> Μπούρας Βασίλης 2008

Πρώτοι αριθμοί

2

Σήμερα θα μιλήσουμε για τους πρώτους αριθμούς .Αλλά πρώτα θα θυμηθούμε κάτι από τα περασμένα μαθήματα.Τι είναι γινόμενο;Τι είναι παράγοντας;Τι είναι διαιρέτης;Τι είναι διαιρετέος;Ποιος θυμάται να μας πει ;

Μπούρας Βασίλης 2008

3

Θυμόμαστε τι είναι το γινόμενο

7x6=42

Παράγοντες Γινόμενο

Μπούρας Βασίλης 2008

4

Βρείτε τους παράγοντες των γινομένων

6 x 7 = 42

5 x 9 = 45

7 x 8 = 56

4 x 5 = 20

6 & 7

5 & 9

7 & 8

4 & 5 Μπούρας Βασίλης 2008

5

Θυμόμαστε την διαίρεση

42 ÷ 6=7 άρα το 6 είναι διαιρέτης του 42

45 ÷ 5=9 άρα το 5 είναι διαιρέτης του 45

56 ÷ 8=7 άρα το 8 είναι διαιρέτης του 56

20 ÷ 5=4 άρα το 5 είναι διαιρέτης του 20

Μπούρας Βασίλης 2008

6

Πολλαπλάσια ενός αριθμού

7

Και τώρα η αποκάλυψη !!!!!

Για προσπαθήστε να βρείτε για τους αριθμούς 11,13,23,41 τους διαιρέτες τους;

Τι έγινε βρήκατε τίποτα ;

Δεν άκουσα; Μόνο ο αριθμός 1 και ο εαυτός τους ;

Σωστά !!!!!!!!!!! Άρα

Μπούρας Βασίλης 2008

8

Στα μαθηματικά ένας αριθμός που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός, διαφορετικά λέγεται σύνθετος

Το 1 ΔΕΝ είναι πρώτος

Ορισμός σχολικού βιβλίου

9

Και τώρα λίγη ιστορία

> Η εύρεση των πρώτων αριθμών απασχόλησε από την αρχαιότητα τους μαθηματικούς. Ένας από τους πιο απλούς αλλά και αργούς τρόπους για (μαζική) εύρεση πολλών πρώτων είναι το λεγόμενο κόσκινο του Ερατοσθένη

Μπούρας Βασίλης 2008

10

Στο σύνολο των φυσικών αριθμών - πρακτικά έως κάποιο μεγάλο αριθμό Ν - αρχίζουμε και αποκλείουμε πρώτα τα πολλαπλάσια του 2 μετά τα πολλαπλάσια του επόμενου μη διαγραμμένου αριθμού κ.ο.κ. έως το Ν. Παρατηρούμε ότι όλο και λιγότερους αριθμούς θα βρίσκουμε προς διαγραφή. Οι αριθμοί που θα απομείνουν είναι όλοι πρώτοι.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη Ας πάρουμε μια ιδέα πως δουλεύει το κόσκινο του

Ερατοσθένη γατί θα φτιάξουμε και εμεις ένα

11

Θα φτιάξουμε ένα κόσκινο του Ερατοσθένη και θα βρούμε όλους τους πρώτους από το 1 έως το 100

Φτιάχνω έναν πίνακα που να περιέχει τους αριθμούς από το 1 έως το 100

Μπούρας Βασίλης 2008

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

13

Θα αρχίσουμε να αποκλείουμε πρώτα τα πολλαπλάσια του 2 μετά τα πολλαπλάσια του επόμενου μη διαγραμμένου αριθμού κ.ο.κ.

1 Θα αποκλείσουμε στην αρχή το γιατί δεν είναι πρώτος αριθμός σύμφωνα με τον ορισμό

Προσοχή στην διαδικασία!!!

Μπούρας Βασίλης 2008

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

15

2Ας θυμηθούμε πρώτα ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το

Μπούρας Βασίλης 2008

16

Ας αρχίσουμε να διαγράφουμε τα πολλαπλάσια του…

Δηλαδή τους αριθμούς που έχουν για τελευταίο ψηφίο το 2,4,6,8,0

Μπούρας Βασίλης 2008

17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

18

Συνεχίζουμε διαγράφοντας τα πολλαπλάσια του…

Δηλαδή τους αριθμούς που το άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται με το 3

19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

20

Κατόπιν διαγράφουμε τα πολλαπλάσια του…

Δηλαδή τους αριθμούς που το τελευταίο ψηφίο τους είναι 0 ή 5

21

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

22

Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο να αποκλείουμε τον επόμενο αριθμό στην περίπτωση μας τώρα διαγράφουμε τα πολλαπλάσια του 7 και συνεχίζουμε μέχρι να τελειώσουν όλοι οι αριθμοί

23

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

24

Οι αριθμοί που μένουν στο τέλος είναι πρώτοι !!

25

Ας μάθουμε λίγα πράγματα για τον Ερατοσθένη

> Eζησε στο διάστημα (276-194 π.Χ.) περίπου. > Μαθηματικός, Φυσικός, Γεωγράφος, Αστρονόμος,

Ιστορικός και Φιλόλογος σπούδασε και αργότερα δίδαξε στην Αλεξάνδρεια, στο περίφημο Μουσείο της.

> Από το 235 π.Χ. και επί 40 χρόνια διετέλεσε διευθυντής της περίφημης βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Κάτοχος και ταξινομητής όλης της τότε μαθηματικής βιβλιογραφίας, έγινε γρήγορα γνώστης όλων των θεωρητικών προβλημάτων της τότε γεωμετρίας, αλλά και άλλων προβλημάτων της τότε γραμματείας.

26

> Έτσι άπλωσε τη συγγραφική του δράση στην τακτοποίηση αυτών των προβλημάτων, ώστε να διευκολύνει τους μεταγενέστερους μελετητές. Από τα ποικίλα έργα του δεν σώθηκε κανένα εκτός από λίγους τίτλους, όπως:

> "Χρονογραφίαι" (9 βιβλία): Χρονολογική ταξινόμηση ανθρώπων και γεγονότων.

> "Γεωγραφικά" (3 βιβλία): Η Μαθηματική γεωγραφία και η ιστορία της.

> "Περί της Αρχαίας κωμωδίας": Κριτική, ιστορία και χρονολόγηση.

> "Καταστερισμοί": Μελέτη των αστερισμών. > "Περί Μεσοτήτων": Μελέτη της Αριθμητικής Γεωμετρικής

και Αρμονικής αναλογίας.

27

> Επιστήθιος φίλος του Αρχιμήδη διατηρούσε επαφή μαζί του και συμμετείχε στα γεωμετρικά ζητούμενα της εποχής του. Δυστυχώς όμως από το συνολικό μαθηματικό του έργο δεν σώθηκε τίποτα. Σώθηκε όμως η μνήμη δύο μαθηματικών του επιτυχιών.

> Επινόησε και κατασκεύασε το περίφημο όργανο "Μεσολάβιον", με τη βοήθεια του οποίου έλυε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου), και ταυτόχρονα μπορούσε να παρεμβάλει ανάμεσα σε δύο δοσμένα ευθύγραμμα τμήματα δύο μέσες αναλόγους, σε συνεχή αναλογία.

28

> Στα περίφημα "Γεωγραφικά" του παρουσίασε την πρώτη ακριβή μαθηματική μέτρηση της περιμέτρου της Γης, με την βοήθεια σκιοθηρικών γνωμόνων, και την βρήκε ίση με 250.000 στάδια (=39.400-41.000 km, έναντι της πραγματικής 40.000 km) (Κλεομήδης, Στράβων).

> Πιστεύεται ότι ανακάλυψε ακόμα μία μέθοδο υπολογισμού της διάρκειας των μεγίστων ημερών στα διάφορα πλάτη, από το γεωγραφικό πλάτος τους, και ότι συγκρότησε πίνακα πλατών γνωστών τόπων.

29

> Κατασκεύασε τον πρώτο παγκόσμιο μαθηματικό χάρτη της τότε οικουμένης, την οποία σχεδίασε πάνω σε ένα πλέγμα καθέτων ευθειών (μεσημβρινών και παραλλήλων κύκλων), αξιοποιώντας τις πληροφορίες των γεωγραφικών έργων της βιβλιοθήκης και των έργων των συνοδών του Μ. Αλεξάνδρου στην εκστρατεία της Ασίας.

> Λάτρης της ταξινόμησης της ανθρώπινης γνώσης ο Ερατοσθένης, δεν μπόρεσε να αντέξει την στέρηση της μελέτης, που του επέβαλε η γεροντική τύφλωση, και τελικά τερμάτισε τη ζωή του, σε ηλικία 82 ετών, με απεργία πείνας.

30

Αυτός ανακάλυψε μια μέθοδο για την εύρεση των πρώτων αριθμών που ονομάστηκε "Κόσκινο του Ερατοσθένους".

31

Να κάνουμε και μια εργασία για το σπίτι μας ;

Αφού καταλάβουμε πως δουλεύει το κόσκινο του Ερατοσθένη προσπαθήστε να ανακαλύψετε τους πρώτους αριθμούς ανάμεσα στο 1 και το 200

Προσπαθήστε να ανακαλύψετε αν οι αριθμοί 2365,1287,4589,3251 είναι πρώτοι.

32

Η παρουσίαση αυτή φτιάχτηκε στα πλαίσια του 6ου ΠΑΚΕ Αθήνας