Eksamensforberedende prøve

Matematikk 2P-Y for allmenn påbygging Oslo kommune

25. mars 2014

fra kl. – til kl.

Prøvetid 5 timer totalt. Del 1 skal leveres inn senest etter 2 timer.

Hjelpemidler Del 1: bare skrivesaker og linjal Del 2: alle hjelpemidler som ikke tillater kommunikasjon (notater, regelark, gamle oppgaver, kalkulator, datamaskin osv.)

Framgangsmåte Husk alltid å vise mellomregning. Du må også drøfte og kommentere resultater der du blir bedt om det. Oppgaver fra Del 2 kan inneholde mye tekst, men er ikke nødvendigvis vanskelige å regne ut. Sett deg godt inn i teksten før du begynner å utføre beregninger. Gå videre hvis du ikke vet hvordan en deloppgave skal løses.

GeoGebra og Excel

På Del 2 kan du gjerne bruke Excel og/eller GeoGebra. Excel egner seg godt til å løse statistikkoppgaver, mens GeoGebra kan brukes til å tegne grafer og svare på spørsmål knyttet til disse. Excel: Husk å ta med både tall og formler som du brukte i utregningen. Bruk CTRL+J for å skifte mellom tall og formler. GeoGebra: Husk aksetitler og forklaringer.

Vurdering Del 1 veier omtrent 40 % poengmessig. Del 2 veier omtrent 60 % poengmessig. Sørg for å føre inn ryddig og oversiktlig. Helhetsinntrykket er viktig.

DEL 1

Oppgave 1 I en gruppe med 40 personer har 15 høyt blodtrykk, 25 har høyt kolesterolnivå og 10 personer har ingen av disse diagnosene. (a) Hvor mange i denne gruppen har både høyt blodtrykk og høyt kolesterolnivå? En person blir valgt tilfeldig fra denne gruppen. Hvor stor er sannsynligheten for at denne personen (b) har høyt blodtrykk? (c) har nøyaktig en av de to diagnosene? (d) har både høyt blodtrykk og høyt kolesterolnivå? (e) har høyt kolesterolnivå, gitt at personen har høyt blodtrykk?

Oppgave 2 I et land blir papir, glass, aluminium, jern, og andre stoffer resirkulert. I fjor ble til sammen 500 millioner tonn søppel resirkulert. Av de 500 millioner tonn var det 170 millioner tonn papir, 90 millioner tonn aluminium, 60 millioner tonn glass, og 50 millioner tonn av andre stoffer. (a) Hvor mange tonn jern ble de resirkulert i fjor? (b) Lag et søylediagram som viser fordelingen av resirkulert papir, glass, aluminium, jern, og andre stoffer. (c) Hvor mange prosent av det resirkulerte søppelet var glass?

Oppgave 3 Regn ut:

(a) 5 5

(b)

(c)

Oppgave 4

Nedenfor til venstre ser du fire små oppgaver knyttet til prosent. Til høyre ser vi fem

regnestykker.

Sett sammen oppgavene med riktige regnestykker. Du skal altså finne ut hvilke oppgaver som

kan løses ved hjelp av hvilke regnestykker. Legg merke at noen av regnestykkene (A)-(E) kan bli

brukt flere ganger, eller ikke i det hele tatt.

Du skal ikke forklare hvordan du tenker. Det er nok at du setter sammen oppgavene med riktige

regnestykker, for eksempel:

1 løses ved hjelp av A

2 løses ved hjelp av B

(1) Lars setter inn 5000 kr på en

sparekonto. Renta er 5 % per år.

Hvor mye har han på kontoen etter

fem år hvis pengene står urørt i

banken?

(2) Nina lånte 5000 kr 5. mars.

Renta er 5 % per måned. Hvor mye

skylder Nina 5. mai? (Hun betaler

ikke noe av lånet tilbake i denne

perioden.)

(3) Aksjer til et selskap koster

5000 kr per stykk. Du kjøper fem

aksjer, og selger dem etter ett år.

Hvor stort beløp får du hvis

verdistigningen dette året er 5 %?

(4) Fem kamerater vinner 5000

kr i Lotto og deler pengene likt

mellom seg. Benedicte setter sine

penger på en sparekonto. Renta er

5 % per år. Hvor mye får hun i

renter det første året?

(A) 5000 1,05 1,05

(B) 5000 ∶ 5 0,05

(C) 5 ∶ 5000 1,05

(D) 5000 1,05

(E) 5000 1,05 5

Oppgave 5

(a) Hvilken av de lineære grafene ovenfor har minst positivt stigningstall? Vis beregninger.

(b) Hva er y-koordinaten til Graf 1 når x = 20?

(c) Hvordan vil en lineær graf forandre seg hvis stigningstallet bytter fortegn?

Graf 1 Graf 2

Graf 3 Graf 4 Graf 3

DEL 2

Oppgave 6 Før jul hadde tre butikker salg på nøtter.

Butikk A solgte en pose nøtter på 600 g for 120 kr. Butikk B selger vanligvis en pose nøtter på 800 g for 210 kr, men ga 20 % rabatt før Jul. Butikk C satte ned prisen på nøtteposen med 17 %, slik at 1 kg nøtter ble 40 kr billigere.

I hvilken av de tre butikkene var nøttene billigst? (Husk: 1 kg = 1000 g)

Oppgave 7

Bruttonasjonalprodukt (BNP) er verdien av alt som blir produsert i et land i løpet av et år.

Tabellen nedenfor viser BNP for 2012, samt folketallet til noen utvalgte land. Legg merke at BNP

oppgis som tall på standardform.

Land BNP i amerikanske dollar Folketallet

Kamerun 2,53 10 20 400 000 Kina 8,22 10 1 360 000 000 Norge 5,00 10 5 100 000 Portugal 2,12 10 10 600 000 Russland 2,03 10 144 000 000 Sverige 5,23 10 9 600 000 Sør-Afrika 3,84 10 53 000 000 Tyrkia 7,88 10 75 600 000 Ukraina 1,76 10 45 500 000 USA 1,62 10 317 000 000

(a) Hvilket land har størst, og hvilket land har minst BNP?

(b) Hvor mange ganger større er BNP i USA enn BNP i Ukraina?

(c) Hvilket land har størst BNP per innbygger?

(d) Framstill dataene i tabellen ved hjelp av et punktdiagram.

Oppgave 8

Det er utviklet et dataprogram som skal hjelpe elever med å forstå matematikk. Programmet ble

testet på en skole. Testen foregikk på følgende måte: To klasser på samme klassetrinn og med

nesten de samme karakterene i matematikk, fikk opplæring i et år. A- klassen brukte vanlige

læremidler, mens B-klassen brukte det nye dataprogrammet i tillegg. Etterpå sammenliknet man

standpunktkarakterene fra begge klassene.

Standpunktkarakterene for A-klassen

2 3 3 2 5 1 4 2 3 4

3 3 1 1 5 6 2 4 2 3

2 4 3 5 2 5 4 2

Standpunktkarakterene for B-klassen

3 2 4 1 1 4 1 5 2 3

4 2 5 4 5 1 2 6 4 4

3 3 6 4 3

(a) Presenter resultatene for A- og B-klassen i to frekvenstabeller. Regn ut de relative

frekvensene.

(b) Regn ut de gjennomsnittlige standpunktkarakterene for begge klassene.

(c) Regn ut standardavvik for begge klassene.

(d) Drøft om dataprogrammet hjelper elevene med å forstå matematikk. Argumenter ved hjelp

av dine svar fra (b) og (c).

Vi vil sette et tall på dataprogrammets virkning. Vi kan bestemme “effekten” E til

dataprogrammet ved hjelp av følgende formel:

der B er den gjennomsnittlige standpunktkarakteren for B-klassen, A er den gjennomsnittlige

standpunktkarakteren for A-klassen, og S er standardavviket til alle standpunktkarakterene til

sammen (i begge klassene).

(e) Regn ut “effekten” E til dataprogrammet.

(f) Hva tror du er hensikten med å dele gjennomsnittsdifferansen på standardavvik? Forklar

med ord.

Til læreren: Oppgavene 9A og 9B er svært like, men oppgaven 9A forutsetter bruk av et digitalt hjelpemiddel. Oppgaven 9B skal løses i sin helhet på papir. Velg på forhånd den varianten som passer best for elevene dine. Gjør om oppgavenummer til “9”, og slett den andre varianten samt denne boksen.

Oppgave 9A Som en følge av befolkningsvekst må stadig mer søppel fjernes eller resirkuleres. Planleggere kan bruke data fra tidligere år til å forutsi framtidige mengder med søppel. Ved hjelp av prognosene kan myndighetene sette i verk tiltak for å ta hånd om søppelmengden. Tabellen nedenfor viser avfallsmengden som ble produsert per år i Norge i perioden 2009 til 2013.

År Fast avfall (i tusen tonn)

2009 19 358 2010 19 484 2011 20 293 2012 21 499 2013 23 561

(a) Hvor mye avfall ble produsert i gjennomsnitt per år i denne perioden? (b) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en lineær modell. (Hint: En modell skal bestå av både en graf og et funksjonsuttrykk). (c) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en eksponentiell funksjon som passer best med tallene i tabellen. Tegn grafen, og bestem funksjonsuttrykket. (d) Hvilken av de to modellene du har laget, passer best til punktene i tabellen? (e) Bruk begge funksjonene fra a) og b) til å forutsi antall tonn avfall i 2014 og 2020. (f) Hvor mange prosent har avfallsmengden økt fra 2009 til 2013 ifølge 1) den lineære modellen? 2) den eksponentielle modellen? Hvilken av de to modellene gir best beskrivelse av virkeligheten?

Oppgave 10

Et basketballag ønsker å kvalifisere seg til et mesterskap. Først må de spille fem kamper i en

kvalifiseringsrunde. For å kvalifisere seg må de vinne i minst fire av disse fem kampene.

Sannsynligheten for å vinne en enkelt kamp er alltid 40 %.

(a) Hvor stor er sannsynligheten for å vinne fire kamper på rad, men tape den siste kampen?

(b) Hvor stor er sannsynligheten for at laget kvalifiserer seg?

Oppgave 11 Lina bor i Huttiheita. I 2010 arvet hun bestefars gamle bil. 1. januar 2012 begynte hun å arbeide i Oslo. Hver mandag morgen kjører hun 30 km fra Huttiheita til Oslo. Hun tilbringer hele arbeidsuken i Oslo. Hun kjører tilbake til Huttiheita på fredag ettermiddag. Hun bruker ikke bilen sin til annet enn å kjøre til og fra Oslo. Etter 20 uker viser kilometerteller 200 000 km. Finn et utrykk for den lineære funksjonen som viser kilometerstanden som en funksjon av antall uker i 2012.

OPPGAVE 1

Høyt blodtrykk Ikke høyt blodtrykk SUM Høyt kolesterolnivå 10 15 25 Ikke høyt kolesterolnivå

5 10 15

SUM 15 25 40

(a) P(høyt blodtrykk) = 15 / 40 = 37,5 %

(b) P(nøyaktig en av diagnosene) = 20 / 40 = 50 %

(c) P(begge diagnosene) = 10 / 40 = 25 %

(d) P(høyt KN hvis høyt BT) = 10 / 25 = 40 %

OPPGAVE 2

(a) 500 – 170 – 90 – 60 = 180 millioner tonn jern

(b)

(c) 60 / 500 = 12 %

OPPGAVE 3

(a) 5-1 = 1 / 5

(b) 22 ∙ 42 = 26 = 64

(c) ab

020406080

100120140160180200

Glass Aluminium Jern Papir

mill

ione

r ton

n

OPPGAVE 4

1D 2A 3E 4B

OPPGAVE 5

(a) Graf 1 har stigningstallet lik 2 Graf 2 har stigningstallet lik -1 Graf 3 har stigningstallet lik 1 Graf 4 har stigningstallet lik 3

Graf 3 har lavest positivt stigningstall

(b) 44

(c) Grafen vil endre sin retning (fra å gå oppover vil den gå nedover, eller omvendt), men helningen vil fortsatt være like stor. Skjæringspunktet med y-aksen forandres heller ikke.

DEL 2

Oppgave 6

Butikk A: 120 kr / 600 g = 0,2 kr/g

Butikk B: 210 kr ∙ 0,8 = 168 kr 168 kr / 800 g = 0,21 kr/g

Butikk C: 40 kr / 0,17 = 235,29 kr 235,3 kr – 40 kr = 195,29 kr 195,29 kr / 1000 g = 0,195 kr

I butikken C var nøttene billigst.

Oppgave 7

a) Russland har størst BNP (2 030 000 000 000 $). Kamerun har minst BNP (25 300 000 000 $).

b) , ∙, ∙

= 1,15 ∙ 10 = 11,5 ganger større

c)

Norge har størst BNP per innbygger, nesten 100 000 $ per person.

d)

Eleven trenger ikke å sette navn på punktene. Aksenavn er imidlertid påkrevd.

Oppgave 8

a) A-klassen

Karakter Frekvens Relativ frekvens 1 3 3 / 28 ≈ 0,107 = 10,7 % 2 8 28,6 % 3 7 25 % 4 5 17,9 % 5 4 14,3 % 6 1 3,6 % = 28 = 100,1 %

B-klassen

Karakter Frekvens Relativ frekvens 1 4 4 / 25 = 0,16 = 16 % 2 4 16 % 3 5 20 % 4 7 28 % 5 3 12 % 6 2 8 % = 25 = 100 %

0

20000000

40000000

60000000

80000000

100000000

120000000

140000000

160000000

0,00E+00 1,00E+12 2,00E+12 3,00E+12

Folk

etal

let

BNP i $

Russland

Tyrkia

Sør-AfrikaUkraina

KamerunSverige

NorgePortugal

b) Gjennomsnittet i A-klassen er 3,07. Gjennomsnittet i B-klassen er 3,28.

c) Standardavviket for A-klassen er 1,33. Standardavviket for B-klassen er 1,48.

d) I klassen som benyttet seg av dataprogrammet, er gjennomsnittet noe høyere. Samtidig er spredningen (standardavviket) også høyere der. Det kan tyde på at de flinke elevene drar fordel av programmet, mens de mindre flinke elevene forstår mindre. Men gjennomsnittet øker, altså fordelene veier tyngre enn ulempene.

e) Standardavviket for begge klassene er S = 1,411.

퐸 =3,28 − 3,071

1,411= 0,15

f) Jo større standardavviket er, jo mindre effekten er. Dette gir mening, fordi stor spredning tyder på stor usikkerhet, eller på at effekten ikke gjelder alle elevene.

Oppgave 9

a) 20839 tusen tonn per år

b)

Avfallsvekst kan beskrives med den lineære funksjonen y = 1042,1x + 18754,8, der x står for antall år etter 2009, og y står for mengde fast avfall i tusen tonn.

Dersom eleven gjør denne oppgaven for hånd (9B) blir disse tallene og grafen mindre nøyaktige.

c)

Avfallsvekst kan beskrives med en eksponentielle funksjonen y = 18837,27 ∙ 1,05x, der x står for antall år etter 2009, og y står for mengde fast avfall i tusen tonn.

I 9B ville uttrykket være y = 19358 ∙ 1,05x.

d) Et mulig svar: Begge modellene passer ganske godt til alle punktene. Begge modellene undervurderer imidlertid mengde avfall i 2009 og 2013, og overvurderer den i de mellomliggende årene.

Dersom oppgaven gjøres for hånd (9B) vil ikke eleven ha nøyaktige grafer. Kandidaten kan imidlertid sammenlikne lineære modeller og eksponentielle modeller generelt (fortelle kort om deres fordeler og ulemper, knytte det til denne konkrete situasjonen), eventuelt lage en verditabell som setter modellenes forutsigelser opp mot de virkelige tallene. Poengsett etter skjønn.

e) I 2014 (x = 5) ifølge den lineære modellen: 23965,3 tusen tonn I 2020 (x = 11) ifølge den lineære modellen: 30217,9 tusen tonn I 2014 (x = 5) ifølge den eksponentielle modellen: 24041,7 tusen tonn I 2020 (x = 11) ifølge den eksponentielle modellen: 32218,1 tusen tonn

For 9B vil tallene være annerledes:

I 2014 (x = 5) ifølge den lineære modellen: ca. 24000 tusen tonn I 2020 (x = 11) ifølge den lineære modellen: ca. 30000 tusen tonn I 2014 (x = 5) ifølge den eksponentielle modellen: 24706,3 tusen tonn I 2020 (x = 11) ifølge den eksponentielle modellen: 33108,7 tusen tonn

f)

2009 2013 Prosentendring Den lineære modellen 18754,8 22923,2 Opp med 22,2 % Den eksponentielle modellen 18837,3 22896,8 Opp med 21,5 % Virkeligheten 19358 23561 Opp med 21,7 % Ser vi bare på prosentendringen fra 2009 til 2013, er det den eksponentielle modellen som stemmer best med virkeligheten.

For 9B vil den første raden være mindre nøyaktig, og den andre raden vil vise andre tall.

2009 2013 Prosentendring Den lineære modellen ca. 19000 ca. 23000 Opp med ca. 21 % Den eksponentielle modellen 19358 23530 Opp med 21,6 % Virkeligheten 19358 23561 Opp med 21,7 % Sannsynligvis blir det fortsatt den eksponentielle modellen som vil stemme best med virkeligheten.

Oppgave 10

a) 0,4 ∙ 0,4 ∙ 0,4 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 0,015 = 1,5 %

b) 1,5 % ∙ 5 =7,5 % (fordi laget kan vinne hvilke som helst fire kamper av de fem) Men i tillegg kan de jo vinne alle de fem kampene: 0,45 =0,010 = 1,0 % Sannsynligheten for å kvalifisere seg blir 7,5 % + 1,0 % = 8,5 %

Oppgave 11

Hver uke kjører hun 2 ∙ 30 km = 60 km Etter 20 uker kjørte hun 20 ∙ 60 km = 1200 km Kilometertelleren hadde da vist i starten 200 000 km – 1200 km = 198 800 km

Det lineære uttrykket blir: y = 198800 + 60x der y er kilometerstanden, og x er antall uker i 2012.