FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

PROYECTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Tema:“Rapidez con la que crece un bebe extranjero a partir de su periodo fetal”

Profesora: Ing. Soraya Solís

Integrantes:

ArreagaGonzabay German IgnacioMazacon Baño María del CarmenPacheco CondoYesenia GabrielaPortés Rojas Johanna Lisbeth

Paralelo: 2 -Segundo término 2012-2013

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

íNDICE GENERAL

1. Objetivos1.1 Objetivo general1.2 Objetivos específicos

2. Introducción 2.1 Historia

3. Definición3.1 ¿Qué es la derivada?

3.2 Aplicaciones de la derivada a la medicina

3.3 ¿Qué es Razón de cambio

3.4 Utilidad de razón de cambio

4. Metodología4.1Estrategia para resolver problemas

4.2 Ejemplos Prácticos

5. Desarrollo del Proyecto5.1Planteamiento del proyecto5.2 Justificación 5.3 Desarrollo 5.4 Aplicación5.5 Conclusiones

6. Bibliografía

1. OBJETIVOS1.1 Objetivo General

Observar que los conceptos aprendidos en clases (Cálculo Diferencial) son aplicables a otras ciencias de manera que se los aplica para obtener un excelente resultado.

1.2 Objetivos Específicos

Investigar y estudiar las ramas del Cálculo Diferencial tales como la derivada y sus aplicaciones.

Establecer los conceptos que utilizaremos para el desarrollo de nuestro proyecto.

Demostrar la aplicación de los conceptos a casos reales en este caso a la medicina.

1. INTRODUCCIÓN2.1 Historia

A lo largo del tiempo la humanidad ha luchado por encontrar el porqué de las cosas. Muchos temas han sido motivo de investigación y sin duda alguna, la matemática no es la excepción.

El cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales: cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar durante siglos. Hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiera construir el cálculo que utilizamos en nuestros días. A pesar de que algunas veces su ejercicio se toma difícil, pocos saben que a través de los años, esta eficaz rama de las matemáticas encierra grandes historias que narran como surgió, quienes se encargaron de su establecimiento y de qué manera ha evolucionado con el tiempo.

Este trabajo gira entorno a la aplicación de la derivadaen el campo de la medicina, mostrando una ecuación que indica la razón de cambio del crecimiento de un feto con respecto a las semanas de gestación.

2. DEFINICIÓN3.1 ¿Qué es la derivada?

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un

concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. La derivada geométricamente está representada por la recta tangente y físicamente por la razón del cambio.El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se

refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

3.2 Aplicaciones de la derivada a la medicina

En definitiva las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta.

Derivadas En Medicina

Variedad de funciones biológicas Análisis FOT Con estas consideraciones y tras varios años de estudios de las funciones cardiovasculares de presión y velocidad de la sangre, proponemos que el estudio de la variabilidad de la presión arterial, bajo diferentes condiciones hemodinámicas, se realice gráficamente.

En efecto, una marcada tendencia actual en el estudio del estado o condición cardiovascular de los pacientes, es la observación de las formas de las ondas de presión arterial (p (t)) y su análisis mediante métodos matemáticos.

El cálculo más utilizado es la obtención de la derivada (dp/dt) máxima, y existen numerosas publicaciones que correlacionan este parámetro con otras mediciones más complejas como el índice cardiaco y otros cuadros patológicos [2, 3,4,]. Su demostrada utilidad clínica ha llevado a la elaboración de software comercial, que permiten un cálculo automático de dicho parámetro a partir de señales de pulso arterial.

Nosotros hemos desarrollado y aplicado otro método matemático elemental, utilizando el plano de fase de la dinámica no lineal (función biológica p (t) versus su primera derivada dp/dt), al estudio de las ondas pulsátiles de origen cardiovascular, y que hemos denominado Fast Orbital Transform (FOT).

3.3 ¿Qué es Razón de cambio?

El cambio se matematiza mediante el cálculo, que se considera como la rama de las matemáticas que realiza las operaciones necesarias para prever un resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

La razón de cambio se define como un cociente incremental o deDiferencias.

El cociente es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, recociendo que el cambio se establece hallando la diferencia entre una magnitud final con una inicial.

Usando la notación moderna puede escribirse como:∆( y)∆(x )

=y2− y1x2−¿ x1

¿

Es importante resaltar que en muchas ocasiones la razón de cambio está dotada de un significado contextual, pues plantea relaciones

significantes entre las magnitudes que intervienen. Este cociente en algunos casos siempre daría el mismo resultado, definiéndose como constante y en caso contrario como razón de cambio variable.

3.4 Utilidad de razón de cambio

Según lo dicho anteriormente, el concepto de razón de cambio está presente en la vida diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre específico o sin reflexionar sobre las acciones realizadas. Ya que vivimos en un mundo físico, social, político, económico, biológico, resulta importante poder describir y medir estos cambios a través de modelos matemáticos. Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre, puede detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer, o permanecer estacionaria. También la población de un país varía con el correr del tiempo y la variación depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes. Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues estos nos permitirán extraer conclusiones. Esto nos permite saber, por ejemplo, en el caso de consumo de energía eléctrica como función del tiempo, cuándo se produce un aumento repentino, lo que indica la necesidad de aumentar la capacidad eléctrica; si estamos analizando la evolución de una enfermedad a través del tiempo podremos saber cuándo se está propagando con mayor rapidez y así reforzar las medidas sanitarias necesarias.

3. METODOLOGÍA

4.1 Estrategia para resolver problemas de razón de cambio

i. Si es posible realice un bosquejo del problema con la ayuda de gráficos y letras.

ii. Identificar las variables y las constantes de preferencia usar letra mayúscula para constantes o valores numéricos y letras minúsculas para las variables.

iii. Determinar la o las ecuaciones que relacionan las variables con las constantes.

iv. Derivar la ecuación obtenida en el paso anterior respecto a la variable independiente en este paso tenga en cuenta lo observado en el paso 2.

v. Despeje la derivada de la variable de interés y reemplace datos numéricos.

4.2 Ejemplos Prácticos

1. A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le está entrando agua a razón de 25 litros por segundo. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.

¿Que se pide en el problema? Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que está aumentando la altura deun cilindro circular de radio fijo, cuando su volumen aumenta a razón de 25 litros por segundo (25 dm3/s).Es decir, si consideramos un cilindro circular que tiene un radio fijo r=5m, altura h y volumen V, entonces lo que se desea es calcular la rapidez con que cambia (razón de cambio de) la altura h, cuando la

razón de cambio del volumen V es de 25 dm3

s. Esto es, se pide calcular a

la derivada dhdt

cuando r=50dm y dVdt

= 25 dm3

s.

El volumen V de un cilindro circular de radio r y altura h es V = πr2h. Entonces cuando r=50 dm el volumen del cilindro es V = π502h = 2500 π h dm3.

Sabiendo que tanto la altura como el volumen son función del tiempo t, derivamos respecto a t y obtenemos

dVdt

=2500 π ( dhdt )→dhdt

=1

2500 π(25 )→dh

dt=

1100π

dm

s≈0.032dm /s

Por lo tanto, la rapidez con que sube la superficie del agua es2dm /s

2. Una infección viral se propaga en cierta población de manera tal que

personas contraen el virus en t semanas. ¿A qué velocidad se propaga el contagio al final de 4 semanas?

Necesitamos calcular . Dado que

Tenemos

Como implicación puede afirmarse que en el transcurso del siguiente día una séptima parte de la semana 1/7(210) = 30 personas se habrán contagiado, aproximadamente.

5. DESARROLLO DEL PROYECTO:

5.1 Planteamiento del proyecto

El planteamiento del proyecto surgió para conocer las aplicaciones que tiene el cálculo de las derivadas en el campo de la medicina con la resolución de una ecuación polinómica.

Nuestra idea se enfoca específicamente en calcular la rapidez de crecimiento de un bebé con respecto a las semanas que transcurre desde el momento de gestación hasta el momento en el cual nace.

Para esto se tomó en cuenta a partir de la octava semana, ya que en las primeras semanas se desarrolla en el vientre de la madre, por lo que no crece de forma notoria.

Sin embargo nos centraremos tan solo en el periodo fetal del bebe.

5.2Justificación del proyecto:

El proyecto es elaborado para la materia de Cálculo Diferencial que se está cursando en el primer semestre de nuestra carrera universitaria. Este proyecto además nos muestra la importancia de las derivadas en la vida cotidiana y sus diversas aplicaciones en las distintas ciencias,

5.3 Desarrollo

Se trata de calcular la rapidez con la que crece un bebe en las distintas semanas. Para esto es necesario conocer los cambios que desarrolla el bebé en los distintos meses.

Mes unoTú bebé es un embrión que consiste en dos capas de células, a partir de las cuales se desarrollarán todos sus órganos y las partes de su cuerpo. Tu bebé es apenas una bolita microscópica que se llama "embrión", y la verdad es que todavía no se parece mucho a un bebé

Mes dos

Tu bebé tiene el tamaño de un frijolito y se está moviendo constantemente. Ya se pueden distinguir sus deditos.

Mes tresAhora tu bebé mide alrededor de 7 a 8 centímetros de largo (3 pulgadas) y pesa aproximadamente lo mismo que medio plátano. En sus deditos ya se pueden ver sus pequeñas huellas digitales.

Mes cuatro

Tu bebé mide más o menos 13 centímetros de largo (5,5 pulgadas) y pesa 140 gramos (5 onzas). Sus huesos están empezando a endurecerse. Y es posible que ya sientas los movimientos de tu bebé.

Mes cincoLas cejas y párpados de tu bebé ya se han formado. Ahora, con las piernas extendidas, ya mide más de 27 centímetros de largo (10,5 pulgadas).

Mes seisTu bebé pesa alrededor de 660 gramos (1,5 libras). A medida que vaya engordando, su piel tendrá menos arrugas y se verá más suave.

Mes sieteAhora tu bebé mide más de 40 centímetros (15 pulgadas) de largo. Puede abrir y cerrar sus ojos y probablemente puede ver lo que está a su alrededor.

Mes ocho

Tu bebé ahora pesa alrededor de 2,2 kilos (4,7 libras). Está empezando a aumentar de peso, y ya se ve más llenito, además sus pulmones están bien desarrollados.

Mes nueveTu bebé está a punto de nacer. El bebé promedio pesa un poco más de 3,2 kilos esta semana (7 libras) y mide cerca de 51 centímetros (unas 20 pulgadas).

EL proyecto será desarrollado aplicando los conceptos de derivación revisados en el semestre.

A partir de la siguiente ecuación se realizarán cálculos para determinar cómo crece el feto al transcurrir xsemanas.

f (x)=(−0.0106 ) x2+ (2.0677 ) x−13.3104

Donde x se mide en semanas, y f(x), en centímetros.

La cual la hallamos paso a paso en el programa de Matlab teniendo las semanas y los tamaños del feto siendo estos valores x y f(x).

Se pudo notar que la gráficaestá dada en funciones de tramos ya que el periodo embrionario y el periodo fetal son muy diferentes.

Se ilustra la función obtenida en graphy en Excel dando los puntos respectivos de la tabla

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

10

20

30

40

50

60

Series2

semanas

tam

año

Gráfica obtenida en Excel

5.4 Aplicación

Se conoce la funciónf (x)=(−0.0106 ) x2+ (2.0677 ) x−13.3104 mediante la cual determinaremos la rapidez con la que se desarrolla él bebe a medida que pasan las semanas lo haremos a partir del periodo fetal ya que en ese tiempo él bebe tiene un tamaño considerable siendo la función dada en los intervalos de (15,40) donde empieza el periodo a calcular.

Funciónderivada:

f ' ( x )=2 x (−0.0106 )+(2.0677)

Cálculos

Los cálculos se llevaran a cabo en base a la tabla ilustrada.

Semana 16

f ( x )= (−0.0106 ) x2+(2.0677 ) x−13.310

f (x)=(−0.0106 ) (16 )2+(2.0677 )(16)−13.310

f ( x )=¿17.05596cm

f ' ( x )=2 x (−0.0106 )+(2.0677)

f ' ( x )=2(16) (−0.0106 )+(2.0677)

f ' ( x )=¿1.1785 cm/semana

Semana 20

f ( x )= (−0.0106 ) x2+(2.0677 ) x−13.310

f ( x )= (−0.0106 )202+(2.0677 )20−13.310

f ( x )=23.804cm

f ' ( x )=2 x (−0.0106 )+(2.0677)

f ' ( x )=2(20)(−0.0106 )+(2.0677)

f ' ( x )=¿1.6437cm/semana

Semana 24

f ( x )= (−0.0106 ) x2+(2.0677 ) x−13.310

f ( x )= (−0.0106 )242+(2.0677 )24−13.310

f ( x )=¿30.2092cm

f ' ( x )=2 x (−0.0106 )+(2.0677)

f ' ( x )=2(24 )(−0.0106 )+(2.0677)

f ' ( x )=1.5589 Cm/semana

Semana 30

f ( x )= (−0.0106 ) x2+(2.0677 ) x−13.310

f ( x )= (−0.0106 )302+(2.0677 )30−13.310

f ( x )=39.181cm

f ' ( x )=2 x (−0.0106 )+(2.0677)

f ' ( x )=2(30) (−0.0106 )+(2.0677)

f ' ( x )=1.4317Cm/semana

Semana 34

f ( x )= (−0.0106 ) x2+(2.0677 ) x−13.310

f ( x )= (−0.0106 )342+(2.0677 )34−13.310

f ( x )=44.7382cm

f ' ( x )=2 x (−0.0106 )+(2.0677)

f ' ( x )=2(34 )(−0.0106 )+(2.0677)

f ' ( x )=1.3469Cm/semana

Semana 40

f ( x )= (−0.0106 ) x2+(2.0677 ) x−13.310

f ( x )= (−0.0106 )402+(2.0677 )40−13.310

f ( x )=52.438 cm

f ' ( x )=2 x (−0.0106 )+(2.0677)

f ' ( x )=2 (40 ) (−0.0106 )+(2.0677 )

f ' ( x )=¿ 1.2197 cm/semana

5.5 Conclusiones

La ecuación f ( x )=−0.0106 x2+2.0677 x+13.3104 satisface la relación del crecimiento de un feto a partir de la semana 15 (excepto en el séptimo mes que es donde el feto presenta una mayor variación de tamaño), donde x es semanas y f(x) representa el crecimiento del mismo en centímetros.Aplicando la primera derivada se obtiene la rapidez con la que crece el feto dentro del vientre de la madre, verificando que a medida que pasan las semanas la velocidad es menor, con lo cual la gráfica de la ecuación es decreciente.Se logró demostrar la importancia que tiene las aplicaciones de la derivada, incluso en el campo de la medicina, ya que permite conocer cómo va creciendo un feto al transcurrir las semanas y el nuevo cambio que implica cada semana.

Nota:

El crecimiento fetal es un proceso complejo en el que se combinan y se integran modificaciones a nivel molecular y celular para permitir el desarrollo del organismo completo. Si existe alguna influencia adversa sobre este proceso como deficiente alimentación de la madre puede haber consecuencias negativas en el desarrollo.

6. BLIBLIOGRAFIA

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https://sites.google.com/site/455laderivada/razon-de-cambio-1

http://espanol.babycenter.com/c600091/desarrollo-fetal-semana-a-semana#ixzz2KEGfARu9

http://aplicaciones-derivadas.blogspot.com/2009/12/aplicaciones-derivadas-en-la-actualidad.html

http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/taller/intromatlab.pdf

http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/plot.html

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