Proyecciones

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL ROSARIO

Proyecciones

GABINETE SISTEMAS DE REPRESENTACION

AUTOR: Ing. Carlos A. Carranza [email protected]

Facultad Regional Rosario

Zeballos 1341 (2000) Rosario Tel. (0341) 4480102 / 4480148 / 4482404

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Septiembre de 2007 – Rosario, Pcia. de Santa Fe – Argentina -

PROYECCIONES

Introducción

El Dibujo Técnico es el medio de comunicación que utilizan los ingenieros, arquitectos y técnicos

para transmitir una información a otras personas. Esta información consiste en el diseño y proyecto

de objetos, máquinas, edificios, etc, que se encuentran solo en la mente creativa del proyectista,

siendo necesario entonces que el mismo realice dibujos (planos) para la interpretación y

construcción de esos objetos. Estos planos, ejecutados a mano o por medio de sistemas Cad,

conforman una representación precisa, exacta hasta en el detalle mínimo de un aparato, herramienta

o una construcción, con cotas, signos y símbolos, ejecutados de acuerdo con normas y leyes

preestablecidas, basados en las premisas básicas de la Geometría Descriptiva, contrariamente a lo

que es una reproducción o bosquejo mas o menos artístico, y que constituye una representación

subjetiva de un objeto de acuerdo con el modo de verlo y entenderlo el dibujante.

Está claro entonces que el Dibujo Técnico es el idioma de los profesionales, y como tal debe ser

estudiado y practicado por los futuros profesionales desde el comienzo de sus estudios. La

Geometría Descriptiva tiene que ser considerada como factor esencial para ejercitar a ver en el

espacio y para construir con exactitud.

Definición de Proyección

Dado el plano π, una dirección r, y un punto A

del espacio, proyectar a dicho punto sobre el

plano π para la dirección r, significa hacer pasar

por A, una paralela a r, y donde ésta corta al

plano π, se obtiene la proyección Aπ. (Fig. 1-1)

Fig. 1-1

Proyección del punto A sobre el plano π

Clasificación de los Sistemas de Proyección

El punto en el espacio, la dirección del rayo

proyectante y el plano de proyección, consti_

tuyen un sistema de proyección.

Cuando la dirección r es oblicua al plano π, el

sistema recibe el nombre de proyección

paralela oblicua. (Fig. 1-2)

Fig. 1-2 Proyección paralela oblicua

U.T.N. – Facultad Regional Rosario - www.frro.utn.edu.ar Gabinete Sistemas de Representación – Autor: Ing. Carlos A. Carranza 1

PROYECCIONES

Si la dirección del rayo proyectante r es

perpendicular al plano de proyección π, el

sistema recibe el nombre de proyección

paralela ortogonal. (Fig. 1-3)

Todos los puntos, rectas, etc, que se encuentran

en el espacio, se proyectan con rayos paralelos a

la dirección del rayo dado.

En el caso de que haya un centro de proyección,Fig. 1-3

Proyección paralela ortogonal

todos los rayos proyectantes parten de ese centro.

Este sistema recibe el nombre de proyección

central. (Fig. 1-4)

Como aplicación de la proyección paralela

oblicua, tenemos la Proyección Oblicua

Caballera (o perspectiva caballera) y la

Proyección oblicua Militar (o perspectiva

militar), los cuales se tratarán en profundidad

mas adelante. Como aplicación de la proyección Fig. 1-4

Proyección central

paralela ortogonal, podemos citar las Proyecciones Acotadas, las Proyecciones diédricas y la

Proyección Axonométrica ortogonal. Como ejemplo de la proyección central tenemos la

Perspectiva Real.

A los efectos del estudio de las proyecciones, debemos comenzar con la Proyección Paralela

Ortogonal.

Proyección Paralela Ortogonal

Habíamos visto que, dado un punto A del

espacio, se puede hallar la proyección sobre el

plano π, trazando por el punto A, una paralela a

la dirección del rayo proyectante. Dicho de otra

forma, dado el objeto en el espacio, se puede

determinar su proyección sobre el plano π.

Pero a la inversa no se cumple, es decir, dada la

proyección Mπ , el punto M del espacio, no se Fig. 1-5 puede determinar porque todos los puntos pertenecientes al rayo proyectante que pasa por Mπ,

tienen su proyección ortogonal sobre dicho punto. (Fig. 1-5)


PROYECCIONES

Podemos decir por el momento, que dada la

proyección, no puedo determinar el objeto en el

espacio. Una forma de resolver este problema, se

hace colocando el valor numérico de la cota

(altura del punto respecto del plano de proyec_

ción) al lado de la proyección del punto. Este

sistema recibe el nombre de Proyecciones

Acotadas. (Fig. 1-6) Fig. 1-6

Otra forma de resolver el problema mencionado en la Fig. 1-5, se efectúa colocando otro plano de

proyección perpendicular al anterior. Este sistema de proyección es conocido con el nombre de

Proyecciones diédricas o Método Monge.

Proyecciones diédricas o Método Monge

El método debe su nombre al matemático francés

Gaspard Monge (1746-1818), quién estableció sus

fundamentos al principio del siglo XIX. Consiste en

dos planos de proyección perpendiculares entre si,

el plano horizontal H o plano I y el plano vertical

V o plano II (ver Fig. 1-7). Ambos se cortan en una

línea llamada Línea de Tierra (LT).

Un punto del espacio, tal como A, se proyecta sobre

el plano H (Horizontal) con una dirección de rayos

perpendiculares a dicho plano. Esta proyección

recibe el nombre de proyección horizontal del punto

A, y la designamos A' (A prima). De igual manera,

el punto A del espacio también se proyecta sobre el Fig. 1-7

plano V (Vertical) con una dirección de rayos perpendiculares al mismo, y esta proyección recibe el

nombre de proyección vertical del punto A, y la designamos A" (A segunda). En conclusión, a un

punto del espacio le corresponden dos proyecciones.

Vemos que, dado el punto, se puede determinar sus proyecciones o bien, dadas las dos

proyecciones, se puede determinar el punto A en el espacio, el cual se encuentra en la intersección

de los rayos proyectantes que pasan por A' y A", y son perpendiculares a los planos H y V

respectivamente.


PROYECCIONES

En la Fig. 1-7, está indicado un punto A del espacio

con sus proyecciones horizontal y vertical. Como

ambas proyecciones se encuentran en dos planos

perpendiculares, resultaría útil y necesario tenerlas en

un único plano u hoja de dibujo. Por tal motivo,

hacemos girar el plano H alrededor de la Línea de

Tierra (ver Fig. 1-7), hasta que coincida con el plano V

( Fig. 1-8 ), quedando entonces ambas proyecciones en

un único plano de dibujo. La proyección A" está por

encima de la línea de tierra y la proyección A' queda

Fig. 1-8

Plano H abatido sobre el V (visto de frente)

por debajo de dicha línea. Uniendo las dos proyecciones tenemos la línea auxiliar llamada Línea de

Enlace.

La distancia del punto A al plano H, recibe el nombre de Cota y se proyecta sobre el plano vertical

desde A" hasta la línea de tierra. La distancia del punto A al plano V, recibe el nombre de Apar_

tamiento y se proyecta sobre el plano horizontal desde A' hasta la línea de tierra. ( ver Fig. 1-8 ). Si

nos preguntamos: ¿Dónde está el punto A en la Fig. 1-8?, pues bien debemos recordar que estamos

trabajando solamente con las proyecciones de los objetos en el espacio, es decir con sus imágenes

sobre los planos de proyección. Cuando un Ingeniero desea construir una pieza, primero la imagina

en el espacio y luego dibuja las proyecciones de la misma, con lo cual preguntar donde está el punto

A sería lo mismo que preguntar donde está la pieza mientras se observa las proyecciones de la

misma.

En la Fig. 1-9 no se indica el contorno de los planos de proyección por no ser de utilidad y

solamente se dibuja la línea de tierra y las dos proyecciones del punto A con su correspondiente

Cota y Apartamiento.

Fig. 1-9 Eliminación de los contornos de los planos de proyección.

Fig. 1-10 Eliminación de la L.T.

Fig. 1-11


PROYECCIONES

En la Fig. 1-10 se ha eliminado la línea de tierra, quedando únicamente las dos proyecciones del

punto A, unidas por la línea de enlace.

Si las proyecciones del punto A fueran un dato a dibujar, para poder ubicar las mismas; dado que al

faltar la línea de tierra no podemos indicar la cota y el apartamiento; lo referimos a un sistema de

ejes coordenados. ( Fig. 1-11 )

Estos ejes ( normales entre si ) los ubicamos en la lámina, en forma imaginaria ( no los dibujamos )

y en la posición que creemos conveniente. ( ver Fig. 1-11 )

En el dibujo de la Fig. 1-11, las dos proyecciones de A están referidas a los ejes x e y:

Por ejemplo: A" ( 80 ; 180 ) en milímetros

A' ( 80 ; 100 ) " "

El primer número corresponde a la Abscisa (según x) y el segundo corresponde a la Ordenada

(según y). Las dos proyecciones del punto A, tienen la misma abscisa, pero distinta ordenada.

Eliminación de la Línea de Tierra

Lo que nos interesa, son las proyecciones del objeto y no la distancia del mismo a los planos de

proyección ( cota o apartamiento ) y así eliminamos en el dibujo, líneas que no son útiles, como en

este caso, la misma LT. No obstante, toda vez que se haga necesario la colocación de la LT para una

mejor comprensión del ejercicio, trabajaremos con la misma.

Una observación que corresponde

hacer es la siguiente: El plano

Vertical y el plano Horizontal de

proyección, dividen al espacio en

cuatro sectores o cuadrantes ( ver

Fig. 1-12 ). Trabajaremos sola_

mente con los objetos ubicados

en el primer cuadrante (con

cotas y apartamientos positivos).

RECORDAR ⎢ La cota de un

punto es positiva cuando el mismo

está por encima del plano hori_ Fig. 1-12

zontal y el apartamiento es positivo cuando éste está adelante del plano vertical de proyección.

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PROYECCIONES

Puntos relacionados

Fig. 1-13

Fig. 1-14

Teniendo el punto A, como punto de referencia,

vemos que B, está a la derecha de A, tiene menor

cota que A, y mayor apartamiento (ver Fig. 1-13 y

14). Por lo tanto podemos decir que:

A de respecto Adelante Debajo

derecha la a está B⎪⎩

⎪⎨

⎧

Veamos un ejemplo con medidas (ver Fig. 1-15):

Siendo A el punto de referencia; la posición de B,

es la siguiente:

A de respecto apart. igualcon

arriba mm 10 izq. la a mm 20

está B⎪⎩

⎪⎨

⎧

La distancia entre las líneas de enlace, recibe el

nombre de separación lateral.

De acuerdo a lo visto, podemos hacer el siguiente

gráfico ( Fig. 1-16 ):

Tenemos las dos proyecciones de A unidas por la

línea de enlace. Trazamos por A" y A' las líneas

horizontales auxiliares que nos limitan la cota y el

apartamiento de A. En base a esto, dada la posición del punto de referencia, en este caso el punto A,

las flechas indicarán las posiciones donde deberán ir las proyecciones del nuevo punto.

Fig. 1-15 Fig. 1-16


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Nuevo Plano de Proyección

Hemos aprendido con el Método Monge que podemos determinar dos proyecciones de un punto del

espacio y viceversa, dadas las dos proyecciones podemos determinar el punto en el espacio.

Veremos a continuación que podemos representar múltiples proyecciones de un punto sobre

distintos planos de proyección.

Dado un punto A en el espacio, se proyecta sobre el

plano I y II con direcciones de rayos perpendiculares a

dichos planos. De igual manera con una dirección de

rayo perpendicular al plano III se obtiene la proyec_

ción tercera del punto A (Fig. 1-17a). El plano III es un

plano de proyección que es perpendicular al plano II y

al plano I.

RECORDAR ⎢ “Todo nuevo plano de proyección debe

ser perpendicular a uno de los planos de proyección

ya existentes, para formar así un nuevo diedro de

proyección.”

Para llevar a la hoja lo indicado en la Fig. 1-17a,

hacemos girar el plano I alrededor de la línea de tierra,

hasta que quede en el mismo plano que el II. De igual

manera, hacemos girar el plano III alrededor de la

nueva línea de tierra (entre el plano II y el III), hasta

que coincida con el plano vertical. ( Fig. 1-17b )

OBSERVACION ⎢ “Al ser el plano III perpendicular

a ambos planos II y I, se puede abatir el plano III

sobre el plano I, ya que estos dos también conforman

un diedro de proyección”. El apartamiento, que es la distancia del punto A al plano vertical, se conserva tanto en la proyección

horizontal ( distancia de A’ a la LT ) como así también en la proyección tercera (distancia de A’’’ a

la nueva LT ), lo cual vale para todo punto del espacio.

Proyecciones de rectas y/o segmentos

De acuerdo a la posición que una recta o segmento tenga con respecto a los planos de proyección,

recibe distintos nombres. Se incluye una tercera proyección sobre un plano III, el cual se abate

sobre el plano II. Lo ilustramos con un segmento que denominamos AB.


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PROYECCIONES

Conclusiones:

1.- Todo segmento se proyecta como un segmento o como un punto.

2.- Cuando la proyección es un segmento, dicha proyección puede estar en VM (verdadera magni_

tud) o con una magnitud menor que la real, nunca mayor.

3.- Cuando una de las proyecciones es un punto, la otra necesariamente está en VM.

4.- Cuando un segmento es paralelo a un plano de proyección, la proyección sobre dicho plano está

en VM y la otra es un segmento paralelo a la LT. (Si no tenemos LT decimos que es

perpendicular a la línea de enlace)

RECORDAR ⎢ El apartamiento de un punto se conserva en la proy. tercera (Es decir, la distancia

de la proy. prima a la línea de tierra I-II es igual a la distancia de la proyección tercera a la línea

de tierra II-III).


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Ángulo que forma una recta con un plano

Dada la recta r en el espacio y un plano π

cualquiera, proyectamos a la recta sobre el

mismo, con rayos proyectantes perpendiculares a

π y así obtendremos la proyección ortogonal de r

que llamaremos rπ (Fig. 1-25).

El ángulo επ formado por r y rπ mide el ángulo

que la recta r forma con el plano π. Fig. 1-25

Por lo tanto podemos definir: “El ángulo que forma una recta con un plano está determinado por

la recta y la proyección ortogonal de la misma sobre dicho plano.”

En las Fig. 1-26 ilustramos en el sistema diédrico, una recta r en el espacio con sus dos

proyecciones r' y r".

El ángulo εH que forma la recta r con el plano horizontal recibe el nombre de “ángulo de

pendiente” (según lo visto anteriormente está determinado por r y r').

El ángulo εV que forma la recta r con el plano vertical recibe el nombre de “ángulo de inclinación”

(está determinado por r y r").

Fig. 1-26a

Fig. 1-26b

Los ángulos εH y εV no se proyectan en verdadera magnitud en ninguna de las proyecciones. (por

eso no están indicadas en la Fig. 1-26b)

Para aclarar lo expresado anteriormente, analizaremos los triángulos rectángulos A"A'B' y A"A'B"

de la Fig. 1-27:


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Fig. 1-27

Considerando que a mayor lado corresponde

mayor ángulo γ > γ" por ser 'AB' > 'AB" y por

lo tanto εH” > εH. (el mismo razonamiento lo

podemos hacer para εV)

El segmento horizontal (ver Fig. 1-21): Tiene ángulo de inclinación εV.

No tiene ángulo de pendiente porque el segmento es

paralelo al plano horizontal.

εV se proyecta sobre el plano horizontal en VM.

El segmento frontal (ver Fig. 1-22): Tiene ángulo de pendiente εH.

No tiene ángulo de inclinación porque es paralelo al

plano vertical.

εH se proyecta sobre el plano vertical en VM.

El segmento de perfil (ver Fig. 1-24): Tiene ángulo de inclinación y ángulo de pendiente.

Ninguno de los dos se proyectan en VM sobre los

planos de proyección.

El segmento oblicuo (ver Fig. 1-23): Tiene ángulo de inclinación y ángulo de pendiente.

Ninguno de los dos se proyectan en VM sobre los

planos de proyección.

Posición relativa de dos rectas

Dadas dos rectas en el espacio, se pueden presentar las siguien_

tes situaciones:

A) Que las dos rectas se corten en un punto: Reciben el nombre

de rectas concurrentes o secantes (son coplanares porque

determinan un plano). En la Fig. 1-28, la recta a está en posi_

ción frontal y la recta b está en posición oblicua. Ambas tienen en común el punto O. Fig. 1-28


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B) Que las dos rectas sean paralelas:

b' // a'

β // α b de eproyectant plano β a de eproyectant plano α

b // a

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Si dos rectas son paralelas en el espacio, sus proyecciones homónimas también son paralelas (las

proyecciones verticales son paralelas entre sí y las proyecciones horizontales también son paralelas

entre sí).

Las rectas paralelas también son coplanares (Fig. 1-29).

Fig. 1-29

C) Que las dos rectas sean alabeadas: Son dos rectas que no se cortan en el espacio, y no son

coplanares, porque no hay un plano que contenga a las dos rectas simultáneamente.

Si observamos la Fig. 1-30 vemos que el punto donde se cortan las proyecciones verticales no está

sobre la misma línea de enlace con el punto donde se cortan las proyec_ ciones horizontales. Por

esto podemos afirmar que las rectas no se cortan, tampoco son paralelas; reciben el nombre de

rectas alabeadas.

Fig. 1-30


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Visibilidad de los segmentos alabeados

Estudio de la visibilidad:

En la Fig. 1-31b tenemos representadas las proyecciones

diédricas de los segmentos alabeados AB y CD . En la Fig.

1-31a están ilustrados los segmentos en el espacio con las

dos proyecciones. Observando la Fig. 1-31b, vemos que las

proyecciones verticales de los segmentos se cortan en un

punto, pero en dicho punto se encuentra la proyección

vertical de un punto del segmento AB y la de otro punto del

segmento CD .Las dos proyecciones coinciden en un único

punto que han sido designados con las letras R y S. Poste_

riormente hallamos las proyecciones horizontales de dichos puntos: R Є AB y S Є CD . Vemos

que S tiene mayor apartamiento que R y por lo tanto S es visible en proyección vertical, mientras

que R queda oculto por S.

Por lo tanto, todos los puntos del segmento CD son visibles en proyección vertical, mientras que el

segmento AB tiene el punto R que no es visible en dicha proyección.

Para estudiar la visibilidad en proyección horizontal, analizamos los puntos X e Y, cuyas

proyecciones horizontales coinciden: X Є AB; Y Є CD . Determinadas las proyecciones verticales,

vemos que X tiene mayor cota que Y, y por lo tanto X será visible en proyección horizontal. Como

X Є AB, todos los puntos de dicho segmento son visibles en proyección horizontal; y con respecto U.T.N. – Facultad Regional Rosario - www.frro.utn.edu.ar


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a los puntos de CD , son visibles todos menos el punto Y. ( el cual queda oculto por X )

En este caso particular todos los puntos de CD son visibles en proyección vertical, y todos los

puntos de AB son visibles en proyección horizontal. Analizar lo expuesto observando las

Fig. 1-31 a y b.

Determinación del plano

Todo plano queda determinado por los siguientes elementos:

Representación del plano

Podemos representar un plano de las siguientes formas:

a) Por los elementos suficientes indicados anteriormente.-

b) Por medio de sus Trazas.-

c) Por medio de una figura.-

Plano dado por Trazas

Recibe el nombre de traza de un plano a una recta del mismo, la cual resulta de la intersección de

dicho plano con cada uno de los planos de proyección. Por lo tanto podemos afirmar que todo plano

puede tener una o dos trazas, según corte a uno o a los dos planos de proyección.

De acuerdo a la posición que un plano tenga con respecto a los planos de proyección recibe los

siguientes nombres:

ACLARACION ⎢ En las Figuras que se muestran a continuación se representan en el espacio un

plano infinito β y una figura (cuadrado) que pertenece al primero. A su vez se observarán, para

cada tipo de plano, las proyecciones del plano infinito β mediante sus trazas (considerando que el

cuadrado no existe en el espacio), y viceversa, las proyecciones del cuadrado considerando que el

plano infinito β no está en el espacio. Si tuviéramos que representar las proyecciones del plano β

y del cuadrado juntas (como están en el espacio), estas se encimarían y resultaría confuso. U.T.N. – Facultad Regional Rosario - www.frro.utn.edu.ar


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PROYECCIONES

Conclusiones:

1.- Toda figura se proyecta como una figura o como un segmento.

2.- Cuando se proyecta como una figura la misma puede estar en verdadera magnitud (VM) o no. Si

no está en VM se proyecta como una figura de similar configuración (la proyección de la figura

conserva algunas propiedades de la VM, como por ejemplo, número de lados, paralelismo, etc.).

3.- Si una figura está perpendicular a un plano de proyección, se proyecta sobre el mismo como un

segmento.

4.- Si la figura está paralela a un plano de proyección, la proyección sobre dicho plano está en VM

y la otra es un segmento paralelo a la L.T. (o perpendicular a las líneas de enlace).


PROYECCIONES

EJERCITACION

EJERCICIO 1: Resolver los ejercicios del 1 al 4 en la hoja formato A4 de página 24. Esta

ejercitación se encuentra resuelta en la página 29. (TEMA: Puntos y rectas. Posiciones relativas)

1) Dadas las proyecciones de una recta frontal f y del punto F que le pertenece, determinar las

proyecciones de una recta r paralela a f que pasa por el punto R. El punto R está respecto de F,

10 mm arriba, 20 mm a la derecha y 15 mm delante.

2) Dadas las proyecciones de una recta oblicua s y del punto S perteneciente a la misma,

determinar las proyecciones de una recta r que pasa por el punto R ubicado respecto de S, a la

misma altura, 40 mm a la derecha y 10 mm delante. La recta r es concurrente con s en el punto 1

que está 10 mm debajo de S.

3) Dadas las proyecciones de una recta de punta p y de un punto H que no le pertenece, determinar

las proyecciones de una recta horizontal h que pasa por el punto H y forma 40º con el plano

vertical acercándose al mismo de derecha a izquierda. ¿Las rectas p y h son concurrentes,

alabeadas o paralelas?.

4) Dadas las proyecciones de una recta de una punta p y de un punto F que no le pertenece,

determinar las proyecciones de una recta frontal f que sea concurrente con la recta p. ¿Qué

ángulo determina la recta f con el plano horizontal?.


ejercitación se encuentra resuelta en la página 30. (TEMA: Posición de rectas y/o segmentos)

Determinar las proyecciones de un segmento AB de 50 mm de longitud, el cual se encuentra en las

siguientes posiciones:

1) En posición vertical, el punto B está arriba del punto A. A”(45 ; 30) , A’(45 ; 15)

2) En posición frontal, εH = 45º, el pto. B está arriba y a la derecha de A. A”(25 ; 40) , A’(25 ; 20)

3) En posición horizontal, εV = 30º, B está a la derecha y delante de A. A”(25 ; 60) , A’(25 ; 40)

4) En posición de punta, B está detrás de A. A”(50 ; 75) , A’(50 ; 15)

5) En posición paralelo a ambos planos, B está a la izquierda de A. A”(70 ; 65) , A’(70 ; 25)

6) En posición de perfil, B está 30 mm delante de A y arriba del mismo. A”(25 ; 45) , A’(25 ; 35)


ejercitación se encuentra resuelta en la página 31. (TEMA: Puntos y rectas. Posiciones relativas)

1) Dadas las proyecciones del punto A se pide: determinar las proyecciones vertical y horizontal


PROYECCIONES

del punto B el cual se encuentra respecto del punto A, 40 mm a la derecha, 35 mm arriba y con

igual apartamiento. Las mismas proyecciones de un punto C el cual se encuentra respecto del

punto A, 60 mm a la derecha, a igual altura y 30 mm adelante. ¿Qué tipo de segmentos son el

AB y el AC, de acuerdo a la posición que tiene cada uno en el espacio?. Indicar si algunos de

los segmentos se proyecta en verdadera magnitud. Datos: A” (15 ; 85) ; A’ (15 ; 45)

2) Determinar las proyecciones vertical y horizontal, de una cañería de tres tramos PQ, QR y RS,

según los siguientes datos:

TRAMO PQ: en posición vertical, ( PQ )=35 mm, Q está debajo de P.

TRAMO QR: posición horizontal, ( QR )=50 mm, εv=40°, R está a la derecha y delante de Q.

TRAMO RS: el punto S está 30 mm a la derecha, 35 mm arriba y 20 mm detrás, del punto R.

Indicar, si es posible, verdaderas magnitudes y ángulos de pendiente e inclinación de cada

tramo. Aclarar que tipo de segmento es el RS. (Representar cada cañería por un segmento)

3) Resolver el ejercicio 1, trabajando con los tres planos de proyección, plano I, II y el plano III

perpendicular a los dos primeros (de perfil). Datos: A” (15 ; 85) ; A’ (15 ; 45). Ubicar la línea de

tierra entre el plano I y el II donde se prefiera.


ejercitación se encuentra resuelta en la página 32. (TEMA: Posición de planos y/o figuras)

Determinar las proyecciones de un triángulo isósceles, cuya base AB=30 mm

y la altura h=30 mm, en las siguientes posiciones:

1) En posición frontal, la base AB está paralela a ambos planos. A B

C

h

2) En posición horizontal, AB está de punta.

3) En posición proyectante vertical, forma 45º con el plano I y AB está frontal.

4) En posición proyectante horizontal, forma 30º con el plano vertical y AB está en posición

vertical.

5) En posición paralelo a la línea de tierra formando 50º con el H. La base AB está de perfil.

6) En posición de perfil, AB está vertical y C está delante de A.


ejercitación se encuentra resuelta en la página 33. (TEMA: Puntos y rectas pertenecientes a un

plano)

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PROYECCIONES

1) Dadas las proyecciones de una figura ABC, determinar las proyecciones de una recta horizontal

h que pertenezca al plano definido por dicha figura y que esté 20 mm debajo del punto B.

2) Dadas las proyecciones de una figura PQR y la proyección horizontal de un punto P que

pertenece a dicha figura, determinar la proyección vertical del mismo utilizando una recta

frontal f que pertenezca a la figura y que contenga al punto P. Verificar utilizando una recta r

cualquiera que pertenezca a la figura y que contenga al punto P.

3) Dadas las proyecciones de una figura LMN y la proyección horizontal de un punto P que

pertenece al lado LM, determinar la proyección vertical del mismo. Ayuda: Utilizar una recta r

que pertenezca a la figura, que sea paralela a uno de los lados de ésta y que obviamente

contenga al punto P.

4) Completar la proyección vertical de la superficie plana ABCD, dada su proyección horizontal.


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