Proracun Tokova Snaga

1

2. PRORAČUN TOKOVA SNAGA

2.1. Uvod

Osobine pogona i dinamika razvoja EES -a traže neprekidno istraživanje električnih prilika umreži u raznim uslovima. Budući da se radi o istraživanju normalnih pogonskih prilika, uvećini slučajeva se pretpostavlja da j e sistem uravnotežen po fazama, pa je dovoljanjednofazni prikaz mreže.Osnovni zadatak EES-a je snabdijevanje potrošača električnom energijom zadovoljavajućekvalitete, uz pouzdanost i ekonomičnost snabdijevanja. Da bi se ta funkcija i ostvarila,izuzetno je bitno održati stabilne naponske prilike u mreži. Upravo je održavanje konstantnognapona u mreži osnovni zadatak nadzora i upravljanja EES-a. Tokovi snaga kroz elementemreže uzrokuju padove napona, koji, prema tome, b itno utiču na kvalitetu snabdijevenostipotrošača električnom energijom. Analiza električnih prilika u mreži podrazumijeva proračuntokova snaga, kojim će se doći do podataka o naponima u čvor ovima mreže, snagama kojeteku vodovima i gubicima u mreži.Postupak proračuna tokova snaga započinje određivanjem modela mreže, u kojem se svakielement prikazuje svojim modelom. Povezivanjem modela elemenata na način na koji jesupovezani u mreži dobija se model mreže. Realcije između napona i struja na sabirnicamamogu se predstaviti ili konturnim jednačinama ili jednačinama čvorova. Metoda čvorova jepogodnija, jer je za nju vrlo lako pripremiti ulazne podatke, a promjena topologije mreže usljedećem slučaju proračuna ne izaziva velike poteškoće u izmjeni matrice mreže.

2.2. Matrica admitansi

Pošto je rješenje metode čvorova bazirano na prvom Kirchhoffovom zakonu za struje,impedanse su pretvorene u admitanse na sljedeći način

ijijijij jxrz

y

11

U EES-u, svaki čvor je povezan samo sa nekoliko susjednih čvorova. Dijagonalni elementsvakog čvora je suma admitansi povezanih sa njim , tj.

n

jijii yY

0

j i (2.1)

Vandijagonalni element je jednak negativnoj vrijednosti admitanse između čvorova, tj.

ijjiij yYY (2.2)Primjenjujući gornje relacije na sistem od n sabirnica, jednačina napona čvorova u matričn omobliku je

2

n

i

nnninn

iniiii

ni

ni

n

i

V

V

V

V

YYYY

YYYY

YYYY

YYYY

I

I

I

I

2

1

21

21

222221

111211

2

1

(2.3)

ili kraće zapisano

busbusbus VYI (2.4)

gdje je Ibus vektor injektiranih struja. Struja ima pozitivan smjer kada ulazi u sabirnicu, anegativan smjer ako izlazi iz sabirnice. Vbus je vektor napona mjeren od referentnog čvora (tj.napona čvorova). Ybus je poznata kao matrica admitansi.

Kada je poznata struja svake sabirnice, iz (2.4 ) mogu biti nađeni naponi za n sabirnica.

busbusbus IYV 1 (2.5)

Inverzna matrica admitansi je matrica impedansi Zbus.

2.3. Iterativne metode za rješavanje jednačina tokova snaga

Jednačine tokova snaga su nelinearne jednačine koje zahtijevaju korištenje iterativnih metodaza dobijanje rješenja. Jedna od najčešćih metoda koja se koristi za iterativno rješavanjenelinearnih jednačina je Newton-Raphsonov metod. Metoda je prvo razmotrena za jednačinusa jednom promjenljivom, a zatim je proširena na n-jednačina sa n-promjenljivih.

2.3.1. Newton-Raphsonov metod

Metod sa najširom upotrebom za rješavanje nelinearnih jednačina je Newton-Raphsonovmetod. Ovaj metod je uzastopni aproksimativni postupak baziran na početnoj procjeninepoznate promjenljive i korištenju Taylorovog reda. Neka je rješenje jednačine sa jednompromjenljivom dato sa

cxf (2.6)Ako je x(0) početna procjena rješenja, i ako je x(0) malo odstupanje od tačnog rješenja, tada je

cxxf 00

Razvojem lijeve strane prethodne jednačine u Taylorov red u blizini x(0), dobija se

cxdx

fdx

dx

dfxf

....)(

!21)( 2)0(

0

2

2)0(

0)0(

3

Ako se usvoji pretpostavka da je greška x(0) veoma mala, izvodi višeg reda mogu bitizanemareni, što rezultira u

)0()0(

)0( xdx

dfc

gdje je

)( )0()0( xfcc

Dodavanjem x(0) početnoj procjeni rezultira u drugoj aproksimaciji sa

)0(

)0()0()1(

dx

df

cxx

Uzastopna upotreba ovog postupka daje algoritam Newton -Raphsonovog metoda

)( )()( kk xfcc (2.7)

)(

)()(

k

kk

dx

df

cx

(2.8)

)()()1( kkk xxx (2.9)

Jednačina (2.8) može biti preuređena u

)()()( kkk xjc (2.10)gdje je

)()(

kk

dx

dfj

Relacija (2.10) demonstrira da je nelinearna je dnačina 0)( cxf aproksimirana tangentomna krivoj x(k).

Neka se sada razmatra sistem od n jednačina sa n promjenljivih

nnn

n

n

cxxxf

cxxxf

cxxxf

),...,,(...............................

),...,,(),...,,(

21

2212

1211

(2.11)

Rješavanjem svake od jednačina (2.11) po jednoj od promjenljivih, jednačine su preuređene inapisane kao

4

),...,,(.......................................

),...,,(),...,,(

21

21222

21111

nnnn

n

n

xxxgcx

xxxgcx

xxxgcx

(2.12)

Proširivanjem lijeve strane jednačina (2.11) u Taylorov red oko početnih procjena izanemarivanjem svih izvoda višeg reda, dolazi se do izraza

ili u matričnom obliku

0

02

01

00

2

0

1

0

2

0

2

2

0

1

2

0

1

0

2

1

0

1

1

0

022

011

nn

nnn

n

n

nn x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

fc

fc

fc

U kraćem obliku, to može biti napisano kao

)()()( kkk XJC

ili

)(1)()( kkk CJX (2.13)

pa algoritam Newton-Raphsonovog metoda za slučaj sa n-promjenljivih postaje

)()()1( kkk XXX (2.14)

gdje je

nnn

nnnn

nn

nn

cxx

fx

x

fx

x

ff

cxx

fx

x

fx

x

ff

cxx

fx

x

fx

x

ff

00

02

0

2

01

0

1

)0(

.

.

.2

00

202

0

2

201

0

1

1)0(2

10

0

102

0

2

101

0

1

1)0(1

....)(

....)(

....)(

5

)(

)(2

)(1

)(

kn

k

k

k

x

x

x

X

i

)(

)(22

)(11

)(

)(

)()(

knn

k

k

k

fc

fc

fc

C

(2.15)

)()(

2

)(

1

)(

2

)(

2

2

)(

2

2

)(

1

)(

2

1

)(

1

1

)(

k

n

n

k

n

k

n

k

n

kk

k

n

kk

k

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

J

(2.16)

J(k) je tzv. matrica Jakobijana. Elementi ove matrice su parcijalni izvodi proc ijenjeniza X(k). Pretpostavljeno je da J(k) ima inverznu matricu za svaku iteraciju. Newton-Raphsonovmetod, primijenjen na sistem nelinearnih jednačina, svodi problem na rješ avanje sistemalinearnih jednačina radi određivanja vrijednosti koje poboljšavaju tačnost procjena.

2.4. Tipovi sabirnica u studijama tokova snaga

Studije tokova snaga čine važan dio analize EES-a. One su potrebne za planiranje, ekonomskopredviđanje i upravljanje postojećih sistema kao i planiranje njenih budućih proširenja.Problem se sastoji od određivanja modula i faznog ugla napona na svakoj sabirnici, te toko vaaktivne i reaktivne snaga na svakom vodu.

Za rješavanje jednačina tokova snaga, pret postavljeno je da sistem radi podsimetričnim uslovima, pri čemu se koristi jednofazni model . Četiri veličine se vežu za svakusabirnicu. To su modul napona V, fazni ugao , aktivna snaga P i reaktivna snaga Q.Sabirnice u sistemu su uopšteno razvrstane u tri tipa sabirnica

Balansna sabirnica Jedna sabirnica, poznatija kao balansna sabirnica , je uzeta kaoreferentna gdje su modul i fazni ugao napona zadani. Ova sabirnica p okriva razlikuizmeđu planiranog opterećenja i proizvedene snage koja je nastala zbog gubitaka u mreži.

Sabirnice opterećenja Kod ovih sabirnica aktivna i reaktivna snaga su zadane. Modul ifazni ugao napona sabirnica su nepoznati . Ove sabirnice se još zovu i PQ sabirnice.

Regulisane sabirnice Ove sabirnice se zovu i generatorske sabirnice . Također supoznate i kao naponski-kontrolisane sabirnice . Kod ovih sabirnica aktivna snaga i modulnapona su zadani. Fazni ugao napona i reaktivna snaga su nepoznati. Granične vrijednostireaktivne snage su također navedene. Ove sabirnice se još zovu i PV sabirnice.

6

2.5. Jednačine tokova snaga

Tipična sabirnica EES-a je prikazano na slici 2.1 . Prijenosni vodovi su predstavljeni prekonjihovih ekvivalentnih modela gdje su impedanse pretvorene u admitanse u relativnimjedinicama u odnosu na baznu snagu u MVA.

Slika 2.1. Tipična sabirnica u EES-u

Primijeni li se prvi Kirchhoffov zakon za struje na sabirnicu sa slike 2.1 rezultira u

niniiiiniii

niiniiiiiii

VyVyVyVyyyy

VVyVVyVVyVyI

2211210

22110

)(

)()()( (2.17)

ili

n

j

n

jjijijii VyyVI

0 1

j i (2.18)

Aktivna i reaktivna snaga na sabirnici i je

*iiii IVjQP (2.19)

ili

*i

iii V

jQPI

(2.20)

Zamjenom Ii u (2.18) dobija se

n

j

n

jjijiji

i

ii VyyVV

jQP

0 1* j i (2.21)

7

Iz gornjih relacija, matematička formulacija jednačina tokova snaga rezultirasistemom nelinearnih jednačina koje mo gu biti riješene iterativnim tehnikama.

2.6. Gubici snage na vodu

Poslije iterativnog rješenja napona sabirnica, sljedeći korak je računanje tokova snaga igubitaka snage na vodu. Neka se posmatra vod koji povezuje dvije sabirnice i i j kao na slici2.2.

Slika 2.2 Model prijenosnog voda za izračunavanje tokova snage na vodu

Ukoliko se usvoji da je s truja Iij na sabirnici i pozitivna za smjer i j tada je

iijiijilij VyVVyIII 00 )( (2.22)

Na sličan način, ukoliko se usvoji da je struja Iji na sabirnici j i pozitivna za smjer j i tadaje

jjijijjlji VyVVyIII 00 )( (2.23)

Kompleksne snage Sij od sabirnice i prema sabirnici j i Sji od sabirnice j prema sabirnici i su*ijiij IVS (2.24)

*jijji IVS (2.25)

Gubitak snage na vodu i – j je algebarska suma tokova snaga određenih iz (2.24) i (2.25 ), tj.,

jiijLij SSS (2.26)

2.7. Primjena Newton-Raphsonovog metoda na rješavanjejednačina tokova snaga

Newton-Raphsonov metod je kvadratne konvergencije i manje je sklon divergenciji kodneuslovnih problema. Broj iteracija kod dobijenog rješenja nezavisi od veličine sistema, ali sefunkcionalnije procjene traže kod svak e iteracije. Pošto su u problemu tokova snaga aktivnasnaga i modul napona zadani za naponski-kontrolisane sabirnice, jednačina tokova snaga jeformulisana u polarnom obliku. Za tipičnu sabirnicu EES-a prikazanog na slici 2.1, ulaznastruja sabirnice i je data po (2.18). Ova jednačina može biti pon ovo napisana u izrazu zamatricu admitansi kao

8

n

jjiji VYI

1

(2.27)

U gornjoj jednačini, j uključuje sabirnicu i. Preuređivanjem ove jednačine u pola rni oblik,dobija se

n

jjijjiji VYI

1 (2.28)

U kompleksnom obliku snaga sabirnice i je

iiii IVjQP * (2.29)Zamjenom iz (2.28) za Ii u (2.29), dobija se

n

jjijjijiiii VYVjQP

1 (2.30)

Razdvajanjem realnih i imaginarnih dijelova izraza (2.30), dobija se

n

jjiijijjii YVVP

1cos (2.31)

i

n

jjiijijjii YVVQ

1sin (2.32)

Jednačine (2.31) i (2.32) predstavljaju sistem nelinearnih jednačina u odnosu na nezavisnepromjenljive, modul napona u relativnim jedinicama i faznog ugla u radijanima. Na ovajnačin se dobijaju dvije jednačine za svaku sabirnicu opterećenja, datih izrazima (2.31) i (2.32)i jedna jednačina za svaku naponski-kontrolisanu sabirnicu, datu izrazom (2.31). Razvojem(2.31) i (2.32) u Taylorove redove u blizini početnih procjena i zanemarivanjem svih članovavišeg reda rezultira sistemom linearnih jednačina.

kn

k

kn

k

k

n

nk

nk

n

nk

n

k

n

kk

n

k

k

n

nk

nk

n

nk

n

k

n

kk

n

k

kn

k

kn

k

V

V

V

Q

V

QQQ

V

Q

V

QQQ

V

P

V

PPP

V

P

V

PPP

Q

Q

P

P

2

2

22

2

2

22

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

9

U gornjoj jednačini, pretpostavljeno je da je sabirnica 1 balansna sabirnica. MatricaJakobijana daje linearnu povezanos t između malih promjena u uglu napona Δδi

(k) i modulanapona Δ|Vi

(k)| sa malim promjenama u aktivnoj i reaktivnoj snazi ΔPi(k) i ΔQi

(k). Elementimatrice Jakobijana su parcijalni izvodi (2.31) i (2.32), sa početnim procjenama blizu Δδi

(k) iΔ|Vi

(k)|. U kratkom obliku, to može biti napisano kao

VJJ

JJ

Q

P

43

21 (2.33)

Za naponski-kontrolisane sabirnice, moduli napona su poznati . Dakle, ako m naponskikontrolisanih sabirnica sistema, obu hvata m jednačina ΔQ i ΔV, odgovarajuće kolone matriceJakobijana se eliminišu.Prema tome, postoji n - 1 ograničenje aktivne snage i n – 1 – m ograničenje reaktivne snage, amatrica Jakobijana je reda (2n – 2 – m) (2n – 2 – m).J1 je reda (n - 1) (n – 1), J2 je reda (n – 1) (n – 1 – m), J3 je reda (n – 1 – m) (n – 1), a J4je reda (n – 1 – m) (n – 1 – m).

Dijagonalni i vandijagonalni elementi J1 su

ijjiijijji

i

i YVVP

sin (2.34)

jiijijjij

i YVVP

sin ij (2.35)


ijjiijijjiiiii

i

i YVYVV

P coscos2 (2.36)

jiijiji

j

i YVV

P

cos ij (2.37)


ijjiijijji

i

i YVVQ

cos (2.38)

jiijijjij

i YVVQ

cos ij (2.39)

Dijagonalni i vandijagonalni ele menti J4 su

ijjiijijjiiiii

i

i YVYVV

Q sinsin2 (2.40)

jiijiji

j

i YVV

Q

sin ij (2.41)

10

Članovi kiP i k

iQ su razlike između planiranih i izračunatih vrijednosti, poznati kaoostaci snaga, a dati su kao

ki

schi

ki PPP (2.42) k

ischi

ki QQQ (2.43)

Nove procjene za napone sabirnica su

ki

ki

ki 1 (2.44)

ki

ki

ki VVV 1 (2.45)

Procedura rješavanja jednačina tokova snaga po Newton-Raphsonovom metodu je data kakoslijedi:

1. Za sabirnice opterećenja, gdje su schiP i sch

iQ zadani, moduli napona i fazni uglovi su

približno jednaki vrijednostima balansne sabirnice, ug lavnom 1.0 i 0.0, tj., 0.10 iV i 0.00 i . Za naponski-regulisane sabirnice, gdje su iV i sch

iP zadani, fazni uglovi su

približno jednaki uglovima balansne sabirnice, uglavnom 0, t j., 00 i .2. Za sabirnice opterećenja, k

iP i kiQ su izračunate iz (2.31) i (2.32), a k

iP i kiQ

su izračunate iz (2.42) i (2.43).3. Za naponski-kontrolisane sabirnice, k

iP i kiP su izračunate iz (2.31) i (2.42),

respektivno.4. Elementi matrice Jakobijana (J1 , J2 , J3 i J4) su izračunate iz (2.34) – (2.41).5. Linearna jednačina (2.33) je direktno riješena trougaonom faktorizacijom i Gaussovom

eliminacijom.6. Novi moduli napona i fazni uglovi su izračunati iz ( 2.44) i (2.45).7. Proces se nastavlja dok su ostaci k

iP i kiQ manji od zadane tačnosti, tj.,

k

i

ki

Q

P (2.46)

2.8. Programi za rješavanje jednačina tokova snaga

Računarski program razvijen za rješavanje jednačina tokova snaga praktičnih sistema sadržičetiri programa. Program za Newton -Raphsonov metod je lfnewton, kojem prethodi lfybus, azatim slijede busout i lineflow. Slijedi kratak opis pomenutih programa.

lfybus Ovaj program zahtijeva parametre vod ova i transformatora i opcije priključkatransformatora zadanih u ulaznoj datoteci nazvanoj linedata. On pretvara impedanse uadmitanse pa dobijamo matricu admitansi. Program omogućava i primjenu na paralelnimvodovima.

lfnewton Ovaj program daje rješenja jednačina tokova snaga po Newton-Raphsonovommetodu i zahtijeva ulazne datoteke busdata i linedata. Omogućeno je direktno korištenje

11

opterećenja i proizvodnje u MW -a i Mvar-a, napona sabirnica u relativnim jedinicama, iuglova u stepenima. Opterećenja i proizvodnja su pretvoreni u relativne jedinice u odnosu nabaznu snagu u MVA. Ograničenja su postavljena da održavaju reaktivnu snagu agregatanaponsko-kontrolisanih sabirnica u njihovim zadanim granicama. Narušavanje ograničenjareaktivne snage može se desiti ako je zadani napon ili suviše visok ili suviše nizak. U drugojiteraciji, izračunate reaktivne snage agregata se provjeravaju. Ako je dos tignuto ograničenje,modul napona se podešava u koracima od 0.5 % do 5% dovodeći zahtijevanu reaktivnusnagu u zadane granice.

busout Ovaj program izlazne rezultate sabirnica prikazuje u tabelarnom obliku. Izlaznirezultat uključuje modul napona i ugao sabirnica, aktivnu i reaktivnu snagu agregata iopterećenja i šant kondenzator/reaktor u Mvar-a. Ukupna proizvodnja i ukupno opterećenje sutakođe uključeni kao opšti pregled u slučaju pri kaza rezultata.

lineflow Ovaj program prikazuje izlazne podatke vodova. Napravljen je da prikazuje tokoveaktivne i reaktivne snage od sabirnice prema ostalim sabirnicama i gubitaka aktivne ireaktivne snage na vodovima kao i prividne snage svake sabirnice. Takođe su uključeniukupni gubici aktivne i reaktivne snage u sistemu.

2.9. Priprema podataka za rješavanje jednačina tokovasnagaPrije pokretanja rješavanja jednačina tokova snaga u MATLAB-u trebaju biti definisane:

bazna snaga sistema u MVA,

tačnost proračuna snaga i

maksimalni broj iteracija.Imena (malim slovima) rezervisana za ove varijable su basemva, accuracy i maxiter,respektivno.

Početni korak u pripremi ulazne datoteke je numerisanje svake sabirnice. Sabirnice sunumerisane sekvencijalno. Iako su brojevi sekvencijalno dodani, sabirnice netreba unositisekvencijalno.

busdata Format za sabirnice je izabran da olakša unos potrebnih podataka svake sabirnice ujedan red. Zahtijevane informacije moraju biti uključene u matricu.

Kolona 1 je broj sabirnice,

Kolona 2 sadrži kôd sabirnice,

Kolone 3 i 4 su modul napona u relativnim jedinicama i fazni ugao u stepenima,

Kolone 5 i 6 su opterećenja u MW-a i Mvar-a,

Od 7 do 10 kolone su proizvodnje u MW-a, Mvar-a, minimalno Mvar-a i maksimalnoMvar-a,

Posljednja kolona je injektirane Mvar -a od šant kondenzatora.

Kôd sabirnica unešen u kolonu 2 je korišten za identificiranje opterećenja, naponsko -kontrolisanih i balansnih sabirnica kao:

1 Ovaj kôd je korišten za balansnu sabirnicu. Jed ina potrebna informacija za ovu sabirnicu jemodul napona i njegov fazni ugao.

12

0 Ovaj kôd je korišten za sabirnice opterećenja. Unešena opterećenja su pozitivna u MW -ai Mvar-a. Za ovu sabirnicu, početna vrijednost modula napona treba biti zadana. To je obično1.0 i 0.0 za modul napona i fazni ugao, respektivno.

2 Ovaj kôd je korišten za naponski-kontrolisane sabirnice. Za ovu sabirnicu, modul napona,proizvodnja aktivne snage u MW -a i zahtijevana minimalna i maksimalna ograničenjaagregata u Mvar-a trebaju biti zadani.

linedata Vodovi su identificirani po metodu susjednih čvorova. Zahtijevane informacijemoraju biti uključene u matricu. Kolone 1 i 2 su brojevi sabirnica voda. Kolone 3, 4 i 5 sadržeotpornost, reaktansu i jednu polovinu ukupne su sceptanse voda u relativnim jedinicamazadatih na baznoj snazi u MVA. Posljednja kolona je za unošenje prenosnog odnosatransformatora ako postoji u sistema, u suprotnom za vodove, treba unijeti 1 u ovu kolonu.

2.10. Rezultati testiranja

Test sistem je prikazan na slici 2.3.

Slika 2.3. Test sistem sa tri agregata i pet sabirnica

Procedura izvođenja rješavanja jednačina tokova snaga u MATLAB-u je prikazana kakoslijedi

» basemva=100;» accuracy=0.0001;» maxiter=12;% Bus Bus Voltage Angle-Load- ---Generation---Injected% No code Mag. Degree MW MVAr MW MVAr Qmin Qmax MVAr» busdata=[1 1 1.06 0.0 0 0 0 0 10 50 0

2 2 1.045 0.0 20 10 40 30 10 50 03 2 1.03 0.0 20 15 30 10 10 40 04 0 1.0 0.0 50 30 0 0 0 0 0

5 0 1.0 0.0 60 40 0 0 0 0 0];% Bus Bus R X 1/2 B 1 for lines code or% nl nr pu pu pu tap setting value

13

» linedata=[1 2 0.02 0.06 0.03 0 11 3 0.08 0.24 0.025 12 3 0.06 0.18 0.020 12 4 0.06 0.18 0.020 12 5 0.04 0.12 0.015 13 4 0.01 0.03 0.01 0 14 5 0.08 0.24 0.025 1];

» lfybus» lfnewton» busout

Power Flow Solution by Newton -Raphson Method Maximum Power Mismatch = 1.43025e -005 No. of Iterations = 3Bus Voltage Angle ------Load------ ---Generation--- InjectedNo. Mag. Degree MW Mvar MW Mvar Mvar 1 1.060 0.000 0.000 0.000 83.051 7.271 0.000 2 1.045 -1.782 20.000 10.000 40.000 41.811 0.000 3 1.030 -2.664 20.000 15.000 30.000 24.148 0.000 4 1.019 -3.243 50.000 30.000 0.000 0.000 0.000 5 0.990 -4.405 60.000 40.000 0.000 0 .000 0.000Total 150.000 95.000 153.051 73.230 0.000» lineflow Line Flow and Losses

--Line-- Power at bus & line flow --Line loss-- Transformer from to MW Mvar MVA MW Mvar tap 1 83.051 7.271 83.369 2 59.900 4.056 60.038 0.648 -4.701 3 23.152 3.215 23.374 0.407 -4.239 2 20.000 31.811 37.576 1 -59.252 -8.757 59.896 0.648 -4.701 3 10.914 2.957 11.307 0.080 -4.066 4 18.217 7.245 19.605 0.231 -3.566 5 50.121 30.368 58.603 1.295 0.778 3 10.000 9.148 13.5 53 1 -22.745 -7.454 23.935 0.407 -4.239 2 -10.834 -7.023 12.911 0.080 -4.066 4 43.578 23.627 49.571 0.236 -1.389 4 -50.000 -30.000 58.310 2 -17.986 -10.810 20.985 0.231 -3.566 3 -43.342 -25.016 50.043 0.236 -1.389 5 11.328 5.826 12.738 0.154 -4.584 5 -60.000 -40.000 72.111 2 -48.825 -29.590 57.092 1.295 0.778 4 -11.175 -10.410 15.272 0.154 -4.584

Total loss 3.053 -21.767

14

15

3. OPTIMALNI TOKOVI SNAGA

3.1. Uvod

U EES-u, elektrane nisu smještene na istim udaljenostima od centara potrošnje, pa su njihovecijene proizvodnje električne energije različite. Osim toga, pri normalnim radnim uslovima,kapacitet proizvodnje je viši od ukupno zahtijevane potrošnje i gubitaka. U takvom EES-u ciljje pronaći aktivnu i reaktivnu snagu svakog agregata na takav način da troškovi rada buduminimalni. Ovim načinom se aktivnoj i reaktivnoj snazi agregata dopušta promjena uodređenim granicama kako bi se udovoljilo određenim zahtjevima potrošnje uz minimalnetroškove. Ovo je tzv. problem optimalnih tokova snaga (eng. Optimal Power Flow - OPF).OPF su korišteni u optimiziranju rješenja tokova snaga velikih EES -a. To je učinjenominimiziranjem odabrane funkcije cilja održavanjem prihvatljivih performansi sistema uodnosu na granične mogućnosti agregata i proizvodnju kompenzacionih uređaja. Fun kcijacilja takođe poznata kao troškovna funkcija, može predstavljati ekonomske troškove,sigurnost sistema ili neki drugi cilj. Efikasno planiranje reaktivne snage poboljšavaekonomsko poslovanje kao i sigurnost sistema. OPF su proučavani u mnogim istraži vanjimapri čemu su predstavljeni mnogobrojni algoritmi koristeći različite funkcije cilja i metode.

3.2. Nelinearna optimizacija funkcijaNelinearna optimizacija funkcija je važan alat i važan dio u široj klasi optimizacijanelinearnog programiranja. Osn ovne teorije i računarske metode su opisane u [3]. Osnovnicilj je minimiziranje neke nelinearne funkcije cilja ovisne o nelinearnim ograničenjima tipajednakosti i tipa nejednakosti.

3.2.1. Nelinearna optimizacija funkcija bez ograničenja

Matematički alati koji su korišteni u rješavanju problema nelinearne optimizacije funkcija bezograničenja dolaze direktno iz proračuna sa više promjenljivih. Potreban uslov zaminimiziranje funkcije

),...,,( 21 nxxxf (3.1)

se dobija izjednačavanjem prvih parcijalnih izvoda od f po promjenljivim sa nulom, tj.,

0

ix

fni ,...,2,1 (3.2)

ili0f (3.3)

gdje je

16

nx

f

x

f

x

ff ,,,

21

(3.4)

poznat kao vektor gradijenta. Na osnovu članova određenih iz drugih parcijalnih izvoda

ji xx

fH

2

(3.5)

jednačina (3.1) rezultira u simetričnu matricu tzv. Hessian matricu.Dakle, nakon izjednačavanja prvih parcijalnih izvoda od f po promjenljivim sa nulom dobijase lokalni ekstrem ( nxxx ,,, 21 ), za koji funkcija f ima lokalni mimimun uz uslov da jeHessian matrica pozitivno definitina matrica. To znači da sve sopstvene vrijednosti Hessianmatrice treba da budu pozitivne.Ako postoji jedan lokalni mimimu m, to je takođe i globalni minimum; ili pak ako postoji višelokalnih minimuma, funkcija mora biti procijenjena za svaki lokalni minimum određivanjemkoji od njih je globalni minimum.

3.2.2. Nelinearna optimizacija funkcija sa ograničenjima

Programski paket Matlab posjeduje poseban modul koji sadrži funkcije za rješavanje ioptimizaciju nelinearnih jednačina. Ovaj modul se naziva Optimization Toolbox.Optimizacione metode su metode za nalaženje optimalnog rješenja i svode se na postupakminimizacije ili maksimizacije funkcije cilja. Neke od tih metoda su:

fminunc (metoda optimizacije bez ograničenja) lsqnonlin, lsqcurvefit (metode optimizacije zasnovane na metodi najmanjih kvadrata) fsolve (metoda za rješavanje nelinearnih sistema jednačina) fmincon, fminimax, fgoalattain i fseminf (metode optimizacije sa ograničenjima)

Najčešći oblik naredbe fmincon za nelinearnu optimizaciju funkcija sa ograničenjima je:

fmincon (f, x0, A, B, Aeq, Beq, LB, UB)

gdje je f funkcija koja se optimizuje (i koja može da se de finiše preko matematičkog izraza uobliku stringa, preko funkcijskog potprograma ili kao lokalna funkcija). Nezavisnepromjenljive se moraju označiti sa x(1), x(2), itd (a ne sa x, y, itd). Sa x0 je označen vektorpočetnih vrijednosti za nezavisno promjenl jive. A i B su matrice koje definišu ograničenjatipa jednakosti i tipa nejednakosti A *x<=B, dok su Aeq i Beq matrice koje definišuograničenja tipa jednakosti Aeq *x=Beq. Sa LB i UB su označeni vektori koji definišu donju igornju granicu nezavisnih promje nljivih. U slučaju da ne postoje neka od ograničenja (tipanejednakosti ili jednakosti), ili kada gornja ili donja granica nije definisana, umjestoodgovarajuće matrice (vektora) koristi se prazan skup, [].

3.2.2.1.Nelinearna optimizacija funkcija sa ograničenjima tipajednakosti

17

Ovakav tip problema se pojavljuje kada postoje funkcionalne ovisnosti između izabranihparametara. Problem je minimizirati funkciju

),...,,( 21 nxxxf (3.6)

ovisnu o ograničenjima tipa jednakosti

0),,,( 21 ni xxxg ki ,,2,1 (3.7)

Takvi problemi mogu biti riješeni metodom Langrang eovih multiplikatora. Ona omogućavaproširivanje funkcije uvođenjem Langrangeovog multiplikatora λ nepoznatog iznosa, pafunkcija tada postaje

k

iii gfL

1 (3.8)

Potrebni uslovi za određivanje lokalnog minimuma su:

k

i i

ii

ii x

g

x

f

x

L

10 (3.9)

0

ii

gL

(3.10)

Jednačina (3.10) predstavlja ograničenje tipa jednakosti.

3.2.2.2.Nelinearna optimizacija funkcija sa ograničenjima tipanejednakosti

Problemi optimizacije sadrže osim ograničenja tipa jednakosti, i ograničenja tipanejednakosti. Problem je minimizirati funkciju

),...,,( 21 nxxxf (3.11)

ovisnu o ograničenjima tipa jednakosti

0),,,( 21 ni xxxg ki ,,2,1 (3.12)

i ograničenjima tipa nejednakosti

0),,,( 21 nj xxxu mj ,,2,1 (3.13)

Langrangeov multiplikator je proširen i za ograničenja tipa nejednakosti uvođen jemLangrangeovog multiplikatora nepoznatog iznosa, pa funkcija postaje

18

m

jjj

k

iii ugfL

11 (3.14)

Potrebni uslovi za određivanje lokalnog minimuma su:

0

ix

Lni ,,2,1 (3.15)

0

ii

gL

ki ,,2,1 (3.16)

0

jj

uL

mj ,,2,1 (3.17)

0&0 jjju mj ,,2,1 (3.18)

Jednačina (3.16) predstavlja ograničenje tipa jednakosti, a jednačina (3.17) ograničenje t ipanejednakosti.

3.3. Troškovi rada agregata

Faktori koji utiču na smanjenje troškova prilikom proizvodnje su efikasnost rada agregata,cijena goriva i prenosni gubici. Najefikasniji agregat u sistemu nije garancija minimalnihtroškova ako se nalazi u području gdje je cijena goriva visoka. Takođe, ako se agregatnalazidaleko od centara potrošnje, prenosni gubici mogu biti znatno viši i otuda agregatimogu biti neekonomični. Dakle, problem je odrediti proizvodnju agregata tako da su ukupnitroškovi rada minimalni. Troškovi rada igraju važnu ulogu u ekonomskom planiranju idetaljno su razmotreni. Pojednostavljena ulazno -izlazna kriva agregata poznata kao krivatoplotnog porasta je data na slici 3.1(a). Pretvaranjem ordinate krive toplotnog porasta izBtu/h u $/h rezultira troškovnom krivom prikazanoj na slici 3.1(b).

Sl.3.1. (a) Kriva toplotnog porasta Sl.3.1. (b) Kriva troškova proizvodnje

U svim praktičnim slučajevima, cijena goriva agregata i se može predstaviti kao kvadratnafunkcija prozvodnje aktivne snage

19

2iiiiii PPF

(3.19)gdje je:

i - koeficijent stalnih troškova proizvodnje i-tog agregata

i - koeficijent linearnih troškova proizvodnje i-tog agregata

i - koeficijent kvadratnih troškova proizvodnje i-tog agregata

Svaki agregat ima svoju troškovnu krivu koja zavisi od mnogih parametara (kvalitet uglja,kotlova, cjevovoda itd).Diferenciranjem troškovne krive po aktivnoj snazi dobija se kriva inkrementalnih troškovakoja je prikazana na slici 3.2.

iiii

i PdP

dF 2 (3.20)

Kriva inkrementalna troškova je veličina koja pokazuje koliki će biti troškovi proizvodnje sapovećanjem snage. Ukupni radni troškovi uključuju cijenu goriva, cijenu rada, opremu iodržavanje. Ovi troškovi su uzeti kao fiksan procenat od cijene goriva i kao takvi su uključeniu krivu inkrementalnih troškova.

Sl.3.2. Tipična kriva inkrementalnih troškova

3.4. Ekonomska raspodjela

Najjednostavniji problem ekonomske raspodjele je slučaj kada su prenosni gubici zanemareni.Ukratko rečeno, model problema ne uzima u obzir konfiguraciju sistema i impedanse vodova.U suštini, model je zamišljen kao sistem od jedne sabirnice sa cjelokupnom proizvodnjom ipotrošnjom vezanom za nju, kao što je prikazano na slici 3.3.

Sl.3.3. Agregati vezani na zajedničku sabirnicu

20

Za gn agregata, koji opskrbljuju potrošače ukupnog iznosa snage DP (Sl.3.3), definiše sefunkcija cilja:

gg

g

n

iiiiiii

n

iint PPPFFFFFF

1

2

1321 )( (3.21)

koja predstavlja ukupne proizvodne troškove jednake sumi proizvodnih troškova pojedinihagregata u funkciji proizvedene snage.Ako su prenosni gubici u sistemu zanemareni, tada balans proizvodnje i potrošnje snaga mo žebiti zapisan na sljedeći način:

D

n

ii PP

g

1

(3.22)

pri čemu je:

DP - ukupna potrošnja u sistemu, [MW]

iP - snaga i-tog agregata, [MW]

Sada se može definisati zadatak ekonomske raspodjel e: odrediti izlazne snage agregata, kojisu u pogonu, tako da ukupni proizvodni troškovi u sistemu budu minimalni uz uslov daograničenja agregata nisu narušena.Matematička formulacija ovako definisanog zadatka glasi:

Odrediti

gn

iiit PFF

1)(minmin

Uz ograničenje 01

gn

iiD PP

Ako se pretpostavi da tehnička ograničenja za svaki agregat neće biti narušena, ovakopostavljeni zadatak optimizacije sa ograničenjem tipa jednakosti moguće je riješiti koristeći semetodom Langrange-ovih multiplikatora. Prema ovom metodu koristi se proširena funkcijacilja:

gn

iiDt PPFL

1 (3.23)

Minimum ove funkcije se postiže izjednačavanjem prvih parcijalnih izvoda od L po svimpromjenljivim sa nulom.Dakle,

0

iP

L (3.24)

0L (3.25)

21

Prvi uslov, dat jednačinom (3.25), rezultira jednačinom

0)10(

i

t

P

F

Pošto je

gnt FFFF ...21

onda je

i

i

i

t

dP

dF

P

F

pa uslov za optimalnu raspodjelu postaje

i

i

dP

dFgni ,...,1 (3.26)

ili na osnovu jednačine (3.20)

iii P2 (3.27)

i predstavlja uslov jednakih inkrementalnih troškova.Pod pojmom inkrementalnih troškova podrazumijeva se količnik povećanja troškova sapovećenjem izlazne snage za neki agregat kada povećanje snage teži nuli, odnosnoinkrementalni troškovi i-tog agregata predstavljaju prvi izvod njegove troškovne krive poizlaznoj snazi.Drugi uslov, dat jednačinom (3.25), rezultira jednačinom

D

n

ii PP

g

1

(3.28)

što predstavlja balans proizvodnje aktivne snage agregata i potrošnje u sistemu.Rješavanjem jednačina (3.26) odnosno (3.27) i (3.28) određena je optimalna raspodjelaproizvodnje na agregate.Ukratko, kada su gubici zanemareni, za na jekonomičniji rad, svi agregati moraju raditi sajednakim inkrementalnim troškom uz zadovoljenje ograničenja datog jednačinom (3.28). Dabi se pronašlo rješenje, jednačina (3.27) je riješena za Pi

i

iiP

2

(3.29)

Relacije date sa jednačinom (3.29) su poznate kao koordinacione jednačine . One su funkcijaod λ. Analitičko rješenje za λ može biti dobijeno zamjenom Pi u (3.28), tj.

D

n

i i

i Pg

1 2

(3.30)

22

ili

g

i

g

i

i

n

i

n

iDP

1 21

1 2

(3.31)

Vrijednost λ određena iz jednačine (3.31) zamjenom u jednačinu (3.29) daje optimalnoplaniranu proizvodnju.

Međutim, kada se gubici uzmu u obzir rezultirajuće jednačine postaju nelinearne iiterativno se rješavaju.U tu svrhu, jednačina (3.30) je napisana kao

DPf )( (3.32)

Razvojem lijeve strane jednačine (3.32) u Taylorov red u blizini radne tačke λ(k) izanemarivanjem članova višeg reda rezultira jednačinom

Dk

kk P

d

dff

)(

)()( )()(

(3.33)

odakle se dobija

)(

)(

)()(

)()(

k

ddP

k

k

ddf

kk

i

PP

(3.34)

ili

i

kk P

21

)()( (3.35)

i stoga je

)()()1( kkk (3.36)

gdje je

gn

i

kiD

k PPP1

)()( (3.37)

Proces se nastavlja sve dok ΔP(k) ne bude manja od zadane tačnosti.

Izlazna snaga bilo kojeg agregata ne bi trebala prelaziti njegovu procjenu, a niti bi trebala bitiniža od potrebe za stabilnim radom parnog kotla. Prema tome, proizvodnje su ograničeneizmeđu datih minimalnih i maksimalnih ograničenja. Problem je naći proizvodnju aktivnesnage za svaki agregat tako da funkcija cilja (tj. ukupan trošak proizvodnje) definisana sa(3.19) bude minimalna, ovisna o ograničenju datog jednačinom (3.20) i ograničenjima tipanejednakosti datih sa

(max)(min) iii PPP gni ,,1 (3.38)

gdje su Pi(min) i Pi(max) minimalna i maksimalna ograničenja za svaki agregat i, respektivno.

23

Kuhn-Tuckerovi uslovi kao dodatni članovi dopunjavaju Lagrangeove uslove uključivanjemograničenja tipa nejednakosti. Potrebni uslovi za optimalnu raspodjelu uz zanemare ne gubitkepostaju

i

i

dP

dFza Pi(min) < Pi < Pi(max)

i

i

dP

dF za Pi = Pi(max) (3.39)

i

i

dP

dFza Pi = Pi(min)

Ako su ova ograničenja narušena za bilo koji od agregata, onda se problem može riješit i nasljedeći način: za agregate kod kojih je izračunata vrijednost snaga izvan dopuštenih granicausvaja se da je njihovo opterećenje jednako prekoračenom limitu (minimalnoj ili maksimalnojsnazi).Uz usvojenu pretpostavku proračun se ponavlja bez tih agr egata, a opterećenje potrošača seumanjuje za zbirni iznos limitiranih vrijednosti. Na taj način se vrši raspodjela opterećenja,između agregata kod kojih nije došlo do narušavanja ograničenja, po principu jednakihinkrementalnih troškova. Za agregate sa u svojenom vrijednošću snage, koja odgovaralimitiranom iznosu, inkrementalni troškovi će biti različiti.Međutim, u slabije povezanoj mreži gdje se snaga prenosi preko udaljenosti sa malomgustoćom potrošača, prenosni gubici su značajan faktor i utiču na op timalnu raspodjeluproizvodnje. Jedan od uobičajenih postupaka za uključivanje efekta prenosnih gubitaka jeizražavanje ukupnih prenosnih gubitaka kao kvadratne funkcije izlazne snage agregata.Najjednostavniji kvadratni oblik je

g gn

i

n

jjijiL PBPP

1 1

(3.40)

Opšta formula sadrži linearni i konstantni član, a navedena je kao Kronerova formulagubitaka

g g gn

i

n

j

n

iiijijiL BPBPBPP

1 1 1000 (3.41)

Koeficijenti Bij su nazvani koeficijenti gubitaka ili kraće B-koeficijenti. Za B-koeficijente sepretpostvalja da su konstantni, a prihvatljiva tačnost može biti očekivana ako su stvarni radniuslovi blizu osnovnom stanju gdje su B -konstante izračunate.Problem ED je smanjiti ukupne proizvodne troškove Fi, koja je funkcija izlaza agregata

gg n

iiiiii

n

iit PPFF

1

2

1 (3.42)

Ovisno o ograničenjima, proizvodnja bi trebala da bude jednaka zahtijevanoj potrošnji plusgubicima u sistemu, tj.

24

LD

n

ii PPP

g

1

(3.43)

zadovoljavajući ograničenja data nejednakostima

(max)(min) iii PPP gni ,,1 (3.44)

gdje su Pi(min) i Pi(max) minimalna i maksimalna ograničenja za svaki agregat i, respektivno.Korištenjem Lagrangeovih multiplikatora i dodavanjem dodatnih članova obuhvaćenih

ograničenjima tipa nejednakosti, dobija se

ggg n

iiiiii

n

ii

n

iiLDt PPPPPPPFL

1(min)(min)(max)

1(max)

1)()()(

(3.45)

Ograničenja treba razumjeti na način da je µ i(max) = 0 kada je Pi < Pi(max) i µ i(min) = 0 kada je Pi

> Pi(min). Drugim riječima, ako ograničenje nije narušeno, njegova pridružena promjenljiva µjednaka je nuli, a odgovarajući oblik u (3.45) ne postoji. Ograničenja jedino postaju aktivnakada su narušena. Minimum ove funkcije se postiže kada su parcijalni izvodi ove funkcije ponjenim promjenljivim jednaki nuli.

0

iP

L (3.46)

0L (3.47)

0(max)(max)

iii

PPL

(3.48)

0(min)(min)

iii

PPL

(3.49)

Jednačine (3.48) i (3.49) ukazuju da Pi ne bi trebalo da ide izvan granica, a kada je Pi unutargranica µ i(min) = µ i(max) = 0. Prvi uslov, dat jednačinom (3.46) rez ultira u

0)10(

i

L

i

t

P

P

P

F

Pošto je

gnt FFFF ...21

tada je

25

i

i

i

t

dP

dF

P

F

i stoga je uslov za optimalnu raspodjelu

i

L

i

i

P

P

dP

dFgni ,,1 (3.50)

Člani

L

PP je poznat kao inkrementalni prirast gubitaka i-tog agregata. Drugi uslov, dat

jednačinom (3.47), razultira u

gn

iLDi PPP

1

(3.51)

Preuređivanjem jednačine (3.50) dobija se

i

i

PP dP

dF

i

L11

gni ,,1 (3.52)

ili

i

ii dP

dFL gni ,,1 (3.53)

gdje je Li poznat kao penalizacioni faktor i-tog agregata i dat je izrazom

i

L

PPiL

1

1 (3.54)

Dakle, efekat gubitaka prenosa je uveden penalizacionim faktorom sa vrijednošću koja zavisiod lokacije agregata. Jednačina (3.53) prikazuje da se minimalna cijena dobija kada jeinkrementalni trošak svakog agregata pomnožen sa penalizacionim faktorom koji je isti za sveagregate.

Inkrementalni trošak proizvodnje je dat sa (3.20), a inkr ementalni gubici su dobijeni izformule gubitaka (3.41) koja glasi

i

n

jjij

i

L BPBP

P g

01

2

(3.55)

Zamjenom izraza za inkrementalni trošak proizvodnje i inkrementalne gubitke u jednačinu(3.50) rezultira u

26

i

n

jjijiii BPBP

g

01

22

ili

i

i

n

ijj

jijiiii BPBPB

g

01

121 (3.56)

Proširivanjem jednačine (3.56) na sve agregate rezultira linearnim jednačinama u matričnomobliku

gn

gggg

gn

gg

g

g

nnnnnn

n

n

B

B

B

P

P

P

BBB

BBB

BBB

0

02

01

2

1

21

22221

11211

1

11

21 2

1

2

1

(3.57)

ili u kraćem obliku

DEP (3.58)

Zatim se iterativni proces nastvalja koristeći gradijentni metod [4]. U tu svrhu, iz jednačine(3.56), Pi je u k-toj iteraciji izražena kao

)(2

2)1()(

)()(0

)()(

iik

i

ij

kjij

kii

k

ki B

PBBP

(3.59)

Zamjenom Pi iz oblika (3.59) u (3.51) rezultira u

)(

1)(

)()(0

)(

)(2

2)1(k

LD

n

i iik

i

ij

kjij

kii

k

PPB

PBBg

(3.60)

ili

)()()( kLD

k PPf (3.61)

Razvojem lijeve strane gornje jednačine u Taylorov red u okolini radne tačke λ(k) izanemarivanjem članova višeg reda rezultira u

)()()(

)( )()( kLD

kk

k PPd

dff

(3.62)

ili

27

)(

)(

)()(

)()(

k

ddP

k

k

ddf

kk

i

PP

(3.63)gdje je

gg n

i iik

i

ij

kjijiiiiii

kn

i

i

B

PBBBP

12)(

)(0

)(

1 )(2

2)1(

(3.64)

Dakle

)()()1( kkk (3.65)

gdje je

gn

i

ki

kLD

k PPPP1

)()()( (3.66)

Proces se nastavlja sve dok je ΔP(k) manja od zadane tačnosti.Ako se koristi približna formula gubitaka izraž ena sa

gn

iiiiL PBP

1

2 (3.67)

Bij = 0, B00 =0, rješenje jednačine (3.59) svodi se na jednostavniji izraz

)(2 )(

)()(

iik

i

ik

ki B

P

(3.68)

a jednačina (3.64) na

gg n

i iik

i

iiii

kn

i

i

B

BP

12)(

)(

1 )(2

(3.69)

Dijagrami toka za oba slučaja ekonomske raspodjele prikazani su na slici 3.4 i slici 3.5.

3.5. Izvođenje formule gubitaka

Jedan od važnih koraka u optimalnoj raspodjeli proizvodnje agregata je izraziti gubitkesistema u odnosu na proizvodnju aktivne snage agregata. Postoji nekoliko metoda dobijanjaformule gubitaka. Jedna metoda razvijena po Kronu i usvojena po Kirchmayeru je metod B-koeficijenata [5].Ukupna injektirana kompleksna snaga sabirnice i, označena kao Si, je data kao

28

*iiiii IVjQPS (3.70)

Sumiranjem snaga svih sabirnica dobijaju se ukupni gubici sistema

*

1

*bus

Tbus

n

iiiLL IVIVjQP

(3.71)

gdje su PL i QL gubici aktivne i reaktivne snage u sistemu. Vbus je vektor napona čvorova, aIbus vektor injektiranih struja. Izraz za struje sabirnice u odnosu na napon sabirnica je datjednačinom (2.4)

busbusbus VYI (3.72)

gdje je Ybus matrica admitansi. Rješavanjem po Vbus, dobija sebusbusbusbusbus IZIYV 1 (3.73)

Zamjenom Vbus iz jednačine (3.73) u jednačinu (3.71), rezultira u

**bus

Tbus

Tbusbus

TbusbusLL IZIIIZjQP (3.74)

S obzirom da je Zbus simetrična matrica slijedi da je busTbus ZZ , pa ukupni gubici sistema

postaju

*busbus

TbusLL IZIjQP (3.75)

Izraz u (3.75) takođe može biti izražen koristeći indeksni zapis kao

n

i

n

jjijiLL IZIjQP

1 1

* (3.76)

Pošto je matrica impedansi simetrična, tj., Zij = Zji, gornja jednačina postaje

n

i

n

jijjiijLL IIIIZjQP

1 1

** )(21 (3.77)

Izraz u zagradama (3.77) je realan; stoga se gubici snage mogu razdvojiti u realani iimaginarani dio kao

n

i

n

jijjiijL IIIIRP

1 1

** )(21

(3.78)

n

i

n

jijjiijL IIIIXQ

1 1

** )(21 (3.79)

gdje su Rij i Xij realni i imaginarni elementi matrice impedansi, respektivno.

29

Osim toga, pošto je Rij = Rji, jednačina gubitaka aktivne snage može biti svedena na jedna činu

n

i

n

jjijiL IRIP

1 1

* (3.80)

a u matričnom obliku, jednačina za gubitke aktivne snage sistema postaje

*busbus

TbusL IRIP (3.81)

gdje je Rbus realni dio matrice impedansi. Radi dobijanja uopštene formule za gubitke snagesistema u odnosu na snage koju daju agregati, ukupnu struju potrošača definišemo kao sumusvih injektiranih struja, tj.,

DLnLL IIIId 21 (3.82)

gdje je nd broj sabirnica potrošača, a ID je ukupna struja potrošača. Dakle, pretpostvaljeno jeda pojedinačne struje sabirnica odstupaju kao konstante kompleksnog dijela ukupne strujepotrošača, tj.

DkLk IlI dnk ,...,2,1 (3.83)

ili

D

Lkk I

Il (3.84)

Pretpostavljajući da je sabirnica 1 referent na sabirnica (balansna sabirnica), izdvajanjemprvog reda iz jednačine (3.73) rezultira u

nn IZIZIZV 12121111 (3.85)

Ako je ng broj agregata, a nd broj potrošačkih sabirnica, gornja jednačina može biti napisana izčlanova za struje potrošača i struje agregata kao

dg n

kLkk

n

igii IZIZV

11

111 (3.86)

Zamjenom ILk iz jednačine (3.83) u jednačinu (3.86), dobija se

TIIZZlIIZV D

n

igii

n

kkkD

n

igii

gdg

1

11

11

11

(3.87)gdje je

dn

kkk ZlT

11 (3.88)

30

Ako je I0 definisana kao struja koja teče od sabirnice 1, sa svim drugim strujama potrošačaoznačenih nulom, imamo:

0111 IZV (3.89)

Zamjenom V1 u jednačini (3.87) i rješavanjem po ID, dobija se

gn

igiiD IZ

TIZ

TI

10111

11 (3.90)

Zamjenom ID iz jednačine (3.90) u jednačinu (3.83), struje potrošača postaju

0111

1 IZT

lIZ

T

lI k

n

igii

kLk

g

(3.91)

Neka je

T

lk (3.92)

Tada je

0111

1 IZIZI k

n

igiikLk

g

(3.93)

Dodavanjem struja agregata u gornju jednačinu dobija se u matričnom obliku

0

2

1

1111211

11212122112

11111121111

2

1

2

1

0100

00100001

I

I

I

I

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

I

I

I

I

I

I

g

g

g

g

d

g gn

g

g

knkkk

n

n

Ln

L

L

gn

g

g

(3.94)

Označavanjem gornje matrice sa C, jednačina (3.94) postaje

Ibus = CInew (3.95)

Zamjenom Ibus u jednačinu (3.81), dobija se

****newbus

TTnewnewbus

TnewL ICRCIICRCIP (3.96)

31

Ako je Sgi prividna snaga sabirnice i, struja agregata je

gii

P

Q

i

gigi

i

gigi P

V

j

V

jQP

V

SI gi

gi

***

* 1

(3.97)

ili

giigi PI (3.98)

gdje je

*

1

i

P

Q

i V

jgi

gi (3.99)

Dodavanjem struje I0 u vektor kolonu struje Igi, jednačina (3.98) postaje

1000000

000000

2

1

0

2

1

0

2

1

ggg gn

g

g

ngn

g

g

P

P

P

II

I

I

I

(3.100)

ili u kraćem obliku

1Gnew PI (3.101)

gdje je

1

2

1

1

ggn

g

g

G

P

P

P

P (3.102)

Zamjenom Inew iz jednačine (3.101) u jednačinu (3.96), jednačina gubitaka postaje

*1

**1

*1

**1 Gbus

TTTGGbus

TTGL PCRCPPCRCPP (3.103)

Rezultantna matrica u gornj oj jednačini je kompleksna, a gubitak aktivne snage je određen iznjenog realnog dijela, stoga je

*11 G

TGL PHPP (3.104)

gdje je

32

** CRCH busTT (3.105)

Pošto su elementi matrice H kompleksni, njen realni dio treba isko ristiti za izračunavanjegubitaka aktivne snage. Ovako dobijena matrica H je Hermiteova matrica. Ovo znači da je Hsimetrična i da je H = H*. Prema tome, realni dio matrice H je određen iz

2

*HHH

(3.106)

Gornja matrica je podijeljena kako slijedi

0000201

021

0222221

0111211

2/2/2/2/

2/2/

BBBB

BBBB

BBBB

BBBB

H

g

ggggg

g

g

n

nnnnn

n

n

(3.107)

Zamjena H u jednačinu (3.104), daje

12/2/2/2/

2/2/

12

1

0000201

021

0222221

0111211

21

g

g

ggggg

g

g

g

gn

g

g

n

nnnnn

n

n

gnggL

P

P

P

BBBB

BBBB

BBBB

BBBB

PPPP

(3.108)

ili

ggggg

g

g

g

gn

g

g

nnnn

n

n

gnggL

P

P

P

BBB

BBB

BBB

PPPP

2

1

21

22221

11211

21

00

0

02

01

21

2/

2/2/

B

B

B

B

PPP

g

g

n

gngg

(3.109)

33

Slika 3.4. Dijagram toka ekonomske raspodjele uz zanemarenje prenosnih gubitaka

34

Slika 3.5. Dijagram toka ekonomske raspodjele uz efekte prenosnih gubitaka

3.6. Rezultati testiranja

35

Slika 3.6. Test sistem sa tri agregata i pet sabirnica

Za ED bez uvažavanja gubitaka i og raničenja agregata za test sistem sa slike 3.6. proračunomse dobija

» cost=[200 7.0 0.008 180 6.3 0.009 140 6.8 0.007];

» Pdt=150;» dispatchIncremental cost of delivered power (system lambda) = 7.51 $/MWhOptimal Dispatch of Generation:

31.9372 67.2775 50.7856

» gencost

Total generation cost = 1579.70 $/h

Ukoliko uvedemo ograničenja za agregate situacija se neće bitnije promijeniti, jer nije došlodo narušavanja ograničenja agregata, a sve to je prikazano kroz sljedeći proračun:

» cost=[200 7.0 0.008 180 6.3 0.009 140 6.8 0.007];

» mwlimits=[10 85 10 80 10 70];

» Pdt=150;» disptachIncremental cost of delivered power (system lambda) = 7.51 $/MWhOptimal Dispatch of Generation:

31.9372

36

67.2775 50.7856

» gencost


Ako primijenimo fmincon iz Optimization Toolbox Matlaba dobijamo identične rezultate.

»f=inline('520+7*x(1)+0.008*x(1).^2+6.3*x(2)+0.009*x(2).^2+6.8*x(3)+0.007*x(3).^2')

f =

Inline function: f(x) = 520+7*x(1)+0.008*x(1).^2+6.3*x(2)+0.009*x(2).^2+6.8*x(3)+0.007*x(3).^2

» [x fval]=fmincon(f,[0 0 0],[],[],[1,1,1],[150],[10;10;10],[85;80;70])

x =

31.937 67.277 50.786

fval =

1579.7

Ukoliko su ograničenja narušena za bilo koji od agregata, onda se problem može riješiti takoda se agregat kod kojeg je opterećenje narušeno postavi na limit (minimalna ili maksimalnasnaga). Uz usvojenu pretpostavku proračun se ponavlja bez tih agregata, a opterećenjepotrošača umanjuje za zbirni iznos limitiranih vrijednosti. Na taj način se vrši raspodjelaopterećenja, između agregata kod kojih nije došlo do narušavanja ograničenja, po principujednakih inkrementalnih troškova.U test sistemu je došlo do prekoračenja agrega ta na sabirnici 2, pa je samim tim došlo i dopromjena u proizvodnji ostalih agregata

» cost=[200 7.0 0.008 180 6.3 0.009 140 6.8 0.007];

» mwlimits=[10 85 10 60 10 70];

» Pdt=150;» dispatchIncremental cost of delivered power (system lambda) = 7.57 $/MWhOptimal Dispatch of Generation:

35.3333 60.0000 54.6667

37

» gencost


Ukoliko u proračun uvedemo i gubitke sistema po približnoj formuli proračunom se dobija(bez narušavanja ograničenja)

» cost=[200 7.0 0.008180 6.3 0.009140 6.8 0.007];

» mwlimits=[10 85 10 80 10 70];

» Pdt=150;» B=[0.0218 0 0 0 0.0228 0 0 0 0.0179];» basemva=100;» dispatchIncremental cost of delivered power (system lambda) = 7.68 $/MWhOptimal Dispatch of Generation:

35.0907 64.1318 52.4767

Total system loss = 1.6991 MW

» gencost


Ako se koristi potpuna formula za izračunavanje gubitaka proračuom se dob ija

» cost=[200 7.0 0.008180 6.3 0.009140 6.8 0.007];

» mwlimits=[10 85 10 80 10 70];

» Pdt=150;» B=[0.0218 0.0093 0.0028

0.0093 0.0228 0.00170.0028 0.0017 0.0179];

» B0=[0.0003 0.0031 0.0015];» B00=0.00030523;» basemva=100;» dispatchIncremental cost of delivered power (system lambda) = 7.77 $/MWhOptimal Dispatch of Generation:

38

33.4701 64.0974 55.1011


» gencost


Ako su podaci sistema dati u obliku ulaznih datoteka busdata i linedata koristeći sljedećenaredbe u glavnom komandnom programu Matlaba dobija se

» basemva=100;» accuracy=0.0001;» maxiter=10;% Bus Bus Voltage Angle -Load- ---Generation---Injected% No code Mag. Degree MW MVAr MW MVAr Qmin Qmax MVAr» busdata=[1 1 1.06 0.0 0 0 0 0 10 50 0

2 2 1.045 0.0 20 10 40 30 10 50 0 3 2 1.03 0.0 20 15 30 10 10 40 0

4 0 1.0 0.0 50 30 0 0 0 0 05 0 1.0 0.0 60 40 0 0 0 0 0];

% Bus Bus R X 1/2 B 1 for lines code or% nl nr pu pu pu tap setting value» linedata=[1 2 0.02 0.06 0.030 1

1 3 0.08 0.24 0.025 1 2 3 0.06 0.18 0.020 1 2 4 0.06 0.18 0.020 1 2 5 0.04 0.12 0.015 1 3 4 0.01 0.03 0.01 0 1 4 5 0.08 0.24 0.025 1];» lfybus» lfnewton» busout Power Flow Solution by Newton -Raphson Method Maximum Power Mismatch = 1.43025e -005 No. of Iterations = 3

Bus Voltage Angle ------Load------ ---Generation--- Injected No. Mag. Degree MW Mvar MW Mvar Mvar

1 1.060 0.000 0.000 0.000 83.051 7.271 0.000 2 1.045 -1.782 20.000 10.000 40.000 41.811 0.000 3 1.030 -2.664 20.000 15.000 30.000 24.148 0.000 4 1.019 -3.243 50.000 30.000 0.000 0.000 0.000 5 0.990 -4.405 60.000 40.000 0.000 0.000 0.000

Total 150.000 95.000 153.051 73.230 0.000

» bloss

39

B =

0.0218 0.0093 0.0028 0.0093 0.0228 0.0017

0.0028 0.0017 0.0179

B0 =

0.0003 0.0031 0.0015

B00 =

3.0523e-004


Ako se uvedu cijene goriva agregata uz ograničenja agregata za isti sistem dobija seoptimalna raspodjela proizvodnje agregate, ukupni proizvodni troškovi kao i ukupni gubici usistemu

» basemva=100; accuracy=0.0001; maxiter=10;» busdata» linedata» cost=[200 7.0 0.008

180 6.3 0.009140 6.8 0.007];

» mwlimits=[10 8510 80

10 70];» lfybus» lfnewton» busout Power Flow Solution by Newton -Raphson Method Maximum Power Mismatch = 1.43025e -005 No. of Iterations = 3


1 1.060 0.000 0.000 0.000 83.051 7.271 0.000 2 1.045 -1.782 20.000 10.000 40.000 41.811 0.000 3 1.030 -2.664 20.000 15.000 30.000 24.148 0.000 4 1.019 -3.243 50.000 30.000 0.000 0.000 0.000 5 0.990 -4.405 60.000 40.000 0.000 0.000 0.000

Total 150.000 95.000 153.051 73.230 0.000

» bloss

B =

40

0.0218 0.0093 0.0028 0.0093 0.0228 0.0017

0.0028 0.0017 0.0179

B0 =

0.0003 0.0031 0.0015

B00 =

3.0523e-004

Total system loss = 3.05248 MW» gencost

Total generation cost = 1633.24 $/h» dispatchIncremental cost of delivered power (system lambda) = 7.767608 $/MWhOptimal Dispatch of Generation:

33.4558 64.1101 55.1005

Absolute value of the slack bus real power mismatch, dpslack = 0.4960 puProgram dispatch sadrži promjenljivu dpslack. Ona predstavlja razlika (apsolutnavrijendost) između proizvodnje balansne s abirnice dobijene iz koordinacione jednačine iproizvodnje balansne sabirnice, dobijene iz rješenja jednačina tokova snaga. Ovaj proces senastavlja sve dok je dpslack u okviru zadane tačnosti. Ova procedura je demonstrirana usljedećem primjeru gdje je op timalna raspodjela proizvodnje agregata dobijena u šestiteracija.

» while dpslack > 0.001lfnewtonblossdispatch

end

B =

0.0319 0.0118 0.0034 0.0118 0.0137 0.0010 0.0034 0.0010 0.0117

B0 =

0.0030 0.0015 0.0005

B00 =

41

3.0516e-004

Total system loss = 2.21219 MWIncremental cost of delivered power (system lambda) = 7.736667 $/MWhOptimal Dispatch of Generation:

26.7427 67.9440 57.4127

Absolute value of the slack bus real power mismatch, dpslac k = 0.0626 pu

B =

0.0400 0.0125 0.0035 0.0125 0.0132 0.0010 0.0035 0.0010 0.0116

B0 =

0.0040 0.0013 0.0005B00 =

3.0516e-004

Total system loss = 2.17295 MWIncremental cost of delivered power (system lambda ) = 7.748796 $/MWhOptimal Dispatch of Generation:

24.9190 68.9023 58.3061

Absolute value of the slack bus real power mismatch, dpslack = 0.0189 pu

B =

0.0439 0.0127 0.0036 0.0127 0.0131 0.0010 0.0036 0.0010 0.0115

B0 =

0.0044 0.0013 0.0004

B00 =

3.0516e-004


42

Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.754395 $/MWhOptimal Dispatch of Generation:

24.1668 69.2685 58.7069


B =

0.0458 0.0129 0.0036 0.0129 0.0131 0.0010 0.0036 0.0010 0.0115

B0 =

0.0046 0.0013 0.0004B00 =

3.0516e-004


23.8165 69.4362 58.8966


B =

0.0467 0.0129 0.0036 0.0129 0.0131 0.0010 0.0036 0.0010 0.0115

B0 =

0.0047 0.0012 0.0004

B00 =

3.0516e-004


23.6446 69.5182

43

58.9899


B =

0.0472 0.0130 0.0036 0.0130 0.0130 0.0010 0.0036 0.0010 0.0115

B0 =

0.0047 0.0012 0.0004

B00 =

3.0516e-004


23.5581 69.5593 59.0368


» busout Power Flow Solution by Newton -Raphson Method

Maximum Power Mismatch = 1.90285e -008 No. of Iterations = 2


1 1.060 0.000 0.000 0.000 23.649 25.727 0.000 2 1.045 -0.282 20.000 10.000 69.518 30.767 0.000 3 1.030 -0.495 20.000 15.000 58.990 14.052 0.000 4 1.019 -1.208 50.000 30.000 0.000 0.000 0.000 5 0.990 -2.729 60.000 40.000 0.000 0.000 0.000

Total 150.000 95.000 152.157 70.545 0.000

» gencost

Total generation cost = 1596.96 $/h» lineflow

Line Flow and Losses

--Line-- Power at bus & line flow --Line loss-- Transformer from to MW Mvar MVA MW Mvar tap

44

1 23.649 25.727 34.945 2 16.134 17.774 24.004 0.126 -6.269 3 7.515 7.953 10.942 0.123 -5.093

2 49.518 20.767 53.696 1 -16.008 -24.043 28.884 0.126 -6.269 3 4.612 4.991 6.796 0.040 -4.186 4 13.214 8.800 15.876 0.162 -3.773 5 47.701 31.018 56.89 9 1.224 0.564 3 38.990 -0.948 39.001 1 -7.392 -13.046 14.995 0.123 -5.093 2 -4.572 -9.177 10.253 0.040 -4.186 4 50.954 21.275 55.217 0.292 -1.223

4 -50.000 -30.000 58.310 2 -13.051 -12.573 18.122 0.162 -3.773 3 -50.662 -22.499 55.433 0.292 -1.223 5 13.714 5.071 14.621 0.190 -4.474

5 -60.000 -40.000 72.111 2 -46.477 -30.455 55.566 1.224 0.564

4 -13.523 -9.545 16.553 0.190 -4.474

Total loss 2.157 -24.455

Documents

Proracun Tokova Snaga