interacción (Interaction), Iconos de cálculo (Calculation),
Iconos de mapeo (Map), Iconos de película digital (Digital movie, formato Avi = Video
Estándar y Quick Time), Iconos de sonido (Sound, formato wave y swa), Iconos de video
(Video, formato PCM), Iconos Quick Draw 3d (Insertación de archivos 3d, formato 3dmf) y
subdirectorios alternados con funciones y variables matemáticas. El código fuente del
programa en general, tiene un total de 2734 iconos, distribuidos en 9 subprogramas; el “Menú
Principal” y las secciones “A jugar con cubos”, “Memorama Inicial”, “Prismas Geométricos y
el cilindro”, “Figuras Geométricas”, “A buscar prismas y cilindros”, “Memorama Fase 2”,
“Acomoda prismas” y “Multijuego Geométrico”.
Se presenta la estructura general de programación del Software “Los prismas y el cilindro”,
con el fin de comprender las relaciones lógicas de flujo y de ligas para el ingreso y
presentación de imágenes, videos, sonidos, objetos 3D, etc.
Los iconos ligados con el desplazamiento de cada uno de los subprogramas al “Menú
Principal”, están marcados por círculos, así como los despliegues del código de los iconos
de mapeo se señalan con flechas.
La estructura interna de programación del “Menú principal”, se ilustra a continuación,
donde se observan las ligas de salida-retorno hacia cada subprograma con la función (Jump
File Return) y uso de hot objet (Objetos calientes). ICONOS: Quick Time QuickDraw 3d
Display Motion Erase Wait Navigate Framework Interaction
Desicion Interaction Calculation Map Movie Sound Video PCM
120
AQUÍ SE LOCALIZAN LOS HOT SPOT CON ICONOS DE CÁLCULO (Función: Jump File Return) PARA INGRESO Y RETORNO AL MENÚ PRINCIPAL DE LOS 8 SUBPROGRAMAS (SECCIONES DELSOFTWARE).
121
ESTRUCTURA INTERNA DE PROGRAMACIÓN
SECCIÓN: “A JUGAR CON CUBOS”
122
ESTRUCTURA INTERNA DE PROGRAMACIÓN
SECCIÓN: “MEMORAMA INICIAL”
123
ESTRUCTURA INTERNA DE PROGRAMACIÓN
SECCIÓN: “PRISMAS GEOMÉTRICOS”
EJEMPLO CON CILINDRO
124
ESTRUCTURA INTERNA DE PROGRAMACIÓN
SECCIÓN: “FIGURAS GEOMÉTRICAS”
EJEMPLO SELECCIONANDO “EL HEPTÁGONO”
125
ESTRUCTURA INTERNA DE PROGRAMACIÓN
SECCIÓN: “A BUSCAR PRISMAS Y CILINDROS”
A BUSCAR PRISMAS
126
ESTRUCTURA INTERNA DE PROGRAMACIÓN
SECCIÓN: “MEMORAMA FASE 2”
127
ESTRUCTURA INTERNA DE PROGRAMACIÓN
SECCIÓN: “ACOMODA PRISMAS”
128
ESTRUCTURA INTERNA DE PROGRAMACIÓN
SECCIÓN: “MULTIJUEGO GEOMÉTRICO”
129
La versión de Authorware empleada no es del tipo comercial y tiene limitaciones en
cuanto a los modos de empaquetar archivos ejecutables y no contar con archivos extras de
edición y transición multimedia, por lo que para lograr la calidad y requerimientos de
multimedia para el tema de prismas y cilindros, se agregaron algunos archivos
mutifuncionales como los Xtras Zone Transition (7 archivos de efectos de transición), el User
Code Budapi, el Xtra Qd3d, el Xtra Tree View y el Control Active X actualizado, entre otros. Por
otra parte, se emplearon algunos programas adicionales para cada elemento multimedia
requerido, tales como:
- El Programa Studio Max 2.0 , utilizado para la fabricación y edición de videos, como el que
se presenta en la carga inicial del programa.
- El Programa Director 7.0 utilizado para la edición de animaciones y video en formato AVI,
tales como los desarrollos planos de algunos prismas presentados en el programa.
- El Programa Photomorph 2, utilizado para la edición y deformación de algunos videos
para darles efectos especiales,
- El Programa Infini-D Version 3.5, utilizado para la edición y elaboración de animaciones en
3D, como el logotipo giratorio UPN que se despliega durante la carga inicial automática
del programa.
- El Programa Quick Time Studio VR. Utilizado para la edición y elaboración de imágenes
virtuales en formato VR, como la presentada en la sección “A buscar prismas”.
- El Programa Hyper-Cam V 1.51, utilizado para la edición y filmación de Video en formato
AVI y Quick Time, presentados en la sección “Multijuego” cuando se animan los
desarrollos planos y conforman a los prismas.
- El Programa Pana Vue Professional, utilizado para la edición y elaboración de imágenes
VR y panorámicas, (formato virtual reality), y cuyo manejo permitió elaborar las
panorámicas presentadas en la sección “Multijuego geométrico”.
- El Programa Design Work 3D, utilizado para el diseño de cuerpos geométricos móviles en
3D, formato Qd3d, presentados en la sección “Prismas geométricos y el cilindro”, así
como las figuras con movimiento 3D presentadas en la sección “Figuras geométricas”.
- El Programa Audio Grabber V 1.3.1, utilizado para la grabación, edición y conversión de
audio en formatos WAVE y MP3, de todo el audio existente en el programa.
130
El tiempo invertido en programación-horas fue aproximado a 2240 horas, además del tiempo
adicional requerido con programadores del grupo Authorware-Ring con asesorías especiales
para la reflexión y renovación de nuevos códigos.
Es de alta calidad, la funcionalidad, acabados, interface y potencial educativo del software
“Los prismas y el cilindro”, semejante a la de algunos programas profesionales.
Una ventaja importante del programa es que es totalmente autoejecutable y sólo basta
insertarlo en la unidad de CD-ROM, sin ningún problema para usuarios con poca experiencia,
los alumnos o el maestro sólo lo insertan y listo. Ahora bien, con el software educativo y un
entorno de aprendizaje con el ordenador, la computadora se convierte en una herramienta
intelectual tanto para el docente como para el alumno. Para que exista un adecuado entorno
de aprendizaje con la computadora, se comenzó con una sencilla alfabetización informática,
es decir que los alumnos y profesores conocieron de manera general los componentes de un
ordenador, lo que éste puede hacer y sus limitaciones, de igual manera, aprendieron
movimientos y aplicaciones mínimas necesarias para entender una interfaz computacional.
131
3.6 - MONITOREO Y DESARROLLO DE LA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LOS PRISMAS Y
CILINDROS CON EL SOFTWARE EDUCATIVO.
El Software educativo “Los prismas y el cilindro”, se sometió a una experimentación de tipo
monitoreo durante un tiempo aproximado de 3 meses a partir del mayo de 2000, con el fin de
probar la interfaz, desempeño y correspondencia de logros de los contenidos matemáticos
integrados.
El monitoreo se llevo a cabo con una muestra de 72 niños y niñas, cuyas edades oscilan
entre 10 y 14 años, estudiantes de primaria de 5º y 6º grados de 4 grupos (2 de 5º grado y 2 de
6º grado) de distintas escuelas primarias vespertinas ubicadas en colonias con diferencias
notables tanto económicas como sociales (2 pertenecientes a la Delegación Gustavo A.
Madero y 2 de la Delegación Venustiano Carranza); 17 de los alumnos-muestra tenían
computadora en su hogar y sólo una de las escuelas tiene una red escolar de 8 equipos. Dado
el avance del ciclo escolar, se trabajo con el software en el orden preestablecido en sesiones
de 1 hora diaria, 3 veces por semana. Después se apreció que varios conceptos y manejo de
contenidos por parte de los alumnos se vieron mejorados quizás de manera significativa y
que a pesar de las diferencias económicas muchos de los avances observados y registrados
en los alumnos fueron muy semejantes, tomando en cuenta que la mayoría al inicio no sabían
manejar una computadora, éstos mostraban una chispa en sus ojos y un cambio de actitud
por la fascinación de acercarse a estas tecnologías, lo cual les motivó en aprender a pesar de
sus carencias de una computadora (desventaja a corto plazo, ya que en la mayoría de las
132
escuelas se empiezan a instalar centros de cómputo integrados con equipos IBM con
multimedia).
Se utilizaron 2 redes de computadoras. Una red escolar ubicada en la Esc. Prim. “Profra.
Guadalupe Nuñez y Parra” perteneciente al sector No.18 de la Dirección No.2 de Educ.
primaria en el D.F. compuesta por 8 equipos con multimedia y otra red de 5 equipos
completos de mi propiedad.
Cabe hacer una reflexión sobre cómo se observó que los alumnos son capaces de
relacionar sus materiales concretos y experiencias obtenidas con el Software educativo. 49
alumnos mostraron el avance de sus habilidades y su rápido acoplamiento al manejo de la
propuesta, sin que esto significara que los 23 alumnos restantes no lo demostraran, ya que
cuando menos, no mostraron regresión o retraso.
La propuesta para la enseñanza-aprendizaje de los prismas en la escuela primaria
materializada en el software educativo titulado “Los prismas y el cilindro” y material concreto
adicional, está sustentada con 3 referentes importantes:
1.- El diseño del software toma en consideración algunos elementos de los modelos en los
procesos de aprendizaje por computadora.
De Patrick Suples se consideró:
- Tomar en cuenta un acondicionamiento a las cualidades particulares de los alumnos (de
5º y 6º grados) dentro de una misma modalidad de aprendizaje, de lo más fácil a difícil de
acuerdo a la capacidad de resolución de cada alumno.
- Partir de la experiencia precedente del alumno.
De Robert B. Davis:
- Considerar el empleo de gráficos y representaciones visuales con material didáctico
manipulativo sobre prismas y cilindros.
Y de Seymourt Papert:
- Considerar el aprendizaje como un proceso constructivo, el cual desarrollan los alumnos
al emplear sus diversas teorías para explicar situaciones.
- Considerar que los niños construyen sus propias estructuras intelectuales usando los
materiales disponibles que se les proporcione. (Programa educativo y material didáctico
adicional)
133
- La computadora proporciona un contexto y debe ser adaptada a las necesidades de los
niños, considerando la secuencia de imágenes vinculadas entre sí, para crear condiciones
adecuadas a dicho contexto.
Por otra parte, la conducción de enseñanza es de corte constructivista, y la interfaz está
basada en el pequeño estudio exploratorio sobre las preferencias de los niños y adultos
acerca de los videojuegos y software preferidos. El proceso de enseñanza-aprendizaje es
constructivista en el modo de interfaz entre alumno, máquina e intervención mediadora del
docente, que permite a los estudiantes desarrollar sus propios conceptos a partir de las
experiencias iniciales que tiene y las que le aporta el entorno computacional.
2.- Se hace uso del empleo de materiales didácticos, con referencia a la enseñanza de las
matemáticas, en el sentido de emplear materiales y juegos concretos, en secuencias de
aprendizaje de forma interactiva. No sólo es ver, leer y escuchar el desarrollo del software,
sino que simultáneamente se trabaja con dichos materiales a la vez.
3.- El audio a considerar en el software, está conformado por música de fondo, el cual tiene
relación con el empleado en los juegos de video y software más preferido por los niños.
La propuesta parte del cuerpo en estudio a través de diversas actividades y la intuición,
donde el alumno llega a formar sus propios conceptos de lo que es un prisma, sus
características y su relación con las figuras y espacio que le rodea.
Se utiliza la manipulación de material concreto, conformado de los siguientes elementos
clasificados por Fases de acuerdo a su empleo durante la ejecución del programa.
- Fase 1) 10 Prismas Regulares Rectos metálicos (1 Prismas triangular, 1 cuadrangular,
1 rectangular u ortoedro, 1 cubo, 1 pentagonal, 1 heptagonal, 1 octagonal, 1
eneagonal y 1 decagonal) 1 cilindro.
- Fase 2) 27 cubos de metálicos pequeños de 3 cm de arista c/u.
- Fase 3) Material impreso de los respectivos desarrollos planos de los prismas en
estudio, y del cilindro.
- Fase 4) Desarrollos planos metálicos o plásticos desarmables que pueden conformar
al cubo, al cilindro y a los prismas: triangular, cuadrangular con arista mayor a la
longitud del lado de sus bases, rectangular u ortoedro, pentagonal, heptagonal,
octagonal, eneagonal y decagonal.
134
En cierta manera se toma referencia a que un proceso de aprendizaje encuentra mejores
condiciones cuando se tiene lugar en un medio activo en el que los alumnos participan en el
propio proceso a través de la construcción de objetos y la noción de aprendizaje autónomo
como idea central, un mundo matemático que los alumnos exploran de manera libre y
aprenden a través de la invención, construcción y uso de entidades computacionales.
A los alumnos les agrada la computadora porque gustan de una gama de ingenios de
respuesta, imágenes animadas, cuentos interactivos, diseños de imágenes,etc. El estudiante
tiene cierto control en la manipulación de materiales, como en el caso de llegar a descubrir
diferentes desarrollos planos de los prismas.
La clave en el desarrollo de este tipo de software educativo está en presentarse ante los
estudiantes o usuarios con un ambiente de aprendizaje con matices lúdicos, en lugar de
presentarles simplemente información. Este es un ambiente de aprendizaje en el que hay algo
para aquellos que se inician en la geometría de prismas y cilindros de una manera en la que
se aprende haciendo y no un sistema de información para hojear ni un sistema de práctica
tutelar para la repetición de lo que aprende, sino un ambiente activo que involucra al
estudiante en un desafío o una misión en combinación con el juego.
Aquí el estudiante experimenta una situación (real o imaginaria), la transforma en
significado, planea una contestación, y actúa para cambiar su relación con esa situación.
En esta propuesta, las interacciones del alumno con el ambiente de aprendizaje no son
juzgadas en su totalidad por la computadora. Se reflejan los resultados de sus interacciones
atrás de ellos y depende del alumno juzgarse. Este modelo está construido sobre un Sistema
de Información o base de conocimiento. Como un examen abierto, los usuarios pueden
acceder a la información, y además se puede considerar como herramienta para permitirles
controlar y manejar información.
Se propone que se logre el proceso de enseñanza-aprendizaje principalmente en alumnos
de 5º y 6º grados de educación primaria, con referencia al contenido temático: Los prismas y
el cilindro, a través del uso del software educativo “Los prismas y el cilindro”, material
concreto didáctico y una secuencia programada de actividades que debe tomar en cuenta el
docente, tomando en cuenta las siguientes consideraciones iniciales: 1.- El desarrollo de los
conceptos matemáticos se consigue mejor a través de una serie de patrones de aprendizaje
135
cíclicos, cada uno de los cuales supone una secuencia de actividades de aprendizaje que van
de lo concreto a lo simbólico. Esta primera fase de desarrollo de conceptos comienza con el
juego libre, ya que antes de emplear el programa computacional, los alumnos manipulan
materiales didácticos matemáticos (prismas metálicos ligeros), a través de mecanismos no
estructurados, para que éstos, tomen conciencia de tamaño, peso, textura, color y descubran
las maneras en que se pueden emplear para realizar construcciones imaginativas. En la
siguiente fase, se comienzan a estructurar de forma sistemática las experiencias de los
alumnos a través del software sobre prismas.
Lo que hace el alumno durante el período de juegos estructurados, es comenzar a abstraer
un concepto, logrado con base a que recopila todo lo que es común a una gran variedad de
experiencias y rechaza lo que es irrelevante a dichas experiencias.
Como el proceso de abstracción funciona siempre en el aprendizaje, para enseñar los
conceptos matemáticos sobre prismas geométricos y el cilindro, se propone enseñar y
aprender a través del uso de materiales concretos didácticos interaccionando con un
programa de computadora que a través de sus diferentes secciones, conlleve a que los
alumnos aprendan.
Estos materiales son diversos, de manera que los alumnos sean capaces de ver la
estructura en diversas perspectivas y construirse un rico bagaje de imágenes mentales que
rodeen cada concepto.
Cuando los alumnos pasan por las manipulaciones o juegos controlados (Antes de trabajar
con el software), se requiere guiarlos para descubrir métodos que les permitan hablar de sus
conocimientos, logrado esto a través del descubrimiento de nuevos desarrollos planos
distintos a los presentados de algunos de los prismas para que acabe de asociar símbolos
matemáticos a los conceptos. De esta manera, al aplicarse los símbolos, las experiencias
matemáticas se liberan de sus referentes concretos convirtiéndose en herramientas para
nuevos tipos de manipulaciones mentales.
Desde esta perspectiva, el software educativo con su interfaz amigable, llevan al estudiante
a sistematizar su aprendizaje.
En algunas situaciones en escuelas de educación primaria, se ha detectado el problema
siguiente: En las clases de geometría sobre figuras, es usual observar por parte del alumno,
136
la sujeción que hace éste sobre la visualización normada de una figura en cuanto a su
posición.
Por ejemplo, al estudiar el triángulo, éste es trazado por lo general, de manera que la figura
se apoye en una base sobre una horizontal y para obtener la medida de la altura, ésta casi
siempre es el lado perpendicular al lado que funciona como base
Los alumnos determinan con éxito la base y la altura y en consecuencia aplican la fórmula
para calcular el área de dicha figura, abstrayendo este algoritmo como formalizado. Su
aprendizaje hacia una estructura geométrica para la comprensión de figuras de 2
dimensiones, es desplazada por una representación meramente algorítmica validada por el
maestro. Ahora el estudiante ha comprendido erróneamente que hablar de geometría,
equivale a realizar una serie de operaciones, colocando en segundo término las
materializaciones y el sentido de figura, como aquella figura sujeta a una posición respecto a
un plano. En consecuencia si se presenta a los alumnos el mismo triángulo colocado en
distinta posición:
provoca que reaccionen de manera distinta, invalidando a éste mismo triángulo porque no
conocen como resolver esta situación, ya que no pueden asociar sus abstracciones
geométricas de base y altura con el algoritmo aprendido y, algo peor, la validez geométrica
de la figura se pierde a causa de la aparente infuncionalidad del algoritmo de resolución (la
geometría no funciona si el algoritmo no coincide o viceversa).
90º
BASE
ALTURA
137
Este problema, desde el punto de vista del impacto perceptual, oscurece la verdadera
estructura del problema, se aprende el algoritmo para calcular el área sin comprender los
principios estructurales en que se basa, limitándose a seguir ciegamente las reglas marcadas
por el profesor. Es cierto que el alumno se le había enseñado el algoritmo de forma mecánica
pero no ha aprendido de forma significativa. Se partió de un concepto para llegar a algunos
elementos de la figura en estudio.
De esta manera, la unidad perceptual del triángulo se podría convertir en un estorbo, en el
momento en que el alumno no se da cuenta de la relación base-altura y posición.
Para ello, como ejemplo. la sección denominada “Interacción con figuras geométricas” del
software educativo que juega un papel importante de la propuesta, está estructurada de
manera que el alumno no visualiza una figura estática y sujeta a una posición dentro de un
plano, sino que ahora las figuras geométricas se encuentran en movimiento dentro de un
espacio de 3 dimensiones, y por ejemplo en el caso del triángulo, se favorece al alumno para
que sus materializaciones previas se modifiquen a concebir las figuras como la superficie
limitada por líneas cerradas en un espacio, se valida que el triángulo será triángulo en
cualquier posición siempre y cuando no se altere su principio fundamental de figura de 3
lados rectos. Con ello, se pretende modificar paradigmas de aprendizaje de elementos
geométricos. Todas las figuras geométricas mostradas en el software educativo, se anexan
en un material, mismo que previamente manipulan los alumnos y posteriormente vuelven a
manipular conforme interaccionan con el programa (ahora no sólo es observar, sino conocer,
manipular y relacionar, lo que lleva a la formación de estructuras matemáticas nuevas).
138
Existen materiales de ejercicios y prácticas que tienen la característica de no enseñar
material nuevo, como las cartulinas y hojas de ejercicios diseñados de manera que los
estudiantes repasan temas que ya aprendieron con el fin de mejorar. Como se ha descrito
anteriormente, el software elaborado para esta propuesta, a diferencia de un programa de
ejercicios, proporciona una enseñanza directa acerca de los prismas y el cilindro y combina
material didáctico y tiene las siguientes características:
- Se combina con técnicas educativas diversas y puede producir resultados claros e
incluso algunos demostrables.
- Cada estudiante puede aprender a su propio paso. Posteriormente, tiene la libertad de
ingresar a la sección de su interes.
- Se aprende a través del juego multimedia.
- Ayuda a los niños tímidos a sentirse cómodos con las computadoras.
“ En muchas escuelas actuales, enseñanza asistida por computador significa lograr que el
computador enseñe al niño. Podría decirse que se está usando el computador para programar
al niño. Desde mi punto de vista, el niño programa el computador y al hacerlo, adquiere una
sensación de dominio sobre una pieza de la tecnología más moderna y potente y establece un
contacto íntimo con algunas de las ideas más profundas de la ciencia, las matemáticas y el arte
de la construcción de modelos intelectuales “.
___ Seymour Papert, Mindstorms 29
Gran parte de la teoría de aprendizaje detrás de esta propuesta con el software, es
Experimentar aprendiendo y manipulando, como lo menciona Dewey que es uno de los
filósofos educativos principales con su teoría: "aprendiendo haciendo". Este perfil
constructivista también se asocia a lo que dice Kolb acerca de que Aprender es la creación de
conocimiento a través de la transformación de la experiencia, apoyadas en el hecho de que el
conocimiento no se transmite o se adquiere sino se crea, y en este caso, con un ambiente
computacional.
Como ya se indicó, el software está diseñado y compuesto por 8 secciones correlacionadas
con algunos contenidos de la asignatura de Matemáticas de acuerdo al Plan y programas de
estudios de Educación Primaria 1993.
29 BEEKMAN, George. Computación e informática hoy, (Una mirada a la tecnología del mañana). Addison-Wesley Iberoamericana, E.U.A. 1995. pp 263
139
1.- “A Jugar con cubos”, 2.- “Memorama Inicial”, 3.- “Prismas Geométricos”, 4.- “Figuras
Geométricas”, 5.- “A buscar prismas y cilindros”, 6.- “Memorama Fase 2”, 7.- “Acomoda
Prismas” y 8.- “Multijuego Geométrico”
Se propone llevar este orden con el fin de orientar al alumno hacia la construcción de su
propio conocimiento, ya que antes de trabajar con el programa, se realizan actividades con
los prismas y cilindros como objetos de estudio, de tal manera que después de la
manipulación del material concreto de la Fase1, el alumno logra tener nociones de tamaño,
forma, textura y dimensiones, y posteriormente relacionar sus conceptos con las
interacciones llevadas a cabo durante las 8 partes presentadas en el programa.
Cabe aclarar, que el estudiante, puede interactuar con el programa en el orden que desee,
siempre y cuando tenga los antecedentes matemáticos necesarios, en caso contrario, él
mismo se dará cuenta e inferirá dónde está la información que aún no tiene.
1
3
5
2
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6
7 8
140
PASO 1 (USO DE MATERIAL DIDÁCTICO CONCRETO)
Previo al empleo del software, de acuerdo a esta propuesta, se parte del juego libre con el
conjunto de prismas y el cilindro (material fase 1), posteriormente se comienzan a estructurar
de manera sistemática las experiencias de los alumnos a través de juegos organizados como
construir cuerpos propuestos con el empleo de ciertos prismas, con el fin de que el alumno
recopile todo lo que es común a una gran variedad de experiencias.
Una vez guiados los alumnos por las manipulaciones y juegos, se inicia una sesión en la que
se les permite hablar de sus descubrimientos y manifestarse a través de imágenes, dibujos y
explicaciones para que acaben de asociar la simbología matemática a los conceptos.
Puesto que el alumno ha comenzado a generar un fondo rico de imágenes mentales, la
transición a la representación geométrica a través del software educativo deberá permitirle
que estas imágenes se lleguen a evocar por la geometría matemática que se asocia a las
mismas, con ello las experiencias matemáticas se liberan de sus referentes concretos y se
convierten en herramientas que permiten nuevos tipos de manipulaciones mentales, con ello
el alumno sistematiza su aprendizaje simultáneamente con la interacción del software
educativo, observando un conjunto de reglas, aunque en una escala muy pequeña, como por
ejemplo, el observar y distinguir las características de las bases en todo prisma, con lo cual
ahora juega implícitamente con símbolos y reglas asociando las materializaciones concretas
para iniciar a la construcción de nuevos conceptos.
141
PASO 2 (JUGANDO CON CUBOS)
Relacionando material concreto con representaciones planas
Una vez realizadas las actividades con material concreto, se continúa la propuesta
empleando la computadora y el software educativo “Los prismas y el cilindro”, comenzando
con la sección “A jugar con cubos”, la cuál pretende que el alumno materialice características
tanto cuantitativas como cualitativas de la geometría matemática, y le permita familiarizarse
en conceptos abstractos como la propiedad conmutativa, figura y volumen.
Con esta parte se emplean 27 cubos de 3cm de arista, marcados en 3 de sus caras con
colores azul, verde y rojo (material fase 2) con los cuales se consigue una variedad de
experiencias de aprendizaje, ya que materializan varios tipos de estructuras matemáticas,
como el concepto de intercambio (base para el algoritmo de la suma), la clasificación, las
perspectivas de los cuerpos y la variabilidad de volumen.
En esta parte, el software es capaz de generar aleatoriamente miles de cuerpos distintos
formados con un máximo de 27 cubos; cada sesión es de 20 ejercicios, los cuales cada vez
que se ingrese a esta sección, cambian totalmente.
En ésta actividad, el alumno, duplica el cuerpo generado por el programa tomando en
cuenta la perspectiva y orientación de los colores de los cubos logrando con ello, el
desarrollo de una ubicación espacial grandiosa, ya que aprende a manipular cuerpos
atendiendo a sus perspectivas. Además, relaciona su material concreto con el programa y
comienza a generar capacidades como apreciar un cuerpo en perspectiva aunque éste sea
142
presentado en una pantalla plana; es decir, desarrolla manipulaciones mentales geométricas
con la habilidad de rotar un cuerpo de 3 dimensiones en su mente y comprobarlo con el
material concreto.
Por otra parte, a través de las combinaciones y movimientos que efectúa con el manejo de
los cubos, implícitamente está desarrollando la variabilidad del volumen de todos los
cuerpos, como se aplica en algunos ejercicios del libro de texto de matemáticas de 5º y 6º
grados, lo que posteriormente llevará a materializarlo dentro de las características de los
prismas y el cilindro.
PASO 3 (ASOCIACIÓN)
Una vez efectuadas las actividades con el manejo de los cubos, así como de los prismas y
el cilindro, se procede al trabajo de la sección del software educativo denomnada “Memorama
Inicial” , la cual es una unidad educativa en la que a través del juego de tipo memorama,
ayuda a asociar cuerpos y figuras geométricas, para lo cual se requiere de la observación
para atender a las características externas de cada uno de ellos. El programa combina
aleatoriamente el prisma triangular, prisma cuadrangular, cubo, prisma pentagonal, prisma
rectangular, el cilindro, la esfera, el cono, el rombo y el pentágono; los últimos 5
mencionados se integraron con la intención de que dentro de las imágenes preexistentes en
los alumnos logradas durante la fase de manipulación previa con material concreto con
prismas, se den cuenta que existen también otros cuerpos geométricos, algunos semejantes
143
como el cilindro y otros muy distintos como el cono y la esfera, cuyas características
geométricas visibles los distinguen de los prismas así como de las figuras geométricas y sus
características de 2 dimensiones.
Se denomina Memorama Inicial, porque en esta parte del software educativo, el alumno
ubica y atiende características generales externas comunes a los prismas, el cilindro y
algunos cuerpos y figuras geométricas, y las relaciona sólo por la imagen presentada, es
decir, se relacionan prisma-prisma, cilindro-cilindro, figura-figura, cono-cono y esfera-esfera.
Se recomienda trabajar con esta parte un promedio de 20 minutos, aunque el alumno de
acuerdo a las observaciones y muestreo, demostró que puede trabajar con ella más de 1 hora
sin fastidiarle.
Analizando lo que hasta ahora se ha trabajado, se presenta el siguiente cuadro con lo que se ha desarrollado durante la propuesta.
144
- DESARROLLO DE LA PROPUESTA HASTA AQUÍ -
Se desarrolla en el alumno las destrezas y habilidades de:
1.- Formar imágenes iniciales acerca de los prismas durante las actividades de
manipulación con el material concreto de la Fase 1, y con ello, se tienen ahora
nociones de tamaño, forma, textura, y dimensiones acerca de los prismas y el
cilindro. (Ha construido sus preconceptos propios)
2.- Desarrollar una visión espacial, y lograr manipular cuerpos ubicando sus
perspectivas. Relaciona su material concreto con el programa y desarrolla
manipulaciones mentales geométricas como rotar un cuerpo de 3 dimensiones y
comprobarlo con el material concreto.
3.- Asociar el volumen con relación a cada cuerpo geométrico, utilizando el cubo a
través de combinaciones distintas.
4.- Realizar análisis y lograr diferencias visuales externas acerca de los prismas y el
cilindro. (Asocia y comienza a modificar sus conceptos de acuerdo a las
características externas que distinguen a cada uno de los prismas y al cilindro, a
través del juego del memorama Inicial)
145
PASO 4 (INTRODUCCIÓN A LOS PRISMAS)
Continuando con la propuesta, y desarrolladas las habilidades y destrezas marcadas con
anterioridad, se tienen los referentes necesarios para la introducción al estudio de los
prismas y el cilindro a través del trabajo interactivo del software en la sección denominada
“Prismas geométricos”, la cual es una unidad de trabajo desarrollada para el estudio del
prisma triangular, rectangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal y heptagonal, así como
para el cubo y el cilindro.
En cada uno de los prismas y el cilindro propuestos, se estudian 4 módulos: 1) Desarrollo
Plano, 2) Características generales, 3) Volumen y superficie y 4) Problemas de cálculo del
volumen. Esta parte del programa contiene los conceptos reforzados a través de
animaciones. Se trabaja alternadamente con los prismas de metal (fase1) y los desarrollos
planos desarmables metálicos o plásticos (fase 4).
146
Aquí el alumno comienza a relacionar sus antecedentes conceptuales con base en las
definiciones matemáticas. En esta sección se estudia detenidamente de cuerpo en cuerpo, ya
que aquí se formalizan las imágenes y conceptos de los alumnos. El papel mediador del
docente deberá estar bien definida dentro de una postura constructivista, para acercar al
alumno a formalizar sus conceptos sobre los prismas y el cilindro, tomando en cuenta la
secuencia de la propuesta hasta este momento; esto es de suma importancia, ya que con
base a ello, dependerá gran parte el éxito de ésta.
Se hace uso de la animación en 3ra. dimensión y de una calculadora como herramienta
necesaria para comprobar sus cálculos del volumen, área lateral y área total de cada prisma y
el cilindro.
En el módulo “Desarrollo plano del prisma ” se presenta de manera animada una de varias
formas posibles para la construcción geométrica por planos de cada uno de los prismas y el
cilindro, con el fin de dar un referente y lograr que los alumnos desarrollen su imaginación
espacial del armado de los desarrollos planos; posteriormente al utilizar los desarrollos
planos metálicos o plásticos desarmables, los alumnos por sí solos proponen sus propias y
nuevas alternativas de construcción a través del ensayo y rearmado. Con ello se facilita y
aumenta la comprensión geométrica espacial del armado de prismas y cilindros.
147
Con este tipo de actividad, el alumno juega con la idea inicial de los desarrollos planos y
prueba distintos modelos hasta que descubre por sí mismo reglas y relaciones geométricas
existentes en el armado y construcción geométrica de los prismas. Aplica sus imágenes
acerca del exterior de los prismas y comienza a desarrollar nuevas relaciones entre forma y
volumen de cada prisma y el cilindro.
En el módulo “Características” se encuentran 3 partes como mínimo: 1)Definición (la cual no
deberá ser la única, sino también lograr una válida propuesta por los alumnos), 2)El estudio
de la altura y 3)Características de las bases.
148
Aquí interviene el análisis de las definiciones, comentadas por el docente y alumnos, donde a
través de sus observaciones y manipulación de material concreto Fase1 y Fase4, se
establecen relaciones y se afinan o formalizan algunos términos como el de “prisma”,
“aristas laterales”, “aristas en bases” y clasificación de figuras de acuerdo a las
características del número de lados y forma de las bases respectivas a cada prisma y al
cilindro.
En el módulo “Volumen y superficie” se encuentran 3 partes como mínimo: 1)Área lateral,
2)Área total, 3 ) Volumen.
Con el trabajo hacia representaciones y notaciones simbólicas en esta parte de la propuesta
con el software, permite que las imágenes mentales previas se evoquen por los símbolos
matemáticos asociados. Al aplicarse dichos símbolos, las experiencias matemáticas se
convierten en herramientas. Por ejemplo, se puede llegar a formalizar distintos algoritmos de
solución con simbologías diferentes para obtener el área lateral, el área total y el volumen de
los prismas.
En el módulo “Resuelve algunos problemas”
En el módulo “Resuelve algunos problemas”, se aplican los algoritmos de solución
requeridos para el cálculo del volumen del prisma en estudio, el cual no deberá ser uno sólo,
149
ya que el docente a través de la interacción del programa y el uso del material concreto, ha
de conducir a los alumnos a encontrar diferentes fórmulas y algoritmos válidos para obtener
el volumen de un prisma o cilindro.
PASO 5 (FIGURAS GEOMÉTRICAS)
Con los referentes adquiridos en el estudio de prismas, es necesario afinar el estudio de
manera más formal, sobre algunas figuras que intervienen en la construcción o son
elementos de los prismas o el cilindro; con este fin se trabaja con la parte del software
denominada “Figuras geométricas”, diseñada para el estudio de algunas figuras geométricas
como el triángulo, el cuadrado, el rectángulo, el pentágono, el heptágono y el decágono; las
cuales se presentan con movilidad dentro de un ambiente 3D. Refuerza y completa algunos
referentes necesarios relacionados con las características de los prismas, tales como la
forma de las bases y caras laterales; temas propuestos en el libro del alumno de 6º grado de
educación primaria. Con el tipo de interacción de esta sección, el alumno modifica sus
materializaciones previas para concebir las figuras como superficies limitadas por líneas
cerradas en un espacio y hacer diferencias con los cuerpos a través del análisis de las
dimensiones geométricas.
150
El tipo de presentación de las figuras geométricas de esta parte del programa, permite
apreciaciones interesantes sobre características geométricas de las figuras, algunas difíciles
de mostrar con material concreto como lo es que al rotar dichas figuras en la horizontal, éstas
en apariencia desaparecen, experiencia que les permite comprender la ausencia de volumen y
analizar que el área es la medida de la superficie de la forma y extensión de las figuras y
considerar que están conformadas sólo por 2 dimensiones, e incluso llegar a la reflexión de
que al intersecar varios planos, éstos dan lugar a la generación de cuerpos geométricos.
Además, la integración del trazo geométrico de algunos polígonos regulares, propician el
manejo de herramientas como el compás, transportador y regla graduada por parte del
alumno con el fin de introducirlo a la geometría de trazo de figuras, como elemento
indispensable para formalizar sus conceptos sobre algunas figuras geométricas y su relación
con los prismas y poliedros regulares como el cubo. Tales actividades también se encentran
registradas en los libros de matemáticas de los alumnos de 5º y 6º grados de primaria.
151
Analizando lo que hasta ahora se ha trabajado, se presenta el siguiente cuadro con lo que se ha desarrollado durante la propuesta.
- DESARROLLO DE LA PROPUESTA HASTA AQUÍ -
Se desarrolla en el alumno las destrezas y habilidades de:
1.- Formar imágenes iniciales acerca de los prismas durante las actividades de
manipulación con el material concreto de la Fase 1, y con ello, se tienen ahora
nociones de tamaño, forma, textura, y dimensiones acerca de los prismas y el
cilindro. (Ha construido sus preconceptos propios)
2.- Desarrollar una visión espacial, y lograr manipular cuerpos ubicando sus
perspectivas. Relaciona su material concreto con el programa y desarrolla
manipulaciones mentales geométricas como rotar un cuerpo de 3 dimensiones y
comprobarlo con el material concreto.
3.- Asociar el volumen con relación a cada cuerpo geométrico, utilizando el cubo a
través de combinaciones distintas.
4.- Realizar análisis y lograr diferencias visuales externas acerca de los prismas y el
cilindro. (Asocia y comienza a modificar sus conceptos de acuerdo a las
características externas que distinguen a cada uno de los prismas y al cilindro, a
través del juego del memorama Inicial)
5.- Formalizar sus conceptos con base en las definiciones matemáticas más formales.
6.- Proponer sus propias nuevas alternativas de construcción a través del ensayo y
rearmado, además desarrollar la comprensión geométrica espacial del armado de
prismas y cilindros.
7.- Desarrollar nuevas relaciones entre forma y volumen de cada prisma y el
cilindro.
8.- Establecer relaciones y con ello formalizar algunos términos como el de
“prisma”, “aristas laterales”, “caras laterales”, “superficie total”; y clasificación de
figuras de acuerdo a las características del número de lados y forma de las bases
respectivas a cada prisma.
9.- Determinar y encontrar fórmulas y algoritmos válidos para la obtención del
volumen de un prisma o cilindro.
152
PASO 6
(DESARROLLOS PLANOS Y CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS
Y EL CILINDRO A TRAVÉS DE UN JUEGO DE BÚSQUEDA Y MEMORAMA) Las actividades lúdicas o de entretenimiento bien encausadas, provocan la evocación de los
conocimientos y habilidades adquiridas. Con base a lo anterior, se integra la sección del
software denominada “A buscar prismas y cilindros”, donde el alumno a través del juego:
explora, observa y distingue prismas y cilindros, trabajando en una actividad que consiste en
aplicar sus observaciones más finas para atender las imágenes que se presentan.
El alumno a través de la aplicación de sus propios conocimientos ya existentes y quizás
algunos más formales realiza un análisis más complejo sobre las características de cada
prisma y el cilindro, y ejecuta una clasificación y localización de ellos en una pantalla móvil
horizontal en forma de anillo, es decir, los busca como si estuvieran flotando en un espacio,
atendiendo a la observación de los elementos geométricos que conforman a cada uno de
ellos.
153
Al mismo tiempo hace una depuración de cuerpos geométricos distintos al conjunto de
prismas y el cilindro, tales como la esfera, el cono, algunas figuras geométricas y cuerpos
simples; ya que ahora cuenta con los referentes requeridos para tal acción.
Ahora bien, la parte denominada “Memorama Fase 2”, es otra unidad educativa integrada en
el software, diseñada para ayudar en la asociación de prismas y cilindros con sus respectivos
desarrollos planos a través de un juego de tipo memorama, para lo cual se requiere de
observación y trabajo con el material fase 4 (desarrollos planos desarmables metálicos o
plásticos) para analizar y aplicar conocimientos de geometría a las características de cada
uno de ellos.
Se denomina “ Memorama Fase 2 “, porque en esta parte de la propuesta con el software,
el alumno atiende características generales externas, internas y de armado ,comunes a los
prismas y al cilindro. Se trabajan las siguientes relaciones geométricas respecto a los
desarrollos planos con el prisma o cilindro que corresponde: prisma - desarrollo plano y
cilindro - desarrollo plano; además de las relaciones de las figuras planas que intervienen en
154
cada uno de ellos. Refuerza ejercicios establecidos en el libro de matemáticas del alumno,
que tratan sobre los desarrollos planos de algunos prismas.
Otra unidad de trabajo a través del juego, es la referida a la sección “Acomoda prismas”
que convoca al ingenio de movimiento y colocación de prismas dentro de un cuadro de 9
espacios en un tiempo determinado de acuerdo a un modelo presentado, dicho ingenio se da
en relación al manejo de solución de acomodar 8 cuerpos geométricos en 9 espacios
atendiendo reglas de movimientos. Las relaciones visuales de los prismas son continuas y
además, el esquema de trabajo está diseñado bajo la estructura educativa de un cuadrado
mágico de 9 espacios; bajo esta estructura matemática, se desarrolla además la habilidad de
razonamiento semejante al que se genera en el cubo de Rubik
155
PASO 7 (COMPILACIÓN DE TODAS LAS PARTES A TRAVÉS DE UN JUEGO MULTIPLE)-UNIDAD EVALUATIVA -
La evaluación dentro de esta propuesta con el entorno computacional, está estructurada de
manera diferente a lo convencional. Se lleva a cabo a través del trabajo de la sección del
software denominada “Multijuego Geométrico” , como una compilación en ejecución, trabajo
y evaluación de todos los componentes y fases del programa.
Está integrada a manera de juego, donde simultáneamente realiza rotaciones mentales de
perspectivas de prismas, cálculo de volúmenes, aplicación de fórmulas, desarrollos planos y
características generales de los prismas y el cilindro entre otras. Para cada solución correcta,
el programa le permite alternadamente jugar un memorama, el cual al ser terminado en su
totalidad descubre una imagen que contiene un enigma o mensaje secreto que deberá
descifrar. El orden de su ejecución es aleatorio y por consecuencia la serie de problemas,
ejercicios y juegos son combinados sin seguir un orden estricto. Contiene 4 enigmas y lleva
un archivo de evaluación oculto en el cual se marcan los movimientos y respuestas del
alumno durante su trabajo en esta sección.
156
LOS DISTINTOS MODULOS DE LA EVALUACION SE REFIEREN A TODO LO PRESENTADO DURANTE LA PROPUESTA CON EL SOFTWARE EDUCATIVO
CLASIFICACION DE PRISMAS
MANEJO DE DESARROLLOS
PLANOS GEOMÉTRICOS
PRISMAS Y FIGURAS GEOMETRICAS
157
MANEJO DE DIVERSAS FORMULAS
INGENIO PARA
DESCIFRAR ENIGMAS
SIMBOLICOS
MANEJO DE CONCEPTOS MÁS FORMALES
158
CALCULO DE VOLUMENES DE
PRISMAS Y CILINDROS
CARACTERÍSTICAS DE PRISMAS Y CILINDROS
159
- DESARROLLO DE LA PROPUESTA COMPLETADA -
Se desarrolla en el alumno las destrezas y habilidades de:
1.- Formar imágenes iniciales acerca de los prismas durante las actividades de manipulación con el
material concreto de la Fase 1, y con ello, se tienen ahora nociones de tamaño, forma, textura, y
dimensiones acerca de los prismas y el cilindro. (Ha construido sus preconceptos propios)
2.- Desarrollar una visión espacial, y lograr manipular cuerpos ubicando sus perspectivas. Relaciona
su material concreto con el programa y desarrolla manipulaciones mentales geométricas como rotar
un cuerpo de 3 dimensiones y comprobarlo con el material concreto.
3.- Asociar el volumen con relación a cada cuerpo geométrico, utilizando el cubo a través de
combinaciones distintas.
4.- Realizar análisis y lograr di ferencias visuales externas acerca de los prismas y el cilindro. (Asocia
y comienza a modificar sus conceptos de acuerdo a las características externas que distinguen a cada
uno de los prismas y al cilindro, a través del juego del memorama Inicial)
5.- Formalizar sus conceptos con base en las definiciones matemáticas más formales.
6.- Proponer sus propias nuevas alternativas de construcción a través del ensayo y rearmado, además
desarrollar la comprensión geométrica espacial del armado de prismas y cilindros.
7.- Desarrollar nuevas relaciones entre forma y volumen de cada prisma y el cilindro.
8.- Establecer relaciones y con ello formalizar algunos términos como el de “prisma”, “aristas
laterales”, “caras laterales”, “superficie total”; y clasificación de figuras de acuerdo a las
características del número de lados y forma de las bases respectivas a cada prisma.
9.- Determinar y encontrar fórmulas y algoritmos válidos para la obtención del volumen de un
prisma o cilindro.
10.- Desarrollar la capacidad de aplicar en diversos contextos o situaciones, sus conocimientos sobre
la geometría de los prismas y el cilindro, así como de elementos relacionados a éstos como: volumen,
área, área lateral y área total,
EL ALUMNO COMPRENDE EL CONCEPTO DE PRISMA Y CILINDRO,
SU CLASIFICACIÓN Y CARACTERÍSTICAS.
160
CONCLUSIONES
Esta propuesta didáctica para la enseñanza-aprendizaje de conocimientos geométricos
sobre los prismas y el cilindro en la escuela primaria, a través de un software educativo con
el uso alternado de material y una teoría de aprendizaje, es una herramienta de acercamiento
innovadora para que los estudiantes construyan sus propios conocimientos en que
intervienen la computadora, objetos de su entorno y la conducción mediadora de un docente.
Y ésta tiene mayor utilidad, si los contenidos del software toman en cuenta los contenidos del
Plan y Programas de Estudio de Educación Primaria 1993, así como las características de los
usuarios a los que va dirigido, es decir, contar con una interfaz y diseño que permita vincular
el quehacer del alumno en la escuela con un programa con elementos y ejercicios afines.
Con ello, ese abren nuevos caminos innovadores, tanto para que el educando encuentre el
dominio de conocimientos matemáticos y el profesor reflexione sobre innovaciones en su
labor docente aplicando tecnologías de vanguardia como la computadora, ya que este tipo de
software educativo pasa de ser de un vehículo de asignación de información para volverse
una herramienta colaboradora, un hypermedia por experimentar, articular e incluso diseñar.
A través del desarrollo y práctica de esta propuesta didáctica, se puede decir que los
programas de los medios de comunicación interactivos pueden apoyar mucho lo que un gran
maestro puede hacer, porque se puede despertar el interés y provocar la reflexión de los
factores que intervienen en el binomio escolar alumno-docente.
La propuesta con el programa interactivo, tiene dos características importantes. Primero,
da un sentido fuerte de participar en una realidad que tiene un pasado y presente. Segundo, el
programa llega de alguna manera a ser considerado de utilidad por los alumnos; porque
existe una riqueza emocional que habla dentro del estudiante cuando aprende con otros
medios y de manera distinta a la tradicional. Con ello se mantienen unidos los conceptos de
un programa y, al mismo tiempo, engancha al usuario en su realidad, y le trae un sentido de
resolución a situaciones que enfrenta. El alumno percibe un sentido de unidad en el programa
que puede satisfacer a varios niveles. Un resultado puede ser una experiencia educativa que
está de muchas maneras equivalente a una experiencia de vida.
161
BIBLIOGRAFIA
AVANZINI, Guy, “La pedagogía desde el siglo XVII hasta nuestros días”, México, Fondo de
Cultura Económica, 1997.
BALDOR, Aurelio, “Aritmética, Teórico – Práctica”, España, Edime, 1990.
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mañana)”, E.U.A. Addison Wesley Iberoamericana, 1995.
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México, Encas, 1991.
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COLLETE, Jean-Paul, “Historia de las matemáticas II”, México, Siglo XXI, 1986.
GARCIA DÁVILA, José F. “Matemática para la escuela de hoy, Tomo II”, México, EVM, 1985.
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Microcomputadoras en Educación Matemática”, CINVESTAV-IPN, México, 1997.
LUNA PICHARDO, Laura Hilda “Teorías que sustentan el Plan y Programas 93” en Educativa
No.8, Departamento Académico de EDUC. PRIMARIA, México, 1997.
PANSZA GONZALEZ, Margarita, “Instrumentación didáctica. Conceptos generales”, México,
Gernika, 1988.
162
PAPERT, Seymour, “La máquina de los niños”, España, Paidós, 1995.
RESNICK, Lauren B, “La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos”,
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WENTWORTH, Jorge y SMITH DAVID, Eugenio, “Geometría plana y del espacio”, México,
Porrúa,1986.
163
SITIOS EN INTERNET
www.macromedia.com.mx/showme.
www.authorwarering.com.
164
ANEXO
165
SOFTWARE EDUCATIVO
Manual de operación y sugerencias
didácticas del programa
“Los prismas y el cilindro”
166
MANUAL DE INSTALACIÓN Y SOFTWARE PARA WINDOWS
Todos los derechos del programa están protegidos.
Ninguna parte de este producto podrá ser
reproducida, almacenada en sistemas de recuperación
de información, ni transmitida bajo ninguna forma o
medio, ya sea electrónico, mecánico, de fotocopia, de
grabación o de otro tipo, sin la previa autorización por
escrito del autor
El código fuente (source code) queda protegido a
excepción de la totalidad del referido a la parte
denominada “A jugar con cubos”, en virtud de que la
base esencial fue otorgada por macromedia Inc. Como
“source code cubes <ShowMe>”, el cual fue
reestructurado y adaptado a las necesidades de
proyección educativa del programa educativo.
Este software fue elaborado con el programa
Authorware Atain 5.0 de Macromedia, cuya versión no
está autorizada para fines de lucro o comerciales. Su
aplicación en este caso es meramente de carácter
educativo. Se prohíbe estrictamente su copiado bajo
cualquier medio.
Aviso general: Los nombres de otros productos
mencionados en el presente manual, tienen el
propósito exclusivo de servir de identificación y
167
pueden ser marcas registradas de sus respectivos
propietarios.
Esta propuesta computacional surge por la
necesidad de incidir en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de los prismas y el cilindro, para hacerla
más agradable y a la vanguardia de los avances
tecnológicos con los que se cuenta hoy en día. Su
repercusión posibilita la toma de decisiones para
fortalecer los conocimientos que tiene el niño para
tratar de generar aprendizajes sólidos, significativos
y transferibles.
El programa computacional está titulado “Los
prismas y el cilindro” para la aplicación de éstos en
diversos contextos que muchas veces requieren el uso
y manejo de elementos geométricos para la resolución
de ciertos problemas.
El enfoque en la educación básica y en la asignatura
de matemáticas, tiende a ser práctico, lo que genera
una plataforma para la ejecución del software
educativo “Los prismas y el cilindro” como un
interactivo útil para lograr un aprendizaje
significativo en el usuario. La práctica que
actualmente desarrollamos los profesores en el
aula, propicia que el alumno por sí mismo, construya su
propio conocimiento. Paralelamente a la vez que se va
desarrollando este tipo de construcción, se le debe
dirigir en su avance.
168
Este software educativo, es apto para cualquier
persona, estudiante, profesional u otro. Aunque está
recomendado especialmente para alumnos de 10 años
en adelante o que cursen 5º o 6º grado en escuelas
primarias. Sin embargo, su aplicación dentro del
contexto escolar requiere de la intervención de 3
elementos: alumno, profesor y material didáctico
adjunto al programa, ya que es parte de una propuesta
educativa que inicia con la manipulación previa de
prismas y cilindros a través de diversas actividades de
introducción, trabajo interactivo material-software y
evaluación final a través de un multijuego.
Cuenta con diversas imágenes en color, textos
nítidos y grandes, animaciones simples y de 3D, videos,
sonidos musicales, advertencias y ayudas, con el fin de
brindar una estancia agradable al usuario durante la
ejecución del programa.
El contenido del manual está estructurado de la
siguiente forma:
- Marco de referencia
- Configuración de resolución de pantalla y
requerimientos del software.
- Arranque del programa
- Descripción general de la propuesta con el
empleo de software educativo y evaluación.
1.- Marco de referencia
169
Quizás algunos profesores al ver este trabajo se
preguntarán por qué usar un programa que permita
enseñar y aprender contenidos de geometría de los
prismas y el cilindro y su aplicación en diversos
contextos, cuando existen en e mercado programas
educativos que satisfacen esa necesidad, además de
que los programas comerciales tienen una buena
presentación y un soporte técnico de programadores
de primer nivel. La idea de que los profesores se den a
la tarea de conocer y crear programas
computacionales de la asignatura o contenido que
imparten no es con el fin de competir con las personas
que hacen este tipo de programas, sino con la finalidad
de resaltar características y contenidos específicos
de la asignatura de matemáticas, a los que se les puede
dar tratamiento más adecuado, propio de las
condiciones de infraestructura y equipo con que se
cuente en los planteles.
Por otro lado, en este tipo de materiales se genera
una interacción que favorece la investigación, que no
exige largas aclaraciones por parte del profesor, ya
que el mismo alumno puede investigar a través de una
interfaz lúdica. Aún cuando parezca que este
programa es como un conjunto de información
multimedia, no es así, ya que debe considerarse como un
conjunto de tópicos indispensables que se
desarrollan con materiales bajo una planeación
170
estratégica de apoyo para que el alumno genere otros
aprendizajes a partir de los que se va formando o
sobre los que ya tiene y entonces éstos lleguen a
tener trascendencia y significado sobre su entorno
escolar y social.
2.- Configuración de resolución de pantalla y
requerimientos del software.
Debe revisar antes el tipo de resolución del monitor
de su computadora, ya que este programa para su
correcta ejecución y encuadre de imagen, requiere una
resolución de 800 x 600 pixeles.
Para verificar o corregir la resolución de su
monitor, haga clic en la barra de menú “Inicio”, después
seleccione “Configuración” y por último seleccione
“Panel de control”. Se visualizarán los íconos que
contiene, busque el icono “Pantalla” y dé doble clic
sobre éste. Aparecerá la ventana “Propiedades de
pantalla” con varias pestañas en la parte superior
para elegir: fondo, protector de pantalla, apariencia,
efectos, web y configuración. Dé un clic sobre la
pestaña de “Configurar”, ahora verifique que existan
los siguientes valores. En caso contrario marque los
indicados:
Colores: Color de alta densidad(16 bits) o 256 colores
Área de pantalla: 800 x 600 pixeles.
171
Por último dé un clic en el botón “Aceptar”
REQUERIMIENTOS DEL PROGRAMA
El programa “los prismas y el cilindro” necesita los
siguientes requerimientos técnicos mínimos siguientes:
- Procesador pentium I, k6, cyrix o compatible con
tecnología mmx a 233 mhz. (se recomienda pentium
iii a 450 mhz en adelante)
- RAM: 32mb (Se recomienda 64 Mb)
- Plataforma windows 95, 98, milenium o 2000 prof.
- Espacio libre en HD: 340 Mb.
- Lector de cd-rom de 24x en adelante.
- Trajeta de video de 1 Mb (Se recomienda tarjeta
Voodoo i, ii, ii o Banshee de 16 o 32 Mb).
- Tarjeta de sonido(Equipo multimedia)
3.- Arranque del Programa.
Este programa no requiere ser instalado, ya que se
ejecuta automáticamente desde la unidad de cd-rom.
Para arrancar este programa
1.- Ejecute Windows
2.- Inserte el CD-Rom “Los prismas y el cilindro” en
la unidad de CD-ROM
3.- Espere a que el programa arranque solo.
Aparecerá la primera pantalla del programa:
172
(Preinicio)
Uno de los requerimientos indispensables de este
software, es que necesita los plugins para video en
formato Quick time, Versión 3.0.1 (Archivos lectores).
Si desconoce que su computadora cuenta o no con
estos plugins, oprima el botón “Instalar Quick Time” y
siga las instrucciones. En el caso de que su
computadora cuente con los plugins, el programa de
instalación le dará un mensaje de existencia de éstos y
173
entonces proceda a dar clic en el botón “Cargar
programa”.
Cabe aclarar que el espacio requerido para la
instalación de Quick Time 3.0.1 no afecta de manera
significativa el espacio disponible en el disco duro. Su
tamaño aproximado de instalación es de 10 mb.
Si se requirió la instalación de Quick Time 3.0.1,
después de seguir las instrucciones, retire el cd del
programa y reinicie el equipo.
Vuelva a insertar el cd del programa en la unidad de
cd-rom y espere nuevamente a que cargue
automáticamente y una vez iniciado el programa, dé un
click sobre el botón “Cargar Programa”.
Después aparecerá la pantalla de presentación del
programa.
174
Esta pantalla muestra el título “Los prismas y el
cilindro” y posteriormente se presenta la pantalla de
la sección del “Menú principal” con 8 botones sobre
los temas distribuidos simétricamente, así como de un
botón central de salida inmediata. Al acercar el
puntero del mouse sobre alguno de éstos, se presenta
una pantallita donde se muestra parte de éstos.
Si se quiere acceder a cualquiera de los temas, basta
con hacer clic sobre los botones. La interfaz de
manejo de este software difiere mucho de lo
convencional, casi no se requieren botones de ayuda,
porque su estructura está de modo que se pueda
regresar con facilidad al menú principal y poder
seleccionar otro tema (las fase de movimiento están
estructuradas hasta un máximo de 3 transiciones con
175
el fin de evitar que el usuario se pierda del diagrama
de flujo del programa)
EL MENU PRINCIPAL
Dentro del menú principal, se encuentran las
siguientes unidades de trabajo:
- A jugar con cubos.
- Memorama inicial.
- Prismas geométricos y el cilindro.
- Figuras geométricas
- Memorama fase 2
- Acomoda prismas
- Multijuego geométrico
EL MOUSE (ratón)
Con el programa “Los prismas y el cilindro”, se
usan el ratón y el teclado para ejecutar un gran
número de tareas como pueden ser: ejecutar pistas,
selección de ayuda, manipulación de gráficos fijos y
de 3D, selección de respuestas, escribir y arrastrar
figuras.
Para familiarizarse con el uso del mouse, es
imprescindible conocer el significado y modo de
ejecución de las siguientes expresiones:
176
No siempre es el mismo aspecto del puntero del
mouse en la pantalla , depende de la tarea que se
está ejecutando. Tome en cuenta la siguiente
información sobre diferentes aspectos que se
podrán presentar en la pantalla durante alguna
actividad:
FORMA DEL PUNTERO ACCION
Indica que puede escribir
datos o modificarlos.
Indica que hay un área que
puede ser activada o es de
selección. Por ejemplo un
botón o ayuda inmediata.
EXPRESION SIGNIFICADO Hacer un clic
(pulsar el botón)
Presionar y soltar
rápidamente el botón
izquierdo del mouse.
Hacer doble clic
(Pulsar 2 veces)
Presionar y soltar
rápidamente el botón
izquierdo del mouse dos veces.
Arrastrar Desplazar el mouse mientras
se mantiene presionado el
botón izquierdo.
Apuntar Posicionar el puntero del
mouse.
177
4.- Descripción general de la propuesta con el
empleo del software educativo y evaluación.
Con la visualización del “Menú Principal”, se
presenta al usuario un amplio panorama general de
los componentes del programa. Se puede
seleccionar libremente cada una de las secciones.
Sin embargo, para llevar adecuadamente la
propuesta para la enseñanza-aprendizaje de los
prismas, se recomienda el siguiente orden de trabajo
y ejecución.
Primero se debe permitir al alumno la manipulación
del material didáctico fase a, el cual consiste en 10
prismas regulares metálicos o de madera y un
cilindro; con los cuales los alumnos tendrán
libertad total de manejo para que éstos aprecien
características relevantes a cada un de los cuerpos
geométricos como forma, textura, peso, semejanzas y
diferencias. De preferencia no debe partir del
concepto o características específicas de cada uno
de los prismas y el cilindro, ya que este material es
para la formación inicial de los primeros conceptos.
Se recomienda que se apliquen diversos juegos como
la construcción de torres, vehículos, etc.
Una vez realizadas las actividades con el material
Fase1, inicie la ejecución del programa “los prismas
y el cilindro” y dé un clic en la sección del programa
“A jugar con cubos”. Aquí el alumno trabajará
178
alternadamente con el material Fase2 durante 3
sesiones como mínimo. El material está conformado
por 27 cubitos de 3cm de arista c/u y el alumno
establecerá relaciones objeto-imagen y manejo de
volumen, ya que la actividad principal de esta
sección es que el alumno desarrolle sus destrezas
geométrico-espaciales y se introduzca a elementos
afines como volumen, forma y visualización de
perspectivas en cuerpos formados por cubos.
(Tiempo estimado de trabajo por sesión: 30 minutos )
También puede usar este material como
complemento de sus lecciones del libro de
matemáticas 5º o 6º acerca del volumen de prismas.
179
Ahora se continúa con la sección “Memorama
Inicial” (4 o más sesiones de 30 minutos C/U), la cual
consiste en jugar un memorama en el que el alumno
reconoce algunos prismas manejados y distingue
otros cuerpos como la esfera. Con ello, se comienza
a dar paso a una clasificación general de los
prismas y el cilindro, aplicando características
externas generales.
180
Después se puede comenzar con la sección “Prismas
geométricos”, la cual consiste en unidades de
estudio sobre algunos prismas y el cilindro donde el
alumno relaciona sus antecedentes conceptuales
con base en definiciones matemáticas y utiliza el
material fase 3 (desarrollos planos desarmables)y
4 (material impreso) <Se recomiendan 2 sesiones de
30 minutos por prisma>.
Aquí usted como docente, conduzca al alumno en la
formación de sus conceptos sobre prismas y
cilindros, así como lograr incrementar su habilidad
y destreza en el manejo de los desarrollos planos
de cada prisma, cálculo del volumen y del área
181
lateral y total entre otras. Puede integrar además
las unidades del libro de texto 6º grado-
matemáticas.
Ahora ingrese a la sección denominada “Figuras
geométricas”, la cual ayuda al alumno en el
reconocimiento, estudio y clasificación de algunos
polígonos y relaciona sus conocimientos a las
formas de la bases y caras laterales de los prismas
y cilindros. (Sesiones variadas, minimo de 15 minutos
por figura).
Esta unidad puede apoyar distintas unidades de
trabajo del libro de matemáticas del alumno tanto
de 5º y 6º grado.
182
Al dar inicio a la sección “A buscar prismas y
cilindros”, (1 o 2 sesiones de 15 minutos c/u), el
alumno a través de la aplicación de sus propios
conocimientos quizás mas formales, realiza un
análisis sobre características de prismas y
cilindros, y a través de una imagen panorámica en
formato vr (realidad virtual), busca algunos prismas
y cilindros atendiendo a elementos geométricos que
conforman a cada uno de ellos. (En esta sección, el
alumno no podrá ingresar al menú principal, hasta
que no haya completado la actividad indicada) .
183
Una vez terminada las actividades anteriores, el
alumno puede ingresar a la sección “Memorama
fase2”, en donde a través de otro juego de
memorama, relaciona los desarrollos planos de
cada prisma y del cilindro. Aquí emplea nuevamente
los desarrollos planos desarmables, y reproduce
los propuestos para encontrar las relaciones
geométricas del armado de cada uno. Como actividad
adicional, en su cuaderno, el alumno debe trazar
diversos desarrollos planos con diferente trazo.
Continuando, se sigue con la sección denominada
“Acomoda prismas” donde a través del ingenio de un
184
cuadrado mágico pitagórico, el alumno debe
encontrar la manera de acomodar diversos prismas
de acuerdo a un modelo presentado.
Se recomienda trabajar con esta sección de 5 a 10
sesiones de 10 minutos.
Por último se ingresa a la sección “Multijuego
Geométrico”, el cual es un juego múltiple diseñado
para poner en práctica lo que ha aprendido a través
del software, así como de las manipulaciones,
manejo de material didáctico y aplicación de
conceptos. La parte motivadora de esta sección es
que alternadamente juega un memorama, resuelve
problemas, aplica algoritmos de solución al cálculo
de algunos volúmenes y emplea nuevamente su
material didáctico. Cuando se ha logrado terminar
185
el memorama, sigue el reto para descifrar un enigma
o mensaje oculto. Es una unidad evaluativo, porque
dirige al alumno a través del juego múltiple para
aplicar y encontrar soluciones a diversos
planteamientos utilizando y desarrollando sus
habilidades y destrezas.
Después de la ejecución completa del software, el
alumno tiene la facilidad de seleccionar la sección
que más le agradó o la que le brinde información
requerida.
