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Prova da UFSM - 07/12/2012 - PS1

01. O turismo é uma atividade econômica muito importante em várias cidades brasileiras. Supõe-

se que, numa determinada cidade, o número de turistas, em milhares, pode ser representado por

Com t = 0 correspondendo a 2000, t = 1, a 2001 e assim por diante. De acordo com esse modelo,

qual é, em milhares, o número máximo de turistas nessa cidade?

a) 50,2.

b) 59,8.

c) 63,0.

d) 69,8.

e) 109,0.

Resolução:

Veja que N(t) representa o número de turistas, em função do ano. Para obter o número máximo

de turistas, precisamos encontrar o valor máximo da função, ou seja, o y do vértice. Analisando

o sinal do coeficiente a, podemos concluir que o número de turistas em função do tempo

descreve um arco de parábola com concavidade para baixo.

É possível determinar o valor máximo da função usando a fórmula da ordenada do vértice:

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Temos:

02. Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a uma taxa de 5%

ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6,775 bilhões

de dólares. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano

anterior, pode-se expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo

t (em anos), por V = 6,775(1,05)t - 1

com t = 1 correspondendo a 2011, t = 2, a 2012 e assim por

diante. Em que ano o valor movimentado será igual a 13,5 bilhões de dólares?

Dados: log 2 = 0,3 e log 1,05 = 0,02

a) 2015.

b) 2016.

c) 2020.

d) 2025.

e) 2026.

Resolução:

Na função exponencial dada, temos que encontrar o tempo para que o valor movimentado pelo

Ecoturismo seja igual a 13,5 bilhões de dólares. Para isso, vamos substituir V por este valor.

Assim:

Para obtermos o t, teremos que aplicar logaritmo nos dois membros da equação exponencial

resultante. Assim:

log 2 = log (1,05)t - 1

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Utilizando uma das propriedades dos logaritmos (log an = n.loga), vem:

log 2 = (t - 1)log 1,05.

Veja que o log 2 é igual a 0,3 e o de log 1,05 vale 0,02. Logo:

0,3 = (t - 1)0,02

Resolvendo, temos:

Veja que o tempo t = 1, corresponde a 2011, t = 2, a 2012 e assim por diante. Este percentual de

crescimento, expresso pela função exponencial dada, incide sobre a movimentação do ano anterior, ou

seja, no t = 1, este valor será em relação a 2010. Logo, o valor de 13,5 bilhões de dólares será movimentado em 2010 + 16 = 2026.

03. Segundo o Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA), em dezembro de 2008, foram

registrados, no setor de turismo (ACTs - Atividade Características de Turismo), 879.003

empregos formais. Já na economia como um todo (incluindo setores estatutários e militares),

esse número foi de 30.862.772. De acordo com os dados, a razão entre o número de empregos

formais na economia como um todo e em ACTs é igual a

a) 9/316.

b) 10/351.

c) 158/45.

d) 351/10.

e) 316/9.

Resolução:

Razão significa divisão. Logo, a ordem dos termos da divisão é importante. Na pergunta, a razão

é entre o número de empregos formais na economia como um todo e em ACTs, nesta ordem.

Logo, pelos valores apresentados no texto da perguta, temos:

Veja que o resultado é uma dizíma periódica simples. Dentre as alternativa apresentadas, a que pode representar uma dízima periódica simples é a letra c ou a letra e, pois possui denominadores 45 e 9. No

entanto, pelo valor encontrado na divisão, a letra correta é a letra e, ou seja, 316/9.

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Outra forma de encontrar a resposta é analisar as alternativas. Veja que a razão possui o numerador

muito maior que o denominador. Logo, a fração resultante simplificada, deve possuir essa mesma condição. Com isso, dava para eliminar as alternativas a e b. A letra d poderia ser eliminado por outra

condição: como o denominador 879.003 não é divisível por 10, não poderíamos ter como fração 351/10. Sobraria as letras c e e. Mas veja que a razão 30862772/879003 apresenta o numerador muito maior que

o denominador (dá prá ver que mais do 10 vezes). No entanto, a fração 158/45 apresenta o numerador

pouco maior que o denominador (dá prá ver que menos do que 4 vezes). Dessa forma, sobraria como única alternativa a letra e.

04. Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas

estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande

parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a

uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira.

Fonte: Disponível em http://www.copa2014.gov.br. Acesso em: 7 jun. 2012. (adaptado)

O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção

para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da Infraero – Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeronáutica.

De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a

a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos.

b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos.

c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil.

d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos.

e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil.

Resolução:

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O ponto de interseção das retas nos diz que função capacidade (C) é igual a função demanda (D).

Logo, teremos que encontrar as leis das funções capacidade e demanda. Como os gráficos são

retas, essas funções são do tipo y = ax + b (função afim). Para encontrar esse ponto de interseção

devemos determinar as leis dessas funções.

Função capacidade (C):

Veja que esta reta possui os pontos (0; 4) e (4; 8), supondo que o ano de 2010 seja x = 0 e o ano

de 2014, x = 4. Do ponto (0, 4) temos b = 4. Pegamos o outro ponto para encontrar o coeficiente

a. Logo:

8 = a.4 + 4 → a = 1. Assim, a função capacidade é y = x + 4 (C), onde x é o tempo e y o número

de passageiros.

Função demanda (D):

Veja que esta reta possui os pontos (0; 6,7) e (4; 7,2).

Do ponto (0; 6,7) temos b = 6,7. Pegamos o outro ponto para encontrar o coeficiente a. Logo:

7,2 = a.4 + 6,7 → a = 1/8. Assim, a função capacidade é: y = x/8 + 6,7 (D).

Queremos encotrar o y, que representa o número de passageiros. Vamos isolar x na função

capacidade (C) e substituir na função demanda (D). Assim:

Este valor é em milhões. Portanto, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à

capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a 7,0857 milhões, ou seja, sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos.

05. O gráfico a seguir mostra a distribuição percentual do valor da produção gerada pelas Atividades

Características do Turismo no Brasil por atividade, em 2007.

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Fonte: Disponível em http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 15 jun. 2012. (adaptado)

Sabe-se que, em 2007, as Atividades Características do Turismo geraram uma produção de 168,8 bilhões de reais. Qual é, aproximadamente, em bilhões de reais, a produção gerada pelas Atividades recreativas,

culturais e desportivas?

a) 13,1.

b) 16,0.

c) 22,4.

d) 33,4.

e) 67,4.

Resolução:

Pelo gráfico de setores, vemos que o percentual da produção gerada pelas Atividades recreativas, culturais e desportivas é igual a 13,27%. Logo, este valor em bilhões de reais é obtido calculando

13,27% de 168,8. Assim:

0,1327 . 168,8 = 22,39. Por aproximação temos 22,4 bihões de reais.

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Prova da UFSM - 2013 - 08/12/12 - PS2

01. Trigonometria

Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a

toda a população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera,

favorecendo o surgimento de doenças respiratórias.

Suponha que a função

represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Sáude, com

x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, o mês de fevereiro e assim por diante.

A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março,

maio e julho é igual a

a) 693.

b) 720.

c) 747.

d) 774.

e) 936.

Resolução:

Temos que encontrar N(1), referente ao número de pessoas com doenças respiratórias registrado

em janeiro, N(3), referente ao mês de março, N(5), ao mês de maio e N(7), ao mês de julho.

Somando, temos: 126 + 153 + 207 + 234 = 720.

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02. Trigonometria no triângulo

A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz

na prevenção de doenças crônicas e na melhoria da qualidade de vida.

Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna

ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.

Dado: √3 = 1,7

Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto?

a) 2,29.

b) 2,33.

c) 3,16

d) 3,50

e) 4,80.

Resolução:

Como o triângulo não é retângulo (o triângulo é obtusângulo) e conhecemos 2 lados e o ângulo entre eles, vamos aplicar a lei dos cossenos para conhecermos o lado BC, que iremos simbolizar por x. Assim:

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Portanto, o total do trajeto é: 0,8 + 1 + 1,7 = 3,5 km.

03. Análise Combinatória

As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As

cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-se que

um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentores que

fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardiácas.

Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4

instrumentadores?

a) 220.

b) 300.

c) 600.

d) 720.

e) 1.200.

Resolução:

Temos que escolher 3 cardiologistas de um total de 5, 1 anestesista de um total de 2 e 4

instrumentores de um total de 6. Como a ordem da escolha não determina uma equipe diferente,

aplicamos combinação simples, ou seja:

Vamos quantificar os grupos de 3 cardiologistas, entre os 5 disponíveis:

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Agora vamos quantificar os grupos de anestesistas. Se são 2 e temos que escolher 1, temos apenas 2

possibilidades, ou seja, C2,1 = 2.

Por fim,vamos ver quantos possibilidades temos de escolher 4 instrumentores de um total de 6:

Como a equipe é formado por cardiologistas e anestesista e instrumentores, multiplicamos as combinações. Assim:

C5, 3 x C2, 1 x C6,4= 10.2.15= 300.

04. Progressão

A tabela mostra o número de pessoas que procuram serviços de saúde, segundo o local, numa

determinada cidade.

Supõe-se que esse comportamento é mantido nos próximos anos. Partindo dos dados, fazem-se

as seguintes afirmações:

I. O número de pessoas que procuraram Postos e Centros de Saúde cresceu em progressão

geométrica de razão 2.000.

II. O total de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Privadas de 2001 até 2011 é igual

a 112.200.

III. Em 2011, o número de atendimentos em Clínicas Odontológicas é igual a 827.

Está(ão) correta(s)

a) apenas I.

b) apenas II.

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c) apenas I e III.

d) apenas II e III.

e) I, II e III.

Resolução:

Afirmação I:

O número de pessoas que procuraram atendimento em Postos e Centros de Saúde cresceu da

seguinte forma, conforme tabela: 2.000, 4.000, 8.000, 16.000, ...

Este crescimento é geométrico, pois a divisão de termos consecutivos resulta sempre num

mesmo valor. Se dividirmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão q desta PG, ou seja:

Logo, a afirmação está errada.

Afirmação II:

O número de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Privadas cresceu da seguinte forma, conforme tabela: 4.200, 5.400, 6.600, 7.800, ... .

Este crescimento é aritmético, pois a subtração de termos consecutivos resulta sempre num mesmo valor. Se subtraírmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão r desta PA, ou seja:

r = a2 – a1 = 5400 – 4200 = 1200.

Para sabermos o total de pessoas de 2001 até 2011, devemos aplicar a fórmula da soma dos termos da PA. Antes disso, devemos determinar a quantidade de pessoas que procuraram atendimento em 2011, ou

seja, o último termo. Veja, com cuidado, que este termo ocupa a 11ª posição. Assim:

a11 = a1 + 10r → a11 = 4200 + 10.1200 = 4200 + 12000 = 16200.

Agora vamos determinar a soma, usando a fórmula

Como de 2001 a 2011 temos 11 termos, o n = 10, a1= 4200 e a11 = 16200. Assim:

Logo, a afirmação está correta.

Afirmação III:

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O número de pessoas que procuraram atendimento em Clínicas Odontológicas descresceu da seguinte

forma, conforme tabela: 857, 854, 851, 848, ... .

Este descrescimento é aritmético, pois a subtração de termos consecutivos resulta sempre num mesmo valor. Se subtraírmos o 2º termo pelo 1º, teremos a razão r desta PA, ou seja:

r = a2 – a1 = 854 – 857 = –3.

Devemos encontrar o número de pessoas em 2011, ou seja, o décimo primeiro termo. Assim:

a11 = a1 + 10 r → a11 = 857 + 10(–3) = 857 – 30 = 827.

Logo, a afirmação está correta.

05. Sistemas Lineares.

Num determinado mês, em uma unidade de saúde, foram realizadas 58 hospitalizações para

tratar pacientes com as doenças A, B e C. O custo total em medicamentos para esses pacientes

foi de R$ 39.200,00.

Sabe-se que, em média, o custo por paciente em medicamentos para a doença A é R$ 450,00,

para a doença B é R$ 800,00 e para a doença C é R$ 1.250,00. Observa-se também que o número

de pacientes com a doença A é o triplo do número de pacientes com a doença C. Se a, b e c

representam, respectivamente, o número de pacientes com as doenças A, B e C, então o valor de

a - b - c é igual a

a) 14.

b) 24.

c) 26.

d) 36.

e) 58.

Resolução:

O número de pacientes com as doenças A, B e C é representado, respectivamente, por a, b e c.

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Logo, c = 12.

Substituindo c = 12 na eq. (III), temos: a = 3.12 → a = 36.

Substituindo c = 12 e a = 36 na eq. (I), temos: 36 + b + 12 = 58 → b = 10.

Portanto: a - b - c = 36 - 10 - 12 = 14.

Prova da UFSM - 2013 - 09/12/12 - PS3

01. Geometria Analítica

O uso de fontes de energias limpas e renováveis, como a energia eólica, geotérmica e hidráulica,

é uma das ações relacionadas com a sustentabilidade que visa a diminuir o consumo de

combustíveis fósseis, além de preservar os recursos minerais e diminuir a poluição do ar. Em

uma estação de energia eólica, os cataventos C1, C2 e C3 estão dispostos conforme o gráfico a

seguir.

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Para que um catavento de coordenadas (x, y) esteja alinhado com o catavento C1 e com o ponto

médio do segmento C2C3 , é necessário e suficiente que

a) 2x + 15y = 850.

b) 5y - x + 50 = 0.

c) 55y - 26x + 2.050 = 0.

d) 4x + 5y = 450.

e) 5y - 6x + 550 = 0.

Resolução:

Dado o triângulo com vértices em C1, C2 e C3, devemos encontrar a equação da reta mediana m em relação ao lado C2C3, conforme figura abaixo:

Prova comentada

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Vamos encontrar o ponto médio do lado C2C3, que é obtido pelas médias aritméticas de suas

componentes, ou seja:

Temos os pontos M(125, 40) e C1(100, 10) que pertencem a mediana m. Assim:

02. Função polinomial

O lixo ainda é um dos principais desafios dos governos na área de gestão sustentável. Na última

década, o Brasil deu um salto importante no avanço para a gestão correta dos resíduos sólidos.

O gráfico mostra dados do Ministério do Meio Ambiente sobre o número de programas de coleta

seletiva, em 2000 e 2008.

Prova comentada

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Supõe-se que o número de programas de coleta seletiva é expresso por f(x) = ax3 - x

2 + 12x + b,

a, b ∈ R, em que x é o tempo em anos, x = 0 corresponde a 2000, x = 1 corresponde a 2001 e

assim por diante. De acordo com esse modelo, o número de programas de coleta seletiva em

2012 é igual a

a) 1.538.

b) 1.728.

c) 1.858.

d) 2.178.

e) 2.228.

Resolução:

Para responder a pergunta, devemos completar a função f(x) = ax3 – x2 + 12x + b, isto é, encontrar a e b. Pelo gráfico, encontramos o valor do b, pois o termo independente da função polinomial representa o

valor onde a curva intercepta o eixo y. Assim, b = 450.

Veja que x = 0 corresponde a 2000. Portanto, x = 8 corresponde ao ano de 2008. Para encontrar a, devemos substituir o ponto (8, 994) na função:

a.83 – 82 + 12.8 + 450 = 994 → 512a – 64 + 96 + 450 = 994 → 512a + 482 = 994

512a = 512 → a = 1.

Para encontrar o número de programas de coleta seletiva em 2012, fazemos x = 12 e substituimos na função f(x) = x3 – x2 + 12x + 450. Assim:

f(12) = 123 – 122 + 12.12 + 450 = 1728 – 144 + 144 + 450 = 2178.

Prova comentada

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03. Geometria Espacial

Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio

ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição

causada pelo plástico. Uma dessa alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de

embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças.

Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de uma prisma hexagonal regular com

10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm3, dessa embalagem?

a) 150√3 .

b) 1.500.

c) 900√3.

d) 1.800.

e) 1.800√3.

Resolução:

O prisma hexagonal regular possui duas bases congruentes e paralelas que são hexágonos

regulares. Esta base hexagonal pode ser dividida em 6 triângulos equiláteros. Como o volume do

prisma é calculado multiplicando a área da base pela altura, temos:

04. Números Complexos

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Os edifícios "verdes" têm sido um nova tendência na construção civil. Na execução da obra

desses prédios, há uma preocupação toda especial com o meio ambiente em que estão inseridos e

com a correta utilização dos recursos naturais necessários ao seu funcionamento, além da correta

destinação dos resíduos gerados por essa utilização.

A demarcação do terreno onde será construído um edifício "verde" foi feita através dos pontos

P1, P2, P3 e P4, sendo o terreno delimitado pelas poligonais P1P2, P2P3, P3P4, P4P1, medidas em

metros. Sabendo que P1, P2, P3 e P4 representam, respectivamente, a imagem dos complexos

qual é a área, em m2, desse terreno?

a) 1.595.

b) 1.750.

c) 1.795.

d) 1.925.

e) 2.100.

Resolução:

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05. Matemática Financeira

No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas cooperativas.

Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir na

compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são depositados, no

primeiro dia de cada mês, R$ 600,00 em uma aplicação financeira que rende juros compostos de

0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao final de n meses, é

a) 100.600[(1,006)n - 1].

b) 100.000[(1,06)n - 1].

c) 10.060[(1,006)n - 1].

d) 100.600[(1,06)n - 1].

e) 100.000[(1,006)n - 1].

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Prof. Regis Cortês

Resolução:

A aplicação financeira descrita no problema recebe o nome de montante de uma sequencia uniforme de depósitos, muito comum em poupanças de depósitos fixos mensais, onde há débito automático em

conta-corrente para crédito em conta-poupança.

Usamos a fórmula do montante composto V = Vo(1 + i)t, em que Vo = 600, i = 0,6% = 0,006 e V o

montante após n meses:

V = 600 + 600(1 + 0,006) + 600.(1 + 0,006)2 + ....

V = 600 + 600(1,006) + 600(1,006)2 + .... em n meses, após ter sido feito o último depósito de número n.

Veja que os depósitos 600, 600(1,006), 600(1,006)2, ... estão em progressão geométrica de razão

Para sabermos o montante final V, aplicamos a fórmula da soma dos termos da PG:

Mas devemos lembrar que é pedido a expressão que representa o saldo ao final de n meses. Logo,

sobre esse montante é aplicado o 0,6% do mês. Para ver isso, fazemos: 1,06.100000[(1,006)n – 1] = 100600[(1,006)n – 1].

Também podemos obter a expressão final supondo o a1 = 600.1,006.

Questão perigosa, pois normalmente se pede o montante ao final do depósito de data n (isto é, logo após ter sido feito o último depósito), que não é o caso desta pergunta.