35. Bazant, Z.P. (1968). "Conditions of deformation instability of a continuum and their application to thick slabs and a half space" (in Czech with English summary), Stavebn'lcky v Casopis (SAV, Bratislava), 16, .3 5 48-64.

STAVEBNICKY CASOPIS Y7 ., "Q V t ........ uazan .204m��ky n��t�bili�v d��orn�c� kontinua a .1e21Ch llZ1t� na "lus"e stun" n polo-pros"or

SEPARATNY VYTLACOK

VYDAVATE£STVO SLOVENSKEJ AKADtMIE VIED

BRATISLAVA

ion of reinforcement is found by Eq. (38) following from Eq. (1) Eq. (41) may be for more complicated relationships of the variation in time. , plasticity of the reinforcement is assumed to be governed by Eq. (13). In order to

the Eq. (13) at the beginning of the plastification, the constant D is defined in the by Eq. (16). The linearized relationship of plastification (20) is also taken into t. linearized relationship of plastification leads to Eq. (60) for the dynamic ultimate

uts in the plastic hinges and for the angular velocities of the rigid portions 'of the • . The adopted' nonlinear relationship of plastification implies, similar relationships

the elastic range the motion equation (24) is chosen as the point of departure. it is that the sides y = 0 and y = ll/ are simply supported and the two remaining

'leI edges are perfectly built in, or simply supported or one of the edges may be built ereas the other simply supported.

, e elastic stage ends at the moment t = T, when it is assumed that all plastic hinges :�e suddenly developped. It is assumed that the layout of the hinges is the same as that '�er �h� statical load, �heir position being unchanged in the course .of �he deformatio�, lll�hls m agreement WIth the result of tests [11]. The rate at the begmnmg of the plastic h'e is to be found by the equality of moments at the end of the elastic and at the "" . g of the plastic stage.

motion equation in the plastic stage has been derived by the theorem of virtual ements. In the case of the linearized plastification relationship its form is (68)

., tSBolution is given by (70). The nonlinear relationship of plastification is governed 'jtli� motion equation (73). t :�hermore, the author presents the solution of a particular case of effect of a uniformly ·.' ibuted instantaneous impulse governed by the nonlinear relationship of the plas­�ation. The relationship of the dynamic ultimate moment M I/o(t*) vs time t is given by 'Mtion (90) and relationship (91) holds for the angle \;I/(t*). The time of the maximum

efprmation t,; = t - T, the maximum angle CI/(t;') and tile maximum deflection in the "ddle of the plate is given by formulae (92), (93) and (94). ,The derived relationships can be used for the assessment of the effect of a uniformly

" ributed dynamic load variable in time according to arbitrary law of variation.

;,DiaCU8sion oj this paper should be sent in triplicate (one copy not exceeding 2 pages) to the 'tar by 30. 4. 1968, to be published in the October issue oj this Journal.

STAVEB�fcKY CASOPIS SAY XVI, 1 - BRATISLAVA 1968

PODMINKY NESTABILITY DEFORMACE KONTINUA A JEJICH UZITI NA TLUSTE STENY A POLOPROSTOR

ZDEN�K P. BA2ANT

Pro reseni stability tlustyeh sten, hranolu nebo poloprostoru podle obr. 1 nelze vystacit s klasiekou teorii stability tenkych sten, skorepin a prutii, ale je nutno vyjit z obeene teorie nestability deformace trojrozmernych teles, resp. z teorie jejich deformaei ph poeateeni napjatosti, nebof na rozdil od prutii a tenkych sten nejsou priene deformaee v tahu a smyku, vznikajiei ph nestabilite, zanedbatelne. Tomuto probIemu byla jiz venovana lictyhodna fada praei, poeitaje G. H. Bryanem 1889 [6] a J. Hadamardem 1903 [10] (dale [17,2, 19) aj.). Presto vsak stale se jednotlive teorie navzajem zasadne riizni (vyjma pro pruty nebo tenke steny). V posiedni doM existuji etyfi navzajem zasadne odlisne teorie, a to teorie M. A. Biota (3, 4], H. N eu­bera [12, 13, 7], V. V. N ovozi lova [14] a C. E. Pea r sona [15]. Teorie Pearsona je dnes v zasade uznavana vetSinou teoretikii, napr. R. Hillem [11], W. Pragerem [16], A . E . Greenem a J. E . Adkinsem [9], C. Truesdel lem' [20) a vyjdeme z ni tez v teto praei. Musime vaak poznamenat, ze naproti tomu teorie Neubera a zvlas­til M. A. Biota [4] byly jiz pouzity na fadu praktickych liloh.

Riiznost dosavadnich teorii ma tyto duvody: Predne je to kriterium stability, ktere lze uvazovat napr. energeticke (Hadamard, Pearson, Hill, Prager, Green a Adkins, Truesdell, Biot) nebo rovnovahove, tj. podminka existence sousedniho rovnovazneho stavu (Biot, Neuber, NovoZilov). V zasade obe metody musl byt totozne (pro konzervativni sily [15]). U rovnovahove metody je vaak v obecnem pripade problematicka statieka interpretace (tj. interpretace silami pusobicimi na ploskach nejakeho elementu) slozek tenzoru zmeny napeti (aij) wei poca,tecnimu rovnovaznemu stavu, vazanych prirustkovym zakonem pruZuosti se slozkami tenzoru zmeny deformaee (eU)' (C. E. Pearson [15] dOl"ahuje shody s rovnovahovou metodou tim, ze definuje napeti podle Murnaghana energeticky, pomoei prvnich derivaci specificke potencialni energie podle slozek deformace, Nmz vlastne obchazi zminenou statickou interpretaci a neni to tedy rovnovahova metoda V tom smyslu, jak ji pouzivaji napr. Biot, Neuber, NovoZilov). Dale odlisnost teorii je tez dana riiznosti definice tenzoru velke deformace (ei}), ktery se uplatnuje ve vyraze pro pra.ci poeatecnich napeti Sij. Toto, jak ukazeme, je jedinYm duvodem pro nesouhlas M. A. Biota. [3, 4], s kriteriem C. E. Pearsona [15], uznavanym dnes vetSinou autoru. Naproti tomu teorie Neubera nebo Novozilova, tiZivajici tez rovnovahovou metodu, jsou v zasadni neshode s timto kriteriem. Proti teorii Biota nebo Novozilova mame tez namitku, ze nejsou ve shode s technickou teorii stability prutu nebo desek, uvazuje-li se smykova deformace (jako napr. u sandvicoyfch desek).

V teto praci uzijeme proto energetickou metodu ve smyslu kriteria C. E. Pearsona [15] a odvodime diferenciaJni rovnice rovnovahy pro kontinuum s poeatecni napja­tosti. Budeme pritom postupovat metodou malych perturbaci pocatecniho rovno­vazneho stavu, eimz problem linearizujeme. NaznaCfme pak reseni zakladnich pH-

48

padli nestability tIustych sten a poloprostoru podle obr. 1 a jejich vyznam pro teorii poruseni podeInou trhlinou pri tlaku.

1. Zdkladlli oznaeeni a vztahy Oznacme Xl (i = I, 2, 3) nebo x, y, :; pravouhle soufadnice hmotnych bodli ve

litavu pocatecnf rovnovazne deformace (stav II) a x; jejich soufadnice po zmene de­formace (stav III), tj. po premistenich u( nebo u, v, w; x; = XI + U(. Nedeformovany stay I nepotfebujerue zavadet. Pro indexy dvakrat se opakujici uvazujme Eins. teinovo sumacni pravidlo. Znacme (}ukloXf = Uk.( apod.

Tenzor konecne zmeny deformace (Lagrangeliv) podle definice ohecne pfijare ma tvar:

(1)

kde (2)

Obr. 1.

49

je tenzor male smeny deformace. Dale oznaClme Ell = Ex, 2E12 = 2EzII = YZII' ell = ex • . . . V pocatecnim rovnovazn�m stavu pusobi napetf So (Eulerova). resp . Sx. Sy. SXy •...• nlt ponchu Stelesa zatfzeniPf, resp. px •.•. a v objemu Vobjemove sily F I, resp. F z •.. , Zavedenim maIS'ch pfidavnSrch sil povrchovych Pf, resp. Pz, '" a sd objemovych If. resp. Ix, . . . , tj. perturba.ci ("mrtve zatizeni") vznikne mala. zmena deformace e'i, jez vyvola zmcny napeti IIli nebo lIz. IIv, 'rxy •... dane pfirust­kovjm anizotropnim zakonem pruznosti

IIfi = eriekl nebo specielne ortotropnim zakonem

IIx = Exzez + Exyey + Ezzez.

'rZg = 2Gzyezy,

(3)

(33)

kde e� nebo Ezz• Exv, GZy jsou elasticke konstanty. Stat icky vyznam napeti IIff nezavadime a. roy. (3) (nebo vy-raz (4)) je nutno povazovat za jejich definici.

2. Energeticke kriterium stability

Potencialn i energie male zmeny deformace na jednotku pocatecniho objemu je :

(4:)

Zde jsme nuceni. uvazovat pro pra.ci Sfl tenzor konecne deformace EtJ vyjadfeny pi'esne az po cleny druheho radu, i kdyz premisteni u( jsou mala, nebot IIlf je male vuci Sf! a clen lI(jffi je druheho radu v Uf.f. zatfmco Clen Sffetf je prveho Mdu. Ve vy-raze (4) oddelme Cleny druheho hldu a integrujme pres cely objem Mlesa, Nmz dostaneme zmenu potencialni energie vnitrnfch sil b:>lesa:

if U = J S'fElf d V + J S,,(e1f - eti) d V + J � effetJl'k/ d V. (5)

v v v

Uvazime-li, ze pocatecni napilti jsou y rOVDovaze, tj.:

SU,} + F, = 0 n,Stj = P,

(v objemu V), (na povrchu S).

(6a)

(6b)

kde nf je jednotkovj vektor vnejsi norma lS na povrchu S. muzeme prvy integral ve vy-razu (5) ptetvofit uzitim Gaussovy vety [16], [5a] 0 pfevodu integl'alu objemo­veho na povrchovy :

50

J Sfief.fdV = f SIjUi,fdV = v v

J " a = - SfJ,JUf dV + J :::- (St}Uf) dV = OXJ

l' V

(7)

-=:: - JSiJ,JllidV -1- InjStjllidV. r ""

Pridame-li praci pt'rturbaci Pi al;, ktere pokladameza "mrtn�"zatizeni, tj. nemenne­ho smeru a velikosti, predstanlje posledni V)TaZ praci ,1 W mi'jsfch sil pri zmene deformace:

LJ W = J (F, + 1.)llj cl r -i- J (Pi + Pt}Ui dS. (8) v s

Zmena LJII celkove potencialni energie telesa II viICi poMtecnimu rovnovaznemu stavu je ,1Jl = LJ U -,1 JV, cili s ohledem na identitu (7):

,1Jl = J SiJ{eij -Ilii) d V + J � C't]eijekl d V -r v

- J!tUi elV - J PIU, dS. v s

(9)

Nov)' !'ovnovazn)' stay, ktery tHeso zaujme po zavedeni pHdavn)'ch zatfzeni Pi a It . je dt\'n podminkoll minima zmeny potencialni energie LJII, Ii: cemuz nutnou podminkon je. aby jejl. prvni variace byla nulova:

.

tHLJJl) = O. (10)

S01)CaSne dostu.Yame tez kriterium stability pocMecniho stavu: Aby y poca.tecnfm rovnovaznem stayu byla potencialni energie lokalnim minimem, musi vyraz (9) pri II = PI = 0 byt kladny, pozitivne definitni pro libovolne kinematicky lJffpustne Ell a UtJ. Dosadime-li za EtJ tenzor (1), dostavame tak Pearsonovo kriterium (13) [15], V mpne obecnem tvaru je odvodil jiz Hadamard 1!J03 ([10], rov. VI. 18 a VI. 20).

3. Dilerenciri,lllt rovnice rowOL'dhy

OznaCime-li integrand prvniho a druheho integralu ve vJraze (!J) jako 10 a II a dale I = 10 + 11, muzeme tuto podminku postupne psat ve tvarech:

r5 J /(111,1) cll' - r) JJ;UI elV - 0 J PjUi dS = V l' S

• [ 0 01 . ] . f 8 [Of . 1 f = J - ---- - It bUI df + -- -- ou, dV - PtfJllj dS =

OX! OUI,J ox} (;lIi,J J v 'v s

= f [-!- --�� -filblli dV + f [nl _;.aI - PI] Oltt dS, eXj OUt,J CUi,1 I' S

(11)

51

kde jsme zamenili porad! variace <5 t; integrovanim a derivovanim \pr'edpoJila"dajice: ze OUt splimje okl'ajove podmfnky pro�) a pouZili Gaussovu vetu (16), (5a). anulovali posledni v"$Taz (11) pro libovolnou prfpustnou variaci <5U1" musl byt v objemu:

�(�) +1,=0 OXi OUt,i

{Eulerovy podminky) a na celem povrchu, na nemz je dana zatizenl:

01 ni--=p1.·

O�,f Zde muzeme dosadit (I = 10 + 11):

a oznaCime-li:

oh 0 (IOlel ) -- = -- - pqepqekl = (1(j Ou(,j oe(1 2

010 = Bpq O(epq - epq) = {}tj, Ou',l OUf.j

mame misto (12) a (13) podmiuky:

(1(j,i + {}fi,i + It = 0

nl(1tj + n({}(j = p(

(v objemu V) (na povrchu B) (17)

!( ',-hi +

J sou to diferencia,lnf rovnice rovnovahy a povrchove podminky rovnovahy pro zmeny ,),:, napeti (1'j vliei poca.teenimu rovnovaznemu stavu. Jestlize poloZime It = Pt = 0, ., jsou to pak diferencialni rovnice a povrchove podmiuky nestabilni rovnovahy, ,: jejichZ nenulove reseni pfedstavuje tvary ztraty stability. V1iCi obvykly-m rovniclln ):.t rovnovahy obsahuji roy. (16 ) a (17) navic eleny {}1.1.i a ni{}1,i, zavisIe na deformaci :i�' ,

" Napisme jes' a majici vyznam objemovych a povrchovych sil.

Zbjva jeste vyjadfit napeti {}u. Teprve zde potrebujeme zavest vy-raz pro tenzor koneene deformace, jejz uvazujeme ve tvaru (1). Dosadime-li jej do (15), muzeme vypoeist (Bti = Bit):

'

1 0 {}fi = Bpq --- (ur,pUr,q) = B1kU1.,k'

2 OUf,l

({}tl,i = BjkUi,ik-F"Ut,k; ni{}ti " PkUi,,,),

kde jsme uvazovalirov. (6a ). Vidime, ze tenzor {}1,i je nesymetrickY.

(18)

Poznam1ca ke statickbnu vyznamu napeti (11.1' J estlize definujeme nesymetricky tenzor

I I

napeti EhJ = Bil + {}Ci + (1il, vypljva z (16) a (17), s ohledem na (6a, b): Biotovyrov

52

€hl.l + Fl, + It = 0 (v objemu V), (18s) (na povrchu B).

NapHi (�J,I jsou tedy celkove sHy na deformovanem krychlovem elementu, vzt&zene na plosky v pocatecnim stavu. Nazyvaji se Lagrangeuv (16) (nebo Boussinesquv) tenzor napeti. Vzt&h mezi fiJiI a Eulerovjmi napetimi TIJ , tj. skutecn$wi napetimi pusohicfmi ns. krychlovy element vytiznut)" az po deformaci telesa, je (viz (15), rov. IX. 4. 3):

Tlk = (elk + e'/itk,/) /D; e'l = D(T'J-T,,,UI,")' kde D = det (8�:18zJ) � 1 + uI,I. (ISb)

Dosadime·li do rovnic (16) a (17) (11i vyjadfene podle z8.kona pruinosti (3), v nemz misto e" piSeme (2), obdrZime diferencialni rovnice (v dopise autora M. A. Biotov i, 29. XI. 1965):

{- C�J(Uk"i + '1£1,,,,) + 8J1cu',J" -FkuI,k +" = 0

a. okrajove podminky ns. povrchu, kde je dana zs.tizeni :

(19)

nj (� CVUk,IJ + Ul,kl + 8jkUC,k) = PI. (20)

Uv-aZujeme.li ortotropni material 0 zakonu pruinosti (3), dostavame misto (19) specielne rovnice (pro F, = 0):

� (E:t::t: au + Ezy OV + E:t:z OW) +� [Gzy (au + OV)] + ax ox ay Bz oy oy ox

+� [G:t:z (au +�)] + (8:t: 02'1£ + 811

02'1£ + 8z

OZu + oz f}z ax ox2 ay2 ozZ

+ 28zll--+2811z--+28:t:%-. +!x=O. OZu OZu 02'1£ )

axoy oyoz oxoz

Ns.pisme jeste okrajove podminky pro povrch telesa dany rovinou z = %1:

0'1£ av OW ow· OW cn' Ezz -+Eyz- + Ezz- + 8z- + 8zz- + 811z-= Pz, ax oy 8z 8z AX oy

Gzz -+- + 8:t:z- + 8yz- + 8z- = Px, (au Ow ) au cu 0'1£

a% 8x 8x oy 0%

GIIZ -+- + 8zz-+ 8yz- + 8z- = py. (8V ew ) 8v av ov az oy ox ay cz 3.1. Poznamk y k jinym teoriim stabili ty

Biotovy rovnice II.2.24 [4] se lisl od (16) a (17) tim, ze v nich misto (IS) stoji:

(21)

(22)

1 1 011 = 8jkU"k - 2 8Jkelk -"2 8'kelt. (22a)

5 3

col. je dtiskdkem jedine toho. ze misto (1) Biot u,-azuje jiny v)-rnz pro EIj. Nejobec­nejl;i tenzOl' ob;,;ahujici y�echny mozne (·leny 2. hidu v uf,i mllzeme zapsat ,-e tvaru;

(22b)

kde {')kl = .!.. (Itk f - IIi k). Zll.kladni podminkou pro EU je, ab,- pl'O rotaci jako tuM 2 ' , .....

t�leso bylo EtJ == 0 alespoii az po Cleny 2. radll. Odtud plyne a = 1/2 pri libovolnem b, c; soucasne tim jsou zajiliteny spra. vne hodnoty Ell, E12 pro pfipad velkych prtihybti U3 tenk6 desky, kdy u = v = ell = e12 = O. Klademe-li VBak dale podminky, aby

1 pro prosty smyk dany transformaci; U = W = 0, t' = bx bylo E22 = 0 a Sll = - 1c2,

2 dost&vame jednoznacne b = c = O. Soueasne jsou spineny podminky, aby pro cisty

smyk U = by, v = bx, w = 0 bylo Ell = S22 = � k2 aj. Naproti tomu VBak Biotuv

vyraz I. 3. 28 [4] odpovida. hodnota.m b = -..!.., c = 0, coz dava napr. lHU pffpad 2

prosteho smyku nespravne hodnoty E22 = -.!.. '�, Sll = ! lei! a pro pfipad cisteho 8 8

smyku nespl·s,vne hodnoty Ell = S22 = O. Zejmena tyto hodnoty neyyhovuji na po­vJ'chu telesa..

Rovnice J'ovnovahy �ovozilova ([14], eq. V. 16) majf opet jiny tvar, v nemz oleny

druheho roou jsou un:erne lokaInf l'otaci, totiz; {lcl = .!.. SI"(U,,k - Uk,,). Potom 2

vSak D'I nelze psa.t ve tVaru,{15), col. je nutno povazovat za z8.sadne nespra.vne. V teorii stability H. N e u b e r a [12, 13, 7] se piS{ pro a'l klasicke rovnice rovno­

vahy af/,1 = 0 a uvazuje Be;

Ttl = (aeIID) + S",(oXffox;) (axe/ox;) = Sfl - S/kU"k - S'kui.1& + a'l/D,

taUe cIeny druheho fadu se objevuji pouze v okrajovych podmink8.ch njT ii = 1>; = = P,/D. Nestabilita telesa, jehoz cely povrch je tuze podepren (pfipad Hadamarda), by byla nemozllli.

3.2_ Vz tah k t e orii v z p e r u p r u tti a d ese k

Klasicka teorie vzperu pruM. a. desek je specielnim prfpadem nasich rovnic. Uvazujme prut s osou Xl = X a bfemenem P. Poca.tecnf napetf jsou S:r; = Sl1 = = -P/F, Sy = Sz = 0, kde F je plocha. prurezu. V rovruci (16) Clen l}'i,i ma. vjznam objemove sily, Oii,} = -F;. V naaem pripade v rovine (x, z) podle (IS) je:

F; = -S:r;02wlax2, (22c)

c oz dava v celem prtirezu vyslednici: pc2wlax2, coz je spravny vYsledek [18]. Po­dobne pro tenkou desku v rovine (x, 1/) obdrlfme podIe (16):

54

• a2w 82w a2w F.=-S:r;--2S:r;1I -- +Sll-' (22d)

ox2 ox8y By!

coz je tez znamy vyraz ([18], str. 348). Tytez v)'sledky obddime, i kdyz v prutu nebo desce bereme v uvahu deforma,i od posouvajicich sil , tj. za predpokladu zachovani prime, ale nikoliv kolme norma.ly, jako je tomu u sendvicovych desek. Pro prut tento predpoklad zni IV = w(x), u = (z - w)tp(x), kde 11' je pootoceni prurezu a 11' + Ow/ox je zkoseni llhill. UrCime-li vsak F; pocHe (1.5) pro Biotiiv V)TaZ Etj (rov. (22b), a = -b = -.. , c = 0), 0 rzllne pn tomto pre po' a u Sl y = = z - -- -1 bd ., .. 'd kl d '1 FO S (3 a2w

2 4 &2

- - - , JCJIC Z YYS e Ice v prurezu nelll rovilo. ru Ie envaCl 0 y ove 0 mo-1 211') . .. h' . I dn' • , . d I' d' . h b 'h 4 ex

• menta -Pw, coz je nespravny vysledek. Podobne to plat! i pro teorii Novozilovti (14).

4. N ektera reSeni periodicklho tvaru

NaznaCime nyni strucne nektere aplikace. Uvazujme ortotropni tlustou desku (obr. la, b) omezenou dvema rovinami Z = ZI a z = z2(d = Z2 - %1), resp. pro Z2 -)- 00 poloprostor (obr. 2d, e). Nechf, osy ortotropie 8e shoduji se souradnjrni osami x, y, z. Neche pocatecni napjatost je homogenni a neehf SZY = SyZ = Sn = O. Hledejme resen! periodieke ve smeru x a y ve tvaru :

Obr.2.

u = �(z) sin !XX cos {3y, v = 1/(z) cos !XX sin {3y,

w = C(z) cos !XX cos {3y. (23) .

Dovoluje to splnit okrajove podminky na koncich desky pro podepreni no. tuM podlozce bez treni: u = izz = izy = 0 pro x = 0 a x = n;;r;/a.; v = illZ = iZy = 0 pro y = 0 a y = m;;r;/ {3. Perturbace uvazujme ve tvaru:

fz =fy = pz = py = 0, fz = fzo cos !XX cos {3y, PZ = Pzo cos !XX cos {3y. (24)

55

Rovnice (21) jsou potom splneny, kdyz: (-GXIe + Sz)f' + [oc2(Exx + 8z) -r fJ2(GXll + SlI)]� +

+ a{J(Exll + Gxy)fJ + rx.(Exz T Gxz)" = 0, rx.rJ( Exy -7- GZY)� - (Guz + S;)r( +

+ (rx.2(GXY + Sx) + fJ2(Eyy + Su)l'l + fJ( Eyx + Gyz)�' = 0, (25) rx(Ezz + au)f + ri(Eyz + Gyz)rl +

+ ( Ezz + Szl!;" - [1X2(Gxz + Sx) + (32(Gy% + Sy)K = 0, kde f = d�/dz apod.

Okrajove podminky na Z = Zl a Z2 podle (22) pro Sz = 0 jeon : (aaExz + b{JEyz + cyEzz) cos yZl = po. (ay + CIX) sin yZl = 0 , (26) (by + c{J) sin yZl = o.

Dostali jsme tak okrajovou ulohu, nebo pH Po = lzo = 0 problem vlastnich hodnot pro system tfi obycejnych diferenci8.Inich rovnic 2. radu.

J ednoducM pl.rtikuI.irni reseni lze pri lzo = 10 sin yz najit ve tvaru : � = a cos yz, "I = b sin yz, ,= c sin yz. (27)

Povrchove p::dminky (26) se spini napr. vztahy IX/y = -a/c, fJly = -b/c, y = n ,

3n , • • • avaak soucasne je v celem objemu Txz = Tyz = O. Dosazenim (27) do (�5) d

dostaneme system algebraickych rovnic [I, laJ, z neji plyne:

10 (Exx + Sx) (E1I1/ + Sy) c =--- , y2C l-Sz/S;-Sy/S; (28)

kde C je jista funkce modulu; pH rovinne deformaci, tj. b = 0, je: C = ExxEzz -E;'; S;, S; jsou kriticka. napeti (c -+ 00) pH jed:lOosem tlaku:

S. = _ ExxEzz - E!. ;;:

Ezz + Exz • (29)

Pri dvojosem tlaku p:x!:Iunka nestability (c -+ 00) je dina anulovanfm jmenovatele v (2h). Tento "extenzni" tvar nestahility podle (29) muze bjt nebezpecny p.)uze pro Ezz � -Exz � Exx, Ea -+ 0, kdy S; � Exz.

Obecne reseni naznacme p:>uze pro rovirinou deformaci, b = O. V pfipade, kdy ch:uakteristicka rovnice 4. stupne systemu (25) ma. ctyfi koreny ryze imaginarni ±ik1, ±ik2, ma obecne reseni tvar:

� = a\ cos k1IXz + a2 cos k21XZ,

, = Cl sin kllXZ + C2 sin k21XZ (30) (kt = k2 by vedlo na (27)). Funkcemi (31) lze vyhovet okrajovjm podminkam (26) na volnem nezatizenem povrchu Zl = -d./2, Z2 = d /2 (obr. la, b). Jinak lze jimi vsak vyh:wet i p'Jdminkam tuze vetknuteho povrchu pro Z = 0 a Z = d (pruina vrstva uzavrena v tuMm materiaiu, obr. If, g), nebo tez podminkam tuMho podeprenf bez trenf (obr. 2h). tj. W = Txz = O. Nejmensf kriticke napetf je (1. Ia):

56

(31)

a delka vlny se pro nej blfzf nule. V pfipade, kdy charakteristicka rovnice ma. ctyfi koreny realne ±h, ±l2 (h '*' lz),

obecne reSeni ma tvar:

; = a1eh«z + a2el- + a3e-I" .. + a4e-'I«Z,

z: = C1 eh«z + C2e'l«Z + C3e-h«z + C4e-11"'" • (32)

Omezfme-Ii sa n80 prve dv80 cleny (a3 = a4 = Ca = C4 = 0), muzeme resit poloprostor Z < O. Pro urciM. kriticka. n80peti splnujici podmfnku -8", > G:rz je mozno splnit povrchove podmfnky (26); delka. vlny 2:rc/a. nezavisi na. 8",.

V pnp8ode, kdy charakteristicka. rovnice ma ctyfi koreny komplexni ±rl ± irz, je obecne reSen!:

e = (a1 ch r1ilCZ cos rztxZ + a2 sh rltxZ sin r2::Z) + + (a3 sh r1txZ cos r2txZ + a4 ch r1txZ sin r2txZ) ,

C = (C1 ch r1txZ sin rztxZ - C2 sh rltxZ cos r2txZ) + + (C3 sh r1txZ sin r2txZ - C4 ch r1txZ cos r2 txZ).

(33)

Antisymetricka cast tvofena tfetfm a CtvrtYm clenem limituje pro Z1 - Z2 -+ 0 ke kl80sickemu reseni Eulerovu [18].

Slozitiljsf pnpady je vhodne reait pfiblizne Ritzovou metodou. Uvazujme tlustou desku Z1 ..;; Z ..;; Zz namahanou tlakem a ohybem, tj. 8", = 80 + [.1,81, � = z/d a pric­nym konstantnfm napHim 8z• Zavedeme rovinnou deformaci a perturbace obecne ve tvaru:

u = -a sin (:rcx/l)qJ(fl), w = C cos (:rcx/1)'I'(�);

/z = /0 cos (:rcx/l)'I'(�)' (34)

Po dosazenf do (9) z podmfnek minima o(L1II)/oa = 0, B(L1II)/oc = 0 dostaneme:

kde

C = - 80 + 81- + (Ezz + 8z) + /012 [ Gs G4l2

:rc2 G2 ;rc2G2d2

+ G (1 1Z GaGs G",z/E",,,, )] -1

(36) :;r;z

-dZ -0; 1 + Gs(12{dZ) (G:;r;z + 8z)/E",:;r;

,

Ca 80 G5 81 C8= -- ' C7=1+-+-- � 1,

C1G7:rc2 E:;r;:J; G1 E:;r;",

(36)

Specielne pro symetrickou deformaci pri 80 = 8"" 81 = 0 podIe obr. 180 je vhodn6 zvolit qJ(z) = -cos (:rcz/d) + 2/:rc, 'I'(z) = sin (:rcz/d), coz dava G4/C2 = 2:rc2, :rc2C1fCs =

57

= 1- 8/:t2, Ca = Cz. Pm nesymetrickou deformaci podle obr. I i v tlacene zOne pri ohybu desky tlousfky 2d ml';zeme zvoIit:!p(,u) = p2 - 5p4i3, 'P(p) = drp/dp, coz dava: Cl = 0,0325, C2 = C3 = 2,36, C4 = 57,3, Cs = 0,0278, C6 = 2,11. Mtizeme se pfesvedcit, ze nejmensf kriticka n<1peti v tlaku (c � 00) jsou v obou pffpadech opet pfiblizne rovna - Gz:. PIaU to i zcela obecne podle (25), kdyz delka pulvlny lid je mala..

Pri dvojosem tlaku 8:r;, 811 muzeme nejjednoduseji uvazovat pro nesymetrickou deformaci ("smykovy") tvar: u = v = 0, w = c cos ocz cos j3y,fz = fow/c. Z podmfnky 8(Lb)/oc = 0 pak plyne:

c =fo[a.2(Gzz + 8z) + j32(Gl/z + 811)]-1. Nestabilita (c � 00) tedy nastane, kdyZ je bud -8z � Gzz,nebo -81/ � G1/z,

Podobne pro symetrickon deformaci, uvazujeme.li

dostaneme:

u = v = 0, w = c cos ocz cos j3y sin (nz/d), fz = fow/d ,

(37)

(38)

DalSi ulohy, jez by bylo treba resit, jsou tluste desky poru/iiene jednou nebo vice dIouhyroi trhlinami (obr.lj, k) aj. Pfipad soustavy pruheznych hustych rovnobMnych trhIin Iimituje k Eulerove teorii. :

Rovnice (16)-(26) lze rez primo zobecnit pro viskoelasticky materiaJ,zameni.li se pruznostni konstanty Gzz, Ezz, Ezz, ' " za pffslume operatory dotvarovanf -Gzz, • . , v case. Lze ukazat, ze kdyz pro dany Casovy interval proMh relaxacniho modulu Gzzrel(t) aproximujeme kfivkou 0 limite Gzzre1( (0) = Gzzoo > 0 a kdyz zatfzen{ je stale, je dIouhodoba konecna deformace a stabilita dana prdnostnfm reaenim se zmensenjmi moduly Gzzoo (mfsto Gzz) apod. (napf. v podmfnce (31».

Na zaklade pfedesleho rozboru muzeme shrnout: V prumem (nebo viskoelastickem) kontinuu jsou mozn6 tvary nestability podIe obr. 1, pfi kterjch vznikajf pficn8. tahova. a smykova napeti druh6ho f8.du. NejmenSi kritick6 napeti v tlaku pro tyto tvary je dano moduly pruznosti. U isotropniho kontinua mohou tyto tvary nestability vzniknout jen pri velk6 poca.tecnf deformaci, prakticky pom:e u kaucuku. Jelikoz v/iia.k kriticke napetf klesa silne s pffcnyroi moduly v tahu s. ve smyku, mohou tyto tvary nestability by-t nebezpecne u ortotropnlch konstrukcnfch materitHu.

5. Vyznam pro 'eori. poruleni

Je zrejme, ze pevnost v tlaku nemMe byt vets! nez nejmensi mozne kriticke napetL Poruseni v tlaku nestabilitou podIe obr. 1 vede na trhlinu rovnobeznou se smerem tlaku, jez je. jak znarno, typick);n zpusobem poru/iien! nehomogennich ortotropnich materialu (skelne laminaty, rozne hominy, dfevo). Vznik trhliny paralelnf s tlakem nelze vysvetlit pouhyro Poissonovjm efektem, ale je nutno predpokladat vznik druhotnych pffcnych tahovych a smykovYch napetf. Efekt treni 0 opemou celist, loka.lnl stridava. napeti v nehomogenni mikrostruktufe, koncentrace napeti u p6ro a Griffithovych trhlinek, smykovy posun ns. sikmych sevfenych ploskach lomene trhlinky a nedokonalosti povrchu, polohy bremen, smeru Iokalnfch os ortotropie a hodnot stfednich modulu vysvetluji vznik nespojit6ho -systemu podelnych trhlinek,

58

ale nejsou Bamy 0 soM dostatecnym vysvetlenim pro vznik dlouhych podelnych trhlin v nehomogennich materialech. Je proto nutno pfibrat efekt nestability.

Podminku pevnosti v tlaku, pokud 0 pevnosti rozhoduje nestabilita, lze pak zapsat podobne jako podminku vzpeme pe\-nosti sloupu:

(39

kde" je pnimema. pevnost v pfienem tahu, reap. smyku (pH podelnem tlaku 8:s;, 8,,), 018:s; + Os8/1 jsou pMimema. pnen&. napeti od nedokonalostf, resp. ruiivjch sil podle teone I. f&du, 01, 02 jsou experiment8.lnf koeficienty a clco je zvetSovaci faktor, kterj lze vzit pfibliZne podle vzoroo (2S), (35), (37), (3S). .

Je mome, le vliv nestability d.eformace se v poeledni fbi poruSen! projevuje i U' nekterjch statisticky isotropnich nehomogennich materi&1u, jako je beton, keramika. So hominy. Lok&1ni pficna. napeU, jet se objevf vlivem nehomogenity (zma, nQry, Griffithovy trhHnky), zpUsobuji totit vldy tahove trhlinky orientovane ve smeru tlaku, a ty pak majl Za n&aledek pokles pffcnych modulu prumosti, tj. vznik druhotne ortotropie rozvfjejici Be s postupem zatezovw. Do jiste miry je tfeba tento efekt pfedpokl8.da.t i u skelnych lamin8.tu - pevnost v tlaku bpS. totit kolem 1500 kp/oms, avSa.k teoreticky modu} G:S;I& by vych8.zel asi 15 000 kp/cm2, kdybychom neuvatovali vznik podelnych trhlinek poruchami adheze.

Podle teto teorie bylo by tez momo vysvetlit vzrUst pevn08ti v tlaku se zakfi. venim steny skelneho lamina.tu, zjiSteny zkouskami L. S k u p i n a [22]. Uvazujme stenu trubky podle obr. 2. V lokalnim pravotihlem systemu soufadnic :1:, y, Z se vliv kfivosti projevf tim, ze radhilni posunuti w vyvola-;-a. obvodove protateni 8" = = -w/B. Piedpokl&d8.me.li nesymetrickou deformaci podle obr. 2, jeZ je d8.na nejjednoduSeji rovnicemi (37) (� = nil), dostaneme po vycfsleni vjrazu (9) z pod­minky 8(An)/Bc = 0:

. (40) Pro symetrickou delaminaei podle obr. 2b ve jmenovateli navie stoji Clen n2Eul2/d2 •

. Pfislusny zvetSovaci faktor pak figuruje v podmince pevnosti (39) (02 = 0). Na obr. 3 uvJ\dfme porovns.ni II vysledky zkouSek(pevn08ti (vyneseny prumery ze serH po Aesti) v tlaku za. ohybu (dvema bfemeny) nal trubka.ch z polyesteroveho lamin&.tu vyztu­!tenaho skelnou tkaninou ('?_52fo �bjeniu) [221. Shoda. 8 prtiMhem kritickeho napeti vyplyvajicfm z (40) je dobra., uvazujeme-li l = Vkd, kde k je experimenM.lni dtHkova.

kfl/tm' 1500 � 1000

5(1)

°0 dlRz'

Obr.3. 2m' "

J.r.... , - (I ��) e,. - bu; +-1(1.�Jt&/(a. 59 -'

konstanta (pffmee na obr. 3 odpovid8. kElIlI/Gzz = 177 em). (V porovnanf a tIostjm hranolem tento vliv vSak nebyl proks.zan [23].)

Jinou o.plikaei reto teorie je vjpocet tektoniekyeh tlakti, jake ptisobily pri vras­neni vrstev v geologii [Ie).

Dodatek I. Okrajuve podminky pH, hydroatatic/cl,m zat££eni

Pfi hydrostatickem zatiZeni P od plynu nebo kapo.liny vektor zatiZeni P,J v pro­behu zmeny deformace Ut meni smer, ta.k jak Be otaci normala ni povrchu S'. Z toho dAvodu by ve vjra.zu (8) pro LlW bylo tfeba uVaZovat jeMe pfidavny clen Wa vyMiho f8.du, kterj se pak objev! jo.ko -W3 ve vjra.ze (9) pro Llll. (Vjraz Wa je jinak tez dan jako PLI V, kde LI V je 1-mena objemu telesa. vcetne elenA vyMfho f8.du.) PodIe predstavy 0 p08tupnem prcibehu deformace 1£, v zavislosti na jedinem po.rametru t, 1£', = u,t, obdlZel Pearson integrovanfm elementa.mich praci od t = 0 do t = 1 vjraz [15):

-Wa = f � (n(U(Uk,k-nku(Uk,dPdSp, (41) s,.

kterj tez mMeme zapso.t ve tvo.ru:

nebot

-Wa = f � n,.eJWtl Eplk 1£, Ut,tl PdSp,

S,. (42)

Ellk je Levi·Civituv symbol (rovny 1 pro aude permuta.ee inderi 123, -I pro Hebe permutace, jino.k 0), Sp je Mat povrchu, no. niZ pUsobi hydrostatieky tlak P. Ve v§ech tvo.rech roy. (ll) je pak tfebo. pfipojit jeste variaei povrehoveho integralu (41), reap. (42):

6 13(u" u',/) dSp = - <5u, dSp + -- (<5ua),/ dSp, f f 81a I 813

81£, au,,! s,. s,. s,.

kde 13 je integrand v (41), reap. (42). Dale mAzeme vypocist:

ala 1 - = - pen, Uk.k - nkUk.'), all, 2

()Ia 1 -- = - n, Epr! Epl' ttl P au,,! 2

a pomoci (45) posledni integral v (43) vyj8.dfit ve tvaru:

- f � n,Fpr! Ep,,(u,P),1 6u, dSp + f � n, E,!p(EfI" ttl P<5uc)'/ dSp.

s,. s,.

(43)

(44)

(45)

Zde PrvY integr8.l muzeme dale upro.vit podle vztahu EJIU EFI = 6" t'l - �'! 6" [16] a druhy integral podIe Stokesovy vety [16] pfevest no. integral po ki'ivee Lp ohranieujiei Mat Sp povrchu zatiZenou hydrostatiekjm tlakem P, tj.:

60

Zde ')I, znaei jednotkovy teeny vektor kfivky Lp. Po dosazeni (44) a (46) do (43) a zavedeni variace (43) do (11) dostavame misto (17) povrchovou podmfnku pro povrch zatizeny soueasne "mrtvym" zatizenim P, hydrostatickjm tlakem P:

nJu'J + (PJ + Pnl)u,.J + {pn'UI.I-pnlul., + � n,uJP.J- � nIUIP.,} = 0,

(47)

kd.e { ... } pfedstavuje viiei (17) pHdavny Clen, jejz lze jinak zapsat teZ ve tvaru:

nr ern' eprl (U',JP + � u, P,/) • Navic zde v§ak dosta.vame i podmfnku na hranien!

ki'ivce Lp: Pell" 'JI� U, = O. Vyiaduje to bud ,aby posunutf u, se delo ve smeru 'JI�. t. j. v teene hranien! kfivky, nebo aby posunutf Ui na nf bylo nulove (vetknuti) nebo, aby na ni bylo P = 0 (hladina kapaliny). Je-li plocha 8p 80uvisla uzavfena (oele teleso ponorene v kapaline ei plynu), poslednf podmmka odpad8..

Uvazujme nyn!, ze posunutf u, a deformace viici poMteCnfmu stavu j80U ko: neene. Zmena potencialnf energie vnitfnich sil na jednotku objemu zvoleneho poMtecniho deformovaneho stavu namfsto rov. (4) je

LlU = S'I eu + 11(e'I), (48) pfiCemZ zmeny napetf odpovfdajfcf e'l jsou

u'l = 811/8e'I' (49) jak plyne z definice praee napeti u'l na deformaei «5 e'l, jez je u'l «5e'l. Z podmfnky «5(LI U - LI W) = 0, kde LI U = f LI U d V, plynou postupem podobnjm jako od (10)

v ku (12) - (13) opet rovnice (lSa), v nieM

e'l = 8(LI U)/au',J. (50) Podle toho Ize vypocfst

8epq 8It aepq aepq 8(epq - epq) T'J = Spq --+ ---- = (8pq + Upq) -- = S'I + Spq =

8u',J 8epq au',1 8uc,1 au',l

1 8(ur,p ur.,,) ..

= s(j + spq- = s'l +sl� U"�' 2 au',1 .

kde jsme konecnou deformaei dosa.dili podIe rov. (1) a oznacili s'l = 8(j + u'l = 8.(LlU)/8e'l.

(51)

(52)

Symetrieky tenzor napeti s'l definovany vztahem (51) nebo (52) vzhledem k ne·

61

napjatemu pocatecnimu stavu I se nazyva napetim Kirchhoifa (16). Dosazenim vztahu (51) do (18a) dosbivame nelinearnf rovnice rovnovahy v napetkh Stl (F, + + It. = X" P, + PI = Qd:

(Stl + Si" Uf."), j + X, = o. (53)

DiIlezite vSak je, ze plati i v\iCi libovolne zvolenemu pocatecnimu napjatemu stavu. To zjednodusuje problem nestability; dosazenim roy. (52), (Itt � Btl, do (53) a za­nedbanim clemi vyssiho fadu dostavame roy. (16) - (17). Kdybychom vSak Ttl. Stl a Uf vztahli k nenapjawmu stavu I, museli bychom polozit Ut = U, + v" kde v, � Ut, a. dostali bychom rovnice znacne slozitejsi [5].

Z rovnic (53) lze snadno ziskat napf. nelinearnici rovnici Karmana-Foppla pro pokriticke pruhyby tenkych sten aj.

Pro konecne deformace je tfeba ve variacni podmince (9) a v jejfm orlvozeni

pouze zamenit ..!.. G� ell e"l obecnjrm vjrazem 11 (£:1)' 2

LITE RATUR A

1. Bazant Z. P., Nestabilita kontinua a pevnost v tlaku. V�k. zpravs. c. 67, Stavebni ustav CVUT, Praha 1967. - 180. Bazan t Z. P., L'instabilite d'un milieu continu et Ie. resistance en compression. Bulletin RILEM. no. 35,99-112, Parlz 1967. - lb. Bazan t Z. P., O n matematical solution of the geological strata folding problems. 23. International

Geological Congress. Section 13 (v recenzi), Praha 1968. - lc. Bazant Z. P., Axial fracture under compression and instability of deforms.tion. Int. Jour. Fracture Mechanics (v recenzi). - 2. Bieze n o C. B., H e noky H., On a general theory of elastic stability. Proc. of the Royal Academy, Vol. 31, 569-592. Vol. 32, 444-456, Amsterdam 1928. -3. Bi o t M. A., Non-linear theory of elasticity and the linear case for a body under initial stress. Philosophical Magazine, Ser. 7, Vol. 27, 468-469, 1939. - 4. B i o t M. A., Mechanics of incremental deformations. John Wiley and Sons, New York 1965. - 5. Bol o t i n V. V .• Voprosy obScej teorii uprugoj ustojcivosti. Prikladnaja Matematika. i Mechanika A. N. SSSR, XX, 561-577, 1956. - 580. Brd ick a M., Mechanika. kontinua. NCSAV, Praha 1959. - 6. Bry a n G. H., Camb. ?�iL Soc. Proc., 6,199,287,1889. - 7. Buf l e r H., Die Druckstabilitat rechteckiger Ya. ' __ :,i.ldplatten. Ing. Archiv, Nr. 2, 109, 1965. - 8. Collatz L., Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. Akad . Vel'. Geest & Portig, Leipzig 1963. - 9. Green A. E., Adkins J. E., Large elastic defonnations and nonlinear continu­um mechanics. Clarendon Press (Chp. IX), Oxford 1960. - 10. H ad amard J., Lef,lons sur la propa.gation des ondes. Hermann. (Chp. VI), Parli 1903. - 11. Hill R, On unique­ness and Rt.a.bility in the theory of finite elastic strain. Journal of the Mechanics and Physics of Solids: 229-241,1957. - 12. N e u b er H., Die Grundgleichungen der elastis­chen Stabilitii.t in allgemeinen Koordinaten und ihre Integration. Zeitschrift der Angew. Math. u. Mechanik, Vol. 23, 321-330,1943, viz tez: Vol. 32, 325, 1952, Vol. 33, 10, 1953. - 13. Neuber H., Theorie der elastischen StabiIitii.t bei nichtlinearer Vorver­formung. Acta Mechanica, no. 3, 285, Wien, Springer 1965. - 14. Novozi l o v V. V., Osnovy nelinejnoj teorii uprugosti. Tech-teor-izdat (engl. transl.: Graylock Press, Ro­chester 1953), Moskva-Leningrad 1948. - 15. P ea.r s o n C. E., General theory of elastic stability. Quarterly of Applied Mathematics, XIV, 2, 133-144, 1956. - 16. Prager W., Einfiihrung in die Kontinuumsmechanik. Birkhii.user (trad. Introduction to mechanics of continuous media,.Ginn, 1961), Basel 1961. - 17. S o u t h w e 11 R. V., On the general theory of elastic stability. Philosophical TranS8.('tions of the Royal Society, A, Vol. 213, 187-244, 1913. - 18. T i m o s h e n k o S. P., G e r e J. M., Theory of elastic stability. 2nd ed., Mc Graw Hill, New York 1961. - 19. Trefftz E., Zur Theorie del' Stabilitat des elastischen Gleichgewichte. Zeitschrift del' Angew. Math. u. Mech. 13, No. 2, 160-165, 1933. - 20. Truesdell C., The nonlinear field theories of mechanics. Handbuch der Physik, Band III/3, vydal S. Flugge, Springer (Chap. 68-70), Berlin 1965. - 21.

62

Ziegler H., On the concept of elastic stability. Advances in. Appl. Mechanics, V ol. 4. 351-403, Acad. Press 1956. - 22. S kup i n L .• Niektore otti.zky navrhovania konAtrukcii 7;0 skelnych lamirui.tov. Sbomik.: Uziti plastickych hmot v stroje.renstve, VTS, Martin 1965. - 23. Ka b e l k a J., Pfispeve k k mereni meze pevnosti v tlaku polyesteroveho lamirui.tu. Zpra.va C. 2-206, Ustav thermomechaniky CSAV, Praba. 1965.

Adresa autora: Odevzua.no 3.6. 1966 lng. Zdenek P. Bazant, CSc. t. C. University of Toronto (Canada).

Diskumi pfispC§vky k iomuto cianku (v rozsahu nejvice 2 stran) pollete trojmo redakci easopisu do 30. 4. 1968. aby bylo mODo je uvefejnU v fijnovem cule 1968.

3�eHeK II. B aiKa llT

YCJIOBIUI HEYCTOA:QHBOCTH ,1J;E<IlOPMAllHH CITJIOIIIHOn CPE,1J;bI H JilX ITPHMEHEHHE ,1J;JI.fI TOJICTbIX ITJIHT H ITOJIYIIPOCTP AHCTBA

B npe�JIaraeMoit CTaTbe pemella o(j�all npOOJIeMa HeYCTolt'lHBOCTH A�PMaqHlt ynpyrHx TPexpasMepHUX TeJI II HX Ae4toPM�Hit B COCTOIIHHII Ha'laJIblUolX lIanpflmeHl[n. llpelfQe Bcero C�pMyJlHPOBaH BapIIaqHOHlUolJ: npHHItHD (9) �JIII Mam.tX Ael{tapM�lln aHK301'pOnHLlX TM C Ha'laJIblUolMH HanpRmeHHIIMH. BapllanHolUol:ll MeTOAO:ll BLlBeAeHH ��peH�llaJIblUole ypaBHeHKII (16) If KpaeBLle yCJIOBHfI_(17) AJIII nOCTOflHIUoIX HarpyaoK B KOOpAKHaTaX Ha­'laJIbHOrO paBHOBeCHOrO COCTOflHHfI (B npUJIOlKeHllH BLlJeAelUol TOiKe KpaeBLle YCJIOBKII A.'111 rHAPocTaTH'leCKOrO lJ;aBJIeHHII). BLllIa I{tJpMYJIHpOBaHa KpaeBall 3a1J;a'la Imll J(JlII HYJIeBLlX HarpysoK npOOJIeMa COOCTBellHLlX 3l1a'leHHtt • .IJ;JIII nepHoAII'IeCKOn Ael{topManKII B I{top:lle (23) npOOJIeMa CBeJ(eHa K oliLlKHOBeHflJot\1 AU�peHnllaJIblUoll( ypaBHeHHIIM (25) C KpaeoLlMH YCJIOBHIIMH (26). BLIJIK nOJIyqelUol OCHOBlUoIe 1{t0PliLl pemellllll. BOJIee CJIOIKHLle CJIY'IaK OLIJIK pemelUol BapHaItIlOHHLIM MeTO;XOM PHna. PemeHHe :tIOIKIIO TOlKe OOOOlllllTb J(JIII BII3KO­ynpyrux MaTepHaJIOB. CiteJIaHa TOlKe KpHTKKa J(pyrKx TeopHIt II KX He;XOCTaTKOB. BLlJIO nOJIyqello, 'lT0 AJlIl I{tOPM HeYCTolt'lHBOCTH no pHC. 1 KpHTH'leCKKe HanpflIKeHHII aaBKCflT rJIaBIUoIM oopasoM OT MOJ(yJIett ynpyroCTH B nOnepe'lHOM HanpaBJIeHK G,u H E... HaItOHen nOKaSaHO ma'leHHe AJlfl TeOpHH pa3pymellHII rrpH CmaTKIl C rrpo):tOJIbHLlMII TpellllWa:llH (HJIH paCCJIOeHHeM) H 001>IICHeHO YBeJIH'leHHe corrpOTKBJIeHHII npH CiKaTK11 CTeHLI K3 CTeKJIO­nJIaCTHKa B saBHCKMOCTH OT ee KpIlBK3HLI.

8a.Me'W.HUJJ U OmabJ6bl � amou cmambe HMO nOCMUnb 6 mpe:r; ROnUJlJ: (If" oo.aee 2 cmpa1f,u,+) pea�'+Uu :HCYPKaAa ao 30. 4. 1968 e., Qmo6", .ICO:>fC1W 6b1oM> ony6JtuIW6amb u:r; 6 O�6pbCIWM /iOMepe 1968 e.

Zdenek P. B a za.n t

CONDITIONS OF DEFORMATION INSTABILITY OF A CONTINUOUS MEDIUM AND THEIR APPLICATION TO THICK SLABS AND TO

HALF-SPACE

ln the present paper a general problem of instability of deformation of elastic three­dimensional bodies and their deformations in the presence of initial stress are solved. First of all, a variational principle (9) is formulated for small changes of deformation ofan anisotropic body due to small perturbations (deadloads) of the initial equilibrium state. Its speCIal case is the Pearson's stability criterion (15). There are variationally derived the differential equilibrium equations (16) with pertinent surface conditions (17) for deadloads in the coordinates of the initial equilibrium state. (In an appendix the surface conditions for hydrostatic pressure are also derived.) Then the boundary value problem

63

or the Eigenvalue problem for zero perturbations are formulated. For a periodical defor­mation in the form (23) the problem may be reduced to ordinary linear differential equations (25) with boundary conditions (26) and the basic forms of solution are given. More complex cases are solved directly by the variational Ritz method. The solution may also be generalized for a viscoelastic material. A critical review of the other existing theories and their defficiencies is also presented. It has been found that for instability forms in Fig. 1 the critical stress depend mainly on the transverse elastic modulus Gu and eventually Eu. The significance for the theory of axial fracture under compression (or delamination) is briefly discussed and the increase of compression strength of a wall of fibre glass plastics with its curvature is explained.

IJi8cusBion oj thu PfYP6r 8hotdd be 86nt in lriplicate (OM copy no' e:z:cuding 2 page8) to the Edi.Wr by 30. 4. 1968, to be published m the October i8Bua oj thu Joumal.

64