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PROYECTO DE AULA QUE CONTRIBUYA

AL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO

ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS

Sildery Pérez Bustamante

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE CIENCIAS

Medellín, Colombia

2016

PROYECTO DE AULA QUE CONTRIBUYA AL

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALEATORIO Y

SISTEMAS DE DATOS

Sildery Pérez Bustamante

Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Nat urales

Director David Alejandro Londoño Jiménez

Codirectora

Brigitt María Hernández Herrera

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE CIENCIAS

Medellín, Colombia

2016

Dedicatoria

A mi Señor Jesús, quien es poder y

sabiduría de Dios. Él, quién en su infinita

misericordia tuvo cuidado de mí y de mí

familia. A Él toda la gloria, el honor y la

alabanza.

A mi hijo Tomás David, por aplazar todas

sus necesidades, y por entender que

estaba cansada para atenderlo.

A mi madre por ocuparse de mi hijo y de

todas mis cosas. Ella ha decidido ponerse

a un lado para que yo pueda cumplir este

sueño.

A mis abuelos, mi hermana, mi sobrina y

a mi cuñado por todo el apoyo y amor.

Porque el Señor da la sabiduría; conocimiento

Y ciencia brotan de sus labios. Proverbios 2:6

Más vale adquirir sabiduría que oro; más vale adquirir

Inteligencia que plata. Proverbios 16:16

Todas las riquezas de la sabiduría y del conocimiento

Se encuentran presentes en Cristo. Colosenses 2:3

VI

CONTENIDO

Contenido

Contenido VI

Resumen VIII

Abstract IX

Introducción 10

1. Aspectos Preliminares 11

1.1. Tema 11

1.2 Problema de investigación 11

1.2.1 Antecedentes 11

1.2.2 Formulación de la pregunta. 13

1.2.3 Descripción del problema 14

1.3 Justificación 14

1.4 Objetivos 16

1.4.1 Objetivo General 16

1.4.2 Objetivos Específicos 16

2. Marco Referencial 17

2.1 Marco Teórico 17

2.1.1 Pensamiento aleatorio y sistema de datos 17

2.1.2 Aprendizaje 18

2.1.3 Didáctica 19

2.1.4 Enseñanza 20

VII

CONTENIDO

2.1.5 Secuencia didáctica 21

2.1.6 Enseñanza para la comprensión 22

2.1.7 Secuencias Didácticas en el marco de la EpC 24

2.2 Marco Disciplinar 27

2.2.1 Probabilidad 27

2.2.2 Técnicas de conteo 28

2.3 Marco Legal 34

2.3.1 Contexto internacional 35

2.3.2 Contexto Nacional 35

2.3.3 Contexto Regional 37

3. Diseño metodológico 39

3.1 Tipo de Investigación: Profundización de corte monográfico 39

3.2 Método 39

4. Secuencia didáctica 40

4.1 Visión General 40

4.2 Alcance 46

4.3 Orientaciones para el docente 47

4.4 Guía de actividades para el estudiante 87

5. Conclusiones 102

Referencias 103

Resumen En el estudio de la probabilidad se presentan diferentes dificultades, que parten

desde la formación del docente y pasan por las políticas institucionales, lo que se

evidencia en los resultados de las diferentes pruebas externas. El presente

trabajo es una secuencia didáctica que pretende explicar las diferentes técnicas

de conteo mediante una guía de trabajo para el estudiante y una guía para el

docente, quien será el facilitador durante todo el proceso. La secuencia es un

guion que muestra el paso a paso que facilitará la obtención de los objetivos

propuestos.

Una secuencia didáctica es una estrategia pedagógica que le proporciona al

docente herramientas para ayudar al estudiante a reformular y consolidar su

conocimiento, apoyado en contextos significativos (Furman, 2012)

La estrategia está basada en la propuesta de Furman (2012), quien asesoró al

Ministerio de Educación Nacional en el programa de educación rural (PER) en

las áreas de Matemáticas y Ciencias.

El marco teórico del trabajo se basa en Enseñanza para la Comprensión,

proyecto de investigación de la Universidad de Harvard pensado para mejorar los

procesos de educación dentro y fuera de la escuela, en el cual se desarrollan

cuatro pilares a saber: tópicos generativos, metas de comprensión, desempeños

de comprensión y evaluación diagnóstica continua.

Palabras clave : Secuencia didáctica; Enseñanza para la Comprensión;

probabilidad; técnicas de conteo.

Abstract

In the study of probability one may encounter different difficulties, starting from the

training of teachers up to the institutional policies, this is evidenced in the results

of different external tests that are presented. The present work is a didactic

sequence aiming to explain the different counting techniques through a working

guide for the student and for the teachers as well. Teachers will be the facilitators

for the whole process. The sequence is a script that shows each step that will

facilitate the gaining of the proposed objectives.

A teaching sequence is a pedagogical strategy that provides the teacher with

tools to help students to reformulate and consolidate their knowledge, supported

in meaningful contexts. (Furman, 2012)

The strategy is based on the proposal Furman (2012), who advised the Ministry

of National Education in the rural education program (PER) in the areas of math

and science.

The theoretical part of the work is based on the Teaching for Comprehension,

research project at Harvard University thought to improve education processes in

and out of school, in which four pillars are developed: generative topics,

comprehension goals, performances of comprehension and ongoing diagnostic

evaluation.

Keywords: Teaching sequence; Teaching for Comprehension; probability;

counting techniques.

10

INTRODUCCIÓN

Introducción

En nuestro país en 1978 con el nombramiento como asesor del doctor Carlos

Eduardo Vasco Uribe, el Ministerio de Educación nacional inició la

reestructuración de las matemáticas escolares. Es así como sin abandonar la

matemática Bourbakista que reinaba hasta el momento, se dio paso al estudio de

los sistemas concretos que ya conocían los niños y partiendo de ellos, se

construyeron los sistemas conceptuales respectivos que hoy conocemos como

numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional y sus enfoques sistémico

numéricos, geométricos, de medida, de datos y algebraicos analíticos.

Desde la presentación y divulgación de los lineamientos curriculares, las

diferentes secretarías de educación se han preocupado por capacitar, orientar y

vigilar que los pensamientos matemáticos y sus enfoques de sistemas sean

desarrollados en las diferentes instituciones educativas del país, las cuales de

acuerdo al PEI institucional desarrollan estas habilidades teniendo en cuenta las

características de la población.

Este trabajo pretende, a través de una secuencia didáctica, que los estudiantes

construyan conocimientos sobre técnicas de conteo, además favorecer la

participación de ellos en la construcción de conocimiento; tal como lo plantea

Furman (2012) en la propuesta metodológica al Ministerio de Educación en el

marco del Plan Nacional de Desarrollo “Prosperidad Para Todos” (2010-2014).

Para entender la propuesta, a lo largo de este documento se encontrará un

sustento teórico, un referente disciplinar (contenidos matemáticos) y el diseño de

la secuencia didáctica.

11

ASPECTOS PRELIMINARES

1. Aspectos Preliminares

1.1 Tema

Proyecto de aula que contribuya al desarrollo del pensamiento aleatorio mediante

el diseño de una secuencia didáctica sobre combinatoria.

1.2 Problema de Investigación

1.2.1 Antecedentes.

En los estándares nacionales y los lineamientos curriculares se plantea el

estudio de la probabilidad como un requisito en los diferentes niveles de

enseñanza, razón por la cual el Ministerio de Educación Nacional cuestiona a los

estudiantes en las diferentes pruebas externas programadas por el estado

(pruebas saber, olimpiadas del conocimientos y pruebas saber once).

A nivel Internacional podemos encontrar investigaciones en cuanto a la

enseñanza y aprendizaje de la probabilidad. Algunas de ellas son:

• Instituto Internacional de Estadística (ISI), fundado en Londres en 1885,

con sede en la Haya tiene como objetivo primordial, promover la formación

estadística y de esta manera apoyar la educación. Para ello cuentan con un

comité de Educación que realiza conferencias a nivel internacional en

diferentes lugares del mundo como Viena (1973), Varsovia (1975), Calcuta

12


(1977), Oisterwijk (1973), Camberra (1984) y en Budapest (1988). En este

instituto se agrupan la mayoría de agencias nacionales de estadística del

mundo, las cuales se reúnen cada dos años y organizan el (WSC) Congreso

de estadística del mundo.(Batanero, 2000, p., 3)

• El Instituto Vasco de Estadística (EUSTAT) desde 1983 organiza cada año

un seminario internacional de estadística y reúne a profesionales de la

enseñanza, investigadores y universitarios tanto del ámbito regional como

internacional, con el fin de conocer las recientes investigaciones y desarrollos

de la estadística a nivel mundial, todos los cursos son publicados en el idioma

original y en castellano y se pueden encontrar en el catálogo oficial de

productos de EUSTAT.

• Evaluación de conocimientos y recursos didácticos en la formación de

profesores sobre probabilidad condicional. Su objetivo es la formación de

docentes con relación a la enseñanza de la probabilidad condicional, desde el

punto de vista del cálculo de probabilidades y estadística como la manera de

potenciar la toma de decisiones en la vida cotidiana. (Contreras, 2011)

A nivel nacional se encuentran diversas propuestas didácticas, algunas de

las cuales son trabajos de maestría en profundización como:

• Bases para la definición semántica del conocimiento matemático-didáctico

del profesor de secundaria para enseñar probabilidad. En este documento

encontramos un análisis del trabajo docente de profesores colombianos y

españoles, en cuanto a su formación matemática y didáctica de la probabilidad.

(Gomez Torres, 2011)

• Propuesta metodológica para el acercamiento del análisis combinatorio y

probabilidades a situaciones cotidianas. El trabajo pretende mediante la

utilización e implementación de plataformas virtuales y generación de juegos,

plantear e implementar una estrategia metodológica que facilite la enseñanza,

13


apropiación y aprendizaje de la probabilidad y el análisis combinatorio.

Monografía. (Aristizabal Zuluaga, 2012)

• La enseñanza de la combinatoria orientada bajo la teoría de situaciones

didácticas. Desarrollo de una unidad didáctica que pretende mostrar el poco

nivel conceptual sobre combinatoria, ya que de manera generalizada cuando

se aborda el tema se hace de forma procedimental. Propuesto en el marco del

Encuentro Colombiano de matemática Educativa. (Zapata, Quintero, &

Morales, 2010)

En cuanto a las secuencias didácticas como una estrategia pedagógica, en

algunas instituciones se vienen implementando ya que con la política del

Ministerio de Educación en el marco del Plan Nacional de Desarrollo “Prosperidad

Para Todos” (2010-2014), que cuenta con acciones encaminadas a mejorar las

condiciones de vida de los colombianos, la educación de calidad juega un papel

preponderante y convencidos de esto deciden apostarle entre otras estrategias al

Programa de Fortalecimiento de la Cobertura con Calidad para el Sector

Educativo Rural (PER Fase I y II) que se orienta a docentes y directivos docentes

en cuanto al diseño e implementación de secuencias didácticas.

1.2.3 Formulación de la pregunta.

¿Cómo a través de una secuencia didáctica se puede contribuir a la

comprensión de la Combinatoria?

14


1.2.4 Descripción del problema.

Por diferentes razones, se pone de manifiesto la dificultad que tienen los

estudiantes para comprender el cálculo de probabilidades, en especial lo que

tiene que ver con la combinatoria. Algunas de ellas son la falta de formación en

los docentes quienes aíslan la enseñanza del pensamiento aleatorio y sistemas

de datos relegándolo al último período académico, tiempo en el cual las

dinámicas de las instituciones en la mayoría de los casos no permiten que sea

terminada la planeación propuesta por los educadores.

Todas estas falencias se ven reflejadas en los resultados de las diferentes

pruebas externas, las cuales después de ser analizadas en las instituciones

arrojan como resultado la dificultad que tienen los estudiantes para resolver

situaciones problema del pensamiento aleatorio.

Esta propuesta pretende mediante una secuencia didáctica, contribuir al

desarrollo del pensamiento aleatorio, abandonar un poco las clases magistrales y

que el docente se convierta en un facilitador dentro del proceso, minimizar los

procesos de mecanización y darle paso a la comprensión y al desarrollo de

competencias; que los estudiantes sean partícipes en la construcción de su

propio conocimiento. Por tal motivo es vital la tarea del docente, ya que debe

garantizar un ambiente cooperativo, autónomo y responsable.

1.3 Justificación

Los documentos rectores en Colombia han tratado en las últimas décadas

de favorecer y potenciar el pensamiento aleatorio, es por ello que surge la

necesidad de pensar en nuevas estrategias que contribuyan a este desarrollo.

La monografía “Proyecto de aula que contribuya al desarrollo del pensamiento

aleatorio y sistemas de datos”, propone desarrollar una secuencia didáctica

15


que favorezca en los estudiantes además del pensamiento aleatorio y el

analítico, un enfoque social.

En algunas Instituciones Educativas y de acuerdo a su proyecto institucional,

los docentes organizan sus planeaciones desarrollando los pensamientos de

manera aislada y no con una perspectiva sistémica que los agrupe como

totalidades estructurales, potenciando de manera separada los diferentes

pensamientos; esto se da porque en los Lineamientos Curriculares se presentan

diferentes tipos de pensamiento y sistemas, lo cual podría interpretarse como si

cada pensamiento se desarrolla solamente a través del respectivo sistema,

desconociendo la transversalidad de cada uno de ellos.

Los números, la geometría, las medidas, los datos estadísticos, la lógica y los

conjuntos, complementan el estudio de la matemática de manera estructurada;

por lo tanto la enseñanza de la probabilidad desarrolla no solamente el

pensamiento aleatorio sino además otros pensamientos. Mediante la secuencia

didáctica aquí planteada se pretende potenciar el desarrollo de habilidades en los

estudiantes, que les permitan resolver situaciones problemas, para que a través

del trabajo autónomo y colaborativo potencien competencias ciudadanas y

comunicativas.

La promoción del pensamiento aleatorio en el aula posibilita el desarrollo del

pensamiento inductivo del estudiante, al permitirle que sobre un conjunto de

datos, pueda hacer inferencias, leer entre líneas y hacer simulaciones. Este

carácter no determinista de la probabilidad obliga al docente a partir de contextos

significativos, en donde se prioricen los problemas abiertos, que les permitan a

los estudiantes exponer argumentos y tomar decisiones. (Ministerio de Educación

Nacional, 1998)

Además de lo expuesto anteriormente, también se estaría desatendiendo a las

políticas nacionales (lineamientos y estándares) que cada vez son más exigentes

y competitivas. La sociedad reclama personas capaces de trabajar en equipo,

autónomas, líderes que sean capaces de sacar adelante proyectos en la escuela

16


y en la comunidad, que se aproximen a la innovación tecnológica. Es por esto que

se hace necesario que los estudiantes quieran aprender, comprender y pensar de

manera crítica y responsable.

1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo General

Contribuir al desarrollo de las competencias en el pensamiento aleatorio,

mediante el diseño de una secuencia didáctica sobre combinatoria.

1.4.2 Objetivos Específicos

• Indagar sobre la secuencia didáctica planteada por la doctora Melina

Furman.

• Realizar una búsqueda sobre los trabajos ya existentes de combinatoria y

secuencias didácticas, a nivel nacional e internacional.

• Diseñar una secuencia didáctica sobre combinatoria que contribuya al

desarrollo de las competencias en el pensamiento aleatorio.

17

MARCO REFERENCIAL

2. Marco Referencial

2.1 Marco Teórico

2.1.1 Pensamiento aleatorio y sistema de dato

La teoría de la probabilidad logra manejar los asuntos de la incertidumbre y los

fenómenos regidos por el azar, los cuales son ordenados mediante leyes

aleatorias en diferentes áreas del conocimiento. (Ministerio de Educación

Nacional, 1998)

Shaughnessy (1985) dice que el pensamiento aleatorio debe invitar a docentes

y estudiantes a la exploración e investigación, para desarrollar estrategias de

simulación de experimentos aleatorios, de conteo y mediante un conjunto de

datos proponer inferencias, es decir, el pensamiento aleatorio resuelve

problemas.

El pensamiento aleatorio está inmerso en nuestra cotidianidad y mediante

la probabilidad le da respuesta a la incertidumbre, la cual mediante leyes

permite ordenar fenómenos regidos por el azar, ayudando en ciencias

como la psicología, la medicina y las sociales entre otras. El pensamiento

aleatorio se desarrolla mediante la recolección de información, su

18

MARCO REFERENCIAL

representación e interpretación y la formulación de nuevas hipótesis.

(Ministerio de Educación Nacional, 1998)

2.1.2 Aprendizaje

Según Vygotsky (1931), el aprendizaje se produce en situaciones colectivas,

es decir, no es una acumulación de reflejos o relaciones entre estímulos y

respuestas; el aprendizaje más que asociaciones, es un proceso colaborativo,

que se construye por medio de habilidades y operaciones cognoscitivas que

subyacen en la interacción social, señala además que el desarrollo intelectual de

la persona no puede estar separado del medio en el cual se mueve;

psicológicamente esto significa que el aprendizaje primero se da a nivel social y

posteriormente a nivel individual. (basespda, 2012)

Ésta teoría planteada por Vygotsky (1931), se basa principalmente en el

aprendizaje sociocultural, introduce el concepto de Zona de Desarrollo Próximo

(ZDP) que no es otra cosa que la distancia entre el desarrollo real y el potencial,

(distancia entre el niño y el adulto); es decir lo que el niño realice por sí mismo o

lo que pueda hacer con el acompañamiento de un adulto. (Sarmiento, 2004)

Según el Diccionario de la lengua española “El aprendizaje es la modificación

del comportamiento como resultado de una experiencia”, a lo cual hace también

referencia Ausubel (1963) en su teoría sobre aprendizaje significativo.

Según Ausubel (1963), el aprendizaje significativo es un proceso en el cual un

nuevo conocimiento se relaciona de manera no literal con el sujeto que aprende

mediante su estructura cognoscitiva y de esta manera el significado lógico del

aprendizaje transmuta en psicológico. (Rodríguez Palmero, 2004)

Las características básicas del aprendizaje significativo son No-arbitrariedad y

sustantividad; el primero se refiere a que lo realmente significativo se relaciona de

manera oportuna con la información ya existente, con conocimientos relevantes y

específicos (subsumidores); es decir, nuevos conocimientos pueden aprenderse y

19

MARCO REFERENCIAL

retenerse en la medida que estos se aferren a otros conocimientos también

relevantes que estén claros y disponibles en la estructura cognitiva de la persona.

La segunda (sustantividad) tiene que ver con el uso de nuevas ideas expresadas

de diferentes maneras a través de signos. (Moreira, 1997)

2.1.3 Didáctica: Según Castro Franco (2011), la didáctica viene del verbo griego didaskein, y

se utiliza tanto para enseñanza-aprendizaje como para aprender por sí mismo,

por lo tanto la enseñanza es el objeto de estudio de la didáctica, entonces hablar

de didáctica necesariamente nos sumerge en el mundo del proceso docente

educativo y este a su vez dentro de la pedagogía que se ocupa de relacionar la

vida con la escuela de manera sistemática.

En Lecciones de Didáctica general, capitulo II; el proceso docente educativo

expresa las relaciones sociales de los individuos que están involucrados en la

educación, y además permite el desarrollo individual del estudiante, demostrando

una naturaleza dialéctica, ya que la didáctica está inmersa en la pedagogía, ésta

en la formación y por consiguiente la formación en la sociedad. (Alvarez de

Zayas & Gonzales Agudelo, 2002)

Por lo anterior la didáctica, relaciona el maestro con el estudiante a través de la

cultura y mediante los siguientes componentes: el problema, el objetivo, el

contenido, el método, la forma, los medios y la evaluación.

El problema, se asocia a una situación del estudiante que crea en el

docente la necesidad de transformarla.

El objetivo, es la meta que el maestro se propone para transformar la

situación del estudiante y así satisfacer su necesidad.

20

MARCO REFERENCIAL

El contenido, son las habilidades y conocimientos que el estudiante

adquiere mediante su proceso de aprendizaje.

El método, son los pasos que desarrolla el docente en su relación con el

estudiante.

La forma, se encarga de esos aspectos organizativos más externos del

proceso como son la distribución de los estudiantes y la asignación de

intervalos de tiempo.

Los medios, son herramientas que le permiten al docente generar

ambientes de aprendizaje adecuados, que posibiliten apropiarse del

contenido, ejecutar el método, conseguir el objetivo y resolver el

problema.

La evaluación es verificar la solución o no del problema y de esta forma

medir la eficacia del proceso docente educativo. (Alvarez de Zayas &

Gonzales Agudelo, 2002)

2.1.4 Enseñanza

La enseñanza se deriva del currículum (proyecto docente) y tiene relación con

él y con la mediación y concreción del proyecto de aula. El currículum debe tener

una estructura que revele la jerarquía para la enseñanza y su función es guiar la

relación entre el docente y el estudiante, permitiendo una etapa de evaluación

mediante la cual se puedan encontrar los errores en la selección de contenidos.

(Diaz Barriga, 1993)

Según Johnson, citado por (Diaz Barriga, 1993)no solo incluye los resultados

del aprendizaje como objetivos observables, sino que también incluye la

formación de ciudadanos, para él la enseñanza es más que transmisión de

conocimiento; en el mismo sentido la enseñanza es un conjunto de posibilidades

21

MARCO REFERENCIAL

donde se entrelazan dos dimensiones: la primera tiene que ver con la manera

como el estudiante se provee de los contenidos y la segunda dimensión con la

forma como transforma y rehace el conocimiento.

2.1.5 Secuencia didáctica La doctora Melina Furman presentó el programa de educación rural (PER), al

Ministerio de Educación Nacional sobre Orientaciones para la producción rural de

secuencias didácticas para las áreas de matemáticas y ciencias. En ella se dan

lineamientos para la elaboración, ejecución, seguimiento y validación de las

mismas.

(Furman, 2012)Sostiene que “Es fundamental que la secuencia esté diseñada

como un guion, es decir, como un trayecto de ideas que se van desarrollando

paulatinamente, como un relato que lleva a los alumnos, desde un punto inicial,

pasando por etapas que los van ayudando a construir conocimientos y

habilidades nuevas, de manera progresiva y coherente”. (p.51)

Según explica (Furman, 2012) en el Programa Educación Rural PER, el

resultado de las secuencias didácticas involucra e impacta a los docentes,

estudiantes y a la comunidad en general. Su importancia radica en que los

estudiantes se involucren en todo el proceso, desde el desarrollo de ideas, su

puesta en práctica y su comprobación mediante la utilización de todos los

recursos que tienen dentro y fuera del aula, y de esta manera pueda adquirir

nuevos conocimientos y desarrollar habilidades científicas, sociales y

comunicativas.

Para su diseño e implementación es necesario realizar una introducción

conceptual, tener una visión general, diseñar una secuencia didáctica que pueda

ser desarrollada durante 16 sesiones de clase, planificar las sesiones de clase,

proponer uno o varios objetivos, un tiempo determinado, los materiales

22

MARCO REFERENCIAL

necesarios, indicadores de logro y una reflexión sobre los resultados de la clase,

profundizaciones conceptuales y propuesta de evaluación.

2.1.6 Enseñanza para la comprensión

El marco conceptual de Enseñanza para la Comprensión EpC, nació en la

Escuela de Graduados de Educación de Harvard y definió que comprender un

tema es dar cuenta de él en una exposición entendible; justificándolo, siendo

capaz de extrapolarlo, haciendo relaciones y aplicándolo de manera que vaya

más allá del conocimiento o la repetición. Comprender entonces, es actuar

reflexivamente utilizando más que los nuevos aprendizajes.

Según Stone Wiske (1999)hablar de comprensión es hablar de desempeño

ya que los estudiantes expanden sus mentes utilizando lo que han aprendido y

lo aplican creativa y apropiadamente en diferentes circunstancias mediados por

el constructivismo en el que el docente es orientador, conductor, facilitador y

motivador en el proceso.

El marco conceptual de la EpC definió un modelo de cuatro elementos o

pilares: tópicos generativos, metas de comprensión, desempeños de

comprensión y evaluación diagnóstica continua; que integran las características

de la enseñanza y que deben ser evaluadas mediante cuatro preguntas

fundamentales a toda práctica educativa:

Tópicos generativos: ¿Qué tópicos vale la pena comprender?

Los tópicos generativos son conceptos, ideas, temas, definiciones,

argumentos entre otros que tienen significación en un determinado grado de

23

MARCO REFERENCIAL

escolaridad y que se interrelacionan en un espiral de preguntas para ayudar y

potenciar la comprensión de los estudiantes.

Londoño (2014) afirma que “Los tópicos generativos son cuerpos

organizados de conocimiento, deben ser interesantes y accesibles para los

estudiantes, pueden abordarse desde diferentes perspectivas y se vinculan

con facilidad con experiencias previas de los estudiantes. Además, deben

ser interesantes para el profesor, le deben generar pasión, asombro y

curiosidad, de esta forma, puede servir como modelo de compromiso

intelectual para sus estudiantes”. (p.39)

Metas de comprensión: ¿Qué aspectos de los tópicos deben ser

comprendidos?

Las metas de comprensión enuncian de manera general, clara y publica lo

que los estudiantes deben comprende al finalizar la secuencia, unidad o tema

determinado. Con ellas se tiene claridad de hacia dónde se va en el proceso.

Se clasifican en metas a corto y largo plazo, las segundas son las preguntas

que orientan en este caso la secuencia didáctica.

Desempeños de comprensión: ¿Cómo podemos promover la comprensión?

La comprensión tiene que ver con los desempeños y conduce a los

estudiantes a nuevos aprendizajes.

(Stone Wiske, 1999) Citado por Londoño (2014) dice que “los alumnos pueden

emprender una gama mucho más variada de actividades como parte de su

trabajo escolar que la que abarcan las tareas típicas. Estos desempeños se

centran en la comprensión en formas que muchas actividades escolares

tradicionales no lo hacen. En lugar de enseñar o recrear el conocimiento

24

MARCO REFERENCIAL

producido por otros, los desempeños de comprensión involucran a los alumnos

en la creación de su propia comprensión”. (p.20)

Evaluación diagnóstica continua: ¿Cómo podemos averiguar lo que

comprenden los estudiantes?

La evaluación es constante y no punitiva, permite que el estudiante vaya

comparando sus desempeños actuales con los pasados. Es diagnóstica,

continua, reflexiva, integradora permitiendo que se cumplan los desempeños

plasmados en las metas de comprensión.

2.1.7 Secuencias Didácticas en el marco de la EpC

La secuencia didáctica diseñada para la comprensión de la teoría de la

combinatoria fue diseñada bajo la teoría de la Enseñanza para la Comprensión,

debido a que cuenta con los cuatro momentos descritos en ella. (Stone Wiske,

1999)

La secuencia está diseñada para solucionar en cada semana una pregunta que

guiara la comprensión del tema a desarrollarse durante esas dos sesiones de

clase, se espera que cada pregunta despierte el interés en cada estudiante y se

generen discusiones alrededor de la pregunta que serán reguladas y orientadas

por el facilitador de la clase.

Se espera que cada pregunta lleve al estudiante a otro nivel, en el que se

planteé otros interrogantes y pueda con sus compañeros construir nuevos

conocimientos y de esta manera puedan resolver las situaciones cotidianas que

se proponen en la segunda sesión de cada semana.

25

MARCO REFERENCIAL

En cada actividad se presentara una información interesante y curiosidades

sobre el tema que cautivará la atención de los estudiantes y los motivará a

resolver las diferentes situaciones, además de responder la pregunta de la

semana. Los tópicos generativos están representados en las preguntas y las

curiosidades, esto enmarcado en la teoría de la EpC.

El facilitador que orienta la secuencia debe leer cuidadosamente la parte

nombrada como Visión General, en ella se explica de manera general el paso a

paso de cada sesión de clase, además se muestra lo que se espera sea

comprendido por los estudiantes al finalizar la secuencia.

Las metas de comprensión y los estándares de competencias se presentan en

el Alcance de la secuencia, con el único fin de guiar al facilitador en los aspectos

a comprender por el estudiante.

Posterior a esto se presentan las orientaciones para el facilitador en las que se

presenta un detallado derrotero de cada actividad. Él podrá acceder a cada

pregunta con su respectiva respuesta, situación y solución y la forma como debe

orientar cada sesión de clase. En ella encontrara un resumen de la teoría sobre

combinatoria que le ayudara a recordar y con la cual podrá afrontar cualquier

posible duda que se presente.

Después de que el facilitador tenga la claridad de cómo abordar la secuencia

se presenta la guía de actividades para el estudiante, en la que encontrara los

desempeños de comprensión que no son otra cosa que las actividades que

llevaran al estudiantes a utilizar los conocimientos previos con los nuevos.

Primero se inicia con una discusión en grupos de trabajo previamente

organizados por el facilitador, luego ellos presentan sus ideas correctas o erradas

llamadas hipótesis, y después de realizar situaciones propuestas con material

concreto serán ellos quienes validen esas soluciones o ideas.

26

MARCO REFERENCIAL

El estudiante deberá observar, manipular el material concreto, hacer

anotaciones en su cuaderno, discutir sobre lo observado y después socializar con

sus demás compañeros y con el docente. En este momento el estudiante habrá

comprendido y resuelto la pregunta inicial, es decir, tendrá dominio sobre las

metas de comprensión.

En la segunda sesión de clase se proponen una serie de situaciones que los

llevara a afianzar esos conocimientos y con esto el facilitador determinará de qué

manera se apropiaron de los tópicos generativos.

El facilitador todo el tiempo deberá estar tomando nota sobre las reacciones a

cada situación y de esta manera podrá mejorar la secuencia para una próxima

aplicación, además le servirá de insumo para la evaluación y poder comparar los

conocimientos iniciales y finales de los estudiantes.

Finalmente en la última semana los estudiantes deben resolver una pregunta

que puede o no reunir todos los conocimientos adquiridos durante todas las

sesiones, además deberá dar cuenta de los tópicos observados a lo largo de la

secuencia. Se propondrá un ejercicio de probabilidad en el que aplicando la regla

de Laplace pueda decidir que definiciones de la teoría de la combinatoria le serán

útiles y por qué.

27

MARCO REFERENCIAL

2.2 Marco Disciplinar

2.2.1 Probabilidad.

(Batanero, 2005) después de un minucioso estudio sobre los diferentes

significados de la probabilidad, concluye que es un modelo matemático que se

utiliza para interpretar, explicar, demostrar y describir la realidad de los

fenómenos aleatorios. Es tanta su utilidad que es usada en la ciencia, la

tecnología, la administración, la política y demás campos de investigación.

2.2.1.1 Experimentos Aleatorios.

Según (Salgado , 2007) experimento aleatorio es una incertidumbre en la cual

se conocen los pasos a seguir y las posibles consecuencias o resultados que se

pueden formar aunque no se tiene con seguridad el resultado final hasta

terminarlo.

2.2.1.2 Espacio muestral.

En palabras de (Cifuentes & Salazar, 2010)es el conjunto de todos los posibles

resultados de un experimento aleatorio. Cada resultado se conoce como punto

muestral y debe tener la misma posibilidad de ocurrir.

28

MARCO REFERENCIAL

2.2.2 Técnicas de Conteo.

Giraldo, (2009) citado por (Martinez, 2014) dice que las técnicas de conteo o

análisis combinatorio, se refieren a un conjunto de métodos utilizados para

calcular sin contar directamente el número de arreglos u ordenaciones posibles

de un conjunto de elementos. Las técnicas de conteo se fundamentan en el

principio de adición y en el de multiplicación. (p.70).

El análisis combinatorio también estudia las distintas formas de agrupar y

ordenar los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de

estos. Los problemas de arreglos y combinaciones pueden parecer aburridos y

quizá se piense que no tienen utilidad pero los teoremas del análisis

combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad. La probabilidad se

encarga de los arreglos y las combinaciones que determinan el número de

formas diferentes en que un acontecimiento puede suceder. (Tecnológico de

Monterrey, 2008, p.2).

Cameron, 1997 citada por Zapata, Quintero, & Morales (2010) afirma que “La

combinatoria se ha entendido como el estudio de formas de listar, arreglar y

organizar elementos de conjuntos discretos de acuerdo a reglas específicas”

(p.601)

2.2.2.1 Orden y Repetición.

Al respecto (Salgado , 2007)dice, hay orden en un experimento aleatorio

cuando al formar una muestra, la ubicación de los elementos hace que los

resultados sean diferentes. Es importante el orden ya que no es lo mismo 386

que 863 o que 368 y existe repetición cuando un elemento de la población se

puede repetir en la muestra.

29

MARCO REFERENCIAL

2.2.2.2 Principio de adición.

“Si una situación puede ocurrir de � maneras diferentes y otra de k maneras

diferentes, incompatibles las unas con las otras, entonces existen � + �

maneras en las cuales puede ocurrir la primera o la segunda, mas no ambas”.

(Wilhelmi, 2004, p.15)

2.2.2.3 Principio de multiplicación.

De acuerdo a Cifuentes (2010) Dado un experimento aleatorio en el que un

evento pueda ocurrir de � maneras y otro de � maneras diferentes, el número

de elementos del espacio muestral es igual a �∗� maneras.

Esta técnica se utiliza en los experimentos aleatorios en los que existe el orden

y la repetición.

“Si una situación puede ocurrir de �maneras y otra de � maneras, entonces

ambas situaciones pueden ocurrir de �∗�maneras.” (Wilhelmi, 2004, p.14)

2.2.2.4 Permutaciones.

En palabras de Wilhelmi (2004) una permutación es variar o cambiar la

posición, disposición u orden en que se encuentran dos o más objetos. Se debe

precisar si los objetos son o no indispensables para que la nueva disposición sea

diferente a la anterior. (p.45)

“Esta técnica permite calcular el número de elementos del espacio muestral de

un experimento aleatorio, en el cual se considera que existe orden en la

muestra, pero no repetición” (Salgado , 2007, p.302)

30

MARCO REFERENCIAL

2.2.2.5 Permutaciones ordinarias o sin repetición :

Según Wilhelmi (2004) “El número de ordenaciones posibles que se pueden

obtener con � (� ≥ 2) objetos distintos es el producto de los � primeros

términos.” (p.45)

�� = �!.

Este producto se denota por �!, que se lee: “�� ”. Se define,

Factorial de un numero: El factorial de un número entero no negativo �, se

denota �!, y es igual a:

n! = {� �� − 1�!

1

�� > 0

�� = 0

2.2.2.6 Permutaciones con repetición.

Se llaman permutaciones con repetición de � elementos, distribuidos en �

grupos de �1, �2, . . . , ��−1, �� elementos indistinguibles, respectivamente, de

tal forma que �1 + �2 +. . . + ��−1 + �� = �, a las distintas configuraciones que

se pueden formar con los n elementos, de tal forma que cada una de ellas se

diferencie de las demás en el orden de colocación de sus elementos,

excluyendo las reordenaciones de elementos indistinguibles (esto es, que

pertenecen a un mismo grupo). (Wilhelmi, 2004, p.47)

��, �, , …

�=

��

�!.∙ �! ∙ !

31

MARCO REFERENCIAL

2.2.2.7 Permutaciones circulares (sin repetición).

Se llaman permutaciones circulares (sin repetición) de n elementos,

denotaremos �!�, a los distintos grupos que se pueden formar, de tal manera

que en cada grupo entren los n elementos y que un grupo se diferencie de los

demás en la posición relativa de los elementos unos respecto a los otros.

(Wilhelmi, 2004, p.48)

�!� = �� − 1�!.

2.2.2.8 Variaciones.

En lenguaje usual, variar significa: “hacer que una cosa sea diferente en

algo de lo que antes era”. En matemáticas, la palabra variación tiene una

acepción mucho más precisa; brevemente, una variación de una familia de

elementos es una modificación de alguno de sus elementos o del orden en que

se presentan. (Wilhelmi, 2004, p.50)

2.2.2.9 Variaciones ordinarias o sin repetición.

Se llaman variaciones ordinarias o sin repetición de �elementos, tomados de

� en �, se denota "�,, a los distintos grupos que se pueden formar con los �

elementos, de tal forma que en cada grupo entren � elementos distintos y que

un grupo se diferencie de los demás, bien en alguno de sus elementos, bien en

su orden de colocación. (Wilhelmi, 2004, p.50).

"�,# = �!

�� − ��!

32

MARCO REFERENCIAL

2.2.2.10 Variaciones con repetición.

Se llaman variaciones con repetición de n elementos, tomados de � en �,

denotaremos, "��, a los distintos grupos que se pueden formar con los n

elementos, de tal manera que en cada grupo entren � elementos iguales o

distintos y que un grupo se diferencie de los demás, bien en algún elemento,

bien en su orden de colocación. (Wilhelmi, 2004, p.51).

"��,# = �#

2.2.2.11 Combinaciones.

Giraldo (2009) citado por Martinez (2014) afirma que una combinación es un

arreglo u ordenación de cierta cantidad de objetos disponibles tomados todos a la

vez o parte a la vez, sin que el orden interese. Es decir, si considero que el

arreglo ABC es idéntico a los arreglos $!%, !%$, %$!, !$%, etc., por el hecho de

contener los mismos elementos y aunque el orden sea diferente, entonces cada

una de las anteriores ordenaciones se considera una combinación.

“Una combinación es una técnica de conteo en la cual no importa el orden y no

hay repetición en los elementos de un punto muestral.” (Cifuentes & Salazar,

2010, p.290)

En lenguaje común, combinar es: “unir cosas diversas, de manera que formen

un compuesto”. Al igual que las variaciones y las permutaciones, el concepto

de combinación tiene un significado muy concreto en matemáticas:

brevemente, número de conjuntos de un determinado número de elementos

que se pueden formar con un universo de objetos, sin importar el orden de

selección, sino qué elementos se toman. (Wilhelmi, 2004, p.53).

33

MARCO REFERENCIAL

2.2.2.12 Combinaciones ordinarias o sin repetición.

Se llaman combinaciones ordinarias o sin repetición de "�" elementos, tomados

de � en �, denotaremos !�,, a los diferentes conjuntos de � elementos distintos,

esto es, un conjunto se diferencie de los demás en, al menos, un elemento (no

importa el orden de colocación o selección). (Wilhelmi, 2004, p.53). Se tiene que:

!�,# = "�,#

�#

= �!

�� − ��! ∙ �!

2.2.2.13 Combinaciones con repetición.

En palabras de (Wilhelmi, 2004) Se llaman combinaciones con repetición de un

número determinado de elementos, a las diferentes agrupaciones de � elementos

(indistinguibles o no), de tal forma que una agrupación se diferencie de las demás

en, al menos, un elemento (no importa el orden de colocación o selección) (p.56)

!��,& = � + !�,&

Debido a la confusión que en ocasiones se presenta para seleccionar el

método a utilizar en la solución de una determinada situación, se presenta un

resumen que ayudará a recordar las condiciones de orden, repetición y utilización

de todos elementos en la combinatoria.

34

MARCO REFERENCIAL

Resumen técnicas de conteo

¿Importa el

orden?

¿Se toman todos los

elementos?

¿Se repiten los

elementos? TECNICA

Si

No No Variaciones

Si/No Si Variaciones con

repetición

Si

No Permutaciones

Si Permutaciones con

repetición

No

No No Combinaciones

Si/No Si Combinaciones con

repetición

2.3 Marco Legal

En esta propuesta se mencionan algunas de las leyes dictadas por organismos

internacionales, nacionales, departamentales y regionales que avalan y

garantizan las condiciones de la educación en Colombia.

35

MARCO REFERENCIAL

2.3.1 Contexto Internacional.

La UNESCO (Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la

ciencia y la cultura) establece criterios que permiten garantizar el acceso de todas

las personas a la educación, entre los cuales se tienen:

● Extender y mejorar la protección y educación integral desde la primera

infancia especialmente para los niños más vulnerables y desfavorecidos.

● Velar porque sean atendidas las necesidades de aprendizaje de todos los

jóvenes y adultos mediante un acceso equitativo a un aprendizaje adecuado y

a programas de preparación para la vida activa.

● Promover un sólido compromiso político nacional e internacional con la

educación para todos, elaborar planes nacionales de acción y aumentar de

manera considerable inversión en educación básica.

● Aplicar estrategias integradas para lograr la igualdad entre los géneros en

materia de educación, basadas en el reconocimiento de la necesidad de

cambiar las actitudes, los valores y las prácticas.

2.3.2 Contexto Nacional.

Este trabajo tiene su fundamento en la enseñanza de las técnicas de conteo en

la educación media y es necesario hacer un recorrido legal que lo soporte.

Corte Constitucional(1991) dice en los artículos 67, 68 y 69 que la educación

es un derecho, además tiene una función social y busca el acceso al

conocimiento. Es enfática cuando menciona que el estado, la sociedad y la familia

son responsables de la educación.

ARTÍCULO 67. La educación es un derecho de la persona y un servicio

público que tiene una función social; con ella se busca el acceso al

conocimiento, a la ciencia, a la tecnología y a los demás bienes y valores de la

cultura.

36

MARCO REFERENCIAL

La educación formará al colombiano en el respeto a los derechos humanos, a

la paz y a la democracia; y en la práctica del trabajo y la recreación, para el

mejoramiento cultural, científico, tecnológico y para la protección del ambiente.

Corresponde al Estado regular, ejercer la suprema inspección y vigilancia de la

educación con el fin de velar por su calidad, por el cumplimiento de sus fines y

por la mejor formación moral, intelectual y física de los educandos; garantizar el

adecuado cubrimiento del servicio y asegurar a los menores las condiciones

necesarias para su acceso y permanencia en el sistema educativo. (p.36)

ARTÍCULO 68. “La enseñanza estará a cargo de personas de reconocida

idoneidad ética y pedagógica. La ley garantiza la profesionalización y dignificación

de la actividad docente” (p.36)

ARTÍCULO 69. El Estado fortalecerá la investigación científica en las

universidades oficiales y privadas y ofrecerá las condiciones especiales para su

desarrollo. (p.37)

Es por esto, que los docentes como servidores públicos somos responsables

de la educación de los niños, jóvenes y adolescentes de nuestro país,

preparándolos para enfrentarse a la vida laboral y al desarrollo científico.

Ministerio de Educación Nacional (2008) expresa en El Plan Decenal de

Educación, la voluntad educativa del país durante diez años (2006-2016), su

objetivo es el derecho a la educación para avanzar en las transformaciones que

Colombia necesita.

La normatividad del Plan Nacional Decenal está basada en la ley 1450 de junio

16 de 2011, en la ley 1151 de 2007, la ley 115 del 8 de febrero de 1994 (ley

general de educación) y otros decretos, circulares y directivas ministeriales.

Ley 115 (1994). Ley General de Educación, decreta al sistema de educación

nacional que debe cumplir una función social acorde con las necesidades,

intereses de las personas

37

MARCO REFERENCIAL

ARTICULO 1o. Objeto de la ley. “La educación es un proceso de formación

permanente, personal, cultural y social que se fundamenta en una concepción

integral de la persona humana, de su dignidad, de sus derechos y de sus

deberes” (p.1)

ARTICULO 27. Duración y finalidad. “La educación media constituye la

culminación, consolidación y avance en el logro de los niveles anteriores y

comprende dos grados, el décimo (10°) y el undécimo (11°). Tiene como fin la

comprensión de las ideas y los valores universales y la preparación para el

ingreso del educando a la educación superior y al trabajo” (p.9)

MInisterio de Educación Nacional(2009).Decreto 1290 de 2009decreta que los

estudiantes serán evaluados institucional, nacional e internacionalmente para

valorar su nivel de desempeño. Dentro de los propósitos de la evaluación está

identificar las características personales, ritmos y estilos de aprendizaje e

implementar estrategias pedagógicas para acompañar a los estudiantes que así

lo requieran.

2.3.3 Contexto Regional.

En el marco de “Antioquia la más educada” lema con el que se conoce al

departamento de Antioquia, se pretende dar solución a tres problemas

fundamentales que son:

� La desigualdad social,

� La violencia y

� La corrupción.

Antioquia la más Educada(2012). Para el ex gobernador Fajardo, la educación

es el segundo pilar para la trasformación y así lo demuestra cuando presenta los

38

MARCO REFERENCIAL

fundamentos del plan de desarrollo de Antioquia la más educada 2012 – 2015, en

la línea 2.

LÍNEA 2 – LA EDUCACIÓN COMO MOTOR DE TRANSFORMACIÓN DE

ANTIOQUIA

La línea 2 desarrolla los elementos centrales de nuestro plan de desarrollo,

plantea la educación como motor de transformación. Empezamos por definir

que entramos al mundo de la política con la certeza de que el eje de la

transformación de nuestra sociedad es la educación. Sin una educación de

calidad para todos, las desigualdades sociales están destinadas a

acrecentarse. En el departamento nuestra apuesta por la educación se verá

reflejada en el diseño y ejecución de programas y proyectos que respondan a

las necesidades particulares de cada subregión, con énfasis en los maestros y

maestras, y en una infraestructura acorde con las necesidades y prioridades de

cada subregión. La educación pública será una prioridad del gobierno.

Aprendimos que la educación debe entenderse en un sentido amplio que

trascienda los muros de los colegios. La Antioquia del siglo XXI debe ser la

Antioquia en donde todas las personas tengamos espacio en el mundo

maravilloso de la educación. Por eso vamos a construir Antioquia la más

educada, y en ella la cultura, el emprendimiento, la innovación, la ciencia y la

tecnología tienen espacios preponderantes.

Tenemos más retos: Al alcanzar los niveles de cobertura que tenemos en la

educación básica y media, la demanda por la educación superior y la formación

para el trabajo crece todos los días. Las nuevas generaciones, en todas las

regiones, reclaman una educación pertinente, de calidad. “Necesitamos crear

un verdadero sistema de educación superior en el departamento con núcleos

centrales que interactúen con los nodos regionales” (p.74)

39

DISEÑO METODOLÓGICO

3. Diseño Metodológico

3.1 Tipo de Investigación: Profundización de corte monográfico

En palabras de Moreira (1997), La monografía se presenta como un documento

académico de un tema específico, acompañado de un análisis crítico hecho por el

autor, además la investigación bibliográfica se organiza de forma integradora ya

que no puede quedar desarticulada como una compilación de artículos y

resúmenes sin sentido.

Esta propuesta monográfica de una secuencia didáctica pretende que los

estudiantes de media académica puedan construir nuevos conocimientos sobre el

pensamiento aleatorio en lo relacionado a la Combinatoria.

3.2 Método Según Alvarez de Zayas & Gonzales Agudelo(2002), el método es una serie de

pasos que se desarrollan a lo largo del aprendizaje. El método es problémico

(proceso científico) y se relaciona con el problema, el objetivo y el contenido. En él

se definen las acciones que ejecutan el estudiante para aprender a resolver

problemas y el investigador para enseñarlo. Las actividades muestran un

conocimiento para ser asimilado, una habilidad para ser desarrollada y un valor

para ser adquirido, sin embargo la solución de una actividad no garantiza el

desarrollo de la competencia, es el conjunto de éstas las que pueden potenciar las

competencias.

40404040

INDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALESINDICACIONES GENERALES

4. Secuencia Didáctica

4.1 Visión General: Esta secuencia didáctica pretende que los estudiantes de media académica

comprendan los conceptos básicos de la combinatoria; que los docentes

encuentren en ella la posibilidad de interactuar con los estudiantes desde la

discusión y la socialización y que el salón de clases sea un laboratorio de

conocimientos.

Las actividades propuestas guiarán a los estudiantes a solucionar cualquier

ejercicio o problema sobre combinatoria, diferenciando entre una permutación,

variación o combinación. Además podrán desarrollar una serie de actividades

que los conducirán a solucionar situaciones cotidianas involucradas con el azar y

que están presentes en el mundo biológico, físico, social y político, llevándonos

a utilizar términos o sinónimos de la palabra aleatoriedad de acuerdo a la

situación que estemos enfrentando.

Mediante situaciones ficticias pero enmarcadas en los mundiales de fútbol,

esta secuencia pretende enseñar el abanico de posibilidades que se presentan

en los problemas de combinatoria.

41414141


Es importante antes de iniciar con la primera actividad recordar algunos

conocimientos previos como: probabilidad, formula de Laplace, espacio

muestral, aleatoriedad, factorial de un número (que está ligado directamente a

la definición de permutación), diagramas de árbol, manejo de fracciones y

concepto de razón.

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

¿De cuantas formas diferentes puede vestirse

cada jugador de un equipo de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas y

5 camisetas?

PRINCIPIO DE ADICIÓN

¿De cuantas formas diferentes puede vestirse

cada jugador de un equipo de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas,

5 camisetas o 5 busos?

PERMUTACIÓN ORDINARIA

¿De cuántas formas diferentes podrían quedar los equipos de cuartos de

final del mundial de fútbol?

PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

¿De cuántas formas distintas podrían quedar los

continentes en cuartos de final del mundial de fútbol, sabiendo que 4 equipos son

sudamericanos, 3 son europeos y 1 es africano?

VARIACIONES ORDINARIAS

Pékerman dispone en la planilla de la selección Colombia de 7

volantes de la misma calidad y que pueden actuar

indistintamente en 4 puestos de ataque ¿Cuántos grupos de

volantes distintos podría organizar?

VARIACIONES CON REPETICIÓN

¿De cuántas formas distintas podrían quedar los continentes

como campeones y subcampeones del mundial de futbol, sabiendo que 2 equipos son asiáticos, 2 son europeos, 2 son sudamericanos y 2 son

africanos?

COMBINACIONES ORDINARIAS

¿De cuántas formas distintas podrían elegirse los tres

equipos ganadores sin que importe quien es el primero,

el segundo o el tercero en cuartos de final del mundial

de fútbol?

COMBINACIÓN CON REPETICIÓN

¿De cuántas formas distintas podrían quedar cuatro continentes en los dos

primeros puestos sin tener en cuenta quien queda de

campeón o subcampeón del mundial de futbol, sabiendo que cada continente cuenta

con dos equipos?

Los representantes de los 36 equipos del mundial de fútbol desean tener

un almuerzo y se sientan en una mesa redonda,

¿Cuál es la probabilidad de que tres

representantes queden contiguos?

42424242


El anterior diagrama muestra el derrotero a seguir durante el desarrollo de

la secuencia didáctica.

Cada una de las actividades consta de una pregunta sobre el mundial de

fútbol, pero antes de responderla deberán solucionar dos situaciones utilizando

material concreto. La solución de éstas ayudara a comprender y solucionar la

pregunta que orienta la enseñanza de la técnica de conteo. Si no es posible

solucionarla, el docente facilitador guiara una discusión hasta finalmente

encontrar la fórmula para solucionar cualquier ejercicio de este tipo.

Semana 1: Para la primera sesión de clase iniciaremos con dos preguntas; la

primera sobre el principio multiplicativo ¿De cuantas formas diferentes

puede vestirse cada jugador de un equipo de fútbol que tiene 3 pares de

guayos, 4 pantalonetas y 5 camisetas? y la segunda sobre el principio

aditivo ¿De cuantas formas diferentes puede vestirse cada jugador de un

equipo de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas, 5 camisetas

o 5 busos? Con estas dos preguntas se pretende que los estudiantes

encuentren diferencias entre uno y otro principio. Si observamos las dos

preguntas difieren sólo en los 5 busos que aparecen al final de la segunda

pregunta.

Semana 2: Para la segunda sesión de clase se plantea la pregunta: ¿De

cuántas formas diferentes podrían quedar los equipos de cuartos de final

del mundial de fútbol? Con la que se pretende entender la definición de

permutación. Es importante aclarar a los estudiantes que no es necesario

conocer los nombres de los equipos que entraran a cuartos de final, ya que lo

que se desea saber es el número de formas posibles en que ocho equipos

cualesquiera podrían quedar.

43434343


Semana 3: Esta semana inicia con una pregunta que presenta la misma

situación de la anterior, pero difiere en los continentes ¿De cuántas formas

distintas podrían quedar los continentes en los cuartos de final del mundial

de fútbol, sabiendo que 4 equipos son sudamericanos, 3 son europeos y 1

es africano? Al solucionar esta pregunta se pretende entender la definición de

permutación con repetición. En este caso la repetición la entendemos en los

equipos que pertenecen al mismo continente. Es importante aclarar que no

importa que equipo quede de primero, segundo etc., sino el continente.

Al finalizar esta semana los estudiantes podrán concluir que en las

permutaciones siempre intervienen todos los elementos, además siempre

importa el orden, pero que hay una diferencia en la repetición o no de los

elementos y es solo esto lo que diferencia si es una permutación ordinaria o con

repetición.

Semana 4: La pregunta de esta semana es: Pékerman dispone en la planilla

de la selección Colombia de 7 volantes de la misma calidad y que pueden

actuar indistintamente en 4 puestos de ataque. ¿Cuántos grupos de

volantes distintos podría organizar? Con ella se pretende aclarar la definición

de variación ordinaria.

Semana 5: Esta semana inicia con una pregunta que nos remite nuevamente a

mirar el campeonato por continentes. La pregunta entonces será ¿De cuántas

formas distintas podrían quedar los continentes como campeones y

subcampeones del mundial de fútbol, sabiendo que 2 equipos son asiáticos,

2 son europeos, 2 son sudamericanos y 2 son africanos? Solucionando esta

pregunta y después de realizar la situación concreta, podrán llegar a la

44444444


definición de Variación con repetición. Para este tipo de ejercicios de

manipulación de elementos, vamos a utilizar dos juegos de tarjetas con

números.

En esta técnica de conteo será oportuno hablar de las máquinas

tragamonedas que tienen tres ruedas con diferentes dibujos y otras

condiciones por tratarse de un negocio. El facilitador tendrá la oportunidad de

tratar asuntos éticos con sus estudiantes utilizando el pretexto de la técnica

de conteo. Después de explicar cómo funcionan las máquinas tragamonedas,

hablar por ejemplo de la ludopatía.

Al finalizar esta semana los estudiantes deberán diferenciar las variaciones

de las permutaciones, reconociendo además que siempre importa el orden en

ambas técnicas.

Semana 6: La pregunta para esta semana es ¿De cuántas formas distintas

podrían elegirse los tres equipos ganadores sin que importe quien es el

primero, el segundo o el tercero en los cuartos de final del mundial de

futbol? Con esta pregunta entramos en el estudio de la combinación ordinaria

y se resolverán algunos ejercicios que los ayudaran a diferenciarlos.

Semana 7: Ahora aprenderán sobre Combinación con repetición, para

resolver la pregunta debemos tener en cuenta que tenemos cuatro continentes

en cuartos de final del mundial de futbol, cada uno con dos equipos. Deben

averiguar ¿De cuántas formas distintas podrían quedar cuatro continentes

en los dos primeros puestos sin tener en cuenta quien queda de campeón o

subcampeón del mundial de futbol, sabiendo que cada continente cuenta

con dos equipos?

45454545


Semana 8: Finalmente aparece una pregunta que parte de la definición de

Laplace que usted recordó en los conocimientos previos, y luego analizar como a

partir de las técnicas de conteo se puede resolver la situación. La pregunta es:

Los representantes de los 36 equipos del mundial de fútbol desean tener

un almuerzo y se sientan en una mesa redonda, ¿Cuál es la probabilidad de

que tres representantes queden contiguos?

Al finalizar cada semana el docente facilitador hará una prueba individual en

la que los estudiantes deberán resolver algunas situaciones sobre técnicas de

conteo sin que se les mencione a cuál pertenecen. De esta manera podrá

verificar la comprensión o no de las mismas y podrá tomar decisiones al

respecto, tal vez retomando la explicación o resolviendo otros ejercicios.

Recuerde la evaluación no debe ser punitiva, solo se desea que ellos puedan

verificar su aprendizaje.

Los estudiantes al finalizar la semana 8, deberán diferenciar una técnica de

otras, además identificar si hay o no repetición de elementos, si se usa la

totalidad de ellos y si importa o no el orden. Con todo esto claro podrá resolver

la pregunta que se le plantea. Adicional a esto deberá poder resolver una serie

de ejercicios sin que se le mencione la técnica a la cual pertenece.

46464646


4.2 ALCANCE:

METAS DE COMPRENSIÓN ESTÁNDARES RELACIONADOS

-Tengo la capacidad de estructurar hipótesis que

explican diferentes fenómenos.

-Infiero y deduzco ideas al realizar ejercicios

concretos.

-Pongo a prueba mi capacidad para responder

preguntas.

-Constato lo aprendido con situaciones de mi

entorno.

-Descubro los fundamentos necesarios para el

estudio de la teoría de la probabilidad.

-Diferencio entre principio aditivo y multiplicativo

-Cuento puntos muestrales por medio de diagramas

de árbol y el principio de multiplicación.

-Reconozco las características de un experimento

aleatorio.

-Identifico el espacio muestral y distintos eventos

de experimentos aleatorios

-Adquiero las herramientas y habilidades necesarias

de las técnicas de conteo.

-Establezco y aplico las técnicas de conteo a través

de permutaciones, variaciones y combinaciones.

-Uso modelos (diagramas de árbol, por ejemplo)

para discutir y predecir posibilidad de ocurrencia

de un evento.

-Conjeturo acerca del resultado de un experimento

aleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas

de probabilidad.

-Comparo resultados de experimentos aleatorios

con los resultados previstos por un modelo

matemático probabilístico.

-Calculo probabilidad de eventos simples usando

métodos diversos (listados, diagramas de árbol,

técnicas de conteo).

-Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio

muestral, evento, independencia, etc.).

-Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias

físicas, naturales o sociales) para estudiar un

problema o pregunta.

-Interpreto conceptos de probabilidad condicional e

independencia de eventos.

-Resuelvo y planteo problemas usando conceptos

básicos de conteo y probabilidad (combinaciones,

permutaciones, espacio muestral, muestreo

aleatorio, muestreo con remplazo).

-Propongo inferencias a partir del estudio de

muestras probabilísticas.

47474747

GUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTEGUÍA DEL DOCENTE

4.3 ORIENTACIONES PARA EL DOCENTE

Con el desarrollo de la secuencia didáctica se pretende la comprensión y

diferenciación de la combinatoria mediante la manipulación de objetos

concretos enmarcados en una situación didáctica. De esta manera se propician

espacios para la argumentación de hipótesis, reflexión, discusión y responder

las preguntas guiadas.

Todas las preguntas giran alrededor del mundial de futbol Brasil 2014,

(situación que cada facilitador podrá modificar según le parezca). Para las

situaciones en concreto se entregaran diferentes materiales como pimpones de

colores, juegos de números del 0 al 9, tarjetas con nombres, dibujos, etc…, (el

facilitador puede imprimir los dibujos de cada guía de trabajo si lo considera

conveniente o utilizar otro material). Éstos permitirán que puedan ser

manipulados y así comprender mejor la situación, anotar en un cuaderno los

posibles arreglos y encontrar respuestas para luego generalizar la definición y

finalmente responder correctamente la pregunta inicial.

La pregunta se desarrollara en la primera sesión de la semana y en la

segunda se solucionaran problemas concernientes a este tema en particular que

les permita diferenciar a los estudiantes entre una y otra técnica de conteo,

además podrán observar cuando haya o no repeticiones, si se usan o no todos

los elementos y si importa o no el orden. Finalmente estas preguntas son las

que los guiaran a la comprensión de la formula precisa para cada ejercicio.

Usted hará las veces de facilitador en el desarrollo de la misma. Explicará a

los estudiantes cada pregunta en el momento que ellos lo requieran siempre y

48484848


cuando ellos hayan hecho una discusión de la misma. Entregará los materiales a

cada grupo de trabajo y observara los comportamientos y las discusiones que

se suscitan para luego hacer anotaciones en su cuaderno y de esta manera

mejorar la secuencia didáctica para una próxima aplicación.

Al finalizar la guía del docente encontrará anexos con tabla informativa de

los países clasificados al mundial Brasil 2014 anexo 1, cuadro para ser

diligenciado por el estudiante a partir del desarrollo de la segunda actividad

anexo 2 y cuadro resumen sobre las técnicas de conteo anexo 3.

La guía del docente está conformada por ocho actividades, las cuales

contienen en su diseño preguntas, explicaciones, definiciones y ejemplos para

resolver cualquier duda que se presente en el desarrollo de la misma. Además

de las soluciones a cada pregunta y situación que se presentan en las

actividades de la guía del estudiante.

Actividad # 1

Principio aditivo y multiplicativo

Al iniciar la secuencia didáctica usted pedirá a los estudiantes que se organicen

en mesa redonda y hará una serie de preguntas que no tendrán respuesta hasta

finalizada la secuencia. Con esta actividad los introducirá en el maravilloso

mundo de la combinatoria y de esta manera cada uno de ellos entenderá de qué

se trata la secuencia didáctica.

Las preguntas que orientaran esta conversación pueden ser entre otras:

� Si eligiéramos un grupo de tres de ustedes para conformar un comité dentro

del salón, sin tener en cuenta la importancia de cada uno de los miembros,

49494949


¿cuántos grupos diferentes aparecerían, sabiendo que éste grupo consta de

x cantidad de estudiantes?

� Bajo las mismas condiciones del grupo, si dentro del equipo de tres a elegir,

uno será llamado representante de grupo, otro suplente y el otro secretario,

¿De cuantas formas diferentes pueden ser elegidos los participantes del

grupo?

� Si deseamos conformar un equipo de futbol de 11 jugadores de los x

cantidad de hombres del grupo ¿de cuántas formas podría ser formado el

equipo?

� Si las x cantidad de niñas se sientan formando un círculo y cinco de ellas no

estuvieran dispuestas a separarse ¿de cuántas formas posibles podrían

sentarse todas las niñas?

� Sabiendo que están organizados de manera circular, ¿De cuántas maneras

podrían organizarse los x cantidad de estudiantes?

� Finalmente ¿les gusta el fútbol? ¿Quién recuerda los equipos participantes

en el mundial Brasil 2014 y a que continente pertenecen?

Durante la socialización de las preguntas usted puede orientarlos a

solucionarlas haciendo un grupo más pequeño de estudiantes y tomando los

roles descritos en cada pregunta. Es importante no mencionar ninguna técnica

en este primer ejercicio y dejar que sean ellos mismos quienes traten de

buscar soluciones a los interrogantes.

Después de escuchar sus comentarios y hacer las anotaciones pertinentes en

el tablero y en su cuaderno, entregue la siguiente tabla para que ellos la llenen

y se vayan familiarizando con el tema, pasado unos minutos la corregirán entre

todos y la terminaran. Debe ir consignada en sus cuadernos de clase.

50505050


PAISES CLASIFICADOS A BRASIL 2014

CONTINENTES

TOTAL PAISES POR CONTINENTE

51515151


Después de esta introducción usted dará inicio a la actividad diseñada como

número 1.

Con esta actividad se pretende que los estudiantes diferencien los principios

de adición y multiplicación resolviendo dos preguntas. Recuerde llevar los

dibujos o recortes de los elementos a manipular; en este caso guayos,

camisetas, busos y pantalonetas de diferentes colores.

Primera pregunta:

¿De cuantas formas diferentes puede vestirse cada jugador de un equipo

de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas y 5 camisetas?

Es claro que cada jugador debe salir al campo de juego con estas tres

prendas de vestir, lo que significa que debe usar: guayos y pantaloneta y

camiseta. La letra (y) se traduce en una multiplicación.

Vamos a nombrar los guayos con la letra G, las pantalonetas con la letra P y

las camisetas con la letra C, entonces

G y P y C

3 x 4 x 5 = 60 formas diferentes.

52525252


Este es el principio multiplicativo (se realiza un suceso y luego el otro); la

idea es que los estudiantes utilicen diferentes métodos para encontrar la

53535353


respuesta, como diagramas de árbol, dibujos o material concreto entre otros.

Al final se llegara a las conclusiones y se podrá definir el principio

multiplicativo.

Ahora se cambiara un poco el ejercicio, adicionándole camisetas de manga

larga llamados también busos.

Segunda pregunta:

¿De cuantas formas diferentes puede vestirse cada jugador de un equipo

de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas, 5 camisetas o 5

busos?

Los futbolistas deben elegir si salir con las camisetas o con los busos ya que

no pueden usar las dos cosas a la vez.

Acá nos encontramos con otra situación, cada jugador tiene que ponerse los

guayos y la pantaloneta obligatoriamente pero puede elegir entre la camiseta o

el buso, la letra (o) se traduce en suma.

Si designamos los busos con la letra B, el ejercicio se puede plantear así:

G y P y (C o B)

3 x 4 x (5 + 5) = 12 x 10 = 120 formas diferentes.

54545454


Al ejercicio anterior agregamos la misma secuencia pero con los busos, es

decir, se duplican las posibilidades.

Como observamos el hecho de usar una cosa o la otra significa que se deben

sumar las posibilidades y es acá donde se explica el principio de adición (se

realiza un suceso o el otro)

Posterior a esto se proponen algunos ejercicios en los que pueden utilizar las

dos definiciones aprendidas, después de analizar cada situación.

Respuestas actividad # 1

1. Hay 6 x 5 = 30 formas distintas. En este problema se espera que los estudiantes hagan la acción de encontrar los datos relevantes: seis puertas para entrar y sólo cinco para salir. Puede ser que hagan la acción de escribir todos los casos. Si ellos hacen el producto indicaría que ya interiorizaron dicha acción en un proceso.

2. Analicemos todos los casos

a. 4 x 8 x 3 x 2 = 192 coches distintos. Cuatro datos b. 4 x 3 x 2 = 24 coches azules. Tres datos c. 4 x 2 = 8 coches azules y motor V-8. Dos datos En este problema se espera que los estudiantes hagan la acción de seleccionar los datos relevantes para cada inciso: en el inciso Si únicamente pueden hacer acciones puede ser que escriban todos los casos. Si los alumnos hacen el producto indicaría que ya interiorizaron dicha acción en un proceso.

3. a. 26 x 26 x 26 = 263 = 17576 placas distintas. b. 26 x 26 = 262 = 676 placas que comienzan con B. c. 26 x 26 x 5 = 5 x 262 = 3380 placas que terminan con vocal. d. 25 x 24 = 600 placas que comienzan con B. e. 25 x 24 = 600 placas que terminan con B. f. 25 x 24 x 5 = 3000 placas que terminan con vocal. En este problema se espera que los alumnos hagan la acción de distinguir los incisos (a, b y c) donde se permite la repetición de letras, de los incisos (d, e, f) donde no se permite la repetición de letras. Además, la acción de fijar, según el inciso, si la primera o última letra cumplen determinada restricción: ser la letra B o ser vocal. Puede ser que los estudiantes hagan la acción de escribir todos los casos. Si ellos lo hacen el producto indicaría que ya interiorizaron la acción en un proceso.

4. 2 x 3 x 3 = 18 formas de llegar

55555555


Actividad # 2

Permutaciones

La pregunta con la que iniciaran la actividad es ¿De cuántas formas

diferentes podrían quedar los equipos de cuartos de final del mundial de

fútbol?

Recordemos que permutaciones son todas las distintas ordenaciones que

podemos hacer de todos los elementos de un conjunto, es decir, de cuantas

formas diferentes podemos ordenar todos los elementos de los que

disponemos. A este tipo de permutaciones se le conoce como permutación

ordinaria o sin repetición.

�� = �!.

Por lo que el resultado de la situación anterior es

�( = 8! = 8*7*6*5*4*3*2*1 = 40.320

Para introducir la definición se le entregará a cada grupo de estudiantes

tres pimpones de colores diferentes y una base con tres huecos en la que

podrán acomodarlos y que además puedan hacer distintas movimientos o

permutaciones. Pueden repetir el ejercicio con cuatro pimpones y luego con 5 si

es necesario.

La pregunta es:

¿De cuántas formas diferentes podemos ordenar tres pimpones de color rojo,

verde y azul? Es decir, cuántas permutaciones son posibles.

56565656


Deben anotar o dibujar en su cuaderno e intentar encontrar una generalidad

para resolver ejercicios de este tipo.

Antes de dar cualquier fórmula o respuesta, usted deberá llevar a los

estudiantes a que se pregunten ¿si se toman todos los elementos?, ¿si importa

el orden? y ¿si se repiten los elementos? Estas tres preguntas son las que

hacen la diferencia en las técnicas de conteo.

Se plantea una segunda actividad

Juan, María, Adriana y Tomas van al cine, ¿De cuántas formas distintas pueden

sentarse en una silla de cuatro puestos? Entregue a los estudiantes tarjetas

con los cuatro nombres para que ellos puedan moverlas y así encontrar la

respuesta correcta.

57575757


Pida a sus estudiantes que escriban o dibujen en sus cuadernos los

diferentes arreglos que encontraron.

Tomás Tomás Tomás Tomás Tomás Tomás

Adriana Adriana Juan Juan María María

María Juan Adriana María Juan Adriana

Juan María María Adriana Adriana Juan

Juan Juan Juan Juan Juan Juan

Adriana Adriana Tomás Tomás María María

María Tomás Adriana María Tomás Adriana

Tomás María María Adriana Adriana Tomás

Adriana Adriana Adriana Adriana Adriana Adriana

Tomás Tomás Juan Juan María María

María Juan Tomás María Juan Tomás

Juan María María Tomás Tomás Juan

María María María María María María

Adriana Adriana Juan Juan Tomás Tomás

Tomás Juan Adriana Tomás Juan Adriana

Juan Tomás Tomás Adriana Adriana Juan

58585858


La respuesta al ejercicio anterior es

�1 = 4! = 4*3*2*1 = 24.

Como en el ejercicio anterior, lleve a los estudiantes a hacerse las mismas

preguntas acerca del orden, total de elementos y su repetición.

Después de algunas discusiones y de que usted haga las respectivas

anotaciones en el tablero, se espera que los estudiantes lleguen a la conclusión

que lo que se hace es una multiplicación y luego se pasara a enseñar o recordar

la definición de número factorial. Finalmente se dará un tiempo para que ellos

solucionen la pregunta que los convoca.

Cuando esto ocurra deben realizar una serie de ejercicios que les ayudara a

interiorizar mejor el concepto, además se le entregara una tabla que ellos

deberán ir llenando a medida que responden cada pregunta, iniciando con la

actividad número 2. Es la misma información que ira en las conclusiones que

ellos deben llenar al finalizar la actividad.

Verifique que los estudiantes no inicien la siguiente actividad sin

comprender perfectamente el concepto anterior, para ello realice la prueba

individual.

Las permutaciones circulares son un caso particular de las permutaciones y

son agrupaciones de todos los elementos ordenados siempre de forma circular.

Se deben tener en cuenta las mismas condiciones de una permutación

ordinaria; es decir, entran todos los elementos pero no se repiten y hay orden.

La fórmula es

�!� = �� − 1�!

59595959



1. Sí entran todos los elementos. tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

P8 = 8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40 .320 formas

2. 4! = 24 maneras

En este problema se espera que los alumnos hagan la acción de separar las letras e de las otras

letras. Puede ser que hagan la acción de escribir todos los casos. Si los estudiantes hacen el

producto o factorial indicaría que ya interiorizaron la acción en un proceso.

3. a. 7! formas de ordenar los libros

b. 4! 3! formas de alterar las materias

c. 5! 3! formas de poner los libros de matemáticas discretas juntos.

d. 2! 4! 3! formas de poner los libros de matemáticas juntos y de algebra juntos.

e. 3! 4! formas de poner dos libros de álgebra a cada lado de los libros de matemáticas.

En este problema se espera que los alumnos sepan hacer la acción de distinguir el orden en que

van los libros: a veces juntos, otros alternados y otros de cualquier forma. Se espera que hagan

la acción de separar los libros de matemáticas de los de álgebra en los incisos que se necesite.

Puede ser que hagan la acción de escribir todos los casos. Si los alumnos hacen el producto

indicaría que ya interiorizaron dicha acción en un proceso.

4. Disponer de 10 jugadores que puedan ocupar 10 posiciones distintas

Si entran todos los elementos

Si importa el orden

No se repiten los elementos.

P 1 0 = 10! = 3628800

5. PC8 = P8-1 = (8-1)! = 7! = 5040

6. Si entran todos los elementos.

Si importa el orden

No se repiten los elementos

P5 = 5! = 120

60606060


Actividad # 3

Permutaciones con repetición

Ahora que los estudiantes entienden que es una permutación ordinaria, se

iniciara con la explicación de permutación con repetición que se da cuando

hacemos ordenaciones diferentes de todos los elementos de los que

disponemos pero algunos de ellos iguales. La pregunta es ¿De cuántas formas

distintas podrían quedar los continentes en los cuartos de final del mundial

de fútbol, sabiendo que 4 equipos son sudamericanos, 3 son europeos y 1

es africano?

Lo que se quiere saber en esta pregunta es cuáles son las posibilidades de

que cada continente quede de primero, segundo, hasta octavo sin importar el

país.

En este caso los cuatro equipos sudamericanos hacen las veces del pimpón

del mismo color.

La respuesta a la pregunta es

��4,3,1

8=

�(

4! 3! =

8!

4! 3!=

8*7*6*5*4!

4! 3*2*1= 8*7*5 = 280

Como en el ejercicio anterior, se resolverán dos ejercicios con material

concreto antes de responder el interrogante del mundial de futbol.

¿De cuántas formas diferentes podemos ordenar tres pimpones sabiendo que

dos de ellos son iguales?

61616161


Deben anotar o dibujar en su cuaderno e intentar encontrar una generalidad

para resolver ejercicios de este tipo.

��2

3=

�2

2! =

6

2= 3

Cuando los estudiantes encuentren la respuesta, el docente hará preguntas

para orientar la solución al cuestionamiento anterior. Si es necesario se

tomaran más pimpones y se repetirá el ejercicio.

Posterior a esto, se escribirán en el tablero todas las respuestas de los

estudiantes, las acertadas o incorrectas, y con esta información se hará una

discusión que debe conducir a resolver la pregunta central de la actividad.

Debe recordar llenar la tabla con la nueva información, sobre orden, número

de elementos y repetición.

62626262


Se realiza un segundo ejercicio

¿De Cuantas formas diferentes se pueden acomodar en un armario 2 chalinas

azules y 4 chalinas rojas?

Proponga a sus estudiantes diferenciar las chalinas con R1, R2, R3, R4, A1 y

A2, con bolas o rayas de colores. También puede llevar recortados los dibujos

de las chalinas con dos colores diferentes. Se les pide además que hagan todas

las posibles ordenaciones sin repetir una de ellas.

La respuesta correcta como lo indica el arreglo es;

��2,4

6=

�3

2! 4! =

6!

2! 4!=

6*5*4!

2! 4! =

6*5

2!=

30

2= 15

Recuerde las preguntas claves y llenar el cuadro resumen.

Se proponen algunos ejercicios para fijar mejor el nuevo conocimiento.

63636363


Respuestas actividad #3

1. Hay 9 elementos pero algunos repetidos. Sí entran todos los elementos, sí importa el orden, sí se repiten los elementos

��3,4,2

9=

9!

3! 4! 2! =

9!

3! 4! 2!=

9*8*7*6*5*4!

3! 4! 2! =

9*8*7*6*5

3*2*2= 9*4*7*5 = 1260

2. Sí entra todos los elementos, sí importa el orden, sí se repiten los elementos

��3,2,1

6=

6!

3! 2!=

6*5*4*3!

2! 3! =

6*5*4

2!=

120

2= 60

3. Si tenemos 18 elementos 1 se repite 7 veces 1 se repite 6 veces 1 se repite 3 veces, se deduce que: 1 se repite 1vez y 1 se repite 1 vez

Podemos observar que: Sí entran todos los elementos, sí es importante

el orden, sí se repiten los elementos

��7,6,3

18=

18!

7! 6! 3!=

18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7!

7! 6*5*4*3*2*1*3*2=

18*17*16*15*14*13*11*2 = 294.053.760

4. Debe tener presente que si están sentados en una mesa redonda es una permutación circular. Por lo tanto verificamos las condiciones de una permutación ordinaria pero la formula cambia. Sí entran todos los elementos, sí importa el orden, no se repiten los elementos Por lo tanto

�!� = �� − 1�!

�!3 = �6 − 1�! = 5! = 5*4*3*2*1 = 120

64646464


Actividad # 4

Variaciones

Al desarrollar esta actividad los estudiantes aprenderán que una variación es

cada una de las ordenaciones diferentes que podemos hacer tomando un

número determinado del total de los elementos de los que disponemos en el

conjunto y donde importa el orden de estos arreglos.

"�

�=

�!

�� − ��!

m = número total de elementos

n = número de elementos en los grupos

m ≥ n

La pregunta que deberán resolver es Pékerman dispone en la planilla de la

selección Colombia de 7 volantes de la misma calidad y que pueden actuar

indistintamente en 4 puestos de ataque. ¿Cuántos grupos de volantes

distintos podría organizar?

"4

7=

7!

�7 − 4�! =

7!

3!=

7*6*5*4*3!

3! = 7*6*5*4 = 840

Para entender y responder la pregunta, invite a los estudiantes a resolver

dos situaciones con material concreto.

Primera situación:

¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y

5 sin repetir ninguno de ellos?

Se entregarán 5 tarjetas con los números

65656565


Como en los ejercicios anteriores los estudiantes deberán observar, anotar

o dibujar si es necesario.

Estos son todos los arreglos posibles

"2

5=

5!

�5 − 2�! =

5*4*3!

3!= 5*4 = 20

Segunda situación:

¿De cuántas maneras distintas podrán ser elegidos Isabel, Tomás, David y

María para los cargos de presidente, vicepresidente, contador y fiscal?

Observamos que la cantidad de elementos es igual a los grupos que se toman.

1 2 3 4 5

1 2 1 3 1 4 1 5

2 1 2 3 2 4 2 5

3 1 3 2 3 4 3 5

4 1 4 2 4 3 4 5

5 1 5 2 5 3 5 4

66666666


PRESIDENTE VICEPRESIDENTE CONTADOR FISCAL

Isabel Tomás David María

Isabel Tomás María David

Isabel David Tomás María

Isabel David María Tomás

Isabel María Tomás David

Isabel María David Tomás

Tomás Isabel María David

Tomás Isabel David María

Tomás David María Isabel

Tomás David Isabel María

Tomás María David Isabel

Tomás María Isabel David

David Tomás María Isabel

David Tomás Isabel María

David María Tomás Isabel

David María Isabel Tomás

David Isabel Tomás María

David Isabel María Tomás

María Tomás Isabel David

María Tomás David Isabel

María Isabel Tomás David

María Isabel David Tomás

María David Isabel Tomás

María David Tomás Isabel

67676767


"4

4=

4!

�4 − 4�! =

4!

0!=

4!

1= 4*3*2*1 = 24

Recordar que por definición

0! = 1

Es el momento de responder la pregunta del mundial de futbol.

Al finalizar el ejercicio, pida a los estudiantes respondan las preguntas de

rigor sobre orden, cantidad de elementos y repetición. Además, escriban en

sus cuadernos las diferencias que ha encontrado con las técnicas anteriores,

posterior a esto pídales que llenen la tabla y finalmente que resuelvan los

ejercicios propuestos para este concepto.


1. Hay 5 elementos pero sólo entran de 4 en 4,

Si importa el orden, ya que los números 123, 231 y 321 son diferentes.

No se repiten los elementos, el enunciado pide que las cifras sean diferentes.

"4

5=

5!

�5 − 4�! =

5*4*3*2*1

1= 5*4*3*2 = 120

2. No entran todos los candidatos, sólo 3.Si importa el orden. No se repiten los

elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.

"3

10=

10!

�10 − 3�! =

10*9*8*7!

7!= 10*9*8 = 720

3. No entran todos los elementos, lo hacen de 3 en 3.

Si hay orden, no es lo mismo tener la medalla de oro que la de plata.

No se repiten los elementos, no se puede tener al mismo tiempo dos medallas

"3

5=

5!

�5 − 3�! =

5*4*3*2!

2!= 5*4*3 = 60

68686868


Actividad # 5

Variación con repetición

La diferencia con la actividad anterior, es que ahora se pueden repetir

elementos. En nuestra pregunta ¿De cuántas formas distintas podrían quedar

los continentes como campeones y subcampeones del mundial de fútbol,

sabiendo que 2 equipos son asiáticos, 2 son europeos, 2 son sudamericanos

y 2 son africanos? Deben analizar que no importa que equipos participan,

todos los que pertenecen a un mismo continente se consideran como iguales.

Entonces se tendrán en cuenta solo 4 elementos que son: Asía, Europa,

Sudamérica y África.

"� �

�= ��

"� 2

4= 4& = 16

Primera situación:

¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4?

Tomemos dos juegos de números de 1 al 4, para poder repetir los números.

69696969


Se les pide que hagan agrupaciones de dos en dos elementos, además que

tengan en cuenta que aunque aparecen dos juegos de números solo vamos a

tener en cuenta un juego, es decir 4 elementos.

"� 2

4= 4& = 16

Segunda situación:

¿Cuántos grupos de 2elementos podemos formar con los 5 primeros polígonos

regulares?

70707070


Al igual que en la situación anterior se pide que agrupen los elementos de dos

en dos y que repitan cada uno de los elementos.

La siguiente es la agrupación que resulta,

"� 2

5= 5& = 25

Recuerde hacer las preguntas acostumbradas sobre orden, repetición y

cantidad de elementos, además anotar las conclusiones y llenar la tabla de

Combinatoria.

Se pide que resuelvan cada una de las situaciones para que fijen más su

aprendizaje.

71717171



1. No entran todos los elementos. De 5 dígitos sólo entran 3. Si importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. Si se repiten los elementos.

"� 3

5= 52 = 125

2. Usted puede realizar un diagrama de árbol para que le muestre a los estudiantes como se forman las letras.

Se repiten los elementos ya que solo hay dos símbolos, sí hay orden y en este caso se utilizan todos los elementos. Como vemos en el grafico

"� 4

2= 21 = 16

3. Se repiten los elementos, solo es cara o sello. Hay orden, no el mismo (cara, sello) que (sello, cara). Se utilizan todos los elementos

"� 7

2= 25 = 128

4. Se repiten todos los elementos: (a, a).

Hay orden: (a, b) es diferente a (b, a)

No se utilizan todos los elementos, de 5 vocales solo entran 2.

"� 2

5= 5& = 25

72727272


Actividad # 6

Combinación ordinaria

A los distintos grupos de elementos de un conjunto que se pueden formar con

diferentes elementos del conjunto, sin tener en cuenta el orden en que estos

grupos se conformen se le denomina combinación ordinaria o sin repetición.

!�

�=

"�

��

Operando

!�

�=

"�

��

=

6!

�67��!

�!=

�!

�! �� − ��!

¿De cuántas formas distintas podrían elegirse los tres equipos ganadores

sin que importe quien es el primero, el segundo o el tercero en cuartos de

final del mundial de fútbol?

!3

8=

8!

3! �8 − 3�!=

8!

3! 5!=

8*7*6*5!

3*2*5!= 8*7 = 56

Primera situación:

En un torneo de baloncesto hay cinco equipos, ¿cuántos partidos se jugaran, si

juegan todos contra todos?

Acá se toman grupos de dos en dos, tenga en cuenta que un conjunto se

diferencia de los demás en, al menos un elemento sin importar el orden.

73737373


El equipo verde se enfrentara a los cuatro equipos restantes, es decir 4

partidos; así.

El equipo Azul se enfrentara con tres equipos restantes, dado que ya se

enfrentó al verde, es decir, 3 partidos. Así

74747474


El equipo Amarillo se enfrentara con dos equipos restantes, dado que ya se

enfrentó al verde y al azul, es decir 2 partidos. Así

El equipo Rojo se enfrentara con el equipo restante, dado que ya se enfrentó

a todos los demás, es decir un solo partido. Así

La respuesta a la situación es

!2

5=

"2

5�&

=5*4

2!=

20

2= 10

75757575


Segunda situación:

En una discotienda hay 7 CD de mi preferencia pero solo tengo dinero para

comprar tres, ¿el número de formas posibles de elegir los tres CD de los siete

posibles es?

!3

7=

"3

7�2

=7*6*5

3!=

210

6= 35

Ahora se procede con la actividad complementaria

76767676



1. No entran todos los elementos,

no importa el orden,

no se repiten los elementos.

!3

35=

35!

3! �35 − 3�!=

35*34*33*32!

3*2*1 �32!�=

35*17*11

1= 6545

2. No entran todos los elementos

No importa el orden. No se repiten los elementos.

Otra manera de plantearlo

!3

7=

"3

7�2

=7*6*5

3!=

210

6= 35


No importa el orden


!2

10=

10!

2! �10 − 2�!=

10*9*8!

2! �8�!=

10*9

2= 45


No importa el orden


!6

45=

45!

6! �45 − 6�!=

45*44*43*42*41*40*39!

6*5*4*3*2*1�39�!=

15*44*43*41*7

1

= 8.145.060

77777777


Actividad # 7

Combinación con repetición.

Son cada una de las distintas agrupaciones que podemos hacer tomando

todos o un número determinado del total de los elementos de los que

disponemos en el conjunto, donde no importa el orden de estas ordenaciones y

se repiten los elementos.

!��

�=

�� + � − 1�!

�! �� − 1�!

¿De cuántas formas distintas podrían quedar cuatro continentes en los dos

primeros puestos sin tener en cuenta quien queda de campeón o

subcampeón del mundial de fútbol, sabiendo que cada continente cuenta

con dos equipos?

Como es claro un equipo no puede ser a la vez campeón y subcampeón,

entonces la pregunta plantea q hay dos equipos por continente lo que significa

que en un continente puedo encontrar los dos mejores lugares, es decir, los

elementos que se toman son los cuatro continentes pero de dos en dos.

Si nombramos los continentes como:

C1, C2, C3 y C4 entonces las agrupaciones serán:

C1, C1 C2, C2 C3, C3 C1, C4

C1, C2 C2, C3 C3, C4

C1, C3 C2, C4 C4, C4

!�2

4=

�8 + 2 − 1�!

2! �8 − 1�!=

5!

2! 3!=

5*4*3!

2*3!= 5*2 = 10

78787878


Primera situación:

En una heladería ofrecen helados de cinco sabores diferentes, tres niñas

entran a la heladería y pueden pedir el tipo de helado que desean. En la carta

de posibilidades podemos encontrar que las tres pidan el mismo, dos de ellas el

mismo o cada una de ellas diferentes entre sí.

¿De cuántas formas diferentes la persona que atiende podría servir 3 conos de

sabores diferentes, sin importar en qué orden sirve los tres helados?

!�3

5=

�5 + 3 − 1�!

3! �5 − 1�!=

7!

3! 4!=

7*6*5*4!

3*2*4!= 7*5 = 35

79797979


Segunda situación:

En una bodega hay 4 diferentes tipos de botellas, ¿De cuántas formas se

pueden elegir 3 botellas?

!�3

4=

�4 + 3 − 1�!

3! �4 − 1�!=

6!

3! 3!=

6*5*4*3!

3! *3*2= 5*4 = 20

80808080



Revise las preguntas sobre orden, número de estudiantes y repetición y aplíquelo a cada situación

1. Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos

los pasteles y podemos repetir, son combinaciones con repetición.

!�4

6=

�6 + 4 − 1�!

4! �6 − 1�!=

9!

4! 5!=

988878685!

483828185!= 98287 = 126

2. Los dados se tiran simultáneamente, no importa el orden en que caigan. El seis aparece ya que es el la cara más grande del dado.

!�3

6=

�6 + 3 − 1�!

3! �6 − 1�!=

8!

3! 5!=

8878685!

3828185!= 887 = 56

3. !�4

10=

�9:;179�!

1!�9:79�!=

92!

1!<!=

92=9&=99=9:=<!

1=2=&=<!= 13*11*5 = 715

4. !�6

9=

�<;379�!

3!�<79�!=

91!

3!(!=

91=92=9&=99=9:=<=(!

3=>=1=2=&=(!=

91=92=99=&=2

1= 3003

81818181


Actividad # 8

Los representantes de los 36 equipos del mundial de futbol desean tener

un almuerzo y se sientan en una mesa redonda, ¿Cuál es la probabilidad de

que tres representantes queden contiguos?

Al inicio de la secuencia usted realizó un trabajo sobre conocimientos

previos, en el que recordó y explicó la definición de Laplace sobre probabilidad,

ésta y otras definiciones son importantes para solucionar la pregunta que nos

convoca.

�� = �� ?��

��

Debemos saber en el ejercicio cuales son los casos favorables y los casos

totales. Para ello debemos acudir a la combinatoria y analizar la situación.

El problema dice que son 36 personas sentadas en una mesa redonda, esta

situación debe remitirlos a una permutación circular. Así:

�!� = �� − 1�!

�!23 = �36 − 1�! = 35!

35! son los casos totales. Ahora la situación también menciona que hay tres

representantes que quedan contiguos, es decir, que no se separan, entonces

ellas son tomadas como un solo representante, por lo tanto es como si hubiera

34 personas, luego debemos hallar la nueva permutación de 34, así:

�!21 = �34 − 1�! = 33!

82828282


Ahora hay otro escenario por analizar; los tres representantes también se

mueven entre sí, ya que el ejercicio no plantea que no lo hagan. Entonces hay

una nueva permutación de tres elementos pero con el agravante que ellos no se

cuentan como si estuvieran sentados en un círculo, ahora los analizamos en una

fila, por lo que se debe hallar la permutación de 3, es decir 3!; así:

�� = �!

�2 = 3!

Como estas dos permutaciones ocurren simultáneamente, se aplica el

principio de la multiplicación; así:

3! *33!

Este resultado será los casos favorables. Entonces la probabilidad es:

�� =3! * 33!

36!=

3! 33!

36*35*34*33!=

3*2

36*35*34

=1

6*35*34=

1

7.140

Después de realizar este ejercicio se proponen nuevas situaciones en los

cuales deberán determinar la técnica de conteo y resolver.

83838383



1. ��6,3,5

14=

@AB

3!2!>! =

91=92=9&=99=9:=<=(=5=3!

3!=2=&=>=1=2=&= 7*13*11*3*8*7 = 168.168

2. ��3,1,1,1,1,1

8=

@C

2! =

(!

2!=

(=5=3=>=1=2!

2! =

(=5=3=>=1

9= 6720

3. !10

8=

9:!

(!�9:7(�!=

9:!

(!&!=

9:=<=(!

(!=&= 5*9 = 45

4. �> = 5! = 5*4*3*2*1 = 120

5. "4

7=

5!

�572�! =

5!

1!=

5=3=>=1!

1! = 7*6*5 = 210

6. !14

4=

91!

1!�9171�!=

91=92=9&=99=9:!

1=2=&=9:!=

5=92=99

9= 1.001

!8

4=

8!

4! �8 − 4�!=

8*7*6*5*4!

4! 4!=

8*7*6*5*4!

4! *4*3*2= 7*2*5 = 70

!14

4− !

8

4= 1001 − 70 = 931

84848484


ANEXOS GUÍA DEL DOCENTE

ANEXO 1:

PAISES CLASIFICADOS A BRASIL 2014

AFRICA ASIA EUROPA C AMÉRICA S. AMÉRICA

Argelia Australia Alemania Costa Rica Argentina

Camerún Corea Sur Bélgica USA Brasil

C. de Marfil Irán Bosnia Honduras Chile

Ghana Japón Croacia México Colombia

Nigeria España Ecuador

Francia Uruguay

Grecia

Inglaterra

Italia

Países Bajos

Portugal

Rusia

Suiza

5 4 13 4 6

85858585


ANEXO 2:

TIPO DE

COMBINATORIA

¿Se toman

todos los

elementos?

¿Importa el

orden?

¿Se repiten

elementos?

FÓRMULA

PERMUTACIÓN

ORDINARIA

PERMUTACIÓN

CON REPETICIÓN

VARIACIÓN

ORDINARIA

VARIACIÓN CON

REPETICIÓN

COMBINACIÓN

ORDINARIA

COMBINACIÓN

CON REPETICIÓN

86868686


ANEXO 3:

Tipo de

combinatoria

¿Se toman todos los

elementos?

¿Importa el

Orden?

¿Se repiten

elementos?

Fórmula

Permutación

Ordinaria

Si Si No Pn = n !

Permutación

con

Repetición

Si

Si

Si

��, �, , …

�=

��

�!.∙ �! ∙ !

Variación

Ordinaria

No Si No "�

�=

�!

�� − ��!

Variación con

repetición

Si / No

Si � D �

Si Si "� �

�= ��

Combinatoria

ordinaria

No

No

No !

�

�=

"�

��

Combinatoria

con

repetición

Si / No

No

Si

!��

�=

�� + � − 1�!

�! �� − 1�!

87878787

GUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTEGUÍA DEL ESTUDIANTE

4.4 GUIA DE ACTIVIDADES PARA EL ESTUDIANTE

Actividad # 1 PRINCIPIO DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN

Materiales: Dibujos, fotografías o láminas de las diferentes prendas de vestir

¿De cuantas formas diferentes puede vestirse cada jugador de un equipo de fútbol que tiene 3 pares de

guayos, 4 pantalonetas y 5 camisetas?

¿De cuantas formas diferentes puede vestirse cada jugador de un equipo de fútbol que tiene 3 pares de guayos, 4 pantalonetas, 5 camisetas o 5 busos?

Situación 2:

Ahora observe las nuevas prendas, interprete la siguiente pregunta y haga el mismo proceso de la solución anterior.

Situación 1:

Manipule los dibujos de las prendas de vestir y trate de resolver la anterior pregunta. Registre en su cuaderno algunas de las posibles respuestas que encuentre y los métodos que utilizó para ello. Puede dibujar o buscar algunas siglas que representen cada prenda de vestir.

88888888


Después de analizar las dos soluciones y encontrar las respuestas a los

interrogantes, escriba sus conclusiones

P E N S A R

1. Una tienda tiene seis puertas. ¿De cuántas maneras es posible entrar por una puerta y salir por otra?

2. Los coches marca A se producen en cuatro modelos, de ocho colores, tres potencias de motor y dos tipos de transmisión. a. ¿Cuántos coches distintos pueden fabricarse?

b. ¿Cuántos coches distintos de color azul se pueden fabricar?

c. ¿Cuántos coches distintos de color azul y potencia de motor V-8 pueden fabricarse?

3. Las placas de los carros en una ciudad son de tres letras. Si se usa el alfabeto de

veintiséis letras y se permiten las repeticiones, a. ¿cuántas placas distintas hay? b. ¿Cuántas placas comienzan con la letra B? c. ¿Cuántas terminan con una vocal?

Si no se permiten las repeticiones, d. ¿cuántas placas comienzan con la letra B? e. ¿Cuántas terminan con la letra B? f. ¿Cuántas terminan con vocal?

4. Una persona de la ciudad de México desea visitar un rancho que se encuentra en un municipio del estado de Oaxaca, pero él antes desea conocer cuáles son las alternativas que tiene para poder transportarse. Si para ir de la ciudad de México al estado de Oaxaca se puede ir en avión o en autobús, después para ir al municipio se podría trasladar en taxi, camioneta o moto taxi, posteriormente como el rancho está a 10 minutos del municipio, él podría llegar al rancho en bicicleta, motocicleta o en caballo. ¿De cuantas maneras podrá llegar al rancho?

Curiosidades…

Logitech estima que la probabilidad de que un control remoto perdido este entre los

cojines de un sofá es de un 50%.

89898989


Actividad # 2 PERMUTACIONES ORDINARIAS

Antes de responder al interrogante, resuelva las siguientes situaciones con

material concreto, esto le ayudará a hallar la solución.

¿De cuántas formas diferentes podrían quedar los equipos de cuartos de final del mundial de futbol?

Situación 1:

¿De cuántas formas diferentes

podemos ordenar tres pimpones

de colores diferentes?

Materiales: Tres pimpones de

colores diferentes

Situación 2:

Juan, María, Adriana y Tomás van al cine, ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse en una silla de cuatro puestos?

Materiales: Cuatro tarjetas con los nombres

Juan María

Adriana Tomás

90909090


1. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

2. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse las letras a,b,c,d,e,e,e,e,e de forma que ninguna letra e sea adyacente a otra?

3. Un profesor de matemáticas tiene 7 libros en su biblioteca. 3 son de matemáticas discretas y 4 de algebra superior.

a. ¿De cuántas formas puede ordenar los libros si no hay restricciones?

b. ¿Si se deben alternar las materias?

c. ¿Si todos los libros de matemáticas discretas deben estar juntos?

d. ¿Si todos los libros de algebra superior deben estar juntos y los de matemáticas

discretas también?

e. ¿Si los libros de matemáticas discretas deben colocarse de forma que tengan dos

libros de algebra superior a cada lado?

4. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de futbol

teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

5. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 8 personas alrededor de una mesa

redonda?

6. ¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?

Curiosidades…

El matemático y médico italiano Gerolamo Cardono (1501-1576), fue un aficionado a

los juegos de azar, y aunque estos le trajeron ciertos problemas, gracias a su experiencia con ellos, escribió uno de los primeros libros de probabilidad, el Liber de ludo aleaeel cual ofreció la primera

aproximación sistemática a la teoría de la probabilidad.

P E N S A R

91919191


Actividad # 3 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Situación 1:

¿De cuántas formas diferentes podemos ordenar tres pimpones sabiendo que dos de ellos son iguales? Es decir, cuántas permutaciones son posibles.

Materiales: tres pimpones, dos de ellos con el mismo color

Situación 2:

¿De Cuantas formas diferentes se pueden acomodar en un armario 2 chalinas azules y 4 chalinas rojas?

¿De cuántas formas distintas podrían quedar los continentes en cuartos de final del mundial de fútbol, sabiendo que 4

equipos son sudamericanos, 3 son europeos y 1 es africano?

92929292


1. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4 ¿Cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

2. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y una verde. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las seis banderas?

3. Se debe formar un grupo de 18 elementos. Un elemento se repite 7 veces, otro se repite 6 y otro 3 veces. ¿De cuántas formas se pueden agrupar los elementos?

4. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 6 personas en una mesa redonda?

Curiosidades…

Sabías que la estadística es una ciencia que permite conocer mucho mejor a una sociedad, por ejemplo,

permite determinar cuántas personas viven en un país, cuál es la tasa de desempleo, cuál es la tasa de indigencia o pobreza, cuál es el

nivel promedio de educación de dicha sociedad, etc. Datos que

posteriormente pueden ser utilizados por los distintos

organismos del Estado para realizar proyectos que permitan mejorar esa situación o mantenerla en el caso de

que sea buena.

P E N S A R

93939393


Actividad # 4 VARIACIONES ORDINARIAS

Pékerman dispone en la planilla de la selección Colombia de 7 volantes de la misma calidad y que pueden actuar

indistintamente en 4 puestos de ataque. ¿Cuántos grupos de volantes distintos podría organizar?

Situación 1:

¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y 5 sin repetir ninguno de ellos?

Materiales: 5 tarjetas con los números del 1 al 5

Situación 2:

¿De cuántas maneras distintas podrán ser elegidos Isabel, Tomás, David y María para los cargos de presidente, vicepresidente, contador y fiscal?

Materiales: Tarjetas con los nombres

Tomás

David

María

Isabel

94949494


1. ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos impares, sin repetir ninguno de ellos?

2. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿cuántos cuadros de honor se pueden formar?

3. En una carrera de 100 metros, cinco atletas (A,B,C,D,E) se disputan las medallas de oro,

plata y bronce, ¿Cuántas clasificaciones distintas para la obtención de medallas se pueden

presentar?

Curiosidades…

Sabías que el número de posibilidades que tiene una persona

para escoger los seis números ganadores del Baloto es de

8´145.060, es decir, la probabilidad de ganarse el baloto es de 0,00000012 (1/ 8´145.060). Deberá invertir 44.797 millones

830 mil pesos y hacer las operaciones de compra de los

boletos en menos de dos segundos. ¿Quiere seguir jugando?

P E N S A R

95959595


Actividad # 5 VARIACIONES CON REPETICIÓN

Situación 1:

¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4?

Materiales: 2 juegos de tarjetas con números

Debes tener presente que aunque se presentan dos juegos de números idénticos del 1 al 4, sólo hay cuatro elementos que se presentan repetidos para poderlos utilizar en la combinación, es decir, el número 11 es válido en las variaciones con repetición.

¿De cuántas formas distintas podrían quedar los continentes como campeones y subcampeones del mundial de futbol,

sabiendo que 2 equipos son asiáticos, 2 son europeos, 2 son sudamericanos y 2 son africanos?

Situación 2:

¿Cuántos grupos de 2elementos podemos formar con los 5 primeros polígonos regulares?

Materiales: 2 juegos de polígonos regulares

96969696


1. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5? � = 5, � = 3

2. El alfabeto Morse utiliza únicamente dos símbolos “.” y “_”. Cada letra de nuestro alfabeto se codifica mediante un grupo de estos símbolos. ¿Cuántas letras distintas se pueden conseguir mediante cuatro símbolos morse?

3. Si lanzamos una moneda 7 veces consecutivas y anotamos el resultado (cara, sello) en el orden en el que aparecen. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?

4. Con las vocales, ¿Cuántas variaciones con repetición de orden 2 se pueden conseguir?

Curiosidades…

Hay dos tipos de máquinas tragamonedas: las digitales que tienen un computador dentro,

vienen pre-programadas por los dueños de los casinos para ganar

cada tanto tiempo. Y las mecánicas en las que la

probabilidades son directamente proporcionales al número de

ranuras (22) por carrete, Las probabilidades de ganar el

premio gordo (7 7 7 7) son de

( 1 / 235.000), pero las muescas siempre están bloqueadas y

caerán otros premios de menos valor.

P E N S A R

97979797


Actividad # 6 COMBINACIONES ORDINARIAS

¿De cuántas formas distintas podrían elegirse los tres equipos ganadores sin que importe quien es el

primero, el segundo o el tercero en cuartos de final del mundial de fútbol?

Situación 1:

En un torneo de baloncesto hay cinco equipos, ¿cuántos partidos se jugaran, si juegan todos contra todos?

Situación 2:

En una discotienda hay 7 CD de mi preferencia pero solo hay dinero para comprar tres, ¿el número de formas posibles de elegir los tres CD de los siete posibles es?

98989898


1. En una clase de 35 estudiantes se quiere elegir un comité formado por 3 estudiantes. ¿cuántos comités diferentes se pueden formar?

2. ¿De cuántas formas pueden mezclar los 7 colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos, ¿cuántos saludos se han intercambiado?

4. ¿Cuántas posibilidades tiene una persona de acertar el premio mayor del juego del Baloto, sabiendo que las posibilidades son del número 1 al 45?

P E N S A R

Curiosidades…

Sabías que el origen de la estadística se remonta a los comienzos de la

historia. En los antiguos monumentos egipcios se han encontrado

documentos según los cuales, a partir del año 3050 a. de C, se llevaban cuentas de los movimientos de

población y continuamente hacían censos, bajo la dirección del faraón.

Por ejemplo en China, Confucio en uno de sus clásicos Shu-King escribió

hacia el año 550 a. de C, cómo el rey Yao, ordenó hacer una estadística

agrícola, industrial y comercial.

99999999


Actividad # 7 COMBINACIONES CON REPETICIÓN

Situación 1:

En una heladería ofrecen helados de cinco sabores diferentes, tres niñas entran a la heladería y pueden pedir el tipo de helado que desean. En la carta de posibilidades podemos encontrar que las tres pidan el mismo, dos de ellas el mismo o cada una de ellas diferentes entre sí.

¿De cuántas formas diferentes la persona que atiende podría servir 3 conos de sabores diferentes, sin importar en qué orden sirve los tres helados?

Situación 2:

En una bodega hay 4 diferentes tipos de botellas,

¿De cuántas formas se pueden elegir 3 botellas?

¿De cuántas formas distintas podrían quedar cuatro continentes en los dos primeros puestos sin tener en cuenta quien queda de campeón o subcampeón del mundial de futbol,

sabiendo que cada continente cuenta con dos equipos?

100100100100


1. En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?

2. Lanzamos sobre una mesa 3 dados iguales y observamos su puntuación. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?

3. ¿De cuántas maneras se puede repartir 10 caramelos a 4 niños?

4. 6 amigos entran a un café que ofrece 9 tipos distintos de cafés, ¿De cuántas formas diferentes el mesero podría servir los 6 cafés?

Curiosidades…

Sabías que la probabilidad de

que te caiga un rayo encima es

de 1 entre 4,3 millones en un

año, incluso es más probable

que se caiga un avión mientras

vuelas de un lugar a otro a que

te caiga un rayo.

P E N S A R

101101101101


Actividad # 8

1. ¿De cuántas formas podemos ordenar en una estantería 6 libros verdes, 3 negros y cinco amarillo?

2. ¿Cuántas palabras de 8 letras podemos formar con las letras de la palabra ELEFANTE?

3. Un alumno debe responder a 8 de 10 preguntas de un examen ¿De cuántas maneras puede escoger?

4. ¿Cuántos números de cinco cifras podemos formar sin repetir cifra?

5. En una carrera participan 7 corredores y se entregan tres medallas a los tres primeros clasificados oro, plata y bronce. ¿Cuántos posibles repartos se pueden dar al terminar la carrera?

6. En una oficina, donde trabajan 6 mujeres y 8 hombres se pretende formar un equipo de trabajo con 4 personas con la presencia de por lo menos una mujer. El número de formas distintas de formar ese equipo.

Curiosidades…

Si la probabilidad de morir por un ataque de tiburón es de 1 entre 300 millones, la de morir por la mordedura de un perro es de 1 entre 120000 y la de morir por

picadura de serpiente venenosa es de 1 entre 1800000.

¿Podríamos seguir afirmando que el perro es el mejor amigo del hombre?

Los representantes de los 36 equipos del mundial de fútbol desean tener un almuerzo y se sientan en una mesa redonda, ¿Cuál es la probabilidad de que tres representantes queden

contiguos?

P E N S A R

CONCLUSIONES 102

5.Conclusiones

En nuestro país desde las directrices ministeriales se pretende que la enseñanza

pase de estar orientada solo al logro de objetivos relacionados con contenidos, a

desarrollar competencias en los estudiantes. Para lograr esto, es necesario tener

en cuenta que el desarrollo de las competencias matemáticas no se logra de

manera espontánea, se requiere del diseño de actividades significativas, que le

permitan al estudiante altos niveles de competencia.

Las secuencias didácticas buscan contribuir la construcción de conocimiento

mediante conversaciones conceptuales, manipulación de material concreto,

observación de patrones, sistematización y organización de datos. En estas los

estudiantes tienen la posibilidad de interactuar con los compañeros como

científicos; verificando hipótesis, construyendo y validando fórmulas matemáticas

tratando de darle solución a las preguntas plateadas en cada guía de trabajo.

Los diálogos con sus compañeros sobre saberes previos fortalecen la interacción

social ya que cada uno expone su punto de vista frente a la situación planteada,

permitiendo de esta forma la construcción del conocimiento. La manipulación de

material concreto propicia experiencias teórico-prácticas que pueden convertirse

en aprendizajes significativos; es por esto que el material debe ser pertinente a la

actividad, resistente, colorido y llamativo. La observación juega un papel

preponderante en el desarrollo de la secuencia didáctica, puesto que algunas

regularidades en la solución de las actividades llevaran al estudiante a generalizar

el concepto que se está trabajando y finalmente la sistematización de esas

observaciones y la organización de las mismas los llevará a encontrar la fórmula

o patrón para solucionar ejercicios con las mismas características o condiciones.

REFERENCIAS 103

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Documents

PROYECTO DE AULA QUE CONTRIBUYA AL DESARROLLO DEL ...bdigital.unal.edu.co/53054/1/43735414.2016.pdfdesarrollo del pensamiento aleatorio, abandonar un poco las clases magistrales y