Protsentülesanded Protsentülesanded olümpiaadilolümpiaadil

Protsentülesanded Protsentülesanded olümpiaadilolümpiaadil

Koostaja Rita Punning

Protsendi kasutusalad:

• Tulu• Kulu• Kasum• Kahjum

• Maksud• Hinnad• Tööjõudlus• Õppeedukus• jne

PROTSENT

• ÜKS SAJANDIK TEVIKUST• 1% = 1/100

Osamäär

• Osa ja terviku vahelist seost iseloomustatakse matemaatikas sageli ühe arvuga, mida nimetatakse osamääraks.

• Osamäära arvutamiseks leitakse osa ja terviku jagatis.

• Osamäär = osa : tervik

Klassis on 25 õpilast, nendest 15 tütarlast. Mitu % on

tüdrukuid?

• Tervik on 25 õpilast.• Osa on 15 tüdrukut.• Osamäär on 15:25=0,6• ehk protsentides 0,6=60/100=60%• Vastus: Klassis on tüdrukuid 60%.

Osa = tervik osamäär

• 9.klassis on 30 õpilast. Täna puudus 20%. Mitu õpilast puudus?

• 20% = 0,2• 30 0,2 = 6 (õpilast)• Vastus: 6 õpilast puudus.

Tervik = osa : osamäär

• Klassis on 12 poissi, mis moodustab 40% õpilaste üldarvust. Mitu õpilast on klassis?

• 40% = 0,4• 12 : 0,4 = 30 (õpilast)• Vastus: Klassis on 30 õpilast.

Ül. 1: Vorsti kilo maksis 36 krooni. Transpordikulud moodustavad 5%

vorsti hinnast. Bensiini hinna tõstmine 25% võrra tõstis transpordikulusid 20%

võrra. Missugune on vorsti uus hind?

• Olgu vorsti hind ilma transpordikuludeta x kr • Transpordikulu 5% x-st ehk 0,05x• Vorsti hind koos transpordikuludega

x + 0,05x = 1,05x = 36 (krooni)• x = 36 : 1,05 = 34,285 … 34,30 (krooni)

Vorsti kilo maksis 36 krooni. Transpordikulud moodustavad 5% vorsti hinnast. Bensiini hinna

tõstmine 25% võrra tõstis transpordikulusid 20% võrra. Missugune on vorsti uus hind?

• Vorsti hind ilma transpordikuludeta 34,30 krooni• Transpordikulud suurenesid 20% võrra• Leiame 20% 5%-st • 0,2 5% = 1% • Suurenes 1% 5% + 1% = 6%• Transpordikulud moodustavad 6% vorsti hinnast• 6% 34,30-st • 0,06 34,30 = 2,058 2,05 (krooni)

• Uus hind: 34,30 + 2,05 = 36,35 (krooni)• Vastus: Vorsti uus hind on 36 krooni ja

35 senti.

Ül. 2: Kaks töölist väljusid üheaegselt samast majast ja läksid samasse

tehasesse. Esimese samm oli 10% võrra lühem teise omast. Kuid see eest astus ta 10% võrra rohkem samme kui

teine. Kumb tööline jõuab varem tehasesse?

• Kui teise samm on 1 osa, siis esimese samm on 9/10 osa (10% võrra lühem).

• Selle aja jooksul kui teine teeb 100 sammu, teeb esimene 110 sammu (10% võrra rohkem).

• Teine liigub 100 sammuga 100 1 = 100 osa teest

• Esimene aga 110 sammuga 110 9:10= 99 osa teest.

• Vastus: Teine jõuab varem tehasesse.

Ül. 3: Kauba hinda alandati 10%. Mitu protsenti tuleb uut hinda veel alandada, et kogu hinnaalandus

oleks 28%?• Olgu kauba hind x rahaühikut. • Uut hinda alandati 10% võrra, siis uus hind on x

– 0,1x = 0,9x• a% alandati veel hinda (0,01a 0,9x),

s.t. uus hind on 0,9x – 0,01a 0,9x = 0,9x – 0,009ax

• Kuna kogu hinnaalandus oleks 28%, siis lõplik hind oleks x – 0,28x = 0,72x

• Saame võrrandi: 0,9x – 0,009ax = 0,72x • -0,009ax = 0,72x – 0,9x• –0,009ax = –0,18x:(–0,009x) a = 20

• Vastus: Teisel korral oleks vaja hinda alandada veel 20%.

Ül. 4: Laste kella hinda vähendati nii mitme % võrra, kui mitu krooni kell

maksis enne hinna alandamist. Kui suur oli kella esialgne hind, kui tema uus

hind on 24 krooni?• Kell maksku x krooni. • Hinda alandati x% võrra s.t. 0,01x x-st on 0,01x2. • Uus hind x – 0,01x2 = 24 100• 100x – x2 = 2400 x2– 100x + 2400 = 0• x1 = 40 x2 = 60• Kontroll: Kell maksis 40 krooni, alandati 40%, st

0,4 40 = 16 (krooni) võrra, uus hind 40 – 16 = 24 (krooni).

• Kell maksis 60 krooni, alandati 60%, st 0,6 60 = 36 (krooni) võrra, uus hind 60 – 36 = 24

(krooni).• Vastus: Laste kell maksis 40 krooni või 60 krooni.

Ül. 5: Metsas oli okaspuid 40% rohkem kui lehtpuid. Nüüd langetati 20%

okaspuudest ja 12% lehtpuudest. Mitu protsenti oli pärast puude langetamist metsas okaspuid rohkem kui lehtpuid?

• Olgu metsas x lehtpuud, okaspuid on 40% rohkem s.t. x + 0,4x = 1,4x

• Okaspuudest langetati 20% 1,4x-st ehk 0,2 1,4x = 0,28x

• Alles jäi 1,4x – 0,28x = 1,12x okaspuud.• Lehtpuudest langetati 12% x-st ehk 0,12x. • Alles jäi x – 0,12x = 0,88x lehtpuud.• Okaspuid on 1,12x – 0,88x = 0,24x võrra rohkem ehk

0,24x : 0,88x = 27,3% võrra rohkem.• Vastus: Pärast puude langetamist oli metsas

27,3% okaspuid rohkem kui lehtpuid.

Ül. 6: Kartuli müügihind suurenes juunis 20% võrra ning vähenes juulis juuniga võrreldes 20% võrra. Millal kartulid olid odavamad, kas mais või juulis ja mitme

protsendi võrra?• Olgu mais kartuli hind x krooni (või mõni teine

rahaühik).• Juunis suurenes 20% võrra, st. 0,2x võrra. Juunis

maksis kartul x + 0,2x = 1,2x (krooni).• Juulis vähenes 20% võrra, st. 0,2 1,2x = 0,24x

(krooni) võrra. • Juulis maksis kartul 1,2x – 0,24x = 0,96x

(krooni).• Juulis olid kartulid x – 0,96x = 0,04x (krooni)

odavamad kui mais ehk 0,04x:x=4% odavamad.• Vastus: Kartulid olid odavamad juulis

4% võrra.

Ül. 7: Vanemal vennal on 25% võrra rohkem raha kui nooremal. Mitu

protsenti oma rahast peab andma vanem nooremale, et neil oleks raha

ühepalju?

• Olgu nooremal vennal x raha, vanemal vennal on x + 0,25x = 1,25x (raha).

• Kokku x + 1,25x = 2,25x (raha).• Et raha oleks võrdselt on vaja see pooleks teha.• 2,25x : 2 = 1,125x (raha) peaks kummalgi olema.• Vanemal vennal on rohkem 1,25x – 1,125x =

0,125x (raha).• See on 0,125x:1,25x=10% rohkem.• Vastus: Vanem vend peaks andma nooremale

oma rahast 10%, et neil oleks võrdselt raha.

Ül. 9: Mitu kilogrammi vett on vaja välja aurutada 0,5 tonnist

tselluloosimassist, mis sisaldab 85% vett, et alandada veesisaldus 75%-

le?• Tahket ainet on massis 100%-85%=15%,

so. 0,15 0,5 t =0,075 t = 75 kg, • mis moodustab 100% – 75% = 25% uuest

segust.• Et 25% on 75 kg, siis pärast aurutamist jääks

segu järele 75 : 0,25 = 300 (kg).• Järelikult on tarvis välja aurutada

500 – 300 = 200 (kg).• Vastus: Tselluloosimassist on vaja välja

aurutada 200 kg vett.

Ül. 10: Arvust lahutati 10% temast, seejärel 25% saadud jäägist ja siis veel 20%

viimasest jäägist. Järele jäi 27. Leia esialgne arv.

• Olgu arv x, 10% temast on 0,1x. • Arvust lahutati 10%, saadi x – 0,1x = 0,9x.• 25% jäägist on 0,25 0,9x = 0,225x, see lahutati saadud

jäägist. • Viimane jääk on 0,9x – 0,225x = 0,675x. • Sellest võeti 20%, so. 0,2 0,675x = 0,135x, mis

omakorda lahutati eelmisest jäägist,• Saadi 0,675x – 0,135x = 0,54x.• See on võrdne 27-ga. 0,54x = 27 x = 50• Kontroll: 10% 50-st on 0,1 50 = 5, 50-st lahutati see,

saadi 50 – 5 = 45.• 25% 45-st on 0,25 45 = 11,25, mis lahutati 45-st,

saadi 45 – 11,25 = 33,75.• 20% 33,75-st on 0,2 33,75 = 6,75,

mis lahutati 33,75-st, saadi 33,75 – 6,75 = 27.

• Vastus: Esialgne arv oli 50.

Ül. 11: Arv a on 92% arvust b. Kui arvu b suurendada 700 võrra, siis on

ta arvust a suurem 9% võrra (b + 700)-st. Leia arvud a ja b.

• Arv a on 0,92b. Suurendame arvu b 700 võrra, saame b+700.

• Leiame 9% (b + 700)-st, so. 0,09(b + 700).• b + 700 on arvust a ehk 0,92b-st 0,09(b + 700) võrra

suurem, st.• b + 700 = 0,92b + 0,09(b + 700) b+700=0,92b+0,09b

+63• b + 700 = 1,01b +63 0,01b = 637• b = 6370 ning a = 0,92 6370 = 58604• Kontroll: Suurendame arvu b 700 võrra, saame 6370 + 700

= 64400• Leiame 9 % (b + 700)-st, so. 0,09 64400 = 5796• ning 64400 on 58604-st 64400 – 58604 = 5796 võrra

suurem.• Vastus: a on 58 604 ja b on 64 400.

Ül. 12:Toimetaja ja korrektori töötasuks kokku arvestatakse 5% raamatute

müügi eest saadud rahast. Autor saab 10% kahest kolmandikust müügi eest saadud rahast. Kui suur on autori tasu, kui toimetaja ja korrektor said kumbki

3000 krooni?

• Toimetaja ja korrektor said kokku 6000 krooni.• Olgu raamatute müügist saadud raha x krooni.• 5% x-st on 6000 krooni,• ehk 0,05x = 6000 x = 120 000 • Raamatute müügist saadi 120 000 krooni.• Autor sai 10% 2/3 120 000 kroonist,• 0,1 2/3 120000 = 8000 (krooni).• Vastus: Autori tasu oli 8000 krooni.

Ül. 13: Seebimullide, õhulosside ja juustuaukude vahendusfirma AS Mull tegevdirektor süüdistas müügijuhti

laiskuses, väites et firma detsembrikuu müügimaht on oktoobriga võrreldes

rohkem kui 10% võrra langenud. Müügijuht seevastu kirjutas oma kvartaliaruandes, et kuigi iga kuu esimeses pooles kahanes müük

võrreldes eelmise kuu teise poolega 30% võrra, kasvas see iga kuu teises pooles võrreldes sama kuu esimese

poolega 35% võrra. Kas tegevdirektor eksis, kui müügijuhi aruanne vastab

tõele?

• Olgu oktoobri esimesel poole müügimaht x, siis oktoobri teise poole müügimaht on sellest 35% võrra suurem ehk 1,35x

• novembri esimese poole müügimaht on sellest omakorda 30% võrra väiksem ehk 0,7 1,35x = 0,945x.

• Kuna kummagi terve kuu müügimaht on võrdne 1 + 1,35 = 2,35 korda vastava kuu esimese poole müügimahuga, siis võime järeldada, et ka terve novembrikuu müügimaht on võrdne 0,945 korda terve oktoobrikuu müügimahuga.

• Et samasugune arutlus kehtib ka novembri- ja detsembrikuu jaoks, siis detsembrikuus müüs firma 0,9452 = 0,893025 korda niipalju kui oktoobris

• järelikult vähenes müük oktoobriga võrreldes tõepoolest veidi rohkem kui 10% võrra.

• Vastus: Tegevdirektoril oli õigus.