PROTOCOLMagnetisme i superconductivitat

Júlia Ferrer Ortas, Andrés Fonts Santana i Sergi Plana Ruiz

Primavera 2015

Continguts0 Introducció 5

0.1 Origen del magnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2 Moment magnètic atòmic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.3 Límits del magnetisme quàntic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.4 Objectes quàntics, macroscòpics i nanomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.5 Noms importants a la història del magnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.6 Magnituds i unitats en magnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.7 Origen de la Superconductivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.8 Angular momentum and spin (Ferran Macià Lecture) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Magnetisme a escala nanomètrica 151.1 Magnetisme atòmic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Àtom monoelectrònic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2 Àtoms multielectrònics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.3 Configuració electrònica. Regles de Hund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.4 Interacció amb el camp cristal·lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.1.5 Operadors equivalents de Stevens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.1.6 Magnetisme dels àtoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.1.7 Diamagnetisme. Susceptibilitat diamagnètica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.1.8 Paramagentisme. Susceptibilitat paramagnètica . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2 Molècula d’Hidrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3 Interacció d’intercanvi i Anisotropia magnètica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3.1 Hamiltonià d’intercanvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.2 Hamiltonià d’anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.3 Hamiltonià d’interacció dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.4 Partícules monodomini i superparamagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.4.1 Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.4.2 Relaxació magnètica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.4.3 Relaxació magnètica. Càlcul deM(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.4.4 Corbes ZFC i FC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1

1.4.5 Mesura de susceptibilitats amb camps magnètics AC . . . . . . . . . . . . . . 571.5 Mecànica quàntica d’un espín gran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.6 Efecte túnel en molècules magnètiques. Mn12 acetate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.6.1 Dependència de la magnetització amb el temps. Procés de relaxació. . . . . . . 651.6.2 Caracterització del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.7 Corba de Magnetització . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.8 Corba ZFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.8.1 Camp magnètic ressonant i efecte túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.8.2 Teoria de Landau-Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.8.3 Superradiància . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.9 Superparamagnetisme. Astroide Quàntic en molècules Mn12 acetate . . . . . . . . . . 711.9.1 Astroide Clàssic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.9.2 Astroide Quàntic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2 Magnetisme a escala mesoscòpica 752.1 Model de Heisenberg en una dimensió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.2 Model de Heisenberg en dues dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.2.1 Vòrtex i antivòrtex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.2.2 Observació d’un vòrtex. Temperatura de Kosterlitz-Thouless . . . . . . . . . . 84

2.3 Model de Heisenberg en tres dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.3.1 Operadors de Bose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.3.2 Transformació d’operadors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.3.3 Hamiltonià de Heisenberg en termes dels operadors de Bose . . . . . . . . . . 892.3.4 Descripció de les ones d’espín a partir dels operadors de Bose . . . . . . . . . . 91

2.4 Paramagnetisme del gas d’electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.4.1 Càlcul de la susceptibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.5 Diamagnetisme quàntic del gas d’electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.6 Model d’Stoner i interacció RKKY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3 Magnetisme a escala macroscòpica 1073.1 Sistema Ferromagnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1.1 Energia d’intercanvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.1.2 Energia d’anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.1.3 Energia de Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.1.4 Energia dipolar o magnetostàtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.1.5 Energia total d’un Ferromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2 Sistema Antiferromagnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.2.1 Energia d’intercanvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2.2 Energia d’anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2.3 Energies Zeeman i dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2.4 Energia total d’un Antiferromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.2.5 Camp antiferromagnètic i vector de Néel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.3 Model d’intercanvi en dues direccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.4 Dominis magnètics i parets de domini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5 Materials magnètics i aplicacions relacionades amb el magnetisme . . . . . . . . . . . 120

2

3.5.1 Imants permanents i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.5.2 Materials magnètics tous i les seves aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.5.3 Efecte magnetocalòric i refrigeració magnètica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.6 Dinàmica del magnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.7 Mesurar la magnetització . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.7.1 SQUID magnetometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.7.2 VSM magnetometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.7.3 Magnetic Force Microsocopy (MFM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.7.4 Magneto Optic Kerr Effect (MOKE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.7.5 Caracterització per Raigs X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.7.6 Aspectes generals de tècniques de ressonància . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.8 Ressonància Ferromagnètica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.8.1 Freqüència de ressonància d’una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.8.2 Freqüència de ressonància d’un material pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.9 Ones d’espín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4 Superconductivitat 1454.1 Introducció i revisió històrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.2 Diferenciació entre conductor perfecte i superconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.3 Energia lliure de Gibbs, entropia i calor específic en un superconductor . . . . . . . . 153

4.3.1 Càlcul de la variació de l’energia lliure de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.3.2 Càlcul de la variació de l’entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.3.3 Variació del calor específic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.4 Longitud de penetració de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.4.1 Penetració del camp magnètic en un conductor perfecte . . . . . . . . . . . . . 1574.4.2 Equació de London. Versió quàntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.5 Teoria de l’estat intermig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.5.1 Superconductor amb simetria esfèrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.5.2 Extensió a altres simetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.5.3 Teoria de Landau de l’Estat intermig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.6 Energia del gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.7 Efecte isotòpic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.8 Formació de les parelles de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.9 Longitud de coherència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.10 Estimació de Hc1 i Hc2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794.11 Corbes ZFC i FC per a un superconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.12 Quantització del flux magnètic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.12.1 Quantització del flux en el vòrtex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.13 Efecte Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.13.1 Efecte Túnel en metalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.13.2 Efecte Túnel en metall-aïllant-superconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.13.3 Efecte Túnel entre dos superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.14 Model elèctric de la unió Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

3

Aquest protocol està basat en les classes del doctor Javier Tejada i el doctor Ferran Macià. Sihi ha qualsevol dubte sobre el seu contingut o qualsevol error que puguem haver comès, siusplaufeu-nos-ho saber a través del correu: sergiplana@hotmail.com , jferreor8@alumnes.ub.edu o afonts-sa7@alumnes.ub.edu o personalment. Creiem que entre tots podem fer que aquests siguin uns apuntsintel·ligibles i útils per a tothom.

Al mateix temps també cal dir que per complementar les explicacions de classe ens hem acollit a labibliografia següent:

- Lectures of Magnetism with 128 Problems. Eugene M. Chudnovsky i Javier Tejada Palacios, Prin-ceton (N.J.) : Rinton Press, 2006- Problem solutions to Lectures on magnetism by Chudnovsky and Tejada. Princeton (N.J.) : RintonPress, cop. 2007- Macroscopic Quantum Tunneling of the Magnetic Moment. Eugene M. Chudnovsky i Javier TejadaPalacios, Cambridge University Press, 1998

4

9/II/15

0 Introducció

0.1 Origen del magnetismeL’origen del magnetisme és purament quàntic. Emprant la Mecànica Quàntica per determinar lainteracció Coulombiana entre dos electrons trobem que aquesta depèn de l’orientació relativa delsseus espins. El valor esperat de l’energia d’interacció coloumbiana de dos electrons definits pels estatsΨ1 i Ψ2, separats una distància r12 serà:

E = 〈Ψ∣∣∣∣∣ e2

r12

∣∣∣∣∣Ψ〉On Ψ correspont a l’estat superposat dels dos electrons. De la quàntica sabem que dos electronsd’espín 1

2 es poden acoblar i donar lloc a un sistema que té dos valors possibles d’espín, 0 i 1. Aixídoncs, si S = 1 els espins s’orienten paral·lelament (↑↑) i si S = 0 s’orienten antiparal·lelament (↑↓).En altres paraules, l’acoblament ferromagnètic (S = 1) o l’acoblament antiferromagnètic(S = 0) corresponen a energies de repulsió electrostàtica diferents.

0.2 Moment magnètic atòmicSabem de la Mecànica Quàntica que el moment magntic d’un electró vé donat per l’expressió següent:

~µe = −gµB ~S (0.1)

On g és la constant giromagnètica, S és el moment angular d’espín de l’electró i µB és el magnetó deBohr i val:

µB = e~2me

(0.2)

Per un electró, g = 2 i s = 12 , de manera que | ~µe| = µB.

Per una altra banda, podem veure fàcilment que el moment magnètic nuclear (del nucli d’un àtom)és 3 ordres de magnitud inferior al moment magnètic de l’electró. Per simplificar considerem unàtom d’hidrogen el nucli del qual està format per un protó solament. El moment magnètic nuclear,~µnucli serà doncs:

~µnucli = −gµN ~Snucli (0.3)

On µN és el magnetó nuclear i, en analogia amb l’expressió (0.2) és:

µN = e~2mp

(0.4)

Analitzant ordres de magnitud veiem ràpidament que si mp ≈ 103me això implica que µN ≈ 2 ·10−3µB. Si tenim en compte que g ≈ 1 i que

∣∣∣~Snucli∣∣∣ ≈ 1, aleshores |~µnucli| ≈ µN , de manera

5

que |~µnucli| ≈ 10−3 |~µe|. El moment magnètic nuclear és molt més petit que el moment magnèticelectrònic! És per això que sempre direm que el moment magètic atòmic és igual a l’electrònic:

~µ = −gµB ~S (0.5)

on ~S és el moment angular d’espín de l’atom (També podria ser ~L, moment angular orbital, o ~J queés el moment angular total). Malgrat que el moment magnètic del nucli sigui molt petit, té moltesaplicacions, com ara en medicina i farmàcia (ressonància magnètica nuclear).

0.3 Límits del magnetisme quànticHem vist l’origen del magnetisme a nivell atòmic. Com apareix el magnetisme en un sòlid, en unobjecte macroscòpic? En aquest cas les funcions d’ona, els estats de tots els electrons del sòlid massiutambé se solapen, però aquest solapament no dóna lloc només al magnetisme, també contribueix atotes les propietats del sòlid i a la formació del sòlid mateix, en una part important. Per dir-hod’alguna manera, el solapament que dóna lloc al magnetisme és més petit que el que dóna lloc alsòlid, però el fenòmen és el mateix.

Aquesta reflexió posa de manifest que l’explicació quàntica pel sòlid és molt complicada. De fet, ésimpossible caracteritzar amb un hamiltonià un objecte macroscòpic, donat que tenim de l’ordre de1023 àtoms! Per exemple, en la caracterització mitjançant el cicle d’histèresi d’un material ferromag-nètic no tenim en cap moment present la Mecànica Quàntica. En aquesta escala, quan el momentmagnètic ~µ d’un objecte és |~µ| >> µB emprem models, explicacions alternatives a la teoria quànticaper a entendre els diferents fenòmens magnètics.

0.4 Objectes quàntics, macroscòpics i nanomètricsLes magnituds físiques d’un objecte quàntic les definim a través d’operadors. Aquests compleixen lesregles de commutació de la Mecànica Quàntica.

[µi, µj] = µiµj − µjµi = 2iµBεijkµk (0.6)

És evident que si les components µi i µj són del mateix ordre de magnitud que µB, l’equació anteriorserà diferent de 0, i per tant un objecte el moment magnètic del qual sigui de l’ordre del magnetó deBohr serà un objecte que en direm quàntic, des del punt de vista magnètic. Aquest objecte quànticté les direccions del moment magnètic discretitzades.

Per un objecte macroscòpic (de l’ordre dels µm, que equivaldria a 1012 àtoms si considerem quecada àtom ocupa 1 Å3) l’ordre de magnitud de les components µi i µj és molt més gran que el valorde µB, i per tant direm que els operadors commuten. D’aquesta manera, el seu moment magnèticserà continu (moment magnètic clàssic). La diferència fonamental entre el magnetisme quàntic i elmagnetisme clàssic és la quantització de les direccions possibles del moment magnètic.

I un objecte que tingui un radi de l’ordre del nanòmetre? Ens trobem en un cas intermig. La midad’un àtom té l’ordre de magnitud dels Å, és a dir, 0.1 nm. El volum d’aquest objecte nanomètric

6

va com R3, i serà doncs de ≈ 103 Å3. Un objecte nanomètric conté de l’ordre de milers d’àtoms.Si un àtom té un moment magnètic de l’ordre de µB, el moment magnètic d’un objecte d’aquestesdimensions serà aproximadament 103 vegades µB. La física (també la tecnologia actual) té un repte,veure si objectes d’aquesta mida tenen un comportament quàntic.

10/II/15En un material magnètic trobem dominis. En aquests dominis magnètics tots els àtoms tenen elseu moment magnètic total en la mateixa orientació, però aquesta és diferent entre un domini i el seuveí, separat del primer per una paret. Aquestes parets es poden ancorar, emprant pous de potencial,introduint impureses o defectes en el sòlid.

Si tenim un material ferromagnètic i li apliquem un camp magnètic fins a arribar a la magnetitzacióde saturació (tots els dominis del material tenen la mateixa orientació del seu moment magnètictotal, és a dir, el material és monodomini) i després tornem a camp magnètic nul trobem que lamagnetització romanent és menor que la de saturació. Això és degut a que s’han creat dominisd’orientació del moment màgnetic total contraris de manera que fan decaure aquesta magnetització.A més, si no s’ancoren aquestes parets de les diferents maneres que hem dit anteriorment podríemarribar, amb el temps, a no tenir el material magnetitzat.

0.5 Noms importants a la història del magnetismeAnem a fer un recorregut pels noms dels científics més importants del segle XIX i primera meitatdel XX que han fet avanços destacats en l’àmbit del magnetisme.

Electromagnetisme:- Oersted (1820)- Ampère (1822)- Faraday (1831)- Lenz (1836)- Weber (1854)- Maxwell (1873)- Hertz (1895)- Lorentz (1896)

Magnetisme a la matèria:- 1845; Faraday és el primer a parlar del diamagnetisme i del paramagnetisme.- 1890; S’estableix la llei de Curie-Weiss: χ = C

T

- 1905;Estudis de Langevin del magnetisme atòmic. Corba M-H.- 1907; Weiss: estudi sobre el camp molecular.- 1904-1931; Estudis de l’anisotropia: M = f(H); dependència amb la direcció.- 1930-1944; Bloch, Kittel, Becker, Néel: Teoria de dominis magnètics i saturació.

Magnetisme atòmic:- 1911; Bohr: Magnetisme atòmic.- 1920; Sern-Gerlach: estudi del magnetisme atòmic i del magnetisme nuclear.

7

- Pauli: Principi d’exclusió → χ(T )- Pauli, Sommerfeld, Van Vleck, Landau i Pererls: Estudi de propietats magnètiques i quàntiques.

Propietats magnètiques de la matèria:- de Haas, Van Alphen i Dorfman: Teoria de bandes ↔ Magnetisme- Ising, Dorfman i Heisenberg: Naturalesa no magnètica del camp molecular → J- Frenkel, Bloch, Stoner, Slater, Wohlfahrt, Mott i Swrney: Ferromagnetisme d’e− deslocalitzats.- Heisenberg, Van Vleck, Holstein, Primakoff: Ferromagnetisme d’e− localitzats.

Propietats magnètiques de la matèria:- Kramers i Andresson: Interacció d’intercanvi indirecte.- Landau i Néel: Ferrimagnetisme.- Landau: Temperatura de transicions de fase de segon ordre.

Tècniques experimentals espectroscòpiques:- 1945; Zavoisky: EPR (Electron Paramagnetic resonance)Abragam i Bleaney: χ(T ) (Temperatura camp cristal·lí).- 1945; Lasareu i Shubnikov: NMR (Nuclear magnetic resonance).- 1946; Griffith: FMR (Ferromagnetic resonance).- 1947; Experiments amb neutrons: difracció i difusió.- 1958; Mössbauer.

A dia d’avui s’ha pogut reduïr molt les mides de les aplicacions tecnològiques magnètiques. Anti-gament la mida d’un bit magnètic era com la d’un grà d’arròs, mentre que actualment estem enl’ordre de 10 nm, hem passat del mm a 10 Å, una reducció de 27 ordres de magnitud en volum! Undescobriment important va ser la de la magnetorresistència gegant, que ha permès la fabricació debits magnètics més petits.

El magnetisme, doncs, és una part de la física molt viva avui en dia, en la qual encara se segueixinvestigant.

0.6 Magnituds i unitats en magnetismeLa inducció magnètica la representarem amb ~B. Llavors, tenim que la força de Lorentz és:

~F = q (~v × ~B ) (0.7)

La unitat per aquesta magnitud és el Tesla (T = N · sC ·m

) en el SI, i el Gauss (G = d · su.e. · cm.

, on dsón dines i u.e. és la unitat electrostàtica de càrrega elèctrica) en el sistema CGS. L’equivalència ésde 1 T = 104 G. A més, cal recordar, que com que la divergència de la inducció magnètica és 0 elsmonopols mangètics no existeixen.

També tenim el camp magnètic, ~H, que el definim com:

8

~B = µ ~H = µ0µr ~H (0.8)

Aquí, ~H té d’unitats Am

en el SI, i en Oersted (Oe) = u.e.m.

cm3 , en el sistema CGS. L’equivalència és

1 A

m= 4π · 10−3 Oe . µ és la permeabilitat magnètica i µ0 és la permeabilitat absoluta que val

4π · 10−7 T ·mA

, en el SI, i 1 (adimensional), en el sistema CGS. La µr és la permeabilitat magnèticarelativa i és més gran que 0. A més, amb aquest paràmetre podem classificar els materials magnèticssegons:

• Material ferromagnètic: µr 1 (χ 0)

• Material paramagnètic: µr ≈ 1 (χ ≥ 0)

• Material diamagnètic: µr〈1 (χ〈0)

Llavors, el moment dipolar magnètic, representat com ~µ, l’obtenim a través de:

~µ = I ~S (0.9)

El sentit del vector de superfície vindrà donat per la regla de la mà dreta referit al sentit del correntelèctric. La unitat d’aquesta magnitud és A ·m2 = J

T, en el SI, i u.e. · cm

2

s= u.e.m.. L’equivalència

entre aquestes unitats és: 1 u.e.m. = 10−3A · m2. A més, també podem associar una energiapotencial a aquest moment magnètic com: Ep = −~µ · ~B.

Ara, podem introduir la magnetització, ~M , que té les mateixes unitats que el camp magnètic, iestablir la següent relació:

~B = µ0( ~H + ~M) (0.10)~B = ~H + 4π ~M (0.11)

L’equació (10) en el SI i l’equació (11) en CGS. Un cop introduïts la magnetització i el camp magnèticpodem definir la susceptibilitat magnètica com:

χ =~M

~H= µ0 ~M

~B

I podem definir la permeabilitat magnètica relativa com:

µr = 1 + χ (0.12)

µr = 1 + 4πχ (0.13)

L’equació (0.12) en el SI i l’equació (0.13) en CGS. El factor de conversió entre els dos sistemes és1

4π .

9

Amb aquesta magnitud podem definir a més la susceptibilitat molar i la susceptibilitat màssica,respectivament, com:

χmolar = χ · Vm = χPmρ

χmas = χ

ρ

On, Pm és el pes molecular i ρ és la densitat. De manera que les unitats de χmolar sónm3

moli de χmas

són m3

Kg= cm3

g.

0.7 Origen de la SuperconductivitatEl magnetisme l’hem presentat des del punt de vista de la Mecànica Quàntica, i hem vist que elpodem entendre com la parella interacció electrostàtica i Mecànica Quàntica. Ara bé, la segona partde l’assignatura tracta de la superconductivitat. Què és la superconductivitat? És una propietatd’alguns materials que fa que la seva resistència es faci molt petita (de l’ordre de 10−24 Ω) per sotad’una temperatura anomenada crítica. Una resistència tan petita és, per començar, molt difícil demesurar, i a efectes pràctics diem que és nul·la. Tot i així, hi ha una intensitat anomenada crítica(de l’ordre de 100 A) per sobre de la qual el material perd la característica de superconductor.Resulta, doncs, que aquest fenomen és també d’origen quàntic, però, a diferència del magnetisme,ho és a nivell macroscòpic. Així, el que és diferent respecte al magnetisme quàntic és que podemassociar una funció d’ona a objectes macroscòpics.A més a més, la superconductivitat també es potdefinir com la superfluidesa del parelles d’electrons.

Aquesta no és l’única manifestació quàntica macroscòpica que trobem en física. L’heli líquid nosolidifica a pressió atmosfèrica i això és degut al principi de Heisenberg, és a dir, la incertesa en laposició dels àtoms és de l’ordre de la distància interatòmica, i, per tant, això implica que un àtomel podem trobar tant a una banda com a l’altra del veí. Això és pràcticament la característica d’unlíquid.

En els superconductors no només tenim que R és 0 sinó que també presenten un altre fenòmen:L’efecte Meissner. Aquest efecte consisteix en la repulsió per part del material de les línies de campmagnètic, és a dir, que aquestes no poden penetrar al material i per tant l’envolten.

Existeix també superconductivitat en materials ceràmics, la temperatura crítica és més elevada(≈ 150K). No s’ha aconseguit, però, trobar materials amb Tc que sigui la de l’ambient ni tampocestablir una teoria per la superconductivitat a alta temperatura.

12/II/15

0.8 Angular momentum and spin (Ferran Macià Lecture)

Magnetism arises from the physics of the angular momentum. Even for the classical mechanics weknow angular momentum is not trivial. A magnetic solid might be seen as a collection of tiny quantum

10

gyroscopes—that interact and result in a rich and complicated phenomena. today we reviewed somebasic mathematics of the angular momentum of a particle.The (orbital) angular momentum l of a particle is described by the radius-vector r and the linearmomentum p is the cross product r×p.In quantum theory we choose the definition

~l = r×p

that leaves the angular momentum l dimensionless. If we stay with the quantum definition we musttake the momentum p = −i~∇ as an operator and so that,

l = −ir×∇.

The operators lx, ly and lz expressed in Cartesian coordinates

lx = −i(y∂

∂z− z ∂

∂y

)

ly = −i(z∂

∂x− x ∂

∂z

)

lz = −i(x∂

∂y− y ∂

∂x

).

We also defined other useful operators of the angular momentum:

l2 = l·ll+ = lx + ily

l− = lx − ily.

Spherical polar coordinates (r, θ, φ) are related to the cartesian coordinates (x, y, z) of the vector rby

x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφx = r cos θ ,

and we can write the angular momentum operators as

lx = −i(− sinφ ∂

∂θ− cot θ cosφ ∂

∂φ

)

ly = −i(− cosφ ∂

∂θ− cot θ sinφ ∂

∂φ

)

lz = −i ∂

∂∂φ,

11

andl2 = − 1

sin θ∂

∂θ

(sin θ ∂

∂θ+ 1

sin2 θ

∂2

∂φ2

)

l+ = eiφ(∂

∂θ+ i cot θ ∂

∂φ

)

l− = e−iφ(− ∂

∂θ+ i cot θ ∂

∂φ

).

The commutator of two elements a and b of a ring or an associative algebra is defined by

[a, b] = ab− ba,

which in quantum mechanics a and b are operators. Notice that a and b commute if and only if thehave a common eigenbasis.By applying the angular momentum operators to an arbitrary function (of angles) it is easy to checkthe following commutation relations:

[rα, lβ] = rαlβ − lβrα = iεαβγrγ (0.14)[lα, pβ] = lαpβ − pβlα = iεαβγpγ

and

[lα, lβ] = lαlβ − lβlα = iεαβγlγ (0.15)[lα, l2] = lαl2 − l2lα = 0[l±, l2] = l±l2 − l2l± = 0[lz, l+] = lzl+ − l+lz = l+

[lz, l−] = lzl− − l−lz = −l−[l+, l−] = l+l− − l−l+ = 2lz,

where we used Greek letters to denote spatial components. We are also used a convention notationthat assumes summation over repeated indexes, that is,

εαβγlγ ≡∑γ

εαβγlγ.

The symbol εαβγ is a tensor defined by the following simple rules:

i εαβγ is zero if any two indices coincide, e.g., εxxz = 0.

ii εxyz = 1

iii The transposition of any two indices changes the sign of the tensor, e.g., εxzy = −1, εzxy = 1,and so on.

12

The tensor εαβγ satisfies the following useful summation relations:

εαβγερσγ = δαρδβσ − δασδβρεαβγερβγ = 2δαρ,

where δαβ are the Kronecker delta symbols.In Class we have solved [x, ly] as follows:

[x, ly] = 1~

[x, (zpx − xpz)]

= 1~

(z[x, px] + [x, z]px − x[x, pz] + [x, x]pz) .

The operators representing the canonically conjugate position and momentum variables of a particlesatisfy,

[x, px] = [y, py] = [z, pz] = i~,

it is found,

[x, ly] = 1~z[x, px] = iz.

Similarly we can obtain the general relations from Eq.(0.14)

[x, lx] = 0[x, lz] = −iy[y, lx] = 0[y, ly] = ix[y, lz] = −iz[z, lx] = 0[z, ly] = iy[z, lz] = −ix .

In here I will solve the commutation relations listed in Eq. (0.15):Using the Cartesian components of the angular orbital momentum, we have

[lx, ly] = 1~2 [(ypz − zpy), (zpx − xpz)]

= 1~2 [ypz, zpx] + [zpy, xpz]− [ypz, xpz]− [zpy, zpx]

.

The first commutator on the right of this equation is

[ypz, zpx] = ypzzpx − zpxypz,

since y and px commute between them and with z and pz, it is verified

13

[ypz, zpx] = ypx[pz, z] = −i~ypx.

Similarly, the second commutator on the right side becomes

[zpy, xpz] = zpyxpz − xpzzpy = xpy[z, pz] = i~xpy.

The third and four commutators obvioussly vanishes, and we get

[lx, ly] = i~~2 (xpy − ypx) = ilz.

Similary one obtains

[ly, lz] = ilx[lz, lx] = ily.

Let us now show that l2 commutes with the three components of l

[l2, lx] = [l2x + l2y + l2z , lx] = [l2y + l2z , lx] = [l2y, lx] + [l2z , lx]

= ly[ly, lx] + [ly, lx]ly + lz[lz, lx] + [lz, lx]lz

= −i(lylz + lzly) + i(lzly + lylz) = 0,Accordingly it is found

[l2, ly] = 0[l2, lz] = 0[l2, l2] = 0[l2, l±] = 0.

It is also verified

[lz, l+] = [lz, lx + ily] = [lz, lx] + i[lz, ly] = ily + lx = l+

[lz, l−] = [lz, lx − ily] = [lz, lx]− i[lz, ly] = ily − lx = −l−

[l+, l−] = [lx + ily, lx − ily] = [lx, lx]− i[lx, ly] + i[ly, lx] + [ly, ly] = 2lz.

Unlike Eq. (0.14), spin operators commute with r and p. The commutation relations of Eq. (0.15)are the same for the spin angular momentum and the orbital angular momentum. The 2×2 tracelessmatrices corresponding to s = 1/2 are sx = 1

2σx, sy = 12σy, and sz = 1

2σz, where

σx =(

0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

)are Pauli matrices. Notice that

14

s+ =(

0 10 0

), s− =

(0 01 0

).

Spin 1/2 matrices operate on the two-component spinors

χ =(ab

),

with |a|2 + |b|2 = 1 if the spinors are normalized. The eigenstates of sz are

χ↑ =(

10

), χ↓ =

(01

),

describing the states with spin up and spin down. For spin 1/2 the square of sx, sy, or sz isproportional to the unit 2×2 matrix I, as is the operator s2,

s2x = s2

y = s2z = 1

4I

s2 = s2x + s2

y + s2z = 3

4I.

References[1] Lectures on Magnetism and Problem solutions to Lectures on Magnetism[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum_operator

13/II/15

1 Magnetisme a escala nanomètrica

1.1 Magnetisme atòmic1.1.1 Àtom monoelectrònic

Prenem com a punt de partida el model de Bohr per a l’àtom d’un electró.

El primer postulat diu que l’electró segueix una òrbita circular entorn del nucli que vé determinadaper la segona llei de Newton i per la de la interacció electrostàtica de Coulomb. D’aquesta maneratenim:

m · v2

r= 1

4πε0· Z · e

2

r2 (1.1)

On m és la massa de l’electró, v la velociata de l’òrbita, r el radi de l’òrbira i Z el nombre de protonsdel nucli. El segon postulat diu que les úniques òrbites possibles són aquelles que compleixen:

l = n~

Tenint en compte que l = mvr = mωr2 = 2πmνr2 podem analitzar els paràmetres de l’òrbita.La freqüència de rotació serà:

15

ν = n~2πmr2

i la velocitat:

v = n~mr

(1.2)

Introduïnt (1.2) en l’equació (1.1) podem aïllar el radi de l’òrbita:

r = 4πε0n2~mZe2 (1.3)

D’on es veu que en els àtoms monoelectrònics el radi de l’òrbita augmenta amb el quadrat del nombrequàntic principal n.

Fent la suma de l’energia cinètica i l’energia potencial obtenim l’energia total:

E = 12mv

2 − 14πε0

Ze2

r= − mZ2e4

(4πε0)22~2 ·1n2 (1.4)

Per facilitar la comprensió i veure les proporcionalitats entre diferents magnituds utilitzarem lesunitats naturals les quals ens porten a que 1

4πε0≡ 1.

A partir de l’equació (1.4) es pot veure que en aquest cas (àtoms monoelectrònics) l’energia nomésdepèn del nombre quàntic principal n.

Dins cada òrbita, però, trobarem subnivells energètics (subnivells nl). Per a cada n trobarem unsegon nombre quàntic, l, també anomenat orbital, que podrà prendre valors sencers entre el 0 i n−1.Denotarem amb la lletra s el subnivell per al qual l = 0, p per a l = 1, d per a l = 2 i f per a l = 3.Recordem que per al model de capes del nucli atòmic hem de considerar l′s superiors amb les seveslletres corresponents seguint l’abecedari (g, h, i, ...).

Veurem que sota l’aplicació d’un camp magnètic es trenca la degeneració dels subnivells energètics p,d i f . Aquest trencament vé definit pel nombre quàntic magnètic ml, que pot prendre valors sencerscompresos entre −l i l: −l,−l+ 1, ..., 0, ..., l− 1, l. Finalment per a determinar l’estat d’un electróen un d’aquests subnivells caldrà un nombre quàntic més: l’espín, que podrà prendre els valors 1

2 i−1

2 . Així és fàcil veure que el nombre màxim d’electrons per cada subnivell nl és 2(2l+1). D’aquestamanera l’estat de cada electró vindrà descrit pel conjunt dels seus quatre nombres quàntics, queseran diferents dels de la resta respectant així el principi d’exclusió de Pauli.

1.1.2 Àtoms multielectrònics

Per a àtoms multielectrònics l’estudi de l’Hamiltonià no és pas tan senzil, donar que s’han de teniren compte molts altres termes:

H = Hcinètic +HCoulombià +He−e− +Hespín-òrbita +Hmagnètic +Helèctric +HCamp cristal·lí +Hhiperfi (1.5)

16

El primer terme, l’Hcinètic inclou la suma de les energies cinètiques de tots els electrons. El HCoulombiàdenota les interaccions electrostàtiques entre el nucli i els electrons. El tercer terme, que pren laforma:

He−e− v∑i 6=j

q2

rij

indica la interacció coulombiana entre els electrons de l’àtom. L’Hespín-òrbita aporta les correccions re-lativistes de la interacció espín-òrbita, Hmagnètic les correccions magnètiques (efecte Zeeman) i Helèctricles correccions elèctriques (efecte Stark). El terme HCamp cristal·lí reflecteix la interacció electrostàticaamb la xarxa cristal·lina, és a dir, les correccions provocades per fenòmens de simetria del sòlid, ifinalment el terme Hhiperfi respon a la interacció del nucli amb el dels electrons.

Els hamiltonians de l’equació (1.5) estan ordenats segons la seva contribució a H. Tot i així, caldestacar que l’ordre de magnitud de HCamp cristal·lí depèn fortament de l’estructura cristal·lina delmaterial i la seva contribució a l’hamiltonià total podria ser superior que la corresponent a Hmagnètico a Hespín-òrbita.

Els ordres de mangitud per a cadascún són:

Hcinètic,HCoulombià v keVHe−e− v eVHespín-òrbita,HCamp cristal·lí v 10−3 eVHmagnètic, Helèctric v 10−5 eVHhiperfi v 10−6 eV

Com veiem és lògic, doncs, que sovint tractem com a primera aproximació els electrons sense interac-ció, donat que la interacció entre electró-electró és 1000 vegades menor que la interacció electró-nucli.Sabent que

E = kBT ≈ 10−4 eV

K· T (1.6)

es podria fer un anàlisi semblant en ordres de magnitud de temperatura absoluta.

1.1.3 Configuració electrònica. Regles de Hund

Tornant al model de Bohr per a l’àtom monoelectrònic podem situar en un diagrama l’estat fo-namental (n, li, si) una quantitat de l’ordre del keV per sota del primer estat excitat (n, lj, sj).Aquesta part del diagrama energètic es coneix com configuració electrònica. A mesura que anemampliant l’estudi de l’àtom, però, anem trobant cada cop més subnivells. Tindrem llavors els nivellsdeterminats pels valors de la combinació d’L i S (totals), anomenat multiplet electrostàtic, que alseu torn es desdoblarà en els valors possibles compresos des de |L-S| fins a L+S, que al seu torntambé es desdoblaran a mesura que anem afegint altres termes d’interacció (com els que hem vistanteriorment) a l’hamiltonià.

17

Els nivells i subnivells es van omplint de menor a major energia començant pel nivell d’n menor iocupant-se primer els estats amb l’l de valor més baix. La manera que tenim d’expressar aquestordre en l’ocupació dels nivells energètics l’anomenem configuració electrònica. Anem a veurealguns exemples:

H: Z=1 → (1s)1

He: Z=2 → (1s)2

Li: Z=3 → (1s)2(2s)1

Ne: Z=10 → (1s)2(2s)2(2p)6

Volent dir que per exemple en el cas del Ne tenim dos electrons en el primer nivell, dos en el primersubnivell del segon nivell i sis en el segon subnivell del segon nivell. És a dir, el super índex de cadasubcapa nl correspon al nombre d’electrons que hi trobem.

Ara bé, hi ha alguns grups d’elements que presenten excepcions en la manera d’ocupar els estats. Ésel cas dels metalls de transició compresos entre el Sc (Escandi, Z=21) i el Ni (Níquel, Z=28), enels quals l’ocupació del subnivell 4s és prèvia a la del subnivell 3d. Veiem-ne alguns exemples:

Sc: Z=21 → ...(3p)6(3d)1(4s)2

Ti: Z=22 → ...(3p)6(3d)2(4s)2

...Fe: Z=26 → ...(3p)6(3d)6(4s)2

...Ni: Z=28 → ...(3p)6(3d)8(4s)2

Cu: Z=29 → ...(3p)6(3d)10(4s)1

Cal tenir present que el comportament magnètic és degut a les capes parcialment plenes, ja que elmoment angular de les capes que es troben totalment plenes és nul.

Les terres rares, també anomentats metalls de transició 4f, presenten un comportament similar.Les formen els elements compresos entre el Ce (Ceri, Z=58) i el Tm (Tuli, Z=69). Es caracteritzenper omplir el subnivell 6s abans que el 4f.

El tractament analític de l’estudi dels àtoms multielectrònics és molt complex, per això l’anàlisi in-clou regles empíriques com les de Hund que resulten molt útils per conèixer els moments angularstotal, orbital i d’espín d’un nivell semiple.

Regles de Hund:

1. Una subcapa parcialment ocupada és tal que maximitza l’espín total, S, sense violar el principid’exclusió de Pauli.

2. Si el valor del moment angular orbital, L, no es pot deduïr de la regla anterior, la configuraciócorrecte serà la que posseixi el valor màxim d’L.

18

3. El moment angular total del subnivell, J , val |L−S| si el subnivell està menys ple que la meitati |L+ S| si el subnivell està més ple que la meitat.

La nomenclatura que farem servir per a indicar la configuració serà la nomenclatura espectroscòpica:

2S+1LJ

On L serà S si l = 0; P si l = 1; D si l = 2 i F si l = 3. Per exemple:

Ti: Z=22 → ...(3p)6(3d)2(4s)2

Ti3+: Z=22 → ...(3p)6(3d)1 → n = 3; l = 2; s = 1/2; J = 3/2 −→ 2D3/2

Cr3+: Z=24 → ...(3p)6(3d)3 → s = 3/2; l = 3; J = 3/2 −→ 4F3/2

16/II/15Mn4+ o Cr2+ → ...(3d)4 → s = 2; l = 2; J = 0 −→ 5D0

Fe3+ → ...(3d)5 → s = 5/2; l = 0; J = 5/2 −→ 6S5/2

Anem a veure un exemple amb detall per l’ió Cobalt (Z = 27) Co2+. La seva configuració electrònicaés

Co+2 : (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)6(4s)2(3d)7

Per tant, l’última subcapa parcialment plena és la 3d. En aquesta capa hi caben 2(2l+1) = 10electrons i, per aquest element, tenim 7 electrons que hem d’ubicar. Sabem que els electrons enaquesta capa poden tenir com a ml els valors 2,1,0,-1 i -2. Així, començem a omplir aquesta subcapades del valor més gran de L fins el valor més petit (primera regla de Hund). Començem amb electronsd’espín ↑ i veiem que els omplim tots. Els electrons que sobren els col·loquem amb espín ↓ de maneraque ocuparàn les posicions de L=2 i L=1 tal com les regles de Hund ens indiquen.

Figura 1.1: Capa 3d del Co+2.

Per tant, el valor total del moment angular orbital és 3 i el seu moment angular d’espín és 3/2.Finalment, com que aquesta subapa està més plena que la meitat (7 electrons de 10) agafarem elValor de J = L+S = 3 + 3/2 = 9/2. La notació espectroscòpica d’aquest element és 4F9/2.

Ara, anem a parlar dels moments magnètics. Els podem calcular per mitjà del moment angulard’espín (~S), del moment angular orbital (~L) i moment angular total ( ~J). Es defineixen com:

~µS = −gSµB ~S

19

~µL = −gLµB~L

~µJ = −gJµB ~J

On gS és el factor giromagnètic d’espín que val 2 per l’electró, gL és el factor giromagnètic del momentangular orbital i val 1 per qualsevol partícula i gJ és el factor de Landé que es defineix com:

gJ = 1 + J(J + 1) + S(S + 1)− L(L+ 1)2J(J + 1)

Llavors, la 3r component i el mòdul de cadascún d’ells serà:

µSz = −gsµBSz , | ~µS| = gsµB√S(S + 1)

µLz = −glµBLz , | ~µL| = glµB√L(L+ 1)

µJz = −gJµBJz , | ~µJ | = gJµB√J(J + 1)

Si calculem quan valen els moments magnètics per els metalls de transició, obtenim la taula següent:

Ió Config. µJ µS µexp.

Ti3+ , V 4+ 3d1 1.55 1.73 1.8V 3+ 3d2 1.63 2.83 2.8

Cr3+ , V 2+ 3d3 0.77 3.87 3.8Mn3+ , Cr2+ 3d4 0 4.90 4.9Te3+ , Mn2+ 3d5 5.92 5.92 5.9

Te2+ 3d6 6.70 4.90 5.4Co2+ 3d7 6.63 3.87 4.8Ni2+ 3d8 5.59 2.83 3.2Cu2+ 3d9 - 1.73 1.9Zn2+ 3d10 - 0.0 0.0

Taula 1.1: Taula amb els valors experimentals i teòrics dels moments magnètics dels metalls de transicióen unitats del magnetó de Bohr.

Veiem ràpidament que el valor teòric de µJ no explica el valor experimental. En canvi, el valor deµS sí explica, en la majoria dels casos, el valor de µexp. D’aquest fet extraiem una conclusió: perals metalls de transició el moment angular orbital no contribueix 1 al magnetisme, aquest és degutnomés al moment angular d’espín.

Per una altra banda, si realitzem el mateix càlcul per a les terres rares (Taula 2) veiem que elmoment angular total sí que explica, en la majoria dels casos, el valor experimental, de manera quela contribució del moment angular orbital al magnetisme no és pas negligible.

1D’aquest fenomen en diem quenching o congelació del moment angular orbital.

20

Ió Config. µJ µexp.

Ce3+ 4f 1 2.54 2.51Pr3+ 4f 2 3.58 3.56Nd3+ 4f 3 3.62 3.3 - 3.7Pm3+ 4f 4 2.68 -Sm3+ 4f 5 0.85 1.74Eu3+ 4f 6 0.0 3.4Gd3+ 4f 7 7.94 7.98Tb3+ 4f 8 9.72 9.77Dy3+ 4f 9 10.63 10.63Ho3+ 4f 10 10.60 10.4Er3+ 4f 11 9.59 9.5Tm3+ 4f 12 7.57 7.61Y b3+ 4f 13 4.53 4.5Lu3+ 4f 14 0 0

Taula 1.2: Taula amb els valors experimentals i teòrics dels moments magnètics dels elements anomenatsTerres Rares.

1.1.4 Interacció amb el camp cristal·lí

Figura 1.2: Esquema de la interacció de l’ió i-èssim sobre un electró.

Per tractar la contribució del camp cristal·lí hem de tenir en compte el potencial d’interacció entrecada ió de l’estructura cristal·lina i els electrons (Figura 1.2).

Vi = 14πε0

Zi · e2

rij→ VT j =

∑i

Vi

Degut a la interacció entre els electrons i el potencial del ions de la xarxa es trenca la degeneraciódels orbitals. Per calcular com es trenca haurem de diagonalitzar la matriu d’elements:

〈Ψa|V |Ψb〉

Que de forma general serà de (2L+1)·(2S+1) elements.

21

Sabem que podem desenvolupar el factor 1rij

en termes dels harmònics esfèrics segons:

1rij

=∞∑l=0

+l∑ml=−l

4π2l + 1( r

l<

rl+1>

)Ylm(θj, φj)Ylm(θi, φi)

on r< és la distància més petita de l’origen de coordenades a qualsevol de les partícules (ja sigui ió oelectró) i r> és la distància més gran de l’origen a qualsevol de les partícules. Ylm són els harmònicsesfèrics.

Així doncs, l’hamiltonià del camp cristal·lí, és a dir, els elements de matriu 〈Ψa|V |Ψb〉, prendrà laforma:

Hab =∑i

∞∑l=0

+l∑ml=−l

4πZie2

2l + 1 Ylm(θi, φi)∫

Ψ∗a(rl<rl+1>

)Ylm(θj, φj)ΨbdV

Fem com a exemple metalls de transició: En aquest cas, la = lb = 2 i per tant, el moment angulartotal, l, complirà 0 ≤ l ≤ 4. Si ens fixem en les paritats de la integral i sabent que Ψa/b =R3dY2ma/b(θ, φ) trobem que perquè aquesta no s’anul·li l ha de ser 0, 2 o 4 de manera que el càlculd’aquest hamiltonià sen’s redueix a:

Hab =∑i

4∑l=0,2,4

+l∑ml=−l

4πZie2

2l + 1 Ylm(θi, φi)∫ ∞

0R3d(

rl<rl+1>

)R3dr2dr

∫ π

0

∫ 2π

0Y ∗2ma(θj, φj)Ylm(θj, φj)Y2mb(θj, φj)dΩ

Un cop trobem les energies dels nivells també ens podem fixar com es trenca la degeneració d’aquestsnivells segons la simetria del nostre sòlid. La idea general que podem extreure d’aquesta anàlisi ésque com més simetria tinguem, més degeneració dels nivells hi haurà.

Continuant amb els metalls de transició i fixant-nos en el nivell 3d, es pot observar que si tenim unasimetria octaèdrica del sòlid el nivell 3d es desdobla en dos nivells: el fonamental, amb degeneració3, i l’excitat, amb degeneració 2. Per a aquest cas tindríem que l’estat en aquests nivells seria, per al’excitat:

dz2 = |20〉

dx2−y2 = 1√2

[|22〉+ |2− 2〉]

I per al fonamental:

dxy = i1√2

[|2− 2〉 − |22〉]

dxz = 1√2

[|2− 1〉 − |21〉]

dyz = i1√2

[|2− 1〉+ |21〉]

I a través de la següent representació, fem palès el trencament de la degeneració dels nivells segonsla simetria que tingui la nostra estructura cristal·lina:

22

Figura 1.3: Esquema d’una sistema de simetria octaèdrica.

Figura 1.4: Representació gràfica dels orbitals tipus d.

A més a més, com més a prop estiguin els ions (Figura 1.3), més interacció hi haurà entre ells i, pertant, més separació entre nivells energètics hi haurà.

17/II/15

1.1.5 Operadors equivalents de Stevens

Els elements de matriu del camp cristal·lí són del tipus:

〈Ψa|f(x, y, z)|Ψb〉

on |Ψa〉 són estats de moment angular definit. Considerem que la funció del camp cristal·lí depènfortament de les posicions dels ions respecte de l’electró.

23

Si només volem saber l’estructura de nivells i no fer el càlcul d’aquests elements de matriu, que ésmolt complicat, podem utilitzar els operadors de Stevens. Stevens va proposar l’intercanvi delsoperadors de posició X, Y i Z pels operadors de moment angular respectius (Jx , Jy i Jz), respectantles regles de commutació entre les Ji. A més, una idea clau és que els operadors corresponents tenenles mateixes propietats de transformació sota rotació que el potencial.

A continuació presentem alguns exemples per tal de visualitzar el funcionament d’aquest intercanvi:

f(r) ∝ 3z2 − r2 → 3J2z − J(J + 1)

f(r) ∝ x2 − y2 → J2x − J2

y

f(r) ∝ xy → 12(JxJy + JyJx)

f(r) ∝ x4 − 6x2y2 + y4 = (x+ iy)4 + (x− iy)4 → J4+ + J4

−

1.1.6 Magnetisme dels àtoms

D’acord amb l’electrodinàmica clàssia, l’hamiltonià d’una partícula és

H = ~p2

2m = (~P − q ~A)2

2mOn ~P és el moment lineal generalitzat que és canònicament conjugat a r i ~A és el potencial vector,que compleix:

~5 ~A = 0 , ~A = 12( ~B × ~r)

Llavors, si desenvolupem la identitat notable de l’hamiltonià:

H =~P 2

2m −q

2m( ~A~P + ~P ~A) + q2 ~A2

2mI tenint en compte que [ ~A, ~P ] arribem finalment a:

H =~P 2

2m −q

2m(~r × ~P ) ~B + q2

8m( ~B × ~r)2 (1.7)

On el terme q2

8m( ~B × ~r)2 descriu la contribució diamagnètica (repulsió del camp magnètic) i el terme− q

2m(~r× ~P ) ~B la contribució paramagnètica (atracció del camp magnètic). Tenint aquests dos termesidentificats podem trobar la relació que hi ha entre la contribució diamagnètica (Edia) i la contribucióparamagnètica (Epara):

Edia

Epara= qr2B

4l~

on hem tingut en compte que ~r × ~P = ~~l.

Per a l’àtom d’hidrogen aquesta relació (on el camp magnètic s’expressa en T ) ens dóna:

24

EdiaEpara

= 10−6 ·B(T )

Exercici 1: Considerant un camp magnètic paral·lel, ~B, a l’eix z i S = 1, calculeu elsnivells d’energia per l’Hamiltonià d’espín:

HS = µBgBsz +D[S2z −

13S(S + 1)] + Ec[S2

x − S2y ]

D i Ec són paràmetres que ens permetran ajustar l’expressió per a que concodri amb les mesuresexperimentals. Primer de tot arreglem l’hamiltonià de manera que:

S± = Sx ± iSy → S2x − S2

y = 12(S2

+ + S2−)

HS = µBgBSz +D(S2z −

23) + Ec(S2

+ + S2−))

Ara, recordem que els operador S+ i S− el que fan és augmentar i disminuïr en una unitat la terceracomponent d’espín (ms) respectivament:

S+|ms〉 =√S(S + 1)−ms(ms + 1) |ms + 1〉

S−|ms〉 =√S(S + 1)−ms(ms − 1) |ms − 1〉

I si apliquem ara l’hamiltonià als nostres estats de mS = 1, 0 i -1 trobem que:

HS|ms = 1〉 = gµBB|ms = 1〉+ 13D|ms = 1〉+ Ec|ms = −1〉

HS|ms = 0〉 = −23D|ms = 0〉

HS|ms = −1〉 = −gµbB|mS = −1〉+ 13D|ms = −1〉+ Ec|ms = 1〉

Així, trobem els elements de matriu fent les corresponents combinacions:

〈1|HS|0〉 = 0

〈1|HS|1〉 = gµBB + 13D

〈−1|HS| − 1〉 = −gµBB + 13D

〈0|HS|0〉 = −23D

〈1|HS| − 1〉 = 〈−1|HS|1〉 = Ec

I finalment hem de trobar els valors propis d’aquesta matriu que correspondran els nivells de l’energia:

25

∣∣∣∣∣∣∣gµB + 1

3D − E 0 Ec0 −2

3D − E 0Ec 0 −gµBB + 1

3D − E

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Trobem doncs que:

E1 = −23D

E2,3 = 13D ±

√g2µ2

BB2 + E2

c

19/II/15

És important deixar clar que en tot moment ens trobem en el marc de la teoria de pertorbacions.El camp magnètic és tal que l’energia d’interacció magnètica simplement comporta variacions enl’orientació del pla de l’òrbita (paramagnetisme) i fa variar la velocitat angular de l’electró en lòrbi-ta. Però, el seu ordre de magnitud és en tot moment molt inferior a la interacció coulombiana, o lainteracció electró-electró (veure eq. 1.5).

1.1.7 Diamagnetisme. Susceptibilitat diamagnètica

Ara anem a veure el diamagnetisme. Primerament, agafem l’hamiltonià diamagnètic:

Hdia = q2

8m(~B × ~r

)2

Per conveniència, apliquem el camp ~B paral·lel a l’eix z, de tal manera que en el producte vectorial~B×~r no apareixerà la component z. Per tant, considerant l’electró i d’una capa completa d’un àtommultielectrònic el producte queda com:(

~B × ~ri)2

= B2(x2i + y2

i

)Calculem ara l’energia diamagnètica. Aquesta prendrà la forma

Edia = e2B2

8m

Z∑i=1

⟨0∣∣∣x2

i + y2i

∣∣∣ 0⟩ (1.8)

On Z és el nombre àtomic de l’element que estem considerant i |0〉 és qualsevol estat que simultàni-ament tinguin S = 0, L = 0 i J = 0. Fixem-nos en que els estats de L = 0 tenen simetria esfèrica,de manera que els valors esperats 〈x2〉 i 〈y2〉 compleixen:

〈x2〉 = 〈y2〉 = 〈r2〉

3On hem tingut en compte que x2 + y2 + z2 = r2. Per tant, l’equació (1.8) queda com

Edia = e2B2

8m

Z∑i=1

⟨0∣∣∣∣ 2

3r2i

∣∣∣∣ 0⟩ (1.9)

26

A continuació ens podem preguntar per la magnetització, ~M = d~µ

dV. L’energia magnètica, en cas

de que apliquem el camp magnètic a temperatura i volum constant, és igual a l’energia lliure deHelmholtz

dF = −sdT − pdV −MdB , Edia = F

i, per tant,

µ1 = −∂Edia

∂B(1.10)

Essent µ1 el moment magnètic dipolar d’un àtom. Si ara substituïm (1.9) en (1.10) sabent queµ = Nµ1 i derivem tenint en compte que hem considerat que la magnetització és constant a tot elvolum (M = µ

V), trobem que la magnetització total és

M = −NV

e2B

6m

Z∑i=1

⟨0∣∣∣ r2i

∣∣∣ 0⟩ (1.11)

Amb la magnetització podem trobar ràpidament la susceptibilitat, χ emprant la relació

χ = MH

Com que H = Bµ0, aleshores,

χ = µ0MB

Per (1.11) sabem l’expressió deM, de manera que

χdia = −NV

µ0e2

6m

Z∑i=1

⟨0∣∣∣ r2i

∣∣∣ 0⟩ (1.12)

Exemple: Susceptibilitat diamagnètica per l’àtom d’HeliPer a calcular la χdia cal trobar primer2 quan val 〈 r2

i 〉 per aquest àtom. De Física Atòmica sabemque el valor esperat de r per a un àtom hidrogenoide és:

⟨r2i

⟩He

= n2a20

2Z∗2[5n2 + 1− 3l (l + 1)

]On a0 és el radi de Bohr i Z∗ és una Z efectiva, que es troba a partir del mètode variacional. Per al’Heli val Z∗He = 1.69. D’aquesta manera, calculem que 〈 r2

i 〉 = 0.295Å2.

Així doncs, de (1.12) trobem que:

χdia-He = −NV

µ0e2

6m (2 · 0.295) ≈ −10−6

En el cas dels superconductors aquesta magnitud serà molt més important (χ = −1).2⟨ r2

i

⟩és equivalent a escriure

⟨0∣∣ r2

i

∣∣ 0 ⟩27

1.1.8 Paramagentisme. Susceptibilitat paramagnètica

El segon terme de l’equació (1.7) deixa veure que ~l (v ~r× ~p) interacciona amb ~B per donar a lloc almoment magnètic (com vam veure en la secció 1.1.3.). En presència d’un camp magnètic ~B, aquestsàtoms adquireixen una energia, E = −~µ · ~B.

Fem a continuació una breu aplicació numèrica. Si considerem un sol electró, |~µ| = µB i apliquemun camp magnètic |B| = 1T , l’energia magnètica serà:

E = µBB ≈ 5 · 10−5 eV

Tenint en compte (1.6), la tempereratura equivalent surt de Teq ≈ 1K. També podem fer una equi-valència amb la freqüència, donat que E = hν, aleshores νeq ≈ 2 · 1010Hz. Pensant en un objectemacroscòpic, que conté de l’ordre de 1023 àtoms, és a dir, del nombre d’Avogadro (NA), la sevaenergia, sota un camp magnètic de 1T és de l’ordre de 1 J .

Tornant al paramagnetisme, i tenint en compte que ~µ és el moment angular total de l’àtom, l’energiamagnètica serà, clàssicament,

E = −gµBJzBSi B ‖ z. Quànticament, això és equivalent a

E = 〈JMJ |gµBJzB| JMJ〉 = gµBMJB

Anem a veure el comportament en funció de la temperatura considerant en tot moment unitatsnaturals (~ = 1). A una temperatura finita tidrem una certa població tèrmica PMJ

de cada nivellMJ donada per:

PMJ= e

−gµBMJBkBT

J∑MJ=−J

e−gµBMJB

kBT

Per tant, el valor mità de la component z del moment magnètic a qualsevol temperatura d’un objectemacroscòpic serà:

〈µz 〉 = N

J∑MJ=−J

−gµBMJBe−gµBMJB

kBT

J∑MJ=−J

e−gµBMJB

kBT

(1.13)

D’on podem obtenir la magnetització mitjana dividint pel volum a banda i banda:

Mz = N

V

J∑MJ=−J

−gµBMJBe−gµBMJB

kBT

J∑MJ=−J

e−gµBMJB

kBT

28

Sabem que la funció de partició monoparticular Z per a un sistema paramagnètic quàntic és:

Z =J∑

MJ=−Je−gµBMJB

kBT

I que es compleix que

Mz = N

V

kBT

Z∂Z∂B

(1.14)

Per tant, de les dues expressions anteriors arribem a:

Mz = NgJµBJBJ(ξ) (1.15)

On BJ(ξ) és la funció de Brillouin, definida per l’equació:

BJ(ξ) = 2J + 12J coth

(2J + 12J ξ

)− 1

2J coth( 1

2J ξ)

On el paràmetre ξ es defineix com la relació entre l’energia magnètica i l’energia tèrmica:

ξ = µB

kBT= gµBJB

kBT

Figura 1.5: Representació de la funció de Brillouin per diferents valor de J .

Analitzem ara el comportament deMz per a altes temperatures i per a baixes temperatures.

a) Temperatures altes. En aquest cas, per un camp magntic aplicat ξ << 1. La funció deBrillouin pren la forma:

BJ(ξ << 1) ≈ ξ(J + 1)3

29

De manera que (1.15) es pot escriure com:

Mz = NgJµBξ · J(J + 1)

3

i la susceptibilitat magnètica, χpara serà doncs:

χpara = µ0Ng2µB

J(J + 1)3kBT

(1.16)

Si recordem que | ~µ | = gµB√J(J + 1) podem reescriure (1.16):

χpara = µ0N| ~µ |2

3kBT(1.17)

Ens adonem de l’equació anterior que per un sòlid macroscòpic donat només tenim la tempe-ratura com a variable per canviar la susceptibilitat. D’aquesta manera veiem que (1.17) no ésaltra cosa que la Llei de Curie; l’equació d’estat que segueixen els sistemes paramagnètics:

χ = C

T

b) Temperatures baixes: En aquest cas, per un camp magnètic aplicat ξ >> 1. La funció deBrillouin val:

BJ(ξ) ≈ 1

I la magnetització valdrà:

Mz = NgJµBJ

Així, si representem la magnetització en funció del camp magnètic aplicat o en funció de la inducciómagnètica obtenim gràfiques d’aquest estil:

30

Figura 1.6: Representació de la magnetització en funció del camp aplicat per a diferents temperatures, onβ = 1

kBT.

20/II/15

1.2 Molècula d’Hidrogen

Figura 1.7: Representació esquemàtica de la molècula d’hidrogen.

Si bé l’àtom d’hidrogen es pot resoldre analíticament, la molècula, H2, presenta una alta complexitaten la seva resolució. Així doncs, per al seu estudi analític realitzarem diverses aproximacions. Enprimer lloc, escrivim l’hamiltonià de la molècula, HH2 .

HH2 =~P 2

1 + ~P 22

2me

+ UES (1.18)

On hem considerat que els protons estan fixes (~Pa = ~Pb = 0). ~P1 i ~P2 són, respectivament, els moments

31

de cada electró e−1 i e−2 . UES és l’energia electrostàtica total de les interaccion Coulombianes entreels electrons e−1 , e−2 i els protons p+

a , p+b , que té la forma:

UES = e2

4πε0

( 1rab

+ 1r12− 1ra1− 1rb1− 1ra2− 1rb2

)(1.19)

On la definició dels diferents rij queda ben descrita en la Figura 1.7. Cal trobar ara les funcionspròpies de HH2 . Donat que HH2Ψ = EΨ no es pot resoldre analíticament, assajarem solucions delstipus:

Ψ(~r1s1, ~r2s2) = φ(~r1, ~r2)χ(s1, s2)

Podem aplicar separació de variables donat que l’hamiltonià no depèn dels espíns s1, s2 dels electrons.Donat el caràcter fermiònic del electrons i aplicant directament el principi d’exclusió de Pauli, lafunció Ψ ha de ser necessàriament antisimètrica, de manera que s’haurà de complir:φ(~r1, ~r2) = −φ(~r2, ~r1)

χ(s1, s2) = χ(s2, s1)

o bé que: φ(~r1, ~r2) = φ(~r2, ~r1)χ(s1, s2) = −χ(s2, s1)

, on la funció d’ona d’espín simètrica serà amb l’acoblament a S = 1 i l’antisimètrica amb l’acobla-ment a S = 0.A més, és important tenir en compte que degut a que l’hamiltonià de la molècula noconté els espíns, els valors propis de HH2 vénen determinats per l’estructura de φ, i no de χ.

Anomenem a la funció d’ona simètrica φS i a l’antisimètrica φA. La següent aproximació consisteixen suposar que podem escriure φS i φA com a combinació lineal de les funcions pròpies φ(~rαi) del’àtom d’hidrogen, que tenen la forma:

φ(rαi) = 1√πa

3/20e− rαia0 ,

∫d3riφ

2(rαi) = 1 (1.20)

On l’índex i es refereix a un electró orbitant el protó α i a0 és el radi de Bohr:

a0 = 4πε0~2

mee2

Les combinacions més senzilles que ens permeten construir φS i φA en funció de φ(rαi) són, doncs:

φS(~r1, ~r2) = 1√2(1 + γ2)

[φ(ra1)φ(rb2) + φ(ra2)φ(rb1)]

φA(~r1, ~r2) = 1√2(1− γ2)

[φ(ra1)φ(rb2)− φ(ra2)φ(rb1)] (1.21)

On el paràmetre γ ens dóna idea del solapament de les funcions d’ona dels dos electrons, i es defineixcom

32

γ(rab) =∫d3r1φ(ra1)φ(rb1)

Tot i que les funcions d’ona trobades a (1.21) no són la solucions exactes de (1.18), compleixenles condicions de simetria i de normalització. És d’esperar que siguin suficientment semblants a lesfuncions pròpies de la molècula d’hidrogen. Així doncs, també suposarem que els valors propis deφS i φA siguin una bona aproximació de les energies dels estats propis de la molècula:

ES = 〈φS |HH2|φS〉 =∫d3r1d

3r2φ∗S(~r1, ~r2)HH2φS(~r1, ~r2)

EA = 〈φA |HH2|φA〉 =∫d3r1d

3r2φ∗A(~r1, ~r2)HH2φA(~r1, ~r2) (1.22)

La funció φ(rαi) és pròpia de l’hamiltonià de l’àtom d’hidrogen, amb valor propi E0. Si substituïm(1.21) en (1.22) podem definir unes energies E↑↓, E↑↑ que marquen la diferència entre els valors propisdels estats que estem estudiant i l’energia que tendrien dos àtoms d’hidrogen individuals.

E↑↓ ≡ ES − 2E0 = A(rab) +B(rab)1 + γ2 (1.23)

E↑↑ ≡ EA − 2E0 = A(rab)−B(rab)1− γ2

Les funcion A(rab) i B(rab) tenen la forma següent:

A(rab) =∫d3r1d

3r2Uφ2(ra1)φ2(rb2)

B(rab) =∫d3r1d

3r2Uφ(ra1)φ(rb1)φ(ra2)φ(rb2)

On U és l’energia electrostàtica deguda a la interacció entre els dos àtoms d’hidrogen:

U = UES + e2

4πε0

( 1ra1

+ 1rb2

)= e2

4πε0

( 1rab

+ 1r12− 1ra2− 1rb1

)També podem definir la quantitat J(rab), com la diferència entre les energies ES i EA. Tenint encompte (1.23),

J(rab) ≡ E↑↓ − E↑↑ = 2(B − γ2A

1− γ4

)Finalment, definim l’hamiltonià efectiu de la molècula en termes dels operadors de spin s1 i s2:

Heff = E1(rab)s1 · s2 + E2(rab) (1.24)Volem que aquest hamiltonià tingui valors propis E↑↓ i E↑↑. Per fer-ho escrivim primer quan val elproducte s1 · s2:

s1 · s2 = 12(s1 + s2)2 − 1

2(s1 + s2)2 = 12s

2 − 34 (1.25)

On s2 ≡ (s1 + s2)2 és l’operador de l’espín total dels dos electrons. Aplicant (1.25) a un estat propide s2, s’obté

33

Figura 1.8: Dependència de l’energia dels estats propis de la moleècula d’hidrogen amb la distància entreprotons rab.

s1 · s2 |s〉 =[12s(s+ 1)− 3

4

]|s〉

Per tant, si escollim

E1(rab) = E↑↑ − E↑↓ = −J(rab)

E2(rab) = 34E↑↑ + 1

4E↑↓

l’hamiltonià (1.24) té els mateixos valors propis, E↑↓ i E↑↑ que l’hamiltonià original (1.18).23/II/15

1.3 Interacció d’intercanvi i Anisotropia magnètica1.3.1 Hamiltonià d’intercanvi

Així, com hem vist fins ara, de l’estudi de la molècula d’hidrogen trobem que la interacció electrostà-tica està relacionada amb l’orientació relativa dels spins. Aquest estudi suggereix que la dependènciarelacionada amb l’espin de la interacció entre dos àtoms es pot modelitzar com: −J(r)s1s2 (modeld’Ising), on r és la distància entre els àtoms. Tenint en compte això, en funció del valor d’S (1 o 0)l’energia serà diferent.

Si en lloc de parlar d’una molècula aïllada parlem d’un sòlid, l’estudi esdevé molt més complex, ialeshores definim l’hamiltonià d’intercanvi com:

Hex = −12∑i 6=j

J(rij)si · sj (1.26)

On rij és la distància entre l’àtom i i l’àtom j. El paràmetre J(rij), anomenat constant d’intercanvi,indica com se solapen les funcions d’ona dels electrons i es determina la temperatura de Curie de

34

cada material 3. Cal tenir en compte que en l’equació anterior hem escrit ~si i ~sj però és una manerageneral d’expressar-ho; per al cas dels metalls de transició sí que seran els moments angulars d’espín,mentre que per a terres rares ens estarem referint al moment angular total.

Si les distàncies de separació són petites (rij <<) hi haurà molt solapament de les funcions d’ona ien aquest cas el nombre de termes rellevants en l’equació (1.26) anirà com ∼ N2. Això és així perquèels termes que tenim en el sumatori són:

12

(N2

)= N2

4 −N

2La majoria de vegades, però, el solapament serà suficientment petit com per a poder considerar elsumatori només a primers veïns. Això en molts casos serà una aproximació prou bona, i aleshoresen aquest cas el nombre de termes rellevants anirà com ∼ N .Fent aquesta aproximació, doncs, podem escriure l’hamiltonià com:

Hex = −12∑i 6=j

Jijsi · sj (1.27)

On el sumatori s’extén només a primers veïns. Per mitjà d’aquest hamiltonià podem explicar proubé les diferents maneres com es poden ordenar els espins en els sòlids. Un altre punt important d’a-quest hamiltonià és que actuant sobre l’estat del nostre sòlid magnètic posa tots els espins paral·lels,però és l’anisotropia magnètica, exposada en el següent apartat, el que determina en quina direccióconcreta s’orienten.

El cas més senzill és aquell en què totes les Jij són positives. En aquesta situació és clar veureque l’estat que farà mínima l’energia serà aquell en què tots els espins se situaran paral·lels. Aixòs’anomena ferromagnetisme.

Fixem-nos ara en una cosa: considerem dues situacions diferents d’ordenació d’espins. Una primeraen què tots ells estiguin paral·lels però cap amunt i l’altra en què estiguin paral·lels però cap avall 4.

↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

És fàcil entendre que ambdues situacions tindran la mateixa energia, ja que les distàncies de separacióentre espins són les mateixes en els dos casos (i les constants d’intercanvi només depenen de ladistància). També es pot entendre considerant que una espira on hi circula un corrent elèctric en unsentit que genera un moment dipolar magnètic i la mateixa espira amb un corrent elèctric en sentitcontrari té la mateixa energia (~µ = I ~dS , E = −~µ ~B). En altres paraules, és invariant sota inversiótemporal.

3Temperatura a la qual deixa de ser magnètic4En realitat si tots es trobessin exactament paral·lels estaríem en un cas de violació de la mecànica quàntica.

Justifiquem això amb l’anomenada metàfora clàssica, que diu que en realitat els espins no estan quiets sinó queprecessionen entorn un eix paral·lel a tots ells.

35

Per tot això podem dir que l’hamiltonià d’intercanvi és invariant sota qualsevol rotació simultàniade tots els espins del sistema. Per això commuta amb cada component de l’espín total

(~S = ∑

i ~si)i

amb ~S2; és a dir:

i~d~S

dt= [~S,Hex] = 0

i~d~S2

dt= [~S2,Hex] = 0

Anem a mostrar, ara, que l’estat fonamental de l’hamiltonià de l’equació (2.1) en el cas que ensocupa (ferromagnetisme; Jij > 0) és

|0〉 =N∏i

|s〉i

On |s〉i és l’estat propi d’siz de valor propi màxim; és a dir ms = s. En aquesta situació, doncs, lacomponent z de l’espín total tindrà també el valor propi màxim:

~Sz|0〉 = Ns|0〉

Sabent que l’hamiltonià de l’equació (2.1) es pot escriure també com:

Hex = −12∑i 6=j

Jij[sizsjz + 12(si+sj− + si−sj+)]

on s+ = sx + isy i s− = sx − isy. Així, recordant que si+|s〉i = 0, obtenim

Hex|0〉 = −12

(∑n

Jn

)Ns2|0〉

on el sumatori s’estén als n primers veïns. Per tant, queda clar que |0〉 és l’estat fonamental, ja quecorrespon al valor propi mínim. A més, aquest valor propi, coincideix amb l’energia de l’arranjamentferromagnètic derivat per a espins clàssics.

Un exemple sencill de l’obtenció de l’energia fonamental seria el d’una cadena lineal: Per N → ∞tindrem que, per primers veïns, cada espín tindrà dues interaccions per tant: E0 = −NJs2 . Siara consideressim una cadena lineal finita, hem de tenir en compte que els dos espins dels extremsd’aquesta solament tenen una interacció, és a dir, tenim N-2 espins amb dues interaccions i 2 espinsamb una interacció: E0 = −1

2Js2(2(N − 2) + 2 · 1) = −J(N − 1)s2 .

Exercici: Calcular l’energia de l’estat fonamental d’una xarxa quadrada i d’una xarxacúbica per nombre d’espins (N) infinits i finits.

Inicialment, sabem que, pel model d’Ising, l’hamiltonià d’intercanvi és:

Hex = −12∑i 6=j

Jij ~Si ~Sj

36

Figura 1.9: Representació de la xarxa quadrada .

Considerem que la xarxa de l’exercici és monoatòmica i la distància entre àtoms és la mateixa:Jij = Jji ≡ J . A més, a l’estat fonamental els espins correspon a quan es troben tots paral·lels, demanera que: ~Si · ~Sj = S2. D’aquesta forma podem expressar l’energia d’intercanvi com:

E = −12JS

2∑n,n

1

on el sumatori s’extén a primers veïns per a tots els àtoms de la xarxa. Els subíndexs denoten ladirecció x i direcció y de la xarxa. Pel cas tridimensional se n’hauria d’afegir un tercer.

Xarxa quadrada

Per N → ∞ tindrem que tots els àtoms tenen 4 interaccions a primers veïns perquè no hi ha capfrontera. Així:

∑n,n

1 = 4N

i això ens dóna una energia a l’estat fonamental de:

E0 = −12JS

24N = −2JNS2

Si ara fem N =√N ·√N finit ens trobem que no tots els àtoms tenen el mateix entorn atòmic

perquè en aquest cas sí que tenim efectes de frontera.Anem a comptar, doncs, les interaccions que tenen els àtoms de la nostre xarxa.

Els situats a l’interior continuaran tenint 4 interaccions i el nombre d’àtoms que els hi passa aixòseran tots excepte els que estan situats a la frontera de la xarxa, és a dir, (

√N − 2)2. Els que estan

situats a les arestes tindran 3 interaccions i com que tenim 4 arestes i a cadascuna√N−2 àtoms amb

aquest nombre d’interaccions, tindrem en total 4(√N − 2) àtoms amb 3 interaccions. Per acabar,

els 4 vèrtexs tindran 2 interaccions a primers veïns.

37

Figura 1.10: Representació de la xarxa cúbica.

Així doncs, l’estat fonamental d’aquesta xarxa serà:

E = −12JS

2(2 · 4 + 3 · 4(√N − 2) + 4(

√N − 2)2) = −JS2(2N − 2

√N) = E0 −

1√NE0

Una altra forma de calcular aquesta energia seria comptar les interaccions que no tenim a la xarxafinita respecte la infinita i restar-les-hi a

∑n,n

de la consideració infinita.

Xarxa cúbica

En aquesta xarxa per N →∞ tindrem que cada àtom té 6 interaccions a primers veïns de tal maneraque:

H0 = −12JS

2(6N) = −3JNS2

Ara anem a considerar N = N1/3 ·N1/3 ·N1/3 finit i a comptar les interaccions que té cadascun delsatòms.Els àtoms que no estan a les fronteres de la nostre xarxa tindran 6 interaccions i el nombre d’àtomsque els hi passa això serà (N1/3 − 2)3. Llavors, els àtoms que estan a les fronteres però no són nidels vèrtexs ni de les arestes, és a dir, els de les cares, tindran 5 interaccions. Com que tenim 6cares i a cada cara tenim (N1/3− 2)2 àtoms amb aquest nombre d’interaccions, el total d’àtoms serà6(N1/3 − 2)2. Per les arestes tindrem 3 interaccions i com que en un cub tenim 12 arestes el nombretotal d’àtoms serà 12(N1/3 − 2). Finalment, tenim 8 vèrtexs que tenen 3 interaccions cadascun.

Així doncs, l’energia de l’estat fonamental per aquesta xarxa cúbica finita serà:

38

E = −12JS

2(3 · 8 + 4 · 12(N1/3 − 2) + 5 · 6(N1/3 − 2)2 + 6(N1/3 − 2)3) = −12JS

2(6N − 6N2/3)

E = E0 −1

N1/3E0

Igual que en la xarxa quadrada, aquest procediment també es podria haver fet comptant les interac-cions que no tenim a la xarxa finita respecte la infinita i restar-les-hi al sumatori del cas de la xarxainfinita.

24/II/15

Fins ara hem considerat el cas en què Jij > 0; ferromagnetisme. Ara bé, si Jij < 0 ens trobem en el casd’antiferromagnetisme, en el qual els espins d’àtoms veïns tendeixen a orientar-se antiparal·lelament:

↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓

Aquest tipus de disposició es pot estudiar pensant-la com la superposició de dues xarxes; una ambels espins amunt i l’altra amb els espins avall. L’estudi d’aquest fenomen és molt més complex queel del ferromagnetisme. Un altre cas molt comú és el cas del ferrimagnetisme, que es pot estudiartambé com dues xarxes superposades amb espins de sentits contraris però en aquest cas amb mòdulsdiferents, de manera que l’espín total resultant és diferent de zero.

↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓

Un exemple d’aquest últim cas és el CoFe2O4, on el Co i el Fe2 tindran moments magnètics diferents,cosa que resutarà en un ~µtotal 6= 0.

Com ja hem dit, l’estudi de la interacció és altament complex i experimentalment és molt difícil saberde quina de les tres maneres (ferromagnèticament, antiferromagnèticament o ferrimagnèticament)actuen els espins en un material donat.

1.3.2 Hamiltonià d’anisotropia

En la secció anterior hem vist que l’energia d’un material magnètic no depèn de l’orientació delmoment magnètic total. Això, però, sembla estar en desacord amb el fet experimental que mostra queper a un material magnètic hi ha una direcció anomenada de fàcil imantació i una altra anomenadade difícil imantació.Això ens fa pensar que cal afegir un altre tipus d’interacció anomenada anisotropia magnètica, demanera que l’hamiltonià del sistema esdevé:

H = Hex +HA

39

A nivell macroscòpic hi ha una manera molt fàcil, experimental, de saber si un material és anisòtropmagnèticament. S’orienta la mostra d’una manera determinada i se li aplica un camp magnètic enuna direcció determinada. Es prenen mesures suficients que permetin representar la característicaM(B). Ara es repeteix el mateix experiment canviant l’orientació de la mostra mantenint fixa ladirecció del camp; es representa la mateixa característica. Si les dues corbes difereixen ens trobemdavant un cas d’anisotropia magnètica, ja que per a una direcció necessitarem més camp per a arribara la saturació que en una altra.Microscòpicament aquest fenomen és encara més complex que el de la interacció d’intercanvi; inclouinteraccions d’espín-òrbita, que són correccions relativistes. Encara que tots dos fenòmens vénen do-nats pels camps electrostàtics cristal·lins, l’anisotropia és també relativista i per tant és proporcionala (v/c)p, on p és una potència parella. Com que generalment (v/c) ≈ 0, 8 aquesta interacció seràmolt més feble que la d’intercanvi i per tant quan fem teoria de pertorbacions aplicarem la interacciód’intercanvi en primer lloc i a continuació aquesta.Tenint en compte que l’hamiltonià del sistema ha de complir les condicions d’hermiticitat i de simetria- ha de ser simètric respecte a les transposicions d’eixos i respecte a la reversibilitat del temps (t→ −t)podem escriure la forma general d’aquesta interacció com:

HA = −12bαβ

∑n

SnαSnβ + 14cαβγδ

∑n

SnαSnβSnγSnδ + ... (1.28)

On el sumatoris s’extenen a primers veïns. Veiem que tots els termes estan formats per termes depotències parelles en S; els punts suspensius indiquen que llavors vindrien els termes de ∼ S6 i llavorsels de ∼ S8, etc. D’aquesta manera assegurem la reversibilitat temporal, ja que els moments angularscanvien de signe sota aquesta transformació. Així, els termes del primer sumatori aniran com ∼ (v

c)2,

els del segon sumatori com ∼ (vc

)4, etc, ja que aquesta expressió prové d’un desenvolupament en sèriede potències de (v

c) que a nivell quàntic s’expressen en termes de productes d’espins.

Exemple: Càlcul de HA per a una xarxa cristal·lina ortoròmbica formada per àtomsiguals.Anem a fer un estudi d’aquest cas. Trobarem que per a una direcció determinada (direcció de fàcil

imantació) la susceptibilitat χ serà màxima.Sabem que l’hamiltonià ha de ser invariant sota rotacions d’eixos. Si considerem per exemple unarotació de π entorn l’eix z veiem que els canvis són:

Sx → −SxSy → −SySz → Sz

Fent un procediment anàleg per a rotacions entorn els altres dos eixos arribem a la conclusió quesi el que ens interessa és que l’hamiltonià romangui invariant ens quedarem només amb els termesquadràtics (S2

x, S2y , S2

z ), com expressa l’expressió (3.1.2). En primera aproximació ens quedarem,doncs, en aquest ordre i no anirem a ordres superiors.Per una altra banda sabem que el mòdul S2 = S2

x + S2y + S2

z s’ha de mantenir constant.Per tant:

40

Figura 1.11: Sistema ortoròmbic: tots els angles són de π/2 rad i la longitud dels costats és diferent pera cada direcció.

HA = b1S2x + b2S

2y + b3S

2z

Expressant S2x en termes del mòdul arribem a:

HA = b1S2 + (b2 − b1)S2

y + (b3 − b1)S2z

Aleshores si per exemple es dóna el cas que (b3 − b1) < 0 i (b2 − b1) > 0 podem concloure que ladirecció de fàcil imantació és la de l’eix z, ja que aquest és el que ens proporciona una energia mésbaixa. Mentre que la de l’eix y és una de les direccions de difícil imantació perquè ens proporcionauna energia més elevada.Diem ”una de les de difícil imantació” perquè podríem haver triat expressar S2

y en termes del mòdulen lloc de S2

x. En aquest cas obtindríem:

HA = (b1 − b2)S2x + b2S

2 + (b3 − b2)S2z

D’on es veu que la direcció de l’eix x també és una direcció de difícil imantació. Donada la simetriadel sistema podem induïr que en general en tot el pla x-y ens trobarem en casos de difícil imantaciója que aquest és perpendicular a la direcció de fàcil imantació.

27/II/15

Si ara suposem que b2 = b1 = 0 trobem que:

HA = −DS2z

, on la constant d’anisotropia, D, és D > 0. Així, ens trobem en el cas d’anisotropia uniaxial.L’energia clàssica que relacionem amb aquest hamiltonià és:

E = −DM2z = −DMcos2θ

Si per exemple S = 4, tenim 9 valors d’Sz que van de -4 a +4. El valor de l’energia per exemple, pera Sz = +1 i Sz = −1 és el mateix ja que HA és proporcional a S2

z . Representant la dependència d’Eamb el cos2 θ veiem que tot i que aquests estats (Sz = ±1) tenen la mateixa energia els electronsno poden passar d’un estat de Sz = −1 a Sz = +1 sense ser excitats primer a un estat intermig(Sz = 0), ja que existeix una barrera d’energia que ho impedeix (Figura 1.12). Tot i això, veuremque en alguns casos sí que és possible traspassar aquesta barrera per efecte túnel degut a termes

41

Figura 1.12: Representació de les energies dels estats Sz. La barrera d’energia és proporcional al volumde la partícula.

afegits a l’hamiltonià.

Anem a veure ara el cas d’una estructura cúbica, com és el cas del Ferro o Níquel. Per aquesta,b1 = b2 = b3 ≡ b i això ens porta a que:

HA = b(S2x + S2

y + S2z ) = bS2

Per tant, no hi ha cap efecte d’anisotropia magnàtica, ja que HA és constant. Per veure els efectesde l’anisotropia és necessari considerar termes de quart ordre, la qual cosa ens porta a l’hamiltoniàsegüent:

HA = bS2 + C(S2xS

2y + S2

yS2x + S2

xS2z + S2

zS2x + S2

y + S2z + S2

zS2y)

HA = bS2 − C(S4x + S4

y + S4z )

Pel cas del Fe C > 0 i per tant els eixos de fàcil imantació són l’eix x, y i z. Pel Ni C < 0 demanera que els eixos de fàcil imantació correspondran a 4 direccions de les diagonals principals delcub, mentre que els tres eixos x, y i z seran eixos de difícil imantació. Per veure-ho macroscòpicament

42

Figura 1.13: Corbes de magnetització del Ferro (b.c.c.) segons la direcció d’aplicació del camp magnètic.

Figura 1.14: Corbes de magnetització del Níquel (f.c.c.) segons la direcció d’aplicació del camp magnètic.

43

Figura 1.15: Corbes de magnetització del Cobalt (h.c.p.) segons la direcció d’aplicació del camp magnètic.

Figura 1.16: Ordenació dels moments magnètics d’elements de terres rares amb camp magnètic aplicatnul segons la temperatura.

44

veiem quines són les direccions on la magnetització arriba a la saturació més ràpidament en funció dela direcció del camp magnètic aplicat. Les figures 1.13 i 1.14 mostren aquest comportament. En totcas, i tenint present la dependència de l’hamiltonià amb les potències

(vc

)n, on n = 2, 4, 6..., veiem

que en els grups cúbics l’anisotropia magnètica és molt petita, ja que depèn d’un factor(vc

)4.

Pel cas de les estructures tetragonals l’hamiltonià correponent serà:

HA = bS2z + cS4

z + d(S4+ + S4

−)

I pel cas de les estructures hexagonals l’anisotropia surt a sisè ordre. El seu hamiltonià és elsegüent:

HA = bS2z + cS4

z + d(S6+ + S6

−)

El Cobalt té estructura hexagonal i està mostrada la seva corba de magnetització segons la direccióde ~B a la Figura 1.15.

1.3.3 Hamiltonià d’interacció dipolar

A més de l’hamiltonià d’intercanvi i d’anisotropia, els espins dels àtoms interactuen a llarga distànciadegut al camp magnètic dels seus moments magnètics. Aquest hamiltonià, anomenat d’interacciódipolar, s’escriu com

HD = µ0

8π (~γ)2∑i 6=j

1r5ij

[(~si~sj)~r 2

ij − 3(~si~rij)(~sj~rij)]

(1.29)

, on γ = gµB~ . Afortunadament, el moment magnètic associat a l’espín és d’origen relativista i,

consegüentment, l’interacció dipolar magnètica té una contribució més petita a l’hamiltonià totalcomparada amb la d’intercanvi i la de l’anisotropia del camp del cristall.

02/III/15

L’hamiltonià (1.29) també es pot escriure en forma tensorial:

HD = µ0

8π (~γ)2∑i 6=j

siα · sjβ∂2

∂rαij∂rβij

(1rij

)(1.30)

Demostració de (1.30).En primer lloc, desenvolupem els productes escalars dels vectors ~si, ~sj i ~rij que trobem en (1.29):

~si · ~sj = sixsjx + siysjy + sizsjz = siαsjα α ∈ x, y, z

~rij · ~rij = r2ijx + r2

ijy + r2ijz = r2

ij

~si · ~rij = sixrijx + ... = siγ · rijγ γ ∈ x, y, z

~sj · ~rij = sjxrijx + ... = siλ · rijλ λ ∈ x, y, z

Substituïm aquests resultats en (1.29) per trobar:

45

HD = µ0

8π (~γ)2∑i 6=j

1r3ij

[(siα · sjα)− 3(siγrijγ) · (sjλrijλ)

r2ij

](1.31)

Ara prenem l’equació (1.30) i desenvolupem el terme de derivades parcials ∂2

∂rαij∂rβij

(1rij

):

∂2

∂rαij∂rβij

(1rij

)= ∂

∂rαij

(−1

22rijβr3ij

)=δαβr

3ij − 3

2rij2rijαrijβr6ij

I el substituïm en (1.30):

HD = µ0

8π (~γ)2∑i 6=j

siα · sjβ(δαβr

3ij − 3rijrijαrijβ

r6ij

)

On δαβ és la delta de Kronecker. Si ho arreglem queda com

HD = µ0

8π (~γ)2∑i 6=j

1r3ij

[(siα · sjβ)− 3siαsjβrijαrijβ

r2ij

](1.32)

Si comparem (1.32) amb (1.31) veiem que són iguals, tenint en compte que γ = α i λ = β.

1.4 Partícules monodomini i superparamagnetisme1.4.1 Introducció

Com ja sabem, en un material magnètic macroscòpic (bulk ferromagnet) trobem el que anomenemdominis: zones del policristall en què el moment angular total té una direcció concreta. Així, totesles partícules que formen el domini tenen els espins paral·lels i generalment en una direcció diferenta la dels seus veïns (Figura 1.17). S’arriba a aquesta situació perquè comporta una minimització del’energia magnètica.

Figura 1.17: Esquema de dominis i parets de domini en un material magnètic macroscòpic. Les fletxesindiquen el sentit de l’orientació dels espins en cada domini.

Entre dominis veïns trobem el que s’anomena parets de domini: transicions paulatines entreuna direcció d’orientació del moment magnètic i una altra. L’amplada d’aquestes parets, λ, vedeterminada per la següent relació:

46

λ = a

√EexEA

(1.33)

On a és el paràmetre de xarxa del material, Eex és l’energia d’intercanvi i EA és l’energia d’aniso-tropia. L’energia d’intercanvi determina la temperatura de Curie, i aquesta pot variar 2 ordres demagnitud en funció del material. En canvi, EA pot variar entre 5 i 6 ordres de magnitud; canviamolt d’un material a un altre. Això implica que λ depèn fortament del terme EA. Típicament perun imant permanent amb molta anisotropia, l’ordre de magnitud de la paret de domini és λ ≈ 1 nm.

Aquestes explicacions ens porten a la conclusió següent: si tenim una porció d’un material les di-mensions de la qual són inferiors a λ, tots els espins tindran la mateixa direcció, per tant en dirempartícula monodomini. Aquesta no tindrà inclosa la paret de domini, ja que aquesta partícula ésmés petita que la pròpia paret, i, per simplificació, suposarem que té una direcció de fàcil imantació,és uniaxial. Per aquesta raó podem parlar d’un espín total ~S, com si consideréssim la partícula comuna petita brújula nanomètrica (Figura 1.18).

Figura 1.18: En una partícula monodomini tots els espíns són paral·les.

L’energia necessària per a invertir un d’aquests espins totals mantenint el sentit de la resta és del’ordre de l’energia d’intercanvi, és a dir, arribar a la temperatura de Curie, TC , de manera que ésmolt poc problable que s’inverteixin els espins espontàniament per efecte de la temperatura. Laprobabilitat Γ de que un espín s’inverteixi és

Γ ∝ e− EexkBT (1.34)

Que per temperatures T << TC tendeix a 0. Per aquesta raó onsiderem que el mòdul de l’espín∣∣∣~S∣∣∣

d’una partícula monodomini és constant.

La barrera d’energia que impedeix el trànsit d’una partícula monodomini d’espín amunt a l’estatespín avall es pot expressar clàssicament com

U = KV

On V és el volum de la partícula i K és una constant que depèn de cada material. Així doncs, tambéla probabilitat de transició es pot expressar en termes d’U segons

Γ ∝ e− UkBT

Cal tenir en compte també l’efecte túnel. Estudiarem més endavant que es poden aconseguir estatssuperposats d’espín amunt i espín avall (Qubit) quan un electró travessa la barrera U per efecte

47

túnel, donant lloc a fenòmens de coherència quàntica (Figura 1.19).

Figura 1.19: Estats enllaçats. Coherència cuàntica.

Que la barrera depengui clàssicament del volum de la partícula magnètica suposa un repte tecnològicper al desenvolupament de les memòries magnètiques. Per una banda, ens interessa molt tenirpartícules magnètiques (que actuen com bits d’informació) el més petites possible, ja que podrememmagatzemar més informació. Per una altra, però, si és massa petita la barrera U d’energia tambého serà i augmentarà la probabilitat de que s’inverteixi la magnetització. Si espontàniament espot invertir la magentització d’una partícula monodomini vol dir que un bit pot passar de 1 a 0espotàniament, és a dir, es perd la informació per efecte de la temperatura. D’aquesta frontera endirem límit superparamagnètic.

Figura 1.20: Evolució temporal del tamany de les partícules monodominis emprades com a bits d’infor-mació (en nombe d’àtoms).

Podem determinar el temps que triga una partícula monodomini en invertir la magnetització enfunció de U i T segons l’expressió:

t = t0 exp U

kBT

48

A la quantitat 1/t0 en direm també freqüència d’intent i a t0 se l’anomena temps d’intent, ja que, ésel temps que hem d’esperar per tal de que aquesta transició succeixi.

D’aquesta forma, si estableixo el temps que vull que el meu material romangui magnetitzat o queguardi la informació induïda, puc fer un material d’un volum i constant del material, K, adequatper tal d’aconseguir-ho.

03/III/15

Quan considerem un material, un conjunt de partícules monodomini, tenim un espín total de l’ordrede 106. En aquest cas no podem suposar una discretització de l’orientació del moment magnètic, és adir, dels dels nivells d’energia, ja aquests formen un conjunt quasicontinu. Efectivament, si S ≈ 106,el pas d’una orientació a una altra és π

2 · 106 + 1 ≈ 0. Degut a la distribució no uniforme de volumsd’un conjunt de partícules monodomini (és impossible tecnològicament fabricar partícules perfecta-ment idèntiques) la barrera U no és una, és també una distribució. Si el material que estem tractantté una freqüència d’intent suficientment elevada, aleshores tindrem un superparamagnet (

∣∣∣~S∣∣∣ ≈ 106).

Com hem dit abans podem entendre una partícula monodomini com un espín total suma de totsels espins que el formen. Tenint en compte que l’energia d’anisotropia és per a cada una d’aquestesmolt inferior a la d’intercanvi, ens serà més fàcil invertir l’espín total (anisotropia) que no pas unespín aïllat (acció que requereix una aportació de l’energia d’intercanvi). En molts casos, aquesttipus de partícules es comporten de manera similar a com ho fan els àtoms paramagnètics peròamb un moment magnètic gran. Per aquest motiu moltes de les expressions derivades en el cas delparamagnetisme també són útils quan tractem conjunts de partícules monodominis. D’aquí ve quea aquest tipus de materials els anomenem superparamagnètics.

Figura 1.21: Els materials paramagnètics (U/T = 10) no presenten cicle d’histèresis.

Recordem que un material paramagnètic no presenta cicle d’histèresi (Figura 1.21). Si el temps detrànsit és molt petit (U/T petit) implica que és més probable que les partícules monodomini canviïnd’espín amunt a espín avall. Per tant, els hi és més fàcil seguir el camp magnètic quan aquest varia.Quan no aplico camp magnètic no hi ha una magnetització romanent, de nou degut a que els dominises desordenen molt fàcilment.

49

1.4.2 Relaxació magnètica

Els materials que presenten cicle d’histèresi són aquells en què el quocient U/T és tal que les tran-sicions d’inversió del moment magnètic total són poc probalbes. Tot i axí, al cap d’un cert tempses produiran aquestes transicions i el material perdrà la seva magnetització romanent. D’aquestfenomen en diem relaxació magnètica. De fet, si poguéssim fer una corbaM(H) variant amb infinitalentitud H (Figura 1.22) i mesurant M, no obtindríem cicle d’histèresi sinó una corba d’equilibri.La relaxació, per tant, s’entén com la tendència del material a assolir l’estat d’equilibri, l’estat demínima energia, al llarg del temps.

(a) Corba M(H) realitzada amb variacionsdiferencials de H.

(b) Corba M(H) realitzada amb variacions ràpidesde H.

Figura 1.22: CorbesM(H) en diferents condicions.

Aquesta relaxació està formada per dos procesos, el procés lent i el procés ràpid. Si, per exemple,començo al punt de saturació i redueixo el camp aplicat a H2, passaré a un estat de magnetitzacióM2 que no serà el corresponent a l’estat d’equilibri, perquè molts dominis encara seguiran orientatsen la direcció del camp. Aquest primer procés és el ràpid. El procés lent depèn de la temperatura ide la intensitat de la barrera d’energia. A mesura que passa el temps més dominis salten la barreraU , de manera que el material es va desorientant fins a assolir la magnetització de l’estat estacionari,és a dir, la de la corba d’equilibri.

Per una altra banda, gràcies a la tecnologia som capaços de dissenyar i trobar materials amb elscicles d’histèresi que més ens convinguin, en funció de l’aplicació. Per exemple, si volem memòriesmagnètiques que emmagatzemin memòria durant un llarg període de temps, ens interessen materialsamb una magnetització romament detectable i un alt camp coercitiu (U/T elevat; barrera d’energiaelevada per a que passin molts anys fins que el material es relaxi). Al mateix temps, es prefereixencicles d’histèresi de forma quadrada/rectangular (Figura 1.24) per tal de que el canvi entre el valor1 i 0 del bit sigui establert en un interval de magnetització petit i tingui una gran diferència entreun i altre per no entrar en confusió i, en conseqüència, pèrdua d’informació. Per saber la "rectangu-laritat" d’aquest cicle s’utilitza la derivada de la magnetització respecte el camp H al camp coercitiucom a factor de qualitat. Si, en canvi, volem construir un transformador eficient energèticament,buscarem materials el cicle dels quals presenti un camp coercitiu mínim, i que, per tant, no presentingaire pèrdues energètiques (l’àrea del cicle d’histèresi representa les pèrdues energètiques, l’energiamagnètica emmagatzemada en el material).

50

Figura 1.23: Corba d’equilibri i procés de relaxació magnètica. El material tendeix a l’estat de mínimaenergia.

Figura 1.24: Per determinar la "rectangularitat" del cicle d’histèresi s’analitza la derivada a prop del campcoercitiu.

05/III/15

1.4.3 Relaxació magnètica. Càlcul de M(t)

Considerem un conjunt de partícules amb volums diferents i amb els seus eixos de fàcil imantacióen direccions diferents. Si hi apliquem un camp ~H creixent en una certa direcció veurem que lespartícules tendeixen a orientar-se amb el camp; i en la saturació totes s’orientaran paral·leles entreelles i al camp.

Si sobtadament fem el camp nul algunes partícules seran capaces de seguir el camp però d’altres no,ja que la seva barrera energètica és major i el camp magnètic no haurà pogut eliminar la barrera. Apartir d’aquest punt comença la relaxació magnètica.

51

Per a cada partícula individual la variació de la magnetització durant el procés de relaxació presentauna dependència exponencial amb el temps

dMdt

= −M · Γ (1.35)

, on la freqüència de transició de la inversió d’espín, Γ, per una partícula és:

Γ = ν exp(− U

kBT

)(1.36)

Si tenim un conjunt de partícules hem de tenir en compte que la barrera d’energia s’escriu en funcióde la magnetització:

U = U0

[1− M(t)

MC

]On U0 és l’energia mitjana de totes les barreres iMC la magnetització romanent. Així, substituintl’expressió anterior a (1.36) obtenim:

Γ = ν exp− U0

kBT

(1− M(t)

MC

)

Figura 1.25: Magnetització en funció del logaritme neperià del temps. Com més temperatura, menystemps tarda a desmagnetitzar-se.

Integrant (1.35) en el temps arribem a la següent expressió de la magnetització:

M(t) =M(t0)[1− kBT

U0ln(t

t0

)]onM(t0) ≈MC . Comprovem doncs que la magnetització segueix una llei logarítmica i proporcionala kBT . A major temperatura el material tardarà menys en relaxar-se ja que les partícules tenen mésenergia disponible per saltar la barrera (Figura 1.25).

52

1.4.4 Corbes ZFC i FC

Analitzem ara un experiment. Considerem un sistema de partícules petites amb una distribució devolums f(V ) i les refredem des de temperatura ambient fins a molt baixa temperatura en absència decamp magnètic aplicat (H = 0). Els moments de les partícules estaran, doncs, orientats de maneraaleatòria (cada un en la seva direcció de fàcil imantació) complint-se que la magnetització totalMserà nul·la.

Figura 1.26: Dependència amb la temperatura de la magnetització per a molècules de ferritina obtingudaen els processos ZFC i FC amb un camp aplicat H = 0, 01 T. A dins: corba de la inversa de la susceptibilitaten el procés FC en front de la temperatura.

A continuació, apliquem un camp magnètic H molt menor al camp d’anisotropia, HA (H ≈ 50Gauss << HA ≈ 5000 Gauss) i comencem a escalfar el material per a estudiar la dependència de lamagnetització amb la temperatura.Aquest petit camp provocarà que la barrera de potencial entre els dos mínims es deformi una micade manera que un dels mínims quedi inferior a l’altre. A mesura que augmenta la temperatura, hi hamés partícules que aconsegueixen saltar la barrera5. Per tant, com que la probabilitat de transicióés proporcional a l’exponencial negativa del volum (equació (1.36)), les partícules de menor volumseran més propenses a comportar-se de forma paramagnèticament. Així doncs, pot ocórrer que pera una partícula, la barrera d’energia sigui massa elevada com per a que amb aquest petit H aplicatl’energia magnètica sigui suficient per a fer oscil·lar l’espín d’una posició a l’altra. Per a que aixòpassi, serà necessari un aportament d’energia tèrmica. És a dir, que aquesta partícula es trobarà”congelada” (en un estat metaestable) fins a una temperatura a partir de la qual l’efecte del campaplicat més l’efecte de la temperatura facin possible la transició de l’espín.Si seguim incrementant T arribarem a un punt (temperatura de bloqueig) en què totes les partí-cules hauran saltat la barrera (màxim de la corba ZFC). A partir d’aquest punt es produeix unadisminució en el valor de la magnetització perquè la temperatura contribueix a augmentar la proba-bilitat de transició de l’estat ↓ al ↑. Per tant, tots els espins començaran a oscil·lar contínuamentd’una posició a l’altra: el sistema es comporta com un sistema paramagnètic (superparamagnetis-me). Això implica que si seguim escalfant la magnetització del material segueix la llei de Curie,

5Recordem que la barrera de potencial d’anisotropia és proporcional al volum de la partícula.

53

M = C

TH. La corba obtinguda des de la temperatura mínima fins a temperatura ambient durant

el procés d’escalfament s’anomena corba de ZFC (Zero Field Cooled) ja que el refredament s’ha feta camp aplicat zero (aquest refredament no està representat a la figura 1.26). La corba de ZFC re-presenta la corba de resposta magnètica de les partícules que es comporten superparamagnèticament.

Una vegada hem arribat a temperatura ambient anem a obtenir el que s’anomena corba de FC (FieldCooled). Es tracta d’un procés de refredament amb el mateix camp aplicat constant que teníemdurant l’escalfament. El material seguirà la corba de Curie durant tot el refredament ja que aquestaés una corba d’equilibri i per tant els espíns seran capaços d’oscil·lar fins i tot a temperatures talsque T < TB, ja que la barrera d’anisotropia romandrà deformada. De fet, els punts de la corba ZFCque estan per sota la TB poden arribar a la corba d’equilibri FC si esperem el temps suficient perquèles partícules transitin la seva barrera; es relaxin.Fent la diferència entre les dues corbes (ZFC i FC) es pot obtenir la distribució de volums del nostresistema de partícules, f(V ), a partir de la distribució de barreres, f(U).

06/III/15

Definim el volum de bloqueig com:

VB = kBT

Kln(νtm)

, on tm és el temps de mesura i val tm = 1Γ mentre que K és la constant d’anisotropia.

Anàlogament la temperatura de bloqueig es pot definir com:

kBTB = U0

ln(νtm)Un valor freqüent per a ln(νtm) sol ser 30, i en conseqüència U0 és de l’ordre de 30 kBTB.Això ens porta a que per a qualsevol temperatura una partícula amb un volum tal que V < VB escomportarà com un superparamagnet, ja que ha estat ”descongelada”. Per contra, si el volum de lapartícula compleix V > VB la partícula es trobarà bloquejada en el seu estat inicial.

Després d’aquesta anàlisi podem concloure que tant TB com VB depenen del material però també dela tècnica de mesura. Depenen de la resolució del temps de mesura; si fem la mesura en un temps mésllarg, veurem més partícules que han tingut temps de desbloquejar-se. Si augmentem la freqüènciaamb què fem les mesures la TB augmentarà. És a dir, podem veure més o menys superparamagnetssegons el temps de mostreig del nostre experiment.

Les millores en la resolució experimental han fet possible veure que per a molt baixes temperaturesles transicions d’espín ocorren per efecte túnel i dominen respecte dels efectes tèrmics. Per això hompot esperar que la relaxació magnètica perdi la seva dependència amb la temperatura a mesura queens apropem al zero absolut.

El senyal magnètic que segueix un material superparamagnètic en presència d’un ~H aplicat és unafunció de Brillouin (considerant-lo quànticament), per tant:

54

MZFC =∫ VB

0dV f(V )m0V tanh (m0V H

kBT)

On m0 és el moment magnètic per unitat de volum de la mostra. Si tenim en compte la definció deVB el màxim valor que pot prendre l’argument de la tangent hiperbòlica és:

max(m0V H

kBT) = m0VBH

kBT= m0T ln (νt)H

KkBT≈ 30m0H

2m0HA

= 15 HHA

<< 1

I si l’argument és suficientment menor que 1, la tangent hiperbòlica es pot substituir per l’argument:

MZFC =∫ VB

0dV f(V )m0V

m0V H

kBT= m0

2H

2kBT

∫ VB(T,t)

0dV f(V )V 2 = f(T,H, t)

on el factor 12 ve de prendre la mitjana per a tots els angles de les direccions de fàcil imantació amb

el camp aplicat. Segons això, doncs, ara podem fer un estudi de com serien les funcions de ZFC pera diferents distribucions de volum de les partícules:

a) f(V ) = A

V 2 ⇒MZFC = m02H

kBT

∫ VB(T,t)

0dV = constant

b) f(V ) = A

V⇒MZFC ∼ T

c) En el cas d’efecte túnel quàntic: T = T ∗ = constant→ 0 ⇒MZFC ≈m0

2H

kBTconstant ∼ 1

T

d) f(V ) = A

V 3 ⇒MZFC = 1T

ln ( VBVmin

)

Anem a veure ara la dependència de la magnetització amb el temps:

Definim el nombre de partícules: N =∫∞

0 dV f(V )Primer saturem la mostra, és a dir, li apliquem un camp suficientment elevat (HA), i després tornema camp nul. Sabem que per un sistema compost per N partícules amb una distribució f(V ) la sevadependència temporal del moment magnètic s’obté integrant:

M(t) = 1N

∫M(V, t)V f(V )dV

, sabent que dM(V, t)dt

= −Γ(V, t)M(V, t) iM0 = 12Msat s’arriba a:

M(t) = 12M0

∫ ∞0

dV f(V )V e−Γ(V )t

a) Si tots els volums són iguals ⇒ f(V ) = Nδ(V − V0)

N∫ ∞

0dV δ(V − V0) = N

M(t) = 12M0NV0e

−Γ(V0)t =M0e−Γ(V0)t

55

La relaxació és exponencial.

b) En el cas d’una distribució de volums f(V )⇒ Γ(V ) = νe−U/kBT Cosa que implica

M(t) = 12M0

∫ ∞0

dV f(V )V exp[−νt exp

(− U

kBT

)]

El factor exp[−νt exp

(− UkBT

)](veure Figura 3.10) va com θ(V − VB):

θ(V − VB) =

1 per a V < VB0 per a V > VB

Figura 1.27: θ(V − VB)

M = 12M0

∫ ∞0

dV f(V )V θ(V0 − VB) = 12M0

∫ ∞VB

dV f(V )V

Obtenim:

M(t) =M(0)− 12M0

∫ VB

0dV f(V )V

Si ara fem la derivada temporal:

S = − 1M(0)

∂M(t)∂ ln (νt) = − 1

M(0)kBT

K

∂M(t)∂[kBT

Kln (νt)]

= − 1M(0)

kBT

K

∂M(t)∂VB

Per tant:

S = M0kBTf(VB)VB2M(0)K

M(0) = 12M0NV

S = kBT

V

f(VB)VBN

A la magnitud S l’anomenem viscositat magnètica i també presenta un màxim a TB perquè hi hamenys partícules que es relaxen (Figures 1.28 i 1.29).

Si considerem casos en què VB << V0 on V0 és el volum tal que KV0 = U0:

a) f(V ) = AS = kBTVB ∼ T 2 ln (νt)

56

Figura 1.28: Viscositat d’una mostra en funció de la temperatura

b) f(V ) = A(V

V0

)2exp−(V/V0)2

S = TVB3 = T 4 ln3(νt)

c) f(V ) ∼ 1V

S ∼ TVBVB∼ T

d) f(V ) ∼ 1V 2

S = constant

e) Efecte túnel quànticS = constant

Amb aquest estudi hem fet palès que coneixent la corba ZFC i mesurant la relaxació magnètica espoden conèixer dues coses: per una banda la distribució de volums i per l’altra si ens trobem en uncas de transicions causades per efectes tèrmics o quàntics (efecte túnel). Això darrer ho podem veureobservant la rectaM(T ln (t/t0)); si es trenca per a T → 0 significa que el fenomen ja no és tèrmic,sinó quàntic. Per això l’anomenem relaxació magnètica quàntica.

09/III/15

1.4.5 Mesura de susceptibilitats amb camps magnètics AC

Podem obtenir la susceptibilitat d’una partícula individual a través de l’aplicació d’un camp magnèticaltern tot mesurant la seva magnetització. Tindrem dos casos:

a) Tenir camp aplicat a la mostra però no ocórrer el procés de relaxació. En aquest cas, lamagnetització seguirà el camp H = H0cos(wt) com:

57

(a) S en funció de T. S’observa que per a temperaturesmolt baixes la viscositat no depèn de la temperatura,fent palès el protagonisme de l’efecte túnel quàntic.

(b) S en funció de la temperatura. Observem l’e-fecte túnel a temperatures baixes veient la indepen-dència amb de la temperatura.

(c) Gràfiques de la viscositat i la magnetització d’unamostra. A baixes temperatures observem la relaxaciómagnètica quàntica.

Figura 1.29: Exemples de mesures experimentals on es demostra la no dependència de la magnetitzacióamb la temperatura.

M(t) = χ0(w)H0cos(wt)

b) Tenir només en compte el procés de relaxació, és a dir, les barreres d’energia:

tmdMdt

+M = 0

, on tm és l’invers de Γ.

Si tenim un procés barreja dels casos anteriors, la magnetització que obtenim és:

58

M(t) =M1cos(wt) +M2sin(wt)

I d’aquesta expressió trobem la susceptibilitat magnètica, que tindrà un valor real o en fase, χ1, i unvalor complex o fora de fase, χ2:

χ1 = χ0(w)1 + (wtm)2 (1.37)

χ2 = χ0(w) wtm1 + (wtm)2 (1.38)

A més, com ja sabem, aquest temps de mesura o de relaxació depèn del volum de la partícula segonsl’equació (1.36) ja que Γ = 1

tm.

En el cas que consideréssim una distribució de volums haurem d’integrar respecte tots els volums:

χ1 = χ0

∫ ∞0

dVf(V )V

1 + [wtm(V )]2

χ2 = χ0

∫ ∞0

dVf(V )V wtm(V )1 + [wtm(V )]2

, on sabem que∫∞0 dV V f(V ) = N〈V 〉. Si ara en aquestes expressions introduïm el volum de bloqueig,

VB = kBTKln( ν

ω), a baixes temperatures el factor (1+[ωtm(V )]2)−1 és equivalent a la funció θ(VB−V ).

De manera que si

θ(V − VB) =

1 per a V < VB0 per a V > VB

Ens porta a reduir la integral de χ1 a:

χ1 = χ0

∫ VB

0f(V )V dV (1.39)

Per una altra banda, quan V s’allunya de VB el factor wtm(V )1 + (wtm(V ))2 se’n va ràpidament a 0 donant

com a resultat per la χ2:

χ2 = χ0VBf(VB)∫ ∞

0dV

ωtm(V )1 + (ωtm(V ))2

χ2 = π

2χ0kBT

KvBf(VB) = −π2

∂χ1

∂lnω(1.40)

Així doncs, si considerem un sistema amb una distribució de volumns sobre el qual actua un campmagnètic altern, hi ha una freqüència per a la qual les partícules absorbeixen l’energia del camp.En aquesta condició d’absorció, χ1 cau dràsticament a 0 i χ2 presenta un màxim. De fet, el màximcoincideix amb la condició de volum de bloqueig. Aquest efecte es podria utilitzar per la grabaciód’informació, grabació en funció de la freqüència i del volum de les partícules. També s’estudien apli-cacions mèdiques, e.g. tractament de tumors, degut l’augment de la temperatura de les partícules

59

magnètiques quan aquestes absorbeixen l’energia del camp aplicat.

Finalment, tobem important mencionar que mesurant χ1 i χ2 podríem trobar també la distribucióde volums f(V ), tot i que és més senzill fer-ho a partir de les corbes ZFC i FC. Per una altra banda,remarquem que quan augmentem la freqüència de mostreig del nostre experiment les susceptibilitatsmagnètiques en fase i desfasades de les corbes ZFC es desplacen a la dreta (Figura (1.30)).

Figura 1.30: Comprovació experimental per mostres d’òxid de Ferro que les susceptibilitats en fase idesfasades es desplacen a la dreta amb la freqüència de mostreig de l’experiment.

1.5 Mecànica quàntica d’un espín granLes partícules nanomètriques amb espín no molt gran (∼ 10, 20 o 100) exhibeixen efectes quànticsno trivials. Per veure això comencem considerant un hamiltonià d’una partícula magnètica uniaxiali un camp magnètic aplicat perpendicularment a l’eix anisotropia (i considerant que la temperaturaés de 0 K).

H = −DS2z − bxSx

, amb D > 0 sent la constant d’anisotropia i bx = γ~BX . De manera que l’espín (o moment magnètic)de la partícula s’inclinarà en la direcció del camp magnètic aplicat. Això, ens porta a una degeneracióde l’energia a causa de la possibilitat de que aquest espín estigui orientat amunt o avall.Si ara passem al mòn clàssic, és a dir:

E = −DS2cos2θ − bxsinθ

, i busquem els mínims i màxims a partir de ∂E∂θ

= 0 ens trobem que:

Emin = −DS2 − b2x

4DEmax = −bxS

60

Figura 1.31: Possibles orientacions de l’espín d’una partícula en aplicar-li un camp magnètic perpendiculara l’eix d’anisotropía.

, expressions que podem utilitzar per trobar la barrera d’energia que ha de passar la partícula percanviar el sentit de l’orientació de l’espín. Aquesta energia és:

U = Emin − Emax = DS2(

1− bx2SD

)2

(1.41)

, d’on observem que podem modificar la barrera a través de l’aplicació d’aquest camp magnètictransversal. Si ara tornem al món quàntic, ens trobem en què les projeccions d’S a l’eix z (en elnostre exemple) estan quantitzades. A més, considerarem que el segon terme de l’hamiltonià tractates pot considerar com una pertorbació (D >> bx). Procedint d’aquesta forma, trobem que els valorspropis de l’hamiltonià, és a dir, l’energia de la partícula segons la seva tercera component d’espín,té degeneració 2 corresponent als dos estats amb el mateix valor absolut d’aquesta component,εm = −Dm2.

Figura 1.32: Nivells d’energia de l’hamiltonià H = −DS2z . La paràbola descriu la dependència clàssica

amb l’energia.

61

La conseqüència del terme pertorbatiu a l’hamiltonia és que Sz no commuta amb l’hamiltonià i, pertant, la m ja no és un nombre quàntic que es pot conservar i, consegüentment, el moment magnèticde la nanopartícula pot passar d’un estat m a −m per efecte túnel. Això és degut a que l’aplicaciódel camp magnètic transversal trenca la degeneració de l’energia i podem obtenir estats de partículesentrellaçats:

ψS = 1√2

[|m〉+ | −m〉]

ψA = 1√2

[|m〉 − | −m〉]

Si ∆m és l’energia que determina el trencament de la degeneració (εm± = εms ± ∆m

2 ), la freqüènciad’oscil·lació entre els dos estats de la partícula, ψS i ψA, és ωm = ∆m

~ .10/III/15

La ωm ens determina com de solapades estan les dues funcions d’ona de la partícula: és la freqüènciade vida del qbit. També podem obtenir efecte túnel sense necessitat d’aplicar camp. Solament neces-sitaríem retenir el factor Sx a l’hamiltonià d’anisotropia. Per fer-ho, hauríem de trobar un materialque tingués un eix de difícil imantació en la direcció x.

A continuació presentem un exemple per mostrar els valors dels quals estem parlant.

Si considerem una partícula amb un espín total S = 10 , amb una D = 0,65 K (expressat en unitatde temperatura) i un camp magnètic de 100 Oe trobem els resultats6 de la Taula 1.3 , de la qualveiem que com més a prop del màxim de la barrera de potencial estem, més probable és que l’efectetúnel apareixi.

m wm(Hz)1 3, 2 · 108

2 1, 1 · 105

3 3, 54 2, 3 · 10−5

5 4, 7 · 10−11

6 3, 7 · 10−17

7 1, 2 · 10−23

8 1, 7 · 10−30

9 1, 1 · 10−37

10 2, 1 · 10−45

Taula 1.3: Taula amb els valors de la freqüència de transició segons la 3r component d’espín per unananopartícula d’espín 10, D = 0,65 K i camp magnètic aplicat transversal a l’eix de fàcil imantació de 100Oe.

Ara, el que hem d’obtenir és ∆m. Per fer-ho, utilitzem teoria de pertorbacions i considerem que el6Un Oe (Oersted) és l’unitat d’intensitat de camp magnètic del sistema CGS. Veure apartat 0.6 d’aquests apunts.

62

paràmetre bx és petit. El segon terme del nostre hamiltonià té elements no nuls de la matriu nomésal voltant dels estats m:

Vm+1,m = Vm,m+1 = 〈m|bxSx|m+ 1〉 = 12bxlm

, on lm ≡√S(S + 1)−m(m+ 1). D’aquesta manera, si volem anar des de m < 0 fins a −m > 0

haurem d’acumular 2|m| transicions virtuals o salts de la 3r component d’espín. Consegüentment,l’efecte túnel entre ±m estats apareix en ordre 2|m| de la teoria de pertorbacions per bxSx. Així,utilitzant aquesta teoria, arribem a:

∆m = 2D(bx2D

)2|m| −m−1∏n=m+1

1m2 − n2

−m−1∏n=m

ln

∆m = 2D[(−2m− 1)!]2

(S −m)!(S +m)!

(bx2D

)2|m|(1.42)

, que per l’estat fonamental pren la forma:

∆m=S = 4DS(2S − 1)!

(bx2D

)2S

Si suposem una regió de la tercera component d’espín tal que 1 << m ≤ S i apliquem les següentsaproximacions al desenvolupament de ∆m per teoria de pertorbacions:

n! ≈ nne−n√

2πn ,(

1 + 1n

)n≈ e ,

(1− 1

n

)n≈ 1e

Arribem a la següent expressió:

∆m ≈2D|m|π

(e2bxS

8Dm2

)2|m|(1.43)

D’acord amb aquesta equació, i considerant que la teoria de pertorbacions és vàlida quan ∆m éspetit, si |m| 1, ∆m és petit si bx ≤ 8Dm2

Se2 . En el cas que m→∞, llavors estem en el cas clàssic demoment angular i, per tant, ∆m = 0, és a dir, no tenim efecte túnel. Per una m i S grans però finites,la condició d’una ∆m petita a qualsevol bx decau dràsticament a partir d’un valor de m. Aquestvalor el definim com:

m2b ≡

e2bXS

8DPer tenir efecte túnel hem de tenir m2 ≤ m2

b . Això ens porta a que la barrera d’energia per sobre demb desapareix i podem parlar d’una barrera efectiva:

Ueff = DS2 −Dm2b ≈ DS2

[1−

(e2

8

)bx

2SD

]2(1.44)

Si ara consideréssim una temperatura diferent de 0 veuríem que la nanopartícula també transita deforma clàssica segons l’equació (1.34) i, per tant, ens porta a la conclusió de que per una nanopartí-cula determinada i una temperatura determinada hem d’estudiar quina transició és més probable (o

63

”més ràpida”): la donada per l’efecte de la temperatura o la quàntica de l’efecte túnel.

Ara introduïm un altre hamiltonià:

H = −DS2z − bzSz − bxSx

, on bi = γ~Bi. Inicialment tenim en compte només els termes amb Sz (el terme de Sx és tractatcom un terme pertorbatiu). Aquest hamiltonià no-pertorbat té com a valors propis:

εm = −Dm2 − bzm

En general, la component z del camp trenca la degeneració dels estats m, és a dir, desplaça els nivellsd’energia tal com mostra la Figura 1.33. Podria tenir qbits que transitéssin entre m i m′.

Figura 1.33: Desplaçaments dels estats-m degut a l’aplicació de camp magnètic en l’eix z.

Si es compleix que εm = ε′m podem analitzar què passa quan aquests nivells coincideixen.

−Dm2 − bzm = −Dm′2 − bzm

D(m2 −m′2) = bz(m−m′)

, i això ens porta, considerant m′ = −m−k a que bzk = kD, definint k com el número de ressonància,que pot adquirir els valors 0,±1,±2, .... Aquest resultat ens indica que tornem a introduïr degeneraciód’estats al nostre sistema. Però, si finalment considerem la component Sx de l’hamiltonià estudiat,aquesta degeneració desapareix.

12/III/15

1.6 Efecte túnel en molècules magnètiques. Mn12 acetateA continuació descriurem la física y alguns experiments d’efecte túnel d’espín en cristalls macroscòpicsde molècules de Mn12Ac. Aquestes molècules tenen un espín de ≈ 10 i són equivalents a partícules

64

monodomini molt petites. A diferència dels sistemes amb què hem treballat fins ara, un conjunt demolècules de Mn12Ac es pot considerar com un sistema de partícules magnètiques idèntiques.

Figura 1.34: Esquema del nucli de la molècula Mn12. S = 8 · 2− 4 · 32 = 10; per tant, podem modelitzar

una molècula com una partícula d’espín ”gran”.

1.6.1 Dependència de la magnetització amb el temps. Procés de relaxació.

L’hamiltonià d’espín del sistema és:

H = −DS2z − FS4

z − bSz +H′

On D = 0.55 K caracteritza el terme uniaxial; F = 1.1 · 10−3 K representa un altre terme en l’eix defàcil imantació. El terme amb b representa el camp aplicat b = gµBHz (g = 1.94) i H′ és un conjuntd’altres termes (interacció dipolar, interacció hiperfina...) la contribució dels quals és més petita itractem a partir de teoria de pertorbacions (en aquest desenvolupament serà negligit). Com hem visten l’apartat anterior, si S = 10 hi haurà una discretització dels nivells d’energia Em (Figura 1.35a)tal que:

Em = −Dm2 − Fm4 − bm

Aplicant un camp magnètic H en la direcció de fàcil imantació (Figura 1.35b) es produeix un des-plaçament dels mínims de potencial, i també un desplaçament dels nivells d’energia.

(a) Discretització dels nivells d’e-nergia

(b) Aplicació d’un campmagnètic H. Efecte Zee-man

Figura 1.35: Sistema amb espín S = 10.

Si tenim molècules en els dos pous, algunes tindran més probabilitat de saltar que les altres, deguta que la barrera que veuen no és la mateixa:

65

U(H) = U(

1∓ H

Han

)On el signe + correspont al pou més pronunciat i − al pou menys pronunciat (Figura 1.35b). Aixídoncs, la probabilitat de saltar d’un pou a un altre serà:

Γ± = νe−U±/T

La variació de la magnetització de les que es troben amb l’espín amunt i les que es troben amb espínavall ha de tenir en compte la probabilitat de les que surten del pou i les que entren al pou:

dM+

dt= −Γ+M+ + Γ−M−

dM−

dt= −Γ−M− + Γ+M+

Considerem algunes definicions:

• M és la magnetització mesurada: M =M+ −M−

• MS és la magnetització total: MS =M+ +M−

• Meq és la magnetització en l’equilibri: Meq = Γ− − Γ+

Γ− + Γ+MS

• Γ la diferència entre les probabilitats + i −: Γ = Γ+ − Γ−

Tenint en compte aquestes expresions es pot veure que la magnetització, si H i T són constants,depèn del temps com:

M(t) =Meq + (M0 −Meq) e−Γt

Si fem H = 0 es complirà que |M+| = |M−| i per tantMeq = 0. En aquest cas,

M(t) =M0e−Γt

, tenint en compte que Γ 6= 0 ja que una de les dues contribucions (Γ− o Γ+) és major que l’altre. És adir, la dependència de la magnetització amb el temps en el procés de relaxació és exponencial (Figura1.36) a diferència del cas d’un sistema de partícules magnètiques amb una distribució de volums, onla dependència és logarítmica. Aquest fet marca la principal diferència entre els dos sistemes.En el cas en què H no fos constant i variés amb un ritme r ≡ dH/dt,M(t) dependrà d’aquest ritmede variació:

dM

dt= −Γ(H) [M(t)−Meq(H)] Γ(H) =

rdMdH

Meq −M(H)Per tant, coneixent com és la barrera, el camp que apliquem i amb quina velocitat el variem podemrealitzar experiments amb correlació un a un amb la teoria. Podem posar a prova les teories de lamecànica quàntica per a sistemes magnètics sense cap ambigüitat.

66

Figura 1.36: En aquesta gràfica veiem la dependència exponencial de la magnetització amb el temps.

1.6.2 Caracterització del sistema

1.7 Corba de MagnetitzacióPer una banda, si apliquem un camp magnètic en l’eix de fàcil imantació (eix c de l’estructuratetragonal) i mesurem la magnetització en condicions de temperatura T > TB, veiem que el sistemaassolirà la saturació molt ràpidament (Corba 1, Figura 1.37). Si apliquem, en canvi, el camp enla direcció perpendicular a la de fàcil imantació, al sistema li costarà molt més saturar-se (Corba2, Figura 1.37). Per a direccions del camp magnètic aplicat intermitges, el comportament serà detransició entre un cas i l’altre (Corbes 3 i 4, Figura 1.37).

Figura 1.37: Corba de magnetització d’un cristall Mn12Ac, en condicions de tempertura T > TB

1.8 Corba ZFCEl mètode per excel·lència per a carateritzar nanopartícules i molècules magnètiques és mesurar lacorba ZFC del sistema (Figura 1.38). Com podem veure la corba és molt estreta7 al voltant de latemperatura de bloqueig, TB. Idealment, si totes les partícules fossin exactament idèntiques (ambel mateix volum), en Tb veuríem una línia vertical. En la Figura 1.38b tenim una ampliació de

7Vegeu la Figura 1.26 i analitzeu la forma de la corba i l’escala de l’eix de les temperatures.

67

la 1.38a al voltant de Tb, on veiem més clarament que aquest canvi, encara que molt brusc, no éstotalment vertical. Per una altra banda, també comprovem que per a T > TB el sistema es comportaparamagnèticament, seguint una llei de Curie.

(a) Corba ZFC (b) Ampliació corba (a) a prop de TB

Figura 1.38: Corba ZFC d’un cristall Mn12Ac. Veiem com hi ha un canvi molt brusc quan s’assoleix latemperatura de bloqueig.

1.8.1 Camp magnètic ressonant i efecte túnel

En absència de camp aplicat, es compleix que els nivells energètics amb m > 0 coincideixen ambels d’m < 0; és a dir, es compleix que E10 = E−10, E9 = E−9... Si ara apliquem un hamiltoniàformat per un terme d’anisotropia uniaxial que va com −S2

z i un altre terme de camp aplicat en ladirecció z : −bSz observem el fenomen de ressonància. El camp aplicat farà variar les posicions delsnivells d’energia de manera que per a un camp determinat H = HR (camp ressonant) es compleixque E10 = E−9, E9 = E−8... A més, si el camp és un múltiple enter de HR, per exemple H = 3HR

(Figura 1.39b), tenim que E10 = E−7, E9 = E−6... I així successivament amb H = 6HR o H = 9HR.Si, a més del terme uniaxial d’anisotropia, l’hamiltonià aplicat té també un altre terme en l’eix defàcil imantació de la forma FS4

z en lloc de coincidir tots els nivells a banda i banda del màxim, nomésen concidirà un, però també ho anomenem ressonància.

(a) Hz = 0 (b) Hz = 3HR (c) Hz = 6HR (d) Hz = 9HR

Figura 1.39: Per a múltiples d’HR es produeix el fenomen de ressonància.

Tenint aquest fenomen de ressonància entès podem compendre els resultats del següent experiment.Si mesurem les corbes a temperatures baixes del nostre sistema de molècules idèntiques obtenim el

68

que es mostra en la Figura 1.40a. Veiem que per a certs camps es produeix un canvi sobtat de lavariació deM respecte d’H. A més, els valors del camp on es produeix aquest salt són els mateixosindependenment de la temperatura a la qual s’ha realitzat l’experiment. Aquest fet es veu millorquan calculem la derivada deM(H), presentat en la Figura 1.40b, i es pot explicar amb el fenomende ressonància magnètica.

Per a una certa temperatura menor que la temperatura de bloqueig, quan el camp magnètic coincideixamb un múltiple del ressonant es produeixen transicions per efecte túnel, degut a que certs nivellsd’energia estan degenerats, es troben en ressonància. Per tant, hi ha un fort increment del nombre departícules que transiten per sota la barrera, fent-ho per efecte túnel. Evidentment, com més alta és latemperatura, més transicions es produeixen, i és per aquesta raó que els pics són més pronunciats amajors temperatures. Comprovem, doncs, que la teoria i l’experiment estan perfectament en sintonia,no hi ha cap ambigüitat. Per primera vegada, des que Faraday, fa 140 anys va realitzar el primercicle d’histèresi, en trobem un que presenta manifestació dels efectes quàntics.

(a) Cilces d’histèresi per diferents temperatures (b) Gràfica dM/dH

Figura 1.40: Cicles obtinguts per a diferents temperatures (T < TB). Els pics es produeixen per al mateixcamp aplicat independentment de la temperatura.

També podem entendre aquest fenomen fixant-nos en la barrera d’energia. L’explicació és simplei robusta. Quan es produeix efecte túnel la barrera efectiva que veuen les partícules disminueixdràsticament, com podem veure en la Figura 1.41. Podem dir que hi ha una competició entreles transicions per activació tèrmica i per efecte túnel. En l’apartat següent completarem aquestaexplicació amb la teoria de Landau-Zener.

13/III/15

1.8.2 Teoria de Landau-Zener

L’explicació que hem donat del fenomen és correcta però incompleta ja que en cap moment hemconsiderat com afecta la variació termporal del camp magnètic (r ≡ dH/dt) als resultats presentatsen la Figura 1.40. És a dir, l’alçada dels pics no depèn només de la probabilitat d’efecte túnel i de latemperatura sinó també del temps de permanència en l’estat de ressonància; s’ha de tenir en compte

69

Figura 1.41: L’efecte túnel que té lloc degut a la ressonància produeix un canvi en el valor de la barreraefectiva de potencial que s’ha de vèncer per a transitar d’un estat a un altre.

la relació entre el temps d’intent d’efecte túnel i el temps de variació del camp magnètic.

Aquest problema el van solucionar quànticament Landau i Zener amb l’anomenada probabilitat deLandau-Zener, que representa la probabilitat de romandre a l’estat inicial:

PLZ = exp(−π∆2

m

2~ν

)(1.45)

, on ∆m és l’splitting i ν depèn de la variació temporal del camp magnètic8 segons ν = g |∆m|µBr.Si√~ν >> ∆m aleshores PLZ ≈ 1, és a dir, si variem el camp molt ràpidament no transitarà cap

molècula i per tant, no hi haurà efecte túnel. S’han realitzat experiments amb r fins a r ≥ 103T/s, ies pot verificar que aquesta teoria és correcta.

1.8.3 Superradiància

Un cop s’ha donat una transició d’efecte túnel ens preguntem com decau l’espín a l’estat fonamental.Si considerem una partícula lliure l’energia alliberada s’inverteix en l’emissió d’un fotó, però quanles molècules (o els àtoms) es troben en un sòlid, l’emisió no és de fotons, sinó de fonons. Per a queens en fem una idea, les expressions de les probabilitats d’emisió de fotons i fonons són les següents:

Γfotons = 8S(gµB)2

3~c3 ω3 1e

~ωKBT − 1

Γfonons = ~S12πρv5

so

ω5 1e

~ωKBT − 1

Considerant tots els paràmetres i tenint en compte que la velocitat del so en un sòlid és vso ≈ 1000m/s, és a dir, 5 ordres de magnitud inferior a la velocitat de la llum c, podem comprovar que laprobabilitat d’absorció-emissió d’un fonó és molt més alta que no pas la d’un fotó.

8[ν] = J

s

70

Figura 1.42: Esquema del fenomen de la superradiància en molècules magnètiques. Si tots els espins saltensimultàniament s’emet radicació coherent.

En 1954, Robert H. Dicke, postulà el següent: considerem un conjunt de dipols quàntics excitats enun nivell per sobre del fonamental que omplen un espai de dimensions ∼ L. Si L és de l’ordre dela longitud d’ona associada a l’emissió dels fotons degut al decaïment en fase dels dipols a l’estatfonamental (L ∼ λ), és més probable que tots els dipols passin de l’estat excitat al fonamentalsimultàniament que que ho facin un per un. En aquest procés s’emetrà radiació coherent i tindrem,per tant, superradiància, que seria un fenòmen anàlog al del làser.Aquest fenomen també es dóna si la transició s’ha produït per efecte túnel (Figura 1.42). En el cas demolècules magnètiques les distàncies entre nivells correspon al rang de les microones (∼ 300 GHz),que correspon a una λ ≈ 1mm. En un mm3 trobem el número d’Avogadro de molècules, per tant,la potència que podríem obtenir de radiació de microones coherents amb aquests sistemes pot sermolt gran, de l’ordre d’1 W. Aquest efecte encara no s’ha aconseguit veure experimentalment peròpot tenir importants aplicacions en el camp de les telecomunicacions.

1.9 Superparamagnetisme. Astroide Quàntic en molècules Mn12 acetate1.9.1 Astroide Clàssic

A continuació considerarem les propietats d’un sistema de partícules monodomini ferromagnètiquesmolt petites. Com a simplificació suposarem que la interacció d’intercanvi a totes les posicionsatòmiques és suficientment gran com per a que la partícula monodomini estigui magnetitzada uni-formement. Si el volum d’aquesta partícula és V , podrem aproximar el seu moment magnètic comµ = MbulkV on Mbulk és la magnetització d’un bulk ferromagnètic. Assumim també que µ seràsuficientment gran com per poder ésser estudiat amb mètodes de física clàssica i evitem conside-rar, de moment, efectes quàntics en partícules nanomètriques. Estarem interessats en les propietatsmagnètiques de partícules monodomini col·locades en un sòlid no magnètic o que estan fixades enuna superfície. Per sota d’una certa mida de les partícules, l’efecte d’un camp magnètic extern esredueix a la rotació uniforme del moment magnètic de la partícula. De fet, l’energia de la interac-

71

ció d’intercanvi per àtom sobrepassa l’energia d’anisotropia magnètica per àtom. En conseqüència,per a partícules suficientment petites, l’energia associada amb la rotació uniforme de tots els espinslluny de l’eix d’anisotropia serà menor que l’energia d’intercanvi associada amb la rotació d’un espínatòmic individual respecte els seus veïns.

Degut a que la magnetització de la partícula està formada per una interacció d’intercanvi forta,podem realitzar l’aproximació:

M2x +M2

y +M2z =M2

0 = constant (1.46)

Combinant l’equació (3.1.2) amb l’energia d’interacció dipolar ED

ED = −µ0(~γ)2

8πN2 SαSβ∑i 6=k

∂2

∂rαik∂rβik

1rik

= 12b′αSαSβ (1.47)

i amb l’energia de Zeeman s’obté la següent expressió per a l’energia magnètica total d’una partícula:

E =[M0

2 (−βαβ +Nαβ)MαMβ + M20

4 γαβγδMαMβMγMδ + ...− ~M ~B

]V

Aquí βαβ i γαβγδ són tensors d’anisotropia magètica relacionats amb la simetria de la xarxa cristal·linamentre que Nαβ és el tensor de desmagnetització i vé determinat per la geometria de la partícula.Emprant l’aproximació (1.46) l’energia total es pot rescriure en forma biaxial com:

E =[−1

2M0βzM2z + 1

2M0βxM2x − ~M ~B

]V (1.48)

Essent z i x els eixos de fàcil i difícil imantació respectivament. Seguint aquesta expressió podemdeterminar el comportament del moment magnètic d’una partícula en un camp magnètic aplicat enel pla y − z formant un angle arbitrari θB amb l’eix de fàcil imantació z (Figura 1.43).

Figura 1.43: Desviació del moment magnètic d’un nanomagnet respecte l’eix z per a un camp aplicat enel pla y − z.

72

En aquest cas tant ~B com ~µ tenen només components en els eixos y i z, degut a que una componentno nu·a deMx l’únic que fa és augmentar l’energia segons (1.48). Escrivint (1.48) en funció de θ iM0 arribem a:

E = 12µ0βzM2

0V sin2 θ −M0V (By sin θ +Bz cos θ) (1.49)

Minimitzant (1.49) respecte de θ trobem:

By

sin θ −Bz

cos θ = βzµ0M0 (1.50)

Tenint en compte sin2 θ + cos2 θ = 1 l’expressió (1.50) és equivalent a una equació de quart ordrebiquadrada en sin θ. Pot tenir tant dues com quatre solucions reals. En el primer cas l’energia té unmínim i un màxim, en el segon cas l’energia té dos mínims i dos màxims. Per tant, per a certs camps~B només hi ha una orientació estable de ~µ, mentre que per a altres camps tenim una orientacióestable i una metaestable. El límit entre aquestes dues situacions correspon al punt de sella de E(θ),en què un dels màxims i un dels mínims s’anihilen. En aquest punt de sella, igualant la segonaderivada de E a zero tenim:

By sin θ +Bz cos θsin2 θ − cos2 θ

= βzµ0M0 (1.51)

Combinant (1.51) amb (1.50) s’obté:

B2/3y +B2/3

z = (βzµ0M0)2/3 (1.52)Aquesta equació descriu un astroide en el pla (By, Bz), veure Figura 1.44.

Figura 1.44: Estats magnètics metaestables existeixen en el interior de làrea delimitada per les fronteresde la corba de l’asteroide. A l’esquerra, la corba teòrica. A la dreta, corba experimental.

Els estats metaestables són possibles a l’interior de l’àrea delimitada per la corba de l’astroide,mentre que fora d’aquesta àrea només hi ha un mínim d’energia per l’orientació del moment magnètic

73

(a) θB = 0 (b) θB = π/3

(c) θB = π/2

Figura 1.45: Quan més intens és el camp aplicat, més es deforma la barrera de potencial. Els estatsmetaestables són possibles a l’interior de l’astroide. θB és l’angle d’inclinació del camp aplicat ~B respectel’eix z.

(Figura 1.45). El terme més a la dreta en l’equació (1.52) Ba = βzµ0M0 s’anomena, de vegades,camp d’anisotropia. Si ens fixem en la Figura 1.44, veiem que realitzant experiments per sota dela temperatura de bloqueig s’obtenen corbes d’astroide cada vegada més amples quan més baixa ésla temperatura. Aquest fet és coherent amb el que hem vist sobre corbes ZFC i FC. Quan més ensapropem a la temperatura de bloqueig del sistema menys estats metaestables hi ha, el sistema s’estàtornant superparamagnètic.

1.9.2 Astroide Quàntic

La corba d’astroide magnètica clàssica es pot trobar experimentalment, com hem vist en la Figura1.44. En els apartats anteriors hem estudiat com els sistemes formats per molècules magnètiquesidèntiques (Mn12Ac) presenten efectes quàntics. Així doncs, s’ha trobat experimentalment9 comcanvia la corba d’astroide per efectes quàntics, donant lloc a un corba discontínua, que presenta salts(Figura 1.46) produïts per les transicions per efecte túnel.

9Effects of quantum mechanics on the deflagration threshold in the molecular magnet Mn12 acetate; F. Macià, J.M. Hernandez, J. Tejada, S. Datta, S. Hill, C. Lampropoulos, G. Christoul; Physical Review B, 2009

74

(a) Simulació de la corba quàntica d’atroide (b) Resultat experimental

Figura 1.46: Corbes d’astroide simulades i experimentals per a molècules de Mn12Ac. Veiem clarament ladiferència amb la corba clàssica de l’astroide.

16/III/15

2 Magnetisme a escala mesoscòpicaFins ara hem parlat majoritàriament del magnetisme d’àtoms i molècules; ara ens centrarem ensistemes d’espins interaccionant entre ells. En el camp del magnetisme entren en joc diverses escalesespaials, i en cada una d’elles hi ha un tipus d’interacció magnètica que predomina. Generalment, lainteracció més feble és la que es fa present en l’escala espaial més gran, i, per tant, la interacció mésgran actua a petita escala. És per això que, si ens fixem en la interacció d’intercanvi, ens trobaremen una escala que no supera distàncies majors a 0, 1 µm, anomenada escala mesoscòpica. Distànciesmajors estaran dominades per altres interaccions com l’anisotropia, forces dipolars, imperfeccionsen el cristall, etc. Per això podríem dir que en aquest capítol ens centrarem en la física de l’ordremagnètic comprès dins un sol domini magnètic d’un cristall perfecte, tot i que això no comporta quela seva problemàtica sigui més senzilla.

2.1 Model de Heisenberg en una dimensióConsiderem una cadena lineal d’àtoms o espins que interaccionen magnèticament. Amb el que hemdit a la indroducció sabem que l’Hamiltonià del sistema serà l’Hamiltonià d’intercanvi. Com havíemvist a la secció 1.3 , en primera aproximació aquest Hamiltonià es pot expressar com:

Hex = −12J

∑i 6=j

~Si · ~Sj = −J∑i<j

~Si · ~Sj (2.1)

, on la J és la constant d’intercanvi. Havíem vist, també, que J > 0 correspon al ferromagnetismei J < 0 a l’antiferromagnetisme. Ara farem un estudi de l’energia de l’estat fonamental en aquestsdos casos. Considerarem, doncs (i així ho farem durant tot el desenvolupament), una cadena linealinfinita tancada per condicions periòdiques de contorn. Per tant, si N és el nombre de partículespodem dir que la partícula n de la cadena és la mateixa que la n+N o que la partícula N té com aprimers veïns les partícules N − 1 i 1.

75

a) Ferromagnetisme. Tots els espins es troben paral·lels, J > 0.L’estat fonamental, o de menor energia, serà aquell en què tots els espinors dels àtoms es trobenparal·lels:

|0〉FM = |χ↑〉1|χ↑〉2|χ↑〉3 · · · |χ↑〉n−1|χ↑〉n|χ↑〉n+1 · ··

, on n determina la posició de l’àtom a la cadena lineal. Centrem-nos en el cas particularde S = 1/2. Per a trobar l’energia de l’estat fonamental simplement cal aplicar l’hamiltoniàd’intercanvi a l’estat fonamental:

H|0〉FM = −JN∑n=1

~Sn · ~Sn+1|0〉FM

Tenint en compte que

~Sn · ~Sn+1 = SnxS(n+1)x + SnyS(n+1)y + SnzS(n+1)z

= SnzS(n+1)z + 12(Sn+S(n+1)− + Sn−S(n+1)+)

, ja que S± = Sx ± iSy.D’aquesta manera podem veure que només els termes d’Sz tindran efecte sobre dos espinsparal·lels. El altres dos termes seran zero perquè contenen l’operador S+, que actuan sobrequalsevol estat |χ↑〉el resultat és nul10. El càlcul seria anàleg si haguéssim suposat que els dos espins estaveninicialment avall però en aquest cas seria l’aplicació de S− la causa del resultat nul. Per tant:

~Sn · ~Sn+1|χ↑〉n|χ↑〉n+1 = SnzS(n+1)z |χ↑〉n|χ↑〉n+1

Aleshores, generalitzant per a N àtoms l’expressió de l’energia de l’estat fonamental és:

EFM = −14NJ

b) Antiferromagnetisme. Els espins en la cadena es troben alternats; un amunt, un avall, etc.J < 0.Clàssicament hom podria pensar que l’estat fonamental és el següent:

|0〉FM = |χ↑〉1|χ↓〉2|χ↑〉3|χ↓〉4 · ··

, que és estat propi de Sz = ∑i szi amb valor propi zero: Sz|0〉 = 0|0〉. L’energia corresponent

a aquest estat és:10Recordar que: Sz+ |SSz〉 =

√S(S + 1)− Sz(Sz + 1)|SSz〉 i Sz− |SSz〉 =

√S(S + 1)− Sz(Sz − 1)

76

EAFM = 14NJ

, però, si analitzem el resultat d’aplicar l’hamiltonià d’intercanvi sobre aquest estat, veiem queaquest desenvolupament no és correcte. Aquesta seria l’energia que trobaríem si féssim untractament quàntic dels espins coneixent-ne l’orientació. Però, com que ens trobem en el casquàntic on la direcció dels espins és desconeguda, aquesta energia no és la que busquem. Defet, aplicant l’hamiltonià a aquest hipotètic estat fonamental antiferromagnètic obtenim, peral cas de dos àtoms d’espín 1

2 :

~Sn · ~Sn+1|χ↑〉n|χ↓〉n+1 = −14 |χ↑〉n|χ↓〉n+1 + 1

2 |χ↓〉n|χ↑〉n+1

, que mostra que clarament no és un estat propi de l’hamiltonià. Per tot això descartem lasolució inicial.Per a fer l’estudi quànticament, doncs, tornem a considerar el cas senzill de dos espins. L’ope-rador d’espín total ve definit per ~S = ~S1 + ~S2, i per tant ~S2 = ~S2

1 + ~S22 + 2~S1~S2, que ens porta

a que el producte d’operadors ~S1~S2:

~S1~S2 = 12(~S2 − ~S2

1 − ~S22)

, no depèn de la tercera component.Acoblant els espins per al cas s = 1

2 , com ja sabem l’S total valdrà 1 per als estats triplets(|1m〉; m = −1, 0, 1) i 0 per al singlet (|00〉).Apliquem l’hamiltonià:

H|sm〉 = −J 12(~S2 − ~S2

1 − ~S22)|sm〉

= −J 12(s(s+ 1)− 2 ·

12

(12 + 1))

= −J(s(s+ 1)2 − 3

4)|sm〉

Per als estats triplet:

H|1m〉 = −J(1(1 + 1)2 − 3

4)|1m〉

= −J 14 |1m〉

Etriplet = −14NJ

77

I per al singlet:

H|1m〉 = −J(0(0 + 1)2 − 3

4)|1m〉

= J34 |1m〉

Esinglet = 34NJ

Aquest últim és l’estat fonamental, cosa que es pot veure tenint en compte que J < 0.Veiem que el tractament quàntic proporciona un factor 3 de més respecte del clàssic, que no espot menystenir.

17/III/15A continuació anem a generalitzar el cas a un conjunt d’N espins amb N ′ espins invertits. Sempredins les condicions periòdiques de contorn, el nombre d’estats possibles ve donat per

(NN ′

). Per

exemple, si N = 4 i N ′ = 1, el nombre d’estats possibles és(

41

)= 4 i aquests estats seran :

|1〉 ≡↓↑↑↑, |2〉 ≡↑↓↑↑, |3〉 ≡↑↑↓↑, |4〉 ≡↑↑↑↓

, essent l’estat fonamental del sistema una combinació d’aquests quatre estats. Caldrà, doncs, deter-minar l’amplitud o l’arrel de la probabiltat de cadascún d’ells; els seus coeficients en la funció d’onatotal.

Definim la nomenclatura següent per etiquetar els estats: |n1n2n3...nN ′〉, on els ni fan referència ala posició en la cadena d’aquells espins que es troben invertits. Per exemple, en un sistema amb 10espins, l’estat |2, 3, 5, 9〉 equival a ↑↓↓↑↓↑↑↑↓↑.Així, per a un sistema amb s = 1

2 observem que aquests estats són propis d’Sz amb valor propiproporcional a la magnetització:

Sz|n1n2...nN ′〉 =(N −N ′

2 − N ′

2

)|n1n2...nN ′〉 ∝ M|n1n2...nN ′〉

M ∝(N −N ′

2 − N ′

2

)=(N

2 −N′)

(2.2)

El nostre objectiu és doncs trobar l’expressió de la funció d’ona que expressa l’estat del sistema quanes troba a una temperatura finita amb N ′ espins invertits. Aquesta tindrà la forma:

|ΨN ′〉 =∑

n1...nN′

An1...nN ′ |n1...nN ′〉

, on An1...nN ′ és l’amplitud de l’estat |n1...nN ′〉.Si tornem a l’exemple de la cadena de 4 espins; l’hamiltonià s’escriurà com:

H = −J(~S1 · ~S2 + ~S2 · ~S3 + ~S3 · ~S4 + ~S4 · ~S1) (2.3)

78

Per veure com actua l’hamiltonià sobre cada un dels estats analitzem primer el cas11 H|1〉 = H| ↓↑↑↑〉.

~S1~S2|1〉 = S1zS2z + 12(S1+S2− + S1−S2+)|1〉 = −1

4 |1〉+ 12 |2〉

~S2~S3|1〉 = S2zS3z + 12(S2+S3− + S2−S3+)|1〉 = −1

4 |1〉+ 0

~S3~S4|1〉 = S3zS4z + 12(S3+S4− + S3−S4+)|1〉 = −1

4 |1〉+ 0

~S4~S1|1〉 = S4zS1z + 12(S4+S1− + S4−S1+)|1〉 = −1

4 |1〉+ 12 |4〉

De manera que el resultat final és:

H|1〉 = −J2 (|2〉+ |4〉)

Procedint de manera anàloga per als altres estats |2〉, |3〉 i |4〉 obtenim:

H|2〉 = −J2 (|1〉+ |3〉)

H|3〉 = −J2 (|4〉+ |2〉)

H|4〉 = −J2 (|3〉+ |1〉)

Partint de HΨ = EΨ i aplicant l’hamiltonià com acabem d’estudiar:

HΨ = H(A1|1〉+ A2|2〉+ A3|3〉+ A4|4〉)

= −J2 (A2 + A4)(|1〉+ |3〉)− J

2 (A1 + A3)(|2〉+ |4〉)

= E(A1|1〉+ A2|2〉+ A3|3〉+ A4|4〉)

Igualant termes, trobem:

(E + J)A1 = J

2 [(A1 − A4) + (A1 − A2)]

(E + J)A2 = J

2 [(A2 − A1) + (A2 − A3)]

(E + J)A1 = J

2 [(A3 − A2) + (A3 − A4)]

(E + J)A1 = J

2 [(A4 − A3) + (A4 − A1)]

Cal fer notar que surten els termes (E + J) perquè estem en el cas N = 4; l’expressió general seria(E + 1

4NJ).

11Tindrem en compte que S1+S2− | ↓↑↑↑〉 = | ↑↓↑↑〉 = |2〉 i que S1−S2+ | ↓↑↑↑〉 = 0

79

Així, amb aquest exemple hem vist que mitjançant aquest procediment seríem capaços de resoldrela cadena lineal per qualsevol N ; trobaríem un sistema descrit per aquesta equació:

EAni = 12J(Ani−1 + Ani+1) = 0

Que ens permetria trobar les amplituds de cada estat.

En el cas més general, tenint en compte que podem tenir N ′ espins invertits, l’expressió és:(E + 1

4NJ)An1...nN′ = 1

2J∑

n′1,n′2...n

′N′

(An1n2...nN′ − An′1n′2...n′N′ ) (2.4)

On sempre es compleixen les condicions periòdiques de contorn, expressades per al cas general d’a-questa manera:

An1n2...ni−1nini+1...nN′ = An1n2...ni−1ni+1...nN′ni+N

Per al cas N ′ = 0 ens trobem amb el ferromagnetisme, i segons l’expressió (2.2) tindrem queM∝ N2 ,

cosa que ja esperem sabent que el valor dels espins és 12 .

Per al cas N ′ = 1; M ∝ N2 − 1. Trobarem N amplituds, corresponents a cada una de les posicions

en les quals es pot trobar l’únic espín invertit. Per a aquest cas la solució es pot escriure com:

An1 = eiqn1 (2.5)

, on q = 2πkN

sent k = 0, 1, 2, ..., N − 1 satisfent-se les condicions de contorn. Utilitzant la relació

12

∑n′1=n1±1

(eiqn1 − eiqn′1) = 12[(eiqn1 − eiq(n1+1)) + (eiqn1 − eiq(n1−1))

]= (1− cos q)eiqn1

, introduim (2.5) en (2.4):

(E + 14NJ)eiqn1 = 1

2J∑

n′1=n1±1(eiqn1 − eiqn′1)

= J(1− cos q)eiqn1

D’aquesta manera el valor de l’energia d’aquest estat és:

E = −14NJ + J(1− cos q)

Aquest resultat es coneix com ona d’espín, ja que descriu un espín invertit no localitzat. L’espín potocupar qualsevol de les N posicions dins la cadena; pot anar variant la seva posició en forma d’ona.Direm que q és el moment de l’ona d’espín.

19/III/15Fins ara hem considerat només un espín invertit en una cadena lineal que degut a la mecànicaquàntica està deslocalitzat. Tenint en compte això, podem escriure l’estat del nostre sistema com:

80

|Ψ〉 = 1√N

N∑i=1

eiq|n〉

, on l’estat |n〉 considera el sistema amb l’espín n invertit. Una altra forma de veure aquest fenomende deslocalització és aplicant l’operador de translació. Aquest operador actua de la següent manera:

TaΨ(x) = Ψ(x+ a)

, és a dir, trasllada la funció d’ona una quantitat a. A més, aquest operador es conserva perquècommuta amb l’hamiltonià d’intercanvi del sistema i es pot comprovar que T ∝ eiq.

Considerem a continuació una cadena lineal de 3 espins on n’invertim dos d’ells (N = 3 i N ′ = 2).L’hamiltonià d’intercanvi corresponent serà:

H = −J( ~S1 ~S2 + ~S2 ~S3 + ~S1 ~S3)

i els estats possibles que puc tenir seran:

A12| ↓↓↑〉 ≡ A12|12〉

A13| ↓↑↓〉 ≡ A13|13〉

A23| ↑↓↓〉 ≡ A23|23〉

, on el mòdul el quadrat d’Aij és la probabilitat de trobar l’estat corresponent del sistema. Elssubíndexs d’Aij signifiquen els espins que han estat invertits. Seguidament anem a veure el resultatd’aplicar l’hamiltonià a cada estat:

HA12|12〉 = A12

[J

4 |12〉 − J

2 (|13〉+ |23〉)]

HA13|13〉 = A13

[J

4 |13〉 − J

2 (|23〉+ |12〉)]

HA23|23〉 = A23

[J

4 |23〉 − J

2 (|13〉+ |12〉)]

Si volem saber l’energia del sistema hem de fer el mateix que per al cas d’inversió d’un sol espín, ésa dir, HΨ = EΨ, que ens porta a les següents expressions:(

E + 3J4

)A12 = s

12J[(A12 − A13) + (A12 − A23)

](E + 3J

4

)A13 = 1

2J[(A13 − A12) + (A13 − A23)

](E + 3J

4

)A23 = 1

2J[(A23 − A12) + (A23 − A13)

]

81

La resolució d’aquest sistema ens permet trobar l’energia d’inversió de dos espins en un sistema detres espins. Per al cas més general es pot arribar, doncs, a la següent energia d’inversió per a unsistema de N espins i N ′ = 2 espins invertits:

E = −14NJ + J

[(1− cos q1) + (1− cos q2)

]i de les amplituds de cada estat:

An1,n2 = exp (iq1n1 + iq2n2 + 12φ12) + exp (iq2n1 + iq1n2 −

i

2φ12)

, on φ12 és la diferència de fase entre les dues ones d’espín.

Així doncs, comparant la inversió d’un i dos espins podem extrapolar que la forma general d’energiad’inversió de N ′ espins en una cadena lineal de N espins és:

E = −14NJ + J

N ′∑i=1

(1− cos qi

)(2.6)

A més a més, Hans Bethe va demostrar de manera analítica (va ser l’últim en fer-ho d’aquestaforma) que si N ′ = N

2 i, per tantM = 0, l’energia fonamental d’una cadena amb N →∞, o l’energianecessària per a invertir la meitat d’espins, és molt elevada i té l’expressió següent:

E′ = −14NJ +NJ ln(2)

2.2 Model de Heisenberg en dues dimensionsAnem a passar ara a un model de làmines primes on tenim continguts els espins. En aquest model lacomplexitat apareix fins i tot considerant espins clàssics, raó per la qual utilitzarem aquesta interpre-tació en comptes de la quàntica. Considerarem una làmina clàssica bidimensional i ferromagnètica(J > 0) on tenim confinats els espins. Aquesta pot ser una bona aproximació per a una capa mono-atòmica amb un pla de fàcil imantació i amb una |~s| 1. Així doncs, considerant l’espín de maneraclàssica, aquest el podem descomposar segons les coordenades x i y com:

~si = (s cos(φi))ex + (s sin(φi))eysi ara apliquem l’hamiltonià d’intercanvi amb aquest formalisme clàssic arribem a:

HXY = −∑i<j

Jij~si~sj = −∑i<j

Jijsisjcos(φi − φj)

i si considerem que els espins són iguals:

HXY = −JS2∑i<j

cos(φi − φj)

Com que en el cas del ferromagnetisme tots els espins tendeixen a estar orientats en la mateixadirecció i, per tant, φi ≈ φj podem desenvolupar el cosinus en sèrie de potències:

82

cos(φi − φj) ≈ 1− 12(φi − φj)2

de manera que si substituïm aquesta aproximació a l’hamiltonià XY arribem a:

H = 14JS

2∑i,j

(φi − φj)2

20/III/15

2.2.1 Vòrtex i antivòrtex

Si tenim en compte que els angles entre espins veïns varien suaument entre ells podem definir unafunció φ(ri), sent ri = (x, y), que permet una expansió com:

φ(~ri) = φj + (~ri − ~rj) ·[~∇φ(~ri)

]~ri=~rj

+ ...

, on ri és el radi vector des de l’origen de la xarxa bidimensional fins la posició i. Si considerem unaxarxa quadrada amb el seu corresponent paràmetre a, llavors |ri − rj| = a. Si apliquem tot això al’hamiltonià trobat anteriorment arribem a:

HXY = JS2a2∑j

[~∇~rjφ(~rj)

]2, expressió de la qual si considerem el sumatori com una integració, és a dir, passem a una aproximacióde continuïtat

∑j

→∫ dxdy

a2 trobem que:

HXY = JS2∫dxdy[∇φ(x, y)]2

φ(~r) pot prendre valors fins a 2π de manera que s’ha de complir que φ(~r) = 2π + φ(~r). Consegüent-ment, si recorrem un camí tancat la integral d’aquest camí serà:∮

dr~∇φ(x, y) = 2πnv

, on nv s’anomena vorticitat i representa el nombre de voltes que hem de fer per tal trobar la mateixadirecció d’espín. Si nv < 0 el camí és en sentit antihorari i si nv > 0 en sentit horari. Això ens indicaque en una làmina bidimensional es creen i destrueixen vòrtexs de manera semblant a com ho fan elselectrons i positrons en un mar de fotons (sempre considerant T = 0 K).Ara anem a calcular quanta energia és necessària per tal de crear un vòrtexs. Sabem que ~∇φ =∂φ

∂rer + 1

r

∂φ

∂θeθ i com que l’angle no depèn de la posició ~r, si nv = ±1 aleshores ~∇φ = eθ

r. Si

substituïm a l’hamiltonià XY ens queda:

HXY = JS2∫ ∞

0

∫ 2π

0drdθ

1r

A r = 0 i r = ∞ aquesa integral no està definida. Per una banda, si r = 0 ens donaria unacontribució infinita degut al terme 1/r; per solucionar-ho definim la integral sobre r començant desd’una longitud a i afegim aquest terme de 0 a a com una constant que anomenem energia del nucli,

83

Figura 2.1: (a) Orientació habitual dels espins per un sistema ferromagnètic sense vòrtexs. (b) Sistemaferromagnètic amb prescència de vòrtexs.

Ecore. Per una altra banda, si r = ∞ tindríem una xarxa infinita i HXY = 0; per evitar-ho limitemla xarxa a una longitud L. Tenint en compte tots aquests punts ens acaba quedant:

HXY = Ecore + JS2∫ L

a2πdr

r

= Ecore + 2πJS2 ln(La

)(2.7)

El que és important d’aquest desenvolupament és que a temperatura nul·la no tenim tots els espinscolineals com intuïtivament esperaríem, sinó que formen vòrtexs que es creen i destrueixen entre sía causa de lligadures entre ells mantenint l’energia total del sistema constant. L’energia d’interac-ció entre vòrtex és similar a l’energia d’interacció Coulombiana bidimensional, canviant la càrregaelèctrica per la vorticitat:

U12 = −4πJS2nv1nv2 ln(|~r1 − ~r2|

a

)

Essent la força la derivada d’aquesta expressió, en resulta que∣∣∣~F ∣∣∣ ∝ 1

r, de la mateixa manera que la

força d’interacció Coulombiana en dues dimensions.

2.2.2 Observació d’un vòrtex. Temperatura de Kosterlitz-Thouless

Per tal de veure aquests vòrtexs hem de trobar la temperatura a la qual podem desfer aquesteslligadures entre vòrtexs (sentit horari de gir) i antivòrtexs (sentit antihorari de gir), és a dir, hemde trobar el mínim d’energia de Helmholtz, F = E − TS. L’entropia per vòrtex és S = kB ln Ω, onΩ = L2/a2 és el nombre de microestats que permet la prescència d’un vòrtex, és a dir, el nombre deposicions on el vòrtex pot ser centrat. Tenint en compte tot això trobem:

F = NEcore +N2[πJS2 ln

(L

a

)− kBT ln

(La

)]

84

Amb aquesta expressió trobem la temperatura a la qual l’energia tèrmica supera l’energia de lligamentre vòrtexs:

TKT = πJS2

kB

, que també s’anomena temperatura Kosterlitz-Thouless. A partir d’aquesta temperatura les parellesvòrtexs-antivòrtexs de nv = ±1 comencen a proliferar. Les parelles per nv més altes necessiten mésenergia i es negligeixen en el desenvolupament.

Aquests vòrtexs s’han pogut observar en discs de diàmetre micromètric i gruix nanomètric. Es potveure la zona corresponent al nucli, on els espins estan completament perpendiculars al pla del disc, ila zona on la direcció dels espins va rotant. A més, si apliquem un camp magnètic H a aquests discspodem veure com el seu nucli es desplaça ja que els espins tendeixen a orientar-se en la direcció delcamp passant a tenir una vorticitat el·líptica en comptes de circular. La Figura (2.2) mostra aquestcomportament.

Figura 2.2: Representació d’un disc micromètric amb l’aplicació d’un camp H que tendeix a desplaçar elseu nucli.

Aplicacions d’aquesta fenomenologia en discs micromètrics contemplen, per exemple, la gravaciód’informació, encara que la seva gran mida suposa un desavantatge. Per una altra banda, existeixenpossibles aplicacions en el camp de la medicina com agents per a destruir cèl·lules cancerígenes. Peruna part, cada disc es pot considerar no interactuant amb la resta de discs, perquè el seu nucli és moltpetit en comparació amb la mida del disc. Si un conjunt de discs no interactuen entre ells podemassegurar que en injectar-los en vena no formaran aglomeracions ni perdran les seves propietats.

Si el camp H aplicat al disc és prou gran, el nucli sortirà del propi disc de manera que tindrem totsels espins orientats en la mateixa direcció: tindrem una partícula monodomini. Partint d’aquestasituació reduïm el camp, de manera que el disc torna a tenir la mateixa configuració de vòrtex que al’inici però la seva magnetització segons el camp aplicat haurà recorregut un camí diferent apareixentun cicle d’histèresi (Figura 2.3).Aquest cicle d’histèresi apareix perquè quan deixem d’aplicar camp H al disc, el nucli torna al seucentre de forma logarítmica amb el temps. Aquesta tendència logarítmica és causada per impureses

85

Figura 2.3: Cicle d’histèresis observat per un disc de radi 1.5 µm. i un gruix de 95 nm.

que resten a la superfície del disc i actuen com barreres d’energia que atrapen el nucli i per a vèncer-lesaquest necessita un cert temps (Figura 2.6).

(a) Disc de 60 nm. de gruix. (b) Disc de 95 nm. de gruix.

Figura 2.4: Relaxació normalitzada per discs de 1,5 µm de diàmetre per diferents temperatures. Lamagnetització està mesurada en el pla on apliquem el camp.

23/III/15

2.3 Model de Heisenberg en tres dimensionsHem estudiat fins ara els models unidimensional i bidimensional, en aquest apartat analitzarem el casd’un sòlid tridimenisonal (sense abandonar l’escala nanomètrica, considerem un sol domini magnè-

86

tic). Com ja sabem, per a caracteritzar qualsevol sòlid ferromagnètic en mesurem el cicle d’histèresi.Tractarem, doncs, d’explicar per què presenta histèresi un sòlid ferromagnètic, per quina raó trobemcoercitivitat i magnetització romanent. Per a partícules monodomini, aquesta histèresi ve governadaper l’anisotropia magnetocristal·lina. En un sòlid real, macroscòpic, el cicle d’histèresi està causatper les imperfeccions i defectes de la xarxa del sòlid, i per com estan ancorades les parets de dominien el material. Per tant, cal esperar discrepàncies entre el tractament teòric per a un sòlid tridimen-sional de dimensions nanomètriques i els resultats per al bulk ferromagnètic.

Per altra banda, veurem també com varia la magnetització romanent amb la temperatura en un sòlidtridimensional. Existeix una teoria al respecte, anomenada Teoria de Weiss del Camp Mitjà, que vaser postulada a començaments del segle passat, però que no aconsegueix explicar el comportamentde la corbaM(T ) quan les temperatures són molt baixes. Per tant, desenvoluparem una altra teoria,basada en els operadors de Bose, i que tracta les excitacions de la magnetització (ones d’espín), queens descriu com varia la magnetització en el règim de temperatures molt baixes. Ens trobemen una situació en la qual el canvi de la magnetització amb la temperatura és molt més petit queel valor de la magnetització i considerarem en el nostre desenvolupament que les ones d’espín nointeraccionen entre elles, seran ones d’espín independents.

2.3.1 Operadors de Bose

Definim l’estat fonamental ferromagnètic a T ≈ 0 K com |F 〉. Així, considerem un sòlid amb Nespíns S, de manera que escriurem |F 〉 com

|F 〉 = |S〉1 |S〉2 ... |S〉N, cada un d’aquests estats |S〉i es troba en el màxim valor de Sz (sense excitacions). Per tant, si femactuar Siz sobre un d’aquests estats:

Siz |S〉i = S |S〉i, obtenim com a valor propi el valor màxim de la tercera component de l’espín. De forma general,considerarem els nostres estats de cada espín referenciats a la tercera component, és a dir, els ex-pressarem com |m〉i, on m ≤ s. En el cas que m < s significa que hi ha hagut alguna excitació queha ocasionat aquesta variació de la tercera component.

Així mateix, sabem que existeixen els operadors destrucció Si− i creació Si+ que actuaran sobre els|S〉i de la següent manera:

Si− |S〉i ∼ |S − 1〉iSi+ |S − 1〉 ∼ |S〉i

De la mateixa manera en que utilitzem aquests operadors, podem utilitzar uns altres operadors, queens permetran treballar amb el formelisme d’ones d’espín molt més còmodament que els operadorsSi− i Si+ . Aquests són els operadors de Bose, a†i i ai, que creen i destrueixen excitacions, i que,per tant, desordenen i ordenen el sistema respectivament. S’entén per desordenar excitar el sistema,és a dir, augmentar la seva energia respecte l’estat fonamental.

87

En primer lloc, estudiem quines són les regles de commutació dels operadors de Bose:[ai, a

†j

]= δij[

a†i , a†j

]= [ai, aj] = 0

I per tant, [ai, a

†i

]= aia

†i − a

†iai = 1 (2.8)

Per una altre banda, els operadors creació i detrucció compleixen que:

Si+Si− − Si−Si+ = 2Siz (2.9)

Comparant (2.8) i (2.9) veiem que els operadors a†i i ai no compleixen les mateixes regles de commu-tació que els Si+ i Si− . Aquest fet implica que no podem passar directament d’utilitzar els operadorscreació i destrucció a utilitzar els operadors de Bose. Haurem d’expressar a†i i ai en termes de Si+ iSi− mitjançant una transformació.

2.3.2 Transformació d’operadors

Considerem un estat |S − ni〉, on ni = 0, 1, 2, ..., 2S representa el nombre d’excitacions d’espín a laposició i. Per conveniència, definirem |S − ni〉 ≡ |ni〉 i, llavors, els operadors creació, a†i , i destrucció,ai, actuant sobre aquests estats ens dóna:

ai |ni〉 = √ni |ni − 1〉a†i |ni〉 =

√ni + 1 |ni + 1〉 (2.10)

I, d’aquesta forma, trobem que aquests dos operadors aplicats a aquest estat ens dóna com a valorpropi el nombre d’excitacions:

a†iai |ni〉 = a†i√ni |ni − 1〉

= √ni√ni − 1 + 1 |ni − 1 + 1〉

= ni |ni〉

Per a poder trobar la relació entre els operadors creació/destrucció i els operadors de Bose estudiemtambé com actuen Si+ i Si− sobre un estat |S − ni〉:

Si− |S − ni〉 =√

(2S − ni)(ni + 1) |S − ni − 1〉

=√

(2S − ni)(ni + 1) |ni + 1〉 (2.11)

Si+ |S − ni〉 =√ni(2S − ni + 1) |S − ni + 1〉

=√ni(2S − ni + 1) |ni − 1〉 (2.12)

88

Hem definit els estats |S − ni〉 com |ni〉, no |−ni〉, i, per tant, un estat |S − ni − 1〉 en aquestadefinició correspon a |ni + 1〉, no |ni − 1〉. Aquesta definició és lògica ja que si ni és el nombre d’ex-citacions, és a dir, com de lluny està l’estat |S − ni〉 del valor màxim S, si baixem el nombre d’espínen una unitat estem afegint una excitació.

Podem reescriure les equacions (2.12) i (2.11) com:

Si− |ni〉 =√

2S√ni + 1

√1− ni

2S |ni + 1〉

Si+ |ni〉 =√

2S√ni√

1− ni2S |ni − 1〉

(2.13)

Comparant (2.13) amb (2.10) hom pot comprovar fàcilment que els operadors creació i destrucciós’expressen en termes dels operadors de Bose mitjançant les següents equacions:

Si− =√

2S a†i(

1− a†iai2S

)1/2

(2.14)

Si+ =√

2Sai(

1− a†iai2S

)1/2

(2.15)

La propietat important d’aquests operadors a†i i ai és que el seu producte, actuant sobre un estatexcitat del sistema té com a autovalor el nombre d’excitacions d’aquest estat. Veurem que elsoperadors de Bose estan fortament relacionats amb les excitacions per efecte de la temperatura en elsòlid, i ens explicaran l’aparició d’ones d’espín. Per altra banda, caldrà fer un desenvolupament ensèrie de Taylor del terme

(1− a†iai

2S

)1/2

(2.16)

, perquè no sabem com actua l’arrel d’un operador sobre un estat. La solució serà, per tant, aproxi-mada, no hi haurà una solució exacta per al nostre problema, ja que matemàticament no existeix.

24/III/15

2.3.3 Hamiltonià de Heisenberg en termes dels operadors de Bose

El pas següent és expressar el hamiltonià de Heisenberg donat per l’equació (2.1) en termes delsoperadors de Bose. En primer lloc escrivim l’hamiltonià de manera que apareguin els operadors Si+ ,Si− i Siz:

Hex = −12∑i 6=k

Jik

[SizSkz + 1

2(Si+Sk− + Si−Sk+

)](2.17)

Desenvolupem en sèrie de Taylor el terme presentat en (2.16). És lícit aquest desenvolupament quan

ni S (2.18)

89

, essent ni el valor propi de l’operador a†iai. Així doncs:(1− a†iai

2S

)1/2

= 1− 14Sa

†i ai + 1

8S2a†i aia

†i ai −

316S3a

†i aia

†i aia

†i ai + ... (2.19)

, sèrie que convergirà molt ràpidament degut a (2.18). Recordem que ens trobem en condicions demolt baixa temperatura (excitació molt feble dels estats valor de ni petit) i considerem S 1, detal manera que en el nostre problema (2.18) es compleix en tot moment. Negligirem per tant termesde segon ordre de a†i ai i (2.19) quedarà com

(1− a†iai

2S

)1/2

= 1− 14Sa

†i ai

A continuació expressem els diferents termes de (2.17) en funció dels operadors de Bose:

SizSkz = (S − a†i ai)(S − a†k ak) (2.20)

Si+Sk− =√

2S(

1− a†iai2S

)1/2

ai√

2S a†k(

1− a†kak2S

)1/2

= 2S(

1− 14Sa

†i ai

)aia†k

(1− 1

4Sa†k ak

)= 2S

(ai −

14Sa

†i aiai

)(a†k −

14Sa

†ka†k ak

)De manera que l’hamiltonià (2.17) queda com:

Hex = −12∑i 6=k

Jik(s− a†i ai

) (s− a†k ak

)−1

2∑i 6=k

JikS[(ai −

14Sa

†i aiai

)(a†k −

14Sa

†ka†k ak

)]

−12∑i 6=k

JikS[(a†i −

14Sa

†ia†i ai

)(ak −

14Sa

†k akak

)]

Si, de nou, considerem termes només fins a quart ordre en a†i i ai (segon ordre en a†i ai) i desenvolupemels diferents productes, trobem:

Hex = −12NS

2∑n

Jn + 12S

∑i 6=k

Jik(a†i ai + a†k ak − a

†kai − a

†iak)

+14∑i 6=k

Jik(a†ia†kaiai + a†ka

†kaiak + a†ia

†kakak + a†ia

†iaiak

)−1

2∑i 6=k

Jika†ia†kaiak

90

, on el sumatori del primer terme s’extén als n primers veïns i correspon a l’hamiltonià de l’estatfonamental. Cada un dels elements de la suma del segon terme representen la creació i anihilaciód’una exitació d’espín en un mateix lloc (i o k) o en un veí pròxim i descriu la propagació lliurede les ones d’espín sense interacció entre elles en el sòlid. Finalment, el tercer i quart termerepresenten l’anihilació i creació de dues excitacions acompanyada de l’anihilació i creació d’unesaltres dues excitacions diferents i ens descriu la interacció entre les ones d’esín en el sòlid. Aqueststermes, per tant, no els considerarem en el benentès que ens trobem en una situació de molt baixatemperatura on no hi haurà interacció entre ones d’espín.

2.3.4 Descripció de les ones d’espín a partir dels operadors de Bose

Estudiem, doncs, el terme que ens descriu les ones d’espín, que anomenarem HSE (Spin Excitation),

HSE = 12S

∑i 6=k

Jik(a†i ai + a†k ak − a

†kai − a

†iak)

(2.21)

per tal de demostrar com descriu les ones d’espín que es propaguen lliurement en un sòlid mitjançantels operadors a†i i ai . Per fer-ho escollim que els mòduls dels vectors d’ona ~q compleixin

qx,y,z = 2πkx,y,zLx,y,z

kx,y,z = 0,±1,±2, ...,±12Nx,y,z

NxNyNz = N Lx,y,z = Nx,y,z · aOn kx,y,z i N defineixen la mida de la primera zona de Brillouin, i Lx,y,z són les dimensions del sòlid.Introduint el radi vector ~ri que indica la posició del lloc i-èssim de la xarxa hom pot escriure elsoperadors de Bose com les sèries de Fourier:

ai = 1√N

∑~q

aq ei~q·~ri , a†i = 1√

N

∑~q

a†~q e−i~q·~r (2.22)

aq = 1√N

∑i

ai e−i~q·~ri , a†q = 1√

N

∑i

a†i e−i~q·~r (2.23)

Es pot demostrar que els nous operadors a†~q i a~q, actuant en l’espai dels moments, satisfan les matei-xes regles de commutació que els operadors a†i , ai en l’espai directe.

Desenvolupant (2.21) tenint present els resultats de (2.22) es pot arribar a:

HSE = S∑~l

J(~l)∑~q

(1− e−i~q·~l

)a†~q a~q (2.24)

On el sumatori sobre ~l es fa sobre el conjunt de vectors de la xarxa que conecten un estat amb elsseus primers veïns. L’expressió (2.24) és molt semblant a l’expressió de l’energia d’un camp de Bosequantitzat

HBose =∑~q

~ω~q a†~q a~q (2.25)

Comparant aquesta expressió amb (2.24) trobem

91

~ω~q = S∑~l

J(~l )(1− e−i~q·~l

)(2.26)

Aquesta última expressió ens dóna l’energia d’un bosó en termes del seu moment ~q. Aquests bosonssón, per tant, els quàntum de les ones d’espín, són les partícules associades a aquestes ones, quetenen freqüència ω~q, vector d’ona ~q i energia ~ω~q. Per a una xarxa cúbica simple, per exemple, hi ha6 vectors ~l diferents, ~l = ±a~ex,y,z, de manera que (2.26) queda en aquest cas com:

~ω~q = SJ[(

1− e−i~q·~lx)

+(1− e+i~q·~lx

)+(1− e−i~q·~ly

)+(1− e+i~q·~ly

)+(1− e−i~q·~lz

)+(1− e+i~q·~lz

)]= 2SJ [3− cos (qxa)− cos (qya)− cos (qza)]

En el límit qa 1, és a dir, quan la longitud d’ona és molt gran comparada amb el paràmetre dexarxa a, l’energia ~ω~q es pot aproximar per:

~ω~q ≈ JSa2q2 (2.27)La dependència quadràtica de l’energia amb el moment fa que les propietats cinemàtiques de lesones d’espín siguin similars a les propietats de partícules no relativistes. Emprant aquesta analogiahom pot introduir una quasipartícula, el magnó, que tindrà un moment lineal ~p = ~~q i una energiaε~p = ~ω~q. Podem relacionar aquesta energia amb l’expressió comuna de l’energia cinètica:

ε~p = ~p 2

2m, la qual, comparant amb (2.27) ens permet trobar l’expressió de la massa del magnó, m

m = ~2

2SJa2

Aquesta analogia és independent de la simetria de la xarxa. Efectivament, expandint exp(−i~q ·~l

)en (2.26) s’ obté en primera aproximació:

~ω~q ≈12S

∑~l

J(~l )(~q ·~l

)2

Estem en condicions, doncs, d’estudiar quin és el comportament de propietats com l’energia i la capa-citat calorífica. Ho podem fer emprant l’estadística de Bose-Einstein en el nostre sistema de magnons.

D’acord amb (2.24) i (2.25), l’energia total de les excitacions d’espín és:

ESE =∑~q

~ω~q〈n〉

A l’estadística de Bose-Einstein,

〈n〉 =[exp

(~ω~qkBT

)− 1

]−1

de manera que per calcular el sumatori ∑~q fem el pas a la integral segons

92

∑~q

→∫ V d3q

(2π)3 ,

on V és el volum del ferromagnet. Amb l’ajuda del resultat (2.27) i la manipulació trivial de laintegral trobem

ESE = V (kBT )5/2

4π2(SJ)3/2a3

∫ ∞0

dxx3/2

ex − 1 ≈ 0.0045N (kBT )5/2

(SJ)3/2

, essentN el nombre total de cel·les unitat. Veiem que la dependència de l’energia amb la temperaturaés proporcional a T 5/2. La capacitat calorífica tindrà, aleshores, una dependència amb la temperaturade ∼ T 3/2. L’expressió exacta de CSE la derivem de ESE:

CSE = 1N

dESEdT

= 0.113kB(kBT

sJ

)3/2

Aquesta llei T 3/2 dels magnons s’ha pogut corroborar fermament de manera experimental. A més, elsmagnons són els responsables de la dependència de la magnetització de saturació amb la temperatura.Si volem saber com és aquesta dependència hem de calcular 〈ni〉 segons l’estadística de Bose-Einstein.

〈ni〉 =∫ ∞

0

g(ω)dωexp

(~ωkBT

)− 1

On g(ω) és la densitat d’estats en 3 dimensions. Si definim x ≡ ~ωkBT

la intergral queda com

〈ni〉 =(kBT

~

)3/2 ∫ ∞0

x1/2dx

ex − 1 ∼ T 3/2

Així doncs, la dependència de la magnetització de saturació amb la temperatura és proporcional aT 3/2. Es pot demostrar que l’expressió exacta és:

M(T ) = ~ |γ|

S − 0.058(kBT

SJ

)3/2

26/III/15

2.4 Paramagnetisme del gas d’electronsPels metalls, els electrons de valència dels àtoms es converteixen en electrons de conducció, que esmouen d’una forma relativament lliure a través del volum del cristall. Per aquesta raó, hi ha moltespropietats físiques dels metalls que es poden explicar aplicant un model simple d’electrons lliures.Tot i això, fins i tot en aquells metalls per als quals el model d’electrons lliures funciona més bé, nopodem oblidar que es tracta d’una primera aproximació.

Les propietats magnètiques dels àtoms es veuen afectades quan aquestes es troben dins d’un sòlidmetàl·lic. Per exemple, el seu moment magnètic a temperatura tendint a zero ja no es pot expressarcom µBn (n = 0, 1, 2...), la Taula 2.1 mostra aquesta particularitat per a alguns metalls.

93

T=0 Fe Co Niµ(µB) 2,22 1,72 0,62

Taula 2.1: Valors del moments magnètics del Fe, Co i Ni en unitats del magnetó de Bohr.

Això és degut a que els electrons que han saltat a la banda de conducció no contribueixen al momentmagnètic.Anem a fer una anàlisi de les propietats magnètiques dins dels dos models del gas d’electrons:

En el model clàssic de Drude (1900) es considera els electrons com a partícules lliures que es mouendins d’un gas. Les magnituds d’aquest gas són les següents:

• La densitat de partícules, que es defineix com:

n = N

V= NAZ

ρ

Pa

On NA = 6, 02 · 1023, Z és el nombre d’electrons per partícula (considerem àtoms monoelectrò-nics; Z = 1 ), ρ és la densitat màssica i Pa el pes atòmic. Si fem el càlcul per al Coure (ρ = 8, 9

g/cm3 i Pa = 63, 5 g/mol, obtenim que NV

= 8, 5 · 1022 e−

cm3 .

• La pressió d’aquest gas vindrà donada per l’equació d’estat dels gasos ideals: PV = RT

p = RT

v= 82(cm3atm/molK)293(K)

7, 11(cm3/mol) = 3381 atm

Ara, anem a veure la susceptibilitat paramagnètica. El moment magnètic d’un electró coincideixamb el magnetó de Bohr, com vam veure en el primer capítol. Si hi aplicam un camp magnètic ~Bparal·lel a l’eix z tenim que la magnetització es comporta com la funció de Brillouin amb argumentµB

kBT. Per al cas dels electrons, doncs, si µBB << kBT la funció de Brillouin es pot desenvolupar

comB ≈ J + 1

3JµBB

kBT

I aleshores la magnetització queda:

Mz = N(µB)2B

kBT

I, per tant, la susceptibilitat serà:

χ = N(µB)2

kBT

, que dóna un valor de 10−5 per T = 300 K i 10−2 per T = 0, 1 K.

94

Aquest és, doncs, el model clàssic del gas d’electrons lliures. A part de les útils aportacions que vasuposar, però, el model clàssic falla quan prova d’explicar propietats que depenen de la temperatura(per exemple la calor específica), ja que no considera la funció de distribució (quàntica) correcta,a més a més de valors de pressió i densitat de partícules massa alts per correspondre’s amb la realitat.

Així doncs, anem a veure la versió quàntica, presentada per Sommerfeld l’any 1927.

Partint de l’equació d’Schrödinger HΨ = EΨ, sent:

H = − ~2m

~∇2 + V (~r)

, on H =∑i

hi, Ψ =∏i

ψi i E =∑i

εi i els subíndex indiquen magnituds monoparticulars (de cada

partícula de les que formen el sistema).Aplicant la condició V (~r) = 0 (electrons lliures) l’estat monoparticular de cada electró es pot escriuremitjançant la funció d’ona següent:

Ψ(~r) = 1√Vei~k·~r

A la qual li correspon l’energia:

E = ~2k2

2m, on ~k és el vector d’ona i m la massa de l’electró. Si tenim en compte un volum cúbic V = L3 ensqueda:

Ψ(~r) = 1√L3ei~k·~r

Ara, si considerem la funció d’ona dins un pou de potencial infinit en una dimensió i apliquem ques’han de complir condicions de periodicitat Ψ(0) = Ψ(L) = 0, s’arriba a que el mòdul del vectord’ona pren valors discrets: kn = nπ

L, on n = 1, 2, 3... i llavors la funció d’ona es pot escriure com:

Ψ(x) =√

2L

sin(nπxL

)

I l’energia:

E = ~2k2

2m = ~2

2m

(π

L

)2n2

Fent el mateix desenvolupament per a un pou tridimensional, s’arriba a:

Ψ(x, y, z) = C sin(nxπxL

) sin(nyπyL

) sin(nzπzL

)

En = ~2

2m

(π

L

)2(nx2 + ny

2 + nz2)

95

~k = π

L~n

, on C és una constant de normalització i ~n = nxi+ ny j + nzk.

Si ens hi fixem, per a L = 1 cm la diferència d’energies per a dos nivells consecutius és: ∆En =En+1 − En ∼ 10−16 eV. Per tant, a efectes pràctics és totalment vàlid considerar-ho com a continu.Per aquesta raó, la discretització només la veiem quan considerem una L molt, molt petita; per a unbloc de metall macroscòpic obtenim una banda quasicontínua.

Fixem-nos ara en la superfície de Fermi. La definim com una energia frontera entre els estats ocupatsi els estats desocupats pels electrons en l’espai dels vectors d’ona a T = 0. Pel cas d’electrons lliuresla superfície de Fermi és una esfera, anomenada esfera de Fermi i els electrons que es troben propd’aquestes esfera participen en els processos de transport i d’excitacions tèrmiques.

A la Taula 2.2 es comparen el mòdul del moment de Fermi, l’Energia de Fermi i la densitat d’estatsen funció de l’energia per als casos 1D, 2D i 3D.

1D 2D 3D

kFπN

gsL

(4πNgsA

)1/2 (6π2N

gsV

)1/3

EFπ2~2

2gs2m

(N

L

)2 2π~2

gsm

N

A

~2

2m

(6π2N

gsV

)2/3

g(E)gsL

π~

(m

2

)1/2E−1/2 gsmA

2π~2gsV√2π2

(m

~2

)3/2E1/2

Taula 2.2: Comparació per al cas 1D, 2D i 3D del moment i l’energia de Fermi i la densitat d’estats enfunció de l’energia.

Figura 2.5: Representació gràfica de l’energia en funció de la densitat d’estats per als casos d’una, dues itres dimensions.

2.4.1 Càlcul de la susceptibilitat

Una vegada vist això, anem a fer el càlcul de la susceptibilitat. Aquesta tindrà una componentassociada a l’espín χp i una altra al moviment de l’orbital electrònic χd. Ens centrarem en com

96

calcular la χp seguint els següents passos:

1. Càlcul de l’energia de tots els electrons amb el seu moment magnètic paral·lel, per una banda,i antiparal·lel, per l’altre, al camp aplicat ~B.

2. Càlcul de la magnetització en funció del nombre d’espins paral·lels (N↑) i antiparal·lels (N↓) alcamp aplicat. Això ens permetrà trobar una primera expressió de χp.

3. Obtenció de N↑ i N↓ fent servir l’expressió de la densitat d’estats per al cas µB ~B << EF , en elqual només uns pocs electrons propers a EF modifiquen el seu espín. Aquesta és la raó per laqualM(metalls) «M(predita per l’estadística de Maxwell-Boltzmann).

4. Càlcul de χ(T ) en funció de χ(0), T i EF (0) a partir de la funció de distribució de Fermi-Dirac.

Anem a fer el càlcul, doncs:

• Gas d’electrons tridimensionalPodem entendre el gas tridimensional com un sistema constituït per dos subsistemes que tenenms = 1/2 i ms = −1/2.A T = 0 tindrem que N↑ = N↓; per tantM = 0 si B = 0.Si ara apliquem un camp magnètic ~B l’energia dels espins amb moment magnètic paral·lel alcamp és la que tenien inicialment amb l’increment −µBB, i l’energia dels espins amb momentmagnètic antiparal·lel al camp és la que tenien inicialment amb l’increment +µBB.Per tant, la magnetització serà:

M = N↑µB +N↓(−µB) = (N↑ −N↓)µB

, d’on podem treure:

χ = MV B

= (N↑ −N↓)µB1V B

A T = 0 podem fer el càlcul de N↑ i N↓ fent servir l’expressió de la densitat d’estats que trobema la Taula 2.2:

N↑ =∫ EF

−µBBg(E)dE =

∫ EF+µBB

0g(E)dE = 2

32πV~3 (2m)3/2(EF + µBB)2/3

N↓ =∫ EF

+µBBg(E)dE =

∫ EF−µBB

0g(E)dE = 2

32πV~3 (2m)3/2(EF − µBB)2/3

Per tant:

N ≡ N↑ +N↓ = 23

2πV~3 (2m)3/2E

2/3F

(1 + 3

8µB

2B2

EF2

)≈ 2

32πV~3 (2m)3/2E

2/3F

97

(a) Abans d’aplicar camp. (b) Despré d’aplicar camp.

Figura 2.6: Gas d’electrons constituït per dos subsistemes que poseeixen ms = 1/2 i ms = −1/2.

N↑ −N↓ = 3NµBB2EF

Així, obtenim:

χ(3D, 0K) = 3nµ2B

2EF

, on n = N

V.

• Gas d’electrons bidimensionalProcedint de la mateixa manera que en el cas tridimensional obtenim:

N↑ = gsmA

2π~2 (EF + µBB)

N↓ = gsmA

2π~2 (EF − µBB)

Per tant:

N = 2gsmA2π~2 EF

N↑ −N↓ = 2gsmA2π~2 µBB

De manera que

98

χ(2D, 0K) = nµB2

EF

• Gas d’electrons unidimensionalI, fent el mateix per al cas d’una dimensió:

N↑ = 2gsLπ~

(m

2

)1/2(EF + µBB)1/2

N↓ = 2gsLπ~

(m

2

)1/2(EF − µBB)1/2

Per tant:

N ≡ 4gsLπ~

(m

2

)1/2EF

1/2

N↑ −N↓ = NµBB

2EFDe manera que:

χ(1D, 0K) = nµB2

2EF

Agafant les tres expressions de la susceptibilitat ens podem adonar que la dimensionalitat d’unsistema paramagnètic pot ser mesurada a través de la susceptibilitat magnètica ja que a cada di-mensió varia, té un valor constant més un factor: 3

2 per tridimensional, 1 per bidimensional i 12 per

unidimensional.

Dependència de la susceptibilitat amb la temperatura

Si ens trobem en el cas de T = 0 K només els estats amb E ≈ EF poden ser excitats; la corba deFermi-Dirac (Figura 2.7) només canvia a les proximitats de l’energia de fermi i en un interval kBT .Ara haurem de calcular integrals d’aquest tipus:∫ ∞

−∞Eg(E)f(E)dE

, on, si la temperatura és diferent de zero, la funció de distribució de Fermi-Dirac introdueix la dife-rència respecte el cas T = 0, en què f(E) = 1. Ara bé, aquesta diferència és efectiva en una petitaregió d’amplada kBT entorn l’energia de Fermi.

La diferència dependrà de la variació de H(E) ≡ Eg(E) prop de l’energia de Fermi. Si aquestaquantitat no varia ràpidament en aquesta petita regió, la dependència amb la temperatura de la

99

Figura 2.7: Funció de distribució de Fermi per a diferents temperatures.

integral es pot calcular substituint H(E) pels dos primers termes del seu desenvolupament en sèriede Taylor entorn EF . Això és el que es coneix com desenvolupament de Sommerfeld:

∫ ∞−∞

H(E)f(E)dE ≈∫ µ

−∞H(E)dE + π2

6 (kBT )2dH(E)dE

∣∣∣E=µ

+ 7π4

360(kBT )4d3H(E)dE3

∣∣∣E=µ

+ ...

, on µ és el potencial químic. Aleshores, per a calcular el nombre de partícules fem el següent:

N =∫ µ

0g(E)dE + π2

6 (kBT )2dg(E)dE

+O(T 4)

Tenint en compte que EF (T = 0) = EF i EF (T 6= 0) = µ(T )∫ µ

0g(E)dE =

∫ EF

0g(E)dE + (µ− EF )g(EF )

, on el primer terme és exactament N(T = 0).

Si la densitat d’estats és constant aleshores N 6= F (T ) i per tant:

0 = (µ− EF )g(EF ) + π2

6 (kBT )2dg(E)dE

I d’aquí es deriva:

µ = EF (T ) = EF (0)[1− 1

3(πkBT

2EF

)2]Això per al cas de tres dimensions. En el cas bidimensional trobaríem:

100

µ = EF (T ) = EF (0)

I en el cas unidimensional:

µ = EF (T ) = EF (0)[1 + 1

3(πkBT

2EF

)2]Així, anem a fer el càlcul de la susceptibilitat:

• Gas d’electrons tridimensional

N↑ =∫ ∞−µBB

f(E + µBB)g(E + µBB)dE

=∫ µ=EF (T )

−µBBg(E + µBB)dE + π2

6 (kBT )2dg(E + µBB)dE

= 23

2πV~3 (2m)3/2 (EF (T ) + µB)2/3 + π2

612

2πV~3 (2m)3/2(kBT )2(EF (T ) + µBB)−1/2

Fent el càlcul anàleg, trobem:

N↓ = 23

2πV~3 (2m)3/2(EF (T )− µBB)2/3 + π2

612

2πV~3 (2m)3/2(kBT )2(EF (T )− µBB)−1/2

Per tant:

N ≈ 43

2πV~3 (2m)3/2EF (0)3/2

N↑ −N↓ = 22πV~3 (2m)3/2

[1− π2

12( TTF

)2+ ...

]De manera que:

χ(3D,T ) = χ(3D, 0K)[1− π2

12( TTF

)2]• Gas d’electrons bidimensional

Com que la densitat d’estats per a aquest cas és una constant C , la seva derivada serà nul·la.Això implica que

N↑ =∫ ∞−µBB

Cf(E + µBB)dE

N↓ =∫ ∞µBB

Cf(E + µBB)dE

101

Per tant:

N↑ =∫ EF (T )+µBB

0CdE = C[EF (T ) + µBB]

N↓ =∫ EF (T )−µBB

0CdE = C[EF (T )− µBB]

De manera que:

χ(2D,T ) = χ(2D, 0K)

• Gas d’electrons unidimensional

En aquest cas, procedint de la mateixa manera, trobem:

N↑↓ = gsL

π~

(m

2

)1/2 ∫ ∞∓

(EF (T )± µBB)−1/2f(EF (T )± µBB)dE

Per tant:

N↑ = 2gsLπ~

(m

2

)1/2(EF (T ) + µBB)−1/2 − 1

2gsL

π~

(m

2

)1/2(EF (T ) + µBB)−3/2 (πkBT )2

6

N↓ = 2gsLπ~

(m

2

)1/2(EF (T )− µBB)−1/2 − 1

2gsL

π~

(m

2

)1/2(EF (T )− µBB)−3/2 (πkBT )2

6

De manera que:

χ(1D,T ) = χ(1D, 0K)[1 + π2

12( TTF

)2]

27/III/15

2.5 Diamagnetisme quàntic del gas d’electronsSuposem que apliquem un camp magnètic ~B paral·lel a l’eix z, de manera que les components delpotencial vector magnètic són: Ax = −By, Ay = 0 i Az = 0Considerem el següent hamiltonià:

H = 12[(Px − eY B)2 + Py

2 + Pz2]

, d’on es pot veure que [H, Px] = [H, Pz] = 0 6= [H, Py]Substituint Px i Pz per uns valors concrets i aleshores prenem una funció d’ona de prova com aquesta:

102

Figura 2.8: Representació de la susceptibilitat en funció del quadrat de la temperatura per a un sistemad’una, dues i tres dimensions.

Ψ(x, y, z) = ei(kxx+kzz)φ(y)

, arribem a l’equació següent:

d2φ

dy2 +[2mE⊥

~2 +(eB~y − kx

)2]φ = 0

, on E⊥ = E − Pz2

2m = E − ~2kz22

2m és l’energia del moviment en el pla perpendicular a la direcció delcamp aplicat ~B.

Definint

y0 = ~kxeB

i ω = −eBm

, on ω és la freqüència del ciclotró (ω = 2ωLarmor), l’equació esdevé:

d2φ

dy2 + 2m~2

[E⊥ + 1

2mω2(y − y0)2]φ = 0

, que és l’equació de l’oscil·lador harmònic unidimensional centrat en y0 y amb energia potencialV = 1

2mω2y2.

La solució a l’equació de valors propis és:

E⊥ = (n+ 12)~|ω| = (2n+ 1) e~2mB = (2n+ 1)µBB n = 0, 1, 2, ...

φ ≡ Polinomis d’Hermite

A través d’aquests resultats es pot veure que els nivells d’energia en la direcció z formen un quasi-continu i, a més, el moviment en aquest eix és constant. En el pla perpendicular, però, els nivellsd’energia són discrets. Cadascun estarà molt degenerat ja que contindrà molts nivells de Ez. Aaquests nivells discrets els anomenem nivells de Landau.

103

Figura 2.9: Degeneració dels nivells de Landau (βH = µBB).

El moment magnètic associat a aquests nivells és:

µ = −∂E∂B

= −(2n+ 1)µB

Si un parell d’electrons es troba confinat a l’interior d’un cub d’aresta L:

kz = 2πnzL

, i el nombre de nivells amb energia E = ~2kz2

2m +(n + 1

2)~ω és 2e

hBL2. En conseqüència, per a un

cub d’aresta L = 1 cm i amb un camp aplicat de B = 1 kG, la degeneració dels nivells de Landau ésde 1010.

Si ara, a més a més, també tenim en compte l’energia cinètica, l’energia total esdevé:

E = E⊥ + Pz2

2m = (2n+ 1)µBB + Pz2

2m, la part més destacable de la qual és la quantització associada als nivells de Landau, que dónalloc a propietats elèctriques molt interessants com ara l’efecte l’efecte de Haas-Van Alphen , l’efecteShubnikov- de Haas o l’efecte Hall quàntic.Fent una anàlisi més detallada s’obté que la susceptibilitat diamagnètica associada als nivells deLandau presenta la forma:

χ = −13nµB

2

kBT

2.6 Model d’Stoner i interacció RKKYEl model d’Stoner descriu com la interacció entre electrons lliures pot implicar la polarització espon-tània dels seus espins. Es considera un fluid isòtrop (sense bandes d’energia) d’electrons immers enuna sèrie d’ions carregats positivament, sense necessitat de parlar de xarxa cristal·lina ni de la sevaperiodicitat.

104

La interacció entre els electrons és la interacció Coulombiana apantallada per la càrrega elèctricapositiva i pels altres electrons; per aquesta raó no es considera la interacció de llarg abast de maneraque amb la de curt abast n’hi ha prou:

U(q) = e2

ε0q2 = constant

Dos electrons que interaccionen intercanvien moment, però el total es conserva (Figura 2.10).

Figura 2.10: Diagrama il·lustrant una col·lisió.

D’aquí, Stoner va trobar la condició de l’estat fonamental ferromagnètic:

1− g(EF )U

> 0⇒ No ferromagnètic< 0⇒ Ferromagnetisme dèbil<≈ 0, 19⇒ Ferromagnetisme fort

De manera que ens interessarà que o bé U o bé g(EF ) siguin grans; per això els electrons ”quasiloca-litzats” dels orbitals d seran més convenients que els electrons ”quasilliures” dels orbitals s. Aquestés el cas de metalls com el Fe, Co o Ni.

La interacció RKKY estudia la interacció d’intercanvi d’espins localitzats amb el núvol electrònic enels metalls. Descriu la polarització dels electrons de conducció causada per l’espín localitzat, queorigina un camp magnètic oscil·lant en l’espai:

~gsBeff (~r) = J(r)~S1

La interacció d’intercanvi entre espins localitzats i el núvol electrònic és de curt abast. El campefectiu serà de la forma:

~B(~r) = ~B(~q) cos(~q · ~r)

105

essent un camp periòdic. Com a conseqüència la polarització dels electrons itinerants causada pelsespins localitzats condueix a un intercanvi magnètic entre espins localitzats. Aquesta interacció, queés de llarg abast, va com ∼ 1

rij3 .

Sense voler fer una anàlisi exhaustiva (que es pot trobar a la bibliografia) volem fer algunes observa-cions importants:

• La polarització d’electrons itinerants (els del núvol) causada pels espins localitzats dóna lloc ainteracció d’intercanvi entre espins localitzats.

• La interacció d’intercanvi entre espins localitzats té un abast molt major que la interacciód’intercanvi entre espins localitzats i electrons itinerants.

• L’intercanvi d’espins localitzats amb electrons itinerants és de llarg abast, i a llargues distànciesdecau com el cub de la distància entre espins.

• El signe de la constant d’intercanvi efectiva (Jeff) oscil·la amb r. Per això, depenent de ladistància entre els espins localitzats, la interacció d’intercanvi entre electrons itinerants podràser ferro- o antiferromagnètica.

L’intercanvi entre espins localitzats i electrons itinerants s’anomena RKKY per Ruderman, Kittel,Kasuya i Yosida, que estudiaren les seves implicacions per a diverses situacions físiques.A l’aplicació per als metalls dels grups 3d, proporciona l’intercani entre els electrons d i els electronss. Això complementa la proposta d’Stoner on els electrons d es consideren totalment col·lectius.En els metalls 4f els electrons f estan localitzats dins dels ions. Per això l’intercanvi directe entreelectrons f de diferents ions és negligible. És per aquesta raó que les propietats magnètiques de lesterres rares i de les aleacions només es poden entendre a partir de la interacció RKKY d’electrons fvia electrons itinerants s i d.L’oscil·lació del signe de la interacció RKKY en funció de la distància entre els ions explica diversostipus d’ordenacions magnètiques observades en terres rares. Un altre exemple d’ordenació d’espinscausada per la interaccio RKKY es pot veure diluint aleacions magnètiques en les quals s’han in-troduït impureses no magnètiques (per exemple Cu). Distribucions aleatòries d’aquestes impuresesporten als canvis de signe aleatoris de la constant d’interacció entre elles. A baixes temperatures,aquestes configuracions (per exemple CuMn) solidifiquen en estructures anomenades ”spin glass”.

La interacció RKKY també és responsable de propietats magnètiques i conductores de materialsartificials composts per multicapes magnètiques. Aquests sistemes estan formats per capes de gruixnanomètric alternant materials ferromagnètics i metalls no magnètics (exemple: Co/Cu/Co). Lapolarització d’espín d’electrons itinerants en les capes no magnètiques oscil·la en la distància entreels nivells ferromagnètics. En conseqüència, l’ordenació d’espín de les capes magnètiques, per la sevainteracció RKKY entre les capes no magnètiques pot ser ferro- o antiferromagnètica. En el cas de lesmulticapes, la força i el signe de la interacció d’intercanvi RKKY entre nivells ferromagnètics veïnsdepèn del gruix de la capa no magnètica que els separa. Així es pot controlar l’alineament de lesdiferents capes.

106

07/IV/15

3 Magnetisme a escala macroscòpicaFins ara hem considerat objectes les mides dels quals no superaven els 0.1 µm. Anem a veure, doncs,quins són els comportaments magnètics d’aquests objectes amb mides superiors a aquest valor onja no tindrem posicions discretes dels espins i, en conseqüència, de les magnetitzacions, sinó quepodrem passar a un raonament continu:

~S(r) =∑n

~Snδ(~r − ~rn)

Mij → ~M(~r)

A continuació veurem quines són les expressions de les diferents contribucions a l’energia que tenimtant per un sistema ferromagnètic com antiferromagnètic.

3.1 Sistema Ferromagnètic3.1.1 Energia d’intercanvi

Com hem vist en les anteriors unitats, l’hamiltonià d’intercanvi és:

Hex = −12∑m,n

J(rmn)~sm~sn

Com bé hem dit, a escala macrosòpica passem al continu de manera que hem de traduir aquestsumatori a integral:

Hex = −12

∫d3r

∫d3r′J(~r − ~r′)~S(~r)~S(~r′)

= − 12(γ~)2

∫d3r

∫d3r′J(~r − ~r′) ~M(~r) · ~M(~r′)

, on recordem que ~M(r) = γ~~S(r) i γ = −ge µB~ . Així, l’energia d’intercanvi clàssica queda:

Eex = − 12(γ~)2

∫d3r

∫d3r′J(~r − ~r′) ~M(~r, t) · ~M(~r′, t)

També cal recordar que aquest tractament és vàlid si les distàncies de l’objecte en qüestió són majorsque les distàncies interatòmiques. Com que J(~r−~r′) decreix ràpidament amb l’increment de |~r − ~r′|(és una interacció de curt abast) podem desenvoluparM(~r′) al voltant de ~r. Així, podem aproximar:

Mi(~r′) =Mi(~r) + (r′j − rj)∂Mi(~r)∂rj

+ 12(r′j − rj)(r′k − rk)

∂2Mi(~r)∂rj∂rk

+ ...

Si substituïm aquesta expansió a l’equació trobada de l’energia d’intercanvi veiem que el primerterme ens dóna una constant i que per tant el podem negligir (el que ens importa són les variacions

107

de l’energia per tal de trobar els valors mínims o fonamentals). El segon terme lineal és nul un copintegrat al voltant de r’ i, per tant, el terme que tindrem en compte serà el tercer. Així, ens queda:

Eex = − 14(γ~)2

∫d3r ~M(~r, t) · ∂

2 ~M(~r, t)∂rj∂rk

∫d3r′J(~r − ~r′)(r′j − rj)(r′k − rk)

Si ara integrem per parts aquesta equació obtenim l’expressió final:

Eex = µ0

2

∫d3rαij

(∂ ~M∂ri· ∂

~M∂rj

)(3.1)

, onαij = αji = 1

2µ0(~γ)2

∫d3rJ(~r)rirj

, que depèn de l’estructura cristal·lina del material. Una estructura cúbica simple presentaria lasegüent energia degut a la seva simetria.

Eex(cubica) = µ0

2 α∫d3r

[(∂ ~M∂x

)2+(∂ ~M∂y

)2+(∂ ~M∂z

)2]

3.1.2 Energia d’anisotropia

Recordem que a la unitat 1 vam escriure l’hamiltonià d’anisotropia com:

HA = −12bαβ

∑n

SnαSnβ + 14cαβγδ

∑n

SnαSnβSnγSnδ + ...

Si aquesta expressió la passem al continu, l’energia d’anisotropia la podem escriure com:

Ean = 12bij

∫d3rMiMj + 1

4cijkl∫d3rMiMjMkMl + ... (3.2)

Per a un material uniaxial (amb un eix de fàcil imantació) l’expressió es pot aproximar com:

Ean(uniaxial) = −µ0

2 β∫d3r(e · ~M)2

, on e és el vector unitari en direcció a l’eix de fàcil imantació. Si β és positiva, l’energia és minimit-zada amb la magnetització en el mateix sentit que aquest eix. Si β és negativa, la magnetització esmimitzarà quan la aquesta sigui perpendicular a aquest eix, és a dir, tindrem un pla de fàcil imantació.

Com a forma general el que tindrem és:

Ean = −Kf(θ, φ)

,on K s’anomena constant d’anisotropia, i θ i φ són els angles del vector magnetització, ja que f endepèn. Si la K és petita direm que tenim un material ferromagnètic tou, si la K és gran, tindremun material ferromagnètic dur.

108

3.1.3 Energia de Zeeman

L’energia de Zeeman és aquella deguda a la interacció del material amb un camp magnètic extern.L’expressió és:

EZ = −µ0

∫~M(~r) ~Hd3r (3.3)

i, per tant, el seu mínim es troba quan totes les partícules estan orientades amb el camp.

3.1.4 Energia dipolar o magnetostàtica

Aquesta energia es pot definir com l’energia de Zeeman que un objecte magnètic es fa a ell ma-teix, és a dir, els dipols que el formen generen un camp magnètic que interacciona amb els altresdipols. És la contribució més difícil de calcular perquè té un caràcter no-local, pot variar al llarg detot l’objecte. Només en casos simples és possible obtenir una expressió analítica, si no, s’han de re-alitzar els càlculs mitjançant mètodes numèrics, tot i que computacionalment també requereix temps.

De forma general, havíem vist que l’hamiltonià dipolar es pot escriure com:

HD = µ0

8π (~γ)2∑i 6=j

siαsjβ∂2

∂rαij∂rβij

( 1rij

)Passant-ho al continu arribem a l’expressió clàssica:

Ed = −µ0

8π

∫d3r

∫d3r′

[Mi(~r)Mj(~r′)

∂3

∂r′i∂r′j

1|~r − ~r′|

]|~r−~r′|>r0

(3.4)

, on r0 correspon a un volum nanomètric del nostre objecte. Aquesta expressió és equivalent, excepteuna constant, a:

Ed = −12µ0

∫d3(r) ~M(~ )r ~Hd(~r)

µ0

2

∫d3r ~Hd

2(~r)

, on Hd és el camp magnètic creat per l’objecte i que interacciona amb ell mateix (camp desmagne-titzant). Per a un ferromagnet uniformament magnetitzat podem escriure aquest camp com:

Hd = −NijMj (3.5)

, on i, j representen les coordenades cartesianes x, y, z. Nij s’anomenen factors desmagnetitzants. Perexemple: per a una esfera tindríem Nxx = Nyy = Nzz = 1

3 , per a un cilindre infinitmanet llarg en l’eixz, Nxx = Nyy = 1

2 i Nzz = 0 o per a un pla infinitament llarg en l’eix X-Y tindríem Nxx = Nyy = 0 iNzz = 1.

11/IV/15

3.1.5 Energia total d’un Ferromagnet

En general un ferromagnet macroscòpic no està uniformement magnetitzat, de manera que l’expres-sió (3.5) per al camp desmagnetizant no es pot utilitzar.

109

Per assolir l’equilibri termodinàmic el ferromagnet vol minimitzar l’energia del camp magnètic creatper la magnetització. Això s’aconsegueix quan el material es trenca en dominis magnètics. Lamagnetització ~M(~r) d’equilibri es correspon amb el mínim de l’energia total:

Etot = µ0

∫d3r

12αij

∂ ~M∂ri· ∂

~M∂rj

− 12βijMiMj −

12~M · ~Hd − ~M · ~H0

(3.6)

Recordem que aquesta energia es minimitza quan tots els espins estan paral·lels al camp magnètic.Trobar la solució analítica per a un camp arbitrari i un cos de forma arbitrària és tediós i requereixla utilització de mètodes numèrics.

A continuació intentarem trobar quina forma tenen els cicles d’histèresi de ferromagnets amb lessimetries esfèrica, cilíndrica i de làmina tipus thin film.

Esfera. Aplicarem el camp en la direcció z. Com que una esfera no presenta anisotropia, ésindiferent en quina direcció s’apliqui el camp, però suposem que ho fem en la direcció de l’eix z.El nostre objectiu és estudiar com varia la magnetització en funció de la variació del camp aplicat,suposant que no hi ha efectes de temperatura.

(a) Ferromagnet amb simetria esfèrica i campaplicat en direcció z.

(b) Cicle d’histèresi teòric sense tenir en compte efec-tes de tempertaura.

Figura 3.1: Cicle d’histèresi per a una esfera magnetitzada uniformement.

Per a camps molt grans (en direcció z i −z), tots els espins segueixen el camp. Així doncs, ens trobemen condicions de saturació i tenim una magnetització de saturació ±MS. La pregunta és com passemde +MS a −MS, és a dir, si ho fem amb un cicle d’histèresi o de forma abrupta. Anem, doncs,a analitzar les contribucions de cada energia. Suposant magnetització uniforme, el terme d’energiad’intercanvi és nul i si tampoc tenim en compte l’energia d’anisotropia, els dos termes no nuls queens queden són l’energia de Zeeman i la dipolar. Però la contribució dipolar , en el cas d’una esferaon la magnetització es considera uniforme en tota la mostra, pren la forma:

Edesfera = 13(m2x +m2

y +m2z

)

110

Qualsevol direcció de la magnetització minimitza l’energia dipolar, ja que suposem (i ho fem en totel capítol) que la suma m2

x + m2y + m2

z és constant. Per tant, Edesfera és constant per qualsevoldirecció de la magnetització o del camp magnètic aplicat. Dit d’una altra forma, no contribueixen la variació de la magnetització amb H (encara que sigui diferent de 0). Així doncs, de totes lesenergies que hem estudiat l’única que juga un paper és la de Zeeman. Per tant, la magnetitzaciósegueix el camp. Si partim d’una situació de saturació, passem abruptament de +MS a −MS, comes pot veure en la Figura 3.1. Aquest comportament correspon al que s’obté en el cas d’una partículaesfèrica monodomini i sense anisotropia. Per a una esfera macroscòpica, l’assumpció de magnetitzaciósempre constant no és correcta, de manera que participa les energies d’intercanvi i anisotropia en elcicle d’histèresi així com també l’efecte de la temperatura, el qual no ha estat considerat en aquestdesenvolupament, de manera que l’energia d’intercanvi no és nul·la i l’energia dipolar es complica.A més a més, l’energia d’anisotropia varia segons el material i la seva estructura cristal·lina.

Cilindre. Considerem un ferromagnet amb forma cilíndrica i un camp magnètic aplicat en ladirecció de l’eix del cilindre (Figura 3.27). Suposem que està magnetitzat uniformement (energiad’intercanvi nula). No considerem anisotropia, de manera que continua sent tan senzill com el casde l’esfera, però ara el camp desmagnetitzant és diferent.

Figura 3.2: Ferromagnet amb simetria cilíndrica.

L’energia dipolar, que és l’associada a aquest camp desmagnetitzant és, en el cas del cilindre,

Edcilindre = 13(m2x +m2

y

)La direcció que minimitza aquesta energia és qualsevol mz, és a dir, direccions amb mx = my = 0.Tant si la magnetització és paral·lela com antiparal·lela a l’eix del cilindre l’energia dipolar és mínimai val Edcilindre = 0. Així doncs, tornem a tenir únicament energia de Zeeman. El cicle d’histèresi seràidèntic que l’obtingut per a l’esfera (Figura 3.1b).

En el cas del cilindre trobem, però, dos mínims d’energia, els corresponents a les direccions ±z de lamagnetització. Així doncs, si tinguéssim en compte l’efecte de la temperatura en el cicle d’histèresid’un material ferromangètic amb simetria cilíndrica trobaríem que aquest canvia, eixamplant-se. Pertant, el cicle d’un cilindre sí tindrà histèresi i dependrà de la temperatura, degut a l’anisotropia de

111

forma.

Aquest resultat és idèntic quan considerem una esfera amb anisotropia. Trobem histèresi que depènde la temperatura.

Considerem el cas en què apliquem un camp al cilindre en la direcció perpendicular al seu eix ( ~H ‖ ex).Aquí ens trobarem altre cop amb la competició d’energies. En aquest cas l’anisotropia presenta dosmínims situats a θ = 0 i θ = π (considerant θ en el pla zx amb origen a z positives); és a dir, en ladirecció z positives i z negatives. Aplicant el camp en x, doncs, l’energia Zeeman tindrà un mínim enaquesta direcció, que correspon a θ = π/2. D’aquesta manera, a mesura que augmentem el camp, aefectes pràctics serà com si els dos mínims de l’anisotropia es vagin apropant a la direcció del camp.Si el camp és prou gran, tots els espins, encara que vulguin estar en la direcció z, acabaran apuntanten la direcció x. Així, el cicle passarà per l’origen de la gràfica i presentarà una pendent positiva finsa arribar a la saturació, on serà pla. Aquests cicles apareixen quan apliquem un camp en una direccióque no és de fàcil imantació. De la mateixa manera que en les altres geometries el cicle s’eixamplaràuna mica si permetem la dinàmica (efecte de temperatura).

Làmina tipus thin film. En aquest cas l’energia dipolar pren la forma:

Ed = 12m

2z

En aquest cas les direccions de fàcil imantació són x i y, tenim un pla de fàcil imantació. Si femun cicle d’histèresi en el pla de fàcil imantació, obtenim el mateix que per a l’esfera. Si el realitzemsegons l’eix z, fora del pla, ens passarà el mateix que en el cilindre amb camp aplicat ~H ‖ ex.

Figura 3.3: Ferromagnet amb simetria de thin film.

3.2 Sistema AntiferromagnèticComentem breument les diferents energies pel cas d’un sistema antiferromagnètic. Amb aquestssistemes, com veurem més endavant, pràcticament no existeixen aplicacions.

112

3.2.1 Energia d’intercanvi

En un antiferromagnet el tractament més senzill és considerar que tenim dues xarxes, una d’espins↑ (amb magnetització associada ~M1(~r)) i l’altre d’espins ↓ (amb magnetització associada ~M2(~r)).Assumirem a més que hi ha una forta interacció entre aquestes xarxes que ens porta a la condició~M21,2(~r) = ~M0

2= ct, que és similar a la corresponen condició per al ferromagnet. L’expressió més

senzilla per un antiferromagnet de l’energia d’intercanvi pren la forma:

Eex = µ0

∫d3r

12αij

∂ ~M1

∂ri· ∂

~M1

∂rj+ ∂ ~M2

∂ri· ∂

~M2

∂rj

+µ0

∫d3r

αij∂ ~M1

∂ri· ∂

~M2

∂rj

+ δex(~M1 · ~M2

) (3.7)

És important saber que el terme δex és molt gran (δex ≈ 104), de manera que l’energia d’intercanviés molt important en sistemes antiferromagnètics.

3.2.2 Energia d’anisotropia

L’energia d’anisotropia magnètica de, per exemple, antiferromagnets uniaxials (aproximació vàlidaja que es dóna en molts sistemes antiferromagnètics) s’escriu com:

Ean = −µ0

∫d3r

β

2

[(e · ~M1

)2+(e · ~M2

)2]

+ β,(e · ~M1

) (e · ~M2

)(3.8)

3.2.3 Energies Zeeman i dipolar

La suma de les energies de Zeeman EZ i dipolar Ed és:

EZ + Ed = µ0

∫d3r

[12~H2

d −(~M1 + ~M2

)· ~H0

](3.9)

Aquí ~Hd és el camp creat per la magnetització total ~M1 + ~M2. En general, aquest camp serà moltpetit, de manera que el seu efecte en l’assoliment de l’equilibri en antiferromagnets és molt menorque en el cas estudiat de ferromagnets. En aquest tractament macroscòpic el que és mesurable és lamagnetització total i no ~M1 i ~M2 de manera independent. És convenient, doncs, canviar a altresvariables, definides com:

~m = ~M1 + ~M2, ~L = ~M1 − ~M2

La primera és la magnetització total, que pren un valor molt proper a zero donat que tenim l’efectede dues xarxes superposades en oposició (espins amunt i espins avall); la suma serà propera a zero.La segona variable s’anomena vector de Néel. Degut a la condició ~M2

12(~r) = M0 = const les novesvariables satisfan:

~m · ~L = 0 ~m2 + ~L2 = 4 ~M0 .

Expressant ~M1 i ~M2 en termes de ~m i ~L, hom obté la següent expressió per l’energia d’intercanvi:

113

Eex = µ0

2

∫d3r

α(m)ij

∂ ~m

∂ri· ∂ ~m∂rj

+ α(L)ij

∂~L

∂ri· ∂

~L

∂rj+ δex

(~m2 − ~L2

) .3.2.4 Energia total d’un Antiferromagnet

L’energia total serà, lògicament,

Etot = Eex + Ean + Ed + EZ

3.2.5 Camp antiferromagnètic i vector de Néel

Ara anem a analitzar com respon un antiferromagnet sota l’aplicació d’un camp magnètic en unacerta direcció.

Camp normal al vector de Néel. Si el camp aplicat és prou gran (H0 > Hex) el resultat seràque ~M1 i ~M2 seran paral·lels. Aquest camp es diu camp d’intercanvi. El valor de la magnetitzacióen aquest cas és 2M0, ja que hem considerat que cada xarxa té magnetització amb mòdulM0.

Figura 3.4: Antiferromagnet en un camp perpendicular al vector de Néel

Camp paral·lel al vector de Néel. En aquest cas, es produirà un efecte que es diu spin flop(Figura 3.5, central). El resultat és que el sistema tendeix a orientarse en el sentit del camp aplicat,però no paral·lelament, sinó de la manera que es veu a la Figura 3.5. De fet, la causant d’aquestefecte és l’energia d’intercanvi (que venç l’energia de Zeeman), que com ja hem dit juga un papermolt important en els antiferromagnets.

13/IV/15

3.3 Model d’intercanvi en dues direccionsEls models extesos al continu que hem vist fins ara presenten una no linealitat amb el camp magnètic,causada pel fet que hem fixat el mòdul de la magnetització M0. D’aquesta manera, només duescomponents del vector són independents, i per tant, la tercera component està determinada per:

Mz =√M0

2 −Mx2 −My

2

114

Figura 3.5: Antiferromagnet en un camp magnètic paral·lel al vector de Néel.

En aquesta secció analitzarem com es pot adaptar el model continu d’un ferromagnet o d’un antifer-romagnet per al cas de dues dimensions. Si agafem la part d’intercanvi de l’equació (3.6) i consideremque ~M =M0n i que αij = α·δij (δ és la delta de Kronecker), reescrivint l’enegia en unitats d’α·M0

2,queda:

E = 12

∫d2r

∂~n

∂ri

∂~n

∂ri

= 12

∫d2r

(∂~n

∂x

∂~n

∂x+ ∂~n

∂y

∂~n

∂y

)

El mínim d’energia es correspondrà amb E = 0; per a la qual cosa és necessari un camp uniformen = z. Per a que l’energia sigui finita, les derivades no nul·les només han d’existir en un espaibidimensional (matemàticament s’ha de complir lim

r→∞~n(~r) = ~z). D’aquesta manera tenim cada punt

de l’espai bidimensional relacionat amb un punt d’una superfície esfèrica (~n(~r)) excepte un punt; eldel pol en la direcció ~n(~r) = ~z, que hem fet correspondre amb tots els infinits (en les direccions ±x i±y. D’aquesta manera podem fer el pas des de l’espai bidimensional, (R2) donat per l’energia a lasuperfície esfèrica (S2) de mòdul fixat per la magnetització (veure Figura 3.6).

Figura 3.6: Representació del mapa d’espins en el pla XY ~n(∞) = ~z en la superfície d’una esfera.

D’aquesta manera hem aconseguit que la descripció del camp segons ~n(x, y) en el pla XY sigui equiva-lent a la descripció del camp segons ~n(φ, θ) en S2. El teorema d’homotopia ens assegura que aquestatransformació d’un espai a l’altre es pot realitzar mitjançant una deformació contínua del camp, ja

115

que les dues geometries es poden fer correspondre amb dos espais homòtops entre sí (dues superfí-cies esfèriques). En canvi, això no es pot fer si els espais corresponen a diferents classes d’homotopies.

Anem a veure un exemple amb una reducció de dimensions per a facilitar-ne la comprensió. Consi-derem dues assignacions entre els angles azimutals de la circumferència d’un cercle i els mateixos dela circumferència d’un altre cercle. La primera assignació la farem segons el següent:

φ1 = φ2 si 0 ≤ φ < πφ1 = 2π − φ2 si π ≤ φ < 2π

La segona serà, simplement:φ1 = φ2

La diferència entre aquestes dues assignacions la podem expressar introduint un índex o ”windingnumber” :

Q = 12π

∫ 2π

0dφ2

(dφ1

dφ2

)Aquesta integral és zero per a la primera proposta d’assignació; Q = 0, mentre que Q = 1 peral segon cas. Totes les assignacions φ1(φ2) amb derivada contínua dφ1

dφ2es poden dividir en classes

topològiques descrites per Q = 0,±1,±2, ... Aplicat al nostre cas, assignacions amb winding numberpositius corresponen a rotacions antihoràries de la magnetització quan recorrem la circumferència,mentre que Q < 0 corresponen a rotacions en sentit horari.

Figura 3.7: Exemples d’assignacions. En la figura de la dreta Q = 1; la magnetització pateix una rotacióde 2π al llarg de la circumferència. En la figura de l’esquerra Q = 2; la magnetització pateix una rotació de4π al llarg de la circumferència.

El que es veu a la Figura 3.7 són alguns exemples de solitons: exitacions de l’energia final l’estabilitatde les quals és causada per la topolgia.

3.4 Dominis magnètics i parets de dominiUn material ferromagnètic es divideix en dominis magnètics per a reduir la seva energia magnetos-tàtica (dipolar).

Com es veu a la Figura 3.8, com més petits siguin els dominis, més es redueix el camp que el materialexerceix sobre si mateix. D’aquesta manera, per minimitzar l’energia, hom podria pensar que el

116

dominis tendiran a ser el més petits possibles. Malgrat això, no seran infinitament petits perquè enstrobem en una situació de competició d’energies i com més petits siguin els dominis, altres energieses fan més grans (per exemple la d’intercanvi). Així doncs, les dimensions dels dominis vindrandeterminades per la minimització de l’energia total.

Figura 3.8: En aquesta figura es pot veure com amb la disminució del tamany dels dominis el camp quees fa el material sobre ell mateix és menys intens.

A més, cal tenir en compte l’efecte dels defectes en el material, ja que juguen un paper molt impor-tant en la creació de dominis. Un defecte situat en un punt forçarà la creació d’un domini en aquellpunt.

Pels materials magnètics macroscòpics, l’amplada mitjana d’un domini és molt més gran que l’am-plada mitjana de la paret entre dominis. Mentre que l’estructura dels dominis ve determinada perla geometria del cos i per la seva història magnètica, les parets de domini depenen de l’energia d’in-tercanvi i d’anisotropia del material.

Per veure això, considerem una paret de domini que separa dos dominis infinits amb la magne-tització en la mateixa direcció però en sentits oposats. Això implica que haurà de fer un canvide 180; és a dir, agafant els eixos com es mostra a la Figura 3.9: M(y → −∞) = (0, 0,M0) iM(y →∞) = (0, 0,−M0).

L’energia magnetostàtica associada a la paret de domini a camp aplicat ~H0 = 0 és:

Ems = µ0

∫d3r

−1

2~M · ~Hd[ ~M(~r)]

I l’energia de la paret de domini és:

Edw = µ0

∫d3r

12α

∂ ~M∂ri· ∂

~M∂ri

− 12βMz

2 + 12βM0

2

117

Figura 3.9: Representació del canvi de sentit que experimenta la magnetització al llarg de la paret dedomini.

Es pot demostrar que Ems = 0 en el cas d’una paret com la que estem considerant en un ferromagnetuniaxial. Per tant, és l’energia de la paret, Edw, el que hem de minimitzar.

Triant:

Mx(y) =M0 sin[θ(y)] My = 0 Mz(y) =M0 cos[θ(y)]

, obtenim que l’expressió de l’energia per unitat d’àrea de la paret de domini és:

σdw ≡EdwA

= 12µ0M02

∫ ∞−∞

dy

α(dθdy

)2

+ β sin2 θ

La minimització de l’expressió anterior ens porta a la següent equació diferencial:

αd2θ

d2y= β sin(θ) cos(θ)

Que té per solució:

θ = ±2 tan−1[exp

(y

δ

)]

δ =√α

β

Com es pot veure, doncs, l’amplada de la paret de domini depèn de les constants d’intercani i d’ani-sotropia. La Figura 3.10 representa com gira la magnetització al llarg de la paret, i ho pot fer tantgirant en el pla ZY (entorn de l’eix x) com en el pla ZX (entorn de l’eix y).

L’ordre de magnitud de l’amplada de la paret de domini δ comprèn un rang que abarca des de poquesdistàncies interatòmiques (≈ Å) fins a centenars de nanòmetres.

118

Figura 3.10: Comportament de θ en funció de (y/δ).

Anomenem paret de Bloch una regió de transició estreta a la frontera entre dominis magnètics, alllarg de la qual la magnetització canvia des del valor que té en un domini fins al que té a l’altre.S’anomena així en record del físic Felix Bloch. En el cas d’una paret de Bloch la magnetització rotaen el pla de la paret a diferència del cas d’una paret de Néel, en la qual la rotació es fa en la direccióperpendicular a la del domini. S’anomena així en record al físic Louis Néel.Considerem, ara, un exemple d’un ferromagnet amb geometria plana i amb anisotropia en l’eixperpendicular al pla. Els dominis se situaran amb la magnetització en la direcció del camp com esveu en la Figura 3.11.

Figura 3.11: Dominis magnètics en un ferromagnet amb geometria plana.

Fent un estudi de la dependència de l’amplada del domini d amb el gruix h del material, s’obté:

Etot = Edw + Ems(2A) = 2Aµ0M02[β

(hδ

d

)+ 7ζ(3)

π2 d

]

d =[π2β

7ζ(3)

]1/2

(δh)1/2 ≈ 1.08√βδh

, on A és la superfície del pla i ζ(3) és la funció zeta de Riemann. L’amplada de la paret de dominipot anar des de 50 nm fins a 1 mm.

119

14/IV/15

3.5 Materials magnètics i aplicacions relacionades amb el magnetisme3.5.1 Imants permanents i aplicacions

A la Figura 3.12 es presenta un cicle d’histèresi per a un material magnètic dur. Podem identificarel camp coercitiu (Hc) en els punts on B = 0, així com la magnetització romanent als punts ambH = 0 (dividida per µ0 ja que ~B = µ0( ~H + ~M)).

Figura 3.12: Cicle d’histèresi per a un material magnètic dur.

El cicle es produeix perquè el material té impureses que ancoren les parets de domini. Per a tractartecnològicament el material hi ha dues coses que s’han de saber fer: en primer lloc cal saber con-trolar com ancorar parets de domini, i en segon lloc conèixer l’intercanvi (fortament relacionat ambla temperatura de Curie) i l’anisotropia que presenta el material. Així, el camp coercitiu que a lateoria vindria determinat per l’anisotropia, tindrà una forta dependència amb les impureses i defectes.

L’àrea interior del cicle d’histèresi representa l’energia que s’utilitza per a recórrer el cicle d’histèresidel material; l’energia emmagatzemada un cop està magnetitzat el material. En el cas de que el queens interessi sigui un imant permanent caldrà que aquesta àrea sigui el major possible, és a dir, un

120

alt valor de Hc. Per contra, si el que ens interessa és utilitzar el material en un transformador, calrecórrer el cicle molt ràpidament i moltes vegades per segon, per tant ens interessarà un cicle d’àreapetita per a poder-lo recórrer amb el mínim cost energètic (econòmic) i la màxima velocitat.A la Figura 3.13 veiem una taula amb els noms de materials bons per a fabricar imants permanents.Els de tipus Alnico (fets amb alumini, níquel i cobalt) són els que primer es van fer servir. Peròles ferrites (fetes a partir d’Òxid de Ferro III) són les més emprades avui en dia perquè són les méseconòmiques. Els millors (els que duren més), com es pot veure a la taula, són els fets amb samari icobalt (Hc = 696 kA/m) o els de neodimi, ferro i bor (Hc = 1120 kA/m), que acumulen 320 kJ/m3.La romanència es veu que és molt semblant per a tots els casos, aproximadament d’1 T.

En les Figures 3.14, 3.15 i 3.16 presentem l’evolució dels materials magnètics amb el temps,la distri-bució del mercat en torn aquests materials i les aplicacions més rellevants.

Figura 3.13: Exemples de materials magnèticament durs.

121

Figura 3.14: Evolució amb els anys de l’energia emmagatzemada pels imants permanents fabricats.

(a) (b)

(c)

Figura 3.15: (a) Distribució del mercat d’imants permanents. Es veu com, tot i que són els millors, elsimants de terres rares (RE; neodimi, samari) i les ferrites són els més usats. Els imants de nevera sónfabricats de ferrita. (b) Distribució del tipus d’aplicacions dels imants de terres rares. Les aplicacionsmarcades amb l’etiqueta ”control de haces” es refereix a imants permanents utilitzats en instal·lacions ambciclotrons. (c) Distribució mundial de la producció d’imants de terres rares.

122

Figura 3.16: Més aplicacions dels imants permanents

3.5.2 Materials magnètics tous i les seves aplicacions

A la Figura 3.17 veiem un cicle d’histèresi d’un material magnèticament tou. Com havíem dit, sivolem utilitzar aquest material per a canviar molt ràpidament el signe de la magnetització, aquesttipus de material serà l’òptim. El material magnèticament tou ideal té camp coercitiu nul, però a larealitat sempre tindrà un valor no-nul.

Figura 3.17: Cicle d’histèresi per a un material magnètic tou. Pel cas ideal Hc = 0.

A la Figura 3.18 i 3.19 es presenten en dues taules els materials més utilitzats com a imants magnèticstous.Els materials magnèticament tous es fan mitjançant el següent procés de fabricació: es fonen i cauensobre una roda freda de manera que s’aconsegueix una cinta de material. Degut a aquest ràpid refre-dament s’obté un material amorf; el material no té temps a ordenar-se en una estructura cristal·lina.

El pendent de la corba de primera imantació està relacionat amb la permeabilitat del material i siés molt alt, el material serà bo per a apantallar un camp magnètic.

123

Figura 3.18: Exemples de materials magnètics tous.

Figura 3.19: Més exemples de materials magnètics tous. S’observa que estan composts fonamentalmentper Fe i Si.

A la Figura 3.20 podem veure l’evolució amb els anys dels materials tous. Depenent de la freqüènciade treball del camp electromagnètic que vulguem apantallar haurem de canviar el material.

124

Figura 3.20: Evolució amb els anys de l’energia magnètica emmagatzemada pels materials tous.

Al voltant dels kHz, els materials idonis són les aleacions metàl·liques del ferro, mentre que per afreqüències majors les hexaferrites anomenades ”toves” responen millor (veure Figura 3.21).

Figura 3.21: Freqüències de treball dels materials.

Tenint en compte que els mòbils funcionen a una freqüència de l’ordre de 1 GHz encara tenim margeper pujar la freqüència. Però no es pot treballar amb freqüències majors que 50 GHz perquè les onessón absorbides per les capes altes de l’atmosfera en aquest rang, tot i així, sí que es podrien emprara l’espai per a la comunicació de satèl·lits.

3.5.3 Efecte magnetocalòric i refrigeració magnètica

L’efecte magnetocalòric és un fenomen magneto-tèrmic en el qual un material experimenta un canvide temperatura causat per la seva exposició a un camp magnètic variable amb el temps. Aquestfenomen també s’anomena desmagnetització adiabàtica en el camp de la física de sistemes a baixatemperatura.

Mentre es produeix la refrigeració del material, una disminució de la intensitat del camp magnètic ex-tern aplicat permet que els dominis magnètics de determinats materials (materials magnetocalòrics)

125

es desorientin del camp magnètic a causa de l’agitació tèrmica present al material. Si el sistema estàaïllat (procés adiabàtic) de manera que el material no reb cap aportament energètic, la temperaturadecau a mesura que el domini magnètic va absorbint energia per reorientar-se.

Aquest procés de desorientació ocórrer de manera semblant al que li passa a un material ferromagnèticquan supera la temperatura de Curie, però en aquest cas els dipols magnètics han de vèncer un campmagnètic decreixent mentre l’energia es manté constant.

Figura 3.22: Efecte magnetocalòric.

Al voltant de la temperatura de Curie hi ha un canvi entròpic dels materials que es podria emprarper refredar. Cada material té una temperatura de Curie concreta, i per tant, per a cobrir un rang detemperatures més o menys ampli s’hauria d’anar canviant de material (Figures 3.23, 3.24 i 3.25.b).

Figura 3.23: Canvi entròpic.

126

(a) Canvi entròpic al voltant de la temperatura de Curie (b) El Mn12 entorn Tb presenta un canvi entròpic de27’5 J/Kg K.

Figura 3.24: Exemples de canvis entròpics.

Com ja vam veure al capítol 1, si canviem la freqüència de treball, el màxim del canvi entròpices mou; així es pot aconseguir un major rang de temperatures útils sense necessitat de canviar dematerial (Figura 3.25.a).

(a) (b)

Figura 3.25: (a) Moviment del màxim del canvi entròpic quan movem la freqüència de treball. (b)Moviment del canvi entròpic per canvis successius del material de treball. Com es veu a la gràfica, elGadolini presenta el canvi entròpic a temperatura ambient.

127

(a) (b)

Figura 3.26: (a) Exemples de materials refrigerants. (b) Aplicació de materials magnetocalòrics: neveramagnètica (baixa la temperatura de l’ordre de 3K respecte la temperatura ambient).

16/IV/15

3.6 Dinàmica del magnetismeFins ara el que hem fet és explicar de forma qualitativa quin és el moviment dels espins en el cas queapliquéssim un camp magnètic en una direcció o altre segons les diferents contribucions de l’energia.L’objectiu d’aquest apartat és veure de forma més analítica com canvia la magnetització d’un mate-rial amb el temps, és a dir, la dinàmica del magnetisme. 12

L’operador de la magnetització es pot escriure com:

M(r) = γ∑n

~~snδ(~r − ~rn)

, on el sumatori recórre tots els espins. Per passar a la magnetització clàssica fem la mitjana del’operador quàntic de la magnetització:

M = 〈 ˙M〉, on el punt sobre de les magnituts significa derivada respecte el temps. Sabem que l’operador quànticde la magnetització no commuta amb l’hamiltonià del nostre sistema i en resultat:

i~ ˙M = [M,H]De manera que l’equació dinàmica pel vector magnetització clàssic és:

∂ ~M(~r, t)∂t

= i

~〈[H,M]〉

Desenvolupant aquesta equació s’arriba a l’equació de Landau-Lifshitz que ens determina ladinàmica de la magnetització:

12Les magnituts que siguin operadors els escriurem amb el barret (per no donar lloc a confusió els vectors unitarissón escrits amb la lletra e i el barret).

128

∂ ~M(r, t)∂t

= γ ~M(r, t)× ~Beff (r) (3.10)

, on ~Beff = − ∂E∂ ~M

. Aquest camp magnètic efectiu considera totes les energies que podem tenir alnostre sistema; anisotropia, intercanvi, dipolar i Zeeman.

Per un sol espín tindrem un moment magnètic ~µ = −gµb~S, de manera que la variació del seu momentd’espín pren la forma:

d~S

dt∝ ~S × ~H

Així, veiem que la variació de l’espín amb el temps serà zero quan el camp magnètic aplicat siguiparal·lel a ell, com era d’esperar. Si ara apliquem el camp H en la direcció z trobem que:

~S × ~H =

∣∣∣∣∣∣∣x y zsx sy sz0 0 H0

∣∣∣∣∣∣∣ = H0syx− sxH0y

, la qual cosa ens porta a les següents equacions diferencials acoblades:

dsxdt∝ H0sy

dsydt∝ −H0sx

Aquestes equacions corresponen a l’oscil·lador harmònic tant per la direcció en l’eix x com en l’eixy de manera que el que està passant és que l’espín està precessionat al voltant de l’eix z amb unafreqüència que depèn del camp magnètic aplicat. Aquest efecte és la base de funcionament de lesressonàncies magnètiques i també s’utilitza per a la caracterització magnètica de materials.

Figura 3.27: Esquema de la precessió de l’espín al voltant del camp magnètic aplicat.

129

Ara anem a veure les contribucions del camp magnètic efectiu al moviment de l’espín. De formageneral, per a un material amb anisotropia uniaxial podem escriure:

~Heff ∝ ~H0 + ~Hd + ∆ ~M− 2KMz

El primer terme correspon a l’efecte Zeeman i la seva contribució al moviment de l’espín és el jacomentat. El segon terme correspon al camp dipolar. Aquesta contribució intenta variar les fre-qüències entre espins a llargues distàncies, depèn del punt on estem avaluant aquest camp (és local),cosa que la converteix en complexa de tractar, i sovint se l’aproxima a constant degut a la seva pocavariació. La tercera contribució és deguda a l’energia d’intercanvi. Aquesta causa les ones d’espín demanera que acobla els espins pròxims per tal de que precessionin a la mateixa freqüència. L’últimterme és degut a la part d’anisotropia i el seu efecte és una distorsió de les òrbites de precessió delsespins de tal forma que no són periòdiques. És molt important ja que trenca la linealitat de l’equació.

De forma més rigorosa, l’energia total per a un material magnètic es pot escriure com:

Etot = µ0

∫d3r

[12αij

(∂ ~M∂ri

∂ ~M∂rj

)− 1

2βijMiMj −12~M ~Hd − ~M ~H0

], d’on podem treure que el camp magnètic efectiu pren la forma:

~Heff = H0ez −Mz ez + D

|γ|µ0Ms~52 ~M

, on hem negligit la contribució dipolar. En aquest cas, l’equació de Landau-Lifshitz s’escriurà de lamanera següent:

∂ ~m

∂t= −(h−mz)~m× ez − ~m×52 ~m

, on ~m =~MMs

, h =~H0

Ms

i mz = Mz

Ms

. Si definim la magnetització al pla com m = mx + imy i tenint

en compte que podem escriure que mz =√

1− |m|2 ∝ 1 + |m|2 ens acaba quedant:

i∂ ~m

∂t= (ω0 +N |m|2)~m−D52 ~m (3.11)

, on la part amb la laplaciana és el terme dissipatiu de l’equació i el terme no-lineal (|m|2) prové del’anisotropia del material.

L’equació de Landau-Lifshitz és conservativa però a la realitat els espins dels sistemes magnèticsno precessionen indefinidament, sinó que es frenen, de manera que s’ha de tenir en compte algunefecte de ”fregament”. Per tal de considerar-ho el que es fa és afegir al camp magnètic efectiu unterme proporcional a ~M× ( ~M× ~H) . A més a més, si també es vol tenir en compte l’efecte de latemperatura el què es fa és afegir al camp magnètic efectiu un camp magnètic aleatori per podertractar-ho analíticament.

17/IV/15

130

3.7 Mesurar la magnetitzacióA continuació presentem les tècniques més utilitzades per carateritzar mostres magnètiques. Distin-gim entre dos grups de tècniques:

• Tècniques de mesura directa: Mesurem la magnetització absoluta d’una mostra. Estudi-arem dos instruments, el magnetòmetre d’ SQUID (SuperConducting Quantum InterferenceDevices) i el VSM (Vibrating Sample Magnetometer)

• Tècniques de mesura indirecta: No mesuren deirectament la magnetització, però sónmolt útils per a caracteritzar materials magnètics. Estudiarem el MFM (Magnetic ForceMicroscopy), el MOKE (Magneto Optic Kerr Effect), la tècnica de microscopia en RaigsX i veurem de forma general el fonament de les tècniques de Ressonància Ferromagnètica.

3.7.1 SQUID magnetometer

El magnetòmetre SQUID està compost per una sèrie de 4 espires muntades paral·lelament, a travésde les quals es fa moure la mostra magnètica per tal de que la variació de flux magnètic indueixiun corrent. Aquestes 4 bobines estan connectades entre elles i al final trobem una junció Josephson(veure Figura 3.28).

(a) Esquema de les 4 bobines en paral·lel del’SQUID.

(b) Junció Josephson que tro-bem en el magnetòmetre d’S-QUID.

Figura 3.28: Elements en un SQUID.

Aquesta junció està formada per dos superconductors units entre ells amb un altre material que noho és, tot formant una espira. Aquest element crea una barrera per la superconductivitat. Cada partsuperconductora té associada una funció d’ona de manera que la barrera ocasiona un efecte túnelde superconductivitat. Aquesta funció d’ona resultant té una fase que depèn de la intensitat quecircula per aquesta junció de la qual es pot determinar la magnetització del material a avaluar. Comque s’utilitzen materials superconductors és necessària baixa temperatura i, per tant, un sistema derefrigeració amb Heli líquid. Amb l’SQUID podem obtenir la magnetització de mostres magnètiquesamb una alta precisió. A més, ens permet caracteritzar la mostra amb les corbes Field Cooled (FC)i Zero Field Cooled (ZFC), i analitzar com varia la magnetització amb la temperatura.

131

3.7.2 VSM magnetometer

Aquest magnetòmetre es basa en la vibració de la mostra en l’eix z per tal d’induir corrents. Lanostra mostra està envoltada per un electroimant que genera un camp magnètic constant de maneraque quan la mostra vibra, fa variar el flux de camp magnètic que passa a través d’unes bobines (veureFigura 3.29). Aquest corrent generat conté molt soroll ja que a part de tenir la contribució degudaa la freqüència de vibració de la mostra també apareixeran altres freqüències. Per evitar-ho el quees fa és aplicar el senyal a un lock-in (amplificador síncron). Aquest dispositiu, sabent la freqüènciaa la qual vibra la mostra, és capaç d’extreure el senyal elèctric produït per la vibració d’entre tot elsoroll, àdhuc si l’amplitud del soroll supera l’amplitud del senyal. Per tant, al final només tenim laintensitat que nosaltres hem induït i podem trobar el valor de la magnetització absoluta.

Figura 3.29: Esquema d’un VSM. Les ”Pickup Coils” són les bobines on s’indueix el corrent.

La ressolució d’aquesta tècnica és més o menys la mateixa que la de l’SQUID però, com a avantatge,no és necessari un sistema de refrigeració amb Heli. A més a més, es poden aplicar camps magnèticsforts sense fer variar la intensitat induïda sempre que siguin constants.

3.7.3 Magnetic Force Microsocopy (MFM)

Donat que el MFM està fortament lligat al funcionament de l’AFM (Atomic Force Microscope),farem una explicació bàsica del funcionament d’aquest.

AFM. Principi de funcionament i elements bàsics L’ Atomic Force Microscope és un ins-trument de mesura amb resolució espacial nanomètrica i, fins i tot, subnanomètrica. No es tractad’un microcopi òptic, no utilitza la llum per veure la superfície d’una mostra, si no que es basa en ladetecció de forces d’interacció electrostàtiques a escala atòmica (ordre del nanonewton).

Aquestes forces d’interacció tenen lloc entre la superfície de la mostra i un sonda. Aquesta estàcomposada per dos elements que són imprescindibles en un AFM: el cantilever i la punta o tip(Figura 3.30a y 3.30b ).

132

(a) Esquema d’unca sondad’AFM

(b) Imatge real d’unca sondad’AFM

(c) Esquema senzill del sistemade mesura de la flexió del cantile-ver.

Figura 3.30: Tres dels elements indispensables en un AFM.

La punta de la sonda recorre la mostra, i en funció de la topografia de la mateixa es produeix unaflexió del cantilever. Variant la geometria i el material amb el qual construïm el cantilever podemaconseguir més sensibilitat a la interacció punta-mostra. Per tant, és imprescindible ésser capaç demesurar la flexió amb una alta precisió per obtenir la topografia (o altres propietats) de la mostra.

Així doncs, el tercer element indispensable en un AFM és el sistema que permet mesurar la flexió,traduint la mesura en un senyal elèctric. Per fer-ho s’utilitza un làser i un detector (típicamentuna matriu de fotodiodes). La llum làser ens permet concentrar amb un radi de spot molt reduït elfeix de llum, que es fa incidir sobre la cara del cantilever oposada a la punta (Figura 3.30.c). Ambel detector podem determinar quant es desplaça el feix de llum reflexat sobre el cantilever, segonsaquest es deformi en escombrar la mostra. Aquest sistema requereix una bona calibració, ja que ellàser ha d’incidir correctament sobre el cantilever y no sobre la mostra, d’altra manera es podriendonar reflexions i interferències que traurien precisió a la mesura dels fotodíodes.

Figura 3.31: Esquema dels elements bàsics que conté un AFM.

Finalment, s’ha de citar un quart element crucial en un microscopi de forces atòmiques, que ésl’escàner piezoelèctric. Aquest element ens determina, amb resolució de l’ordre dels Å, quina posició(x, y, z) de la mostra s’està mesurant, a partir de la deformació d’un material piezoelèctric amb

133

simetria cil·líndrica (piezoelectric tube). Aquesta mesura es combina amb la mesura en Z obtingudadel sistema làser-detector (la flexió del cantilever depèn fonamentalment de les variacions en Z de latopografia de la mostra), obtenint una resolució molt elevada en l’eix vertical (Figura 3.31). Aquestsistema permet, entre altres coses, controlar l’alçada entre la punta y la mostra, permetent treballaren diferents modes (deflexió constant, alçada constant, etc.) amb un mateix microscopi, en funciódel tipus de mostra.

AFM. Modes d’operació. Breument citem els diferents modes d’operació, que classificarem se-gons siguin de contacte (contacte punta-mostra) i de no contacte.

• Mode de contacte. En aquest mode es pot treballar tant amb la deflexió del cantileverconstant (força entre punta i mostra constant), com amb l’alçada de l’escàner constant. Aquestmode és altament invasiu, es causen desperfectes en la mostra per efecte de la fricció amb lapunta, tot i que s’assoleix una resolució més gran en la mesua.

• Mode de no contacte. En aquest mode la punta no es troba en contacte directe amb lamostra. Es fa oscil·lar el cantilever a la seva freqüència de ressonància, mantenint l’amplituddel moviment constant. En aquest mode no es fa malbé la mostra, no és una tècnica invasiva.A més, mentre que en el mode de contacte són les forces repulsives entre punta i mostra lesque predominen, en aquest mode són les forces de Van der Waals, més febles però de més llargabast, les que es mesuren principalment.

• Tapping mode. Per una altra part, hi ha un altre mode d’operació interessant: el tappingmode, que és una barreja dels modes de contacte i de no contacte. En aquest s’apropa la sondalo suficeint per a que en fer oscil·lar el cantilever la punta colpegi amb un ritme constant lasuperfície de la mostra. D’aquesta manera, s’aconsegueix una resolució major que en el modede no contacte, i la mostra no pateix tan fortament l’efecte de la fricció.

Limitacions en la resolució del AFM. A part de les limitacions associades a cada mode d’ope-ració, s’ha de tenir present que encara que les mesures amb AMF es realitzin en les tres direccionsxyz, la resolució és major en l’eix vertical z que la resolució en el pla xy. Això és així degut a quela punta, mentre escombra la mostra, sent constantment forces d’interacció laterals de zones de lamostra que no es troben directament sota la punta, cosa que distorsiona el perfil horitzontal (pla xy)obtingut. Aquesta resolució depèn fortament, també, de la geometria de la punta (veure Figura 3.32).

Microscopi MFM. Aquest intrument funciona de la mateixa manera que un microscopi de forçaatòmica (AFM) però amb una punta amb un recobriment de Níquel, Ferro o Cobalt, és a dir, mag-nètica. Els modes d’operació són els mateixos, ja que típicament hom té accés a un AFM, i noméscanvia la punta si mesura una mostra magnètica. Per obtenir només informació magnètica, no essolen utilitzar els modes de contacte, ja que les mesures dependrien fortament de la topografia; enels MFM és més usual emprar modes de no contacte.

Aquesta tècnica ens dóna valors de magnetització relativa ja que la distància amb la superfície dela mostra pot variar segons el relleu d’aquesta. S’utilitza habitualment per caracteritzar dominis i

134

Figura 3.32: Las puntas de AFM pueden presentar diferentes geometrías.

vòrtexs ja que l’adquisició d’imatges àmplies és lenta (la punta sol mesurar entre pocs i desenes denanòmetres). Se sol complementar amb una adquisició en AFM per tal de contrastar que la zonaque estem analitzant no té rugositats físiques però sí diferències en la magnetització.

3.7.4 Magneto Optic Kerr Effect (MOKE)

L’efecte Kerr és la dependència de la birrefringència d’un material amb el camp magnètic. D’aquestamanera, s’enfoca un làser sobre la mostra a caracteritzar i s’analitza la polarització i la intensitatde la llum reflexada. Segons els efectes produïts sobre aquesta llum es pot saber la magnetitzaciórelativa de la superfície material.

Figura 3.33: Esquema d’un MOKE.

L’avantatge d’aquest instrument de mesura és que el seu muntatge és molt econòmic tot i que és lentsi es vol adquirir una imatge supericial extensa.

135

3.7.5 Caracterització per Raigs X

Aquesta tècnica envia radiació sincrotró (Figura 3.34) a un material tot detectant la radiació trans-mesa.

Figura 3.34: Esquema d’un sincrotró.

Llavors, el que es fa és variar l’energia dels fotons incidents fins que veiem que el coeficient d’absorcióaugmenta molt. Els valors de l’energia on el coeficient d’absorció augmenta corresponen a transicionsd’electrons en diferents nivells. Degut a que per cada material magnètic està molt ben determinatel valor de l’energia en què es produeix l’absorció i com es produeix aquesta, podem trobar quinselements magnètics es troben en una mostra. Aquests els identificarem si l’espectre d’absorció canviaquan canviem la polarització circular levògira a dextrògira de la radiació incident (veure Figura 3.35).A més, segons el valor del coeficient d’absorció podrem saber el valor de la magnetització del materialcorresponent.

Figura 3.35: Caracterització de mostres amb radiació de sincrotró.

20/IV/15La resolució espacial d’aquesta tècnica és de l’ordre de ≈ 10 nm, de manera que si tractem la radiaciófocalitzant-la en la mostra podem obtenir imatges d’alta resolució.

Un altre factor d’aquesta tècnica és el temps característic de la radiació de sincrotró. Els electronsaccelerats s’envien al canó del sincrotró en polsos de pocs picosegons, de manera que una dificultatper emprar la radiació de sincrotró és la sincronitazió entre la radiació i allò que es vol mesurar. Peruna altra banda, és fàcil treballar a una freqüència de desenes de GHz, que és un temps característicdel magnetisme, de manera que hi ha molt d’interès en emprar la radiació de sincrotró per a la

136

caracterització de mostres magnètiques.

Trobem tres inconvenients en el moment d’emprar aquesta tècnica. El primer és econòmic, un sin-crotró és molt car, cal posar a punt una obra d’enginyeria i tota una construcció només per conseguiraccelerar els electrons a les velocitats adequades. El segon, que està lligat al primer, és un incon-venient de disponibilitat. Del sincrotró surten unes línies, de les quals s’obté la radiació per fer elsexperiments. Típicament, quan hom construeix un sincrotró, és capaç d’extreure’n 12, 15, o finsa 20 línies. L’interès en emprar aquests laboratoris, aquestes línies, no és exclusiu dels grups queinvestiguen magnetisme, altres camps de la física, biologia, químia o enginyeria de materials volenfer ús dels avantatges de la radiació de sincrotró. Per tant, l’accés és difícil, i quan s’obté, és perpoques hores, factor que fa que aquesta tècnica no estigui tan estesa. Per últim, com estem emprantradiació de raig X de baixa energia (soft X-ray), cal que les mostres no tinguin un gruix superior als100 nm, i han d’estar dipositades sobre un suport transparent. Això afegeix una complicació en lapreparació de les mostres que es volen analitzar.

Aquests inconvenients es veuen superats degut a la alta sensibilitat i resolució de les tècniques queempren la radiació de sincrotró.

3.7.6 Aspectes generals de tècniques de ressonància

La base d’aquestes tècniques és aplicar un camp magnètic altern, d’amplitud petita, tot mesurantl’energia absorbida per la nostra mostra magnètica. Com tot fenomen de ressonància, hi haurà unafreqüència determinada del camp altern aplicat per la qual l’absorció de l’energia presenta un picmolt pronunciat, és a dir, l’absorció és màxima (veure Figura 3.36).

Figura 3.36: Espectre d’absorció d’una mostra magnètica. Per una certa freqüència, l’absorció d’energiaés màxima.

Com ja hem vist de la dinàmica del magnetisme, l’equació de Landau-Lifshitz ens descriu el movi-ment d’un moment magnètic quan apliquem un camp efectiu. Aquest moment oscil·lant té associatuna freqüència pròpia, i és quan aquesta coincideix amb la del camp aplicat que es produeix el fenò-men de ressonància. Com veurem més endavant, aquesta freqüència depèn de la intensitat del campmagnètic, així com de la geometria de la mostra i de la seva anisotropia.

137

Per tant, aquests fenòmens ressonants ens permeten determinar amb molta precisió els factors deforma d’una mostra i les anisotropies presents, entre d’altres propietats.

21/IV/15

3.8 Ressonància FerromagnèticaRecordem que estem fent dinàmica del continu, tractem la dinàmica del magnetisme de cossos de100, 200 o 300 nm. En aquest context, és l’equació de Landau-Lifshitz (3.10) la que descriu aquestadinàmica, i d’aquí partirem per trobar la freqüència pròpia d’oscil·lació dels espins. Realitzarem elscàlculs per dos casos, l’esfera i el pla, sense considerar en cap moment el terme dissipatiu en l’equacióde Landau-Lifshitz, és a dir, el terme degut a l’energia d’intercanvi.

3.8.1 Freqüència de ressonància d’una esfera

Comencem pel cas més senzill, una esfera, i suposarem que:

• No tenim anisotropia.

• No considerem l’intercanvi.

• Nxx = Nyy = Nzz = 13 ⇒ Hd = −1

3 (Mx,My,Mz).

Per tant, el camp effectiu sobre l’esfera, ~Heff , prendrà la forma:

~Heff =(−1

3Mx,−13My, H0 −

13Mz

), on, per simplicitat, hem considerat que el camp extern aplicat és ~H0 = H0ez. Passem a calcularel producte vectorial ~M× ~Heff de l’equació de Landau-Lifshitz. Per fer-ho suposem que l’amplitudde l’oscil·lació dels espins és molt petita, de manera queMz ≈ M0, essentM0 el mòdul del vectormagnetització ~M (Figura 3.37). Segons aquesta consideració, ~M = (mx,my,M0 +mz), on els mi

són termes pertorbatius, molt més petits queM0, de manera que es compleixMz ≈M0.

Figura 3.37: L’amplitud d’oscil·lació dels espins és molt petita.

138

Així doncs, ja podem calcular el producte vectorial entre ~M i ~Heff .

∂ ~M∂t

= γ ~M× ~Heff

= γ

∣∣∣∣∣∣∣ı kmx my M0 +mz

−13Mx −1

3My H0 − 13Mz

∣∣∣∣∣∣∣= γ

[my

(H0 −

13Mz

)ı− (M0 +mz)

13Mx−mz

13Myk

]−γ

[−my

13Mxk +mx

(H0 −

13Mz

)− 1

3My (M0 +mz) ı]

(3.12)

Agrupant el resultat de (3.12) en components s’obtenen les següents equacions:

∂Mx

∂t= γ

[my

(H0 −

13Mz

)+ 1

3My (M0 +mz)]

∂My

∂t= γ

[− (M0 +mz)

13Mx −mx

(H0 −

13Mz

)]∂Mz

∂t= γ

[−mz

13My +my

13Mx

](3.13)

SiMx = mx,My = my iMz =M0 +mz les equacions de (3.13) queden com

mx = γ[my

(H0 −

13 (M0 +mz)

)+ 1

3my (M0 +mz)]

= γ[myH0 −

13my (M0 +mz) + 1

3my (M0 +mz)]

= γmyH0

my = γ[− (M0 +mz)

13mx −mx

(H0 −

13 (M0 +mz)

)]= −γmxH0

mz = γ[−mz

13my +my

13mx

]= 0 (3.14)

Fixem-nos en les equacions que hem obtingut. Si derivem la primera de les equacions de (3.14)respecte del temps,

mx = γmyH0

i hi substituïm la segona de les equacions de (3.14), obtenim:

mx = − (γH0)2mx (3.15)

139

Realitzant el mateix procediment per la segona de les equacions de (3.14), obtenim:

my = − (γH0)2my (3.16)Resulta doncs, que les equacions (3.15) i (3.16) descriuen un moviment harmònic simple, de freqüènciaω = γH0. És a dir, la freqüència pròpia dels espins en una esfera sota un camp ~H0 = H0~z ésproporcional a aquest camp aplicat, essent la constant de proporcionalitat γ (veure Figura 3.38).

Figura 3.38: En una esfera, la freqüència és proporcional al camp magnètic aplicat.

Per a camps magnètics petits, de l’ordre dels pocs mT, la freqüència pròpia (que no és altra cosaque la freqüència de ressonància) es troba al voltant del GHz; el que explica l’aplicació de materialsmagnètics en dispositius de telefonia mòbil, ja que és l’ordre de freqüència en què operen.

3.8.2 Freqüència de ressonància d’un material pla

Estudiarem dos casos, amb camp magnètic aplicat en la direcció perpendicular al pla, i amb campmagnètic aplicat en una direcció continguda en el pla (Figura 3.3). Realitzarem les mateixes consi-deracions que en el cas de l’esfera però canviant el valor dels factor desmagnetitzants, que per a unpla valen:

Nxx = Nyy = 0 Nzz = 1De manera que el camp dipolar és Hd = −Mz

Camp magnètic aplicat en la direcció perpendicular al pla. Tenim doncs, com en el cas del’esfera, amplituds d’oscil·lació molt petites, de manera que la magnetització és ~M = (mx,my,M0 +mz)i el camp magnètic efectiu s’escriu com ~Heff = (0, 0, H0 − (M0 +mz)). Realitzant el producte vec-torial com en el cas de l’esfera, hom arriba fàcilment (cal negligir mz en front deM0) a les següentsexpressions per mx, my i mz:

mx = γ (H0 −M0)my

my = −γ (H0 −M0)mx

mz = 0

De nou, les equacions ens descriuen un moviment harmònic simple, en el pla xy, de freqüènciaω = γ (H0 −M0). En la Figura 3.39 representem aquesta dependència lineal de la freqüència amb

140

el camp aplicat. Degut al terme H0−M0, de la representació gràfica obtenim una recta de pendentγ (com en el cas de l’esfera) però desplaçada una quantitatM0 de l’origen. Per tant, si apliquem uncamp magnètic a un cos amb aquesta simetria, no veurem ressonància fins que H0 = M0, és a dir,fins que tots els espins estiguin orientats en la direcció del camp ~H0. M0 no és altra cosa, doncs,que la magnetització de saturació (o el camp de saturació). De fet, una manera de mesurar laMS

d’un material és aplicant un camp altern i observar a partir de quina intensitat H0 d’aquest campsorgeixen fenòmens de ressonància.

Figura 3.39: En blau, la dependència de la freqüència d’oscil·lació en el cas de l’esfera. En verd, ladependència en el cas d’un pla, amb el camp magètic aplicat en la direcció perpendicular a aquest.

Camp magnètic aplicat en una direcció continguda en el pla. En aquest cas, consideremun camp magnètic aplicat en la direcció z i un pla el vector normal del qual es troba en la direccióx (Figura 3.40).

Figura 3.40: Posició del pla, amb el seu vector normal en l’eix x.

En aquest cas Nxx = 1 i Nyy = Nzz = 0, de manera que la magnetització i el camp efectiu prenen laforma:

~M = (mx,my,M0 +mz) ~Heff = (−mx, 0, H0)

Fem el producte vectorial ~M× ~Heff :

141

∣∣∣∣∣∣∣ı kmx my M0 +mz

−mx 0 H0

∣∣∣∣∣∣∣ = myH0ı−mx (M0 +mz) +mxmyk −mxH0

Si separem per components trobem:

mx = γmyH0

my = γ (−mxM0 +mxmz −mxH0)= −γ (M0 +H0)mx

mz = 0 (3.17)

, on hem negligit els termes de segon ordre mimj. En aquest cas les equacions també descriuen unaoscil·lació, tot i que la freqüència no és proporcional al camp aplicat. Si derivem la primera de lesequacion de (3.17) i hi substituim la segona trobem que ω = γ

√H0 (H0 +M0); la dependència de ω

amb H0 és segons una arrel quadrada (Figura 3.41).

Figura 3.41: En blau, la dependència de ω amb H0 per al cas de l’esfera, en verd per al cas del pla ambcamp magnètic aplicat perpendicular al pla i en vermell per al cas del camp magnètic aplicat en una direcciócontinguda en el pla.

27/IV/15

3.9 Ones d’espínLes ones d’espín, com ja vam veure al tema 2 a través dels operadors de Bose, són oscil·lacions delsmoments magnètics dels espins. Fins ara havíem vist com aquests moments magnètic oscil·laven ambla mateixa freqüència i en fase. Això passava degut a que no consideràvem el terme d’intercanvi al’equació de Landau-Lifshitz. Si l’introduïm, es produeix un defasament entre les oscil·lacions delsespins, mentre que es manté la mateixa freqüència. Així doncs, anem a veure com apareixen.

142

La magnetització en presència d’un camp magnètic la podem escriure com la suma d’un termeconstant més una pertorbació:

~M(r, t) = ~M0 + ~m(r, t)

, sempre suposant que la pertorbació ~m és molt més petita que el terme constant ~M0. Negligim elterme dipolar perquè és molt petit i a més el seu càlcul és molt complicat, de manera que el campmagnètic efectiu pren la forma:

~Heff = ~H0 + βij( ~M0 + ~m) + αij∂ ~mi∂ ~mj

, on podem separar la part que és constant i la que és variable amb el temps segons:

~Heff(0) = ~H0 + β ~M0

δ ~Heff = β ~m+ α∆~m

, on hem suposat magnetització i anisotropia isòtropa. Si ara apliquem l’equació de Landau-Lifshitztindrem que:

∂ ~M∂t

= ∂ ~m

∂t= γ

[(~M0 × ~Heff(0)

)+(~M0 × δ ~Heff(0)

)+(~m× ~Heff(0)

)+(~m× δ ~Heff(0)

)](3.18)

, on el primer terme és negligible perquè el vector magnetització i el camp efectiu aplicat són pràc-ticament paral·lels i el quart terme també és negligible degut a que si es fa el producte vectorialobtenim termes de 2n ordre en ~m. Llavors, podem escriure els termes restants com:

γ(~M0 + δ ~Heff

)= γ

[~M0 ×

(α∆~m+ β ~m

)]

γ(~m× ~Heff(0)

)= −γ

[~M0 ×

~M0 · ~Heff(0)

M02

~m]

, la qual cosa ens porta a l’expressió següent per l’equació de Landau-Lifshitz:

m = γ ~M0 ×[α∆~m+ β ~m−

~M0 · ~Heff(0)

M02

~m]

(3.19)

Donat que busquem solucions d’aquesta equació que ens descriguin les ones d’espín, assajem unasolució que contingui tant la dependència temporal com espacial. Per conveniència, treballarem enl’espai dels moments, de manera que la solució assajada és:

~m(r, t) =∫ d3qdω

(2π)4 ~m(~q, ω) expi(~q·~r−wt) (3.20)

, que no és altra cosa que la transformada de Fourier de ~m(r, t). Substituïm (3.20) en (3.19):

143

−iω~m(~q, ω) = γ[~M0 ×

(− αijqiqj + βij −

~M0 · ~H0

M20−

~M0βij ~M0

M02

)~m(~q, ω)

]= γ( ~M0 × A ~m(~q, ω))

Fent el producte vectorial d’aquesta expressió, considerant que la mangetització la tenim en la direccióz i separant les components, trobem el següent sistema de dues equacions:

−iωmx = −γmyM0A

−iωmy = γmxM0A

Per a que aquest sistema tingui solució diferent de la trivial, el seu determinant ha de ser 0, cosa queens porta a

−ω2 + γ2M20A

2 = 0

i, per tant,

ω = γM0A (3.21)

Pel cas més simple (negligint els paràmetres d’anisotropia i d’intercanvi) tenim:

ω = γM0

(αq2 + H0

M0

)I si considerem només anisotropia en l’eix z:

ω = γM0

(αq2 + H0

M0+ β

)En els dos casos podem observar que quan el vector d’ona ~q és 0 retrobem els resultats obtingutsanteriorment, quan no consideràvem el terme d’intercanvi (Figura 3.42).

144

Figura 3.42: Freqüències de ressonància en funció del vector d’ona de les ones d’espín. En blau la relaciócorresponent negligint components d’anisotropia i d’intercanvi. En vermell la relació corresponent tenint encompte una anisotropia en l’eix z.

24/IV/15

4 Superconductivitat

4.1 Introducció i revisió històricaFins ara, en aquest curs, hem estudiat fenòmens quàntics d’objectes petits, però existeixen objectesmacroscòpics que també es comporten de manera quàntica. Un exemple d’això és el cas de l’Helilíquid: si baixem la seva temperatura fins a 4K, és líquid. Això és degut a que l’oscil·lació quànticade les partícules (la incertesa en la posició) és major que la distància interatòmica. Un altre exemplede manifestació de la quàntica a escala macroscòpica és, com veurem, la superconductivitat. Elsobjectes quàntics es descriuen mitjançant la seva funció d’ona, de manera que farem el mateix perun material superconductor.

La primera vegada que trobem l’evidència històrica de la superconductivitat és al 1911 a la Universitatde Leiden per part de Heike Kamerlingh Onnes, qui aconseguí per primera vegada Heli líquid (latemperatura d’ebullició per a l’heli a pressió atmosfèrica és de 4,2 K). Després de veure aquestfenomen, Onnes va continuar la seva recerca i va dur a terme diverses investigacions amb metalls complatí i or, però va ser el mercuri el que li va permetre observar el fenomen de la superconductivitat. Vafer un experiment de mesura de la resistivitat d’aquest metall a mesura que baixava la temperaturaen el qual va observar que la resistivitat esdevenia pràcticament nul.la a la temperatura de 4,19 K.Va anomenar aquesta temperatura com temperatura crítica (TC) i després de diverses anàlisis vapublicar que ρ(Hg) = 0 per a T < TC , treball pel qual li fou concedit el Premi Nobel de Física l’any1913.

145

Figura 4.1: Representació gràfica de la resistivitat elèctrica per a un conductor (normal metal) i per a unsuperconductor.

Però les seves investigacions no van acabar aquí; va seguir fent experiments i va observar que tambéexisteix un corrent IC i un camp HC per sobre dels quals el material també deixa de ser supercon-ductor (1912). Es van trobar més exemples en què la resistivitat esdevenia zero i en un experimentamb unes bobines es va arribar a fer un càlcul del temps de vida mitjà del corrent induït en un su-perconductor (1924): per a que el corrent es redueixi a la meitat han de passar de l’ordre de 200.000anys.L’any 1933, Meissner i Ochsenfeld van descobrir que la superconductivitat presentava característi-ques del que van anomenar diamagnetisme perfecte: els materials superconductors repel.leixenel camp magnètic. Aquest no penetra a l’interior; s’extingeix en la superfície amb una longitud depenetració molt petita. Si tenim en compte que:

~B = µ0( ~H + ~M)

I posem la condició que ~B = 0 a l’interior, trobem:

0 = µ0( ~H + ~M) = µ0 ~H(1 + χ)

, i, per tant:

(1 + χ) = 0 → χ = −1

Així doncs, veiem que la susceptibilitat en els superconductors pren el valor màxim possible, essent6 ordres de magnitud superior al valor corresponent per a materials diamagnètics comuns.

Resumint, els materials superconductors no només presenten una resistivitat nul.la, a més tambécompleixen que ~B = 0 al seu interior.

146

Així, a partir d’aquest nou descobriment, molts cienfífics (dels quals molts europeus) es van sumara la recerca en aquest camp.Garter i Casimir van introduir a la superconductivitat la teoria dels fluids. Els germans London(Fritz i Heinz) van introduir el concepte de la longitud de penetració (λ) emprant la teoria electro-magnètica.L’any 1950, Ginzburg i Landau van dur a terme una descripció fenomenològica: va ser la primera”teoria macroscòpica” per a la superconductivitat, hi aplicava la teoria de transicions de fase deLandau. El mateix any, Frohlich va introduir un nou concepte d’interacció entre electrons. Fins almoment s’havia considerat que era una interacció coulombiana (dos electrons interaccionen sentintforces repulsives), en la qual l’intercanvi d’energia es realitza mitjançant l’intercanvi de fotons (en elbuit). Frohlich proposà un model d’interacció entre electrons dins el sòlid on l’intercanvi era amb laparticipació de fonons. Això ho va fer fent un estudi d’isòtops diferents del mercuri i va observar quela temperatura crítica (transició conductor-superconductor) variava. Si varia d’un isòtop a l’altrevoldrà dir que el sòlid hi està implicat.

L’any 1957 Abrikosov va estudiar l’existència de diferents tipus de superconductors: superconductorsde tipus I i superconductors de tipus II. Els primers són aquells que presenten un sol camp crític,que sol ser petit (100-700 Oe), són d’aquest tipus la majoria dels superconductors metàl.lics i lesaleacions metàl.liques.Els superconductors de tipus II presenten dos camps crítics, HC1 i HC2 . La susceptibilitat és negativa(χ = −1) en el rang de H = 0 fins a HC1 ≈ 100 Oe essent en aquest rang el camp a l’interior delmaterial B = 0, però de HC1 a HC2 ≈ 10 T el camp a l’interior és B 6= 0. És a dir, que en aquestsegon tram, hi ha penetració del camp dins el material, tot i que la resistivitat continua sent nul.la(veure Figura 4.2).

(a) Superconductor de tipus I. (b) Superconductor de tipus II.

Figura 4.2: Tipus de superconductors. Realment la baixada dels superconductors tipus I no és abruptesinó amb un pendent negatiu gran degut al camp desmagnetitzant.

Com ja hem vist, la corba de la magnetització en funció del camp magnètic per a un conductor detipus I teòricament només presenta un camp crític (Figura 4.2.a). A la realitat, però, trobem unagràfica que s’assembla a la de la Figura 4.2.b essent el camp crític quan el material passsa a l’estatnormal de l’ordre d’HC . Això és causat pels camps desimantadors i no té res a veure amb els vòrtexs.El mateix any (1957), Bardeen, Cooper i Schrieffer (BCS) van presentar la primera teoria microscò-pica. Van explicar com un parell d’electrons s’atrauen, s’acoblen i formen una parella de Cooper

147

(Nobel de Física, 1972). Tots els parells de Cooper es mouen de forma coherent. Bugoliubov i Gorkovvan fer una nova derivació de l’explicació BCS.

El 1962, el físic anglès B.D. Josephson presentà l’efecte túnel de parells Cooper.

L’any 1986, Bednorz i Müller presentaren els superconductors ceràmics, amb una TC de l’ordre de100 K. Fins al moment només se sabia de l’existència dels metàl.lics. Els superconductors ceràmics,tot i tenir una TC > 30K, són de tipus II. La raó per la qual els superconductors no han fet el salta les aplicacions tecnològiques és que no s’han pogut ancorar els vòrtexs, línies de flux magnètic quepenetren entre HC1 i HC2 . Així doncs aquests vòrtexs es poden moure i en fer-ho dissipen energia,de manera que el material deixa de ser superconductor. Moltes investigacions actuals es basen ensolucionar aquest problema i poder trobar-ne un ús, ja que les TC són més altes que per als super-conductors de tipus I. També s’han buscat materials que presentin una TC a temperatura ambientperò sembla una tasca difícil.

En aquest capítol veurem algunes d’aquestes coses en detall. El camp crític HC , a partir del qual elmaterial deixa de ser superconductor compleix l’expressió següent:

HC(T ) = HC(0)[1−

(T

TC

)2 ](4.1)

Així, per a poder treballar a temperatures elevades amb un camp crític raonablement gran, cal teniruna temperatura crítica elevada; d’altra manera el camp crític serà molt petit.Estudiarem l’efecte Meissner, que explica que ~B s’anul.li dins del material superconductor.També veurem que la longitud de London, longitud de penetració de ~B en un superconductorpren la forma:

λL = λT (0)[1−

(T

TC

)4]−1/2

(4.2)

Per tant, si T = 0 la longitud de London esdevé mínima, mentre que si T = TC , la longitud es fainfinita i en conseqüència el camp penetra dins del material; no hi ha apantallament.

La transició conductor-superconductor és de segon ordre en absència de camp aplicat, és a dir, l’e-nergia lliure és contínua en TC (Gn = Gsc a T = TC). Si es du a terme amb camp aplicat, aleshoresés de primer ordre i, per tant, hi haurà una calor latent de la transició.

Experimentalment la calor específica per a un superconductor pren la forma:

CSC ≈ exp

∆KBT

, on ∆ és un gap d’energia; l’energia de la interacció dels electrons i que resulta en l’energia delsfonons quan els electrons s’acoblen en parells de Cooper. ∆ és de l’ordre d’1 meV, que correspon auna freqüència que es troba a l’IR, per tant, aquesta radiació s’absorbeix, cosa que permet moltesaplicacions.

148

28/IV/15

Si mirem la gràfica de la Figura 4.3 podem veure l’evolució amb els anys del descobriment de materi-als superconductors segons la seva temperatura crítica. Els científics es van adonar que les aleacionsmetàl.liques tenen un camp crític molt elevat i, per tant, un gran marge d’aplicació per tal d’utilitzar-les com a materials superconductors, de manera que es va començar a investigar en aquest tipus dematerials. L’inconvenient era que s’havia de refredar molt el material perquè es comportés com unsuperconductor. Això va ser així fins a partir de l’any 1986, quan es va començar a descobrir nousmaterials que tenien la temperatura crítica més elevada i, per conseqüència, no era necessari refre-dar tant els materials perquè la superconductivitat aparegués. Aquesta millora en les condicions defuncionament d’un superconductor va provocar un gran ”boom” de científics que es van decantarcap a la superconductivitat amb l’ambició d’aconseguir un superconductor a temperatura ambient.Malauradament, encara es continua investigant en la recerca d’aquest material tot i que s’han rea-litzat grans avenços en aquest camp.

Dels materials mostrats en aquesta gràfica cal destacar el Nb3Sn, que té un camp crític d’aproxima-dament 14 T. En les taules de les Figures 4.4 i 4.5 es presenten altres materials superconductors.

149

Figura 4.3: Materials utilitzats com a superconductors segons els anys en què es van descobrir. En l’eix ytenim la temperatura crítica d’aquests materials.

150

Figura 4.4: Taula amb algunes aleacions metàl·liques amb el seu valor de temperatura crítica.

Figura 4.5: Taula amb alguns elements de la taula periòdica amb el seu valor de temperatura crítica.

L’esquema de la Figura 4.6 mostra un resum de tots els temes que tracten i relacionen la supercon-ductivitat.

151

Figura 4.6: Esquema on es veu tot el que abarca el tema de la superconductivitat.

4.2 Diferenciació entre conductor perfecte i superconductorA priori, podríem dir que un conductor perfecte i un superconductor són el mateix fenomen perquèen els dos casos tenim una resistència a la conducció dels electrons nula i a més el flux magnèticatrapat al seu interior és constant. La diferència, doncs, és que en el cas d’un superconductor elflux és 0, és a dir, les línies de camp magnètic no penetren al material. Aquest efecte és el que esconeix com efecte Meissner-Oschenfeld. Per tenir-ho més clar, anem a veure com interactuen leslínies de camp magnètic a cadascun dels tipus de material segons si apliquem o no camp i segons latemperatura a la qual ho fem.

• Conductor perfecteUn conductor perfecte és un material que compleix únicamente que la seva resistència és R = 0.Si a aquest tipus de material a temperatura ambient no li apliquem camp magnètic i llavorsel refredem fins per sota de la temperatura crítica trobem, tant si li apliquem camp magnèticextern com si no, que les línies de camp magnètic no penetren al seu interior.En canvi, si li apliquem camp magnètic a temperatura ambient i seguidament el refredemper sota de la temperatura crítica trobem que si li apliquem camp magnètic extern tambéen tindrem al seu interior i si no tenim camp extern aplicat, en continuem tenint, sempremantenint el mateix flux que teníem a temperatura ambient. Una representació gràfica mésfàcil de visualitzar la trobem a la Figura 4.7a.

• Superconductor

152

Un superconductor és un material que compleix que la seva resistència és R = 0 i, a més, téuna susceptibilitat magnètica igual a -1.

Per a aquest tipus de material, encara que a temperatura ambient li apliquem o no li apliquemcamp magnètic i després el refredem, sempre tindrem que al seu interior no penetren línies decamp magnètic, mantenint així el flux nul. Una representació gràfica més fàcil de visualitzarla trobem a la Figura 4.7b.

(a) (b)

Figura 4.7: (a) Representació de les línies magnètiques segons si apliquem o no apliquem camp magnèticabans i després de refredar el conductor perfecte per sota de la temperatura crítica. (b) Representació de leslínies magnètiques segons si apliquem o no apliquem camp magnètic abans i després de refredar el materialsuperconductor per sota de la temperatura crítica.

30/IV/15

4.3 Energia lliure de Gibbs, entropia i calor específic en un supercon-ductor

Com ja hem vist, sabem que per un superconductor de tipus I a partir d’un cert camp aplicat HC ,el material transita de l’estat superconductor a l’estat que en diem normal (Figura 4.8)13.

13No considerem efectes de camps desmagnetitzants.

153

Figura 4.8: Un superconductor de tipus I transita bruscament a l’estat normal quan el camp aplicat ésigual al camp crític termodinàmic.

4.3.1 Càlcul de la variació de l’energia lliure de Gibbs

Per calcular el camp crític termodinàmic, HC , determinarem, en primer lloc, la variació de l’energialliure de Gibbs, ∆G. En general, quan apliquem sobre un material magnètic un camp H, ∆G s’escriucom:

∆G = −µ0

∫ H

0MdH

Aquesta és l’energia que guanya un material per efecte d’un camp magnètic extern. Quan nomésconsiderem la variació deguda al camp magnètic la variació de l’energia interna del sistema és iguala la variació de l’energia lliure de Gibbs. A més, si ∆G < 0 es tracta d’un material magnètic comú(M > 0), i si ∆G > 0 es tracta d’un material superconductor (M < 0). Calculem a continuació lavariació de l’energia lliure de Gibbs per un superconductor quan apliquem un camp desde H = 0 finsa H = HC .

∆G = −µ0

∫ HC

0MdH = µ0

2 H2C

On hem tingut en compte que per un superconductor es compleix queM = −H. Aquesta és doncsl’energia de condensació que obtenim pel fet de tenir tots els electrons del material formant parellesde Cooper.

Assumint que Gn(T, 0) ≈ Gn(T,H), la variació ∆G la podem calcular també com:

∆G = Gn(T,HC)−Gs(T, 0)

, on els subíndex n i s indiquen els estats normal i superconductor respectivament. Per tant, el campcrític és:

HC = 2µ0

√Gn(T,HC)−Gs(T, 0)

154

Aquesta expressió és la definició de camp crític termodinàmic. La dependència explícita amb T vedonada per l’equació (4.1). En la Figura 4.9 es veu com l’expressió del model teòric (4.1) està d’acordamb les dades experimentals.

Figura 4.9: Dependència del camp crític termodinàmic amb la temperatura per una mostra de plom. Lalínia discontínua representa el model teòric.

4.3.2 Càlcul de la variació de l’entropia

A continuació analitzarem breument el superconductor des del punt de vista de l’entropia quan hiapliquem un camp magnètic. En un metall tenim electrons, mentre que en un superconductor tenimparelles de Cooper, és a dir, tenim més ordre. Això ens fa pensar que l’entropia també ha d’experi-mentar un canvi quan passem de l’estat normal a l’estat superconductor.

L’entropia es pot definir com:

S = −(∂G

∂T

)p

Així, podem calcular quan val Sn − Ss, que és la variació de l’entropia entre l’estat normal i l’estatsuperconductor:

Sn − Ss = −µ0HC

(dH

dT

)p

(4.3)

Sabem que el terme dHdT

és negatiu, com més gran es fa la temperatura més petit es fa HC (veureFigura 4.9), de manera que la diferència Sn − Ss és positiva. Per tant, Sn > Ss. Efectivament,l’entropia del metall és major que la del superconductor perquè hi ha menys ordre.

Per T = TC l’entropia de l’estat normal ha de coincidir amb l’entropia de l’estat superconductor,però sabem que HC(T = 0) 6= 0. Això ens indica que dHC

dTtendeix a 0 a mesura que ens apropem a

TC (Figura 4.10).

155

Figura 4.10: A mesura que en augmentem la temperatura, HC es fa més petit. En la figura, T1 > T2 >T3 > T4 > T5.

4.3.3 Variació del calor específic

La tercera magnitud que estudiarem és el calor específic. Experimentalment, quan hom mesura elcalor específic en funció de la temperatura obté una gràfica com la presentada en la Figura 4.11.

Figura 4.11: Dependència del calor específic amb la temperatura. Entre l’estat superconductor i l’estatnormal hi ha un canvi brusc en la dependència del calor específic amb la temperatura.

Hi ha una anomalia en la dependència del calor específic amb la temperatura quan aquesta assoleixel valor de T = TC . A continuació determinarem la diferència de calors específics entre l’estat normali l’estat superconductor. Hem vist que a TC , Sn = Sc, cosa que implica que:(

∂G

∂T

)n

=(∂G

∂T

)s

És a dir, que no hi ha cap discontinuïtat en l’energia lliure de Gibbs quan canviem d’estat supercon-ductor a estat normal14. La definició de calor específic és:

c = T∂S

∂T14Aquest fet està corroborat experimentalment.

156

Per una altra banda, coneixem la diferència Sn − SS. Si derivem (4.3) respecte de la temperaturaobtenim cn − cs que pren la forma:

cn − cs = Tµ0HCd2HC

dT 2 + Tµ0

(dHC

dT

)2

(4.4)

Si a TC el camp crític és HC = 0, el primer terme de (4.4) és 0, de manera que

cn − cs = Tµ0

(dHC

dT

)2

És a dir, hi ha un calor latent de canvi d’estat superconductor-normal; aquesta transició és de primerordre. Aquest calor latent val Ls−n = T (Sn − Ss). Cal recordar que aquests resultats els trobemquan considerem un camp magnètic aplicat.

4/V/15

4.4 Longitud de penetració de LondonQuan s’aplica un camp magnètic paral·lel a una de les cares d’un material superconductor, aquestpenetra una longitud λL. Aquesta longitud de penetració s’anomena longitud de penetració deLondon. Les equacions que els germans London van emprar per descriure aquesta penetració no esbasen en primers principis, ells les van postular basant-se en el que passa en un conductor perfecte.

4.4.1 Penetració del camp magnètic en un conductor perfecte

Comencem considerant la dinàmica d’un electró de massa m, càrrega e i velocitat v en un materialconductor. Considerem també, a part de la força d’arrossegament del camp elèctric, una força defricció, FR de la forma:

~FR ∝~v

τ

, on τ és el temps de recorregut lliure mitjà (temps mitjà entre dues col·lisions). Aplicant la segonallei de Newton trobem que:

e ~E = m

(~v + ~v

τ

)(4.5)

Si analitzem el cas d’un conductor perfecte, aleshores R = 0. En altres paraules, τ →∞. Efectiva-ment, l’electró no sofreix cap col·lisió, la resistència és nul·la. D’aquesta manera, (4.5) queda:

e ~E = m~v (4.6)Introduïm a continuació la densitat de corrent, ~. Com ja sabem:

~ = ne~v

Derivant aquesta expressió pel temps obtenim

~ = ne~v (4.7)

157

Si tenim en compte (4.6), l’expressió (4.7) pren la forma:

d~

dt= ne2

m~E (4.8)

La llei d’Ampère estableix una relació entre el camp magnètic i la densitat de corrent com:

~∇× ~B = µ0~ (4.9)De nou, derivem respecte del temps i obtenim

~∇× ∂ ~B

∂t= µ0

d~

dt(4.10)

Que introduïda en (4.8) ens dóna

~E = m

µ0ne2~∇× ∂ ~B

∂t(4.11)

Si ara agafem el rotacional de (4.11):

~∇× ~E = ~∇×

m

µ0ne2~∇× ∂ ~B

∂t

= m

µ0ne2~∇×

~∇× ∂ ~B

∂t

(4.12)

, i desenvolupem el rotacional del rotacional arribem a:

~∇×

~∇× ∂ ~B

∂t

= ~∇

~∇ · ∂ ~B∂t

− ~∇2∂~B

∂t(4.13)

De la tercera equació de Maxwell sabem que

~∇× ~E = −∂~B

∂t(4.14)

, en conseqüència, el primer terme de (4.13) es pot escriure com:

~∇

~∇ · ∂ ~B∂t

= −~∇(~∇× ~E

)Donat que −~∇

(~∇× ~E

)= 0, (4.12) s’escriu simplement:

∂ ~B

∂t= − m

µ0ne2~∇2∂

~B

∂t(4.15)

, on s’ha utilitzat també la relació establerta per (4.14). La solució de (4.15) considerant el casunidimensional és una exponencial:

158

B(x) = B(0)e−x/λL

De la solució de l’equació diferencial trobem el valor de la longitud de penetració de London, λL:

λL =√

m

µ0ne2

Donat que c = 1/√µ0ε0, també podem escriure λL en termes de la velocitat de la llum segons:

λL =√ε0mc2

ne2

En resum, la variació temporal del camp magnètic penetra seguint una caiguda exponencial enunconductor perfecte. A parti d’aquí els germans London postulen que també el camp magnèticpenetra exponencialment dins del superconductor, essent λL la longitud de penetració:

B(x) = B(0) e−x/λL

D’aquesta manera queda clar que l’equació de London no es dedueix de primers principis.

4.4.2 Equació de London. Versió quàntica

A continuació tractarem el problema quànticament. Vam dir que la superconductivitat és una ma-nifestació macroscòpica d’un fenomen quàntic, de manera que hem de trobar λL a partir de funcionsd’ona. En primer lloc, però, considerem l’expressió clàssica de la densitat de corrent, amb campmagnètic aplicat, en termes del moment ~p i del potencial vector magnètic ~A:

~ = nq

m

(~p− q ~A

)(4.16)

On posem q en comptes de e degut a que esperem que en un superconductor es formin parelles deCooper (2e). Si (4.16) és l’expressió clàssica de la ~, la corresponent expressió quàntica s’escriu com:

J = i~q2m

(ψ∗~∇ψ − ψ~∇ψ∗

)− q2

mAψ∗ψ (4.17)

On J és un operador quàntic. Primer de to, necessitem saber quina funció d’ones ψ farem servir. Lafunció d’ona més simple per un superconductor és:

ψ =√neiθ (4.18)

D’aquesta manera, si multipliquem la funció d’ona pel seu complex conjugat, |ψ|2 = n, on n és elnombre de parelles de Cooper (també anomenat paràmetre d’ordre d’un superconductor). A més,si escrivim θ com la fase de ψ i si considerem que aquesta és la fase de la funció d’ona global, es-tem suposant que hi ha coherència de fase entre les parelles. Això sembla contradictori ja que elselectrons són fermions, no bosons. Tot i així, les parelles de Cooper estan formades per un electróamb espín ↑ i un altre amb espín ↓, de manera que l’espín total d’una parella és 0. D’aquesta mane-ra, les parelles ja no són fermions, són bosons, i es veuran governats per l’estadística de Bose-Einstein.

159

Si hom introdueix (4.18) en (4.17) obté:

~J = nq

m

(~~∇θ − q ~A

)Com hem assumit que θ és la fase de la funció d’ona global, no hi ha variació en la fase, i a més~∇θ = 0; de manera que:

~J = −nq2

m~A

De nou utilitzant la Llei d’Ampère, donada per l’equació (4.9), i, tenint en compte la definició depotencial vector magnètic,

~B = ~∇× ~A

, s’obté la següent equació:

~∇2 ~A = µ0nq2

m~A (4.19)

La solució de (4.19) torna a ser una exponencial, que en el cas unidimensional s’escriu com:

A(x) = A(0) e−x/λL

És a dir, quànticament demostrem que no solament el camp magnètic penetra en el superconductorcom postulen els germans London, sinó que a més també ho fa el potencial vector magnètic ~A, ambla mateixa longitud característica λL. Recordem que per poder demostrar que ~A decau exponen-cialment dins del superconductor hem assumit que les parelles de Cooper formen un condensat deBose-Einstein.

Així doncs, el fenomen de l’expulsió de les línies de camp en un superconductor depèn d’una longi-tud característica, que és λL. Aquesta, suposant una n de l’ordre del nombre d’Avogadro de parellesper cm3, ens dóna λL ≈ 300 Å. Per tant, els superconductors són apantalladors perfectes del campmagnètic, a diferència dels metalls en fase normal, en el qual el camp magnètic és capaç de penetraren el seu interior.

Finalment, recordem que hi ha una dependència de la longitud de penetració de London amb latemperatura, com es va mostra en l’equació (4.2). En la Taula 4.1 mostrem valors de λL(0) per adiferents materials.

Material In Al Pb

λL(0) (cm) 6.4 · 10−6 5 · 10−6 3.9 · 10−6

Taula 4.1: Longitud de penetració de London a T = 0 per diferents materials.

160

4.5 Teoria de l’estat intermigCom ja hem dit anteriorment, definim un superconductor com un material que presenta una corbaM− H com la presentada en la Figura 4.8. En un material magnètic, però, existeix l’efecte desi-mantador. I això ocasiona que a la realitat un superconductor de tipus I presenta una corbaM−Hcom la que es mostra en la Figura 4.12.

Figura 4.12: CorbaM−H d’un superconductor tipus I real.

És a dir, que abans d’arribar al camp crític HC ja hi ha una penetració de les línies de camp magnèticen l’interior del material. Si la magnetització a partir de H ′C disminueix és perquè hi ha un campdesmagnetitzant en el seu interior i H ′C és el camp crític degut a l’efecte de la desimantació. Acontinuació tractarem d’explicar d’on sorgeix aquest camp H ′C .

4.5.1 Superconductor amb simetria esfèrica

Considerem una esfera superconductora en el sí d’un camp magnètic uniforme de mòdul H0. Enprincipi, degut a la naturalesa superconductora de l’esfera, les línies de camp magnètic no penetrenen el material (veure Figura 4.13). Degut a aquest mateix fet, les línies de camp s’acumulen enl’equador, hi ha un estretament de les línies de camp magnètic, és a dir, el camp magnètic es fa mésintens al voltant de l’equador de l’esfera prenent un valor més gran que H0. Per tant, pel simple fetde l’ampantallament del camp magnètic, a l’equador el camp és més gran que el camp aplicat.

Així doncs, abans que el camp aplicat arribi a HC , a l’equador pot ser HC , de manera que començaràa produir-se la penetració de les línies de camp en l’interior. Aquest fenomen és el que es coneix comestat intermig.

L’acumulació de les línies de camp depèn de la geometria del superconductor. Tot i així, aquestaprimera explicació ens ajuda a entendre l’aparició d’un campH ′C a partir del qual comença a decréixerla magnetització en el superconductor.

161

Figura 4.13: Esfera superconductora en el sí d’un camp magnètic uniforme. Al voltant de l’equador elcamp magnètic es torna més intens.

4.5.2 Extensió a altres simetries

El camp desimantador ( ~Hd = −N ~M) fa que existeixi un camp crític H ′C a partir del qual el campmagnètic ja pot penetrar fins que la magnetització es fa zero a H = HC .

Figura 4.14: L’estat intermig depèn de la forma del material i, per tant, dels factors desmagnetitzants.

A l’interior del material tenim que ~M = − ~H. I el camp total serà l’aplicat (H0) més el desimantador.

162

H = H0 +Hd = H0 −NM = H0 +NH

, on no ho hem tractat amb vectors perquè considerem totes les magnituds en la mateixa direccióper simplicitat però sense pèrdua de generalitat. Per tant, el camp a l’interior del material serà:

H = H0

1−NCom que (1−N) és menor que 1 el camp a l’interior serà sempre major que l’aplicat. En la Figura4.14 veiem quina és la variació deM en funció del camp magnètic aplicat per diferents valors de N .Si N = 0, tenim la corba característica de superconductor tipus I; a mesura que augmenta N , mésràpidament s’assoleix el camp H ′C .

4.5.3 Teoria de Landau de l’Estat intermig

L’aparició d’un flux atrapat a l’interior del superconductor per camps aplicats menors que HC va serestudiat per Landau, qui va proposar una teoria per explicar l’estat intermig.

Landau va suposar un model en què el superconductor es troba estructurat en làmines, que s’alternenentre estat normal i superconductor (Figura 4.15). Quan el camp magnètic és inferior a H ′C , totesles làmines són superconductores, i, a mesura que aumenta el camp aplicat partir de H ′C les zonesnormals es fan més amples, mentre que les superconductores van desapareixent.

Figura 4.15: Estructura laminar proposada per Landau.

Aquesta teoria tracta d’explicar com té lloc l’estat intermig, però és una teoria incompleta, encaraque s’apropa a la realitat. Si hom realitza aquest experiment amb un metall en condicions desuperconductivitat (Pb, en l’exemple que ve a continuació) no solament troba aquestes làmines,sinó que es posen de manifest dos règims d’evolució entre estat normal i superconductor, el règimtubular i el laminar, com es veu en la Figura 4.16. Aquest fet posa de manifest que quan el fluxpenetra el superconductor des de l’estat superconductor al normal aquest adquireix una estructuracompletament diferent a la corresponent quan el flux penetra des de l’estat normal al superconductor.Actualment no existeixen teories que expliquin aquest fet experimental.

5/V/15Si prenem un superconductor de tipus I i apliquem un camp des de H0 = 0 i l’anem augmentant, elcamp a l’interior arriba un punt (quan H0 = H ′C) en què es fa constant. Aquesta regió en la qual el

163

Figura 4.16: Imatges òptiques obtingues per efecte Kerr d’un superconductor. En aquest procés s’aug-menta primer el camp aplicat sobre la mostra superconductora (a-b-c) i després es torna disminuir el campaplicat (d-e-f). Veiem com el camí és diferent. El primer procés correspon al règim tubular, el segon allaminar.

camp a l’interior és constant (i igual a HC) s’extent des de H0 = H ′C fins a H0 = HC (veure Figura4.17). Entenem aquest fenomen perquè si el camp a l’interior del material continués augmentant,superaria HC i aleshores transitaria a la fase no superconductora; a la fase normal. En aquesta regióde camp interior constant, com més camp aplicat, més zones de fase normal es van creant fins aarribar a H0 = HC , punt en què tot el material es troba en la fase no superconductora. HC depènde cada material, però H ′C depèn del factor desmagnetitzant N, per tant, H ′C depèn de la geometria.

A la Figura 4.18 es veu un cicle d’histèresi per a una mostra monocristal·lina de plom. Els tramsrectes del cicle s’identifiquen perfectament i corresponen a l’efecte Meissner i a la transició des deH ′C fins a HC . En aquesta última regió el material es troba en règim tubular (penetració de flux).Si tornem enrere (disminuim el camp) el flux magnètic s’ha d’expulsar d’alguna manera, i es fa mit-jançant la formació de l’estructura laminar.

El fet que augmentant o disminuïnt el camp la magnetització presenti trajectòries diferents és degut

164

(a) Representació de H en funció del camp aplicat H0. (b) Representació de B en funció del camp aplicat H0.

Figura 4.17: Comportament en funció del camp aplicat H0 per a un superconductor de tipus I.

a l’existència de barreres topològiques.

Figura 4.18: CicleM(H) mesurat en una mostra de plom amb geometria de disc a T = 4, 5 K. El campmagnètic està aplicat al llarg de l’eix de revolució del disc.

En la Figura 4.19 es presenten tres geometries diferents. En el cas de l’esfera es veu que no hi hahistèresi, pràcticament, ja que no hi ha cap direcció privilegiada. Per al cilindre el camp està aplicaten la direcció de l’eix de revolució i el cicle és similar al del disc. El tercer cas presenta també un discperò amb defectes i tensions introduïdes. Es pot veure que el tram amb efecte Meissner és perfecte,i llavors les corbes corresponents a estructura tubular i estructura laminar coincideixen; els tubs es

165

Figura 4.19: Corbes de primera magnetització i cicles d’histèresi de tres mostres amb geometries diferentsagafades a T=300 K després d’un procés de ZFC. a) Esfera. b) cilindre. c) disc amb defectes.

transformen en làmines. Es veu, també, que hi ha romanència, contràriament al que esperaríem.Això no és degut a barreres topològiques sinó als defectes introduïts; a les tensions causades en elmoment de tallar el material, etc.

La Figura 4.20 es comparen els cicles per a dues geometries (cilindre i disc amb defectes) amb elcamp aplicat en la direcció de l’eix de revolució i amb el camp aplicat en una direcció perpendiculara aquest. És fàcil veure que quan el camp s’aplica en una direcció perpendicular a l’eix el cicle nopresenta ni romanència ni histèresi. Els defectes i les tensions no són visibles quan el camp l’apliquemd’aquesta manera.En la Figura 4.22 es mostren diversos cicles per a diferents temperatures per a una mostra cilíndrica.A continuació estimarem el valor de l’energia de formació, o gap d’energia d’una parella de Cooper.Disposem de les dades que es presenten a la Taula 4.2: calor específic d’una mostra d’estany adiferents temperatures i per la fase superconductora i normal. Sabem que el calor específic en la fasenormal es pot modelitzar per la següent llei:

Cn = aT + bT 3

, on el primer terme correspon al calor específic causat pels electrons i el segon té a veure amb la

166

Figura 4.20: Corba de primera imantació i cicles complets mesurats a T=300 K per a dues geometriesdiferents: cilindre (esquerra) i disc amb defectes (dreta), després d’un procés de ZFC. En les figures superiorsel camp magnètic aplicat és en la direcció de l’eix de revolució mentre que en les de sota el camp està aplicaten una direcció perpendicular a l’eix.

Figura 4.21: Cicle M(H) d’una mostra cilíndrica (sense defectes) a T=300 K amb el camp aplicatparal·lelament a l’eix de revolució, després d’un procés de ZFC. Si en un punt com el 3 decidim fer disminuirel camp passem de l’estructura tubular a la laminar.

xarxa cristal·lina del sòlid: Cl = bT 3.Mitjançant un ajust lineal podem trobar els coeficients a i b i, per tant, podem conèixer el calorespecífic dels fonons, de la xarxa.

167

Figura 4.22: CiclesM(H) d’una mostra cilíndrica amb el camp aplicat paral·lelament a l’eix de revolució,després d’un procés de ZFC a diferents temperatures entre 2 K (corba més exterior) i 6 K (corba mésinterior) en intervals de 0.5 K.

Taula 4.2: Dades corresponents al calor específic d’una mostra d’Sn a diferents temperatures i per les fasessuperconductora i normal.

Figura 4.23: Ajust lineal de les dades de la taula de la Figura 4.2. A l’eix y representem Cn en front deT 2 a l’eix x.

168

Com es veu a la Figura 4.23 els valors dels coeficients són:

a = 1, 703 mJ/(mol K2)

b = 0, 266 mJ/(mol K4)El calor específic per a la fase superconductor consta de dos termes:

Csc = Cl + Cparells

El primer és la contribució a la calor específica de la xarxa crista·lina, el segon correspon a lacontribució de les parelles de Cooper. Amb l’expressió anterior podem trobar Cparells. Sabem que

Cparells ∼ exp− EgkBT

, on Eg és el l’energia de formació d’una parella de Cooper.

Així, si representem el logaritme neperià del calor específic associat a les parelles en funció de 1T

podrem aïllar el valor de Eg (Figura 4.24).

5, 732 = EgkB⇒ Eg = 4, 94 · 10−4 eV ≈ 0, 5 meV

Figura 4.24: Representació gràfica del logaritme neperià de Cparells en funció de l’invers de la temperatura.

7/V/15

Ara anem a veure un exemple real per tal de tenir present amb quins ordres de magnitud estemtreballant quan diem que un material és superconductor.

L’estany (Sn) té una temperatura crítica de 3.7 K a camp aplicat 0 i presenta un camp magnètic crític,Hc, de 306 Oe a una temperatura de 0 K. Com bé sabem, el camp crític depèn de la temperaturacom:

169

Hc(T ) = H0

[1−

(T

Tc

)2]Si ara agafem un fil d’aquest material de secció circuar amb 0.1 cm de radi i el refredem fins a 2K trobem que el camp crític que tindrà llavors serà de 217 Oe. Així, sabent que l’expressió de laintensitat segons el camp magnètic en un fil és:

H = 2Ir

, podem extreure que la intensitat màxima que pot passar per aquest material sense tenir pèrduesés d’aproximadament 50 A si li apliquem un camp de 217 Oe.

4.6 Energia del gapCom ja hem dit anteriorment, en un superconductor els electrons s’aparellen a través d’una interacciófonònica formant bosons d’espín 0. Per tal que es doni aquest aparellament és necessària una energia.Aquesta energia de formació de les parelles és el que s’anomena energia del gap, Eg.

A la taula següent mostrem els valors de l’energia del gap per a alguns materials:

Al V Zn PbEgT=0K (10−4eV) 3.4 1.6 2.4 2.7

Taula 4.3: Taula amb els diferents valors de Eg a T = 0 K per a alguns materials metàl·lics.

D’aquesta taula es pot extreure que l’energia de gap és molt semblant entre diferents metalls i és del’ordre dels meV. A més, a partir de la simple relació amb l’energia tèrmica podem trobar de maneraaproximada la temperatura crítica:

kBT ≈ 10−4 eVK T (K) = 10−3eV

, per tant la temperatura a la qual els metalls en general deixen de comportar-se com a supercon-ductors és de l’ordre dels 10 K, tal i com es comprova experimentalment.

Un material passa de l’estat normal a l’estat superconductor perquè li és més favorable, minimitzal’energia. Així doncs, si li apliquem la radiació adequada al nostre material serem capaços de trencarles parelles de Cooper i portar el material a l’estat normal novament. Com que Eg és de l’ordredels meV la radiació que ens permet trencar les parelles serà de l’ordre dels THz, és a dir, radiacióinfraroja. Aquest fet es constata experimentalment graficant el coeficient de transmissió segons lafreqüència. La forma esquemàtica està representat en la següent figura:Com podem veure en aquesta esquematització, a mesura que augmentem la freqüència de la radia-ció incident el superconductor absorbeix més energia fins a arribar a un màxim que correspon a lafreqüència de l’energia del gap. Si seguim augmentant l’energia de la radiació incident veiem comel coeficient de transmissió decau ja que el metall torna al seu estat normal i, per tant, reflexa laradiació. Aquest efecte d’absorció és utilitzat per dissenyar dispositius sensors de radiació com els

170

Figura 4.25: Forma esquemàtica del coeficient de transmissió respecte la freqüència de la radiació incidenta un superconductor. wg correspon a la freqüència del gap.

bolòmetres.

Anem a veure des d’un punt de vista quàntic com es raona l’energia del gap. Per a un sistema analíticd’una partícula tenim de forma general:

H0Ψ = 0 ·Ψ, on hem establert el nivell d’energia fonamental (de Fermi) a 0. Ψ és una funció d’ona degeneradaR vegades:

Ψ = ψ1, ..., ψR, on aquestes funcions d’ona són ortogonals entre si, és a dir, 〈ψi|ψj〉 = 0 i estan normalitzades. Deguta que en la superconductivitat tenim involucrats els fonons introduïm una pertorbació a l’hamiltonià:

(H0 + U)ϕ = EϕPodem expressar la funció d’ona ϕ com una combinació lineal amb les funcions d’ona no pertorbades:

ϕ =R∑s=1

csψs

i ens queda:

R∑s=1

csUψs = ER∑s=1

csψs

Ara multiplico a aquesta última expressió per una de les funcions d’ona no pertorbades conjugada(ψ∗m). Això ens deixa amb:

171

R∑s=1

cs〈ψm|U |ψs〉 = ER∑s=1

cs〈ψm|ψs〉 = Ecsδms (4.20)

, on δms és la delta de Kronecker. Així doncs tenim R equacions per cada valor de E les incògnitesde les quals són els coeficients cs. Per a que el sistema tingui solució diferent de la trivial s’ha decomplir que el determinant:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

〈1|U |1〉 − E 〈1|U |2〉 · · · 〈1|U |R〉〈2|U |1〉 〈2|U |2〉 − E · · · 〈2|U |R〉

... ... . . . ...〈R|U |1〉 〈R|U |2〉 · · · 〈R|U |R〉 − E

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

, on hem utilitzat la notació ψ1 = 1, ψ2 = 2, etc. Si imposem que la interacció entre aquests diferentsestats degenerats és molt petita, atractiva i igual per totes les parelles

〈i|U |j〉 = −δ

, la solució del determinant és:

E1 = −δR

Ek = 0 ∀k 6= 1

, d’on podem deduïr que E1 és l’energia del pas de l’estat normal al superconductor. Encara que δs’imposi molt petita, R és molt gran i, per tant E1 és detectable. Això és el que es coneix en mecànicaquàntica com la inestabilitat de la superfície de Fermi en presència d’interaccions atractives entreelectrons.

4.7 Efecte isotòpicL’efecte isotòpic és la variació de la temperatura crítica segons la massa de l’isòtop de l’element enestudi. És un efecte fenomenològic conseqüència de la interacció electró-fonó que s’expressa com:

MαTC = ct (4.21)

, on α és un paràmetre que depèn del metall.

Partim de les dades presentades en la Taula 4.4 per a diferents isòtops de Hg. Si apliquem el logaritmeneperià a banda i banda de l’equació (4.21) obtenim:

lnTC = ln(ct)− α lnM

MHg (u.m.a.) 199.5 200.7 202.0 203.3TC (K) 4.195 4.173 4.159 4.164

Taula 4.4: Taula amb diferents valors de la massa i la temperatura crítica segons l’isòtop de mercuri.

172

Graficant el logaritme neperià de M en front del logaritme neperià de TC , podrem trobar α a parirdel pendent (Figura 4.26). Pel mercuri s’ha trobat que αHg = 0.5.

Com a un altre exemple podem mencionar el cas de l’estany (Sn), on αSn = 0.46.

Figura 4.26: Representació del logaritme neperià de la massa de l’isòtop de mercuri en front del logaritmeneperià de temperatura crítica corresponent.

8/V/15

4.8 Formació de les parelles de CooperTractarem primer de donar una explicació intuïtiva al fenomen de la formació de parelles de Cooper.

Els electrons en els metalls es mouen a una velocitat de 1016 Å·s−1. Suposem que un d’aquestselectrons ”deforma” la vibració d’un ió positiu del nostre metall, és a dir, genera un fonó que téuna freqüència d’aproximadament 1013 Hz. L’electró que ha ocasionat aquesta vibració s’allunya1016

1013 = 103 Å mentre la xarxa vibra una vegada. Per tant, si seguidament, mentre la xarxa està”deformada”, passa un altre electró, aquest serà atret per densitats de càrrega positiva puntuals quesón generades per aquesta deformació ja que per una vibració d’aquest ió poden haver passat moltselectrons que han vist la ”deformació”. Així, és com si els dos electrons (el que ha deformat la xarxai el que es veu atret per ella) s’atraguessin, és a dir, formessin una parella.Els electrons que ocasionen aquesta deformació són els de conducció que tenen una energia properaa la de Fermi (≈ eV ). La deformació es modelitza a través de la quàntica amb el fonó i el que intervéen aquest efecte de formació de les parelles té una energia propera a la de Debye (~ωD) ja que és elque té una densitat més elevada, tenim més disponibilitat d’ells al material.

El 1950, Fröhlich va postular la interacció electró-fonó-electró.Un electró genera una excitació de la xarxa cristal·lina, el fonó, que és absorbida per un segon electró.Aquesta interacció conserva el moment com:

173

Figura 4.27: Esquema de la interacció electró-fonó-electró postulada per Fröhlich.

~k1 = ~k1′+ ~q

~k2 + ~q = ~k2′

, és a dir

~k1 + ~k2 = ~k1′+ ~k2

′(4.22)

, el moment total és constant. Podem aproximar, a més, que l’energia del fonó que intervé en lainteracció és ≈ ~ωD, ja que és per aquesta energia que la densitat de fonos és màxima. Així doncs,si agafem dos esferes de Fermi (Ec = ~pF

2

2m ) amb moments ~k1 i ~k2 i li afegim una indeterminació enl’energia al voltant ~ωD, trobem que els únics moments que compleixen la conservació del momentsón a les zones de solapament (veure Figura 4.28). Segons aquest solapament, la formació de lesparelles serà major o menor, sent màxima quan ~k1 = −~k2. En aquest últim cas els dos electronstenen moments oposats i, per tant, no hi ha corrent net d’electrons però sí de les parelles d’espín total0. D’aquesta manera, podem dir que només es formen parelles Cooper quan els electrons compleixenaquesta última condició.

4.9 Longitud de coherènciaEs defineix la longitud de coherència, ξ, com la longitud des de la superfície del superconductor finsla zona en què existeixen les parelles d’electrons. A constinuació estudiem la relació entre ξ i λL.L’enercia cinètica de l’electró és:

EC = ~2k2F

2m = EF

La variació de l’energia de l’electró està relacionada amb la variació del seu moment com:

∆E = ~2

m∆k

174

Figura 4.28: Representació de les esferes de Fermi (en línia contínua) més la contribució de l’energia delfonó (en línia discontínua). Les zones marcades en vermell corresponen als moments que compleixen laconservació

Per a que es formin parelles ∆E ≈ Eg (Eg és l’energia del gap).

Eg ≈~m

√2mEF∆k

Segons el principi d’incertesa de Heisenberg ∆x · ∆k ≈ 1. De tal manera que podem definir lalongitud de coherència com la incertesa de la posició deguda a la incertesa del moment de l’electróal nivell de Fermi.

ξ = ∆x = 1∆k = ~

Eg

√2EFm

(4.23)

De nou tornem a veure la importància dels fenòmens de superfície en els superconductors. Hem detenir en compte que la superfície dels materials superconductors es troba en un estat diferent deen el qual es troba l’interior del superconductor. L’energia de la superfície depèn de la longitud decoherència ξ i de la longitud de London λL.

Per a un material superconductor tipus I tenim que ξ > λL. Això dóna com a conseqüència queentre l’estat normal del material i el superconductor amb diamagnatisme perfecte trobem una zonaintermitja on tenim diamagnetisme però no superconductivitat, ja que l’energia lliure total augmen-ta en aquest interval i tenim inestabilitat, és a dir, s’hauria d’aportar energia per generar l’estatsuperconductor. (veure Figura 4.29).

175

Figura 4.29: Representació de la inducció magnètica, l’energia lliure de les parelles i l’energia lliure totalsegons la penetració per un superconductor tipus I.

Per un material superconductor tipus II passa al revés: ξ < λL. En aquest cas, entre l’estat normali el superconductor amb diamagnetisme perfecte trobem un estat superconductor. Aquest fet ésconseqüència de tenir una energia lliure total negativa que fa que tinguem estabilitat a la transiciódels dos estats del material (veure Figura 4.30)

176

Figura 4.30: Representació de la inducció magnètica, l’energia lliure de les parelles i l’energia lliure totalsegons la penetració per un superconductor tipus II.

Aquest estat de transició des d’un estat normal fins al superconductor per un superconductor de tipusII es pot entendre com que les línies d’inducció magnètica han penetrat en el material però s’hangenerat unes petites corrents superficials per apantallar el flux a la regió normal interior. Aquestespetites corrents es repel·leixen entre elles i s’anomenen vòrtexs. Per tal de trobar novament parellesde Cooper ens hem d’allunyar de la línia d’inducció magnètica penetrada una distància ξ i per notrobar inducció magnètica ens hem d’allunyar una distància λL (veure Figura 4.31).

177

Figura 4.31: Esquematització de la formació dels vòrtexs per un superconductor tipus II (a) amb larepresentació del nombre de parelles (b) i de la inducció magnètica (c) segons la posició al superconductor.

11/V/15Anem a veure l’efecte Meissner segons dues explicacions:

• Explicació des d’un punt de vista magnèticEl magnetisme ens dóna l’expressió següent:

~B = µ( ~Hint + ~M)= µ0( ~Hint + χ ~Hint)= µ0(1 + χ) ~Hint

, on χ és la susceptibilitat magnètica i µr = (1 + χ) és la permeabilitat magnètica relativa delmaterial. Hint és el camp a l’interior del superconductor.

178

Sabem que en l’interior d’un superconductor B = 0, cosa que ens porta a que µr = 0. Així,des del punt de vista magnètic un superconductor és un material amb permeabilitat magnèticarelativa nul·la.

• Explicació des d’un punt de vista elèctricAquesta explicació es basa en el fet de tractar el magnetisme a partir dels corrents generatspel camp magnètic. Si sobre un cilindre superconductor apliquem un camp magnètic, aquestserà nul al seu interior. Han d’haver-hi, doncs, corrents superficials que contrarrestint el campaplicat. D’aquesta manera, podem veure un cilindre superconductor com un solenoide envoltatde corrents superficials. Aquests penetraran fins a una longitud λL, i experimentalment és moltdifícil mesurar-los. Hc, doncs, serà el camp màxim que poden contrarestar aquests correntssuperficials i per tant a partir del qual deixarem de tenir un superconductor. L’evidència quetenim de l’existència d’aquests corrents és precisament la mesura de ~B.

S’han realitzat càlculs amb mostres de dimensions de 2a, amb a ∼ λL i l’expressió del camp surt:

B(x) = B0 exp (x/λL) +B0 exp (−x/λL)

, sent B(±a) = B0 el camp aplicat i prenent l’origen de la coordenada x al centre de la dimensió xde la mostra amb amplada 2a (veure Figura 4.32). Aplicant aquestes condicions de contorn es potarribar a l’expressió següent:

B(x) = B0

cosh(a/λL) · cosh(x/λL)

, on en les expressions hem prescindit dels vectors perquè tots els camps són en la direcció y; per-pendiculars a la direcció del gruix de la mostra.

Figura 4.32: Intensitat del camp a l’interior d’una mostra de dimensions 2a on a ∝ λL.

4.10 Estimació de Hc1 i Hc2

Com ja vam veure a la Figura 4.2b en un superconductor de tipus II trobem una regió de campcompresa entre Hc1 i Hc2 en la qual penetren els vòrtexs. Aquests vòrtexs representen el quàntum deflux magnètic (φ0). Com vèiem a la Figura 4.31, a Hc1 la superfície d’un vòrtex la podem aproximarcom πλ2

L, i per tant, φ0 = πλ2L ·Hc1 . D’aquí podem estimar que

Hc1 = φ0

πλ2L

179

, que surt de l’ordre dels centenars de Gauss. Si ara augmentem el camp fins a sobrepassar el campHc2 el material s’ha omplert completament de vòrtexs, de manera que tindrem: φ0 = πξ2 ·Hc2 , d’ones dedueix que

Hc2 = φ0

πξ2

Com que per als superconductors de tipus II es compleix que λL > ξ ⇒ Hc2 > Hc1 .

La gran majoria de metalls, en canvi, són de tipus I; a la taula 4.5 es mostren exemples d’aquest fet.Es veu com el Nb és un dels molt escasos exemples que trobem de metall pur que sigui superconductorde tipus II.

ξ(10−6cm) λL(10−6cm) ξ/λLSn 2,3 3,4 6,2Al 160 1,6 100Pb 8,3 3,7 2,2Nb 3,8 3,9 0,98

Taula 4.5: Valors de ξ i λL per a diversos metalls purs. S’observa que en el cas del Nb la relació entre lalongitud de coherència i la longitud de London és inferior a la unitat.

4.11 Corbes ZFC i FC per a un superconductorCom hem vist durant l’estudi del magnetisme caracteritzem un material magnètic mitjançant lamesura de les seves corbes ZFC i FC. Anem ara a veure, doncs, com són aquestes corbes per alsmaterials superconductors.

Considerem un cilindre amb un forat cilíndric concèntric al seu interior. Si baixem la temperaturafins a arribar a T < Tc de manera que el material passa a la fase superconductora i llavors apliquemun ~B obtindrem la corba de ZFC.

El moment magnètic de la mostra serà:

µZFC = −(VS + Vforat)B0

µ0

, i apareixeran els corrents superficials (a la superfície exterior del cilindre) que apantallaran el campa l’interior de tot material (efecte Meissner), incloent la zona buida, com es pot veure en la Figura4.33).Per a obtenir la corba de FC, en canvi, aplicarem el camp abans d’assolir una temperatura inferiora la crítica. D’aquesta manera tindrem camp penetrant tant el material com la regió interior buida,que serà atravessada per un cert flux magnètic. Si ara portem a terme el refredament i el materialesdevé superconductor, apareixeran novament els mateixos corrents superficials que en el cas anteriormés uns nous corrents a la superfície cilíndrica del forat interior. Això és degut a que el flux queatravessa la zona buida s’ha de mantenir constant, ja que no deixem d’aplicar el camp (veure Figura4.34).

180

Figura 4.33: Esquema qualitatiu del procés d’obtenció de la corba de ZFC.

Figura 4.34: Esquema qualitatiu del procés d’obtenció de la corba de FC.

Els corrents superficials exteriors s’anomenen corrents diamagnètics i són tals que el camp quecreen s’oposa al camp aplicat. Els corrents de la superficie interior s’anomenen corrents paramag-nètics, i generen camp en la mateixa direcció que l’aplicat. En aquest cas, doncs, tenim:

µFC = −VSB0

µ0

Com que VS + Vforat > VS és fàcil veure que µZFC < µFC , i això és el que podem veure en elsexemples reals següents (tenint en compte que dividint el moment magnètic pel volum obtenimla magnetització). Experimentalment, en lloc d’agafar un cilindre amb la geometria descrita an-teriorment utilitzarem un material ceràmic superconductor tipus II en pols, l’YBaCuO, i podremcomprovar que les corbes ZFC i FC coincideixen a Tc.La Figura 4.35 mostra que la corba de ZFC és més negativa que la de FC, com ja havíem deduït.Això implica que, com que els estats que formen la corba de FC són els d’equilibri, si ens situemen un estat que pertany a la corba de ZFC i esperem un temps suficientment gran arribarem a un

181

estat de la corba de FC. Cal dir que la corba de ZFC no presenta una pujada abrupta a Tc perquèels vòrtex no estan completament quiets, ancorats, sinó que varien la seva posició.

Figura 4.35: Corbes de ZFC i FC per a una mostra de pols de YBaCuO.

En la Figura 4.36 podem veure la relaxació dels vòrtexs amb el temps. S’observa una llei logarítmicaja que hi ha una distribució de ”forats” (porositats del material en pols) de mides diferents.

Figura 4.36: Relaxació dels vòrtexs en funció del temps; s’observa una dependència logarítmica.

Considerem ara quina forma presenta el cicle d’histèresi d’un material superconductor tipus II. LaFigura 4.37 ens mostra la corba de primera imantació, que al principi és de pendent 1 fins al valor HC1(efecte Meissner perfecte). Llavors es corba decreixent una mica a causa del camp desmagnetitzant

182

i comença a entrar flux, de manera que disminueix fins a fer-se zero al camp màxim HC2.Si ara femdisminuir el camp magnètic, expulsem el flux atrapat amb la qual cosa el corrent d’apantallamentcanvia de singe i per tant la magnetització també.

Figura 4.37: Cicle d’histèresi d’una mostra superconductora de tipus II a T = 10 K.

Si ara ens fixem en la Figura 4.38, on es veu el mateix cicle però a T = 20 K es veu com l’àrea delcicle disminueix amb l’augment de temperatura, ja que el material s’aproxima a l’estat normal. Fadisminuir HC1 i HC2.

Figura 4.38: Cicle d’histèresi d’una mostra superconductora de tipus II a T = 20 K.

183

12/V/15

Es pot demostrar, a més, que els corrents superficials estudiats decauen exponencialment a l’interiordel superconductor. La llei d’Ampère estableix la relació entre el camp magnètic i la densitat decorrent:

~∇× ~B = µ0 ~J

En una dimensió,

−∂~B

∂x= µ0Jy

Sabem que el camp decau exponencialment en la superfície com

B(x) = B0e−x/λL

, substituint aquesta dependència del camp a la llei d’Ampère obtenim:

Jy = B0

µ0λLe−x/λL

És a dir, que els corrents superficials també penetren dins del material una longitud λL.

Un últim aspecte a comentar és l’existència de vòrtexs. Aquests es repel·eixen entre ells, degut alsseus diferents corrents superficials. Si la densitat d’aquests és elevada (camp aplicat cada vegadamés intens) s’ordenen en una estructura anomenada estructura d’Abrikosov, que és hexagonal inomés apareix en absència de defectes. L’observació experimental d’aquesta distribució de vòrtexsés complicada quan introduïm defectes, ja que els vòrtex es queden ancorats a les imperfeccions.

4.12 Quantització del flux magnèticComencem considerant un anell superconductor de radi R amb una determinada quantitat de fluxmagnètic, φ, atrapat en el seu interior (Figura 4.39).

Figura 4.39: Flux magnètic atrapat en un anell superconductor.

Aquest flux magnètic φ està causat per corrents persistents en la superfície interna de l’anell. Donatque en qualsevol punt de la circumferència interior hi ha coherència de fase, podem escriure que:

184

∮R

~kd~l = 2πn n ∈ Z (4.24)

, on ~k és el moment d’un parell de Cooper. Si tinguéssim electrons lliures, el moment d’un d’ellsseria ~~ke− = m~v. En presència d’un camp magnètic ~~ke− = me−~v − e ~A. Un parell de Cooper témassa 2m i càrrega 2e, de manera que el seu moment és:

~~k = 2m~v − 2e ~A (4.25)

Per una altra banda, la densitat de corrent superconductor és ~Js = nse~v, essent ns el nombred’electrons aparellats, d’on podem aïllar la velocitat:

~v =~Jsnse

(4.26)

Substituint (4.26) en (4.25) obtenim:

~k = 2m~Js~nse

− 2e~~A (4.27)

Realitzem la integral (4.24):∮R

~kd~l = 2mnse~

∮R

~Js · d~l −2e~

∮R

~A · d~l = 2πn (4.28)

Aplicant el teorema de Stokes tenint en compte que ~B = ~∇× ~A:

2mnee~

∮R

~Js · d~l −2e~

∫~B · d~S = 2πn (4.29)

Indentifiquem el terme∫~B · d~S, que no és altra cosa que el flux degut al camp extern, φext.

Per una altra banda, emprant l’equació de London sabem que∮R

~Js · d~l =∫ (

~∇× ~Js)d~S = −nse

2

m

∫~Bint · d~S

, on el terme∫~Bint · d~S és el flux degut al camp intern, φint. Així doncs, (4.29) es pot escriure en

termes de φext i φint com:

2e~

(−φint − φext) = 2πn

.Donat que φ, el flux atrapat en l’interior de l’anell és φ = φext + φint,

φ = n2π~2e = nφ0 (4.30)

És a dir que el flux magnètic atrapat en el superconductor està quantitzat en unitats φ0 = 2π~/2e.Aquesta unitat de quantització s’anomena fluxoide, o quantum de flux magnètic (φ0 ∼= 2, 07 · 10−15

185

Tm2). Degut a que les integrals les hem realitzat sobre un circuit de radi R i sent R λL,generalment es considera que és el flux exterior el quantitzat és el fluxoide, ja que φint << φext.

φext ≈ n2π~2e = nφ0

4.12.1 Quantització del flux en el vòrtex

A continuació repetirem la demostració per estudiar la quantització dels vòrtexs. Primerament,partim de l’equació de London:

~∇× ~∇× ~B + 1λ2L

~B = 0

Considerem, a més, una superfície S que tanqui un vòrtex. Integrem sobre aquesta superfície l’equacióde London i en calculem la derivada respecte del temps:

∂

∂t

∫S

[µ0(~∇× ~J

)+ 1λ2L

~B

]d~S = 0 (4.31)

, on hem tingut en compte de nou que ~∇ × ~B = µ0 ~J . Si integrem (4.31) respecte del temps ensdonarà una constant; el flux:

φ =∫S

[λ2Lµ0

(~∇× ~J

)+ ~B

]d~S

Aplicant el teorema de Stokes,

φ = λ2Lµ0

∮~J · d~l +

∫S

~B · d~S

El terme λ2Lµ0 es pot escriure també com

λ2Lµ0 = µ0ε0

mc2

ne2 = m

ne2

, i si tenim en compte que ~B = ~∇× ~A, tot tornant a aplicar Stokes, obtenim:

φ =∮ (

m

ne2~J + ~A

)d~l

Finalment, recordem que ~J = ne~v = nem~p cosa que implica:

eφ =∮ (

~p+ e ~A)d~l (4.32)

L’expressió (4.32) no és altra cosa que la integral del moment canònic que, com ja sabem, estàquantitzada (regla de quantització de Bohr-Sommerfeld). D’aquesta manera veiem que el flux d’unvòrtex està quantitzat. A més, com que el flux atrapat en un vòrtex és el mínim possible, aquesthaurà de ser el fluxoide, φ0.

186

4.13 Efecte JosephsonL’efecte Josephson consisteix en el tunneling de parelles de Cooper a través d’una unió superconductor-aïllant-superconductor. A continuació presentem els diferents experiments portats a terme per Gia-ever fins a la constatació de l’efecte Josephson, mesures amb les quals va poder mesurar directamentel gap en metalls superconductors.

4.13.1 Efecte Túnel en metalls

Es tenen dos metalls separats per una capa molt fina de material aïllant. En aquestes condicions lesenergies de Fermi de tots dos s’igualen. En absència de potencial aplicat és impossible una transicióper efecte túnel d’un metall a un altre ja que no es compliria el requisit indispensable de conservacióde l’energia en tot el procés. Quan polaritzem la unió s’eleva l’energia de Fermi d’un dels metalls,fent possible el tunneling a través de la unió, obtenint un corrent net per efecte túnel. Aquest correntserà proporcional al valor de la polarització aplicada a la unió. La característica I-V serà, doncs,lineal.

4.13.2 Efecte Túnel en metall-aïllant-superconductor

L’esquema d’energies en un superconductor està caracteritzat per el gap entre el nivell de les parellesde Cooper i el de les quasipartícules excitades (quasipartícules que formen una parella). L’energiad’aquestes quasipartícules es pot escriure com:

Equasi =[(Ei − EF )2 + ∆2

]1/2Resultat que s’obté de la teoria BCS. A T = 0 K, la distància energètica entre l’estat de les quasi-partícules excitades i les parelles és ∆. Aquest diagrama d’energies (Figura 4.40) l’utilitzarem perexplicar l’efecte túnel.

Figura 4.40: Diagrama d’energies en un superconductor.

En absència de polarització el nivell de les parelles de Cooper coincideix amb l’energia de Fermidel metall. En aquestes condicions (considerem T = 0 K) no existeix cap quasipartícula excitada, demanera que no hi ha tunneling de cap tipus possible (Figura 4.41).Si apliquem un voltatge de polarització es produirà efecte túnel quan aquest sigui superior al valor|∆/e|.

• Si V = ∆/e, els electrons del metall tenen estats quasiparticulars lliures amb la seva energia; esproduirà efecte túnel d’electrons del metall cap al superconductor (Figura 4.42a). El nombred’electrons que transiten serà major com més gran sigui el voltatge de polarització aplicat.

187

Figura 4.41: Diagrama d’energies per la unió entre un superconductor i un metall, en el cas de polaritzacióV = 0.

(a) V = ∆/e (b) V = −∆/e

Figura 4.42: Diferents casos en funció de la polartizació, V

• Si V = −∆/e, el nivell de les parelles de Cooper està a un distància energètica ∆ de l’energiade Fermi del metall. En aquest cas, sí es produeix transició túnel per trencament de lesparelles. Un electró de la parella transita al metall, i l’altre és promocionat cap a nivells dequasipartícules excitades (Figura 4.42b). El nombre de parelles que es trenquen creix amb elvoltatge de polarització.

Els comportaments descrits s’observen en la característica I-V de la Figura 4.43. El potencial en quèel corrent comença a ser diferent de zero coincideix amb el valor del gap en eV.

4.13.3 Efecte Túnel entre dos superconductors

Distingim dos casos:

a) Superconductors amb gap idèntic

b) Superconductors amb gap diferent

En cap dels dos casos esmentats es pot produir efecte túnel a T = 0 K, per la qual cosa consideraremT & 0 K.

188

Figura 4.43: Característica I-V d’una unió semiconductor-aïllant-metall

Superconductors amb gap idèntic. Per V = 0, quasipartícules d’un superconductor podentransitar cap a l’altre, i la probabilitat és la mateixa en ambdós sentits de manera que el correnttotal és nul (Figura 4.44).

Figura 4.44: Esquema de la unió de dos superconductors amb voltatge de polarització nul.

En polartizar la unió (Figura 4.45), hi ha més quasipartícules que puguin transitar en un supercon-ductor que en l’altre. A partir d’aquest punt, que s’aconsegueix per una polartizació de l’ordre dekT (≈ 10−4 eV), el nombre de quasipartícules susceptibles de transitar roman constant, de maneraque I = constant.

Figura 4.45: Esquema de la unió de dos superconductors amb polarització diferent de 0.

Quan la polarització arriba a un valor igual a dues vegades ∆, els parells de Cooper poden trencar-se,de manera que un electró és promocionat cap als nivells de quasipartícules excitades i l’altre transitaper efecte túnel cap als estats desocupats del segon superconductor (Figura 4.46).

189

Figura 4.46: Esquema quan la polarització és major que dues vegades el gap del superconductor.

La característica I-V d’aquest cas es presenta en la Figura 4.47. Es pot mesurar ∆ mesurant elvoltatge de polarització a partir del qual el corrent creix sobtadament.

Figura 4.47: I-V per a una unió de dos superconductors amb gap idèntic.

Superconductors amb gap diferent. En aquest cas, la característica I-V és la presentada enla Figura 4.48. Si es coneixen els valors experimentals de V1 i V2 es poden conèixer els valors delsrespecius gaps.

Figura 4.48: Característica I-V per la unió de dos superconductors de gap diferent.

190

14/V/15Anem a fer un estudi de les anàlisis fetes per Giaever i Josephson del fenomen de transició per efectetúnel d’electrons en una unió superconductor-aïllant-superconductor (SC-A-SC).

Ivar Giaever va portar a terme experiments en la junció mitjançant l’aplicació d’un voltatge. Elselectrons desaparellats es troben en un nivell d’energia superior al nivell d’energia dels parells, jaque quan dos electrons s’aparellen assoleixen una situació de més equilibri; menys energia. Abansde formar-se un parell, cada electró es troba en un nivell amb un increment ∆ d’energia superior alnivell final, complint-se, doncs, 2∆ = Eg.

Apliquem, ara, un potencial creixent a la unió: el corrent que observem és pràcticament nul fins aarribar a un valor del potencial V = 2∆

eV, on les unitats de ∆ són eV.

Figura 4.49: Característica I(V) de la transició Giaever d’electrons per efecte túnel en una unió Josephson.

L’explicació de Giaever suggereix la idea que quan assolim aquest potencial el parell es trenca: undels dos electrons que el formen puja al nivell energètic inicial mentre que l’altre passa per efectetúnel a l’altre superconductor. Cal fer notar que estem parlant d’una amplada molt petita de la regióaïllant, tenint en compte que la probabilitat de transició per efecte túnel disminueix exponencialmentamb aquesta. D’aquesta manera s’explica el corrent de la unió per transicions únicament d’electronsper efecte túnel.

Josephson en va fer un tractament més matemàtic, o almenys amb una idea totalment diferent, fentús de la mecànica quantica. La diferència fonamental entre les dues explicacions és que en el cas del’efecte Josephson el que transita per efecte túnel són les parelles d’electrons.

L’explicació de Josephson és la següent: considerem la unió SC1 − A − SC2. Cada superconductorve definit quànticament per la seva funció d’ona Ψ1 i Ψ2:

Ψ1 = √n1 · eiθ1

Ψ2 = √n2 · eiθ2

, on n1 i n2 són el nombre de parells al superconductor 1 i al superconductor 2 respectivament. Dela mateixa manera en què els superconductors estan acoblats per mitjà de l’aïllant, les corresponentsfuncions d’ona també ho estaran:

i~∂Ψ1

∂t= ~TΨ2

191

i~∂Ψ2

∂t= ~TΨ1

, on T té unitats de freqüència i representa l’acoblament entre ambdues funcions d’ona, de maneraque si la unió és molt forta T = 0.

Si es produeix efecte túnel de parells, n1 variarà amb el temps, i com que la fase de l’ona en depèn,també variarà. Vegem-ho per mitjà de la derivada:

∂Ψ1

∂t= 1

2n1−1/2eiθ1

∂n1

∂t+ iΨ1

∂θ1

∂t= −iTΨ2 (4.33)

∂Ψ2

∂t= 1

2n2−1/2eiθ2

∂n2

∂t+ iΨ2

∂θ2

∂t= −iTΨ1 (4.34)

Si ara multipliquem l’equació (4.33) per n11/2e−1θ1 i l’equació (4.34) per n2

1/2e−1θ2 obtenim:

12∂n1

∂t+ in1

∂θ1

∂t= −iT (n1n2)1/2eiδ

12∂n2

∂t+ in2

∂θ2

∂t= −iT (n1n2)1/2e−iδ

, on hem definit δ ≡ (θ2− θ1), la diferència de fases. Si igualem les parts reals i les parts imaginàriesobtenim:

∂n1

∂t= 2T√n1n2 sin δ

∂n2

∂t= −2T√n1n2 sin δ

∂θ1

∂t= −T

√n1

n2cos δ

∂θ2

∂t= −T

√n1

n2cos δ

La primera equació representa els parells de Cooper del superconductor 1 que transiten al super-conductor 2, i anàlogament per a la segona. Si suposem que els dos superconductors estan fets delmateix material podem fer la hipòtesi de que n1 ≈ n2, cosa que implica:

∂n1

∂t= −∂n2

∂t

, que ens garanteix l’existència de corrent (encara que sigui molt petit), ja que hi ha transport deparells d’un superconductor a l’altre.

∂θ1

∂t= ∂θ2

∂t; ∂(θ2 − θ1)

∂t= 0 ; δ = cte

D’aquesta manera, podem escriure una expressió per a la densitat total de corrent:

192

J = J0 sin δ = J0 sin(θ2 − θ1)

, on el sentit dependrà de la diferència de fase entre els dos superconductors. Aquesta expressióimplica que entre dos superconductors s’estableix un corrent sense necessitat d’una tensió aplicada, icom que la hipòtesi n1 ≈ n2 ens indica que δ és constant, la densitat total de corrent també ho serà.Per tant, tindrem corrent continu.

En conseqüència, podem dir que sense tensió aplicada no es dóna l’efecte Giaever, sinó que no-més transiten per efecte túnel parells de Cooper.

Anem a veure, ara, el cas en què també apliquem un potencial entre les fronteres de la regió di-elèctrica. Degut a aquesta tensió aplicada en la regió intermitja, el parell de Cooper, de càrrega 2q,es veurà accelerat guanyant una energia 2e · V (V és la tensió aplicada). Per a fer els càlculs méssenzills considerarem que un superconductor es troba a potencial −eV i l’altre a +eV . Així, si femel mateix desenvolupament que hem fet per al cas V = 0 des de les equacions d’Schrödinger tenim:

i~∂Ψ1

∂t= ~TΨ2 − eVΨ1

i~∂Ψ2

∂t= ~TΨ1 + eVΨ2

Si procedim de la mateixa manera que en el cas anterior (multipliquem per n11/2e−1θ1 la primera

equació i per n21/2e−1θ2 la segona) arribem a:

12∂n1

∂t+ in1

∂θ1

∂t= ieV n1

~− iT (n1n2)1/2eiδ

12∂n2

∂t+ in2

∂θ2

∂t= ieV n2

~− iT (n1n2)1/2e−iδ

, i igualant les parts reals i les parts imaginàries, trobem:

∂n1

∂t= 2T√n1n2 sin δ

∂n2

∂t= −2T√n1n2 sin δ

∂θ1

∂t=(eV

~

)− T

√n1

n2cos δ

∂θ2

∂t= −

(eV

~

)− T

√n1

n2cos δ

Fent la mateixa hipòtesi que hem fet en el cas anterior (n1 = n2), trobem en aquest cas:

∂(θ2 − θ1)∂t

= ∂δ

∂t= −2eV

~

193

Per tant, ara la diferència de fase sí que varia amb el temps, y la podem controlar per mitjà de latensió que apliquem al dielèctric. Integrant l’expressió anterior obtenim:

δ = δ0 −2eV~t

, on δ0 = δ(t = 0). I la densitat de corrent serà:

J = J0 sin(δ0 −2eV~t)

, cosa que implica que com que la diferència de fases és una funció del temps, la intensitat també hoserà, per tant, tindrem un corrent altern; no serà constant a diferència de per al cas V = 0.

La quantitat ω ≡ 2eV ~ s’anomena freqüència Josephson, i és la freqüència angular a la qual oscil·lael corrent, i depèn de la tensió aplicada. Experimentalment som capaços de mesurar freqüències ambuna alta precisió, per tant mesurar aquesta freqüència no suposa cap problema.

15/V/15

Figura 4.50: Comparació del corrent de l’efecte Josephson de parells de Cooper que transiten per efectetúnel i del corrent de Giaever només d’electrons. Així, veiem que no són difícils de distingir experimental-ment.

Suposem que tenim dues unions Josephson com mostra la Figura 4.51, configurades en forma d’anellperpendicularment al pla del qual apliquem un camp magnètic.Com ens diu l’equació 4.30, el flux magnètic atrapat ve donat per 2πn = 2e

~ φ. Si considerem el primercamí (a), la fase serà δa, mentre que per l’altre (camí b) adquirirem δb. Així, la diferència de faseentre un i l’altre és δb − δa = 2e

~ φ:

δa = δ0 −e

~φ

δb = δ0 + e

~φ

194

Figura 4.51: Esquema de dues unions Josephson configurades en forma d’anell.

De manera que la densitat de corrent total que circula pel superconductor la podem calcular com:

J = Ja + Jb = J0

sin(δ0 + e

~φ) + sin(δ0 −

e

~φ)

= 2(J0 sin δ0) · cos(eφ

~

)Aquesta última expressió ens demostra que es produeix un fenomen d’interferència quàntica mesu-rable a escala macroscòpica.

4.14 Model elèctric de la unió JosephsonCom hem vist anteriorment, per una unió Josephson:

I = I0 sin δ

V = φ0

2π δ

Figura 4.52: Esquema circuital de la unió Josephson.

Anem a fer un model circuital elèctric d’aquesta unió. Com es veu a la Figura 4.52 el model té encompte la unió pròpiament dita i dos elements més: l’efecte capacitiu a les parets del dielèctric i laresistència dissipada pel mateix (produïda pels electrons, no els parells de Cooper). Injectem correntelèctric mitjançant el potencial V , de manera que es compleix:

I = IC + IR + IT

195

, on IT és el corrent que passa per la unió per efecte túnel i IC i IR són els corrents corresponents alcondensador i a la resistència respectivament.

IT = I0 sin δ

IC = dq

dt= C

dV

dt= C

φ0

2π δ

IR = V

R= 1R

φ0

2π δ

Com que l’experiment el fem a temperatura finita hem de considerar també el soroll (IN(T )); és adir:

I + IN(T ) = IC + IR + IT

I + IN(T ) = Cφ0

2π δ + 1R

φ0

2π δ + I0 sin δ

Multiplicant tot per φ0

2π :

φ0

2πIN(T ) = φ0

2π (J0 sin δ − I) + C

(φ0

2π

)2

δ + 1R

(φ0

2π

)2

δ

Si suposem R =∞ l’últim terme és nul (no hi ha transició túnel d’electrons desaparellats) ja que laresistència és el representant elèctric d’aquests en el model.

A partir d’aquí podem adequar l’equació a una equació d’Schrödinger per a una pseudopartícula fentels canvis següents: definim A ≡ φ0

2π (J0 sin δ − I). L’equació resultant que podem escriure és:

C

(φ0

2π

)2

δ + ∂U(δ)∂δ

= φ0

2πIN(T )

, on hem definit la magnitud U(δ) ≡ −Ioφ0

2π

[cos δ + I

I0δ]

= ∂A

∂δque farà el paper d’energia potencial

d’una pseudopartícula amb massa C(φ0

2π

)2

. L’energia cinètica d’aquesta pseudopartícula la podem

expressar com p2

2m , on podem definir el moment com: p ≡ C

(φ0

2π

)2

δ = mq. Així, δ és la coordenada

generalitzada (q) del grau de llibertat que estem considerant.

Ara volem trobar com és el potencial en què està immersa la pseudopartícula. Suposem I ≈ I0 cosaque implica δ → π

2 . Si desenvolupem l’energia potencial entorn aquest punt observem que correspona un punt d’inflexió (veure Figura 4.54):

U(δ) ≈ U0 + I0φ0

2π

12

√√√√1−(I

I0

)2(δ − δ0)2 − 1

6I

I0(δ − δ0)3

196

Figura 4.53: Representació de l’energia potencial per a la pseudopartícula que estem considerant.

, on δ0 = 12 . Observem un màxim i un mínim:

Umin = U(δ = π

2 − ε)

Umax = U(δ = π

2 + ε)

Sabent que la massa és C(φ0

2π

)2

, com ja hem vist, i que la constant recuperadora pren la forma:k =

I0φ0

2π

√√√√1−(I

I0

)2, si tenim en compte que ω =

√k

mtrobem:

ω =√

2πI0

φ0C

(1− I

I0

)1/4

Aquesta serà la freqüència angular característica de les oscil·lacions de la pseudopartícula.

La barrera de potencial a què es veu exposada, doncs, té una amplada ∆U = U(δ = π

2 + ε)−

U(δ = π

2 − ε)

= I0φ0

2π

[cos(π2 − ε)− cos(π2 + ε)− 2 I

I0ε], que es pot expressar com:

∆U = 2√

2I0φ0

3π

(1− I

I0

)3/2

Quan l’energia augmenta les pseudopartícules poden saltar la barrera amb una freqüència de trànsitdefinida com:

ΓT = ω

2π exp(−∆UkBT

)Anem a veure, ara, una descripció quàntica de la unió Josephson. Baixem la temperatura fins a unpunt tal que kBT ∼ ~ω. L’operador moment en el nostre cas és:

−i~ ∂∂δ

i per tant:

197

− ~2

2m∂2Ψ(δ)∂δ2 + UδΨ(δ) = EΨ(δ)

Existeixen dos estats macrosòpics diferenciats:

• Estat metaestable:La partícula oscil·la a alta freqüència: V =< δ(t) >T= 0 En aquesta regió metaestable, si esprodueix una desexcitació un estat major a un menor d’energia s’emeten microones.

• Trànsit per efecte túnel:Si la partícula atravessa la barrera de potencial per efecte túnel la caiguda d’energia no serà desdel màxim del potencial sinó des d’un punt amb energia igual al qual es realitza la transició:V =< δ(t) >T 6= 0

Figura 4.54: Representació de l’energia potencial per a la pseudopartícula que transita la barrera perefecte túnel.

Experimentalment per a mesurar el corrent es procedeix de la manera següent. A una temperaturadonada s’aplica un corrent lineal amb el temps: I(t) ∝ t i es mesura l’instant en el qual ha apareguttensió. D’aquesta manera coneixem la tensió a partir de la qual hi ha intensitat neta i la probabilitatd’escapament:

Γ = ωp exp −UkBT ∗(T )

De manera que si representem el logaritme neperià de Γ en funcio de T ∗(T ) = T , obtindrem unagràfica que baixa linealment amb pendent −−U

KB

fins al punt TC , a partir del qual es fa constant i,per tant, independent de la temperatura.

Si representem T ∗ en funció de T trobem que a temperatures T altes, la dependència és lineal creixentmentre que quan baixem per sota de TC la gràfica esdevé constant.

198