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Michele Campiti
Prove scritte di
Analisi Matematica 2Ingegneria Industriale
a.a. 2011–2012
Grafico della funzione f(x, y) := sin(2x2 − y) cos(x− 2y2) in [−π/2, π/2]2
Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 2” per Ingegneria classe Industriale Facolta
di Ingegneria, Universita del Salento
1
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiPrima prova di esonero di Analisi Matematica II15 dicembre 2011, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni:
+∞∑n=1
n sin xn
(x+ n)2.
2. Calcolare il massimo e il minimo assoluto della funzione
f(x, y) = (x+ y) log y
nel parallelogramma{(x, y) ∈ R2 | 1
2 ≤ y ≤ 2 , 12 ≤ x+ y ≤ 2}.
3. Teoria: Funzioni regolari a tratti e criterio di sviluppabilita in serie diFourier.
4. Teoria: Definizione di funzione differenziabile e relazioni con la conti-nuita e le derivate direzionali (con dim.).
2
Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di AnalisiMatematica II15 dicembre 2011, A
1. Sia fn(x) =n sin x
n(x+n)2
. Le funzioni fn sono definite tutte nell’intervallo
[0,+∞[ (infatti ogni fn non e definita in −n). Se x = 0, la serie eovviamente convergente; se x > 0 si ha, per n → +∞,
n sin xn
(x+ n)2∼
nxn
(x+ n)2=
x
(x+ n)2
e quindi la serie converge (assolutamente) in x in quanto il terminegenerale e un infinitesimo di ordine 2. Quindi la serie e puntualmente(assolutamente) convergente in [0,+∞[. Per quanto riguarda la con-vergenza uniforme si cerca di stabilire la convergenza totale. Dalladiseguaglianza | sinx| ≤ |x| si ottiene∣∣∣∣ n sin x
n
(x+ n)2
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ x
(x+ n)2
∣∣∣∣e quindi, considerata la funzione φn(x) = x/(x + n)2, si riconoscefacilmente che essa ha massimo in n dato da φ(n) = n
4n2 = 14n ma la
serie∑+∞
n=114n non e convergente.
Se si considera invece un intervallo [0, a] con a > 0 per ogni n > a ilmassimo di φn viene assunto in a e la serie
∑+∞n=1 φn(a) e convergente.
Quindi vi e convergenza totale (e conseguentemente uniforme) in [0, a].
2. Innanzitutto si osserva che il parallelogramma e un insieme chiuso elimitato e che la funzione assegnata e continua e quindi il massimo edil minimo assoluto esistono per il teorema di Weierstrass. Per determi-narli basta quindi confrontare i valori della funzione nei possibili puntidi massimo e di minimo relativo. Poiche la funzione e differenziabiletali punti sono quelli stazionari interni e quelli di massimo e minimosulla frontiera. Per quanto riguarda i punti stazionari interni si osservache il sistema delle derivate parziali{
log y = 0 ,
log y +x
y+ 1
ha come soluzioni y = 1 (dalla prima equazione) e x = −1 (sosti-tuendo y = 1 nella seconda). Quindi vi e un unico punto stazionario(−1, 1) che tuttavia e esterno al parallelogramma. Quindi il massimoed il minimo si trovano sicuramente sulla frontiera. Lo studio sul-la frontiera viene suddiviso in quattro parti, considerando i lati delparallelogramma:
3
(a) y = 1/2, 0 ≤ x ≤ 3/2. Si considera la funzione φ(x) = f(x, 1/2) =(x + 1/2) log 1/2 = − log 2(x + 1/2) nell’intervallo [0, 3/2]. Ta-le funzione ha massimo in 0 e minimo in 3/2. Quindi bisognaconsiderare i punti
f
(0,
1
2
)= −1
2log 2 , f
(3
2,1
2
)= −2 log 2 .
(b) y = −x + 2, 0 ≤ x ≤ 3/2. Si considera la funzione φ(x) =f(x,−x + 2) = 2 log(2 − x) nell’intervallo [0, 3/2]. Tale funzioneha massimo in 0 e minimo in 3/2. Quindi bisogna considerare ipunti
f (0, 2) = 2 log 2 , f
(3
2,1
2
)= −2 log 2 .
(c) y = 2, −3/2 ≤ x ≤ 0. Si considera la funzione φ(x) = f(x, 2) =(x + 2) log 2 nell’intervallo [−3/2, 0]. Tale funzione ha massimoin 0 e minimo in −3/2. Quindi bisogna considerare i punti
f (0, 2) = 2 log 2 , f
(−3
2, 2
)=
1
2log 2 .
(d) y = −x + 1/2, −3/2 ≤ x ≤ 0. Si considera la funzione φ(x) =f(x,−x + 1/2) = log(1/2 − x)/2 nell’intervallo [−3/2, 0]. Talefunzione ha massimo in −3/2 e minimo in 0. Quindi bisognaconsiderare i punti
f
(−3
2, 2
)=
1
2log 2 , f
(0,
1
2
)= −1
2log 2 .
Confrontando i valori ottenuti si deduce che il massimo assoluto di fnel parallelogramma assegnato e 2 log 2 assunto in (0, 2) e il minimoassoluto e −2 log 2 assunto in (3/2, 1/2).
4
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiPrima prova di esonero di Analisi Matematica II15 dicembre 2011, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni:
+∞∑n=1
ex/n − 1
x+ n3.
2. Calcolare il massimo e il minimo assoluto della funzione
f(x, y) = (x2 − y) log y
nell’insieme{(x, y) ∈ R2 | x2 + 1
3 ≤ y ≤ e}.
3. Teoria: Serie di Taylor e criterio di sviluppabilita.
4. Teoria: Condizioni necessarie e sufficienti per punti di massimo eminimo relativo.
5
Cenni sulla soluzione della prima prova di esonero di AnalisiMatematica II15 dicembre 2011, B
1. Sia fn(x) = ex/n−1x+n3 . Le funzioni fn sono definite tutte nell’intervallo
[0,+∞[ (infatti ogni fn non e definita in −n3). Se x = 0, la serie eovviamente convergente; se x > 0 si ha, per n → +∞,
ex/n − 1
x+ n3∼ x/n
x+ n3=
x
n(x+ n3)
e quindi la serie converge (assolutamente) in x in quanto il terminegenerale e un infinitesimo di ordine 4. Quindi la serie e puntualmen-te (assolutamente) convergente in [0,+∞[. Per quanto riguarda laconvergenza uniforme si osserva che∣∣∣∣∣ex/n − 1
x+ n3
∣∣∣∣∣ ∼∣∣∣∣ x/n
x+ n3
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ x
n(x+ n3)
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣ xn4
∣∣∣e quindi, fissato un intervallo [0, a] con a > 0 risulta∣∣∣∣∣ex/n − 1
x+ n3∼ x/n
x+ n3
∣∣∣∣∣ ≤ a
n4, x ∈ [0, a] ,
e la serie∑+∞
n=1an4 e convergente. Dal criterio di Weierstrass la con-
vergenza e totale (e conseguentemente uniforme) in [0, a].
2. Innanzitutto si osserva che l’insieme assegnato e chiuso e limitato eche la funzione assegnata e continua e quindi il massimo ed il minimoassoluto esistono per il teorema di Weierstrass. Per determinarli bastaquindi confrontare i valori della funzione nei possibili punti di massimoe di minimo relativo. Poiche la funzione e differenziabile tali punti sonoquelli stazionari interni e quelli di massimo e minimo sulla frontiera.Per quanto riguarda i punti stazionari interni si considera il sistemadelle derivate parziali 2x log y = 0 ,
log y +x2
y+ 1 .
La prima equazione e soddisfatta per x = 0 da cui y = 1/e (dallaseconda equazione) e y = 1 da cui x = ±1 (dalla seconda equazio-ne). Quindi i punti stazionari sono (0, 1/e), che e interno all’insiemeassegnato ed in cui si ha
f
(0,
1
e
)=
1
elog
1
e= −1
e,
6
e i punti (±1, 1) che invece sono esterni all’insieme assegnato.
Si studiano ora i massimi e minimi relativi sulla frontiera. Tenendopresente che l’insieme assegnato puo essere descritto come{
(x, y) ∈ R2 | −√
e− 1
3≤ x ≤
√e− 1
3, x2 +
1
3≤ y ≤ e
},
si puo suddividere la frontiera in due parti:
(a) y = e, −√
e− 1/3 ≤ x ≤√
e− 1/3. Si considera la funzioneφ(x) = f(x, e) = x2 − e nell’intervallo [−
√e− 1/3,
√e− 1/3].
Tale funzione ha massimo in ±√e− 1/3 e minimo in 0. Quindi
bisogna considerare i punti
f
(±√
e− 1
3, e
)= −1
3, f (0, e) = −e .
(b) y = x2 + 1/3, −√
e− 1/3 ≤ x ≤√
e− 1/3. Si considera la fun-zione φ(x) = f(x, x2 + 1/3) = − log(x2 + 1/3)/3 nell’intervallo[−√
e− 1/3,√
e− 1/3]. Tenendo presente che il logaritmo e cre-scente, tale funzione ha massimo in 0 e minimo in ±
√e− 1/3.
Quindi bisogna considerare i punti
f
(0,
1
3
)= −1
3log
1
3=
log 3
3, f
(±√e− 1/3, e
)= −1
3.
Confrontando i valori ottenuti si deduce che il massimo assoluto di fnell’insieme assegnato e log 3/3 assunto in (0, 1/3) e il minimo assolutoe −e assunto in (0, e).
7
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiSeconda prova di esonero di Analisi Matematica II7 febbraio 2012, A
Prof. Michele Campiti
1. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫D
x2 + 1
y(x2 + y2)dx dy ,
dove D e il sottoinsieme di R2 delimitato dalle seguenti condizioni:
x ≥ 0 , y ≥ 0 ,
√3
3x ≤ y ≤
√3x , 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 .
2. Risolvere il seguente problema di Cauchy:y′′ − 3y′ + 2y = xe2x ,y(0) = 1 ,y′(0) = 1 .
3. Teoria: Formula di riduzione per gli integrali doppi e nel caso generale.
4. Teoria: Curve regolari e rettificabili. Retta tangente al grafico di unacurva. Lunghezza di una curva.
8
Cenni sulla soluzione della seconda prova di esonero di AnalisiMatematica II7 febbraio 2012, A
1. Trasformando in coordinate polari: x = ρ cos θ, y = ρ sin θ il dominioD viene descritto dalle condizioni:
1 ≤ ρ ≤ 2 ,π
6≤ θ ≤ π
3.
Quindi l’integrale diventa∫ 2
1ρ dρ
∫ π/3
π/6
ρ2 cos2 θ + 1
ρ3 sin θdθ =
∫ 2
1
1
ρ2dρ
∫ π/3
π/6
ρ2 cos2 θ + 1
sin θdθ
e poiche∫ρ2 cos2 θ + 1
sin θdθ =
∫ρ2(1− sin2 θ) + 1
sin θdθ
= (ρ2 + 1)
∫1
sin θdθ −
∫sin θ dθ = (ρ2 + 1)
∫1
2 sin θ2 cos
θ2
dθ + cos θ
= (ρ2 + 1)
∫1
2 tan θ2 cos
2 θ2
dθ + cos θ = (ρ2 + 1) log
∣∣∣∣tan θ
2
∣∣∣∣+ cos θ + c ,
si ottiene infine∫ 2
1
1
ρ2
[(ρ2 + 1) log
∣∣∣∣tan θ
2
∣∣∣∣+ cos θ
]π/3π/6
dρ
=
∫ 2
1
(ρ2 + 1
ρ2log
∣∣∣∣ tanπ/6tanπ/12
∣∣∣∣− √3− 1
ρ2
)dρ
= log
∣∣∣∣ tanπ/6tanπ/12
∣∣∣∣ ∫ 2
1
(1 +
1
ρ2
)dρ−
√3− 1
2
∫ 2
1
1
ρ2dρ
= log
∣∣∣∣ tanπ/6tanπ/12
∣∣∣∣ [ρ− 1
ρ
]21
+
√3− 1
2
[1
ρ
]21
=3
2log
∣∣∣∣ tanπ/6tanπ/12
∣∣∣∣− √3− 1
4.
2. L’equazione differenziale e lineare del secondo ordine completa. Ilpolinomio caratteristico associato all’equazione omogenea e λ2 − 3λ+2 = 0 ed ha come soluzioni λ = 1 e λ = 2. Quindi la soluzione generaledell’equazione omogenea associata e u(x) = c1e
x+c2e2x con c1, c2 ∈ R.
Il termine noto e di tipo particolare (ponendo P1(x) = x, P2(x) = 0,α = 2 e β = 0) e poiche 2 e soluzione del polinomio caratteristico conmolteplicita 1, la soluzione particolare deve essere del tipo
u(x) = x(ax+ b)e2x .
9
Calcolando u′ e u′′, sostituendoli nell’equazione differenziale comple-ta e uguagliando i coefficienti dello stesso grado a primo e secondomembro, si ottiene il sistema
4a− 6a+ 2a = 0 ,4b+ 4a+ 4a− 6b− 6a+ 2b = 1 ,2b+ 2b+ 2a− 3b = 0 ,
da cui a = 1/2 e b = −1. Quindi la soluzione generale dell’equazionecompleta e u(x) = c1e
x+c2e2x+x
(12x
2 − x)e2x con c1, c2 ∈ R. Risulta
inoltre u′(x) = c1ex +2c2e
2x + x(x− 1 + x2 − 2x
)e2x e in particolare
u(0) = c1 + c2 e u′(0) = c1 + 2c2 − 1. Dalle condizioni iniziali impostesi ricava il sistema {
c1 + c2 = 1 ,c1 + 2c2 − 1 = 1 ,
che ha come soluzioni c1 = 0 e c2 = 1. Quindi la soluzione del problemadi Cauchy assegnato e la seguente
u(x) =
(1
2x2 − x+ 1
)e2x .
10
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiSeconda prova di esonero di Analisi Matematica II7 febbraio 2012, B
Prof. Michele Campiti
1. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫D
x2 log(yx
)dx dy ,
dove D e il sottoinsieme di R2 delimitato dalle seguenti condizioni:
1 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2x .
2. Risolvere il seguente problema di Cauchy:y′′ + 2y′ = x2 + 1 ,y(0) = 0 ,y′(0) = −1 .
3. Teoria: Cambiamento di variabile negli integrali multipli.
4. Teoria: Campi conservativi e irrotazionali; definizioni e caratterizza-zioni.
11
Cenni sulla soluzione della seconda prova di esonero di AnalisiMatematica II7 febbraio 2012, B
1. Conviene usare la trasformazione : u = x, v = y/x mediante la qualeil dominio D viene descritto dalle condizioni:
1 ≤ u ≤ 2 , 1 ≤ v ≤ 2 .
Risulta inoltre det J(u, v) = u e quindi l’integrale diventa∫ 2
1u du
∫ 2
1u2 log v dv =
∫ 2
1u3 du
∫ 2
1log v dv =
∫ 2
1u3 [v log v − v]21 du
= (2 log 2− 2 + 1)
[u4
4
]21
=
(4− 1
4
)(2 log 2− 1) =
15
4(2 log 2− 1) .
2. L’equazione differenziale e lineare del secondo ordine completa. Ilpolinomio caratteristico associato all’equazione omogenea e λ2+2λ = 0ed ha come soluzioni λ = 0 e λ = −2. Quindi la soluzione generaledell’equazione omogenea associata e u(x) = c1+ c2e
−2x con c1, c2 ∈ R.Il termine noto e di tipo particolare (ponendo P1(x) = x2+1, P2(x) =0, α = 0 e β = 0) e poiche 0 e soluzione del polinomio caratteristicocon molteplicita 1, la soluzione particolare deve essere del tipo
u(x) = x(ax2 + bx+ c) .
Calcolando u′ e u′′, sostituendoli nell’equazione differenziale comple-ta e uguagliando i coefficienti dello stesso grado a primo e secondomembro, si ottiene il sistema
4a = 1 ,6a+ 4b = 0 ,2b+ 2c = 1 ,
da cui a = 1/6, b = −1/4 e c = 3/4. Quindi la soluzione generaledell’equazione completa e u(x) = c1 + c2e
−2x + 16x
3 − 14x
2 + 34x con
c1, c2 ∈ R. Risulta inoltre u′(x) = −2c2e−2x + 1
2x2 − 1
2x + 34 e in
particolare u(0) = c1 + c2 e u′(0) = −2c2 + 3/4. Dalle condizioniiniziali imposte si ricava il sistema{
c1 + c2 = 0 ,−2c2 +
34 = −1 ,
che ha come soluzioni c1 = −7/8 e c2 = 7/8. Quindi la soluzione delproblema di Cauchy assegnato e la seguente
u(x) = −7
8+
7
8e−2x +
1
6x3 − 1
4x2 +
3
4x .
12
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II14 febbraio 2012, A
Prof. Michele Campiti
1. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione 2π-periodica:
f(x) = x cosx , −π < x ≤ π ,
e studiarne la convergenza.
2. Studiare i massimi e minimi assoluti della funzione:
f(x, y) = 3xy − y2 ,
nel sottoinsieme D di R2 delimitato dalle seguenti condizioni:
|x| ≤ 2 , |y| ≤ 2 .
3. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
y′ =1
xy +
1
x2y2 .
13
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II14 febbraio 2012, B
Prof. Michele Campiti
1. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione 2π-periodica:
f(x) = |x| sinx , −π < x ≤ π ,
e studiarne la convergenza.
2. Studiare i massimi e minimi assoluti della funzione:
f(x, y) = x2y + y2 ,
nel sottoinsieme D di R2 delimitato dalle seguenti condizioni:
|x| ≤ 2 , |y| ≤ 2 .
3. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
y′ =1
xy +
1
x3y3 .
14
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II29 febbraio 2012, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza semplice e uniforme della seguente serie difunzioni:
+∞∑n=1
(−1)n(x2 − 1)2n
n(n− 1),
e calcolarne la somma.
2. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫D
x
x2 + y2dx dy ,
nel sottoinsieme D di R2 delimitato dalle seguenti condizioni:
1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , |x| ≤ y .
3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti dellafunzione:
f(x, y) = e2x−y x (y − x) .
4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
y(4) + y′′ + 10y′ = x sinx .
15
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II29 febbraio 2012, A
Prof. Michele Campiti
1. Teoria: Teoremi di derivazione ed integrazione termine a termine (condim.).
2. Teoria: Lemma di Gronwall ed unicita della soluzione del problema diCauchy.
16
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II29 febbraio 2012, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza semplice e uniforme della seguente serie difunzioni:
+∞∑n=1
(−1)narctan2n x
n(n− 1),
e calcolarne la somma.
2. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫D
xy
(x2 + y2)2dx dy ,
nel sottoinsieme D di R2 delimitato dalle seguenti condizioni:
4 ≤ x2 + y2 ≤ 9 , x+ y ≥ 0 .
3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti dellafunzione:
f(x, y) = ex−2y (y2 − xy) .
4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
y(3) + 2y′′ + y′ =x2
ex.
17
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II29 febbraio 2012, B
Prof. Michele Campiti
1. Teoria: Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (condim.).
2. Teoria: Teoremi di esistenza della soluzione del problema di Cauchy.
18
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II30 aprile 2012, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza semplice e uniforme della seguente serie difunzioni:
+∞∑n=1
n2e−nx .
2. Dire se la seguente curva e regolare e in caso affermativo calcolarne lalunghezza:
φ(t) = (t, cos t, sin t) , t ∈ [0, π] .
3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti dellafunzione:
f(x, y) = x− y − log(xy)
nel quadrante D = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0}.
4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
y′ =2x+ 3y
x+ y.
19
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II25 giugno 2012, B
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza semplice e uniforme della seguente serie difunzioni:
+∞∑n=1
(−1)n1
nlog(1− x
n
).
2. Dire se la seguente curva e regolare e in caso affermativo calcolarne lalunghezza:
φ(t) =
(t, t2,
t3
3
), t ∈ [0, 1] .
3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione:
f(x, y) = xy − x2 − 4y2
nel quadrato di vertici (−1,−1) , (1,−1) , (1, 1) , (−1, 1) .
4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
y′ =x+ 3y
x− y.
20
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II16 luglio 2012, B
Prof. Michele Campiti
1. Scrivere la serie di Fourier della funzione:
f(x) = sin |x| , −π ≤ x ≤ π ,
e periodica di periodo 2π e studiarne la convergenza.
2. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫D
x2
x+ ydx dy ,
dove D e la parte di corona circolare di raggi 1 e 2 contenuta nel primoquadrante e delimitata dalle rette y = x e y =
√3x.
3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione:
f(x, y) = x2y − 2x
lungo la curva φ(x, y) = xy2 − x.
4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
y′′ = (y′)2 + y .
21
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II5 settembre 2012, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente succes-sione di funzioni:
x2 + n
nx, x ∈ R .
2. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫Dy√
x2 + y2 dx dy ,
dove D e il sottoinsieme di R2 delimitato dalle seguenti condizioni
x2 + y2 ≤ 1 , y ≥ 0 .
3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione:
f(x, y) = x√
4− x2 − y2
nel cerchio di centro l’origine e raggio 2.
4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
y′ =ex
log y.
22
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II18 settembre 2012, A
Prof. Michele Campiti
1. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione periodica di periodo2π definita come segue:
f(x) =x2
π2, −π ≤ x ≤ π ,
e studiare la convergenza della serie di Fourier ottenuta.
2. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫D
x+ y
x2 + y2dx dy ,
dove D e il sottoinsieme di R2 delimitato dalle condizioni
1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , y ≥ 0 .
3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione:
f(x, y) = y2 + y − 2xy
nel seguente sottoinsieme di R2
D ={(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 x2 ≤ y ≤ x
}.
4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = sin 2x .
23
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II31 ottobre 2012, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza semplice ed uniforme della seguente successio-ne di funzioni::
fn(x) =1 + nx
1 + n2x, x ≥ 0 .
2. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫D
x− 2y
xy + 1dx dy ,
dove D e il sottoinsieme di R2 delimitato dalle condizioni
1 ≤ x ≤ 4 , x ≤ y ≤ 2x .
3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione:
f(x, y) = x log(1 + xy)
nel quadrato di vertici A(1, 1), B(e, 1), C(e, e), D(1, e).
4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
y′
y= x+ y .
24
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II11 dicembre 2012, A
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza semplice ed uniforme della seguente serie difunzioni e calcolarne la somma nell’insieme di convergenza:
+∞∑n=1
(x
x+ 1
)n
.
2. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫Dsin 2x cos2 y dx dy ,
dove D e il sottoinsieme di R2 delimitato dalle condizioni
0 ≤ x ≤ π
2, 0 ≤ y ≤ π
2.
3. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione:
f(x, y) = ex sin y
nel quadrato di vertici A(0, 0), B(1, 0), C(1, 2π), D(0, 2π).
4. (Ordinamento 270) Trovare le soluzioni della seguente equazionedifferenziale:
y′′ − y′ cos y = 0 .
(Ordinamenti precedenti) Trovare le soluzioni della seguente equa-zione differenziale:
y′′ − y′ cosx = 0 .
25
Facolta di Ingegneria Industriale, BrindisiProva scritta di Analisi Matematica II9 gennaio 2013
Prof. Michele Campiti
1. Studiare la convergenza della seguente successione di funzioni:
fn(x) = xn e−nx , x ≥ 0 .
2. Calcolare il seguente integrale doppio:∫∫D
x+ y
x2 + y2dx dy
doveD = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 1, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 4} .
3. Studiare massimi e minimi assoluti della funzione
f(x, y) = sin(x+ y) cos y
nel quadrato di vertici (0, 0), (π, 0), (π, π) e (0, π).
4. Determinare le soluzioni della seguente equazione differenziale
y′ =y
x+
y2
x2.