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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA PESQUERA Y DE ALIMENTOS

INFORME FINAL DEL

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

“TEXTO: MATEMÁTICA III PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA”.

Lic. Segundo Agustín García Flores

(Del 01 de mayo del 2012 al 30 de Abril del 2014)

(Resolución Rectoral N° 0460-2012-R)

Callao, 2014

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a) ÍNDICE

Página

b) RESUMEN 09

c) INTRODUCCION 10

d) MARCO TEORICO 14

CAPITULO I

1. RECTAS Y PLANOS 14

1.1 Introducción a los vectores 14

1.1.1 Vector 15

1.1.2 Igualdad de vectores 17

1.1.3 Operaciones con vectores 19

1.1.4 Ortogonalidad de vectores 21

1.1.5 Producto escalar (o interno) entre dos vectores 21

1.1.6 Ángulo entre dos vectores 23

1.1.7 Producto vectorial entre dos vectores 24

1.1.8 Triple producto escalar 26

1.1.9 Triple producto vectorial 27

1.2 La recta y sus ecuaciones 30

1.2.1 Ecuaciones de la recta 30

1.2.2 Ángulo que forman dos rectas 33

1.2.3 Intersección de dos rectas 34

1.2.4 Posiciones relativas de dos rectas en el espacio 35

1.2.5 Distancia de un punto a una recta 35

1.3 El plano y sus ecuaciones 37

1.3.1 Ecuaciones del plano 37

1.3.2 Posiciones relativas de planos y rectas en el espacio 41

1.3.3 Plano paralelo a dos rectas 42

1.3.4 Recta definida por dos planos 42

1.3.5 Ángulo que forman dos planos 44

1.3.6 Angulo que forman recta y plano 45

1.3.7 Distancia de un punto a un plano 47

1.3.8 Distancia entre dos rectas paralelas 49

1.3.9 Distancia (mínima) entre dos rectas que se cruzan 51

1.3.10 Distancia de una recta a un plano 53

1.3.11 Distancia entre dos planos 54

1.4 Práctica Nº 01 56

CAPITULO II

2. FUNCIONES VECTORIALES 64

2.1 Funciones vectoriales de variable real 64

2.1.1 Definición. Dominio y rango 65

2.1.2 Operaciones con funciones vectoriales 68

2.1.3 Límite y continuidad 70

2.1.4 Derivación 75

2.1.5 Integración 79

2.2 Práctica Nº 02 83

CAPITULO III

3. CURVAS 87

3.1 Parametrización de una curva 87

3.1.1 Curva parametrizada 87

3.1.2 Curva regular 90

3.2 Reparametrización de una curva regular 91

3.3 Longitud de arco de una curva 93

3.4 Tangente unitaria, normal principal y vector binormal 94

3.5 Planos: osculador, normal y rectificante 96

3.6 Curvatura y torsión 98

3.6.1 Curvatura 99

3.6.2 Torsión 101

3.7 Práctica Nº 03 104

CAPITULO IV

4. SUPERFICIES 108

4.1 Superficie y su gráfica 108

4.1.1 Introducción 108

4.1.2 Definición de superficie 111

4.1.3 Discusión de la ecuación de una superficie 111

4.2 Superficies cuádricas 118

4.3 Práctica Nº 04 130

CAPITULO V

5. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 133

5.1 Funciones reales de varias variables 133

5.1.1 Definición. Dominio y rango 134

5.1.2 Operaciones con funciones de varias variables 140

5.2 Curvas y superficies de nivel 142

5.2.1 Curvas de nivel 142

5.2.2 Superficie de nivel 150

5.3 Límite y continuidad 151

5.3.1 Conjuntos abiertos y cerrados en n 151

5.3.2 Límite 155

5.3.3 Continuidad 162

5.4 Derivadas parciales 164

5.4.1 Definición e interpretación geométrica 164

5.4.2 Derivadas parciales de orden superior 167

5.4.3 Derivadas direccionales 170

5.4.4 Derivada de la función compuesta 172

5.4.5 Derivación implícita 174

5.4.6 Diferencial de una función escalar 175

5.5 Práctica Nº05 179

5.6 Práctica Nº06 185

5.7 Gradiente de una función 192

5.8 Máximos y mínimos en funciones de varias variables 195

5.8.1 Definición de extremos relativos 195

5.8.2 Punto silla 197

5.8.3. Condición suficiente de extremo (matriz Hessiana) 197

5.8.4 Criterio de las derivadas segundas 198

5.9 Valores extremos condicionados 204

5.9.1 Método de multiplicadores de LaGrange 205

5.10 Práctica Nº07 209

CAPITULO VI

6. LA INTEGRAL DOBLE 215

6.1 La integral doble sobre un rectángulo 215

6.2 Función integrable 216

6.2.1 Definición de integral doble 216

6.2.2 Propiedades de la integral 217

6.3 Integrales iteradas. Teorema de Fubini 220

6.4 Integrales sobre recintos estándar de R2 222

6.5 Cambio de variable en integrales dobles 224

6.5.1 Integrales dobles en coordenadas polares 229

6.6 Práctica Nº08 231

CAPITULO VII

7. LA INTEGRAL TRIPLE 236

7.1 Integrales triples: definición y propiedades 236

7.2 Cálculo de integrales triples en coordenadas cartesianas 238

7.3 Cambio de variables en las integrales triples 242

7.3.1 Cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas 244

7.3.2 Cálculo de integrales triples en coordenadas esféricas 246

7.4 Aplicaciones de la Integral triple 248

7.5 Práctica Nº09 252

CAPITULO VIII

8. LA INTEGRAL DE LINEA 254

8.1 Definición y propiedades fundamentales 254

8.2 Independencia de las trayectorias 258

8.3 Teorema de Green 260

8.4 Practica Nº10 265

CAPITULO IX

9. INTEGRAL DE SUPERFICIE 269

9.1 Conceptos de funciones vectoriales de varias variables 269

9.1.1 Limite y continuidad 270

9.1.2 Derivadas parciales 271

9.2 La integral de superficie 273

9.2.1 Superficie parametrizada 273

9.2.2 Vectores normales y planos tangentes 275

9.2.3 Área de una superficie paramétrica 277

9.2.4 Definición de integral de superficie 279

9.2.5 Orientación de una superficie 285

9.3 Práctica Nº11 286

CAPITULO X

10. OPERADORES DIFERENCIALES 289

10.1 Operadores diferenciales en 289

10.1.1 Gradiente de un campo escalar 289

10.1.2 Divergencia de un campo escalar 289

10.1.3 Rotacional de un campo vectorial 290

10.1.4 Algunas relaciones entre operadores 291

10.2 Teorema de Divergencia de Gauss 293

10.2.1 Teorema e interpretación física 293

10.2.2 Algunas consideraciones prácticas 294

10.3 Teorema de Stokes 302

10.3.1 Teorema e interpretación física 302

10.4 Práctica Nº12 306

e) MATERIALES Y METODOS 310

f) RESULTADOS 311

g) DISCUSION 312

h) REFERENCIALES 313

i) APENDICE 315

Integral de Riemann 315

La integral como límite de sumas 316

Propiedades de la integral definida 319

Teorema de valor medio para integrales 321

Primer Teorema Fundamental del Cálculo 322

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo 324

b). RESUMEN

La idea central en la redacción del “Texto: Matemática III para

estudiantes de Ingeniería”, es hacer una presentación ordenada, secuencial en

el sentido de la complejidad de los contenidos, didáctica y sencilla, pero sin

perder formalidad, de los principales temas que componen el silabo de la

asignatura en la Facultad de Ingeniería Pesquera y de Alimentos.

El texto está organizado en 10 capítulos, con 139 ejemplos didácticos,

que cubren la temática del Cálculo diferencial e integral de varias variables

contenido en el silabo del curso. Asimismo, se incluyen 12 prácticas de final de

capitulo conteniendo 523 ejercicios seleccionados y propuestos que permiten

reforzar y profundizar los ejemplos y temas expuestos.

En el Apéndice se presenta de una manera formal algunos resultados de

integral definida, como los teoremas fundamentales del cálculo que son

saberes previos a Matemática III muy necesarios para entender este material