PROSES PEMIKlRAN MATEMATIK PELAJAR DALAMPEMBELAJARAN TEKNIK KAMIRAN

NOR'AIN MOHD. TAJUDIN

JABATAN MATEMATIKFAKULTI SAINS DAN TEKNOLOGI

KOD PENYELIDlKAN UPSI: 04-15-41-03AKAUN PENYELIDlKAN UPSI: 051131

2004

ABSTRAK

Kajian ini terbahagi kepada 3 fasa, iaitu pertama, bertujuan untuk meninjau secara lebih mendalam tentangkemahiran pelajar dalam menyelesaikan persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah, kedua,mengenal pasti masalah yang dihadapi oleh pelajar dalam pembelajaran teknik kamiran dan ketigameninjau proses pemikiran pelajar dalam menilai suatu kamiran serta mengenal pasti kesukaran yangdihadapi oleh mereka dalam menilai suatu kamiran. Sampel kajian seramai 120 orang pelajar tahun 2Universiti Pendidikan Sultan Idris yang mengambil kursus Persamaan Pembezaan Permulaan padasemester 2 sesi 2003/2004 telah dipilih secara rawak. Instrumen bagi fasa 1 adalah Ujian 1 bagi kursusberkenaan. Fasa 2 pula menggunakan soal selidik terbuka tentang masalah pelajar dalam pembelajaranteknik kamiran. Fasa 3 pula dilaksanakan secara temu duga klinikal terhadap 15 pelajar berpencapaiancemerlang, sederhana dan lemah yang dipilih secara rawak daripada sampel fasa 1 dan merekamenyelesaikan 2 soalan kamiran secara "think-aloud". Dapatan kajian menunjukkan bahawa pelajar tidakdapat menyelesaikan persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah dengan betul, walaupun merekaboleh mencamkan bentuk persamaan yang diberikan. Ini adalah disebabkan oleh penguasaan pelajar yanglemah dalam teknik kamiran. Antara 3 masalah utama yang dihadapi oleh pelajar dalam pembelajaranteknik kamiran ialah sukar mengingati rumus dalam teknik kamiran, sukar memilih teknik kamiran yangsesuai dan tidak menguasai teknik karniran. Dapatan kajian juga menunjukkan bahawa proses pernikiranmatematik dalam pembelajaran teknik kamiran bagi pelajar berpencapaian cemerlang adalah baik. Merekadidapati dapat memikirkan strategi secara teratur dan mudah untuk membuat pernilihan teknik kamiranyang sesuai dan seterusnya dapat menilaikan kamiran dengan menggunakan cara yang betul dengan teknikpilihan mereka. Manakala, proses pernikiran pelajar berpencapaian sederhana dan lemah pula adalah lemahdalam pembelajaran teknik kamiran di mana dapatan menunjukkan bahawa mereka tidak merancangdengan baik, menggunakan strategi yang sesuai dan mengikut proses yang logik dan sah dalammenyelesaikan soalan kamiran yang diberi. Selain itu, pelajar-pelajar yang berpencapaian sederhana danlemah didapati menghadapi beberapa kesukaran dalam menilaikan suatu karniran yang diberi. Antarakesukaran-kesukaran tersebut adalah kesukaran dalam memilih teknik kamiran yang betul bagi suatukamiran, kesukaran dalam mengenal pasti bahawa mereka melakukan kesilapan dalam proses menilai suatukamiran, kesukaran dalam mencamkan bentuk karniran asas yang boleh dikarnirkan terus dan bentukkamiran yang bukan asas yang tidak boleh dikarnirkan terus, kesukaran dalam mencamkan bentuk karniransuatu fungsi dengan teknik karniran yang betul bagi menilaikan karniran tersebut dan kesukaran dalammembezakan rumus-rumus dalam teknik karniran dan rumus-rumus pembezaan.

11

ABSTRACT

This study was carried in 3 phases. The purpose of the first phase of the study is to explore the students'skills in solving the separable variables differential equation, the second phase of the study is to identifytheir problems in learning the techniques of integration and the third phase of the study is to explore theirmathematical thinking process and to identify their difficulties in evaluating the integrals. A sample of 120,second year UPSI students that were taken the Elementary Differential Equation course in second semester2003/2004 session was randomly chosen to participate in this study. The instrument of the first phase ofthe study is the Elementary Differential Equation Test 1. An open questionnaire related to the students'problems in learning the techniques of integration was used in the second phase of the study. While, in thethird phase of the study, 15 students which were categorized as excellent, moderately good and weekachievement were chosen randomly from sample phase 1 to participate in the clinical interviews in whichthey solved the 2 integral questions in a "think-aloud" manner. The findings showed that most of thestudents were unable to solve the separable variables differential equation correctly, even though they couldidentify the form of the equation because they were not competent at using the techniques of integration.The 3 main problems that the students encountered in learning the techniques of integration were thedifficulties in recalling the formulas, the difficulties in choosing an appropriate technique of integration fora given integrand and they were not competent at using the techniques of integration. The study alsoshowed that the excellent achievement students have good mathematical thinking process in learning thetechniques of integration. They could think easily and systematically to determine an appropriate techniqueof integration for a given integrand. Thus, they were able to evaluate the integrals correctly. However themoderately good and low achievement students have weak mathematical thinking process in learning thetechniques of integration. It is found that they were not planning well, applied appropriate strategies andfollowed a logical and verifiable process to solve the problems. The finding also showed that students withmoderately good and low achievement have difficulties in evaluating the integrals. The difficulties thatstudents encountered were in choosing an appropriate technique of integration for a given integrand,identifying that they were making mistakes in the process of evaluating the integrals, identifying the basicintegral form that could be integrated directly, identifying the form of integral with an appropriatetechniques of integration and differentiating the formulas in techniques of integration and differentiation.

111

KANDUNGAN

ABSTRAK

ABSTRACT

SENARAI JADUAL

SENARAI RAJAH

SENARAI LAMPlRAN

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

i

ii

v

vi

vii

PENGENALAN

PENYATAAN MASALAH

OBJEKTIF KAJIAN

SOALAN KAJIAN

TINJAUAN LITERATUR

BATASAN KAJIAN

METODOLOGlKAJIAN

1

1

2

2

3

8

9

9

10

10

11

13

13

7.1 Reka Bentuk Kajian7.2 Sampel Kajian7.3 Instrumen Kajian7.4 Pengumpulan Data

ANALISIS DATA

8.1 Profil Responden8.2 Persoalan Kajian 1 13

8.3 Persoalan Kajian 2 15

8.4 Persoalan Kajian 3 16

8.4.1 Analisis Temu Duga Pelajar Berpencapaian Cemerlang - Soalan 1 16

8.4.2 Analisis Temu Duga Pelajar Berpencapaian Cemerlang - Soalan 2 20

8.4.3 Analisis Temu Duga Pelajar Berpencapaian Sederhana - Soalan 1 22

8.4.4 Analisis Temu Duga Pelajar Berpencapaian Sederhana - Soalan 2 26

8.4.5 Analisis Temu Duga Pelajar Berpencapaian Lemah - Soalan 1 29

8.4.6 Analisis Temu Duga Pelajar Berpencapaian Lemah - Soalan 2 33

8.5 Persoalan Kajian 4 36

iv

9. DAPATAN DAN PERBINCANGAN 38

9.1 Kemahiran-kemahiran yang Dapat Dikuasai dan Tidak Dikuasai Oleh 38

Pelajar Semasa Menyelesaikan Soalan yang Melibatkan Persamaan

Pembezaan Pembolehubah Boleh Pisah

9.2 Masalah-masalah yang Dihadapi Oleh Pelajar dalam Pembelajaran 38

Teknik Kamiran

9.3 Proses Pemikiran Matematik Pelajar Bagi Soalan 1 Mengikut Tahap 39

Pencapaian9.4 Proses Pemikiran Matematik Pelajar Bagi Soalan 2 Mengikut Tahap 43

Pencapaian9.5 Kesukaran yang Dihadapi Oleh Pelajar Dalam Menilaikan suatu Kamiran 46

10. RUMUSAN 46

11. CADANGAN 47

LAMPIRAN 49

Jadual

7.1

8.1

8.2

8.3

SENARAI JADUAL

Kategori Tahap Penguasaan Pelajar

Taburan Markah Bagi Soalan Tentang Persamaan PembezaanPembolehubah Boleh Pisah

Penguasaan Kemahiran Dalam Menyelesaikan Soalan TentangPersamaan Pembezaan Pembolehubah Boleh Pisah

Masalah Pembelajaran Teknik Kamiran

v

Muka Surat

12

13

15

16

Rajah

11.1

SENARAI RAJAH

Carta Aliran Bagi Kamiran Fungsi Nisbah

Muka Surat

49

vi

Lampiran

A

B

c

D

E

SENARAI LAMPlRAN

Soalan Ujian 1 Tentang Persamaan Pembezaan PembolehubahBoleh Pisah - Instrumen Fasa 1

Soal Selidik Tentang Masalah Pembelajaran Teknik KamiranInstrumen Fasa 2

Soalan Tentang Kamiran - Instrumen Fasa 3

Transkrip Temu Duga Klinikal

Maklumat Penyelidikan(a) Borang Laporan Akhir Projek Pencapaian(b) Laporan Sari Penyelidikan

Vll

Muka Surat

51

52

53

54

55

11. PENGENALAN

Kalkulus, suatu ilmu yang mengajar kita suatu bahasa bagi menerangkan bagaimana

angin bertiup, bagaimana air mengalir, bagaimana matahari menerangi bumi, bagaimanaalunan muzik menusuk ke telinga kita dan banyak lagi. Ia, suatu cabang ilmu yangbersifat abstrak meliputi pelbagai topik termasuklah fungsi,. jujukan, siri, had,keselanjaran, pembezaan, pengkamiran dan lain-lain lagi yang memerlukan daya taakulan

yang tinggi. Justeru, kalkulus merupakan suatu ilmu yang amat penting di sekolah

maupun di institusi pengajian tinggi.

2. PENYATAAN MASALAH

Bagi kebanyakan pelajar universiti, kalkulus merupakan suatu kursus yang amat

mencabar dengan peratus kegagalan adalah tinggi dan pencapaian pelajar kebanyakannyasederhana sahaja. Kursus ini juga adalah pra syarat kursus lanjutan kalkulus yang lebih

tinggi. Kurangnya penguasaan pelajar dalam kursus kalkulus menyebabkan kesukaran

mereka mengikuti kursus-kursus matematik yang lain.

Salah satu topik penting dalam kursus kalkulus ini ialah teknik-teknik kamiran

yang amat diperlukan dalam kursus yang lebih tinggi iaitu Persamaan Pembezaan.

Secara umumnya, pelajar yang tidak dapat menguasai teknik kamiran menyebabkanmereka merasa sukar untuk mengikuti kursus tersebut. Dalam kajian tentang kefahaman

pelajar bagi topik kamiran oleh Orton(1983), mendapati bahawa pelajar mempunyai

keupayaan pada tahap yang rendah untuk mengaplikasikan teknik-teknik kamiran dan

apabila disiasat secara lebih mendalam dan teliti, memberi indikasi bahawa pelajarmempunyai salah faham yang asas tentang konsep kamiran (Ferrini-Mundy, 1991).Menurut Kay(2002) pula, kebanyakan pelajar boleh mengaplikasikan pelbagai teknik

kamiran yang dipelajari tetapi tidak berupaya untuk memilih teknik yang sesuai untuk

suatu kamiran yang diberi. Dalam kajian Schoenfeld (1985), beliau mendapati bahawa

pelajar tidak berupaya membina strategi kognitif yang baik semasa mempelajari teknik

teknik kamiran. Mereka hanya mampu menduplikasi teknik-teknik tersebut seperti di

2dalam pengajaran kuliah sahaja, yang mana akhirnya mengakibatkan pencapaian tidak

memuaskan lebih-lebih lagi di dalam penyelesaian masalah matematik. Justeru itu,

kajian ini akan cuba meneroka masalah-masalah yang dihadapi dalam mempelajariteknik-teknik kamiran serta mengenal pasti proses pemikiran matematik pelajar semasa

menilaikan suatu kamiran.

3. OBJEKTIF KAJIAN

Secara khususnya objektifkajian ini ialah untuk:

(a) Meninjau secara lebih mendalam tentang kemahiran pelajar dalam menyelesaikan

persaman pembezaan pembolehubah boleh pisah yang melibatkan teknik kamiran.

(b) Mengenal pasti masalah yang dihadapi oleh pelajar dalam pembelajaran teknik

kamiran.

(c) Meninjau proses pemikiran matematik pelajar semasa menilai suatu kamiran.

(d) Mengenal pasti kesukaran yang dihadapi oleh pelajar dalam menilai suatu

kamiran.

4. SOALAN KAJIAN

Soalan kajian adalah :

(a) Apakah kemahiran-kemahiran yang dapat dikuasai dan tidak dikuasai oleh pelajarsemasa menyelesaikan soalan yang melibatkan persamaan pembezaan

pembolehubah boleh pisah.

(b) Apakah masalah-masalah yang dihadapi oleh pelajar dalam pembelajaran teknik

kamiran.

(c) Bagaimanakah proses pemikiran matematik pelajar semasa menilai suatu kamiran

mengikut tahap pencapaian pelajar.

(d) Apakah kesukaran-kesukaran yang dihadapi oleh pelajar dalam menilai suatu

kamiran.

35. TINJAUAN LITERATUR

Seperti yang telah diketahui, pembezaan merupakan suatu proses algoritma: diberi hasil

pembezaan sesuatu fungsi asas, bersama-sama petua-petua seperti hasil tambah, hasil

darab, hasil bahagi dan petua rantai, secara prinsipalnya kita boleh membezakan pelbagaibentuk fungsi. Walaupun fungsi yang diberikan adalah kompleks, kita masih boleh

membezakan dengan cara mengkombinasikan fungsi-fungsi asas dalam pelbagai cara dan

bentuk. Sebaliknya, bagi pengkamiran pula ia bukanlah suatu proses algoritma biasa; ia

seolah-olah mempunyai kotak simpanan yang mengandungi teknik-teknik (gantian,kamiran bahagian demi bahagian dan lain-lain), yang memerlukan pengalaman

bagaimana untuk memilih teknik-teknik yang sesuai bagai menilaikan sesuatu kamiran.

Menurut Kay(2002), kebanyakan pelajar mempunyai penguasaan dalam mengaplikasikan

pelbagai teknik kamiran, tetapi jarang sekali terdapat pelajar yang berupaya untuk

memilih teknik kamiran yang sesuai apabila diminta menilaikan sesuatu kamiran.

5.1 Kesukaran Dalam Teknik Kamiran

Mengapakah sukar untuk memilih teknik yang betul untuk menilaikan sesuatu kamiran?

Terdapat kajian-kajian oleh Orton (1983), Cipra(1989), Ferrini-Mundy (1991), Kay

(2002) dan Hirst(2003) tentang kepayahan dan kesilapan yang dilakukan oleh pelajarsemasa menilaikan suatu kamiran. Berikut adalah beberapa contoh yang dapat

menerangkan kepayahan dan kesilapan-kesilapan tersebut.

Pertimbangkan kamiran-kamiran berikut:

(a) f 21

dxx +4x+3

(b) f1

dxx2 +4x+4 (c) f

1dx

x2 +4x+5

Kamiran di atas hanya berbeza dari segi nilai konstannya. Pelajar kebiasaannya akan

berfikir bahawa penyelesaian bagi menilaikan kamiran-kamiran tersebut adalah hanya

menggunakan teknik yang sama sahaja. Walau bagaimana pun jika kita berfikir secara

kritis, terdapat begitu besar perbezaan antara kamiran bentuk (a), (b) dan (c). Bagi

4kamiran bentuk (a), ungkapan penyebutnya boleh difaktorkan secara linear. Maka,kamiran tersebut dapat ditulis semula dalam bentuk pecahan separa dan seterusnya boleh

dikamirkan dengan mudah. Bagi kamiran bentuk (b), didapati ungkapan penyebutnya

adalah kuasa dua sempurna (exact square) iaitu {x + 2y. Teknik penggantian u = x + 2

dapat menilaikan kamiran tersebut, tetapi bagi pelajar yang bijak ia boleh dikamirkan

secara kamiran terus (direct integration). Ungkapan penyebut bagi kamiran bentuk (c)

pula merupakan kuadratik yang tidak boleh difaktorkan (irreducible quadratic). Dengan

menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua bagi penyebut tersebut, hasil kamiran

boleh dikenal pasti dengan mudah iaitu berbentuk songsangan tangen (arc tan). Oleh

yang demikian, jelaslah bahawa kepayahan pelajar dalam menilaikan suatu kamiran

sememangnya wujud. Kita dapati bahawa, bagi ketiga-tiga bentuk kamiran di atas yangkelihatannya hampir sama, tetapi sebenamya mempunyai teknik-teknik penyelesaiankamiran yang berbeza.

Kita lihat pula kamiran-kamiran yang berikut:

(a) fe-x2 dx (b) fxe-x2 dx

Kamiran bentuk (a) adalah contoh kamiran klasik yang nampak mudah, tetapi ia tidak

boleh dinilaikan langsung kerana ia bukan dalam bentuk kamiran asas. Kamiran bentuk

(b) pula kelihatan payah untuk dikamirkan, tetapi sebenarnya adalah mudah iaitu dengan

hanya menggunakan teknik penggantian, maisalnya u = _x2 Walau bagaimana pundalam kajian Kay(2002, m.s.18), kebanyakan pelajar mempunyai proses pemikiran

seperti berikut apabila menemui kamiran bentuk (b):

2

"xe" is aproduct, so I need to integrate byparts. I can integrate x, but I

can't integrate ", so that fixes my choice of "u" and ltv" in the

integration-by-partsformula. Since

fX2 d 2 X2xdx = - and _(e-X ) = -2xe-2 dx

5[get

Oh dear, the new integral on the right-hand side is worse than the one I

started with! [give up.

Contoh-contoh di atas mengilustrasikan bagaimana kebiasaannya proses

pemikiran pelajar terhadap idea-idea tentang konsep kamiran. Ini akan

menimbulkan kepayahan kepada pelajar apabila berdepan dengan kamiran bentuk

(b) seperti contoh di atas yang melibatkan hasil darab dua fungsi. Idea

pengkamiran iaitu " products should be integrated by parts" sebenamya adalah

terhad kesahannya. Pelajar perlu banyak membuat latih tubi agar mereka mudah

dapat mengenal pasti pelbagai teknik kamiran untuk menilaikan suatu kamiran.

Namun begitu, pelajar sering digamit kekecewaan kerana menemui kegagalan

yang berulangan, contohnya menilaikan kamiran bentuk fxe-x2dx seperti di atas.

5.2 Kesilapan Dalam Teknik Kamiran

Kajian Hirst (Tahun tidak dinyatakan) mendapati bahawa pelbagai kesilapan dilakukan

oleh pelajar dalam topik kalkulus. Kesilapan-kesilapan yang dilakukan oleh mereka

adalah berkaitan dengan "generalization, intuition, inadequacy of concepts, instrumental

understanding, problem of language, symbol manipulation and lack of meta-cognitivecontrol". Antara kesilapan yang telah dianalisis oleh Hirst adalah seperti berikut:

6(a) Kesilapan Mengekstrapolasi:Petua kamiran bahagian demi bahagian adalah songsangan petua bagi pembezaan suatu

fungsi hasil darab. Dalam petua bagi pembezaan suatu fungsi hasil darab kita akan

membezakan kedua-dua fungsi yang terlibat, jadi bagi teknik kamiran bahagian demi

bahagian pelajar mengandaikan mereka akan mengkamirkan kedua-dua fungsi seperti

fx cos xdx = X2(-sinx) + C. Kebanyakan pelajar yang melakukan kesilapan beginikebiasaannya boleh mengunakan petua hasil darab dengan baik, tetapi pelajar gagalmemahami seeara verbal tidak formal tentang prosedurnya. Mereka mengekstrapolasi

petua dalam pembezaan kepada petua dalam pengkamiran iaitu "kamiran bagi suatu hasil

darab fungsi adalah hasildarab kamiran setiap fungsi", Dengan kata lain, terdapatmasalah kekaburan tentang petua-petua yang diberikan dalam proses pengajaran iaitu

kekaburan dari segi bahasa matematik itu sendiri.

Terdapat juga pelajar yang mengandaikan bahawa kamiran bahagian demi

bahagian adalah sonsangan bagi petua hasil darab dalam pembezaan iaitu bagi

pembezaan (fg),:= gf' + fg', maka bagi pengkamiran ffg = g x ff + f x fg. Jadi

fx cosxdx = i x2 cosX + x( - sinx) + c. Di sini dapat dirumuskan bahawa pelajar amatgemar memelihara sesuatu bentuk yang telah sedia ada dalam fikiran mereka.

Kita lihat pula contoh-contoh ini:

f:= In(1+3x)1+3x 3

Apabila kita terbitkan In(l + 3x) kita akan memperoleh fungsi yang sepatutnya kita

kamirkan, kecuali terdapat tambahan nilai 3, maka kita akan bahagikan jawapan tadi

dengan nilai 3. Bagi eontoh yang kedua juga, pelajar didapati merumuskan satu

prosedur iaitu"

membahagi dengan terbitan bagi fungsi di dalam kurungan". Di sini,

ianya hanya benar apabila terbitan di dalam kurungan tersebut adalah pemalar atau fungsi

7di dalam kurungan adalah linear. Tetapi pelajar telah mengeksrapolasi kepada situasi di

mana fungsi di dalam kurungan adalah tidak linear. Ia adalah suatu kesalahan yang

sering pelajar lakukan. Seseorang pelajar telah mengekstrapolasi keadaan di atas

kemungkinan disebabkan oleh arahan yang tidak betul iaitu pelajar kebiasaanya diminta

untuk menyemak kamiran dengan membezakan hasil kamiran tersebut.

(b) Kesilapan "equation balancing"Kesalahan dalam kamiran juga adalah disebabkan kita telah menegaskan dalam algebra

tentang prinsip "equation balancing" iaitu " Jika anda melakukan perkara yang sarna

disebelah kanan dan kiri suatu persamaan, maka nilainya adalah sarna". Perhatikan

contoh ini pula:

f1

3du = Inl1 + ul3(1 +u) f 2

1dx = Inlx2 + 4x + 71.x +4x+7

Bagi contoh pertama, pelajar telah menggunakan petua asas iaitu f1

du = Inl1 + ul, di(1 +u)mana pelajar hanya akan mengkuasakan tiga di kedua-dua belah persamaan tersebut.

Manakala contoh kedua pula pelajar menggunakan petua asas P-dx = lnlxl, di manaxdalam contoh tersebut, x digantikan dengan polinomial x2 + 4x + 7 .

Analisis di atas ini menunjukkan bahawa kepayahan dan kesilapan-kesilapan

konsep yang dilakukan semasa pembelajaran asas matematik akan berterusan hinggalahke peringkat pembelajaran matematik yang lebih tinggi. Ianya mengesahkan cadangan

cadangan oleh Maurer (1987) dan Norman & Pritchard (1994)(Dalam Heirdfield, tahun

tidak dinyatakan) bahawa kesilapan struktur sukar untuk dielakkan. Dalam pengajaranmatematik pula pelajar didedahkan dan ditekankan dengan konsep seperti "flexibility,

reversibility, generalization dan intuition" maka secara paradoksnya konsep-konsep ini

menerbitkan kesalahan-kesalahan struktur. Dari pandangan konstrutivist ianya hanyaberlaku dalam kursus-kursus di mana pelajar membentuk makna atau maksud sesuatu

konsep itu dengan sendiri,

8Secara umumnya tidak banyak penyelidikan yang dibuat tentang topik khususnya

topik pengkamiran. Artikel Orton(1983) bertajuk "Students' Understanding of

Integration" adalah satu-satunya artikel yang secara eksklusif membincangkan tentang

topik ini. Beliau telah mengklasifikasikan kesalahan pelajar dalam menilaikan kamiran

kepada "structural", "arbitrary" dan "executive" dengan min skomya 3.40 berdasarkan

skema Donaldson. Kesilapan "structural" bermaksud "those which arose from failure to

appreciate the relationships involved in the problem or grasp some principle essential to

solution". Kesilapan "arbitrary" pula adalah "those in which the subject behaved

arbitrarily and failed to take account the constraints laid down in what was given",Manakala kesilapan "executive" adalah " those which involved failure to carry out

manipulations, though theprinciples involved may have been understood".

Daripada beberapa kajian lepas yang telah dibincangkan di atas, jelas memberikan

indikasi bahawa kebanyakan pelajar masih dangkal serta cetek pemikiran dalam

kefahaman konsep asas kalkulus.

6. BATASAN KAJlAN

Kajian ini terbatas kepada pelajar seramai 120 orang yang sedang mengikuti kursus

TMK2043(Persamaan Pembezaan Permulaan) bagi semester 2 sesi 2003/2004 di

Universiti Pendidikan Sultan Idris. Kajian tertumpu kepada proses pemikiran matematik

pelajar dalam menilaikan 2 jenis bentuk kamiran. Tinjauan proses pemikiran matematik

pelajar hanya melibatkan tentang bagaimana proses pemikiran mereka dalam memilih

teknik kamiran yang betul dan prosedur yang dilakukan semasa menggunakan teknik

tersebut. Dapatan kajian ini hanya dapat digeneralisasikan bagi pelajar-pelajar yang

sedang mengikuti kursus TMK2043(Persamaan Pembezaan Permulaan) bagi semester 2

sesi 2003/2004 di Universiti Pendidikan Sultan Idris.

97. METODOLOGI KAJIAN

7.1 Reka Bentuk Kajian

Kajian yang dijalankan adalah berbentuk kuantitatif dan kualitatif melibatkan tiga fasa

iaitu:

Fasa 1:

Kajian fasa 1 ini bertujuan untuk meninjau secara lebih mendalam tentang penguasaan

pelajar dalam menyelesaikan persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah yangmelibatkan teknik kamiran. Fasa ini melibatkan penelitian secara terperinci 120 skrip

jawapan Ujian 1 tentang kemahiran-kemahiran yang dikuasai dan tidak dikuasai oleh

pelajar yang sedang mengikuti kursus TMK2043(Persamaan Pembezaan Permulaan) bagisemester 2 sesi 2003/2004 di Universiti Pendidikan Sultan Idris.

Fasa 2:

Di dalam fasa 2 ini, kajian dijalankan terhadap pelajar seramai 120 orang yang terlibat

dalam kajian fasa 1 secara tinjauan melalui soal selidik bagi mengenal pasti masalah yang

dihadapi oleh mereka dalam pembelajaran teknik kamiran.

Fasa 3:

Kajian fasa 3 pula dijalankan secara kualitatif bertujuan meninjau proses pemikiranmatematik pelajar semasa menilai suatu kamiran mengikut tahap pencapaian pelajar serta

mengenal pasti kesukaran-kesukaran yang dihadapi oleh pelajar dalam menilai suatu

kamiran. Di dalam fasa ini penyelidik memilih 5 orang pelajar dari setiap kategorikebolehan pelajar (lemah, sederhana dan cemerlang) berdasarkan pencapaian pelajardalam Ujian 1 untuk menyelesaikan soalan tentang menilaikan suatu kamiran dengan

menggunakan teknik-teknik kamiran yang tertentu secara temu duga klinikal serta pelajar

menjawap menggunakan teknik "think-aloud".

10

Merrifield dan Pearn (1999)(Dalam Heirdsfield, tahun tidak dinyatakan)

mencadangkan bahawa temu duga klinikal yang diperkenalkan oleh Piaget merupakankaedah yang sangat efektif dalam mengumpulkan maklumat tentang pemikiranmatematik pelajar. Dalam temu duga klinikal penyelidik mengikuti aliran pemikiran

pelajar dengan bertanya kepada pelajar di mana perlu semasa pelajar menilaikan suatu

kamiran. Penyelidik tidak banyak mencelah ketika sesi temu duga sedang berjalan.

Penyelidik juga tidak akan mengeluarkan pendapatnya dan apabila perlu, penyelidik akan

menyoal soalan-soalan yang mendorong pelajar meneruskan penilaian kamirannya.Semasa menilai kamiran tersebut, pelajar akan melaksanakannya secara "think-aloud", di

mana mereka diminta untuk membuat pernyataan (verbalize) apa sahaja yang terlintas

dalam fikiran mereka (Tall & Rashidi, 1993). Setiap pelajar dalam kajian ini diminta

untuk menjawab soalan tersebut dalam tempoh 20 minit.

7.2 Sampel Kajian

Kajian ini melibatkan seramai 120 pelajar yang sedang mengikuti kursus

TMK2043(Persamaan Pembezaan Permulaan) bagi semester 2 sesi 2003/2004 di

Universiti Pendidikan Sultan Idris bagi fasa 1 dan fasa 2. Manakala bagi fasa 3, lima

orang pelajar dari setiap kategori kebolehan pelajar (lemah, sederhana dan cemerlang)berdasarkan pencapaian pelajar dalam Ujian 1 dipilih secara rawak untuk menyelesaikansoalan tentang menilaikan suatu kamiran menggunakan teknik kamiran yang sesuai.

7.3 Instrumen Kajian

Terdapat 3 instrumen dalam kajian ini iaitu:

(a) Satu soalan Ujian 1 yang melibatkan persamaan pembezaan pembolehubah boleh

pisah.Soalan ini mempunyai 7 kemahiran iaitu:

1. mencam bentuk persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah,2. melakukan proses memisahkan pembolehubah.

11

3. menentukan teknik kamiran bagi f1

2ds .

(s+1)

4. menilaikan kamiran tak tentu bagi f1

2ds menggunakan teknik

(s + 1)

kamiran secara gantian.

flnttdt.5. menentukan teknik kamiran bagi

flnt tdt6. menilaikan kamiran tak tentu bagi menggunakan teknik kamiransecara gantian.

7. menentukan penyelesaian bagi persamaan pembezaan pembolehubahboleh pisah dalam bentuk tak tersirat.

Ujian yang dibina ini terdiri daripada soalan-soalan dengan konstruk, mutu dan format

serta kesesuaian soalan ini mengikut silibus kursus TMK 2043(Persamaan Pembezaan

Permulaan).

(b) Satu set soal selidik terbuka yang mengandungi 2 bahagian:

Bahagian 1:

Bahagian ini mengandungi butiran tentang pelajar iaitu nama dan markah Ujian 1.

Bahagian 2:

Bahagian ini pula terdiri daripada 1 soalan terbuka untuk mendapatkan respondari pelajar tentang masalah mereka semasa mempelajari teknik kamiran.

(c) Satu set soalan yang mengandungi 2 soalan tentang menilaikan kamiran tak tentu

dengan menggunakan teknik kamiran secara gantian dan pecahan separa.

7.4 Pengumpulan Data

Data kajian dikumpul mengikut 3 peringkat seperti yang dihuraikan di bawah. Bagi

peringkat 1 dan 2, data dianalisis menggunakan perisian SPSS 11.0 .

12

Peringkat 1:

120 skrip jawapan pelajar bagi satu soalan dalam Ujian 1 bagi Kursus TMK 2043

(Persamaan Pembezaan Permulaan) bagi Semester 2 Sesi 2003/2004 yang melibatkan

soalan tentang penyelesaian persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah serta

menguji 7 kemahiran dianalisis secara teliti untuk mengenalpasti kemahiran yangdikuasai dan tidak dikuasai. Markah pelajar bagi soalan tersebut akan diarnbil dan setiapkemahiran yang pelajar kuasai akan diberikan label "1

" untuk menguasai sesuatu

kemahiran itu dan label "2" bagi tidak menguasai sesuatu kemahiran itu. Analisis

seterusnya dibuat secara deskriptif untuk menentukan peratus dan min keseluruhan

penguasaan kemahiran yang dikuasai oleh pelajar bagi setiap kemahiran yang diuji.

Tahap penguasaan pelajar dikategorikan seperti dalam jadual 7.1.

Jadual 7.1: Kategori Tahap Penguasaan Pelajar

Tahap Penguasaan Minmarkah

Baik 6-8

Sederhana 4-5.9

Lemah 2-3.9

Sangat Lemah 0-1.9

Peringkat 2:

Bagi soal selidik terbuka dalam bahagian 2 yang diberi kepada pelajar, masalah-masalah

yang dihadapi oleh mereka semasa pembelajaran topik teknik kamiran akan dianalisis

dan disenaraikan mengikut peratus masalah yang paling tinggi hinggalah peratus masalah

yang paling rendah.

Peringkat 3:

Semua sesi audio temu duga klinikal dipindahkan kepada bentuk 15 transkrip mengikut

tahap pencapaian pelajar dalam Ujian 1 iaitu 5 berpencapaian cemerlang, 5

berpencapaian sederhana dan 5 berpencapaian lemah. Transkrip temu duga klinikal

tersebut dianalisis untuk meninjau bagaimana proses pemikiran matematik pelajar

mengikut tahap pencapaian pelajar serta mengenal pasti kesukaran yang dihadapi oleh

13

pelajar semasa menilaikan suatu kamiran. Analisis ini melibatkan dua aspek iaitu tentang

bagaimana proses pemikiran pelajar dari aspek strategi pemilihan teknik kamiran dan

cara melakukan teknik kamiran yang dipilih itu.

8 ANALISIS DATA

8.1 Profil Responden

Responden kajian ini terdiri daripada 120 orang pelajar yang mengikuti kursus

TMK2043(Persamaan Pembezaan Permulaan) bagi semester 2 sesi 2003/2004 di

Universiti Pendidikan Sultan Idris. Seramai 19 (15.83%) orang pelajar mendapat markah

antara 0 - 10 iaitu kategori pelajar berpencapaian lemah, 61 (50.83%) orang pelajar

mendapat markah antara 11 - 20 iaitu kategori pelajar berpencapaian sederhana dan 40

(33.33%) orang pelajar mendapat markah 21 - 30 iaitu kategori pelajar berpencapaian

cemerlang dalam Ujian 1 yang mempunyaijumlah markah penuh 30.

8.2 Persoalan Kajian 1:Apakah kemahiran-kemahiran yang dapat dikuasai dan tidak dikuasai olehpelajar semasa menyelesaikan soalan yang melibatkan persamaanpembezaan pembolehubah boleh pisah

Jadual 8.1 menunjukkan taburan markah bagi 120 orang pelajar yang menjawap soalan

tentang persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah dalam Ujian 1. Terdapat 3

orang pelajar sahaja yang dapat menyelesaikan soalan tersebut dengan betul dengan

mendapat markah penuh iaitu 8 markah. Min markah bagi soalan ini adalah 3.76

menunjukkan bahawa penguasaan pelajar dalam menjawap soalan ini adalah pada tahapsederhana sahaja.

14

Jadual 8.1: Taburan Markah Pelajar Bagi Soalan Tentang Persamaan PembezaanPembolehubah Boleh Pisah

Markah Kekerapan(peratus)0 4(3.3)

4(3.3)2 26(21.7)3 16(13.3)4 38(31.7)5 7(5.8)6 18(15.0)7 4(3.3)

8 3(2.5)Min 3.76

Jadual 8.2 pula menunjukkan secara terperincinya penguasaan kemahiran pelajar dalam

menyelesaikan soalan tentang persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah dalam

Ujian 1 tersebut. Didapati 98.3% pelajar yang dapat mencamkan bentuk persamaan

pembezaan tersebut iaitu persamaan pembezaan boleh pisah. Namun begitu, disebabkan

beberapa kemahiran lain yang penting tidak dapat dikuasai oleh pelajar, maka hanya 3

orang pelajar sahaja yang boleh menyelesaikan soalan tersebut dengan betul. Didapati

terdapat 75% pelajar yang dapat menguasai kemahiran memisahkan pembolehubah bagi

persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah. Analisis juga menunjukkan bahawa

kurang daripada 50% pelajar yang dapat menguasai kemahiran menentukan teknik

kamiran bagi f1

2ds , menilaikan kamiran tak tentu bagi f

12ds dengan

(s + 1) (s + 1)

menggunakan teknik kamiran secara gantian, menentukan teknik kamiran tak tentu bagi

f l tdt dengan menggunakan teknik kamiran secara gantian serta menilaikan kamiran takb

. flntdtentu agi t t .tersebut adalah 44.2%, 35%,45% dan 33.3% masing-masingnya, Bagi kemahiran

menyelesaikan persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah dalam bentuk tak

Peratusan pelajar yang dapat menguasai kemahiran-kemahiran

tersirat, hanya 40.8% pelajar dapat menguasainya. Tahap penguasaan pelajar bagi soalan

15

ini adalah lemah dengan mm markah keseluruhan adalah 3.76. Analisis ini jelas

menunjukkan bahawa walaupun pelajar dapat mencamkan bentuk persamaan pembezaantersebut tetapi disebabkan penguasaan yang lemah dalam teknik kamiran, maka mereka

tidak dapat menjawap soalan ini dengan baik.

Jadua18.2: Penguasaan Kemahiran Dalam Menyelesaikan Soalan TentangPersamaan Pembezaan Pembolehubah Boleh Pisah

Kemahiran Kekerapan(%)

Mencam bentuk persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah. 118(98.3)

75(62.5)

53(44.2)

Melakukan proses memisahkan pembolehubah.

Mengenalpasti teknik kamiran bagi f1

2ds .

(s + 1)

Menilaikan kamiran tak tentu bagi f1

2ds menggunakan teknik kamiran secara

(s + 1)

42(35.0)

gantian.

fluftdt.Mengenalpasti teknik kamiran bagi 54(45.0)

SlutMenilaikan kamiran tak tentu bagi t menggunakan teknik kamiran secara gantian.40(33.3)

Menentukan penyelesaian bagi persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah dalambentuk tak tersirat,

49(40.8)

8.3 Persoalan kajian 2:Apakah masalah-masalah yang dihadapi oleh pelajar dalam pembelajaranteknik kamiran

Jadual 8.3 menunjukkan masalah yang dihadapi oleh pelajar dalam pembelajaran teknik

kamiran. Daripada 120 orang pelajar yang menjawab soal selidik terbuka tentangmasalah yang dihadapi oleh mereka dalam pembelajaran teknik kamiran, terdapat 3 orang

pelajar yang menyatakan mereka tiada masalah dan 10 orang pelajar pula tidak

menyatakan masalah yang mereka hadapi. Tiga masalah utama yang dihadapi oleh

16

pelajar ialah sukar mengingati rumus dalam teknik kamiran (24.2%), sukar memilih

teknik kamiran yang sesuai (22.5%) dan tidak menguasai teknik kamiran (19.2%).

Jadual 8.3 : Masalah Pembelajaran Teknik Kamiran

Masalah Kekerapan Peratus

Sukar mengingati rumus dalam teknik kamiran 29 24.2

Sukar memilih teknik kamiran yang sesuai 27 22.5

Tidak menguasai teknik kamiran 23 19.2

Keliru dan cuai dalam proses menggunakan teknik kamiran 12 10.0

Sukar menentukan gantian yang sesuai dalam teknik penggantian 10 8.3

Tidak boleh selesai soalan berbentuk aplikasi 3 2.5

Keliru dengan pembezaan 2 1.7

Tiada keyakinan diri 2 1.7

Tidak memahami kehendak soalan 0.8

Kurang latihan menggunakan teknik kamiran yang pelbagai bentuk 0.8

JUMLAH 110 91.7

8.4 Persoalan Kajian 3:Bagaimanakah proses pemikiran matematik pelajar semasa menilai suatukamiran mengikut tahap pencapaian pelajar.

8.4.1 Analisis Temu Duga Pelajar Berpencapaian Cemerlang Bagi Soalan 1

Bagi soalan 1, empat daripada lima pelajar berpencapaian cemerlang ini dapat

menjawapnya dengan betul. Mereka dengan jelas dan mudah dapat memikirkan untuk

membuat pemilihan teknik kamiran yang sesuai iaitu teknik penggantian bagi soalan

tersebut. Bukti-buktinya adalah seperti berikut:

"...yang saya nampak ni ... saya gunakan kaedah penggantian ...

" (P13/1/2)

"Soalan ini ...bentuk dia... ka1au nak selesaikan masalah ini ...harus guna gantian ..." (P5/l/2)