PROVA D'ACCÉS A GRAU SUPERIORde Formació Professional i dels Ensenyaments d'Esports

ORIENTACIONS de la matèria de MATEMÀTIQUES Convocatòria 2007

1. TEMPS DEREALITZACIÓ DE LAPROVA

Una hora

2. ESTRUCTURA IPUNTUACIÓ DE LAPROVA

Consistirà en 7 exercicis, dels qualscaldrà elegir-ne i resoldre'n 5.Cada exercici valdrà 2 punts.

3. MATERIAL QUE CALPORTAR EL DIA DELA PROVA

Bolígraf blau o negreCalculadora científicaRegle graduat LlapisGoma d'esborrar

4. ALTRESORIENTACIONS

Donat que que no existeixen provesanteriors d'aquesta matèria, es detallena continuació un seguit d'exercicis tipus,per a cada unitat del temari, que podenservir de referència per a la preparacióde la prova.

EXERCICIS TIPUS PER A CADA UNITAT

Indicacions

- Les asímptotes s'hauran de tractar a nivell conceptual, sensecàlculs analítics.

- No es demanarà combinatòria en els problemes de probabilitat.- Les rectes de regressió s'hauran de calcular analíticament,

donada la facilitat amb què es pot fer amb la calculadora i lespossibilitats que dóna el seu càlcul.

Pàgina 1/28

Bloc 1: Aritmètica i àlgebra

Unitat 1: Els conjunts numèrics

1.- Digueu si els nombres següents són racionals o irracionals:a) 0’19999... b) 45’1232112321...c) 2’1010010001... d) 5e) 3 3 e) 7 + π

2.- Calculeu:a) (-5).(+2) - (+3).(+4) + (-20):(-4) =

b) 12 :(4+2) - 5.3 =

c) 12 : 4 + (2 - 5).3 =

d) (3 + 8).(-4) + 5.[ (2 - 3).6 - (4 - 7).2 ] =

3.- Expresseu el resultat com una sola potència i llavors calculeu:a) 35 . 33 : 34 =b) (-7)4 . 73 =c) (83)2 : 85 =d) (23)4 . 2-5 : 2-4 =

e) =−

−

2

54

3

3.3

f) =4:4.4

16:443

45

g) (53)-2:(52)3 =h) (72.7-3)-4:(74:72)3 =

4.- Trobeu la fracció generatriu dels nombres decimals següents: a) b) c) 3 52 15 27 12 137' ' '

5.- Realitzeu les operacions amb fraccions detallades a continuació:

a) − + −2

3

4

5

7

6

b) 2

5

5

6

3

4

2

6

1

5+ − + :

c) 2

2

4

1

2

3

6

5

3

1

3

2

−

−+

−

Pàgina 2/28

d)

5

3:

4

1

3

2

4

15

3:

35

1

5

3

7

3

+⋅

−−

e) 32'12

6'0).5'13'2()

))−

6.- Feu les operacions amb radicals detallades a continuació:a) 32383527 −+−+ =

b) =+− 1010

310

15

410

3

2

c) =−+ 85018

d) 52405451802 +−+ =

e) )76).(35( −− =

f) ( )2534 + =

g) ( )( )732732 −+ =

7.- Extreu els factors que sigui possible de dins les arrels:a) =600

b) =50

c) =3 40

d) =250

8.- Expresseu les potències següents en forma d’arrel i despréscalculeu-ne el resultat amb la calculadora:

a) =5

4

2 b) =− 3

6

)3(

c) =3

2

7 d) =− 3

1

)343(

9.- Racionalitzeu les fraccions:

a) 3

3 b)

82

7 c)

2

4 5−

10.- Feu la següent operació racionalitzant prèviament les fraccions:

57

6

57

3

−−

+

Pàgina 3/28

11.- Representeu sobre la recta real els nombres següents i ordeneu-los de petit a gran: -5, 3/2, -4/3, 15, 9'2

), -1’33

12.- Representeu en la recta real els intervals ( -5 , -1 ) i [ -2 , 5 ).Digueu quin interval representa la zona comuna.

13.- a) Quins són els punts que es troben a una distància de 12unitats respecte a –5? b) Trobeu la distància entre –7 i +19.

14.- Un terreny rectangular mesura 10 m de llargada i 12 md’amplada. Calculeu la longitud d’un camí que el travessadiagonalment. Expresseu el resultat arrodonit fins els deu mil·lèsims.Calculeu també l’error absolut i l’error relatiu que cometem si agafemaquesta aproximació (considereu com a valor exacte el donat per lacalculadora).

15.- a) Expresseu els nombres següents en notació científica:a1) 1.537.000.000a2) 23’5 bilionsa3) 0’000000002

b) Expresseu els nombres següents amb totes les seves xifres:b1) 2’5701.109

b2) 10-5

b3) 4’1.10-7

16.- Feu les operacions següents amb la calculadora i doneu elresultat en notació científica.

a) 3’7.10-5 - 103

b) (3’21.10-4)5

c) 2 912 10 5 43 10

16 10

3 5

3

' . ' .

.

× −

d) 7’41-8

17.- Trobeu el valor dels logaritmes següents:a) log2 8= b) log10 10000 = c) log 0’01 =d) ln e4 = e) ln 1/e2 = f) log3 1/9 = 18.- Trobeu el valor de la x en les expressions següents:

a b xx) log ) log343 3 45= = −

9.- Aplicant les propietats dels logaritmes agrupeu en un sollogaritme i llavors, si és possible, calculeu sense la calculadoraa) log 2 + log 50 b) 3log 5 – log 2 + log 16

Pàgina 4/28

Unitat 2: Polinomis

1.- Trobeu l’expressió algèbrica que correspon a cadascun delsapartats següents: a) El volum d’un cub de costat x b) La superfície d’un cub de costat x c) L’àrea d’un triangle on l’altura val el doble que la base. d) El triple del quadrat d’una determinada quantitat y.

2.- Digueu quines de les expressions següents són monomis, id’aquestes, doneu-ne el grau, la part literal i el coeficient.

a x b x cx

d x) ) ) ) ( )2 53

2 33 72

2− −

3.- Donats els polinomis P(x) = 3x3 + 2x - 5x2 + 1, Q(x) = x + 5 - x2

i R(x) = 2x4 + 3x2 + 7x - 3, trobeu: a) P(x) + R(x) b) P(x) -( Q(x) - R(x) )

4.- Trobeu el polinomi que restat a x3 - 2x2 + x + 3 dóna x2 - 3x + 7.

5.- Considerant els polinomis de l’exercici 3, trobeu: a) P(x) . Q(x) b) ( P(x) + R(x) ) . Q(x)

6.- Fent ús dels productes notables, desenvolupeu: a) ( 3x2 - 5 )2 b) ( 2x - 7 )( 2x + 7 ) c) ( x2 + 2x )2

7.- Expresseu com a producte de polinomis de 1r grau:

a) 9x2 - 12x + 4 b) 25

49162x −

8.- Trobeu el quocient i el residu de les divisions següents:a) (4x5 - 5x3 + x2 + 6x - 1):(x2 + 3x - 2)

b) (4x5 - 5x4 + x2 + 6x - 1):(x3 - 2)

c) (x4 - 16):(x + 2)

d) (2x6 + 3x4 - 4x + 1):(x4 - 2x2)

e) (4x5 - 3x4 + 9x2 - 8x + 12):(x - 3)

Pàgina 5/28

9.- Trobeu un polinomi tal que en multiplicar-lo per x2 - 2 doni x6 – 3x4 +2x2.

10.- Sense fer cap divisió, contesteu:a) P(x) = -3x3 + 4x2 - 5x + 10 és múltiple de Q(x) = x - 2?b) x + 1 és divisor de x4 + 5x3 - 3x + 1 ?

11.- Trobeu el valor del paràmetre ‘a’ perquè en dividir x4 - 2ax3 + x2 - 4ax + 9 per x + 1 doni de residu -7.

12.- Factoritzeu els polinomis següents:a) x2 - 14x + 49b) x3 - 25xc) x3 + 2x2 - 5x - 6

13.- Resoleu les equacions següents:a) x(x - 2) = 8b) x3 - 5x2 - 2x + 24 = 0

14.- Simplifiqueu fins a fer-les irreductibles

a) 652

4323

23

−−++−xxx

xx b)

xx

xxx

22

322

23

−−+

15.- Trobeu el mcm i el mcd dels polinomis P(x) = x2 + x – 2 Q(x) = x3 – x

16.- Efectueu les operacions següents:

a) 3 2

3

1 2

92

x

x

x

x

−−

+ −− b)

x x

x

x

x x

3 2

2

2

2

2

9 2 3

−− − +

:

c)4595

5

1

3223

2

+−−−⋅

+−−

xxx

x

x

xx

Unitat 3: Equacions

1.- Resoleu les equacions de primer grau detallades a continuació:a) 4 6 3 4− = +x x

b) 7 1 5 3 10 5 3 10( ) ( ) ( )x x x− + − = − −

c)x

x4

13

4− = −

Pàgina 6/28

d)x x x−

−+

−−

=−2

6

1

3

1

2

5

2

e)3

2

1

3

4

71

3 2

55x x x

xx− + + =

+−( )

( )

2.- Trobeu les solucions de les següents equacions de segon grau:a) 3x2 - 9x = 0b) x2 = 2xc) 5x2 - 125 = 0d) 2x2 - 3x + 5 = 0e) (x - 2)2 - 2x(x + 1) = -36

f) 10

4

5

)1( =−xx

3.- Trobeu les solucions d’aquestes equacions:a) x (x3 +2x) -12 = 3x2

b) 2 3 3x x− + = .

4.- Trobeu la solució de :a) x3 – 49x = 0b) x3 – 3x2 – 9x – 5 = 0

5.- Trobeu unes quantes solucions de l’equació 3x – 5 + 2y = 3 – 3xi representeu-les gràficament.

6.- Resoleu cadascun dels sistemes següents pel mètode indicat.

a) 3 10

2 5

x y

x y

− =+ =

substitució b)

5 4 9

2 5

x y

x y

− =+ =

igualació

c)3 4 7

2 1

x y

x y

+ = −− =

reducció

7.- Representeu gràficament les solucions del primer sistema del’exercici anterior.

8.- Trobeu les solucions dels sistemes a), b) i c) pel mètode desubstitució, igualació i reducció respectivament.

a)

=+

=−−

15342

1

3

1

6yx

yx b)

=+=+

82553

111082

yx

yx c)

+−−=+−=−−−

)1(5)2(6224

4)(4)63(2

yxyyx

yxx

Pàgina 7/28

9.- Classifiqueu els sistemes següents segons el nombre de solucions:

a) 2 2

6 3 6

x y

x y

− =− + = −

b)

3 3

6 2 4

x y

x y

+ = −+ =

10.- Resoleu els sistemes següents:

a)

=++=++

=++

18525

939

4

zyx

zyx

zyx

b)

=++=++=−+

523

322

423

zyx

zyx

zyx

11.- Resoleu les equacions exponencials detallades a continuació:a) 2 256

2 7x x− =b) ( )4 3 1

2x x+ =

c) 2 2 2 111 3 4x x x− − −+ + =d) 41 1

64

2− =x

e) 5x = 16 (aquesta traient logaritmes)

12.- Resol les següents equacions logarítmiques:a) log log ( ) log ( )5 5 55 2 2x x x= − − +b) )2log(10log3log −=− xx

c) 2 2 8 4log log log logx − = −

13.- En una classe hi ha 45 alumnes entre nois i noies. Practiquennatació el 32% dels nois i el 60% de les noies. Si el nombre totald’alumnes que practiquen natació és igual a 20, quants nois i quantesnoies hi ha a la classe?

14.- El gos de l’Àlex ara té 12 anys menys que ell. D’aquí a 4 anys,l’Àlex tindrà el triple d’edat que el seu gos. Quina és l’edat de l’Àlex ila del seu gos?

15.- La quarta part de les pàgines d’un quadern les dedico a Idioma,la cinquena part a Socials i les 44 restants a llengua. Quantes pàginesté el quadern?

16.- L’àrea d’un rectangle que té un dels seus costats 5 cm més curtque l’altre és de 500 cm2. Trobeu la longitud de cada costat.

17.- Per tancar una finca rectangular s’utilitzen 1300m de tanca.Calculeu les dimensions del terreny (llargada i amplada) sabent quesi tingués 100m menys de llargada i 100m més d’amplada, seriaquadrat.

Pàgina 8/28

18.- Determineu les dimensions d’un rectangle sabent que la diagonalval 35 cm i que un dels costats és 7 cm més gran que l’altre.

19.- Quin capital final s'obtindrà d'una imposició en una entitatfinancera de 500,00 euros a un tipus d'interès simple del 3% anualdurant 2 anys?

20.- Quin tipus d'interès es necessita per triplicar en 5 anys un capitala interès simple i venciment anual?

21.- Quin capital final proporciona la inversió de 2.500,00 euros a untipus d'interès compost del 4% durant 5 anys?

Bloc 2: Geometria Unitat 1: Trigonometria

1.- Calculeu l’àrea i el volum d’un prisma recte de base quadrada sisabem que el costat de la base mesura 5 cm i l’altura 7 cm.

2.- Calculeu el volum i l’àrea d’un con sabent que el radi de la base ésde 9 cm i la generatriu 15 cm.

3.- Calculeu el volum d’una piràmide de base un pentàgon regular decostat 6 cm i d’apotema 4’13 cm sabent que l’altura de la piràmide ésde 12 cm.

4.- Calculeu l’àrea total d’una piràmide de base quadrada sabent queel costat de la base és de 12 cm i l’altura de la piràmide de 8 cm.

Pàgina 9/28

5.- Completeu el quadre següent, utilitzant la calculadora, peròresponent a la segona columna en forma de fracció.

angle engraus

angle enradiants

I, II, III, IVquadrant

sinus del'angle

tangent del'angle

7

4

π

135º

I 2.747477419

II 0.866025403

6.- Canvieu a radiants els angles següents:30º75º90º170º

7.- Canvieu a graus sexagesimals els angles següents:2

3

63

47

4

π

π

π

π

rad

rad

rad

rad

8.- Donats els valors de les raons trigonomètriques detallades acontinuació, trobeu amb la calculadora l'angle en graus, minuts isegons de què es tracta.a) sin A = 0'4226182 b) sin B = 0'369852

c) sin C = 1 d) cos D = 1

e) cos E = 0'256987 f) cos F = -0'587945

g) tg G = -1'458792 h) tg H = 45.200

Pàgina 10/28

9.- Trobeu les raons trigonomètriques dels angles assenyalats:

10.- Resoleu els triangles rectangles següents:

a) 12

16

b)

6

35º

Pàgina 11/28

11.- Representeu en la circumferència trigonomètrica els anglessegüents i les seves raons trigonomètriques (sinus, cosinus itangent):

a) 40º

b) 165º

c) 210º

d) 315º

Pàgina 12/28

12.- Trobeu tots els angles més petits de 1200º que compleixin quesin x = 0’7.

13.- Trobeu les raons trigonomètriques d’un angle del segon quadrantsabent que tg x = -3. (Sense utilitzar la calculadora)

14.- Trobeu les raons trigonomètriques d’un angle del segon quadrantsabent que cos x = -1/3. (Sense utilitzar la calculadora)

15.- L'ombra d'un arbre és de 40m i l'angle que formen els raigs desol amb el terra és de 60º. Quina és l'altura de l'arbre?

16.- Des d'un far col·locat a 53m sobre el nivell del mar es veu unvaixell sota un angle de 55º. A quina distància del far es troba elvaixell?

17.- Un estel està unit al terra mitjançant un cordill que forma unangle amb el terra de 60º. Si l'estel es troba a 70m d'alçada, quina ésla llargada del cordill?

18.- Amb una escala de 3m accedim a una finestra que es troba a2'5m d'alçada. Quin angle formen l'escala i el terra? i l'escala i laparet?

19.- Resoleu els triangles:a) a = 7 b = 5 c = 3

b) b = 10 c = 6 B = 70º 45’

c) a = 3 c = 5 B = 25º

20.- Des de la riba d’un riu observem un punt situat a la riba oposadasota un angle de 15º 23’ (l’angle d’observació és el que formen lavisual amb la riba del riu on ens trobem). Avancem 5m i observem elmateix punt sota un angle de 27º 12’. Quina és l’amplada del riu?

Pàgina 13/28

21.- Dues bateries antiaèries, distants 4 km entre si, disparen a uncaça enemic en el moment en què aquest sobrevola la línia queformen aquelles. El primer dirigeix els seus trets amb un angled’elevació de 70º i l’altra de 80º. A quina distància es troba cadabateria del caça?

22.- Una persona és a la vora d’un riu des d’on observa la punta d’unarbre de la riba oposada amb un angle de 45º. En apartar-se’n 30men línia recta amb què determinen la posició inicial i l’arbre, el nouangle és de 30º. Quina alçada té l’arbre? Quina amplada fa el riu?

23.- Trobeu quant mesura el costat d’un pentàgon inscrit en unacircumferència de radi 10cm.

Unitat 2: Nombres complexos

1.- Trobeu l’oposat i el conjugat dels nombres següents:

a) i23 − b) i+3

1 c) i2− d) -5

2.- Calculeu el valor de k perquè el nombre

ikk

++−4

12

a) sigui un nombre real b) sigui un nombre imaginari pur

3.- Calculeu:

a) )42()23( ii ++− b) )4

32()5( ii −++

c) )32()35( ii +−− d) )75(4)3

12(3 ii −−−

4.- Calculeu:a) )23).(5( ii +− b) )2).(2( ii +−

c) )5).(3

12( ii −−+ d) )23).(2).(

4

13( iii +−−

Pàgina 14/28

5.- Calculeu:

a) i

i

31

2

+−

b) i

i

+−

2

32 c)

i−3

1

d) i

i

42

3

− e)

i

i−5

6.- Trobeu les solucions de les següents equacions de segon grau:

a) x2 – 4x + 13 = 0 b) 4x2 + 12x + 13 = 0 c) 2x2 – 4x + 4 = 0 d) x2 – x + 5 = 0

7.- Transformeu a forma polar els següents nombres complexos:

a) i31+ b) i+1 c) i77 − d) i33+−

8.- Escriviu en forma binòmica:

a) π7 b) 2

12π c) º1356 d) º305

9.- Passeu primer a forma polar i després calculeu: 5)1( i−

Unitat 3: Vectors al pla

1.- Donats els punts A (-5,2), B (1,-3) i C (-2,-2) trobeu lescomponents dels vectors AB, AC i CB.

2.- a) Del vector )1,3( −=ur

en coneixem l’origen, que és el punt (1,1).Trobeu-ne l’extrem. b) Del vector )5,2/1( −=v

r en coneixem l’extrem, que és el punt

(-2,1). Trobeu-ne l’origen.

Pàgina 15/28

3.- Donats els vectors )2,1( i )3,1( =−= vurr

trobeu analíticament igràficament:

vub

vuarr

rr

32)

)

+−

4.- Donats els punts A (-4,4), B (-1,6) i C (7,2), trobeu lescoordenades d’un quart punt D tal que ABCD sigui un paral·lelogram.

5.- Els punts A (-1,3), B (0,1) i C (2,3) són els vèrtexs d’un triangle.Trobeu-ne el perímetre.

6.- Dividiu el segment que va del punt A (-1,1) al punt B (5,10) entres parts iguals.

7.- Les coordenades del punt S són el triple de les coordenades delpunt R, i el vector RS té per components (4, -6). Calculeu lescoordenades de R i S.

8.- Trobeu l’angle que formen els vectors )3,2(−=ar

i )4,5(=br

.

9.- Trobeu l’angle del triangle format pels vèrtexs A(1,0), B(4,1) iC(2,3) en el punt A.

10.- Trobeu l’equació de la recta que passa pels punts A (1,3) i B (5, -2) en totes les formes que conegueu.

11.- Trobeu l’equació explícita i vectorial de la recta donada perl’equació general 2x + 3y – 6 = 0.

12.- Trobeu l’equació de la recta que passa pels punts A(2,1) i B(-1,3) en forma explícita.

13.- Escriviu en forma paramètrica l’equació de la recta 2

1

3

2

−+=− yx

.

14.- Esbrineu si els punts A(1,3), B(3,5) i C(7,8) estan alineats.

Pàgina 16/28

15.- Trobeu la recta paral·lela a la recta 10x – 5y + 2 = 0 i que passapel punt (2,-1).

16.- Troba els punts de tall amb els eixos de la recta 2x + 3y – 5 = 0.

17.- Donada la recta y = 7x +2, doneu-ne un vector director i unvector perpendicular al vector director.

18.- Calculeu el valor de ‘b’ per a que les rectes 2x + by = 3 i 3x = 1 - 5y siguin:a) paral·lelesb) perpendiculars

19.- Trobeu la distància entre els punt (-5,7) i (3,-1).

20.- Trobeu la distància del punt A (-3,2) a la recta 5y = 3x + 35

21.- Trobeu l’equació de la recta paral·lela a 2x – y + 3 = 0 i quepassa pel punt (-2,5).

22.- Trobeu la distància entre aquestes dues rectes: r: x + 2y – 1 = 0 s: 3x + 6y + 3 = 0

Bloc 3: Funcions i gràfiques

Unitat 1: Funcions

1.- L’àrea d’un quadrat és funció del ...................... i ho expressemaixí: A = ..... Ara, la variable independent és el ..................... i la dependent és.....................

Pàgina 17/28

2.- Representeu gràficament:a) y = -2x – 3 b) y = -5 c) x = 4

3.- a) Feu una taula de valors i representeu gràficament en uns eixoscoordenats la funció y = 2x – 3. b) En quin punt la gràfica anterior talla l’eix d’abscisses?..............., i l’eix d’ordenades? .................. c) Representeu en els mateixos eixos de la gràfica anterior lafunció y = -2x + 5. d) En quin punt es tallen les dues gràfiques que heu dibuixat?

4.- Trobeu la imatge dels valors –2, 4 i 7 per la funció 32

+−= xy

5.- a)Trobeu l’antiimatge de –6 per la funció f(x) = 2x + 4 b)Trobeu les antiimatges de 3 per la funció y = x2 – 2x + 3

6.- Donades les funcions f x x g xx

( ) ( )= − = −2 12 1

3 i , trobeu f(-2),

g(1/2), f-1(8) i g-1(3).

7.- En un dipòsit de gas hi ha una esquerda que fa que el gas s’escapia raó de 3 litres per minut. En un principi el dipòsit contenia 45 litresde gas. a) Feu una taula que relacioni els litres de gas que queden en eldipòsit en funció dels minuts que han passat des que s’ha produïtl’esquerda. b) Quina és la fórmula que relaciona el gas que queda en el dipòsit(y) i els minuts que han passat (x). c) Quants minuts han de passar per què es buidi el dipòsit?

8.- Un recipient ple d’aigua està a 20º C de temperatura. Durant 10minuts s’escalfa de manera que cada mig minut augmenta 4º latemperatura. - Quina temperatura assoleix al cap d’aquests 10 minuts? - Trobeu l’equació de la funció que ens dóna el valor de latemperatura segons el temps transcorregut en minuts.- Representeu gràficament aquesta funció.- Indiqueu-ne el domini i el recorregut.

Pàgina 18/28

9.- Representeu gràficament:a) y = 3x2 + 6x b) y = -x2 – 2x + 8

10.- Dibuixeu una funció que compleixi les condicions següents: f(0) = -1 f(1) = 2 f(2) = 3 f(3) = 1 tingui un mínim en x = 0 i un màxim en x = 2 i en x = -2.

11.- Indiqueu els intervals de creixement, decreixement, concavitat iconvexitat, els màxims, mínims i punts d’inflexió de la funciósegüent:

Pàgina 19/28

12.- Trobeu el domini i recorregut de:

13.- Trobeu el domini de les funcions següents:

a) f(x) = -x2 + 3x +1 b) g xx

x x( ) = −

− −3 6

62 c

c)h xx

( ) =−

3

3 7 d) i x

x

x( ) =

+2

92

14.- Representeu gràficament les funcions f(x) = 2x i g(x) = 3-x

15.- Calculeu, si existeixen, els següents límits de funcions:a) lim x x x

x→+ − −

2

3 22 10( )

b) limx

xx→−

++3

5

3

c) limx x

x xx→

+ −− +5

2

2

5 14

10 25

d) limx

x x xx→

−− + −2

2

3 2

4

2 2

Pàgina 20/28

e) 42

8lim

3 ++

+∞→ x

xx

f) 92

133lim

4

+−−+

−∞→ x

xxx

16.- Estudieu la continuïtat de les funcions següents:

a) f xx

x x( ) = +

+ −2

22

b)

−+

≤−=

0> x2

12

0 x)(

2

2

x

xxx

x

xf

17.- Determineu el valor de k per a que la funció f(x) sigui contínua ax = -2.

≥+−

+

=-2 x

4

3

-2< x4

2

)(2

kxx

x

xf

18.- Considereu la següent funció definida a trossos:

+−≤+−

≤+=

2> xsi 52

2x<0 si 2

0 xsi 23

)( 2

x

x

x

xf

Representeu-la gràficament i comenteu-ne la continuïtat.

19.- Dibuixeu una gràfica que tingui una asímptota vertical en x = -3i una asímptota horitzontal a y = 2.

Pàgina 21/28

Unitat 2: Derivades

1.- El nombre d’alumnes d’un centre escolar afectats per la grip alllarg d’un mes ve donat per la funció f(x) = 800 - x2. La variable xindica els dies del mes i f(x), el nombre d’alumnes afectats. Calculeula taxa de variació mitjana corresponent als intervals [3 , 5], [13 , 15]i [10 , 20]. En quin d’aquests intervals ha disminuït més ràpidamentel nombre d’alumnes malalts?

2.- La posició en funció del temps d’un mòbil que es desplaça seguintuna trajectòria rectilínia ve donada per: f t t( ) = +50 150essent t l’hora del dia i f(t) la seva distància a l’origen. Quan va mésde pressa el mòbil, entre les 2 h i les 4 h o entre les 7 h i les 11 h?

3.- Trobeu, aplicant la definició de derivada en un punt, la derivadade f(x) = 2x2 - 3 en el punt x = 5.

4.- Calculeu la funció derivada de les funcions següents:a) f(x) = x2 - 5x + 8 b) f x x( ) =

c) f x x( ) = 43 d) ( )22 12

1)(

−+=

xxxf

e) ( )43 152)( ++= xxxf f) f x x x( ) = +23 3

5.- Indiqueu si la funció f(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 és creixent odecreixent en els punts x = 1 i x = 5.

6.- Donada la paràbola de funció f(x) = x2 - 2x + 3, determineu-ne:a) el vèrtexb) l’equació de la recta tangent en el punt x = 2.

7.- Feu un estudi del creixement i decreixement de les funcions: a) f(x) = x2 – 2x + 3 b) f(x) = x3 – 3x2 + 7

Pàgina 22/28

8.- Trobeu els màxims i mínims relatius de la funció f(x) = x3 + 6x2 + 9x - 8

9.- Donada la funció f(x) = x3 – 9x trobeu:a) Els punts de tall amb els eixosb) Els màxims i mínims relatiusc) Un gràfic aproximat de la funció

10.- Disposem de 24 metres de tela metàl·lica i es vol tancar unterreny rectangular fent servir tela metàl·lica en tres dels seuscostats, aprofitant pel quart costat un llarg mur de pedra. Quinesdimensions hem de donar al terreny perquè tingui la major àreapossible?

Bloc 4: Estadística i probabilitat

Unitat 1: Estadística descriptiva unidimensional

1.- Es fa una enquesta sobre el nombre de llibres llegits durant l’últimany per cada persona, i s’obtenen els resultats següents:

0,2,1,1,1,2,3,0,0,1,2,1,4,5,0,3,2,4,3,2,1,2,3,1,2, 0,0,2,2,2,1,3,0,1,4,2,3,1,1,1,2,2,3,1,3,2,1,0,0,1.

a) De quin tipus de variable es tracta?b) Trobeu la taula de freqüències.c) Trobeu la moda, la mediana i la mitjana.d)Feu el diagrama de barres i de sectors.

Pàgina 23/28

2.- Pesen 30 kiwis per col·locar-los en diferents capses segons la sevacategoria. Els pesos en grams són els següents: 48,57,73,49,61,82,76,74,53,57,83,61,72,56,77, 79,80,48,60,62,63,65,57,59,60,48,49,55,57,60.

a) Agrupeu les dades en 6 intervals (trobeu l’amplitud i comenceu elprimer interval pel valor 48).b) Trobeu el recorregut, la desviació mitjana, la variança i ladesviació típica.c) Dibuixeu l’histograma i el polígon de freqüències corresponent.

3.- El nombre d’exercicis que han resolt un grup de 40 alumnes en untreball pràctic està expressat en aquesta taula:

Nombre d’exercicis 6 5 4 3 2 1 0

Nombre d’alumnes 7 9 13 6 3 1 1

a) Calculeu els paràmetres de centralització.b) Calculeu els paràmetres de dispersió.c) Quin tant per cent de dades es troben dins l’interval [ 3, 5 ]

4.- Per tal d’estudiar la fiabilitat de dos tipus de test de controld’alcoholèmia, s’efectuen repetides proves de cadascun a unamateixa persona. Els resultats obtinguts són:

Test A: dlmgx /09'0= i σ = 0’02 mg/dl Test B: dlmgx /09'0= i σ = 0’05 mg/dl

Quin test és més fiable? Justifiqueu la resposta

5.- Suposeu que es fa un estudi sobre la temperatura mitjana anualde les ciutats de Tenerife i de Ripoll. Compareu com serien les duesmitjanes i les dues desviacions típiques que en sortirien dels càlculs.

Pàgina 24/28

Unitat 2: Estadística descriptiva bidimensional

1.- Indiqueu com serà el valor del coeficient de correlació en elssegüents estudis de variables bidimensionals:

a) L’alçada i el pes de les persones.b) El coeficient d’intel·ligència i el número de sabata d’unapersona.c) La renda per càpita i la taxa de mortalitat infantil d’un país.d) Grau de desenvolupament d’un país i nombre de guarderiesinfantils.

2.- Es donen els resultats numèrics de l’avaluació d’un grupd’alumnes en l’assignatura d’informàtica, en la prova teòrica i en laprova pràctica.

Teoria 8’1 7’5 7’1 6’1 9’6 5’6 8’5 1’8 7’0 7’7 7’1 9’1 8’8 7’9 7’7 6’8

Pràctica 8’0 8’2 8’3 5’7 9’8 3’0 6’8 5’6 4’0 8’7 6’5 8’6 8’2 5’7 7’5 4’7

a) Dibuixeu el núvol de punts d’aquesta distribució.b) Calculeu el valor del coeficient de correlació lineal i, a la vistad’aquest coeficient, digueu si la regressió lineal pot ser un bon modelper a predir resultats aproximats.c) Trobeu la recta de regressió de la nota pràctica respecte a la notateòrica, i representa-la gràficament en el mateix sistema d’eixos queheu utilitzat en l’apartat a).d) Feu la predicció de les notes de la part pràctica que podrien teniruns alumnes que a l’examen teòric haguessin tret, respectivament,un 4 i un 8.

Pàgina 25/28

3.- Es dóna una taula de valors amb les alçades d’un grup d’alumnesde batxillerat, del seu pare i de la seva mare.

Alçada de l'alumne 153 163 163 178 178 163 173 173 183 173 173 168 158

Alçada del pare 158 178 173 173 173 178 168 168 173 173 173 178 173

Alçada de la mare 158 153 153 163 148 178 168 163 173 168 168 163 153 Trobeu la recta de regressió corresponent a les variables ‘alçada del’alumne’ i ‘mitjana de les alçades dels seus pares’ i el seucoeficient de correlació. Quina predicció farem per l’alçada d’unalumne/a tal que la seva mare medeix 178 cm i el seu pare 183 cm?

4.- Donada la taula de doble entrada detallada a continuació, trobeula recta de regressió de Y sobre X.

Y \ X 10 15 20 25 3010 2 115 3 42025 1 2 130 1

Pàgina 26/28

Unitat 3: Probabilitat

1.- En una ciutat, el 40% de la població té els cabells de colorcastany, el 25% té els ulls també de color castany, i el 15% té elscabells i els ulls castanys.

a) Completeu la taula següent:

cabellcastany

cabell nocastany

total

ulls castanys 15 25ulls no castanystotal 40 100

S’escull una persona a l’atzar:b) si té els cabells castanys, quina és la probabilitat que tambétingui els ulls castanys?c) si té els ulls castanys, quina és la probabilitat que no tinguiels cabells castanys?d)quina és la probabilitat que no tingui ni els cabells ni els ulls

castanys?2.- En l’experiment aleatori de llançar dos daus, calculeu laprobabilitat de:

a) Treure puntuacions iguals.b) Treure ambdues puntuacions parelles.c) Treure almenys un ú.d) No treure cap cinc.

3.- Donada la ruleta següent,6

51

4

3 2

a) Calculeu la probabilitat de cada esdeveniment elemental.b) Calculeu la probabilitat que surti parell.

Pàgina 27/28

4.- Si dos esdeveniments són incompatibles, a què és igual la p(A∪B)?

5.- En una facultat universitària, els alumnes es classifiquen segonssexe i hàbit fumador:

Fumador No fumadorHome 189 301Dona 165 335

Calculeu la probabilitat que escollit un alumne a l’atzar, aquest sigui:a) fumadorb) dona i no fumadorac) fumadora sabent que és donad) home sabent que no fuma.

6.- Una bossa conté 10 boles blanques, 8 vermelles i 5 negres. Esrealitzen dues extraccions consecutives. Trobeu la probabilitat que laprimera sigui vermella i la segona negra, primer considerant que esreemplaça la primera bola extreta, i després que no hi hareemplaçament.

Pàgina 28/28