PROSES KONEKSI MATEMATIKA SISWA SMK PGRI 7 …

Jurnal Media Pendidikan Matematika “MPM” Vol. 1. No. 2, ISSN 2338-3836

176

PROSES KONEKSI MATEMATIKA SISWA SMK PGRI 7 MALANGDALAM MENYELESAIKAN MASALAH BERDASARKAN

PEMAHAMAN SKEMP

Deni Hamdani, Subanji, dan Santi IrawatiUniversitas Negeri Malang

E-mail: [email protected]; [email protected]; [email protected]

ABSTRAK : Penelitian ini mengkaji proses koneksi matematika siswa dalam menyelesaikanmasalah berdasarkan pemahaman Skemp, yakni pemahaman relasional dan pemahamanintrumental. Proses koneksi matematika yang terjadi dikaji dengan cara memberikan LembarTugas Individu (LTI) dan wawancara sesuai dengan tahapan Polya. Pengambilan data penelitianmenggunakan metode Think-Out-Loud (TOL). Hasil penelitian menunjukkan bahwa pada LTInomor 1, semua subjek kelompok berkategori pemahaman relasional, dan pada LTI nomor 2,subjek kelompok 1 memiliki pemahaman relasional, sedangkan subjek kelompok 2 memilikipemahaman instrumental. Proses koneksi matematika subjek dengan pemahaman relasional dapatmengontruksi hubungan antar konsep matematika, baik antar materi matematika, dan di dalammateri matematika, sedangkan proses koneksi matematika subjek dengan pemahaman instrumentaldapat mengontruksi hubungan antar konsep matematika, baik antar materi matematika, dan didalam materi matematika setelah diberikan stimulus ide penyelesaian.

Kata kunci: Koneksi Matematika, Menyelesaikan Masalah, Pemahaman Skemp

PendahuluanNCTM (dalam Walle, 2007). Prinsip

pembelajaran menyatakan bahwa “para siswaharus belajar matematika dengan pemahaman,secara aktif membangun pengetahuan baru daripengalaman dan pengetahuan sebelumnya.Sedangkan prinsip pengajaran menyatakan“mengajar matematika yang efektifmemerlukan pemahaman tentang apa yangsiswa ketahui dan perlukan untuk belajar dankemudian memberi tantangan dan mendukungmereka untuk mempelajarinya dengan baik”.

Prinsip-prinsip di atas, mengindikasikanbahwa penting siswa memahami pengetahuansebelumnya untuk membangun pengetahuanyang baru. Siswa perlu berfikir aktif untukdapat belajar, di dalam kelas siswa harusdidorong untuk bergulat dengan ide baru,mencari koneksi antar ide dan menganalisaidenya sendiri maupun ide temannya. Hal inisesuai dengan pendapat House, et. all (dalamWalle, 2007) yang mendefinisikan pemahamansebagai ukuran kualitas dan kuantitashubungan suatu ide dengan ide yang telah ada.Pemahaman tergantung pada ide yang sesuaiyang telah dimiliki dan tergantung padapembuatan hubungan baru antar ide.

Selanjutnya, Skemp (1976) membedakanmenjadi dua macam pemahaman, yaknipemahaman relasional dan pemahamaninstrumental. Pemahaman relasionaldidefinisikan sebagai “knowing what to do and

why” dan pemahaman instrumentaldidefinisikan sebagai “rules without reasons.”

Tahun 1987, Skemp merevisipengkategorian dan definisi tentangpemahaman dengan memasukkan komponenpemahaman formal, di samping pemahamaninstrumental dan pemahaman relasional.Skemp mendefinisikan:

Instrumental understanding is theability to apply an appropriateremembered rule to the solution of aproblem without knowing why the ruleworks.Relational understanding is the abilityto deduce specific rules or proceduresfrom more general mathematicalrelationships. Formal understanding isthe ability to connect mathematicalsymbolism and notation with relevantmathematical ideas and to combinethese ideas into chains of logicalreasoning.

Dari definisi ini terlihat bahwa istilah“knowing” dalam definisi sebelumnya, digantidengan istilah “ability”. Jadi menurut Skemp,pemahaman merupakan kemampuan (ability).

Selanjutnya Skemp (1987) menulis “toundertand something means to assimilate itinto an appropriate schema.” Jadi terlihatadanya perbedaan antara pemahaman denganmemahami sesuatu. Pemahaman dikaitkandengan “kemampuan (ability),” dan memahamisesuatu dikaitkan dengan “asimilasi” dan


177

“suatu skema yang cocok (an appropriateschema)”. Skema diartikan oleh Skemp sebagaigrup konsep-konsep yang saling terhubung,masing-masing konsep dibentuk dari abstraksisifat-sifat yang invarian dari input sensorimotor atau dari konsep lainnya. Hubunganantara, konsep-konsep ini dikaitkan oleh suaturelasi atau transformasi.

Lebih lanjut Skemp menyatakanpemahaman instrumental sejatinya belumtermasuk pada kategori pemahaman,sedangkan pemahaman relasional memangbenar sudah termasuk pada kategoripemahaman; sebagaimana dinyatakan olehSkemp (1989) sebagai berikut :

… by calling them ‘relationalunderstanding’ and ‘instumentalunderstanding’. By the former is meantwhat I, and probably most readers ofthis article, have always meant byunderstanding: knowing both what to doand why. Instrumental understanding Iwould until recantly not have regardedas understanding at all. It is what I havein the past described as ‘rules withoutreasons’.

Siswa yang berusaha memahami secararelasional akan mencoba mengaitkan konsepbaru dengan konsep-konsep yang dipahamiuntuk dikaitkan dan kemudian merefleksikeserupaan dan perbedaan antara konsep barudengan pemahaman sebelumnya.

Teori yang menyarankan bahwa anak-anak harus aktif dalam mengembangkanpemahamannya adalah teori kontruktivisme.Konstruktivisme menolak bahwa anak-anakadalah lembaran putih yang kosong. Anak-anaktidak menyerap ide-ide yang diberikangurunya, tetapi mereka adalah kreatorpengetahuan (Walle, 2007). Prinsip dasarnyaadalah anak-anak mengkontruksi sendiripengetahuannya, untuk mengkontruksi sesuatudalam dunia nyata diperlukan alat-alat, bahandan usaha. Begitu pula dengan bagaimana kitamengkonstruksi suatu ide. Alat-alat yangdiperlukan untuk membangun pemahamanadalah ide-ide yang telah ada, yaknipengetahuan yang telah dimiliki.

Gambar di atas adalah metafora untukpengkontruksian ide Walle (2007). Titik-titikbiru menyatakan ide-ide yang telah ada. Titikmerah adalah ide yang muncul, yakni ide yangdikontruksi. Apa saja ide-ide (titik-titik) yangdigunakan dalam pengontruksian perludikaitkan dengan ide-ide baru, karena ide-idebaru tersebutlah yang memberi arti terhadapide-ide yang telah ada. Anak yang satu denganyang lainnya akan menggunakan ide yangberbeda untuk memberi arti terhadap ide baruyang sama, yang penting adalah bahwapengontruksian sebuah ide hampir pasti akanberbeda bagi setiap anak, meskipun dalamsuasana atau kelas yang sama.

Lebih lanjut standar proses dalam NCTM(2000), yang menguraikan tentang ide adalahstandar koneksi, yakni standar yang berkenaandengan hubungan di dalam dan antar idematematika, dengan tujuan membantu siswamelihat bagaimana suatu ide dalam matematikadibangun di atas ide lain. Koneksi matematikadiilhami oleh karena ilmu matematika tidaklahterpartisi dalam berbagai topik yang salinglepas, namun matematika merupakan satukesatuan. Siswa yang mampu mengkaitkan ide-ide matematika diyakini pemahamanmatematikanya akan semakin dalam danbertahan lama karena mereka mampu melihatketerkaitan antar topik di dalam matematika,dengan konteks selain matematika, dan denganpengalaman hidup sehari-hari.

Dalam mengkaji proses koneksimatematika dalam menyelesaikan masalah,didasarkan pada proses pemahaman Skemp,baik itu pemahaman relasional maupunpemahaman instrumental. Dengan demikianproses koneksi matematika terjadi pada prosespemahaman, karena disebutkan bahwapemahaman tergantung pada ide yang sesuaiyang telah dimiliki dan tergantung padapembuatan hubungan baru antar ide. Hal iniberkaitan dengan ungkapan Mousley (2004)yang mengatakan terjadinya proses koneksi didalam pemahaman diantara aspek pengalaman,pengetahuan, dan skill.

Proses koneksi matematika dalammenyelesaikan masalah berdasarkanpemahaman Skemp diperoleh dari wawancarapenyelesaian masalah dengan tahapan Polya.Proses koneksi metematika dikajimenggunakan “mapping mathematics”(Eisenmann dan Otten, 2011), dan “ConceptMaps” (McGowen dan Tall, 1999), sedangkanproses pemahaman skemp dikaji menggunakan“jaringan ide” (Walle, 2007).

Gambar 1. Pengkontruksian ide-ide


178

METODEPendekatan penelitian ini adalah

pendekatan penelitian kualitatif, dan jenispenelitian ini adalah penelitian kualitatifeksploratif. Bertempat di SMK PGRI 7Malang. Data yang akan dikumpulkanmeliputi: a) lembar jawaban subjek penelitian,dan b) hasil rekaman suara subjek penelitian.Sumber data adalah siswa kelas XII yangterdiri dari 3 orang siswa. Instrumen utamaadalah peneliti sendiri yang dipandu denganlembar tugas individu. Data-data dikumpulkandengan menggunakan metode think out lounds(Olson, Duffi, dan Mack, 1988). Selama proseswawancara, masing-masing subjek dimintamengungkapkan dengan keras apa yang iapikirkan dalam menyelesaikan lembar tugasindividu. Peneliti merekam ungkapan masing-masing subjek selama proses penyelesaianlembar tugas individu, mulai dari tahapmemahami soal sampai dengan memeriksakembali hasil penyelesaian. Data yangterkumpul, dianalisis menggunakan teknikmodel alir (flow model) dengan tahap: a)mereduksi, b) menyajikan data, c) menarikkesimpulan (Miles dan Huberman, 1994).

HASIL DAN PEMBAHASANHasil kajian dan pendeskripsian dalam

penelitian ini, akan dipaparkan kelompoksubjek penelitian yang memiliki karateristikyang berbeda. Karakteristik subjek dalampenelitian ini, antara lain subjek kelompok 1,

yang terdiri dari S1, dan S2, dan subjekkelompok 2, yakni S3.Proses koneksi matematika berdasarkanpemahaman Skemp

Pemahaman subjek dicari denganmewawancarai masing-masing subjek sesuaidengan tahapan Polya, wawancara inidilakukan setelah memberikan dan mengoreksihasil jawaban subjek dalam menjawab LTItersebut. Hasil wawancara yang dipaparkansebanyak 2 subjek saja, yakni: S1 dari subjekkelompok 1, dan S3 dari subjek kelompok 2.Hasil yang diperoleh sebagai berikut:Subjek 1 (S1)

Pemahaman yang dimiliki S1 dalammenyelesaikan LTI nomor 1 adalahpemahaman relasional. Terlihat dari caramencari titik perpotongan dua garis yangmemenuhi persamaan − 2 = 4 dan 3 +2 = 8 menggunakan sifat invers matriks,metode grafik, dan mengetahui cara mencarititik perpotongan dua garis tersebutmenggunakan metode subtitusi dan eliminasi;mencari gradien garis yang tegak lurusdengan menganggap bahwa titik adalah titikasal yang berkoordinat (0,0); mencaripersamaan garis dari yang melalui titik(2,2) dan tegak lurus pada ; dan memeriksakembali hasil jawaban yang diperoleh. Bentukpemahaman yang dimaksud dapat dilihat darigambar di bawah ini:

1

1a

1b

1c

1d

1e

2a1

2a2

2a

2

33a

3b

4

4d

4b

4c

4e

4a

Gambar 3. Proses koneksi matematika S1 dalam menyelesaikan LTI nomor 1 berdasarkanpemahaman Skemp.

1

1

M

1

2

3

5

2

34

4

S

2

3

4

6


179

Keterangan

Simbol Arti simbol No ArtinyaSoal 1 jika titik merupakan titik perpotongan dua garis yang memenuhi

persamaan − 2 = 4 dan 3 + 2 = 8 dan garis adalah garisyang melalui titik dan titik , maka persamaan garis dari yangmelalui (2,2) dan tegak lurus pada adalah ...

Ide-idepenyelesaian

1 titik1a sifat invers matriks1b metode grafik1c metode subtitusi1d metode eliminasi1e metode determinan

2 gradien garis2a gradien atau2a1 titik2a2 titik

3 persamaan garis3a titik (2,2)3b gradien garis

4 memeriksa kembali hasil jawaban4a subtitusi nilai , ke dalam matriks =4b subtitusi nilai , ke dalam persamaan − 2 = 4 dan 3 + 2 = 84c menjabarkan persamaan garis untuk mendapatkan gradien4d subtitusi ke dalam sifat gradien garis tegak lurus = −1

untuk mendapatkan gradien atau gradien4e subtitusi dan titik ke dalam= −−

Arah

Keterangan

Simbol Arti simbol No ArtinyaDiketahui 1 persamaan 1 dan persamaan 2

2 garis3 tegak lurus4 garis melalui titik (2,2)

Koneksi antarkonsep

1 sifat invers matriks2 metode subtitusi3 metode eliminasi4 metode grafik5 titik (0,0)6 grafik persamaan garis

Hasil 1 titik potong A2 gradien3 gradien yang tegak lurus atau gradien garis yang tegak lurus4 persamaan garis

Koneksi antarmateri

- mengubah bentuk SPL2V menjadi bentuk matriks

Stimulus - metode determinan

Mulai/selesai M MulaiS Selesai

Operasi


180

ArahPemahamanskemp

Pemahaman relasional

Dari pemahaman yang dimiliki S1, dapatdikaji proses koneksi matematika dalammenyelesaikan masalah berdasarkanpemahaman relasional, yakni: S1 dapatmenghubungkan konsep materi SPL2V dengankonsep materi sifat invers matriks;menghubungkan antar konsep (metodesubtitusi, metode eliminasi, dan grafik),mengetahui kembali hubungan konsep materiSPL2V dengan konsep materi matriks setelahdiberikan stimulus solusi penyelesaian SPL2Vmenggunakan metode determinan; mencarigradien garis yang tegak lurus denganmenganggap bahwa titik adalah titik asalyang berkoordinat (0,0).

Selanjutnya pemahaman yang dimiliki S1dalam menyelesaikan LTI nomor 2 adalahpemahaman relasional. Terlihat dari caramencari nilai dengan menggunakan metodepenyelesaian persamaan kuadrat (faktorisasi,dan rumus kuadrat); mencari nilai denganmensubtitusi nilai ke dalam persamaan1 + + = 13 atau 1 + + = 13;mencari nilai menggunakan rumus suku ke-

barisan aritmetika dan sifat selisih barisanaritmetika; mencari det( ) denganmensubtitusikan nilai , , ke dalam matriks

; dan memeriksa hasil jawaban denganmensubtitusikan nilai , ke dalam persamaan1 + + = 13 atau 1 + + = 13,kemudian mencocokkan dengan rasio barisangeometri yang selalu tetap; mensubtitusi nilai, ke dalam konsep selisih barisan aritmetika;mengecek nilai = 3 dan = 9 menggunakanrumus suku ke-n barisan geometri; mengecekkebenaran pernyataan ‘bilangan positif 1, ,membentuk barisan geometri berjumlah 13’menggunakan rumus jumlah suku deretgeometri; mengecek nilai = 3 adalah sukutengah dari bilangan positif 1, , membentukbarisan geometri berjumlah 13’ menggunakanrumus suku tengah barisan geometri; danmengecek nilai = 5 dari bilangan positif1, , yang membentuk barisan aritmetikamenggunakan rumus suku tengah barisanaritmetika. Bentuk pemahaman yang dimaksuddapat dilihat dari gambar di bawah ini:

11a2

1a

1a1

ba

2a

2

33a

3b

5

5d

5b

5c 5e

5a

c d 4 4a

5f

2

M

2

1

1

1

S

Gambar 4. Proses koneksi matematika S1 dalam menyelesaikan masalah LTI nomor 2berdasarkan pemahaman Skemp.

2

2 3

4

3

5

4

312

7

6

8

91


181

KeteranganSimbol Arti simbol No Artinya

Soal 1 pada matriks = 1 , jika bilangan positif 1, , membentuk

barisan geometri berjumlah 13 dan bilangan positif 1, ,membentuk barisan aritmetika. Maka determinan matriks adalah ...

Ide-idepenyelesaian

1 nilai suku1a rasio barisan geometri1a1 perkalian bilangan berpangkat1a2 persamaan kuadrat

a metode faktorisasib metode rumus kuadratc metode melengkapi kuadratd metode grafik

2 nilai suku2a mensubtitusi nilai ke dalam persamaan 1 + + = 13 atau 1 ++ = 13

3 nilai suku3a rumus suku ke-n barisan aritmetika3b selisih barisan aritmetika

4 det( )subtitusi nilai suku , , ke dalam matriks

5 memeriksa kembali hasil jawaban5a subtitusi nilai , ke dalam persamaan 1 + + = 13 atau 1 ++ = 135b subtitusi nilai , ke dalam konsep selisih barisan aritmetika5c mengecek nilai = 3 dan = 9 menggunakan rumus suku ke-n

barisan geometri5d mengecek kebenaran pernyataan ‘bilangan positif 1, , membentuk

barisan geometri berjumlah 13’ menggunakan rumus jumlah sukuderet geometri

5e mengecek nilai = 3 adalah ‘suku tengah dari bilangan positif 1, ,membentuk barisan geometri berjumlah 13’ menggunakan rumussuku tengah barisan geometri

5f mengecek nilai = 5 dari bilangan positif 1, , yang membentukbarisan aritmetika menggunakan rumus suku tengah barisanaritmetika

Arah

Keterangan:

Simbol Arti simbol No ArtinyaDiketahui 1 matriks

2 bilangan positif 1, , membentuk barisan geometri berjumlah 13.3 bilangan positif 1, , adalah barisan aritmetika.

Koneksi antarkonsep

1 rasio barisan geometri selalu tetap2 metode faktorisasi3 rumus kuadrat4 suku ke- barisan aritmetika5 selisih atau beda barisan aritmetika selalu tetap6 suku ke- barisan geometri7 jumlah deret geometri8 suku tengah deret geometri9 suku tengah deret aritmetika


182

Hasil 1 nilai suku = 32 nilai suku = = 3 = 93 nilai suku = 54 det( ) = −6

Koneksi antarmateri

1 perkalian bilangan berpangkat

2 persamaan kuadrat

Stimulus 1 metode melengkapi kuadrat

2 metode grafik

Mulai/selesai M MulaiS Selesai

Operasi

ArahPemahaman skemp pemahaman relasional

Dari pemahaman yang dimiliki S1, dapatdikaji proses koneksi matematika dalammenyelesaikan masalah berdasarkanpemahaman relasional, yakni: S1 dapatmenghubungkan konsep materi rasio barisangeometri ke konsep materi perkalian bilanganberpangkat yang menghasilkan konseppersamaan kuadrat, kemudianmenyelesaikannya dengan konsep metodefaktorisasi dan rumus kuadrat; mengecekkembali nilai , menggunakan rumus sukuke- barisan geometri; mengecek kebenaranbilangan positif 1, , yang membentukbarisan geometri berjumlah 13 menggunakanrumus jumlah suku deret geometri; mencarinilai dengan menghubungkan konsep selisihbarisan aritmetika, dan menyelesaikan denganrumus suku ke-n barisan aritmetika. Mengecekkembali nilai menggunakan rumus sukutengah barisan aritmetika; dan terakhir mencarideterminan matriks .

Subjek 3 (S3)

Pemahaman yang dimiliki S3 dalammenyelesaikan LTI nomor 1 adalahpemahaman relasional. Terlihat dari caramencari titik perpotongan dua garis yangmemenuhi persamaan − 2 = 4 dan 3 +2 = 8 menggunakan metode subtitusi, metodegrafik, dan metode eliminasi; mencari gradiengaris yang tegak lurus dengan menganggapbahwa titik (0,0); mencari persamaan garisdari yang melalui titik (2,2) dan tegaklurus pada ; dan memeriksa kembali hasiljawaban yang diperoleh (subtitusi nilai , kedalam persamaan 1 dan 2; menjabarkanpersamaan garis sehingga diperoleh ;subtitusi ke sifat gradien dua garis yangtegak lurus untuk mendapat ; subtitusi nilai

dan titik (0,0) ke dalam konseppenyelesaian gradien dua garis untukmendapatkan nilai , ). Bentuk pemahamanyang dimaksud dapat dilihat dari gambar dibawah ini:

1

1a

1b

1c

2a12a2 2a

2

33a

3b

4

4d

4b

4c4a

Gambar 5. Proses koneksi matematika S3 dalam menyelesaikan LTI nomor 1 berdasarkan

1

1

M

12

3

4

2

34

4

S

23


183

KeteranganSimbol Arti simbol No Artinya

Soal 1 jika titik merupakan titik perpotongan dua garis yang memenuhipersamaan − 2 = 4 dan 3 + 2 = 8 dan garis adalah garisyang melalui titik dan titik , maka persamaan garis dari yangmelalui (2,2) dan tegak lurus pada adalah ...

Ide-idepenyelesaian

1 titik1a metode subtitusi1b metode grafik1c metode eliminasi

2 gradien garis2a gradien atau2a1 titik2a2 titik

3 persamaan garis3a titik (2,2)3b gradien garis

4 memeriksa kembali hasil jawaban4a subtitusi nilai , ke dalam persamaan − 2 = 4 dan 3 + 2 =84b menjabar persamaan garis untuk mendapatkan gradien4c subtitusi ke dalam sifat gradien garis tegak lurus = −1

untuk mendapatkan gradien atau gradien4d subtitusi dan titik ke dalam =

Arah

Keterangan:Simbol Arti simbol No Artinya

Diketahui 1 persamaan 1 dan persamaan 22 garis3 tegak lurus4 garis melalui (2,2)

Koneksi antar konsep 1 metode subtitusi2 metode eliminasi3 metode grafik4 titik (0,0)

Hasil 1 titik potong A2 gradien3 gradien garis yang tegak lurus4 persamaan garis

Mulai/selesai M mulaiS selesai

Operasi

Arahpemahaman skemp pemahaman relasional

Dari pemahaman yang dimiliki S3, dapatdikaji proses koneksi matematika S3 dalammenyelesaikan masalah berdasarkanpemahaman relasional, yakni: S3menggunakan hubungan antarkonsepmatematika, yaitu mencari nilai dandengan menggunakan metode subtitusi, dan

metode grafik; mencari gradien garis yangtegak lurus; mencari persamaan garis yangmelalui titik (2,2) dan tegak lurus pada garis

.Selanjutnya pemahaman yang dimiliki

dalam menyelesaikan LTI nomor 2 adalahpemahaman instrumental. Terlihat dari caramencari nilai , dengan menggunakan metode


184

coba-coba kemudian mencocokkan denganrasio barisan geometri yang selalu tetap,sehingga memungkinkan peneliti untukmemberikan stimulus agar S3 dapatmenyelesaikan LTI seperti subjek lainnya; darihasil mencoba-coba tersebut S3 dapat mencari

nilai menggunakan sifat selisih barisanaritmetika; kemudian mencari det( ) denganmensubitusikan nilai , , ke dalam matriks

. Bentuk pemahaman yang dimaksud dapatdilihat dari gambar di bawah ini:

Keterangan

Simbol Arti simbol No ArtinyaSoal 1 pada matriks = 1 , jika bilangan positif 1, , membentuk

barisan geometri berjumlah 13 dan bilangan positif 1, , membentukbarisan aritmetika. Maka determinan matriks adalah ...

Ide-idepenyelesaian

1 nilai suku dan1a subtitusi > 1 ke persamaan 1 + + = 13, kemudian dicocokkan

dengan rasio barisan geometri2 nilai suku

2a selisih barisan aritmetika2b rumus suku ke-n barisan aritmetika

3 det( )3a subtitusi nilai suku , , ke dalam matriks

4 memeriksa kembali hasil jawaban4a subtitusi nilai , ke dalam persamaan 1 + + = 134b subtitusi nilai dan ke bentuk sifat selisih barisan aritmetika yang

selalu tetap.Arah

11a

2a

2

3

3a

3b4

3a

2b

Gambar 6. Proses koneksi matematika S3 dalam menyelesaikan LTI nomor 2 berdasarkanpemahaman Skemp.

M

21

1

3

4S

22

13

4

5

6

7

8

9

3


185

Keterangan:

Simbol Arti simbol No ArtinyaDiketahui 1 matriks

2 bilangan positif 1, , membentuk barisan geometri berjumlah13.

3 bilangan positif 1, , adl barisan aritmetika.Koneksi antar konsep 1 rasio barisan geometri selalu tetap

2 metode faktorisasi3 rumus kuadrat (tapi lupa)4 selisih atau beda barisan aritmetika selalu tetap5 suku ke-n barisan aritmetika6 suku ke-n barisan geometri7 jumlah n deret geometri8 suku tengah deret geometri9 suku tengah deret aritmetika

Hasil 1 nilai a=32 nilai c=a2=32=93 nilai b=54 determinan matriks A=-6

Stimulus - persamaan kuadrat

Coba-coba mengambil sebarang nilai a>1

Mulai/selesai M mulaiS selesai

Arahoperasi

Pemahaman skemp Pemahaman instrumental

Dari pemahaman yang dimiliki S3. Terlihat S3 menggunakan cara coba-coba untuk mencarinilai dan mensubtitusikan nilai ke 1 + + = 13 dengan tujuan untuk mendapatkan nilai ,kemudian mencocokkannya dengan konsep rasio barisan geometri; S3 mencari nilai denganmenghubungkan konsep barisan aritmetika dengan selisih atau beda dari suatu barisan aritmetika;dan terakhir menyelesaikan permasalahan determinan matriks .PEMBAHASAN

Hasil analisis LTI diperoleh bentuk proses koneksi matematika dalam menyelesaikanmasalah berdasarkan pemahaman Skemp subjek kelompok, yakni:LTI nomor 1

Ide-ide Penyelesaian Subjek Kelompok 1S1

Subjek Kelompok 2Subjek 3

Mencari titik menggunakan sifat invers matriks,metode grafik, metode subtitusi,dan eliminasi; stimulus metodedeterminan

menggunakan metode subtitusi,metode grafik, dan metodeeliminasi

Mencari gradienyang tegak lurus

titik (0,0), dan memperhatikansyarat gradien dua garis yangtegak lurus

titik (0,0), dan memperhatikansyarat gradien dua garis yangtegak lurus.

Mencari persamaangaris

− 6 + 10 = 0 = 2(3 − 5)Memeriksa kembalihasil pekerjaan

subtitusi nilai , ke dalammatriks = ;subtitusi nilai , ke dalam subtitusi nilai , ke dalam


186

persamaan − 2 = 4 dan 3 +2 = 8;menjabarkan persamaan garisuntuk mendapatkan gradien ;

subtitusi ke dalam sifatgradien garis yang tegak lurus= −1 untuk mendapatkangradien atau gradien ;

subtitusi dan titik kedalam= −−

persamaan − 2 = 4 dan 3 +2 = 8;menjabarkan persamaan garisuntuk mendapatkan gradien ;

subtitusi ke dalam sifatgradien garis yang tegak lurus= −1 untuk mendapatkangradien atau gradien ;

subtitusi dan titik ke dalam= −−Kriteria pemahamanskemp

Pemahaman relasional Pemahaman relasional

Dari bentuk ide-ide penyelesaian masing-masing kelompok dapat dikatakan bahwa subjekkelompok 1 dan kelompok 2 memiliki pemahaman Skemp yang sama, yakni pemahamanrelasional.

LTI nomor 2Ide-ide Penyelesaian Subjek Kelompok 1

S1Subjek Kelompok 2

S3Mencari nilai suku Menggunakan metode faktorisasi, rumus

kuadrat, dan stimulus cara penyelesaianmenggunakan metode melengkapikuadrat, dan grafik

mencocokkan sebarang bilanganpositif nilai > 1

Mencari nilai suku subtitusi nilai ke dalam persamaan1 + + = 13 atau 1 + + = 13 hasil pencocok-an sebarang bilanganpositif nilai > 1

Mencari nilai suku menggunakan rumus suku ke-n barisanaritmetika dan sifat selisih barisanaritmetika

menggunakan konsep selisih barisanaritmetika

Mencari det( ) mensubtitusikan nilai suku , , kedalam matriks

mensubtitusikan nilai suku 1, , ,ke dalam matriks

Memeriksa kembali hasilpekerjaan

subtitusi nilai , ke dalam persamaan1 + + = 13 atau 1 + + = 13;subtitusi nilai , ke dalam konsepselisih barisan aritmetika;

mengecek nilai = 3 dan = 9menggunakan rumus suku ke-n barisangeometri;mengecek kebenaran pernyataan‘bilangan positif 1, , membentukbarisan geometri berjumlah 13’menggunakan rumus jumlah suku deretgeometri;

mengecek nilai = 3 adalah ‘sukutengah dari bilangan positif 1, ,membentuk barisan geometri berjumlah13’ menggunakan rumus suku tengahbarisan geometri;

subtitusi nilai , ke dalampersamaan 1 + + = 13;subtitusi nilai dan ke bentuk sifatselisih barisan aritmetika yang selalutetap.


187

dan mengecek nilai = 5 dari bilanganpositif 1, , yang membentuk barisanaritmetika menggunakan rumus sukutengah barisan aritmetika

kriteria pemahamanskemp

Pemahaman relasional Pemahaman instrumental

Bentuk pemahaman masing-masing subjekkelompok memberi gambaran pengetahuanyang telah dimiliki subjek dalammenyelesaikan suatu masalah, karena rata-ratasubjek dalam penelitian ini sanggup menjawabpertanyaan yang disajikan dalam LTI penelitianini. Ini menunjukkan bahwa prosespembelajaran akan lebih mudah dipelajari dandipahami seorang kreator jika para fasilitatormampu memberi kemudahan kepada kreatorsedemikian sehingga para kreator dapatmengkaitkan pengetahuan yang baru denganpengetahuan yang sudah dimilikinya. Hal inisependapat dengan ungkapan Ausubel (dalamOrton 2004: 24): “If had to reduce all ofeducational psychology to just on principle, Iwould say this: the most important single factorinfluencing learning is what the learneralready knows. Ascertain this and teach himaccordingly.”

Jadi dengan memperhatikan pengetahuanyang dimiliki sebelumnya dapat mencegahsiswa belajar dengan hafalan. Hal ini sesuaidengan ungkapan Bell (dalam Shadiq 2012: 7);“…, if the learner’s intention is to memorise itverbatim, I, e., as a series of arbitrary relatedword, both the learning process and thelearning outcome must necessarily be rote andmeaningless.”

Pengetahuan atau pengalaman baru yangdiperoleh dapat berkaitan dengan pengetahuanlama siswa. Hal ini sesuai dengan definisipemahaman menurut Back House, et.al (dalamWalle, 2007) “understanding can be defined asa measure of the quality and quantity ofconnections that an idea has with existingideas. Understanding is never an all or nothingproposition. It depends on the existence ofappropriate ideas and on the creation of newconnections.”

Proses koneksi matematika dalam menyelesaikan masalah berdasarkan Pemahaman Skemp.Dari pentuk pemahaman yang dimiliki dapat dikaji proses koneksi masing-masing subjek

kelompok, yakni sebagai berikut:LTI nomor 1

Indikatorkoneksi

Subjek Kelompok 1S1

Subjek Kelompok 1S3

Mencari titik menghubungkan konsep materi SPL2Vdengan konsep sifat invers matriks; dankonsep penyelesaian SPL2V menggunakanmetode subtitusi, eliminasi, dan grafik

menggunakan konsep penyelesaianSPL2V, yakni metode subtitusi, eliminasi,dan grafik

Mencari gradienyang tegak

lurus

menggunakan konsep sifat gradien duagaris yang tegak lurus, dan titik (0, 0)adalah titik pusat

menganggap titik (0,0), danmemperhatikan syarat gradien dua garisyang tegak lurus

LTI nomor 2Indikatorkoneksi

Subjek Kelompok 1S1

Subjek Kelompok 1S3

Mencari nilaisuku

menghubungkan konsep rasio barisangeometri dengan konsep perkalianbilangan berpangkat, sehinggamenghasilkan persamaan kuadrat,kemudian menyelesaikan denganmenggunakan metode faktorisasi, danmetode rumus kuadrat.

menghubungkan konsep rasio barisangeometri dengan perkalian bilanganberpangkat, sehingga menghasilkan konseppersamaan kuadrat; kemudianmenyelesaikannya dengan metodefaktorisasi(stimulus)

Mencari nilaisuku

subtitusikan nilai suku ke dalam deret:1 + + = 1 subtitusikan nilai suku ke dalam deret:1 + + = 13


188

(stimulus)Mencari nilaisuku

menggunakan konsep suku ke-n barisanaritmetika, dan konsep selisih barisanaritmetika

menggunakan konsep selisih barisanaritmetika dengan suku ke-n barisanaritmetika

Dari tabel di atas memperlihatkan hasilanalisis lembar jawaban tugas individu masing-masing subjek kelompok penelitianmenunjukkan adanya perbedaan proses koneksimatematika di dalam menyelesaikan masalah.Disebabkan karena informasi tentang suatumateri yang dimiliki oleh subjek tidak mampumembantu mengonstruksi suatu materi yangbaru. Sehingga penting untuk membangunpemahaman siswa tentang hubungan antar ide-ide matematika. Hal ini sesuai denganungkapan Knut (2000) bahwa denganmengkoneksikan materi matematika dapatmembangun pemahaman siswa tentang adanyahubungan internal di dalam matematika.Hubungan internal matematika meliputihubungan antara topik dalam matematika itusendiri. Hal yang sama juga diungkapkan olehLawson (2000) bahwa penting untukmembantu siswa untuk mengetahui koneksiyang terjadi di dalam setiap materi untukmenyelesaikan permasalahan.

Membangun pemahaman siswa diperlukanmaterial, yakni ide-ide matematikasebelumnya. Ide-ide matematika itu sendiridiperoleh dari pengalaman siswa dalammenyelesaikan masalah. Kemampuanmenyelesaikan masalah dapat dikembangkandengan: a) mengajari siswa dengan berbagaistrategi; b) memberikan waktu yang cukupuntuk siswa mencoba soal yang ada; c)mengajak siswa untuk menyelesaikan dengancara lain; d) mengajak siswa untuk melihatkembali, melihat kemungkinan yang lain,mengatakan dengan bahasa sendiri, kemudianmengajak untuk mencari penyelesaian dengancara yang lebih baik; e) jika berhadapan denganmateri sulit, tidak berarti harus menghindar.Tetapi gunakan cukup waktu untuk mengulangdan mengerjakan soal yang lebih banyak.Mulailah dengan mengerjakan soal serupa, dankemudian soal-soal yang lebih menantang.

Ini berkaitan dengan penelitian yangdilakukan oleh Dodson dan Hollander (dalamBudi, 2006) yang mana menurut mereka,kemampuan menyelesaikan masalah yangharus ditumbuhkan adalah: a) kemampuanmengerti konsep; b) kemampuan untukmencatat kesamaan, perbedaan, dan analogi; c)kemampuan untuk mengidentifikasi elementerpenting dan memilih prosedur yang benar; d)

kemampuan untuk mengetahui hal yang tidakberkaitan; e) kemampuan untuk menaksir danmenganalisis; f) kemampuan untukmemvisualisasikan dan menginterpretasikuantitas atau ruang; g) kemampuan untukmemperumum berdasarkan beberapa contoh; h)kemampuan untuk mengganti metode yangtelah diketahui; i) mempunyai kepercayaan diriyang cukup dan merasa senang terhadapmaterinya.

PENUTUPKesimpulan

Pemahaman masing-masing subjekkelompok pada proses penyelesaian LTI nomor2 berbeda, yakni: Subjek kelompok 1 memilikipemahaman relasional, dan Subjek kelompok 2memiliki pemahaman instrumental; terdapatide penyelesaian yang belum dikenal subjek,memungkinkan peneliti memberikan stimuluside penyelesaian.

Proses koneksi matematika yang terjadidalam menyelesaian masalah berdasarkanpemahaman relasional dan pemahamaninstrumental. Proses koneksi matematika dalammenyelesaikan masalah berdasarkanpemahaman relasional, yakni proses koneksimatematika S1, dan S3 dalam menyelesaikanLTI nomor 1, yakni: a) koneksi antar materimatematika, yakni: mencari titik potongdengan menghubungkan konsep materi SPL2Vdengan konsep materi sifat invers matrik yangdibuat oleh S1; b) koneksi antar konsepmatematika, yakni mencari titik potongdengan menghubungkan konsep SPL2Vdengan konsep metode subtitusi, eliminasi, dangrafik; mencari gradien garis yang tegaklurus dengan memperhatikan konsep sifatgradien dua garis yang tegak lurus, dan titik(0, 0) adalah titik pusat, yang dibuat oleh S1,dan S3.

Proses koneksi matematika dalammenyelesaikan masalah berdasarkanpemahaman relasional dalam menyelesaikanLTI nomor 2, yakni: a) koneksi antar materimatematika, yakni: S1 mengkoneksikan konseprasio barisan geometri dengan konsep perkalianbilangan berpangkat, sehingga menghasilkanpersamaan kuadrat; kemudian mencari nilaisuku menggunakan metode faktorisasi, danmetode rumus kuadrat atau rumus ABC; b)koneksi antar konsep matematika, yakni: S1mencari nilai suku menggunakan konsep


189

suku ke-n barisan aritmetika, dan konsepselisih barisan aritmetika.

Proses koneksi matematika dalammenyelesaikan masalah berdasarkanpemahaman instrumental, yakni proses koneksimatematika S3 dalam menyelesaikan LTInomor 2, yakni: a) tidak terdapat koneksi antarmateri matematika, dikarenakan S3 hanyamemakai cara coba-coba untuk mencari nilaidan . Namun setelah diberikan stimulus idepenyelesaian oleh peneliti, S3 mampumengkoneksikan konsep rasio barisan geometridengan perkalian bilangan berpangkat,sehingga menghasilkan konsep persamaankuadrat; kemudian menyelesaikannya denganmenggunakan konsep penyelesaian daripersamaan kuadrat (faktorisasi); b) koneksiantar konsep matematika, yakni: mencari nilaisuku menggunakan konsep suku ke-n barisanaritmetika, dan konsep selisih barisanaritmetika.

SaranSaran dalam penelitian ini adalah: koneksi

matematika dalam menyelesaikan masalahantar materi matematika, dan antar konsepmatematika berdasarkan pemahaman Skemp,sehingga memungkinkan peneliti selanjutnyauntuk meneliti: 1) bagaimana proses koneksimatematika dalam menyelesaikan masalah lainberdasarkan pemahaman Skemp?, 2)bagaimana proses koneksi mata pelajaranmatematika dengan mata pelajaran lainberdasarkan pemahaman Skemp?, 3)pendekatan pembelajaran yang memungkinkansiswa untuk mengkomunikasikan ide-idepenyelesaian dengan temannya, danmenumbuhkan kemampuan: a) mengertikonsep; b) mencatat kesamaan, perbedaan, dananalogi; c) mengidentifikasi elemen terpentingdan memilih algoritma yang benar; d) untukmengetahui hal yang tidak berkaitan; e) untukmenaksir dan menganalisis; f) untuk menggantimetode yang telah diketahui.

DAFTAR PUSTAKA

Budi, W.S, 2006. Langkah Awal Menuju keOlimpiade Matematika, Jakarta: CVRicardo.

Eisenmann B.A & Otten S, 2011. MappingMathematics in Classroom Discourse.Journal for Research in MathematicsEducation, Vol. 42, No. 5, 451-485.

Knuth, E.J., 2000. Student Understanding ofthe Cartesian connection: anExploratory Study. Journal for research

in mathematics education. Vol. 31.No.4, 500-508.

Lawson, M.J., & Chinnappan, M. 2000.Knowledge Connectedness in GeometryProblem Solving, Journal for researchin mathematics education. Vol. 31.No.4, 26-43

Miles, B., & Huberman, M. 1994. Dataanalysis: An expanded source book.Thousand Oaks, CA: Sage

Mousley, J. 2004. An Aspect of MathematicalUnderstanding: The Notion of“Connected Knowing”. Proceedings ofthe 28th Conference of the InternationalGroup for the Psychology ofMathematics Education, Vol 3 pp 377–384.

National Council of Teacher Mathematics,2000. Principles and Standard forschool mathematics. Reston, VA:Autor.

Polya, G. 1973. How to Solve It. New Jersey:Princeton University.

Shadiq, F, 2012. Buletin LIMAS Edisi 30Nopember 2012. Yogyakarta: P4TKMatematika.

Skemp R, 1976. Relational and InstrumentalUnderstanding. Departemen ofEducation. University of Warwik.

Skemp R, 1987. Psychology of LearningMathematics. New Jersey: LawrenceErlbaum Associates.

Skemp R, 1989. Mathematics in The PrimarySchool. London: Routledge Falmer.

McGowen, M., & Tall, D, 1999. Concept Maps& Schematic Diagrams as Devices forDocumenting the Growth ofMathematical Knowledge. Published inProceedings of PME23, Haifa, Israel,July 1999, vol. 3, pp. 281–288.

Olson, G.M., Duffi, S.A, and Mack, R.L, 1988.Thinking-Out-Loud as a Method forStudying Real-Time ComprehensionProcesses. (pp. 253-286). Hills Dole,New Jersey. Lawrence ErlbaumAssociates, Publisher.

Orton A. 2004. Learning Mathematics: Issues,theory, and classroom practice.London-New York: Continuum.

Walle J.A. 2007: Elementary and MiddleSchool Mathematics. Boston: PearsonEducation, Inc.

Documents

PROSES KONEKSI MATEMATIKA SISWA SMK PGRI 7 …