Protocolo de Ecuaciones Diferenciales 2013

7/29/2019 Protocolo de Ecuaciones Diferenciales 2013

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

CONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100412 Ecuaciones Diferenciales

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

PROGRAMA CIENCIAS BSICAS

100412 ECUACIONES DIFERENCIALES

RICARDO GOMEZ NARVAEZ(Director Nacional)

RICARDO GOMEZ NARVAEZ

Palmira, Valle, Diciembre 2011


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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL

El presente protocolo fue diseado en el ao 2009 por Carlos Ivn Bucheli Chavesdocente de la UNAD, ubicado en el CEAD de San Juan de Pasto, el Autor esfsico-matemtico, especialista en docencia universitaria, magster en enseanzaproblemita y otros. Se ha desempeado como tutor de la UNAD desde 2001 hasta2011.

El presente protocolo ha tenido 4 actualizaciones realizadas por Carlos IvnBucheli Chaves y una 5 actualizacin que la realiza el docente Ricardo Gmez.

El material ha sido revisado por la direccin de la Escuela de Ciencias bsicas,

Tecnologa e Ingeniera: Jorge Elicer Rondon y por su acreditador: Juan JessCruz, los cuales han aportado para la calidad de este material.


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TABLA DE CONTENIDO

1. IDENTIFICACIN DEL CURSO

2. INTRODUCCIN

3. JUSTIFICACIN

4. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS

4.1 Propsitos

4.2 Objetivos

4.3 Metas

4.4 Competencias

5. UNIDADES DIDCTICAS

6. MAPA CONCEPTUAL7. CONTEXTO TERICO

8. METODOLOGA

9. SISTEMA DE EVALUACIN

10. GLOSARIO DE TRMINOS

11. FUENTES DOCUMENTALES

11.1 Bibliografa


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FICHA TCNICA

Nombre del curso: Ecuaciones DiferencialesPalabras clave: Ecuacin, solucin, curva, homognea, exacta, orden

aplicacin, constante, serie, polinomio, ortogonal, derivada

integral, no lineal, punto critico, diferencial, variable, exacta,factor, no homognea, lineal, punto, regular, derivadas,parciales, funciones.

Institucin: Universidad Nacional Abierta y a Distancia -UNAD.Ciudad: Palmira ColombiaAutor del Protocolo Acadmico: Ricardo Gmez Narvez

[email protected]@gmail.com

Ao: 2011.Unidad Acadmica: Ciencias BsicasCampo de formacin: Ingeniera.

rea del conocimiento: Disciplinar.Crditos acadmicos: Tres (3), correspondiente a 144 horas de trabajo acadmico:

106 horas promedio de estudio independiente y 38 horaspromedio de acompaamiento tutorial.

Tipo de curso: Terico.Destinatarios: Estudiantes de diversos programas de pregrado y cursos

abiertos de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia-UNAD-.

Competencia general deaprendizaje:

El estudiante conoce los conceptos tericos bsicos para laresolucin de ecuaciones diferenciales, la misma queaplicar en el diseo de modelos matemticos de fenmenos

fsicos, as como en la resolucin de problemas con enfoquehacia el rea de ingeniera.

Aplicar los conocimientos tericos en la resolucin deecuaciones diferenciales y realizar trabajos en equipo parafomentar la tolerancia, el razonamiento crtico, el respeto y laresponsabilidad.Donde el estudiante: Podr analizar las variables fsicas msimportantes dentro de los fenmenos naturales y de losaparatos construidos. Desarrollar sus habilidades depensamiento complejo. Reforzar el pensamiento lgico ysimblico. Estimular el pensamiento creativo a partir de las

posibilidades de diversidad y cambio en la estructuramatemtica de los fenmenos fsicos.

Metodologa de oferta: A distancia.Formato de circulacin: Documentos impresos en papel, Web; CD-ROM.Denominacin de las unidadesdidcticas:

Unidad 1: ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.Unidad 2: ecuaciones diferenciales de segundo orden y deorden superior.Unidad 3: estudio de series y funciones especiales


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INTRODUCCIN

La educacin a distancia ha sido tema de estudio de inters, debido, entre otros

factores, al crecimiento demogrfico y a los cambios acelerados en la tecnologa yel nuevo entorno internacional. En ese lapso hemos pasado, en mayor o menor

grado, de una educacin tradicional, escolarizada, cerrada, de limitado acceso y

por un perodo determinado, a una educacin moderna, abierta, a distancia, sin

restricciones de acceso, continua y para toda la vida.

Lo anterior implica nuevas formas de aprender, formas que implican importantes

cambios tanto para los estudiantes como para los docentes y, an ms, para el

propio sistema educativo.

El presente curso acadmico: Ecuaciones diferenciales se encuentran ubicado en

el rea Disciplinar donde Una ecuacin diferencial es una ecuacin en la que

aparecen una funcin incgnita y alguna de sus derivadas. Si la funcin es de una

variable la ecuacin se llama ordinaria (EDO). Si es de varias variables, la

ecuacin es en derivadas parciales

El curso acadmico tratara los siguientes aspectos de mucha importancia en la

ingeniera y sus diferentes proyecciones a la solucin de problemas as: Trata de

los sistemas de n ecuaciones de primer orden y de las ecuaciones de orden n

sobre los que ms informacin se puede obtener y que ms veces son resolubles:

los lineales. Primero se generalizan las propiedades vistas de las ecuaciones de

primer orden. Luego se tratan, para ir fijando ideas, los sistemas de 2 ecuaciones

y las ecuaciones de orden 2 (siempre resolubles si los coeficientes son

constantes). Se pasa despus al orden n general (se podrn resolver ya menos

veces), se estudia su estabilidad y se introduce la tcnica de resolucin mediante

transformadas. Hay una breve seccin sobre soluciones peridicas; describe cmo

resolver las EDOS lineales de segundo orden con coeficientes variables mediante

series de potencias (nico mtodo posible la mayora de las veces), en torno a los


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llamados puntos regulares y a los singulares regulares. Adems estudiaremos en

este curso una unidad con respecto al manejo de series y la solucin de

ecuaciones diferenciales mediante series llevando el curso a sus diversas

aplicaciones.

El trabajo Acadmico consta de dos componentes:

Estudio independiente, que puede ser realizado en forma individual o en pequeos

grupos colaborativos.

Acompaamiento tutorial, donde este, se hace en grupo de curso, en pequeos

grupos colaborativos o tambin en forma individual o personalizada cuando el

estudiante lo necesite.

Las fuentes documentales y bibliografa respectiva la encuentra en forma escrita

(mdulos, libros, revistas), en medio magnticos, CDS y tambin en documentos

Web utilizando la autopista de la informacin

El curso consta de tres (3) crditos acadmicos equivalentes a 144 horas de

estudio, distribuidas de la siguiente manera:

El curso est orientado a la autogestin estudiantil de los conocimientos tericos

para la comprensin de la estructura y funcionamiento de las ecuaciones

diferenciales y series.

La estrategia pedaggica del curso har nfasis en el desarrollo de competencias

bsicas (prepositivas, argumentativas Interpretativa, latitudinales, comunicativas,

socio-afectivas, disciplinares, cognitivas, metodolgicas, complejas, y

transversales a travs del desarrollo de actividades situaciones y actuaciones de

Estudio independiente: 106 horas

Acompaamiento y seguimiento tutorial: 38 horas


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aprendizaje que involucran las fases de reconocimiento, profundizacin y

transferencia, planificadas en la gua de actividades.

El desarrollo de las actividades sern evaluadas en forma cualitativa (autoevaluacin y coevaluacin) y en forma cuantitativa (heteroevaluacin sumativa).


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3. JUSTIFICACION

Las tendencias actuales en una enseanza universitaria de calidad dan menos

importancia que antes a la transmisin de unos contenidos, por lo dems en

continuo cambio y revisin, y expresan, en cambio, mayor inters por laadquisicin, por parte del Estudiante, de tcnicas y hbitos de estudio, de

capacidad de anlisis crtico, de inventar y descubrir, etc. En suma, ponen el

nfasis en que el estudiante aprenda a aprender.

Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los ms poderosos instrumentos

tericos para la interpretacin y modelacin de fenmenos cientficos y tcnicos de

la mayor variedad, a saber, aquellos que contienen dinmicas, que expresan

evolucin, transformacin o cambio en trminos de algn conjunto de parmetros.

Son, por eso, de especial importancia prctica y terica para los ingenieros de

cualquier rama.

La matemtica, y en general el conocimiento bsico, Permite el profundo

conocimiento y comprensin de los procesos la innovacin tecnolgica, la

adecuacin y generacin de tecnologa, la optimizacin de recursos y

mejoramiento de la produccin, la generalizacin del conocimiento y las

soluciones y mucho ms La formacin bsica tecnolgica es un complemento a la

formacin tcnica, permitiendo no solo la importacin de tecnologa y soluciones,

sino tambin su adecuacin, mejoramiento e incluso optimizacin.

Las Ecuaciones Diferenciales permiten el modelado matemtico y anlisis de una

gran variedad de sistemas determinsticos, no determinsticos y estocsticos. El

curso desarrolla las principales ideas de los sistemas lineales y no lineales desdeun enfoque terico. El rea de los sistemas ha penetrado prcticamente en todas

las reas de la tecnologa, ya que permite abordar y manejar sistemticamente

aspectos de optimizacin y logro de comportamientos deseados. El rea de los

sistemas es transversal y genrica. Transversal por aplicarse a varias reas de

conocimiento: sistemas mecnicos, elctricos, de procesos, humanos,


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econmicos, etc.; por eso se encuentra todo gnero de investigadores: ingenieros

de todas las disciplinas, economistas, fsicos, matemticos, etc.

Genrica en cuanto a que utiliza mtodos, tcnicas y tecnologas de varias reasde conocimiento bajo un enfoque sistmico basado en el modelo matemtico.

Problemas cada vez ms complejos requieren de mtodos nuevos para el

modelado, anlisis y diseo de sistemas, por lo que profesionales con una buena

formacin matemtica tienen un gran campo de accin y una estrecha relacin

con la Teora General de Sistemas, Dinmica de Sistemas, Mtodos Numricos.

4. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS

4.1 PROPSITOS DE FORMACIN

Para que en el curso acadmico que usted est cursando obtenga los mejores

resultados, el curso de ecuaciones diferenciales le va a proporcionar: los

conocimientos, mtodos, tcnicas y criterios para la modelacin matemtica de

fenmenos especficos propios de la ingeniera. Por lo anterior un requisito

indispensable para este curso es tener dominio del clculo diferencial e integral.

Este curso acadmico genera las bases para la seleccin, diseo, innovacin y

creacin de sistemas; el alumno podr aplicar las ecuaciones diferenciales y las

transformadas respectivas para el diseo y solucin de problemas reales. Es

importante sealar que las ecuaciones diferenciales representan el enlace entre

los cursos de matemticas de la etapa bsica y los cursos de las etapas

disciplinarias o terminales de las diferentes carreras de ingeniera, ya que una

ecuacin diferencial es un modelo de comportamiento de un sistema real, ya sea

circuito elctrico, crecimiento poblacional, enfriamiento de un cuerpo, mezcla, etc.

Contribuir a la comprensin del estudiante sobre los enfoques tericos de las

ecuaciones diferenciales y la aplicacin de sus principios a la solucin de


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problemas del entorno a travs del desarrollo de competencias bsicas, complejas

y transversales aspectos que configuran el campo terico de las ecuaciones

diferenciales y series matemticas.

Generar en el estudiante una actitud crtica, a travs del fomento de la discusin y

el trabajo colaborativo en redes de comunidad acadmica en el rea de

matemticas y especialmente en ecuaciones diferenciales a partir de la seleccin

y valoracin de los diferentes modelos matemticos.

Potenciar los procesos de autoprendizaje del estudiante a travs del desarrollo

de estrategias de autogestin formativa, a partir de la interaccin con medios y

mediaciones incluidos escenarios virtuales, que facilitan el aprendizaje autnomo.


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4.2 OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:

Que la comunidad estudiantil de la UNAD, comprenda e interioricen las diferentes

ecuaciones diferenciales para la solucin de problemas en forma gil con una

presentacin sistemtica. Lograr que el estudiante UNADISTA:

OBJETIVO GENERAL DEL CURSO:

El Estudiante aplicar los conocimientos tericos en la resolucin de ecuaciones

diferenciales y realizar trabajos en equipo para fomentar la tolerancia, el

razonamiento crtico, el respeto y la responsabilidad. Donde conocer los

conceptos tericos bsicos para la resolucin de ecuaciones diferenciales,

conceptos que aplicar en el diseo de modelos matemticos de fenmenos

fsicos, as como en la resolucin de problemas con enfoque hacia el rea de

ingeniera y socio econmico.

OBJETIVOS ESPECFICOS DEL CURSO:

El estudiante:

Se familiarizar con los conceptos bsicos y terminologa de las ecuaciones

diferenciales en general y conocer los mtodos de resolucin de las ecuaciones

diferenciales de primer orden.

Utilizar los conceptos bsicos y la terminologa para proponer modelos

matemticos que representen la variacin de fenmenos y problemas fsicos, y

aplicar los mtodos de resolucin de las ecuaciones diferenciales de primer

orden para resolverlos.


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diferenciales y conocer los mtodos de resolucin de las ecuaciones

diferenciales de orden superior.

Utilizar los conceptos bsicos y la terminologa para proponer modelos

matemticos que representen los fenmenos oscilatorios, y aplicar los mtodos

de resolucin de las ecuaciones diferenciales de segundo orden para resolverlos.


diferenciales con coeficientes variables y conocer los diferentes mtodos para su

resolucin.

Se familiarizar con los conceptos bsicos y terminologa de la transformada de

Laplace y los utilizar en la resolucin de las ecuaciones diferenciales lineales con

coeficientes constantes.

Se familiarizar con los conceptos bsicos y terminologa de los diferentes

Sistemas Dinmicos y aprender a modelarlos.

Se familiarizar con los conceptos bsicos y terminologa de las series

matemticas y solucin de ecuaciones diferenciales.

4.3. METAS

El estudiante presentar y sustentar en su portafolio de desempeo personal una

construccin terica personal a partir de las actividades de auto aprendizaje

individual y colaborativo sealadas en la gua de actividades del curso. Para el

caso de las actividades de la fase de transferencia, los trabajos deben reflejar la

visin crtica del estudiante sobre la identificacin de un modelo matemtico

utilizando ecuaciones diferenciales y la solucin de un problema real en el rea de

estudio.


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El estudiante realimentara en el portafolio de desempeo personal la efectividad

de las estrategias cognitivas aplicadas a las diferentes situaciones didcticas

planificadas y autogestionadas a partir de la gua de actividades en el desarrollodel curso, para explicitar el resultado de la transferencia de competencias logradas

en la interaccin con medios y mediaciones incluidos escenarios virtuales

aportados por el curso.

4.4 COMPETENCIAS

Los Estudiantes conocern y reflexionarn sobre el uso y la importancia que las

Ecuaciones Diferenciales en la ingeniera. As como sus elementos bsicos y su

aplicacin en el planteamiento y solucin de problemas de Ingeniera y en general.

Los Estudiantes conocern los conceptos bsicos y terminologa de las

ecuaciones diferenciales en general, su utilizacin y los mtodos de resolucin de

las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Los Estudiantes utilizarn los conceptos bsicos y la terminologa para proponer

modelos matemticos que representen la variacin de fenmenos y problemas

fsicos, y aplicarn los mtodos de resolucin de las ecuaciones diferenciales deprimer orden para resolverlos.

Los Estudiantes conocern los conceptos bsicos y terminologa de las

ecuaciones diferenciales y aplicarn los diferentes mtodos de resolucin de las

ecuaciones diferenciales de orden superior.

Los Estudiantes utilizarn los conceptos bsicos y la terminologa para proponer

modelos matemticos que representen los fenmenos oscilatorios, y aplicarn

los mtodos de resolucin de las ecuaciones diferenciales de segundo orden para

resolverlos.


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Los Estudiantes conocern los conceptos bsicos, terminologa y propiedades de

la transformada de la place y los aplicarn en la resolucin de las ecuaciones

diferenciales lineales con coeficientes constantes

Los Estudiantes conocern los conceptos bsicos y terminologa de los sistemas

de ecuaciones diferenciales, y los aplicarn los diferentes mtodos para su

resolucin.

Los Estudiantes podrn analizar las variables fsicas ms importantes dentro de

los fenmenos naturales y de los aparatos construidos.

Los Estudiantes desarrollarn sus habilidades de pensamiento complejo

Los Estudiantes reforzarn el pensamiento lgico y simblico

Los Estudiantes estimularn el pensamiento creativo a partir de las posibilidades

de diversidad y cambio en la estructura matemtica de los fenmenos fsicos.

Estos propsitos se pueden desglosar en relacin con objetivos, competencias y

metas de aprendizaje, mediante la siguiente tabla:


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5. UNIDADES DIDCTICAS

A partir de la concepcin epistemolgica para el auto aprendizaje de lasecuaciones diferenciales se han seleccionado las palabras claves tales como:Ecuacin, solucin, curva, homognea, exacta, orden, aplicacin, constante, serie,

polinomio, ortogonal, derivada, integral, transformada, no lineal, punto crtico,diferencial, variable, exacta, factor, no homognea, lineal, punto, regular,derivadas, parciales, funciones. Que nos encontraremos en el transcurso y en elseguimiento del curso.

Unidad 1: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Las ecuaciones con las que generalmente el estudiante ha trabajado responden,

en su mayor parte, a la necesidad de obtener los valores numricos de ciertas

magnitudes. Pero en las aplicaciones de las matemticas surgen con frecuencia

una gran clase de problemas cualitativamente diferentes: problemas en los que la

incgnita es a su vez una funcin. Llegamos as a las ecuaciones funcionales y su

naturaleza puede ser, en general, muy diversa. De hecho, puede decirse que ya

se conocen algunos ejemplos de ecuaciones funcionales: el clculo de primitivas y

las funciones implcitas.

Consideraremos ahora la clase ms usual e importante de ecuaciones que sirve

para determinar tales funciones: las llamadas ecuaciones diferenciales, esto es,ecuaciones en las que, adems de la funcin desconocida. Una posible

clasificacin de las ecuaciones funcionales esta recogida en ecuaciones

diferenciales ordinarias, enderivadas parciales, ecuaciones integrales, ecuaciones

integro-diferenciales, otras. La primera clasificacin que se puede dar para las

ecuaciones diferenciales es dividirlas en ordinarias y parciales, segn que la

funcin incgnita dependa de una o de varias variables. Actualmente, las

ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para lainvestigacin de los fenmenos naturales. La mecnica, la astronoma y la

tecnologa han sido causa de numerosos progresos en esta rea. De todas

maneras las edo base fundamental del modelo matemtico de una realidad se

ajustan a una Edo lineal de primer orden por su grado de complejidad mnima.


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Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior

Es frecuente, en numerosos problemas de mecnica, teora de circuitos elctricos

o sistemas en general que se modelan matemticamente, las ecuaciones querigen los procesos son de orden mayor que uno. Por lo tanto, ser necesario

trabajar con ecuaciones diferenciales de orden superior.

Una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es una ecuacin que liga la variable

independiente x, una funcin incgnita y = y(x) y sus derivadas sucesivas), es

decir, es una expresin, bien de la forma:

F(x, y, y, y,y, . . . , y (n))= 0 (forma implcita)

Unidad 3: Estudio de series y funciones especiales

En matemticas, una serie es la suma de los trminos de una sucesin. Se

representa una serie con trminos an como donde N es el ndice final de la

serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente

todos los nmeros naturales, es decir, .

Las series convergen o divergen. En clculo, una serie diverge si no

existe o si tiende a infinito; converge si para algn .

Completamos este material didctico con la tercera unidad cuyo objetivo final nosdar las tcnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales lineales con coeficientes

variables, utilizando para ello las series. Definimos el concepto de punto ordinario

y punto singular regular.


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TABLA DE CONTENIDO UNIDADES DIDCTICASPrimera Unidad Captulos Lecciones

UNIDAD I.ECUACIONES

DIFERENCIALESDE PRIMER

ORDEN

Captulo 1:INTRODUCCIN ALAS ECUACIONESDIFERENCIALES

Leccin 1: Fundamentos generales como apoyo alas ecuaciones diferenciales.

Leccin 2: Conceptualizacin de una ecuacindiferencial.Leccin 3: Resolucin de una ecuacin diferencial.Leccin 4: Clasificacin de las ecuacionesdiferenciales.Leccin 5: Ejercicios propuestos.

Captulo 2:ECUACIONES

DIFERENCIALESLINEALES DE

PRIMER ORDEN

Leccin 6: Ecuaciones con variables separables.Leccin 7: Ecuaciones Homogneas.

Leccin 8: Ecuaciones exactas.Leccin 9: El factor integrante.Leccin10: Ejercicios Propuestos

Captulo 3:CAMPOS DE

APLICACIN DELAS ECUACIONES

LINEALES DEPRIMER ORDEN

Leccin 11: Trayectorias Ortogonales.Leccin 12: Los campos de fuerza. Una aplicacinde las Ecuaciones diferenciales.Leccin 13: Aplicaciones de familias de curvas ytrayectorias ortogonales.Leccin 14: Otras aplicaciones de las ecuacionesdiferenciales.

Leccin 15: Ejercicios Propuestos.Segunda Unidad Captulos Lecciones

UNIDAD II.ECUACIONES

DIFERENCIALESDE SEGUNDOORDEN Y DEORDEN SUPERIOR

Captulo 4.ECUACIONES

DIFERENCIALES DESEGUNDO ORDEN.

Leccin 16: Ecuaciones diferenciales de segundoorden y mtodos de solucin.Leccin 17: La Solucin General de una ecuacindiferencial como Combinacin Lineal de SolucionesLinealmente Independientes.Leccin 18: Ecuaciones diferenciales linealeshomogneas y no homogneas con coeficientes

Constantes.Leccin 19: Operador para la solucin deecuaciones diferenciales.Leccin 20: Ejercicios Propuestos.

Captulo 5:ECUACIONES

DIFERENCIALES DEORDEN SUPERIOR

Leccin 21: Ecuaciones diferenciales lineales deorden n.Leccin 22: Ecuaciones diferenciales de orden


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superior con coeficientes constantesLeccin 23: Ecuacin diferencial de orden superiorhomognea y no homognea con coeficientesconstantes.

Leccin 24: Mtodos generales de solucin de lasecuaciones diferenciales de orden superior.Leccin 25: Ejercicios propuestos.

Captulo 6:CAMPO DE

APLICACIONES DEECUACIONES DE

SEGUNDOORDEN Y DE

ORDEN SUPERIOR.

Leccin 26: Aplicaciones de las ecuacionesdiferenciales de segundo ordenLeccin 27: Aplicaciones de las ecuacionesdiferenciales de orden superiorLeccin 28: Ecuaciones diferenciales de Euler.Leccin 29: Ecuaciones diferenciales deChebyshev y de Bessel .Leccin 30: Ejercicios Propuestos.

Tercera Unidad Captulos Lecciones

UNIDAD III.ESTUDIO DESERIES YFUNCIONESESPECIALES

Captulo 7:GENERALIDADESDEL ESTUDIO DE

SERIES.

Leccin 31: Definicin de serie matemtica.Leccin 32: Clasificacin de las seriesmatemticas.Leccin 33: Tcnicas para resolver EcuacionesDiferenciales mediante series matemticas.Leccin 34: Definimos el concepto de puntoordinario y punto singular regular en una Ecuacin

diferencial.Leccin 35: Ejercicios Propuestos.

Captulo 8:SOLUCION DEECUACIONES

DIFERENCIALESMEDIANTE SERIEDE POTENCIAS

Leccin 36: Estudio de Series De Potencias.Leccin 37: Propiedades y Convergencia de lasseries de potencias.Leccin 38: Solucin de ecuaciones diferencialesde primer orden mediante Series de potencias.Leccin 39: Solucin de ecuaciones diferencialesde orden superior mediante Series de potencias.

Leccin 40: Ejercicios Propuestos.

Captulo 9:FUNCIONES

ESPECIALES YSERIES

MATEMATICAS

Leccin 41: Funciones analticas.Leccin 42: Series De Taylor.Leccin 43: Solucin de ecuaciones diferencialesmediante Series de Taylor.Leccin 44: Series de MacLaurn.Leccin 45: Ejercicios Propuestos.


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6. MAPA CONCEPTUAL CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES


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7. CONTEXTO TERICO

Las ecuaciones diferenciales juegan un papel esencial en el modelado deprocesos fsicos, qumicos, biolgicos, econmicos, atmosfricos, oceanogrficos,

etc.Tambin son utilizadas en la industria para el control de procesos de produccin,para la simulacin por computadora de procesos, etc.

Adems, son parte fundamental de modelos de la naturaleza y de aplicaciones enla salud.

La resolucin efectiva de las ecuaciones diferenciales requiere, en casi todos loscasos, el uso de diseos y el anlisis del sistema a tratar. Cabe sealar que un

tipo de mtodos matemticos difiere del modelo encontrado. Esta clase demtodos requiere la aplicacin de avanzadas tcnicas matemticas.

Una ecuacin diferencial es una ecuacin en la que intervienen derivadas de unao ms funciones. Dependiendo del nmero de variables independientes respectode las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto auna sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto ados o ms variables.

A la variable dependiente tambin se le llama funcin incgnita.

La resolucin de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemtico queconsiste en buscar una funcin que cumpla una determinada ecuacin diferencial.Se puede llevar a cabo mediante un mtodo especfico para la ecuacindiferencial en cuestin o mediante una transformada (como, por ejemplo, latransformada de Laplace).

Orden de la ecuacin

Se llama orden de la ecuacin al orden de la derivada de mayor orden queaparece en la ecuacin.

Ejemplo: y + 4 xy + 2y = 4x + 5
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplacehttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplacehttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales


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es una ecuacin diferencial de orden 2, ya que la derivada de mayor orden queaparece en ella es de ese orden.

Grado de la ecuacin

Se llama grado de la ecuacin al exponente de la derivada de mayor orden. Laecuacin debe tener una forma polinmica, de no ser as se considera que notiene grado.

Se dice que una ecuacin es lineal si tiene la forma:

, es decir:

Ni la funcin ni sus derivadas estn elevadas a ninguna potencia distinta de uno o

cero.

Tipos de soluciones

Una solucin de una ecuacin diferencial es una funcin que al remplazar a lafuncin incgnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica laecuacin. Hay tres tipos de soluciones:

Solucin general: una solucin de tipo genrico, expresada con una o msconstantes. La solucin general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud

de acuerdo a su cantidad de constantes. En caso de que la ecuacin sea lineal, lasolucin general se logra como combinacin lineal de las soluciones (tantas comoel orden de la ecuacin) de la ecuacin homognea (que resulta de hacer eltrmino no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) ms una solucinparticular de la ecuacin completa.

Solucin particular: un caso particular de la solucin general, en donde laconstante recibe un valor especfico.

Solucin singular: una funcin que verifica la ecuacin, pero que no se obtiene

particularizando la solucin general.

El uso de ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todos los ramos de laingeniera para el modelamiento de fenmenos fsicos.

Criterios de calidad del curso
http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa


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El curso de Ecuaciones Diferenciales se desarrolla con aplicacin de un protocoloacadmico y de una gua acadmica que garantizan el cumplimiento de losrequisitos de calidad planteados en el decreto 2566 sobre condiciones paraacreditacin de los programas, incluyendo por ejemplo el caso especfico de los

crditos acadmicos como parmetro para la, gestin de tiempos de aprendizajeindependiente y con acompaamiento docente, ms la optimizacin disciplinarmediante la actualizacin de los contenidos y la interaccin con redes decomunidades acadmicas especializadas en la disciplina.

Aplicacin de las TIC en el curso

El empleo de las TIC se evidencia en el uso de herramientas de aula virtual, paracomunicacin o interaccin dialgica, estudio, cognicin y evaluacin.

El curso de Ecuaciones Diferenciales est agregando estos avances de maneraadaptada al modelo pedaggico institucional de forma virtual y tradicional. Elproceso de

El proceso de cambio a campus virtual de Ecuaciones Diferenciales estelevadamente desarrollado en cuanto a preparacin de contenidos multimedialeso virtuales, como se podra analizar navegando en el curso correspondiente.

El campus virtual incluir adems la construccin y fortalecimiento de la redacadmica de docentes de Ecuaciones Diferenciales a nivel de todos los CEAD

del pas y la interaccin con profesionales internacionales y nacionales del campode las matemticas.

Suministraremos material, ideas prcticas y recursos acerca de la Integracin delas tecnologas de la Informacin y las Comunicaciones (TICs) en la clase deEcuaciones Diferenciales. Esta asignatura, en compaa de Lenguaje, sonfundamentales en el desarrollo intelectual de los estudiantes ya que ofrecenherramientas para aprender a pensar y para aprender a aprender.

Las ecuaciones diferenciales han sido tradicionalmente un dolor de cabeza para

educadores y estudiantes. Un alto porcentaje de estudiantes sienten temor y faltade gusto cuando se enfrentan a esta materia.

La educacin universitaria debe tener como propsito que los estudiantesalcancen las competencias matemticas necesarias para comprender, utilizar,aplicar y comunicar conceptos y procedimientos matemticos. Que puedan atravs de la exploracin, abstraccin, clasificacin, medicin y estimacin, llegar a


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resultados que les permitan comunicarse y hacer interpretaciones yrepresentaciones; es decir, descubrir que las ecuaciones diferenciales si estnrelacionadas con la vida y con las situaciones que los rodean, ms all de lasparedes de la universidad.

En cuanto a la integracin de las TICs en los procesos de aprendizaje de lasEcuaciones Diferenciales, nos hemos basado en cinco categoras, las cuales son:conexiones dinmicas, herramientas avanzadas y comunidades ricas en recursosmatemticos.

Conexiones Dinmicas Manipulables: Las Ecuaciones Diferenciales estncargadas de conceptos invisibles o abstractos y de smbolos. En este sentido, laimagen cobra un valor muy importante en esta asignatura ya que permite que elestudiante se acerque a los conceptos, sacndolos de lo abstracto mediante su

visualizacin y transformndolos realizando cambios en las variables implcitas.

Herramientas Avanzadas:Las hojas de clculo, presentes en todos los paquetesde programas de computador, pueden ser utilizadas por los estudiantes en laclase de Ecuaciones Diferenciales como herramienta numrica. Las calculadorasgrficas enfatizan la manipulacin de smbolos algebraicos, permitiendo graficarfunciones, ampliarlas, reducirlas y comparar las graficas de varios tipos defunciones. Adicionalmente, las herramientas para graficar y analizar datosposibilitan que el estudiante descubra patrones en datos complejos, ampliando deesta forma su razonamiento estadstico.

Comunidades Ricas en Recursos Matemticos:Los tutores pueden encontraren Internet miles de recursos para enriquecer la clase de EcuacionesDiferenciales, como: simulaciones, proyectos de clase, calculadoras; software pararesolver ecuaciones, graficar funciones, encontrar derivadas, elaborar y ejercicios,convertir unidades de medida, ejercitar operaciones bsicas, construir y visualizarfiguras geomtricas, etc.

Internet, el ms poderoso sistema de comunicacin que haya conocido lahumanidad, posibilita la creacin de ambientes colaborativos y cooperativos en el

mbito local, nacional o internacional, y en los cuales tutores y estudiantescomparten proyectos y opiniones sobre un tema en particular. Los estudiantestambin pueden encontrar en este medio una variedad de bases de datos coninformacin de todo tipo.

Comunidades de aprendizaje autnomo:


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El aprendizaje virtual incluye y facilita el trabajo colaborativo de grupos deestudiantes a quienes se les pueden asignar en procesos participativos dedecisin, tareas contextualizadas para el abordaje de problemas terico-prcticosde la ecuaciones diferenciales conectados con realidades ambientales del entorno

del estudiante. Estos trabajos se convierten en oportunidades de investigacinformativa y en semilleros de investigacin para orientar a los estudiantes hacia laintegracin a lneas institucionales de investigacin lideradas por los docentes anivel central y regional.

Las Comunidades de Aprendizaje es un proyecto de transformacin de centroseducativos dirigido a la superacin del fracaso universitario y la eliminacin deconflictos. Este proyecto se distingue por el aprendizaje dialgico mediante losgrupos interactivos, donde el dilogo igualitario se convierte en un esfuerzo comnpara lograr la igualdad educativa de todos los estudiantes.

Las comunidades de aprendizaje representan una apuesta por la igualdadeducativa en el marco de la sociedad de la informacin para combatir lassituaciones de desigualdad en las que se encuentran muchas personas.


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8. METODOLOGA GENERAL

Al tratarse de un curso a distancia ajustado en el auto aprendizaje del estudiantemediante el aprovechamiento de material hipermedia con acceso a aula virtual, sin

eliminacin de otras interacciones de acompaamiento tutorial y de trabajo engrupos colaborativos, la metodologa a aplicar parte de la carga de las temticasfundamentales del curso en tres fases: reconocimiento, profundizacin ytransferencia.

Grafica No. 2. METODOLOGA A USAR EN ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Fase de Reconocimiento

Se relaciona a la interaccin entre los conocimientos previos y las nuevasconceptualizaciones del curso.

Las actividades se enmarcan en situaciones didcticas que para la fase dereconocimiento, pueden corresponder a las siguientes posibilidades didcticas:

1.1. Para la fase de reconocimiento general del curso:

Una actividad individual a travs de una leccin evaluativa sobre losconocimientos previos del curso, es decir, la identificacin de conceptosconocidos y conceptos nuevos que necesitan posterior profundizacin. En lametodologa tradicional esta evaluacin diagnstica ser realizada por el tutor,quien despus de aplicar esta evaluacin, debe proporcionar la respectivaretroalimentacin. Esta actividad debe desarrollarse, desde el primer da delabores acadmicas, de acuerdo al cronograma acadmico establecido.


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Un foro donde pueden interactuar el tutor con el pequeo grupo, con el fin de quehaya un reconocimiento de los compaeros de grupo y que se aborden todas lasinquietudes relacionadas con el curso acadmico que tienen los estudiantes. Paralos estudiantes de metodologa tradicional se debe realizar un encuentro de grupo

donde se analice elprotocolo acadmico y la gua de actividades del curso, previalectura de los mismos por parte de los estudiantes. En este evento se constituirngrupos colaborativos.

1.2 El reconocimiento de cada unidad temtica

Se refiere a la confrontacin de los contenidos del curso con los conocimientos yexperiencias previas, identificando nuevos conceptos a adquirir. Se realizamediante lecciones evaluativas individuales, para el caso de metodologatradicional esta evaluacin ser realizada por el tutor. Las preguntas formuladasen la leccin evaluativa deben derivarse de un prrafo o contexto para que el

estudiante, reconozca o identifique los tpicos o diferentes temticas de la unidad.Esta evaluacin ser diseada, revisada y calificada por el tutor, de maneraindividual, incorporando en el resultado la respectiva retroalimentacin.

2. Fase de profundizacin

Corresponde al desarrollo de actividades de aprendizaje por cada unidad temticaque permiten analizar y re conceptualizar los conceptos encontrados en la fase dereconocimiento. Se realizan a travs de quz y lecciones evaluativas sobre loscontenidos didcticos y objetos virtuales de aprendizaje de las unidadescorrespondientes, orientadas a precisar las nociones, procedimientos y estado del

arte en los campos de frontera de la disciplina. Para los estudiantes demetodologa tradicional el tutor disea, aplica y califica las evaluaciones deacuerdo a los lineamientos del modelo de evaluacin de la UNAD.

3. La fase de transferencia

Integra los aprendizajes mediante una re contextualizacin, re significacin yaplicacin autnoma a situaciones problmicas de naturaleza terica o prctica,generando competencias para el futuro desempeo interdisciplinario ytransdisciplinario en el campo profesional.

El proceso general se complementa y refuerza con sistemas de interactividadpedaggica asincrnica mediante foros para socializacin de logros del estudioindependiente, en pequeos grupos colaborativos, la realizacin de tareas, y eldesarrollo de prcticas.

El proceso general de auto aprendizaje, se complementa y refuerza conmomentos de auto evaluacin, coevaluacin y heteroevaluacin, articulados con


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sistemas de interactividad pedaggica sincrnica o asincrnica para socializacinde logros del estudio independiente, en pequeos grupos colaborativos, en grupode curso, tutora individual. El proceso final se refuerza con la realimentacinsobre los logros sustentados en los procesos evaluativos a nivel formativo ysumativo.

COMPONENTES DEL TRABAJO ACADMICO

ESTUDIO INDEPENDIENTE

Es el momento donde el Estudiante inicia su proceso de auto aprendizaje, pormedio de actividades acadmicas individuales y grupales. Por el sistema decrditos acadmicos, el Estudiante debe utilizar por lo menos 106 horas de estudioindependiente, correspondiente a 3 crditos acadmicos para este curso.

En este componente hay dos acciones a saber:

Trabajo Personal

El estudio por medio del trabajo personal, es la fuente fundamental delaprendizaje, donde el Estudiante indaga los ncleos generativos del conocimiento,por medio de la exploracin del curso acadmico, la lectura y anlisis de la guadidctica, lectura del modulo y otro material escrito, consulta en sitios de la Web eInternet, desarrollo de actividades de la gua respectiva, la elaboracin deresmenes, realizacin de Auto evaluacin, presentacin de informes. Para estaaccin, se recomienda que el estudiante desarrolle el mtodo de lectura autor

regulada. En este espacio el Estudiante desarrolla las fases de: Reconocimiento,ya que puede activar sus conocimientos previos, objetivar los significados dedichos conocimientos y conseguir mtodos y herramientas para que sta fase deadquisicin de conocimientos sea ms fcil de desarrollar.

Profundizacin, porque el estudiante por medio de actividades planteadasdidctica y secuencialmente adquiere el dominio de conceptos y competencias dediversas ndoles, segn los propsitos, objetivos y competencias propuestos.

Es importante que el estudiante aproveche al mximo este componente del trabajoacadmico, ya que de la ejecucin de ste depende en gran parte el xito del

proceso de aprendizaje.

De esta accin el estudiante debe haber realizado mnimo lo siguiente.

1. Un resumen del tema en cuestin, utilizando una de las siguientesherramientas. Mapa conceptual, ensayo y otros.

2. Conocer los principios del tema, destacando teoras, definiciones, frmulas,otros.


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3. Identificar dudas, plantear inquietudes y proponer debates para el trabajo engrupo, paneles, sobre temas crticos que halla identificado a travs del estudiorealizado.

4. Un auto evaluacin que permita detectar los avances del tema en estudio.

En el trabajo personal el Estudiante deber disponer de 80 horas/curso.

Trabajo En Pequeos Grupos Colaborativos de Aprendizaje

Despus del trabajo personal, el estudiante debe compartir lo aprendido con suscolegas, lo cual se hace por medio de un trabajo en grupo, donde se intercambianconocimientos, se debaten dudas, se hacen preguntas entre compaeros. Estetrabajo se puede realizar en la Universidad, o en un sitio estratgico donde elnmero de estudiantes que componen el equipo se les facilite tanto eldesplazamiento como los encuentros. Esta actividad se hace en ausencia del

tutor y est basada en lo propuesto en la gua de actividades. Este es el espaciopara comenzar a desarrollar la competencia de comunicacin y a estimular lashabilidades valorativas y de interaccin. Este trabajo es importante y tienecarcter obligatorio en el desarrollo del curso acadmico y requiere que se utilicen26 horas/curso.

Este trabajo debe permitir:

1. Complementar los conocimientos propios, con los de otros compaeros.2. Aclarar dudas acerca de temas concretos.3. Reforzar lo aprendido, con lo aportado por los dems compaeros.

4. Proponer dudas grupales para compartir con el tutor.5. Desarrollar coevaluacin que permita indagar los conocimientos adquiridosentre estudiantes y as detectar debilidades y dificultades en la comprensin deltema estudiado.

ACOMPAAMIENTO TUTORIAL

Realizadas las actividades individuales y grupales por parte de los estudiantes,existen argumentos slidos para realizar una tutora, la cual puede ser de trestipos segn se explicar a continuacin. El tiempo a utilizar en elacompaamiento tutorial es de 38 horas, segn el nmero de crditos para este

curso.

Tutora Individual

En este espacio el tutor hace acompaamiento al estudiante de manera individualsobre situaciones particulares de ste ltimo, tales como contenidos temticos y


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tcnicas que est utilizando el estudiante en su proceso y as se pueda potenciarsu aprendizaje.En este momento se puede valorar el trabajo del estudiante por medio de revisinde informes, evaluacin de actividades, portafolios y otros, todo esto por medio deheteroevaluacin realizada por el Tutor.

Tutora a Pequeos Grupos Colaborativos

En este espacio el Tutor hace acompaamiento a un pequeo grupo deEstudiantes acerca de situaciones particulares que puedan presentar stos, talescomo contenidos temticos, pertinencia y efectividad de los mtodos y tcnicasque esta utilizando el grupo en su proceso y as se pueda estimular y potenciar elaprendizaje del grupo.

En este momento se puede valorar el trabajo del pequeo grupo por medio de

revisin de informes, evaluacin de actividades, portafolios, exposiciones y otros,todo esto por medio de coevaluacin y heteroevaluacin.

Tutora en Grupo de Curso

Este es el espacio donde los estudiantes, con la orientacin del tutor, se abordaaquellos temas especficos que han presentado algn grado de dificultad en losmomentos previos. En las tutoras, el docente debe asumir el rol de orientador ydinamizador del aprendizaje, esperando que el encuentro sea dinmico yparticipativo por parte de los estudiantes. NO se debe esperar que el tutor DICTE

UNA CLASE, ya que el espacio es para tratar temticas de manera msprofunda, aclarar dudas que no se pudieron solucionar ni individual ni grupalmente.En el acompaamiento tutorial, se desarrolla la fase de Transferenciadel Procesode aprendizaje; ya que el estudiante con los conocimientos adquiridos, esta encapacidad de resolver problemas en otras situaciones utilizando los mismosprincipios, teoras y definiciones. Pero adems se fortalecen las fases deReconocimiento y Profundizacin.

La siguiente grfica, permite comparar el modelo pedaggico tradicional, el cualNO se debe aplicar en nuestra institucin y la propuesta de modelo que la UNAD

quiere apropiar.


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Grafica No. 5. MODELO PEDAGOGICO

Como podemos observar en la grfica, la propuesta est acorde con losmomentos que se describen en la metodologa a distancia que la UNAD viene

desarrollando y quiere madurar para llegar a un modelo propio, que seaconvalidado y plenamente probado para nuestra institucin.

Se visualizan los momentos de trabajo individual, trabajo en grupos colaborativosy acompaamiento tutorial. Pero se observa el uso de las TIC como herramientabsica para que la interiorizacin de los conocimientos sea ms dinmica ysignificativa.

PROPUESTA

MODELO TRADICIONAL

Transmisin Recepcin

Conocimiento elaborado


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9. SISTEMA DE EVALUACIN

En la UNAD se aplican tres estilos de evaluacin: Profundizacin

AUTOEVALUACIN

Es aquella que realiza el mismo estudiante, donde a medida que va estudiando, seva planteando preguntas y el mismo las resuelve. De esta forma el estudiantehace su propio seguimiento, identificando avances y dificultades, lo que hace elproceso de autoaprendizaje muy dinmico y participativo. Este tipo de evaluacinNO tiene ponderacin para la aprobacin del curso, solo es una forma deidentificar fortalezas y debilidades en el proceso de aprendizaje.

COEVALUACIN

Cuando el estudiante realiza estudio en pequeo grupo colaborativo, los

compaeros pueden valorar los avances, por medio de la coevaluacin, en stalos compaeros se evalan entre si, con el fin de identificar los avances y detectardebilidades en el desarrollo de los temas que se estn estudiando. Lacoevaluacin es un espacio para desarrollar habilidades comunicativas y NO tieneponderacin para la aprobacin del curso.

HETEROEVALUACIN

Es aquella preparada por el tutor titular del curso, para hacer el seguimiento alrendimiento acadmico de los estudiantes, se puede realizar por medio deparciales, quices, revisin de informes, trabajos, portafolios, evaluacin nacional y

otros. Este estilo de evaluacin es la utilizada por la UNAD para determinar laaprobacin o no del curso acadmico.

La nota definitiva para que un Estudiante apruebe el curso acadmico estadistribuida as:

1. Una nota obtenida de un examen nacional al final del curso acadmico quetiene un valor del 40% del total, la cual es alimentada por los tutores y docentetitular del curso y diseada por ste ltimo. La prueba es aplicada en los CEADcon la supervisin de los tutores que orientan el curso.

2. Para el 60% restante de la nota del curso, se tiene la siguiente ponderacin: Enla fase de reconocimiento se utiliza el 10%, para la Profundizacin el 30% y parala fase de Transferencia el 20%.

En forma general, el proceso de evaluacin se dar bajo la siguiente grfica:


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Grafica No. 6. FORMA DE EVALUACIN ECUACIONES DIFERENCIALES

Es importante cubrir todos los aspectos antes de hacer una evaluacin de cada

uno de los temas. Si bien la concrecin en la interpretacin, inferencia de modelos,identificacin de modelos y de mtodos de solucin estn ligados a la evaluacindel logro de habilidades; de manera simultnea, la participacin, respeto a suscompaeros, apego a las reglas prestablecidas, etc., estn ligados a la evaluacindel cumplimiento de los compromisos.

Tabla 5: Distribucin de horas promedio para el aprendizaje acadmicosegn el sistema de crditos aplicado al contexto de la educacin a distancia

Tabla 6: Horas promedio que el estudiante debe dedicar al desarrollo deactividades sistmicas de aprendizaje en educacin a distancia, segn

nmero de crditos acadmicos

ACTIVIDADES

DISTRIBUCI N DE HORAS DE ESTUDIO

SEGN NMERO DE CRDITOSACADMICOS3

Aprendizaje y estudio independiente 84Trabajo en pequeos grupos colaborativos 24

Acompaamiento tutorial en grupo de curso 12Acompaamiento y seguimiento tutorial 24Total ho ras 144

ACTIVIDADES GENERALES DEL

TRABAJO ACADMICO

No. De Crditos

3Estudio independiente 108

Acompaamiento y seguimiento tutorial 36Total ho ras 144


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Tabla 7: Distribucin de horas por crdito acadmico para actividades engrupo de curso segn fases de aprendizaje

ACTIVIDADES EN GRUPO DE CURSONMERO DE HORAS

POR CRDITOSACADMICOS

3Induccin 2Reconocimiento 2Profundizacin 4Transferencia 4Total ho ras 12


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10. GLOSARIO DE TERMINOS

LGEBRA: Parte de las matemticas que trata de la cantidad en gral., valindosepara representarla de letras u otros smbolos.

ANLISIS: Parte de las matemticas puras que estudia las materias nocomprendidas en la aritmtica, geometra y lgebra. Los lmites de su contenidono estn definidos con exactitud: ~ combinatorio, parte del anlisis matemticoque estudia los grupos que se pueden formar con elementos de conjuntosteniendo en cuenta, bien los objetos tomados, o bien el orden en que se toman, oambos valores a la vez.

APROXIMACIN: Diferencia admisible entre un valor obtenido en una medicin oclculo y el valor exacto desconocido. Es anglicismo en el sentido de la manera deabordar o de considerar aquello de lo que se va a tratar.

ASE: Cantidad fija y distinta de la unidad, que ha de elevarse a una potenciadada, para que resulte un nmero determinado.

ALCULO: Nombre de varias ramas de las matemticas que implican ~: ~infinitesimal, el que se ocupa en las cantidades infinitamente pequeas.Comprende el ~ diferencial, que trata de las diferencias infinitamente pequeas delas cantidades variables, y el ~ integral, que trata de la determinacin de lascantidades variables, conocidas sus diferencias infinitamente pequeas.

CANONICA: Una fraccin est en su forma reducida o cannica si el numerador yel denominador no tienen un factor comn.

COEFICIENTE: Nmero que escrito a la izquierda e inmediatamente a unmonomio indica las veces que ha de tomarse como sumando. Cuando elcoeficiente se refiere a todo un binomio o polinomio, encirrese ste dentro de unparntesis.

CONDICION: A condicin que, siempre que, con tal que.

CONDICIONAMIENTO: Limitacin, restriccin.

CONSTANTE: Cantidad, valor que se mantiene invariable: constantes vitales,

medidas, conjunto de datos relativos a la composicin y las funciones delorganismo, cuyo valor debe mantenerse dentro de ciertos lmites para que la vidaprosiga en condiciones normales.

CONTORNO: Conjunto de las lneas que limitan una figura o composicin.

CONVERGENCIA: Dirigirse a un mismo punto: dos lneas que convergen; varioscaminos

A

B

C


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convergan en aquel lugar.

IFERENCIACIN: Operacin por la cual se determina la diferencial de unafuncin.

DIFERENCIAL: Diferencia infinitamente pequea de una variable.

DIVERGENCIA: Irse apartando sucesivamente unas de otras, dos o ms lneas,superficies o cosas.

CUACIN: Igualdad entre dos expresiones que contienen una o ms incgnitas.

ESPACIO VECTORIAL: Un espacio vectorial V es un conjunto no vaco devectores que cumple una serie de propiedades.

ACTOR: Cantidad que se multiplica con otra para formar un producto.

FORMULA: Resultado de un clculo cuya expresin, simplificada, sirve de reglapara resolucin de todos los casos anlogos.

FUNCION: Magnitud cuyos valores dependen de los de otra u otras variables.AMMA: Funcin matemtica.

DENTIDAD: Igualdad que se verifica siempre, sea cualquiera el valor de lasvariables que su expresin contiene.

INTEGRAL: Determinar por el clculo [una cantidad] conociendo slo la expresindiferencial.

ETODO: Procedimiento, se aplica peralte. a la manera de hacer algo, esp.Cuando comprende ms de una operacin.

MODELO: Esquema terico de un sistema o realidad compleja que se elaborapara facilitar su comprensin y estudio.

OTACIN: Representacin por medio de signos convencionalesPARCIAL: Relativo a una parte del todo

AICES: Valor que puede tener la incgnita de una ecuacin. Cantidad que,tomada como factor cierto nmero de veces, da como producto una cantidaddeterminada: ~ cuadrada, la que, tomada dos veces como factor, da una cantidaddeterminada; ~ cbica, la que, tomada tres veces como factor, da una cantidad

D

E

F

G

I

M

N

R


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determinada; ~ irracional o sorda, la que no puede expresarse exactamente connmeros enteros ni fraccionarios.

REGLA: artificio que sirve para realizar mecnicamente ciertas operacionesaritmticas, por ejemplo multiplicar y dividir.

ERIE: Sucesin de cantidades que se derivan unas de otras: ~ convergente,sucesin convergente.

SISTEMAS: Coleccin de definiciones y reglas operativas que se introducen conun objetivo definido: ~ de coordenadas. - ENTRADA PROCESO Y SALIDA.

SOLUCION: Cantidad que satisface las condiciones de un problema o unaecuacin.

EOREMA: Proposicin que afirma una verdad demostrable. Enunciado de una

propiedad o proposicin seguida de su demostracin. Resultado de un estudiomatemtico.

TRANSFORMADA: Resultado de una operacin algebraica cualquiera, obtencinde otra equivalente, aunque de forma distinta, por medio de una o de variasoperaciones determinadas.

ALORES: Determinacin cuantitativa particular: valores de una variable.

VARIABLE: Smbolo que designa un conjunto de nmeros y representaindistintamente a cada uno de ellos. Estos nmeros se llaman valores de la ~, y su

conjunto campo de variabilidad.

S

T

V


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11. FUENTES DOCUMENTALES

DOCUMENTOS IMPRESOS

BIBLIOGRAFA

Boyce, W.E., DiPrima, R.C. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores enla frontera, Limusa, 1996.

Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones al Modelado. Ed.Thomson

Hirsch, M.W., Smale, S. Ecuaciones diferencial, sistemas dinmicos y lgebralineal,

Alianza Editorial, 1983.

Murray R. Spiegel. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Ed. Prentice Hall

BIBLIOGRAFA COMPLEMENTARIA

Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas histricas. Autor: George F.Simmons, Ed. MC Graw Hill.

George F. Simmons. Ecuaciones Diferenciales (Segunda edicin). McGraw-Hill,Madrid (1993).

Matemticas Avanzadas para Ingenieros. Autor Erwin Kreyszig, Ed. Limusa

SOFWARES LIBRES PARA TRABAJAR EN ECUACIONES DIFERENCIALES:

Abacus MathWriter 4.3:Resuelve ecuaciones que contiene integrales yderivadas

Maple. Este programa es til para resolver tanto en ecuaciones Diferencialescomo para los dems cursos matemticos, como Calculo Integral,Diferencial, algebra lineal, etc.

DIRECCIONES DE SITIOS WEB

Direcciones de internet de inters en ecuaciones diferenciales por buscadorGoogle.
http://mathwriter.programas-gratis.net/http://mathwriter.programas-gratis.net/http://www.google.com.co/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=0CGUQFjAC&url=http%3A%2F%2Fmaple-8.softonic.com%2F&ei=PqL8T4ScFqnA0QGq6LCKBw&usg=AFQjCNHb9uUqv3pOBm0rUSOG8LspvcQ0Gg&sig2=ksbHk1Rn0MILGQz-Hs_wKwhttp://www.google.com.co/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=0CGUQFjAC&url=http%3A%2F%2Fmaple-8.softonic.com%2F&ei=PqL8T4ScFqnA0QGq6LCKBw&usg=AFQjCNHb9uUqv3pOBm0rUSOG8LspvcQ0Gg&sig2=ksbHk1Rn0MILGQz-Hs_wKwhttp://www.google.com.co/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=0CGUQFjAC&url=http%3A%2F%2Fmaple-8.softonic.com%2F&ei=PqL8T4ScFqnA0QGq6LCKBw&usg=AFQjCNHb9uUqv3pOBm0rUSOG8LspvcQ0Gg&sig2=ksbHk1Rn0MILGQz-Hs_wKwhttp://mathwriter.programas-gratis.net/


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didcticas del programa Matemtica en educacin secundaria. Informacin parael diseo de aplicaciones, se ofrecen cuadernos y paquetes, punto de contactocon otras personas interesadas.

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MATEMATICAS SIGLO XXI- Ejercicios de matemticas para resolver Matemticas y Fsica - Astronoma: Simposio Internacional de Astronoma en

Medelln. Astronoma: Planetario de Medelln. Astronoma: Un Banco deImgenes de la NASA.

Olimpadas Iberoamericanas de Matemticas - Organizacin de Estados

Iberoamericanos. Para la Educacin, la Ciencia y la Cultura. OlimpadasIberoamericanas de Matemtica. 12 aos de Olimpadas.

Pgina Web de Matemticas- lgebra, calculo, estadstica, problemas, softwarematemtico, foros en Internet, apuntes, exmenes.
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Protocolo de Ecuaciones Diferenciales 2013