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7/21/2019 Proyecto de Calculo I - Montaña Rusa
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CÁLCULO I
7/21/2019 Proyecto de Calculo I - Montaña Rusa
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FACULTADA DE INGENIERÍA
CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
CALCULO I
“DISEÑO DEL ASCENSO Y DESCENSO DE UNA MONTAÑA RUSA PARAPLAY LAND PARK”
EMPRESA : PLAY LAND PARK
RAZÓN SOCIAL : ESPECTÁCULOS INTERNACIONALES S.A.C
DEPARTAMENTO O SECCIÓN : RECREACIÓN Y ENTRETENIMIENTO
TEMA DE APLICACIÓN : APLICACIONES DE DERIVADAS
CODIGO APELLIDOS Y NOMBRES C1 C2 C3 C4 C T!"#$
62020 Castillo Estees! Cesa"
6#0$$ %alla"&o Ma"tel! Ale'a(&e"
$$)#$ *+sti(ia(o C"+,a&o! *+a( &e Dios
6--/ Ma"( Ma"t(e,! A(&"1
6-$-/ Á(+lo to""es! Ste34a(ie
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&AL&ERDE MORALES' MIGUEL
DOCENTE
T()*+$$!' N!,+-./(- 2014
CÁLCULO I 2
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Contenido
CAPITULO I: PLAN DE IN&ESTIGACIÓN11 SITUACIÓN PROBLEMTICA
111 MISIÓN DE LA EMPRESA 112 &ISIÓN DE LA EMPRESA 12 PROBLEMA 13 5IPÓTESIS 14 OB6ETI&OS 141 GENERAL 142 ESPECÍFICOS
CAPITULO II: MARCO TEORICO21 FUNCIÓNES 10211 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES 11
2111 F)78+97 C!7"#7"- 112112 F)78+97 I;-7"+;#; 112113 F)78+97 L+7-#$ 122114 F)78+97 C)#;(<"+8# 1222 LA DERI&ADA 13TANGENTES 13DEFINICIÓN DE LA RECTA TANGENTE 14221 DERI&ADA DE UNA FUNCIÓN 1222 REGLAS DE DERI&ACIÓN 1
CAPITULO III: DESARROLLO DEL PROYECTO
31 PREMISA 2032 SOLUCION 2133 CONCLUSIONES 234 BILBLIOGRAFÍA 2
CÁLCULO I 3
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INFORMACIÓN DEL GRUPO
ASISTENCIA A REUNIONES:
N!./(-=F-8># 0=0?=2014
0@=0?=201
4
14=0?=201
4 1?=0?=2014 1@=0?=2014 23=0?=2014
CastilloEstees! Cesa"
%alla"&o Ma"tel! Ale'a(&e"
*+sti(ia(oC"+,a&o! *+a(&e Dios
Ma"( Ma"t(e,! A(&"1
Á(+lo to""es!Ste34a(ie
APORTE AL PROYECTO:
N!./(-
M#(8!
T-9(+8! A$+8#8+97 D!8).-7"#8+97 I7,-"+#8+97
Castillo Estees! Cesa"
%alla"&o Ma"tel! Ale'a(&e"
*+sti(ia(o C"+,a&o! *+a(&e Dios
Ma"i( Ma"ti(e,! A(&"e
Á(+lo to""es! Ste34a(ie
CÁLCULO I 4
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INTRODUCCIÓN
El 3"ese(te t"a5ao tit+la&o 7&ete"8i(a9i:( &el as9e(so ; &es9e(so &e +(a
8o(ta<a "+sa=! >+e &esa""olla&o a 5ase &e i(estia9i:( &e la 8is8a!
"e9o3ila(&o i(>o"8a9i:( &e la e83"esa ; +tili,a(&o 9o(o9i8ie(tos
8ate8?ti9os.
E( este &o9+8e(to se a(ali,a &e @+1 8a(e"a se 3+e&e &ete"8i(a" el
as9e(so ; &es9e(so &e +(a 8o(ta<a "+sa.
E( el Ca3t+lo I se 4a5la so5"e la "eali&a& 3"o5le8?ti9a @+e se 3"ese(ta! la
4i3:tesis ; los o5etios &e est+&io &e>i(i&os.
E( el Ca3t+lo II se &etalla el Ma"9o Te:"i9o! e( el 9+?l se to8a e( 9+e(ta
9ie"tas &e>i(i9io(es 8ate8?ti9as @+e a;+&a"?( a 9o83"e(&e" 8eo" la
"esol+9i:( &el 3"o5le8a &e &ete"8i(a9i:( &el as9e(so ; &es9e(so &e +(a
8o(ta<a "+sa.
E( el Ca3t+lo III! se &etalla el Desa""ollo &el P"o;e9to. E( ella se 4a9e el
est+&io 9o83leto 9o( a;+&a &e &atos &a&os 3o" la e83"esa 8is8a ; a 3a"ti"
&e ellos llea" a 9o(9l+sio(es ; "es+lta&os.
CÁLCULO I 5
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CÁLCULO I 6
CAPTULO IPLAN DE
INVESTI%ACIÓN
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HC+?l es el 3"i8e" as9e(so ; &es9e(so &e +(a 8o(ta<a "+sa! sa5ie(&o @+e
la e83"esa 4a 3+esto 9o8o 3a"?8et"os @+e la 3e(&ie(te &e as9e(so &e la
8o(ta<a "+sa sea &e 0./ ; el &es9e(so &e ).6
13 5IPÓTESIS
Se 3+e&e &ete"8i(a" el as9e(so ; &es9e(so &e la 8o(ta<a "+sa 8e&ia(te el
+so &e &e"ia&as.
14 OB6ETI&OS141 GENERAL
Dete"8i(a" 3o" 8e&io &el +so &e &e"ia&as el 3"i8e" as9e(so ;
&es9e(so &e la 8o(ta<a "+sa.142 ESPECÍFICOS
• I&e(ti>i9a" la 3e(&ie(te.
A3li9a" los 9o(o9i8ie(tos a&@+i"i&os e( el 9+"so &e 9?l9+lo )
CÁLCULO I 8
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CÁLCULO I 9
CAPTULO IIMARCO
TEÓRICO
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Fuente: Cálculo de una variable. James Stewart
Gráfico 1
21 FUNCIÓNES1:
U(a >+(9i:( es +(a "ela9i:( e(t"e &os 8a(it+&es! &e tal 8a(e"a@+e a 9a&a alo" &e la 3"i8e"a le 9o""es3o(&e +( (i9o alo" &e lase+(&a! lla8a&a i8ae(.
E*-.$!: 3 0.5 y x= +
Sie(&o ' el t ie83o e( 8i(+tos @+e &+"a el iae.
Co8o 3o&e8os o5se"a" la >+(9i:( "ela9io(a &os a"ia5les x e y .x es la a"ia5le i(&e3e(&ie(te.y es la a"ia5le &e3e(&ie(te &e3e(&e &e los 8i(+tos @+e &+"e eliaeF.
Las >+(9io(es se "e3"ese(ta( so5"e +(os ees 9a"tesia(os 3a"a
est+&ia" 8eo" s+ 9o83o"ta8ie(to.
1 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.30
CÁLCULO I10
)0 20 -0
Y 3 0 / )- )/
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Gráfico 2
Gráfico 3
211 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES:
2111 F)78+97 C!7"#7"-2:( ) F x b=
:
: 3
Dom R
Ran
2112 F)78+97 I;-7"+;#;3 :( ) F x x=
:
:
Dom R
Ran R
2 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.313 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.31
CÁLCULO I11
Fuente: Cálculo de unavariable. James Stewart
Fuente: Cálculo de unavariable. James Stewart
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Gráfico 4
Gráfico 5
2113 F)78+97 L+7-#$4:( ) F x ax b= +
:
:
Dom
Ran
R
R
2114 F)78+97 C)#;(<"+8#:( ) ² F x ax bx c= + +
:
: 3,
Dom
Ran +∞
R
22 LA DERI&ADA
4 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.325 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.32
CÁLCULO I12
Fuente: Cálculo de unavariable. James Stewart
Fuente: Cálculo de unavariable. James Stewart
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Gráfico 6
Gráfico 7
El 3"o5le8a &e e(9o(t"a" la "e9ta ta(e(te &e +(a 9+"a ; el 3"o5le8a &e4alla" la elo9i&a& &e +( o5eto 9o83"e(&e( &ete"8i(a" el 8is8o ti3o &el8ite. Este ti3o es3e9ial &e l8ite "e9i5e el (o85"e &e &e"ia&a ; e8os@+e se 3+e&e i(te"3"eta" 9o8o +(a "a3i&e, &e 9a85io e( 9+al@+ie"a &e las9ie(9ias o e( i(e(ie"a.
Ta(e(tesJ6
Si +(a 9+"a C tie(e e9+a9i:(( ) y f x=
; &esea8os 4alla" la "e9ta ta(e(te
a C e( el 3+(to ( )( ), P a f a
! e(to(9es 9o(si&e"a8os +( 3+(to 9e"9a(o
( )( ),Q x f x ! &o(&e x a= ; 9al9+la8os la 3e(&ie(te &e la "e9ta se9a(te PQ J
( ) ( ) f x f ampq
x a
−=
−
Fuente: Cálculo de una variable-James Stewart
A 9o(ti(+a9i:( 4a9e8os @+e Q se a3"o'i8e a P a lo la"o &e la 9+"a C
&ea(&o @+e x x se a3"o'i8e a a . Si PQmse a3"o'i8a a +( (8e"o m !
e(to(9es &e>i(i8os la tangente t 9o8o la "e9ta @+e 3asa 3o" P 9o(3e(&ie(te m. Esto si(i>i9a &e9i" @+e la "e9ta ta(e(te es la 3osi9i:( l8ite
&e la "e9ta se9a(te PQ 9+a(&o Q se a3"o'i8a a P . ea "a>i9o
6 Cálculo de una variable, a!e" #$e%ar$, &á'ina 135
CÁLCULO I 13
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Fuente: Cálculo de una variable-James Stewart
D-+7+8+97 ;- $# (-8"# "#7-7"-:
La (-8"# "#7-7"- a la 9+"a ( ) y f x= e( el 3+(to ( )), ( P a f a es la "e9ta @+e3asa 3o" P 9o( 3e(&ie(teJ
( ) ( )lim x a
f x f am
x a→
−=
−Sie83"e @+e e'ista este l8ite
Ee83lo )J E(9+e(t"e la e9+a9i:( &e la "e9ta ta(e(te a la 3a"?5ola2 y x= e(
el 3+(to ( )1, 1 . P
SOLUCIÓNJ
A@+ te(e8os 1a = ; ( ) 2 f x x=
! &e 8o&o @+e la 3e(&ie(te esJ
1
2
1
1
( ) (1)lim
1
1lim
1
( 1)lim
x
x
x
f x f m
x
x
x
x
→
→
→
−=
−
−=
−
−
=
( 1)
1
x
x
+
−
1lim( 1) 1 1 2 x
x→
= + = + =
Usa(&o la >o"8a3+(to 3e(&ie(te 3a"a +(a "e9ta @+e 3asa 3o" el 3+(to x )!y )F 9o( 3e(&ie(te mJ 1 1( ) y y m x x− = −
E(9o(t"a8os @+e +(a e9+a9i:( &e la "e9ta ta(e(te e( )! )F esJ
Cálculo de una variable, james Stewart, página 135!13"
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Gráfico 8
1 2( 1) y x− = − O 2 1 y x= −
Si( e85a"o 4a; ot"a e'3"esi:( 3a"a la 3e(&ie(te &e +(a "e9ta ta(e(te @+e
a e9es es 8?s >?9il &e +sa". Si h x a= − ! e(to(9es x a h= + ; 3o" ta(to la
3e(&ie(te &e la "e9ta se9a(te PQ es
( ) ( ) PQ f a h f amh
+ −=
Ve" "?>i9o /F! &o(&e el 9aso h>0 est? il+st"a&o ; Q est? a la &e"e94a &e P .Si o9+""e @+e h<0! si( e85a"o! Q esta"a a la i,@+ie"&a &e P .F
O5se"e @+e 9+a(&o x se a3"o'i8a a ,a h se a3"o'i8a a 0 3o"@+e)h x a= − ; e(to(9es la e'3"esi:( 3a"a la 3e(&ie(te &e la "e9ta ta(e(te e( la
De>i(i9i:( ) se 9o(ie"te e(
0( ) ( )lim
h f a h f am
h→+ −=
Fuente: Cálculo de una variable-James Stewart
221 D-(+,#;# ;- )7# )78+97:
La ;-(+,#;# ;- )7# )78+97 f -7 )7 7H.-(! a ' &e(ota&a 3o" ( )´ f a=
! es
´
0
( ) ( )( ) limh
f a h f a f ah→
+ −= G Si este l8ite e'iste
8 Cálculo de una variable, a!e" #$e%ar$, &á'ina 138(139
CÁLCULO I15
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Gráfico 9
SOLUCIÓN Del Ee83lo # sa5e8os @+e la &e"ia&a &e2( 9) 8 f x x x= − + e(
el (8e"o a
Es (́ ) 2 8 f a a= − . Po" ta(to! la 3e(&ie(te &e la "e9ta ta(e(te e( ( )3, 6 .− es.
( ) ( )´ 3 2 3 8 2. f = − = − E(to(9es la e9+a9i:( &e la "e9ta ta(e(te! 8ost"a&a e( el
"a>i9o ! es( 6) ( 2)( 3) y x− − = − − o 2 y x= −
Fuente: Cálculo de una variable-James Stewart
222 REGLAS DE DERI&ACIÓN
R-$# 7 1 D-(+,#;# ;- )7# )78+97 8!7"#7"- @
La 3"i8e"a "ela &e &e"ia9i:( es @+e la &e"ia&a &e 9+al@+ie" >+(9i:(9o(sta(te es la >+(9i:( 9e"o.
Si f es la >+(9i:( 9o( el alo" 9o(sta(te 9! e(to(9es
df
dx=
d
dx=(c)=0
R-$# 7 2 Regla de la potencia para potencias enteras positivas de x. 10
Si n es +( e(te"o 3ositio! e(to(9es
d
dx( xn)=n x
n−1
# Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +1010 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +10-
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R-$# 7 3 Regla de suma y diferencia 11
La &e"ia&a &e la s+8a o &e la &i>e"e(9iaF &e &os >+(9io(es &e"ia5les f ;g es &e"ia5le e( s. A&e8?s! la &e"ia&a &e f +g (o f −g) es i+al a la
s+8a o &i>e"e(9iaF &e las &e"ia&as &e f y g.
R-$# ;- $# ).#
d
dx [ f ( x )+g ( x ) ]=f
' ( x )+g ' ( x )
R-$# ;- $# (-"#
d
dx [ f ( x )−g ( x ) ]=f
' ( x)−g' ( x)
R-$# 7 4 Regla del producto 12
El 3"o&+9to &e &os >+(9io(es &e"ia5les f ; g ta85i1( es &e"ia5le. A&e8?s! s+ &e"ia&a es i+al a la 3"i8e"a >+(9i:( 3o" la &e"ia&a &e lase+(&a 8?s la &e"ia&a &e la 3"i8e"a 3o" la se+(&a.
d
dx [f ( x ) g ( x ) ]=f ( x ) g
' ( x )+g ( x ) f ' ( x )
R-$# 7 Regla del cociente. 13
El 9o9ie(te f /g &e &os >+(9io(es &e"ia5les f ; g ta85i1( es&e"ia5le 3a"a to&os los alo"es &e x 3a"a los @+e g( x)≠0 . A&e8?s!la &e"ia&a &e f /g se o5tie(e 8e&ia(te el &e(o8i(a&o" 3o" la &e"ia&a &el(+8e"a&o" 8e(os el (+8e"a&o" 3o" la &e"ia&a &el &e(o8i(a&o"! to&o&ii&i&o e(t"e el 9+a&"a&o &el &e(o8i(a&o".
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )2
. 0 −
= ≠
′ f x f x g x g x f' x d g x
dx g x g x
11 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +11112 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +11#13 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +121
CÁLCULO I18
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CÁLCULO I19
CAPTULO IIIDESARROLLO
DELPROYECTO
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Gráfico 10
Fuene 1 !i"i#e$i%
31 PREMISAS+3o(a @+e se le 3i&e &ise<a" el 3"i8e" as9e(so ; &es9e(so &e +(a (+ea
8o(ta<a "+sa. La e83"esa &e9i&e @+e la 3e(&ie(te &e as9e(so sea 0.8; la
&e &es9e(so ).6.Des3+es! 9o(e9ta estos &os t"a8os "e9tos
( ) ( )1 2 y L Y x y x L= = 9o( 3a"te &e +(a 3a"?5ola
2( )Y f x ax bx c= = + +
Do(&e( )& y f x
se 8i&e( e( 3ies. Pa"a @+e la 3ista sea +(i>o"8e (o 3+e&e
4a5e" 9a85ios a5"+3tos &e &i"e99i:(! 3o" lo @+e &esea @+e los se8e(tos
li(eales 1 L ; 2 L sea( ta(e(tes a la 3a"?5ola e( los 3+(tos &e t"a(si9i:(
P y Q ! 9o8o se 8+est"a e( la >i+"a.
CÁLCULO I20
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Gráfico 11
32 SOLUCION). Pa"a si83li>i9a" las e9+a9io(es! se &e9i&i: 9olo9a" el o"ie( e( P G es
&e9i"( )0,0 p
. Co8o 9o(se9+e(9ia la 3a"?5ola e(to(9es esJ
2
2
( )
0 0 0
y f C ax bx c
a b c
= = + +
= + +
La e9+a9i:( @+e&a asJ2 y ax bx= +
2. Pa"a ase+"a" @+e la 3ista sea +(i>o"8e e( los 3+(tos &e t"a(si9i:(!
s+3o(e8os @+e la &ista(9ia 4o"i,o(tal e(t"e P ; Q es )00 3ies.! 3o" lo
ta(to los alo"es &e( ) ( )0 100 f y f ′ ′
&e5e( se"J
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
' 2 ' 100 2 100
' 0 2 0 ' 100 200
' 0
f ax b f a b
f a b f a b
x
f b
= + = +
= + = +
=
-. De"ia(&o2( ) f x ax bx c= + + ! te(e8osJ
'( ) 2 f x ax b= +
#. Usa(&o los "es+lta&os &e las e9+a9io(es e( ) ; 2 &ete"8i(a"e8os los
alo"es &e a ;b . Es &e9i"! e(9o(t"a"e8os +(a >:"8+la 3a"a( ) . f x
• Pe(&ie(te &e as9e(so &e 0./
( )' 0 0,8 f ∴ =
CÁLCULO I21
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• Pe(&ie(te &e
&es9e(so &e ).6
( )' 100 1,6 f ∴ = −
( )
( )
' 100 200
1,6 200
1, 6 200 0, 8
1,6 0,8 200
2,4 200
0,012
f a b
a b
a
a
a
a
= +
− = +
− = +
− − =
− =
= −
Po" lo ta(toJ( ) 2
0,012 0,8 f x X X = − +
$. %"a>i9a8os 1 L ; 2 L 3a"a 9o83"o5a" e( >o"8a "?>i9a! @+e las
t"a(si9io(es so( +(i>o"8es.
( ) 10 0 0.8 P Li y m∈ = %"?>i9o )2
: 0.8i
L y x⇒ =
SeaJ( ) ( )( ) 100 200 100 200 0.012 0.8Q a b+ = − +
"?>i9o )-
( )
( )
( )
2 2
2
2
100 2.4 0.8
100 1.6 1.6
: 1.6 1.6 100
1.6 1.6 160
: 1.6 158.4
L y m
L y x
Y x
L y
= − +
= − ∈ = −
⇒ + = − −
+ = − +
= − +
CÁLCULO I22
( )
( )
( )
' 2
' 0 2%(0)*+
' 0
0.8
f x ax b
f
f b
b
= +
=
=
=
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L1
Gráfico 12
Tabla 1
CÁLCULO I23
J
0 0
1 0./
2 ).63 2.#
4 -.2
#
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L2
Gráfico 13
Tabla 2
6. La &i>e"e(9ia &e alt+"a e(t"e P ; Q se"?J
( )0 0 P ;
( )100 1.6Q −
0 16 0 0,6
1
,6
y
y
∆ = − − = +
∆ =
CÁLCULO I24
J
0 )$/.#1 )$6./
2 )$$.2
3 )$-.6
4 )$2
)$0.#
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33 CONCLUSIONES
• Se lo": &ete"8i(a" el as9e(so ; &es9e(so &e la 8o(ta<a "+sa "a9ias a la
a;+&a &e 9o(9e3tos &e 8ate8?ti9a &e"ia&as ; l8itesF
• Se o5t+o la 3e(&ie(te &el &ise<o &e la 8o(ta<a "+sa &e la e83"esa Pla; La(&
Pa"B.
34 BILBLIOGRAFÍA
Ro( La"so( ; "+9e . Cal9+lo &e +(a a"ia5le! 20)0
*a8es Stea"t. C?l9+lo &e +(a a"ia5le! 20)0
CÁLCULO I25