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PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - MARÇO DE 2010.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01

Na figura, AB = 4u.c, BC = 6u.c e M é o ponto médio do segmento AC .

Calcule a distância x de P a C sabendo que a distância de P a A é igual a um terço da distância de P a M. 01) 8,75u.c 02) 8,25u.c 03) 7,25u.c 04) 7,00u.c 05) 6,75u.c RESOLUÇÃO: Sendo

1) AB = 4u.c, BC = 6u.c e M o ponto médio do segmento AC pode-se associar ao ponto A a abscissa 0, ao

ponto C a abscissa 10 e ao ponto M a abscissa 5. 2) AP = y e PM = 3y. Resulta a figura:

Da análise da figura tem-se: y + 3y= 5 ⇒ 4y = 5 ⇒ y = 1,25 ⇒ PC = 3 × 1,25 + 5 ⇒ PC = 8,75. RESPOSTA: Alternativa 01. Questão 02. João e Maria eram dois colegas de escola. João dizia gostar muito de Maria e a assediava com muita freqüência.

Um belo dia, João pediu o número do telefone de Maria, que respondeu dizendo:

–João, meu telefone é composto de oito dígitos totalmente distintos e o prefixo é 3247; se você realmente gosta de mim, ligue-me hoje à tarde que eu estarei esperando. Quantas tentativas, no máximo, João deverá fazer para, com certeza, descobrir o número de Maria? 01) 5040 02) 10000 03) 2401 04) 840 05) 360 RESOLUÇÃO: Representação do telefone de Maria:

PREFIXO a b c d

3247 6 5 4 3 Possibilidades de valores para a, b, c, d

O número de tentativas que, no máximo, João deverá fazer é: 6 × 5 × 4 × 3 = 360. RESPOSTA: Alternativa 05.

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Questão 03. A posição de um ponto P da Terra é determinada por suas coordenadas geográficas: latitude e longitude.

A latitude do ponto P é a medida, em graus, do arco , contido no meridiano que passa por P, sendo A o ponto desse meridiano que está no equador. Longitude de P é a medida, em graus, do arco equatorial determinado pelo meridiano que passa por P e o meridiano que passa pelo observatório de Greenwich, na Inglaterra. Essas coordenadas são determinadas com grande precisão por aparelhos chamados GPS (Sistema de posicionamento global) utilizam satélites. Supondo que o raio da terra (suposta esférica) é de 6000km e que as cidades X e Y estão situados num mesmo meridiano, tendo latitudes de 10°20`N e 9°40´S, entre essas cidades calcule a distância, em quilômetros, entre essas cidades. 01) 1743 02) 2093 03) 2415 04) 28270 05) 3050 RESOLUÇÃO:

FIGURA I

FIGURA II

A figura I acima representa a situação-problema. Na figura II, o círculo de centro C representa o meridiano onde se localizam as cidades X e Y que determinam um arco de comprimento l e medida: 9°40´ + 10°20´ = 20°.

Logo vale a relação: ...,,,,

33320933

6280

14320003

1

1431200018

1

14360002360

20==⇒

×=⇒

×=⇒

××=

°

°l

lll

RESPOSTA: Alternativa 02 Questão 04. João e Maria vão sentar-se à mesma fila de um cinema. A fila tem 10 cadeiras, todas vazias. Como não querem

sentar-se em cadeiras vizinhas, de quantas maneiras poderão sentar-se?

01) 42 02) 54 03) 64 04) 72 05) 80 RESOLUÇÃO:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No

João Maria Maria Maria Maria Maria Maria Maria Maria 8

João Maria Maria Maria Maria Maria Maria Maria 7

Maria João Maria Maria Maria Maria Maria Maria 7

Maria Maria João Maria Maria Maria Maria Maria 7

Maria Maria Maria João Maria Maria Maria Maria 7

Maria Maria Maria Maria João Maria Maria Maria 7

Maria Maria Maria Maria Maria João Maria Maria 7

Maria Maria Maria Maria Maria Maria João Maria 7

Maria Maria Maria Maria Maria Maria Maria João 7

Maria Maria Maria Maria Maria Maria Maria Maria João 8

TOTAL 72

Considerando que João sente em primeiro lugar e que somente depois Maria escolha o lugar para sentar: Se João sentar na cadeira 1 ou 10, Maria terá em cada caso (10 – 2) cadeiras para sentar, então um total de 16 maneiras de sentar-se.

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Se João escolher uma das cadeiras de número 2 a 9. Em cada caso Maria somente terá (10 – 3) cadeiras para

sentar, o que dá um total de 8 × 7 = 56 maneiras de sentar-se. Logo ao final são 16 + 56 = 72. RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 05.

A figura ao lado representa um quadro com círculos congruentes e tangentes dois a dois. Sabe-se que o consumo de tinta para pintar os círculos, em primeira demão é de 1cm³ de tinta para cada 100 cm² de área a ser pintada. Na segunda demão o consumo de tinta é de 20% a menos. Determine a quantidade de tinta, em litros, necessária para pintar esses círculos

com duas demãos. (Considerar π = 3). 01) 0,82 02) 0,42 03) 0,48 04) 0,54 05) 0,60

RESOLUÇÃO: Como os círculos são congruentes, tangentes entre si, dois a dois, e cada um deles tangente a dois lados

consecutivos do quadrado, pode-se concluir que 4R = 200cm ⇒ R = 50cm.

A área dos quatro círculos, em cm², é então: 4πR² = 4 × 3 × 50² = 30.000. Como na primeira demão, para cada 100 cm² de área a ser pintada, gasta-se 1cm³ de tinta, tem-se a proporção:

300x30000

x

100

1=⇒= ⇒ que na primeira demão o consumo de tinta é de 300 cm³.

Se na segunda demão o consumo de tinta é de 20% a menos, este consumo é de:

(100% − 20%) × 300 = 240 cm³.

Logo um consumo total de (300cm³ + 240cm³) = 540cm³ = 0,540dm³ = 0,54 l .

RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 06. (UFBA2008/modificada)

Em uma escola, cinco meninos e três meninas disputam uma prova de natação. Cada nadador ocupa uma das oito raias da piscina, numeradas de 1 a 8, e os que obtiverem o primeiro, o segundo e o terceiro lugar subirão ao pódio para premiação. Com base nessas informações e admitindo-se que não existe a possibilidade de empate, considere as seguintes afirmativas: (I) Existem exatamente 4320 maneiras distintas de distribuir os nadadores nas raias de modo que a 1 e a 8 sejam ocupadas por meninas. (II) Existem exatamente 336 formações distintas para o pódio. (III) Existem exatamente 180 formações distintas para o pódio com dois meninos e uma menina.

Podemos afirmar que:

01) apenas a afirmativa I é falsa.

02) apenas a afirmativa II é falsa.

03) apenas a afirmativa III é falsa.

04) apenas uma afirmativa é verdadeira.

05) todas as afirmativas são verdadeiras.

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RESOLUÇÃO: (I) VERDADEIRA Raia 1 Raia 2 Raia 3 Raia 4 Raia 5 Raia 6 Raia 7 Raia 8 3 meninas 6! possibilidades 2 meninas

Logo existem exatamente 3 × 6! × 2 = 4320 maneiras distintas de distribuir os nadadores nas raias de modo que a 1 e a 8 sejam ocupadas por meninas. (II) VERDADEIRA

1o lugar 2o lugar 3o lugar Possibilidades 8 7 6 Se os que obtiverem o primeiro, o segundo e o terceiro lugar subirão ao pódio para premiação, o número total de

maneiras para este acontecimento é: 8 × 7 × 6 = 336. (III) VERDADEIRA

1o lugar 2o lugar 3o lugar TOTAL Possibilidades 1

3 meninas 5 meninos 4 meninos 3 ×××× 5 ×××× 4 = 60

Possibilidades 2

5 meninos 3 meninas 4 meninos 5 ×××× 3 ×××× 4 = 60

Possibilidades 3

5 meninos 4 meninos 3 meninas 5 ×××× 4 ×××× 3= 60

TOTAL 180 RESPOSTA: Alternativa 05 Questão 07.

As retas r e t são paralelas.

Calcule x sabendo que CD é paralelo à s retas r e t e que AB é

paralelo a DE . 01) 100° 02) 125° 03) 130° 04) 135° 05) 145°

RESOLUÇÃO:

Traçando-se as retas s e u, respectivamente, pelos pontos B

e C, paralelas às retas r e t e prolongando-se AB até interceptar a reta t no ponto F, tem-se:

1) ( ).internos colaterais ângulos 180HBC BCD °=+

2) °= 70 - x CBH .

3) entes)correspond (ângulos 70 - x EF A HBA °== .

4) DEFG é um paralelogramo ( )D//EF e D//GF( GE

5)

amo)paralelogr do opostos (ângulos GDE GFE e FED DGF ==

Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°:

2x + 2(x – 70°) = 360° ⇒ 4x = 500° ⇒ x = 125°. RESPOSTA: Alternativa 02.

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Questão 08.

Com os algarismos do conjunto {0;1;2;3;4;5;6;7;8}, quantos números ímpares , situados entre 200 e 700,

podemos formar com algarismos distintos ?

01) 126 02) 161 03) 184 04) 105 05) 140

RESOLUÇÃO:

Os números, em questão, são todos os valores ímpares de x tais que 200 < x < 700. Logo a ordem das centenas só pode ser preenchida com os algarismos 2, 3, 4, 5 ou 6 e a das unidades pelos algarismos 1, 3, 5 ou 7. Somente não existem

condições para o preenchimento da ordem das dezenas.

Comecemos o preenchimento pelas ordens para as quais existem condições:

C D U I - Preenchimento (2, 4 ou 6) (1, 3, 5 ou 7)

Número de possbilidades 3 7 4 II - Preenchimento Entre 3 ou 5, escolhe-se, por exemplo o 3 7 (1, 5 ou 7)

Número de possbilidades 2 7 3 O total de números será então: 3 × 7 × 4 + 2 × 7 × 3 = 84 +42 = 126.

RESPOSTA: Alternativa 01.

Questão 09.

Os ciclistas A e B partem de um mesmo ponto e no mesmo instante. A razão entre os raios R e r das rodas das bicicletas de A e B, respectivamente, é igual a 1,5. As rodas da bicicleta de A dão n voltas por minuto, enquanto as da do ciclista B dão (n + 2) voltas por minuto.

Em cada instante a razão entre as distâncias percorridas por A e B é igual a 7

10 .

Calcule o valor de n.

01) 25 02) 30 03) 35 04) 40 05) 45

RESOLUÇÃO:

Sendo r a medida do raio da bicicleta de B, o raio da bicicleta de A é R = 1,5r.

Em 1 minuto as rodas da bicicleta do ciclista A dão n voltas, portanto percorre (n×2×1,5rπ) = 3nrπ.

Em 1 minuto as rodas da bicicleta do ciclista B dão (n +2) voltas, portanto percorre (n+2)×2rπ) = (2n+4)rπ.

Como em cada instante a razão entre as distâncias percorridas por A e B é igual a 7

10

40n4020n21n7

10

2)2(n

3n=⇒+=⇒=

+

RESPOSTA: Alternativa 04.

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Questão 10. Quantos números naturais, maiores que 4725, podemos formar com quatro algarismos distintos?

01) 3024 02) 2670 03) 2614 04) 2584 05) 2520 RESOLUÇÃO: Sendo: 4725 < n < 5000

UM C D U 4 7 2 6, 8 ou 9

3 números

UM C D U 4 7 3, 5, 6, 8 ou 9 3 0,1,2,5,6,8 ou 9

(5 ×××× 7) = 35 números

UM C D U 4 8 ou 9 8 0,1,2,3,5,6,7 ou 9

0 1,2,3,5,6,7 ou 9

2 ×××× 8 ×××× 7 = 112números

Sendo 5.000 < n < 10.000:

UM C D U 5,6,7,8 ou 9

5 0,1,2,3,4,6,7,8 ou 9 0 1,2,3,4,6,7,8 ou 9 1 2,3,4,6,7,8 ou 9

5××××9××××8××××7 = 2520 números

Total de números: 3 + 35 + 112 +2520 = 2670. RESPOSTA: Alternativa 02. Questão 11.

O quadrilátero ABCD é inscritível. Calcule a medida y do ângulo

CBA .

01) 120°10’ 02) 130°20’ 03) 140°40’ 04) 149°20’ 05) 151°10’

RESOLUÇÃO:

Sendo ABCD um quadrilátero inscritível, dois ângulos opostos são suplementares, como se pode comprovar pela figura ao lado, onde se vê que a soma dos dois arcos determinados pelos pontos A e C é igual a

360°: 2y + 2x = 360° ⇒ y + x = 180°. A soma dos ângulos internos do quadrilátero ABCD é igual a 360°:

2x + (x + y) + 118°40’ = 360° ⇒ 2x + 180° + 118°40’ = 360° ⇒

2x = 180° − 118°40’ ⇒ 2x = 61°20’ ⇒ 2x = 60°80’ ⇒ x = 30°40’ ⇒

y = 180° − 30°40’ = 149°20’ RESPOSTA: Alternativa 04

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Questão 12.

A soma das soluções da equação 10=−+

++

! ! 1) n(

! 4n ! 2) (

n

n é:

01). 05 02) 06 03) 07 04) 08 05) 09 RESOLUÇÃO:

[ ][ ]

⇒=−+

+++⇒=

−+

+++⇒=

−+

++10

11010

1) n(! n

4 1)2)(n (! n

! ! 1)n n(

! 4n ! 1)n2)(n (

! ! 1) n(

! 4n ! 2) ( n

n

n

n

n

[ ]

[ ]⇒=+−⇒=+++⇒=

−+

+++067nn10n423nn10

11) (n

4 1)2)(n (n 22

A soma das soluções da equação 10=−+

++

! ! 1) n(

! 4n ! 2) (

n

né 7.

RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 13. As medidas dos lados de um triângulo escaleno são os inteiros 40, 50 e x. Quantos são os possíveis valores de x? 01) 78 02) 77 03) 76 04) 75 05) 74 RESOLUÇÃO: Propriedade da desigualdade entre os lados de um triângulo: Em todo triângulo a medida de um lado qualquer é menor que a soma dos outros dois e maior que o módulo da diferença desses dois lados.

Então:

≠≠

<<⇒

≠≠>

+<

+<

+<

50 x e 40 x

90x10

50 x e 40 x 10,x

x5040

x4050

5040x

Existem (90 – 10 – 1) = 79 números pertencentes ao intervalo 10 < x < 90. Mas, como x tem que ser diferente de 40 e de 50, pois o triângulo é escaleno (todos os lados diferentes) o total de valores inteiros para x é 79 – 2 = 77. RESPOSTA: Alternativa 02. Questão 14.

Os triângulos AFE e BED são isósceles de bases FE e ED . Calcule a medida y do ângulo AÊB. 01) 15° 02) 20° 03) 30° 04) 35° 05) 40°

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RESOLUÇÃO: Desmembrando a figura acima:

Como o triângulo AFE é isósceles, 2

x180 FE A EFA

−°=≡ (I).

No triângulo AFC, considerando a soma dos ângulos internos, chega-se a 2x150 )30(2x80 CFA −°=°+−°=1 .

(II).

De (I) e (II) tem-se a igualdade °=⇒°=⇒−°=−°⇒−°=−°

40x1203x4x300x1802x1502

x180.

Na figura 4, CEA é externo ao triângulo AFE, logo, 80° + y = 150° - 2x + x ⇒ y = 70° - x = 30°.

RESPOSTA: Alternativa 03.

QUESTÃO DISCURSIVA

Questão 15.

Os ângulos internos do hexágono ABCDEF são congruentes. Sabendo que AB = 10cm, BC = 12cm, CD = 10cm e que DE = 15cm, calcule em centímetros, o perímetro desse hexágono.

RESOLUÇÃO:

1) Como os ângulos internos do hexágono são congruentes, os seus lados opostos são paralelos:

CD//AF e FE//BC ,ED //AB .

2) Prolongando-se AB até o ponto I e traçando AB// DE // CG , tem-se os trapézios isósceles ABCH e CDEG, logo AH = 12cm e EG = 10cm.

3) Pela figura acima deduz-se que o triângulo AFI é equilátero, então o triângulo FGH também o é, logo, GE = 10cm = FE + FH.

4) O perímetro do hexágono ABCDEF é igual a: AB + BC + CD + DE + (EF + FH) + AH = 10 + 12 + 10 + 15 + 10 + 12 = 69. RESPOSTA: o perímetro do hexágono ABCDEF é 69cm.