Upload
vandang
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 107
Penggunaan Metode Bayesian Subyektif
dalam Pengkonstruksian Grafik Pengendali-c
Sekar Sukma Asmaraa, Adi Setiawan
b, Tundjung Mahatma
c
a Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected] b Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected] c Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga, [email protected]
ABSTRAK
Metode Bayesian Subyektif dapat digunakan untuk melakukan estimasi titik berdasarkan pada
sampel dan informasi priornya. Grafik pengendali memberikan gambaran mengenai perilaku sebuah
proses. Grafik pengendali digunakan untuk mengidentifikasi apakah sebuah proses yang berjalan
dalam kondisi terkendali atau tidak. Pada makalah ini dijelaskan penggunaan metode Bayesian
subyektif dalam pengkonstruksian grafik pengendali-c.
Kata Kunci : bayesian subyektif, prior, grafik pengendali
ABSTRACT Subjective Bayesian Method can be used for the point estimation based on the sample and its
prior information. Control chart gives description about the performance of a process. It is also used
to indicate whether a process is in controlled condition or not. The paper explains the usage of
Subjective Bayesian Method in the construction of c-chart.
Key Words : subjective bayesian, prior, control chart
Pendahuluan
Konsumen mempunyai ekspektasi
yang besar terhadap produk yang dibelinya.
Menurut Montgomery (1990), kualitas
merupakan jaminan utama konsumen
dalam memilih produk, oleh karena itu
dalam setiap pembelian konsumen
mengharapkan produk-produk yang bebas
dari cacat. Menurut Prawirosentono (2007),
konsumen yang membeli produk
berorientasi pada kualitas, pada umumnya
mempunyai loyalitas produk yang besar
dibandingkan dengan konsumen yang
membeli produk berdasarkan harga,
sehingga mereka akan selalu membeli
produk tersebut (repurchase). Dengan
Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 108
demikian kualitas menjadi kunci sebuah
bisnis dalam menentukan keberhasilannya,
karena produk yang berkualitas
mempunyai daya saing tinggi dengan
produk lain yang sejenis. Selain itu,
peningkatan kualitas sering kali disertai
dengan penurunan biaya produksi, karena
dapat meminimalisasi produk-produk yang
rusak. Namun dalam banyak proses
produksi, terdapat banyak variabilitas
sehingga diperlukan pengendalian proses
statistik yaitu untuk menyingkirkan
variabilitas dalam proses. Salah satu alat
yang efektif untuk mengurangi variabilitas
adalah grafik pengendali. Dalam penelitian
ini, akan dikonstruksikan grafik
pengendali-c ( -chart) dengan
menggunakan metode Bayesian subyektif,
sehingga dapat diidentifikasi apakah proses
terkendali atau tidak. Hasil identifikasi
tersebut digunakan sebagai acuan sebuah
perusahaan mengambil tindakan dan
perbaikan dalam pengendalian proses
produksi.
Dasar Teori
Grafik pengendali adalah teknik
pengendali proses pada jalur yang
digunakan secara luas untuk pengendalian
kualitas, yang dapat digunakan untuk
menaksir parameter suatu proses produksi,
menentukan kemampuan proses, dan
memberikan informasi yang berguna dalam
meningkatkan proses itu (Montgomery,
1990 : 120).
Grafik pengendali terdiri dari nilai
karakteristik kualitas, garis tengah
(centerline) yang merupakan nilai rata-rata
karakteristik kualitas, batas pengendali atas
(upper control limit), dan batas pengendali
bawah (lower control limit). Dengan
demikian dapat diketahui apakah nilai
karakteristik kualitas termasuk daerah yang
diterima (accepted area) atau daerah
ditolak (rejected area) seperti pada
Gambar 1. Dalam statistik, untuk
memperoleh tingkat kepercayaan sebesar
, digunakan batas toleransi sebesar
3 kali deviasi standar.
Grafik Pengendali-c Klasik
Grafik pengendali-c mengganggap
bahwa terjadinya ketidaksesuaian dalam
sampel-sampel berukuran tetap dapat
dimodelkan dengan distribusi Poisson,
dengan fungsi probabilitas
Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 109
Gambar 1. Diagram Shewhart
= banyaknya ketidaksesuaian,
= parameter distribusi Poisson,
dengan mean dan variansi adalah
parameter . Jika nilai standar tidak
diberikan maka dapat ditaksir dengan
banyak ketidaksesuaian rata-rata yang
diamati , sehingga diperoleh batas-batas
pengendali
(1)
(Montgomery 1990 : 169).
Grafik Pengendali-c dengan Metode
Bayesian Subyektif
Banyaknya cacat atau tak sesuai
yang terjadi dalam unit pemeriksaan
mengikuti distribusi Poisson dengan fungsi
probabilitas
dan fungsi likelihood adalah
dengan .
Distribusi Gamma merupakan
keluarga konjugat distribusi Poisson,
sehingga fungsi kepadatan probabilitas
Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 110
priornya berdistribusi Gamma
dengan fungsi densitas
.
Parameter dan pada distribusi
prior yang dipilih, merepresentasikan
penilaian subyektif peneliti. Salah satu
metodenya adalah memilih prior
berdistribusi Gamma . Dipilih
paramater Gamma yang cocok
dengan keyakinan prior berdasarkan mean
dan deviasi standarnya adalah
dan
dengan
dan
(Darmanto). Oleh karena itu estimator
Bayes sama dengan rata-rata
ketidaksesuaian pada grafik pengendali-c
klasik.
Distribusi posterior dihitung dengan
mengalikan distribusi prior dengan fungsi
likelihood distribusi sampelnya yaitu
Gamma
Estimator Bayes dapat digunakan sebagai
sehingga
Batas dan dihitung sehingga
dan dipilih jarak minimum anatara dan
dengan tingkat signifikansi .
Metode Penelitian
Untuk melukiskan grafik
pengendali-c, data yang digunakan adalah
data contoh banyaknya ketidaksesuaian
dalam sampel papan untaian tercetak
yang diambil dari studi literatur.
Hal pertama yang dilakukan dalam
penelitian ini adalah melukiskan grafik
pengendali-c klasik. Metode bayesian
subyektif dapat digunakan untuk
mengestimasi titik dalam hal ini batas-
batas pengendali yang kemudian digunakan
Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 111
untuk melukiskan grafik pengendali-c
dengan prior Gamma dan prior
Gamma dengan parameter dan
yang cocok dengan keyakinan prior
berdasarkan mean dan deviasi standarnya.
Hasil dan Pembahasan
Data contoh banyaknya
ketidaksesuaian dalam sampel papan
untaian tercetak digunakan pada grafik
pengendali-c, seperti pada Tabel 1.
Tabel 1. Data Banyak Ketidaksesuaian
dalam Sampel dengan 100 papan untaian
tercetak.
No. Sampel Banyaknya
Ketidaksesuaian
1 21
2 24
3 16
4 12
5 15
6 5
7 28
8 20
9 31
10 25
11 20
12 24
13 16
14 19
15 10
16 19
17 13
18 22
19 18
20 39
21 30
22 24
23 16
24 19
25 17
26 15
Grafik Pengendali-c Klasik
Untuk menentukan batas
pengendali digunakan persamaan , oleh
karena itu diperoleh
dengan demikian diperoleh grafik
pengendali-c klasik pada Gambar 2.
Berdasarkan Gambar 2 diperoleh batas
pengendali yang simetri dan terdapat 2 titik
yang out of control.
Gambar 2. Grafik Pengendali-c Klasik
0 5 10 15 20 25
01
02
03
04
0
c-chart klasik
Nomor Sampel
Ba
nya
k K
etid
akse
su
aia
n
Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 112
Grafik Pengendali-c dengan Metode
Bayesian Subyektif
Berdasarkan data diperoleh bahwa
dan
Secara subyektif dipilih dan
, dari persamaan diperoleh
distribusi posterior
.
Untuk menentukan digunakan
persamaan sehingga
dan ditentukan dan dengan
persamaan dengan . Hasil
perhitungan dengan menggunakan program
R diperoleh
,
yang digunakan untuk melukiskan batas
pengendali pada grafik pengendali-c,
seperti pada Gambar 3. Berdasarkan
Gambar 3 terdapat 18 sampel yang out of
control.
Gambar 3. Grafik Pengendali-c dengan
Prior Gamma
Salah satu metode untuk memilih
parameter dan , digunakan persamaan
dan untuk membantu menentukan
dan yaitu
dan
Dengan menggunakan persamaan dan
diperoleh
0 5 10 15 20 25
01
02
03
04
0
c-chart Bayesian subyektif
Nomor Sampel
Ba
nya
k K
etid
akse
su
aia
n
Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 113
dan
Distribusi posterior ditentukan dengan
menggunakan persamaan , sehingga
diperoleh
.
Untuk menentukan digunakan
persamaan sehingga
dan ditentukan dan dengan
persamaan dengan . Hasil
perhitungan dengan menggunakan program
R diperoleh
,
yang digunakan untuk melukiskan batas
pengendali pada grafik pengendali-c,
seperti pada Gambar 4. Berdasarkan
gambar di atas terdapat 18 sampel yang out
of control.
Gambar 4. Grafik Pengendali-c dengan
Prior Gamma
Studi simulasi dilakukan dengan cara
membangkitkan sampel dengan ukuran
besar (misalkan diambil
dari distribusi Poisson dengan parameter
. Sampel tersebut
digunakan dalam pengkonstruksian grafik
pengendali-c klasik (Metode 1), grafik
pengendali-c dengan prior Gamma
(Metode 2), dan grafik pengendali-c
dengan prior Gamma
(Metode 3). Oleh karena itu dapat
ditentukan proporsi titik-titik sampel yang
out of control. Hasil tersebut dinyatakan
pada Tabel 2, Tabel 3, dan Tabel 4.
0 5 10 15 20 25
01
02
03
04
0
c-chart Bayesian subyektif
Nomor Sampel
Ba
nya
k K
etid
akse
su
aia
n
Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 114
Tabel 2. Tabel hasil rata-rata proporsi titik
yang out of control untuk metode 1.
No. Metode 1
Tabel 3. Tabel hasil rata-rata proporsi titik
yang out of control untuk metode 2
No. Metode 2
Tabel 4. Tabel hasil rata-rata proporsi titik
yang out of control untuk metode 3.
No. Metode 3
Hasil proporsi titik yang out of
control dari grafik pengendali-c klasik jauh
berbeda dengan hasil proporsi titik yang
out of control dari grafik pengendali-c
dengan menggunakan metode Bayesian
subyektif untuk dan yang dipilih.
Untuk dan yang lain akan diperoleh
hasil proporsi titik-titik sampel yang out of
control hampir sama.
Kesimpulan
Dalam bab sebelumnya telah
dijelaskan penggunaan metode Bayesian
subyektif dalam pengkonstruksian grafik
pengendali-c, dengan prior berdistribusi
Gamma. Dalam makalah ini dipilih secara
subyektif distribusi prior Gamma dan
prior Gamma yang
cocok dengan keyakinan prior berdasarkan
Prosiding ISBN : 978-602-17339-0-5
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2012) Yogyakarta, 29 Desember 2012 115
mean dan deviasi standarnya. Distribusi
posterior diperoleh dari distribusi sampel
dan distribusi prior. Hasil proporsi titik
yang out of control dari grafik pengendali-c
klasik mendekati nilai yang diharapkan
yaitu . Sedangkan hasil
proporsi titik yang out of control dari
grafik pengendali-c dengan metode
Bayesian subyektif jauh dari nilai yang
diharapkan.
Pustaka
Montgomery, D.C. 1990. Pengantar
Pengendalian Kualitas Statistik. Alih
bahasa: Zanzawi Soejoeti.
Yogyakarta: Universitas Gadjah
Mada.
Prawirosentono, S. 2007. Filosofi Baru
Tentang Manajemen Mutu Terpadu
Abad 21, Edisi Kedua. Jakarta : Bumi
Aksara.
Setiawan, A. 2012. Penggunaan Metode
Bayesian Obyektif dalam Pembuatan
Grafik Pengendali p-chart. Prosiding
Seminar Nasional Penelitian,
Pendidikan, dan Penerapan MIPA,
UNY Yogyakarta
Web 1 :
Darmanto, Estimasi Parameter, Blog
Statistika,
http://statistikanyadarmanto.lecture.u
b.ac.id/materi-kuliah/