PROYECTO INTEGRADOR CARRERA DE INGENIER¶IA ...ricabib.cab.cnea.gov.ar/44/1/1Dorval.pdfPROYECTO INTEGRADOR CARRERA DE INGENIER IA NUCLEAR ESTUDIO SOBRE LA FACTIBILIDAD TECNICA DE REALIZAR

PROYECTO INTEGRADOR

CARRERA DE INGENIERIA NUCLEAR

ESTUDIO SOBRE LA FACTIBILIDAD TECNICA DE REALIZAR FECHADO

POR TRAZAS DE FISION EN LAS POSICIONES DE IRRADIACION DEL

REACTOR RA-6

Eric Leonel Dorval

Directores

Dra Marıa A. Arribere

Lic. Abraham J. Kestelman

Instituto Balseiro

Comision Nacional de Energıa Atomica

Universidad Nacional de Cuyo

Junio 2005

ii

A mi familia...

IV

Resumen

El metodo de datacion geologica por trazas de fision se basa en la deteccion del dano que

imprimen los fragmentos de fision del Uranio contenido en las muestras geologicas durante el

transcurso del tiempo. Para determinar la edad de una muestra, se deben conocer simultanea-

mente la cantidad de fisiones espontaneas ocurridas y la concentracion de Uranio en el material.

Esto obliga a irradiar las muestras en un reactor con flujo termico, de manera de inducir

fisiones solamente en el isotopo 235 y poder determinar la concentracion de Uranio. El problema

que presentan las posiciones de irradiacion del reactor RA-6 es que el flujo no es completa-

mente termico allı, por lo cual las fisiones debidas a neutrones epitermicos y rapidos no seran

despreciables.

De la misma manera, se detectaran trazas debidas a fisiones inducidas en atomos de 238U

y 232Th. Para conocer las correcciones aplicables a las mediciones en las posiciones de este

reactor, es necesario caracterizar el espectro de energıa del flujo de neutrones rapidos. A tal fin,

se utilizaron detectores de activacion. Para realizar las mediciones, se debio calibrar el equipo

de espectrometrıa gamma del laboratorio.

Luego, se irradiaron diversos detectores de flujo y se analizaron los resultados.

Finalmente, se determino que es factible realizar fechado geologico por el metodo de trazas

de fision en la posicion I6, estimandose las limitaciones que ofrecen los valores de flujo obtenidos

a la aplicacion de este metodo.

VI Resumen

Abstract

The method of Fission-Track dating is based upon the detection of the damage caused by

fission fragments from the Uranium contained in geological samples. In order to determine

the age of a sample, both the amount of spontaneous fissions ocurred and the Uranium

concentration must be known.

The latter requires the irradiation of the samples inside a reactor with a well-thermalized

flux, so that fissions are induced over 235U targets only. Threrefore, the Uranium concentration

may be determined. The main inconvenient presented by the irradiation sites at the RA-6 MTR-

type reactor is that neutron flux is not completely thermal there, which means that fissions due

to epithermal and fast neutrons will not be negligible.

In the same way, tracks due to fissions of 238U and 232Th will be detected. In order to

know the corrections that must be applied to those measurements performed in this reactor,

it is necessary to characterize fast flux. Because of it, this laboratory’s gamma spectrometry

equipment had to be calibrated.

After that, several activation detectors were irradiated and results were analyzed.

Finally, it was determined that it is feasible to Fission-Track date at the I6 position. However,

limitations associated to this method were analyzed for the values of flux measured in the

different sites.

VIII Indice General

Indice General

Resumen V

Abstract VII

1. Introduccion 1

1.1. Fechado geologico por el metodo de Trazas de Fision . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Estimacion de la edad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Planteo del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Calibracion en Eficiencia Absoluta 5

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Metodo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4. Fuentes utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1. Datos de los Picos de las Fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.2. Geometrıa de las fuentes y sus materiales constitutivos . . . . . . . . . . . 7

2.5. Analisis de datos y discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.1. Propagacion de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.2. Tratamiento de los rayos X del 154Eu y 155Eu de la fuente NIST . . . . . 12

2.5.3. Ajuste de fondo y error asociado para picos de baja energıa . . . . . . . . 18

2.5.4. Ajuste de la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.5. Caracterısticas del empalme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Medicion de Flujo rapido en las posiciones F5 e I6 31

3.1. Metodo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Programa de correccion de eficiencia 37

4.0.1. Tratamiento de fuente no puntual con atenuacion no despreciable . . . . . 37

5. Resultados 43

5.1. Resultados y discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.1. Impurezas de las muestras y fondo de radiacion en el Laboratorio . . . . . 44

5.1.2. Correccion por contenido de Mn en el Co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.3. Resultados de utilizar secciones eficaces promediadas . . . . . . . . . . . . 51

6. Deconvolucion de Flujo: el metodo de Unfolding 53

X Indice General

7. Aplicacion al Fechado Geologico 59

7.1. Efectos de no contar con un espectro puramente termico . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1.1. Resultados del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.1.2. Aplicacion a un caso sencillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8. Evaluacion economica del proyecto 67

8.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.1.1. Tareas a realizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.1.2. Implicaciones economicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.2. Evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9. Conclusiones 71

A. Geometrıa de separadores 75

B. Correccion de eficiencia por fuente no puntual y con atenuacion: eff.c 81

C. Programa de convolucion de espectros: convolucion.c 91

Agradecimientos 95

Indice de Figuras

1.1. Trazas de fision en apatita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Detalle de las fuentes IAEA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Detalle de las fuentes CNEA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Detalle de las fuentes IP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4. Detalle de las fuentes NIST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5. Variacion del termino λtme−λtm

1−e−λtmcon el tiempo de medicion . . . . . . . . . . . . . 11

2.6. Primeros puntos experimentales obtenidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7. Curva de eficiencia con la computadora apagada, luego de la limpieza. . . . . . . 14

2.8. Superposicion de las curvas obtenidas en el presente trabajo y en 1995. . . . . . . 14

2.9. Seleccion de datos actuales y de 1995 para ajustar la curva. . . . . . . . . . . . . 18

2.10. Criterio de ajuste de fondo con una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.11. Interpolacion con condicion de tangente horizontal en (x1, y1). . . . . . . . . . . . 20

2.12. Interpolacion con condicion de tangente horizontal en (x2, y2). . . . . . . . . . . . 21

2.13. Ajuste con parabolas de orden 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.14. Criterio de estimacion del error con parabolas de grado 2. . . . . . . . . . . . . . 22

2.15. Ajuste de la curva de eficiencia para tres intervalos de energıa. . . . . . . . . . . 25

2.16. Ajuste de la curva de eficiencia para dos intervalos de energıa. . . . . . . . . . . . 26

2.17. Curva de ajuste con bandas de error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.18. Curva de ajuste definitivo con bandas de error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1. Modelado de una seccion eficaz con umbral energetico. . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Esquema del nucleo del reactor RA-6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1. Diagrama esquematico del dominio de integracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Modificacion de la seccion transversal del alambre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Asociacion de la espiral con un paralelepıpedo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1. Primeros puntos experimentales para la posicion I6. . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2. Primeros puntos experimentales para la posicion F5. . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3. Interferencias causadas por contenido de Mn en el Co. . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4. Espectro de fondo, donde se observan los picos del 46Sc. . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5. Interferencias causadas en el pico de 54Mn debido a la presencia de Fe. . . . . . 46

5.6. Detalle de las reacciones posibles con Co, Fe, Mn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.7. σ(n,γ) del 59Co, superpuesta con la del Cd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.8. σ(n,γ) del 55Mn, superpuesta con la del Cd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

XII Indice General

5.9. Resultados luego de correccion del Co en I6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.10. Resultados luego de correccion del Co en F5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.1. Espectro de fision del 235U y espectro ajustado en I6. . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2. Figura de merito para comparar las representaciones de espectro rapido. . . . . . 58

7.1. Secciones eficaces de fision para 235U ,238U , 232Th. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.2. Flujo a utilizar en la posicion I6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.3. Resultados del calculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.4. Edad que acusarıa el metodo si no se corrigiese la contribucion del Th. . . . . . . 65

8.1. Diagrama de Gantt de las tareas llevadas a cabo durante el Proyecto Integrador. 68

A.1. Disposicion de los separadores respecto del detector. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A.2. Esquema del soporte inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

A.3. Esquema del soporte superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.4. Disposicion de los soportes para las fuentes IP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.5. Disposicion de los soportes para las fuentes IAEA. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A.6. Disposicion de los soportes para las fuentes CNEA. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A.7. Disposicion de las fuentes NIST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Indice de Tablas

2.1. Fuentes patron utilizadas para la calibracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Lıneas de interes para la fuente mixta NIST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Datos de las demas fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4. Cont. de la Tabla 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5. Cont. de la Tabla 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6. Resultados de la nueva medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7. Valores de las funciones de eficiencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8. Incertezas asociadas a cada intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1. Reacciones de interes para la caracterizacion de flujos. . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2. Materiales y tiempos de irradiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1. Propiedades de las hojuelas irradiadas para la correccion del Co . . . . . . . . . . 47

6.1. Ritmos de reaccion experimentales y obtenidos de ajustes en I6. . . . . . . . . . 56

8.1. Capitales iniciales y costos semanales de algunos equipos . . . . . . . . . . . . . . 70

A.1. Distancia fuente-detector en funcion del arreglo de separadores. . . . . . . . . . . 76

XIV Indice de Figuras

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Fechado geologico por el metodo de Trazas de Fision

El fenomeno de la fision espontanea del Uranio y Torio fue descubierto por PETRZHAK y

FLEROV en 1940, en tanto que los primeros intentos de fechar minerales de Uranio se realizaron

hacia el ano 1947, por KHLOPIN y GERLING.

Dentro de los varios metodos que se valen de la fision espontanea del Uranio para hallar la

edad de diversos minerales, el metodo de las trazas de fision consiste en estudiar el dano que

ocasionan en la estructura de un mineral los fragmentos de fision liberados durante este proceso

de decaimiento.

La energıa liberada en el proceso de fision espontanea del 238U , que es aproximadamente

igual a 200 MeV , es suficiente para que los fragmentos desprendidos logren desplazar atomos

del medio mediante sucesivas colisiones.

Si la conductividad electrica del mineral es muy baja, de modo que el dano persista,

puede aprovecharse el hecho de que las zonas danadas tienen mayor solubilidad para algunos

agentes quımicos, de modo que pueden magnificarse las trazas (de, aproximadamente, 10µm)

hasta llevarlas a dimensiones apreciables con un microscopio optico. De esta manera, pueden

obtenerse imagenes como la de la Fig. 1.1.

1.1.1. Estimacion de la edad

El metodo de trazas de fision es aplicable para el fechado de minerales de decenas o centenas

de millones de anos de edad.

Se ha mostrado1 que las trazas encontradas en la mayorıa de los casos corresponden al

isotopo 238U , en tanto que la densidad de trazas originadas por fision espontanea del 235U y del232Th es despreciable.

El 238U decae mediante dos mecanismos:

Fision espontanea, con una constante λf

1Ref. [23]

2 Introduccion

Figura 1.1: Trazas de fision en apatita.

Emision α, con una costante λα.

La probabilidad de decaimiento por fision espontanea es mucho menor que la probabilidad

de decaimiento por emision α.

Este hecho hace posible en en lo sucesivo, cuando se introduzca la constante de decaimiento

λ = λf + λα, pueda hacerse la aproximacion λ ' λα, incurriendo en un error inferior a 0,5 en

un millon.

Si suponemos un mineral que contiene Uranio uniformemente distribuido en su volumen, la

cantidad total de decaimientos (recordemos que solo tenemos en cuenta los del 238U) transcurrido

un tiempo t es:

D = N8 ·(

eλαt − 1)

(1.1)

Hemos introducido las variables:

D : Cantidad de decaimientos del 238U al cabo del tiempo t;

N8 : atomos de 238U por unidad de volumen, al presente;

λα = 1.55125 × 10−10y−1

La cantidad de decaimientos por fision espontanea es:

Fs =λf

λα· N8 ·

(

eλαt − 1)

(1.2)

1.1 Fechado geologico por el metodo de Trazas de Fision 3

Una vez pulida la superficie a observar y ya realizado el ataque quımico, la densidad super-

ficial de trazas sera:

ρs = Fsq = N8 ·(

eλαt − 1)

q, (1.3)

donde q es la fraccion de las trazas que atravesaran la superficie y seran contadas.

Ahora bien, se nos plantea el problema de que no conocemos la concentracion de Uranio

de la muestra. Podrıa ser que se tratara de un mineral de mucha edad y baja concentracion de

Uranio, o el caso contrario: un mineral de poca edad y mucha concentracion de Uranio.

En ambos casos verıamos una densidad superficial de trazas sin ser esto indicador de la edad

de la muestra.

Es aquı donde se hace necesaria la irradiacion en un reactor.

Sabemos que en la naturaleza la relacion entre atomos de 235U y 238U se halla en un valor

proximo a 1138 . La ventaja que ofrece el 235U es la de fisionar con neutrones termicos, en tanto

que el 238U necesita una energıa del orden del MeV para fisionar.

En consecuencia, se calienta la muestra para borrar las trazas ya reveladas (mediante an-

nealing o recocido, que relaja tensiones y recombina defectos) y se la irradia en un reactor con

flujo de neutrones termicos, solo se induciran fisiones en los atomos de 235U segun la ecuacion:

Fi = N5 · Φ · σ (1.4)

que involucra:

Fi : cantidad de fisiones del isotopo 235U inducidas durante la irradiacion ;

N5 : atomos de 235U por unidad de volumen, al presente;

Φ : Fluencia neutronica: Dosis de radiacion en[

ncm2

]

recibida por la muestra. Esta magnitud se

mide mediante un adecuado monitor de flujo;

σ : seccion eficaz de fision promediada en un espectro termico.

Nuevamente, procediendo al ataque quımico de la muestra irradiada y observando en un

microscopio optico hallaremos una densidad de trazas:

ρi = Fiq = N5 · Φ · σq (1.5)

A partir de las Ecs. 1.3 y 1.5 llegamos a que:

ρs

ρi=

λf

λα·(

eλαt − 1

Φ · σ · I

)

(1.6)

I =N5

N8

4 Introduccion

Es a partir de la Ec. 1.6 que se obtiene la ecuacion de la edad :

t =1

λα× ln

[

1 +

(

ρs

ρi

)

·(

λα

λf

)

ΦσI

]

1.1.2. Planteo del problema

El metodo hasta aquı descripto requiere un flujo de neutrones termicos. En la realidad, el

reactor RA-6 no cuenta con una columna termica. El inconveniente que esto ocasiona es el

siguiente: cuando el flujo no esta completamente termalizado, pueden llegar a ser apreciables

las fisiones resonantes y rapidas del 235U . Ademas, la contribucion de las fisiones de 238U y232Th a las trazas inducidas en el material irradiado cobra mayor importancia.

Como las trazas de fision son indistinguibles unas de otras, no resulta posible hacer la

discriminacion del nucleo que las origino. Por lo tanto, si no se esta en condiciones de estimar

la correccion por la existencia de fisiones ya no solo con neutrones termicos sobre nucleos de235U , el metodo de fechado expuesto no es aplicable.

Es a raız de estas dificultades que se plantea la necesidad de caracterizar el espectro rapido

en las dos posiciones de irradiacion del reactor RA-6. Para esto, se requirio un trabajo de

calibracion del equipo de espectroscopıa gamma del Laboratorio de Analisis por Activacion

Neutronica (LAAN ).

Una vez finalizada esta labor, se procedio a la caracterizacion del flujo rapido.

Capıtulo 2

Calibracion en Eficiencia Absoluta

El objetivo del presente Capıtulo es el de hallar una expresion analıtica de la eficiencia

absoluta y del error asociado a ella para el detector de Germanio intrınseco (HPGe) del LAAN

en funcion de la energıa de la radiacion γ incidente para la geometrıa de 26.45 cm.

2.1. Introduccion

Para cualquier dispositivo de deteccion de radiacion, se define como eficiencia absoluta de

deteccion a la relacion entre los eventos que fueron registrados por el dispositivo de medicion y

aquellos ocurridos. Ası,

ε =ncontados

nemitidos(2.1)

A partir de esta definicion, el procedimiento para hallar la expresion analıtica de la

eficiencia en funcion de la energıa consiste en calcular la eficiencia con la que fueron detectados

determinados picos, de diferentes energıas, provenientes de patrones cuyas actividades son

conocidas.

Una vez obtenidos los puntos experimentales, se procede a ajustar curvas a los datos medidos,

con dependencias funcionales sugeridas en la literatura1.

2.2. Metodo experimental

Las mediciones fueron realizadas con un detector coaxial tipo N de Germanio de alta pureza

ORTEC de 67 cm3, con una resolucion de 2 keV FWHM, para 1.33 MeV , con una eficiencia de

10 % relativa a un cristal NaI(Tl) de 7.6 X 7.6 cm a una distancia de 26.45 cm.

La recoleccion de datos se llevo a cabo en 4096 canales con un espectrometro DSPEC 2.

El programa utilizado como interfaz entre el dipositivo experimental y el usuario fue Gamma

Vision 3. No obstante, este programa se empleo solamente para evaluar en que momento se darıa

por finalizada una medicion, ya que para el posterior analisis de los espectros, se empleo la rutina

GAMANAL, incluida en el programa GANAAS4.

1Ref. [1]2ORTECr DSPECPLUST M

Digital Gamma Ray Spectrometer.3Ref. [8]4Ref. [9]

6 Calibracion en Eficiencia Absoluta

Como criterio para la interrupcion de las mediciones, se tomo que los picos con mayor

rendimiento gamma tuvieran, por lo menos, 20000 cuentas.

2.3. Desarrollo

La actividad de la fuente patron al tiempo t viene dada por:

A(t) = A(0)e−λtd (2.2)

donde T1/2 es el perıodo de semidesintegracion; λ = ln(2)T1/2

es la constante de decaimiento y tdes el tiempo que se dejo decaer el patron desde la calibracion.

La cantidad de fotones emitidos con una determinada energıa a partir de un tiempo td y

durante un lapso tm es:

nemitidos =

∫ td+tm

td

y(E)A(t)dt =y(E)A(0)e−λtd(1 − e−λtm)

λ(2.3)

En la Ec. 2.3, y(E) es la fraccion de fotones emitidos con energıa E, por cada desintegracion.

Ahora bien, la cantidad de fotones que escapan de la fuente por unidad de tiempo sin haber

interactuado con los materiales del encapsulado es la tasa de emision:

.N emit (E, t) = a(E)A(t)

donde a(E) es la atenuacion de la fuente para la energıa E y se calcula mediante el cono-

cimiento del coeficiente de atenuacion masico, µρ (E), de los materiales y de las caracterısticas

constructivas de cada encapsulado, segun la relacion:

a(x, E) =I(x, E)

I0(E)= e

−ρx µρ(E)

(2.4)

siendo I0 la intensidad de fotones incidente; x, el espesor; y ρ, la densidad del material.

En suma, a partir de las definiciones anteriores, puede despejarse la eficiencia para la energıa

E a partir de:

Σ(E) =A(0)y(E)ε(E)a(E)e−λtd(1 − e−λtm)

λ(2.5)

donde

Σ(E) es la cantidad de cuentas registradas en el fotopico de energıa E;

A(0) es la actividad inicial de la fuente declarada por el fabricante;

y(E) es el yield para la emision de un foton de energıa E, por cada desintegracion;

a(E) es la atenuacion para la energıa E;

ε(E) es la eficiencia absoluta de deteccion a la energıa E;

2.4 Fuentes utilizadas 7

Tabla 2.1: Fuentes patron utilizadas para la calibracion.

Fuente Proveedor Fecha de referencia A(0) A(td) T1/2

[kBq] [kBq] (NWC)133Ba CNEA 01/03/1997 51.8 31.31 3848.9 ± 0.7 d133Ba IAEA 01/01/1982 416.7 92.92 3848.9 ± 0.7 d137Cs IAEA 01/01/1982 411 243.15 30.07 ± 0.03 a152Eu IAEA 01/01/1982 400.7 124.3 13.516 ± 0.006 a241Am IAEA 01/01/1982 360.6 357.3 432.2 ± 0.7 a60Co IAEA 01/01/1982 346 17.53 1925.1 ± 0.5 d152Eu IP 15/01/1994 377 217.04 13.516 ± 0.006 a226Ra IP 15/03/1994 506.16 503.84 1600 ± 7 a60Co NIST 01/01/1995 36.60 10.29 1925.1 ± 0.5 d

λ = ln(2)T1/2

es la constante de decaimiento del nucleıdo que costituye la fuente;

td es el tiempo de decaimiento transcurrido entre la fabricacion de la fuente y el comienzo de la

medicion;

tm es el tiempo vivo de conteo;

De la Ec. 2.5 podemos despejar la eficiencia directamente:

ε(E) =λΣ(E)

A(0)y(E)a(E)e−λtd(1 − e−λtm)(2.6)

2.4. Fuentes utilizadas

Para el trabajo de calibracion, se hizo uso de las siguientes fuentes patron5:

2.4.1. Datos de los Picos de las Fuentes

Fuente mixta 125Sb-125mTe, 154Eu, 155Eu NIST

Para la fuente mixta NIST6, se actualizo directamente cada una de las tasas de emision.

Para el resto de las fuentes, se utilizaron los datos7de la Tabla 2.3.

2.4.2. Geometrıa de las fuentes y sus materiales constitutivos

Las Figs. 2.1, 2.2, 2.3 y 2.4 muestran las caracterısticas de los encapsulados.

5Si bien en ciertas oportunidades el fabricante proporciona para cada fuente el perıodo de semidesintegracion,

T1/2, este dato fue tomado, en todos los casos, de JAGDISH K. TULI, Nuclear Wallet Cards, January 2000,

National Nuclear Data Center.6Para esta fuente, ya se encuentra calculada la atenuacion de las radiaciones γ y X en el encapsulado, por lo

cual se informa la tasa de emision de fotones, y no la actividad.7Debertin & Helmer, salvo aquellos detallados en las observaciones del inciso 2.5.3.


Tabla 2.2: Lıneas de interes para la fuente mixta NIST.

Radionucleıdo Energıa Tasaemis(0) Tasa actualizada T1/2

[keV] [kBq] [kBq] (NWC)125Sb - 125mTe Kα, 27,4 6,907E+01 No se utilizo 2.75856 ± 0.00025 a - 57.40 ± 0.15 d154Eu - 155Eu Kα, 42,8 4,075E+01 8,760E+00 8.592 ± .004 a - 4.7611 ± 0.0013 a155Eu 86,5 1,559E+01 1,485E+00 4.7611 ± 0.0013 a155Eu 105,3 1,086E+01 1,034E+00 4.7611 ± 0.0013 a154Eu 123,1 6,345E+01 1,724E+01 8.592 ± .004 a125Sb 176,3 7,578E+00 1,310E-01 2.75856 ± 0.00025 a154Eu 247,7 1,075E+01 2,921E+00 8.592 ± .004 a125Sb 427,9 3,294E+01 5,693E-01 2.75856 ± 0.00025 a125Sb 463,4 1,158E+01 2,001E-01 2.75856 ± 0.00025 a154Eu 591,8 7,697E+00 2,092E+00 8.592 ± .004 a125Sb 600,6 1,957E+01 3,382E-01 2.75856 ± 0.00025 a125Sb 635,9 1,251E+01 2,162E-01 2.75856 ± 0.00025 a154Eu 723,3 3,124E+01 8,489E+00 8.592 ± .004 a154Eu 873,2 1,896E+01 5,152E+00 8.592 ± .004 a154Eu 996,3 1,623E+01 4,410E+00 8.592 ± .004 a154Eu 1004,7 2,814E+01 7,647E+00 8.592 ± .004 a154Eu 1274,5 5,424E+01 1,474E+01 8.592 ± .004 a154Eu 1596,4 2,757E+00 7,492E-01 8.592 ± .004 a

Tabla 2.3: Datos de las demas fuentesFuente E[keV ] ∆E[keV ] y[ %] ∆y[ %]60Co 1173,238 0,004 99,890 0,020

1332,502 0,005 99,983 0,001133Ba (X) 30,625 33,5 0,8

(X) 30,973 62,0 1,3

(X) 35,2 22,2 0,6

53,161 0,0015 2,20 0,04

79,6127 0,0015 2,63 0,08

80,9975 0,0010 34,1 0,5

276,4000 0,0015 7,17 0,04

302,8527 0,0010 18,32 0,07

356,0146 0,0015 62,0 0,3

383,8505 0,0015 8,93 0,06137Cs (X) 31,817 1,99 0,07

(X) 32,194 3,68 0,012

(X) 36,5 1,34 0,05

661,660 0,003 85,20 0,20

2.4 Fuentes utilizadas 9

Tabla 2.4: Cont. de la Tabla 2.3.Fuente E[keV ] ∆E[keV ] y[ %] ∆y[ %]152Eu (X) 39,522 21,0 0,7

(X) 40,118 38,0 1,1

(X) 45,50 14,8 0,5

121,7824 0,0004 28,40 0,15

244,6989 0,0010 7,54 0,05

344,2811 0,0019 26,52 0,18

411,126 0,030 2,246 0,0160

443,965 0,004 3,10 0,02

778,920 0,004 12,94 0,07

867,390 0,006 4,23 0,03

964,055 0,004 14,60 0,08

1085,842 0,004 10,09 0,04

1089,767 0,014 1,737 0,008

1112,087 0,006 13,56 0,06

1212,970 0,013 1,423 0,010

1299,152 0,090 1,630 0,010

1408,022 0,004 20,80 0,12

Tabla 2.5: Cont. de la Tabla 2.3.Fuente E[keV ] ∆E[keV ] y[ %] ∆y[ %]226Ra 46,539 0,001 4,24 0,09

53,226 0,002 1,11 0,05

89,8 0,1 1,3100 0,13

186,21 0,02 3,51 0,06

241,979 0,007 7,12 0,11

295,207 0,007 18,2 0,3

351,925 0,007 35,1 0,4

609,318 0,004 44,6 0,5

768,364 0,006 4,76 0,07

934,060 0,012 3,07 0,04

1120,285 0,010 14,7 0,2

1238,110 0,012 5,78 0,07

1377,669 0,012 3,92 0,08

1729,595 0,015 2,88 0,06

1764,515 0,010 15,1 0,3

2118,551 0,080 1,17 0,03

2204,105 0,013 4,98 0,12

2447,709 0,030 1,55 0,04241Am 59,537 0,001 35,9 0,4


0.52

+/−

0.0

2 m

m0.

22 m

m

Fuente

PoliestirenoAluminio

Figura 2.1: Detalle de las fuentes IAEA.

0.01

2 m

m

Mylar

Fuente

Figura 2.2: Detalle de las fuentes CNEA.

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!""#####$$ %&

'''''''''''

(((((((((((

))**++++++++++++++++++,,,,,,,,,,,,,,,,,, ---...///////////////00000000000.

254

mm

0.06

5 m

m (a

prox

.)

Kapton (Parte posterior)

FuenteMylar aluminizado (Parte anterior)

Figura 2.3: Detalle de las fuentes IP.

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111222222222222222222222222222222222222222222222222222222222333444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444555555555555555555555555555555555555555555555555555555555666666666666666666667777777777777777777

8888888888888899999999999999

0.06

mm

Fuente

Poliéster

:::;;;

Figura 2.4: Detalle de las fuentes NIST.

2.5. Analisis de datos y discusion

2.5.1. Propagacion de errores

Para cada energıa se tiene:

2.5 Analisis de datos y discusion 11

[

∆ε

ε

]2

=

[

∆Σ

Σ

]2

+

[

∆A(0)

A(0)

]2

+

[

∆y

y

]2

+

[

∆a

a

]2

+

[λ∆td]2 +

[

λe−λtm∆tm1 − e−λtm

]2

+

[

1 + λtd −λtme−λtm

1 − e−λtm

]2[∆λ

λ

]2

De la propagacion anterior pueden hacerse algunas observaciones importantes, a partir de

los factores (pesos) que afectan al error en cada una de las variables intervinientes:

0 2 4 6 8λ tm

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

λtm

·e(-

λtm

) /(1-

e(-λt

m) )

Figura 2.5: Variacion del termino λtme−λtm

1−e−λtmcon el tiempo de medicion

∆td esta linealmente pesado con λ. Por lo tanto, cuanto mas rapidamente decaiga el patron,

mayor sera la contribucion de ∆td al error en ε;

∆λλ esta pesado con td, por lo cual grandes tiempos de decaimiento hacen que la contribu-

cion de ∆λλ al error en la eficiencia sea mayor;

El termino ∆λλ tambien esta pesado con −λtme−λtm

1−e−λtm, cuya grafica se muestra en la Fig. 2.5.

Se aprecia que para tiempos de medicion suficientemente largos, la contribucion (negativa)

de este peso disminuye, aumentando ası el error en la eficiencia.

Valiendonos de la Fig. 2.5, podemos simplificar la ecuacion anterior ya que, para el caso

mas desfavorable (es decir, para el caso de la fuente 125Sb, que tiene la vida media mas corta

entre todas las fuentes empleadas), el termino −λtme−λtm

1−e−λtmes ' 1 con un error inferior al 0.04 %.

Gracias a eso, podemos reexpresar:

[

∆ε

ε

]2

=

[

∆Σ

Σ

]2

+

[

∆A(0)

A(0)

]2

+

[

∆y

y

]2

+

[

∆a

a

]2

+ (λtd)2

[

[

∆λ

λ

]2

+

[

∆tdtd

]2]

+

[

∆tmtm

]2

Para el modelo de atenuacion propuesto en la Ec. 2.4, el error relativo en a(E) se puede

expresar como:

∆a(E)

a(E)=

√

[

µ

ρρ ∆x

]2

+

[

ρ x ∆(µ

ρ)

]2

+

[

µ

ρx ∆ρ

]2


En virtud de los errores muy pequenos con los que estan conocidas las densidades, puede

aproximarse la expresion anterior por:

∆a(E)

a(E)=

√

(µ

ρρ ∆x)

2+ (ρ x ∆(

µ

ρ))

2

Asimismo, como estimador del error en µρ , se tomo el doble del menor valor en el que variaba

el numero suministrado por XMuDat8.

Como para todas las energıas, XMuDat trabaja con tres cifras decimales, se tomo:

∆(µ

ρ) ' 2. 10−3(

µ

ρ) → ∆a(E)

a(E)' µ

√

(∆x)2 + (2. 10−3 x)2

2.5.2. Tratamiento de los rayos X del 154Eu y 155

Eu de la fuente NIST

Los rayos X de 42.8 keV de la fuente mixta NIST provienen de dos nucleıdos de Eu con

vidas medias diferentes. Por lo tanto, no se pudo emplear para este caso la Ec. 2.6, sino que se

resolvio partiendo de:

ε(E) =Σ(E)

Nemit

Nemit =

∫ td+tm

td

A(t).y(42.8).a(42.8)dt ;

A(t) = A(0).y(42.8).a(42.8)(a1e−λ1t + a2e

−λ2t)

donde a1 = 0.6795 y a2 = 0.3205 son proporcionados por NIST y supuestos libres de error.

Con estos datos, se calcula la eficiencia para 42.8 keV como:

ε =Σ

A(0)

1a1λ1

e−λ1td(1 − e−λ1tm) + a2λ2

e−λ2td(1 − e−λ2tm)

Propagando errores, se llega a que9:

[

∆ε

ε

]2

=

[

∆Σ

Σ

]2

+

[

∆A(0)

A(0)

]2

+

+

[

A(0)

Σε[

−a1e−λ1td(1 − e−λ1tm) − a2e

−λ2td(1 − e−λ2tm)]

∆td

]2

+

+

[

A(0)

Σε[

a1e−λ1(td+tm) + a2e

−λ2(td+tm)]

∆tm

]2

+

8Ref. [10]9No se consideraron errores en los yields ni en las atenuaciones, pues para las fuentes NIST, A(0) es la tasa de

emision.


+

[

A(0)

Σε

[

a1

λ12

[

e−λ1td(1 − e−λ1tm)(−1 − λ1td) + λ1tme−λ1(td+tm)]

]

∆λ1

]2

+

+

[

A(0)

Σε

[

a2

λ22

[

e−λ2td(1 − e−λ2tm)(−1 − λ2td) + λ2tme−λ2(td+tm)]

]

∆λ2

]2

100 1000E [keV]

1×10-5

1×10-4

1×10-3

Efic

ienc

ia a

bsol

uta,

ε

Figura 2.6: Primeros puntos experimentales obtenidos.

Los resultados expuestos en la Fig. 2.6 no son satisfactorios: para energıas inferiores a

100 keV ,la curva parece ramificarse, lo cual carece de significado fısico.

Luego de revisar los datos obtenidos, como ası tambien los criterios de ajuste del espectro

de fondo para los picos conflictivos, se llego a la conclusion de que existıa un problema con la

electronica, en particular, en el conexionado de las masas, por lo que se opto por repetir las

mediciones con la computadora apagada.

Este cambio no aparejo grandes avances, pero mas tarde se encontro que habıa mucho polvo

sobre el dispositivo de medicion, lo cual pudo haber impedido la correcta ventilacion y tambien

pudo haber generado ruido.

Una vez limpiado el equipo, se observo una mejorıa en los resultados, los cuales se han

volcado a la Fig. 2.7.

Notese que para energıas inferiores a 40 keV persiste el desdoblamiento de la curva de

eficiencia, lo cual es indicador de que aun continuan los problemas con el sistema de deteccion

para bajas energıas.

Para contemplar tiempos de estabilizacion de la electronica, se volvieron a tomar las medi-

ciones, cuyos valores se transcriben a la Tabla 2.6.


Como la mejorıa alcanzada en esta nueva medicion no era notoria para bajas energıas, la

solucion adoptada al respecto fue la siguiente: la comparacion (ver Fig. 2.8) entre los datos

obtenidos en esta oportunidad y aquellos obtenidos10 en el ano 1995 muestra que para energıas

comprendidas entre ' 45 keV y ' 1500 keV , los datos experimentales se corresponden de

10Calibracion realizada por la Dra. Marıa A. Arribere.

100 1000E [keV]

10-5

10-4

10-3

Efic

ienc

ia a

bsol

uta,

ε

Figura 2.7: Curva de eficiencia con la computadora apagada, luego de la limpieza.

100 1000E [keV]

10-5

10-4

10-3

Efic

ienc

ia a

bsol

uta,

ε

Datos actualesDatos 1995

Figura 2.8: Superposicion de las curvas obtenidas en el presente trabajo y en 1995.


Tabla 2.6: Resultados de la nueva medicionFuente y Proveedor Energıa Eficiencia Incerteza asociada Error relativo

[keV] [%]133Ba IAEA

30,625 5,344E-05 1,962E-05 36,7

35,2 1,683E-04 2,270E-05 13,5

53,161 1,165E-03 6,160E-05 5,3

80,998 1,160E-03 7,884E-05 6,8

276,4 6,150E-04 2,266E-05 3,7

302,853 5,499E-04 1,938E-05 3,5

356,015 4,630E-04 1,813E-05 3,9

383,851 4,209E-04 1,626E-05 3,9133Ba CNEA

30,625 3,178E-04 3,639E-05 11,4

35,2 7,998E-04 1,292E-04 16,2

53,161 1,175E-03 7,229E-05 6,2

80,998 1,161E-03 9,063E-05 7,8

276,4 6,047E-04 2,884E-05 4,8

302,853 5,479E-04 2,350E-05 4,3

356,015 4,568E-04 2,030E-05 4,4

383,851 4,201E-04 1,972E-05 4,7

manera muy aceptable.

Valiendonos de esta correspondencia, hemos adoptado los puntos medidos en 1995 para altas

energıas, dado el caracter acotado del rango estudiado en el presente trabajo. Los datos agregados

se detallan a continuacion:

Nucleıdo Energıa Eficiencia Absoluta Incerteza

[keV] [ %]56Mn 2522.95 6.85E-05 4.1

2657.58 6.04E-05 4.1

2858.96 5.28E-05 5.3

3369.72 5.05E-05 6.7

Asimismo, se descartaron los puntos de menor energıa, ya que la ”baja”de la curva no

responde a fenomenos en la fısica del detector, sino a problemas en la electronica asociada,

hecho que se ve refrendado por lo disımiles que resultaron mediciones para picos de la misma

energıa.

Una vez descartados estos puntos, se tomaron para la zona de bajas energıas los puntos

obtenidos en 1995 con el solo fin de condicionar el comportamiento de la curva de ajuste, con

lo cual se impiden variaciones bruscas de los valores funcionales en dicha region.


Fuente y Proveedor Energıa Eficiencia Incerteza asociada Error relativo

[keV] [ %]60Co IAEA

1173,238 1,392E-04 1,869E-06 1,3

1332,502 1,247E-04 2,007E-06 1,6241Am IAEA

59,537 1,189E-03 6,767E-05 5,7137Cs IAEA

36,5 5,251E-05 2,722E-06 5,2

661,66 2,382E-04 1,037E-05 4,4152Eu IAEA

40,118 1,091E-03 6,357E-05 5,8

45,5 1,156E-03 1,838E-04 15,9

121,782 1,127E-03 5,796E-05 5,1

244,699 7,002E-04 2,609E-05 3,7

344,281 4,829E-04 1,684E-05 3,5

411,126 3,803E-04 1,545E-05 4,1

443,965 3,679E-04 1,328E-05 3,6

778,92 2,087E-04 5,648E-06 2,7

867,39 1,922E-04 6,444E-06 3,4

964,055 1,673E-04 4,041E-06 2,4

1085,842 1,493E-04 3,665E-06 2,5

1089,767 1,483E-04 6,920E-06 4,7

1112,087 1,492E-04 3,733E-06 2,5

1212,97 1,290E-04 7,553E-06 5,9

1299,152 1,241E-04 5,742E-06 4,6

1408,022 1,180E-04 2,756E-06 2,3152Eu IP

40,118 8,379E-04 5,367E-05 6,4

45,50 1,130E-03 1,309E-04 11,6

121,782 1,144E-03 5,957E-05 5,2

244,699 6,953E-04 3,342E-05 4,8

344,281 4,816E-04 2,348E-05 4,9

411,126 3,906E-04 1,649E-05 4,2

443,965 3,681E-04 1,526E-05 4,1

778,92 2,039E-04 7,309E-06 3,6

867,39 1,824E-04 6,949E-06 3,8

964,055 1,666E-04 5,761E-06 3,5

1085,842 1,492E-04 5,252E-06 3,5

1089,767 1,448E-04 6,399E-06 4,4

1112,087 1,476E-04 5,444E-06 3,7

1212,97 1,410E-04 7,017E-06 5,0

1299,152 1,275E-04 5,203E-06 4,1

1408,022 1,182E-04 4,353E-06 3,7


Fuente y Proveedor Energıa Eficiencia Incerteza asociada Error relativo

[keV] [ %]226Ra IP

53,226 1,168E-03 6,983E-05 6,0

89,8 1,101E-03 1,199E-04 10,9

186,21 9,087E-04 2,840E-05 3,1

241,979 7,130E-04 2,212E-05 3,1

295,207 5,699E-04 1,814E-05 3,2

351,925 4,702E-04 1,135E-05 2,4

609,318 2,616E-04 4,645E-06 1,8

768,364 2,130E-04 5,205E-06 2,4

934,06 1,705E-04 4,839E-06 2,8

1120,285 1,461E-04 2,514E-06 1,7

1238,11 1,336E-04 2,734E-06 2,0

1377,669 1,190E-04 3,561E-06 3,0

1729,595 9,455E-05 2,700E-06 2,9

1764,515 9,350E-05 2,176E-06 2,360Co NIST

1173,238 1,397E-04 1,667E-06 1,2

1332,502 1,236E-04 1,297E-06 1,0

Fuente mixta NIST

42,8 1,135E-03 4,483E-05 4,0

86,5 1,175E-03 7,128E-05 6,1

105,3 1,137E-03 5,968E-05 5,2

123,1 1,132E-03 1,588E-05 1,4

176,3 9,706E-04 8,537E-05 8,8

247,7 6,812E-04 2,036E-05 3,0

427,9 3,754E-04 1,606E-05 4,3

463,4 3,643E-04 3,874E-05 10,6

591,8 2,717E-04 7,141E-06 2,6

600,6 2,701E-04 1,949E-05 7,2

635,9 2,650E-04 3,278E-05 12,4

723,3 2,213E-04 2,850E-06 1,3

873,2 1,803E-04 3,364E-06 1,9

996,3 1,634E-04 2,955E-06 1,8

1004,7 1,596E-04 1,844E-06 1,2

1274,5 1,283E-04 1,375E-06 1,1

1596,4 1,052E-04 2,641E-06 2,5


No obstante este recurso, debe recordarse que la curva ası obtenida sera valida solamente a

partir de los 40 keV.

100 1000E [keV]

10-5

10-4

10-3

Efic

ienc

ia a

bsol

uta,

ε

Datos seleccionados

Figura 2.9: Seleccion de datos actuales y de 1995 para ajustar la curva.

Los puntos resultantes de esta seleccion se hallan plasmados en la Fig. 2.9.

A partir de este momento, estamos en condiciones de hallar la expresion analıtica de la

eficiencia.

2.5.3. Ajuste de fondo y error asociado para picos de baja energıa

Para picos con energıas menores a 100 keV aproximadamente, los ajustes de fondo realizados

por GANAAS no son satisfactorios, debido a la complejidad del continuo Compton sobre el que

estan montados y a que su forma puede alejarse de tener un comportamiento Gaussiano.

Con el objeto de poder ajustar los picos de bajas energıas, se debio recurrir a algun criterio

de ajuste de fondo que fuera reproducible para todos estos picos.

Un criterio facilmente reproducible e instrumentable con una planilla de calculo es el de

ajuste del continuo Compton con una lınea recta11.

Este criterio consiste en determinar tres regiones: una de fondo a la izquierda del fotopico;

una Region de Interes (ROI); y otra region de fondo a la derecha del fotopico, segun se aprecia

en la Fig. 2.10.

La region de fondo izquierda esta delimitada por los canales Fl y Ll, siendo Nl la cantidad

de canales. A partir de los datos de esta zona, se halla el promedio de abscisas y ordenadas, con

lo cual esta region de fondo se halla representada por el punto resultante de este promediado,

11Ref. [2]


lBNl Nh

Np Bh

Ll pF Lp Fh LhFl

p)Y(F

(X h,Yh)(X l ,Yl )

Y(Lp)

<<== >?>>?>@?@@?@A?A?A?A?A?A?A?A?A?A?A?AA?A?A?A?A?A?A?A?A?A?A?AA?A?A?A?A?A?A?A?A?A?A?AA?A?A?A?A?A?A?A?A?A?A?AA?A?A?A?A?A?A?A?A?A?A?AA?A?A?A?A?A?A?A?A?A?A?AB?B?B?B?B?B?B?B?B?B?BB?B?B?B?B?B?B?B?B?B?BB?B?B?B?B?B?B?B?B?B?BB?B?B?B?B?B?B?B?B?B?BB?B?B?B?B?B?B?B?B?B?BB?B?B?B?B?B?B?B?B?B?B

C?C?C?CC?C?C?CC?C?C?CC?C?C?CC?C?C?CC?C?C?CD?D?D?DD?D?D?DD?D?D?DD?D?D?DD?D?D?DD?D?D?D

E?E?EE?E?EE?E?EE?E?EE?E?EF?F?FF?F?FF?F?FF?F?FF?F?FGGGG

GGGGGG

P

Figura 2.10: Criterio de ajuste de fondo con una recta.

cuyas coordenadas son (Xl, Yl). La suma de las cuentas en estos canales es Bl.

De manera analoga a la anterior, se opera en la region de fondo derecha, delimitada por los

canales Fh y Lh, siendo Nh la cantidad de canales, con lo cual se halla el punto (Xh, Yh). La

suma de las cuentas en estos canales es Bh.

En cuanto a la ROI, esta se encuentra delimitada por una cantidad Np de canales,

comprendidos entre Fp y Lp.

Ahora bien, suponiendo que:

El fotopico esta bien resuelto;

No hay incerteza en la ROI;

La varianza en la determinacion del fondo es funcion solamente de las incertezas estadısticas

en Bl y Bh, las cuales se estiman como S2(Bl) = Bl y S2(Bh) = Bh.

Puede llegarse a que:

B = [Y (Fp) + Y (Lp)] .Np

2

donde

Y (Fp) = m.Fp + b

Y (Lp) = m.Lp + b


con

m =Yh − Yl

Xh − Xl

b =Xh.Yl − Xl.Yh

Xh − Xl

La varianza en el fondo B es:

S2(B) =

[

Np

2

]2 [

K2 Bh

N2h

+ (2 − K)2Bl

N2l

]

K =Fp + Lp − 2Xl

Xh − Xl

Al emplear este criterio, se encontro que, si bien las areas asignadas a los picos eran adecua-

das, los errores asociados estaban subestimados (por ejemplo, errores relativos inferiores al 2 %,

lo cual es demasiado bajo, tomando en cuenta la complejidad del fondo).

Los principales motivos de que no se estimaran los fondos correctamente radican en que las

suposiciones de que la ROI esta determinada sin error y de que los picos estan bien resueltos

no se cumplen en ningun caso.

Debido a este inconveniente, se genero otro criterio de estimacion del error, pero se conservo el

valor del area arrojado por el metodo anterior.

Este nuevo metodo consiste en trazar parabolas de orden 2 entre puntos determinados en el

calculo del fondo y suponer que la funcion que ajusta al fondo dentro de la ROI estara acotada

por estas parabolas12.

(X2−X )/21

(X1,Y1)

(X2,Y2)

HIHIHIHIHIHIHIHIHIHJIJIJIJIJIJIJIJIJIJKIKIKIKIKIKIKIKIKIKIKKIKIKIKIKIKIKIKIKIKIKKIKIKIKIKIKIKIKIKIKIKKIKIKIKIKIKIKIKIKIKIKKIKIKIKIKIKIKIKIKIKIKLILILILILILILILILILILLILILILILILILILILILILLILILILILILILILILILILLILILILILILILILILILILLILILILILILILILILILIL

MMMMMMMMMMMM

NNNNNNNNNNNNOIOIOIOIOIOIOIOIOIOIOPIPIPIPIPIPIPIPIPIPIPQQQRR

RSSSSSTTTTT

UUUUUUUUUVVVVVVVVVTangente horizontal f (x)1

Figura 2.11: Interpolacion con condicion de tangente horizontal en (x1, y1).

Dados dos puntos no coincidentes de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) (para el analisis, supo-

nemos x2 > x1 e y2 > y1, por una cuestion de visualizacion), si pedimos condicion de tangente

horizontal en (x1, y1), la parabola de grado 2 que interpola dichos puntos (Fig. 2.11) es:

f1(x) =y2 − y1

(x2 − x1)2 .(x − x1)

2 + y1

12Se eligio orden 2 debido a la facilidad de obtener una expresion analıtica de la curva de la parabola, segun se

detallara mas adelante.


(X1,Y1)

(X2,Y2)(X2−X1)/2

WXWXWXWXWXWXWXWXWXWWXWXWXWXWXWXWXWXWXWWXWXWXWXWXWXWXWXWXWWXWXWXWXWXWXWXWXWXWYXYXYXYXYXYXYXYXYXYYXYXYXYXYXYXYXYXYXYYXYXYXYXYXYXYXYXYXYYXYXYXYXYXYXYXYXYXY

ZXZXZXZXZXZXZXZXZXZ[X[X[X[X[X[X[X[X[X[\X\X\X\X\X\X\X\X\X\X\X\X\X\X\X\X\X\X\]X]X]X]X]X]X]X]X]X]X]X]X]X]X]X]X]X]X]

^^^^^^^^

_X_X_X_X_X_X_X_X_X_`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X``X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X``X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X``X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X``X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X``X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X``X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X``X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`X`aXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXa

bbbbb ccdd

f (x)2

Tangente horizontal

Figura 2.12: Interpolacion con condicion de tangente horizontal en (x2, y2).

Analogamente, si exigimos la condicion de tangente horizontal en (x2, y2) (Fig. 2.12) ten-

dremos:

f2(x) =y1 − y2

(x1 − x2)2 .(x − x2)

2 + y2

El area comprendida entre ambas curvas es:

A =

∫ x2

x1

[f1(x) − f2(x)] dx =1

3(x2 − x1)(y2 − y1)

(X1,Y1)

(X2,Y2)(X2−X1)/2

(X2−X1)

efefefefefefefefefeefefefefefefefefefeefefefefefefefefefeefefefefefefefefefegfgfgfgfgfgfgfgfgfggfgfgfgfgfgfgfgfgfggfgfgfgfgfgfgfgfgfggfgfgfgfgfgfgfgfgfg

hfhfhfhfhfhfhfhfhfhhfhfhfhfhfhfhfhfhfhhfhfhfhfhfhfhfhfhfhhfhfhfhfhfhfhfhfhfhifififififififififiifififififififififiifififififififififiifififififififififi

jfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfklflflflflflflflflflflflflflflflflflfllflflflflflflflflflflflflflflflflflfllflflflflflflflflflflflflflflflflflfllflflflflflflflflflflflflflflflflflfllflflflflflflflflflflflflflflflflflfllflflflflflflflflflflflflflflflflflfllflflflflflflflflflflflflflflflflflfllflflflflflflflflflflflflflflflflflflmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfmfm

nfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnofofofofofofofofofofofofofofofofofofoFigura 2.13: Ajuste con parabolas de orden 2.

Esta area se encuentra sombreada en la Fig. 2.13.

En rigor de verdad, no sera cierto que la totalidad de la parabola este coprendida en

la region de interes. Es en este momento que se empalma este criterio de estimacion del

error con el metodo de ajuste de fondo con una recta: tomaremos como canales de ROI

(region de integracion entre las parabolas) los mismos adoptados para la evaluacion del area del

pico, en tanto que los puntos (x1, y1) y (x2, y2) equivaldran a (Ll, Yl) y (Fh, Yh), respectivamente.

Esta correspondencia se muestra en la Fig. 2.14.

Por lo tanto, refiriendonos a la notacion de la Fig. 2.10, el area entre las parabolas en ROI

es:

∆P =

∫ Lp

Fp

[f1(x) − f2(x)] dx =


(Xl,Yl) (Ll,Yl)

(Fp,Yl)

(Fh,Yh)

(Xh,Yh)

Fl LhFhLpFpLl

ppqqrsrtst uuvvwx yyyyzzz

zzzzzz

ssssssssssss|s|s|s|s|s|s||s|s|s|s|s|s| ssssssssss~s~s~s~s~s~~s~s~s~s~s~ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss

Zona en la cual se calcula el error

Recta de ajuste de fondo

Figura 2.14: Criterio de estimacion del error con parabolas de grado 2.

= (Yh − Yl)

[

1

(Fh − Ll)2

[

2

3(L3

p − F 3p ) − (Ll + Fh)(L2

p − F 2p ) + (L2

l + F 2h )(Lp − Lp)

]

− (Lp − Fp)

]

Una ultima observacion respecto de los ajustes de fondos es la siguiente: en determinados

casos, los picos a ajustar se encontraban muy proximos (→ dobletes), por lo que el criterio de

ajuste del fondo con recta no podıa ser aplicado allı.

En estos casos particulares (picos de 30 y 35 keV del 133Ba y picos de 40 y 45 keV del152Eu), el ajuste consistio en el agregado de puntos en la zona comprendida entre los dos picos,

contruidos mediante el seguimiento del comportamiento de cada pico con una curva suave

instrumentada manualmente (de modo que la suma de las cuentas de cada curva en el canal en

cuestion equivaliese al valor medido) y cuyo unico fundamento es el de estimar cuanto vale el

fondo en esa zona.

En virtud de no haber podido ajustar el fondo con rectas, se ajustaron polinomios de

distintos ordenes y se empleo el criterio de las parabolas para la estimacion del error, aunque

en estos casos los puntos de referencia de las parabolas fueron escogidos de manera arbitraria,

tal que se tuviera una gran probabilidad de que el fondo se encontrase entre ellas.

Algunas observaciones

El pico de 46.539 keV de la fuente de 226Ra (T1/2 = 1600 a) IP no fue tenido en cuenta,

ya que corresponde al 210Pb (T1/2 = 22.3 a), que no se encuentra en equilibrio secular con

el padre.

No se hallaron datos sobre µρ para el mylar aluminizado de las fuentes IP, por lo que se

calculo la atenuacion para mylar solamente. Esta diferencia se contemplo en aumentar en

un factor cinco el error relativo tomado para µρ respecto del de las demas fuentes.


No se considero al autoblindaje dentro del material disperso de la fuente, pues no se

disponıa de datos para evaluar esta atenuacion adecuadamente. De todos modos, es una

correccion de segundo orden.

Para picos con energıas muy proximas entre sı (30.625 y 30.973 keV del 133Ba; 79.6127

y 80.9975 keV del 133Ba; 39.522 y 40.118 keV del 152Eu), se asociaron las cuentas de

ambos picos a uno solo, con rendimiento gamma equivalente a la suma de los rendimientos

gamma individuales.

El pico de 36.5 keV del 137Cs no fue considerado, debido a los problemas con la electronica.

Para la fuente de 226Ra, se agregaron13 energıas que no figuraban en el libro de Debertin

& Helmer. A saber: Eγ = 1729.595(15) keV, Iγ = 2.88(6) %; Eγ = 1377.669(12) keV, Iγ =

3.92(8) %; Eγ = 53.226(2) keV, Iγ = 1.11(5) % y EX = 89.8(1) keV, IX = 1.31(13) %14.

2.5.4. Ajuste de la curva

Con en fin de ajustar la curva de eficiencia a los datos experimentales, se dividio el dominio

de energıas en intervalos (inicialmente, 3) y se ajusto cada tramo con una funcion del tipo:

log(ε) =n∑

j=0

aj [log(E/E0)]j

siendo:

n, el grado del polinomio logarıtmico de ajuste;

aj , con j = 0, ..., n, coeficientes a determinar a partir del ajuste;

E, la energıa en keV ;

E0, una constante igual a 1 keV .

Primer Tramo Segundo Tramo Tercer Tramo

35.2 - 276.4 keV 241.949 - 1408.02 keV 1274.4 - 3369.72 keV

Observaciones para el primer tramo:

Para n = 4, n = 5, n = 6, aparecen curvaturas sin significado fısico, pues los grados de

libertad del polinomio de ajuste conllevan a la interpolacion de los datos.

Observaciones para el segundo tramo:

Para n = 3, n = 4 no hay mejoras respecto de n = 2.

Observaciones para el tercer tramo:

Para n = 3, n = 4 no hay mejoras respecto de n = 2.

A altas energıas, aparecen curvaturas sin significado fısico para n > 3.

13Ref. [4]14Ref. [5]


2.5.5. Caracterısticas del empalme

15NOTA: Al momento de empalmar las curvas, se priorizo la continuidad de los valores

funcionales, exigiendo continuidad de la derivada primera como un requerimiento de segundo

orden.

Primer tramo : Ajustes con polinomios de grados 2, 3 y 4.

Segundo tramo : Ajustes con polinomios de grados 1 y 2.

Tercer tramo : Ajustes con polinomios de grados 1 y 2.

Para el empalme 10 → 20, el polinomio de grado 1 (tramo 2) no satisface continuidad de la

funcion ⇒ descartado.

Para el empalme 10 → 20, el polinomio de grado 3 (tramo 1) empalma con menor ∆ dd(Log(E))

⇒ grado 4 descartado.

Para el empalme 10 → 20, el polinomio de grado 2 (tramo 1) no satisface continuidad de la

funcion ⇒ grado 2 descartado.

Para el empalme 20 → 30,el polinomio de grado 1 (tramo 3) empalma con menor ∆ dd(Log(E))

⇒ grado 2 descartado.

De lo anterior, tenemos:

Primer Tramo Segundo Tramo Tercer Tramo

Polinomio grado 3 Polinomio grado 2 Polinomio grado 1

Ajustando cada tramo con polinomios tenemos:

Primer tramo:

Log(ε) = 0.73668 − 6.7783.Log(E/E0) + 4.0949. [Log(E/E0)]2 − 0.81173. [Log(E/E0)]

3

Segundo tramo:

Log(ε) = 0.31431 − 1.7834.Log(E/E0) + 0.13829. [Log(E/E0)]2

Tercer tramo:

Log(ε) = −0.70946 − 1.0237.Log(E/E0)

Tomando la energıa E en keV y fijando arbitrariamente el valor E0 = 1 keV , podemos

eliminar E0 de las ecuaciones.

Para cada tramo la efciencia toma la forma:

ε(E) = 10Pn

j=0 aj [log(E)]j

15Por cuestiones de repetitividad, ”10”hara referencia al primer intervalo; ”20”, al segundo y ası sucesivamente


Si aplicamos la propiedad:

f(x) = ax =⇒ d [f(x)]

dx= ln(a).f(x)

conjuntamente con la Regla de la Cadena, tendremos:

d

dE[ε(E)] = ln(10)ε(E).

n∑

j=1

j.aj [log(E)]j−1

Para cada empalme, se evalua la discontinuidad porcentual en la derivada primera. Ası:

Empalme 10 → 20 Empalme 20 → 30

Abscisa E= 272.023 keV E= 1327.77 keV

ε(E) 6.196130E-04 1.239933E-04

Discontinuidad en la 14.72 % 10.17 %

derivada primera

100 1000E [keV]

10-5

10-4

10-3

Efic

ienc

ia A

bsol

uta,

ε

E = 272.023 keV E = 1327.77 keV

Ajuste en tres tramosPuntos experimentales

Figura 2.15: Ajuste de la curva de eficiencia para tres intervalos de energıa.

Los resultados de este ajuste se muestran en la Fig. 2.15.

Si bien el ajuste anterior parece satisfactorio, cabe preguntarse si no es posible reducir la dis-

continuidad en la derivada primera en el segundo empalme, mediante una eleccion mas adecuada

de los intervalos de empalme.

Con este objetivo, se evaluo la posibilidad de subdividir el dominio de energıas en solo dos

intervalos.


Planteando el mismo rango para el primer intervalo y procediendo de manera similar al caso

anterior, se llego a que:

Tramo izquierdo:16

Log(ε) = 0.73668 − 6.7783.Log(E) + 4.0949. [Log(E)]2 − 0.81173. [Log(E)]3

Tramo derecho:

Log(ε) = 2.906 − 4.6953.Log(E) + 1.2241. [Log(E)]2 − 0.1343. [Log(E)]3

Los detalles del empalme se resumen a continuacion:

Empalme 10 → 20

Abscisa E= 273.05 keV

ε(E) 6.165808E-04

Discontinuidad en la 14.02 %

derivada primera

100 1000E [keV]

10-5

10-4

10-3

Efic

ienc

ia a

bsol

uta,

ε

E = 273.05 keV

Ajuste 2 tramosPuntos experimentales

Figura 2.16: Ajuste de la curva de eficiencia para dos intervalos de energıa.

El resultado de este nuevo ajuste se observa en la Fig. 2.16.

Como puede apreciarse, se ha suavizado notablemente el comportamiento que aparecıa en el

lugar del segundo empalme, como ası tambien ha disminuido la discontinuidad en la derivada

16El ajuste es el mismo que en la oportunidad anterior.

2.6 Resultados 27

primera del nuevo empalme, respecto del anterior. Por lo tanto, este nuevo ajuste es el que se

tomara para la expresion analıtica de la eficiencia del detector HPGe.

Ası, cuando E esta expresada en keV :

ε(E) = 100.73668−6.7783.Log(E)+4.0949.[Log(E)]2−0.81173.[Log(E)]3 ,

cuando 40 keV < E ≤ 273.05 keV, y

ε(E) = 102.906−4.6953.Log(E)+1.2241.[Log(E)]2−0.1343.[Log(E)]3 ,

cuando 273.05 keV < E ≤ 3369.72 keV

Una vez obtenidas estas expresiones analıticas, para cumplir con el objetivo del informe,

resta declarar el error asociado a la eficiencia en funcion de la energıa.

El primer paso para determinar las incertezas consistio en trazar dos curvas que acotaran

aquella funcion obtenida de las Ecs. 2.-14 y 2.-15 en +/ − 4 %.

El paso siguiente consistio en observar en que zonas los valores representativos de los puntos

medidos yacıan dentro de la banda comprendida entre las cotas. Cuando un punto se encontraba

fuera de la banda, se estimaba cual era su variacion porcentual respecto del ajuste de la eficiencia.

Con esta metodologıa se reconocieron claramente tres zonas con diferentes tendencias:

Una zona de baja energıa (40 - 200 keV ) con un error relativo ' 7 %;

Una zona intermedia (200 - 1500 keV ) con un error relativo ' 5 %;

Una zona de alta energıa (1500 - 3369.72 keV ) con un error relativo ' 9 %;

Con estos valores se construyo la Fig. 2.17. Una inspeccion minuciosa de esta grafica pone

en evidencia que se ha penalizado el error en la zona intermedia debido a la desviacion de unos

pocos puntos.

A los efectos de no sobreestimar el error en esta zona, se ha relajado la condicion de exigir

que el valor representativo de los puntos experimentales se encuentre entre las cotas de error.

Ası, para esta zona, una banda de error de +/− 2.5 % excluye solo 7 valores representativos

(recordemos que allı hay 55), cuyas barras de error sı tienen una porcion dentro de la banda

acotada por las curvas lımite.

Por esta razon, modificamos el error relativo de la zona interedia a 2.5 %. A raız de esto, la

grafica definitiva se expone en la Fig 2.18.

2.6. Resultados

Todos los objetivos del presente Capıtulo se encuentran graficados en la Fig. 2.18 y plasmados

en las Tablas 2.7 y 2.8.


100 1000E [keV]

10-5

10-4

10-3

Efic

ienc

ia A

bsol

uta,

εEmpalme para E = 273.05 keV

Error: 7% Error: 5% Error: 9%

Puntos experimentalesAjuste en dos tramosCota inferior del errorCota superior del error

Figura 2.17: Curva de ajuste con bandas de error.

Tabla 2.7: Valores de las funciones de eficiencia.Intervalo Expresion analıtica de ε

40 keV < E ≤ 273.05 keV ε(E) = 100.73668−6.7783.Log(E)+4.0949.[Log(E)]2−0.81173.[Log(E)]3

273.05 keV < E ≤ 3369.72 keV ε(E) = 102.906−4.6953.Log(E)+1.2241.[Log(E)]2−0.1343.[Log(E)]3

Tabla 2.8: Incertezas asociadas a cada intervalo.Intervalo Error relativo en ε

40 keV < E ≤ 200 keV 7 %

200 keV < E < 1500 keV 2.5 %

1500 keV ≤ E < 3369.72 keV 9 %

2.6 Resultados 29

100 1000E [keV]

10-5

10-4

10-3

Efic

ienc

ia A

bsol

uta,

ε

Empalme para E = 273.05 keV

Error: 7% Error: 2.5% Error: 9%

Puntos experimentalesAjuste en dos tramosCota inferior del errorCota superior del error

Figura 2.18: Curva de ajuste definitivo con bandas de error.


Capıtulo 3

Medicion de Flujo rapido en las

posiciones F5 e I6

Para la medicion de flujo rapido se emplean materiales detectores que participan en

determinadas reacciones nucleares solo cuando los neutrones incidentes superan cierto umbral

energetico y se obtiene, como producto de la reaccion, un radionucleido con caracterısticas que

permitan su medicion mediante AANI (Analisis por Activacion Neutronica Instrumental).

Dichas reacciones, entre las que se pueden citar las (n,p), (n,2n), (n,α) y (n,d+np+pn)

presentan la dificultad de tener secciones eficaces del orden del mb (1 b = 10−24 cm2) y una de-

pendencia energetica que obliga a realizar un modelado para llevarlas a una forma simplificada1,

facilmente utilizable.

0 2 Eueff 4 6 8 10 12 14 16

En [MeV]

0

100

200

300

400

σ [m

b]

σ0

32S(n,p)32P

Figura 3.1: Modelado de una seccion eficaz con umbral energetico.

En contrapartida a las bajas secciones eficaces para reacciones rapidas, surge la ventaja de

que el flujo rapido no se ve practicamente perturbado por la presencia del detector, lo cual

sı sucede, por ejemplo, con ciertos detectores para flujo termico.

Generalmente, las secciones eficaces para reacciones umbral suelen modelarse como funciones

1Ref. [12], pag. 96.

32 Medicion de Flujo rapido en las posiciones F5 e I6

escalon a partir de una Energıa Umbral Efectiva, Eeffu , segun muestra2 la Fig. 3.1.

Eeffu se calcula a traves de la relacion:

∫ ∞

0σact(E) · Φ(E) · dE = σ0

∫ ∞

Eeffu

Φ(E) · dE (3.1)

Lo anterior pone de manifiesto que el modelado de la seccion eficaz como un escalon requiere

de un espectro de referencia. Generalmente, se adopta el espectro de fision de 235U.

En muchas oportunidades, cuando se sabe que el flujo no se desvıa significativamente respecto

del espectro de fision mencionado, se suele trabajar con secciones eficaces promediadas sobre un

espectro de fision, definidas como:

σ =Φr

∫∞

0 σ(E) · χ(E) · dE

Φr

∫∞

0 χ(E) · dE=

∫ ∞

0σ(E) · χ(E) · dE (3.2)

Una ventaja de σ es que puede medirse sin necesidad de conocer σ(E).

El problema de la determinacion de flujo rapido se vuelve mas complicado cuanto mas se

aleja el espectro real de aquel tomado como referencia para evaluar las secciones eficaces.

Al enviar una muestra al nucleo del reactor y medir alguna lınea de emision gamma de los

radionucleıdos generados, la cantidad de cuentas detectadas en el pico de absorcion total es:

Σ? =m · NAv · η · C · y(E) · ε(E) · T (E) ·

(

1 − e−λti)

e−λtd ·(

1 − e−λtm)

·∫∞

0 σ(E) · Φ(E) · dE

λ · PA(3.3)

cada una de las variables involucradas representa:

Σ? : cantidad de cuentas registradas en el pico de absorcion total;

m : masa de la muestra irradiada;

NAv : constante de Avogradro;

η : abundancia isotopica del nucleıdo blanco para la reaccion de interes;

C : concentracion del elemento de interes en la muestra;

y(E) : rendimiento gamma (yield) de la lınea de interes;

ε(E) : eficiencia absoluta de deteccion del sistema para fotones de energıa E;

T (E) :Transmision. Fraccion de los fotones emitidos que escapan del material de la fuente;

2Ref. [11], pag. 256

3.1 Metodo experimental 33

λ = ln(2)T1/2

: constante de decaimiento del isotopo de interes. T1/2 es el perıodo de semidesinte-

gracion;

ti : tiempo de irradiacion;

td : tiempo de decaimiento transcurrido entre la finalizacion de la irradiacion y el comienzo del

contaje;

tm : tiempo de contaje;

PA : peso atomico del elemento blanco.

Recordando que podemos expresar∫∞

0 σ(E) · Φ(E) · dE = Φr · σ, la constante Φr puede

despejarse de la Ec. 3.3, y su incerteza asociada es:

[

∆Φr

Φr

]2

=

[

∆m

m

]2

+

[

∆η

η

]2

+

[

∆C

C

]2

+

[

∆ε

ε

]2

+

[

∆Σ

Σ

]2

+

[

∆y

y

]2

+

[

∆T

T

]2

+ [λ∆td]2 +

+

[

λe−λtm∆tm1 − e−λtm

]2

+

[

λe−λti∆ti1 − e−λti

]2

+

[

1 + λtd −λtme−λtm

1 − e−λtm− λtie

−λti

1 − e−λti

]2[∆λ

λ

]2

3.1. Metodo experimental

Para la determinacion de flujo rapido se ha hecho uso de las reacciones de la Tabla 3.1.

Se realizaron irradiaciones en las posiciones F5 e I6 del nucleo rel reactor, cuya representacion

esquematica se puede apreciar en la Fig 3.2.

Para el caso de I6, se realizaron dos irradiaciones, en tanto que en F5, tres.

Se utilizo el sistema neumatico de transferencia de muestras en todos los casos.

En cada una de las irradiaciones, los detectores fueron recubiertos por cazoletas de Cd para

disminuir las reacciones (n, γ) con neutrones termicos y epitermicos.

Los materiales y tiempos de irradiacion se transcriben en la Tabla 3.2.

En la tabla anterior se observa que hay alambres arrollados con forma de espiral. Esto se

hizo para poder aumentar la masa y mantener el monitor lo mas compacto posible.

Asimismo, puede observarse que se ha irradiado nıquel en forma de hojuelas y de alambres.

Los monitores con forma de alambre cumplen la sola funcion de normalizar el flujo en

distintas mediciones, teniendo cuenta de las eventuales variaciones en la potencia del reactor en

cada irradiacion.

En estos monitores se midio el pico de 810.76 keV de la reaccion 58Ni(n, p)58m+gCo.

Las mediciones fueron realizadas con un detector coaxial tipo N de Germanio de alta pureza

ORTEC de 67 cm3, con una resolucion de 2 keV FWHM, para 1.33 MeV , y eficiencia de 10 %

relativa a un cristal NaI(Tl) de 7.6 X 7.6 cm a una distancia de 26.45 cm.

La recoleccion de datos se llevo a cabo en 4096 canales con un espectrometro DSPEC 3.

Al momento de analizar resultados, se hizo evidente que las fuentes no puntuales requerıan

un tratamiento especial, que se describe en el proximo capıtulo.

3ORTECr DSPECPLUST M

Digital Gamma Ray Spectrometer.


Tabla 3.1: Reacciones de interes para la caracterizacion de flujos.

Reaccion Eeffu σ T1/2 del hijo Lıneas γ Rendimiento

[MeV] [mb] (NWC) [3] [keV] [4] [ %][4]58Ni(n, 2n)57Ni 13.4 [21] 4.72(26)×10−3 35.60(6) h 1377.63 81.7(16)

1919.52 12.26(25)58Ni(n, p)58m+gCo 2.6 [21] 111(3) 70.86(7) d 810.76 99.45(1)60Ni(n, p)60mCo 5.9 [25] 1.499(83) 10.467(6) h 58.603 2.0351(1)61Ni(n, p)61Co 5.2 [25] 1.632(96) 1.650(5) h 67.415 84.71(38)58Ni(n, d + np + pn)57Co 11.9 [25] 0.275(15) 271.74(6) d 122.061 85.60(17)46Ti(n, p)46Sc 4.4 [21] 11.8(4) 83.79(4) d 889.277 99.984(1)

1120.545 99.987(1)47Ti(n, p)47Sc 3.72 [24] 20.0(23) 3.3492(6) d 159.381 67.9(15)48Ti(n, p)48Sc 6.9 [21] 0.307(11) 43.67(9) h 175.361 7.477(90)

983.26 100.1(3)

1037.522 97.6(5)54Fe(n, p)54Mn 2.8 [21] 81.7(22) 312.11(5) d 834.848 99.976(1)56Fe(n, p)56Mn 7.35 [24] 1.07(8) 2.5789(1) h 846.754 98.87(30)93Nb(n, 2n)92mNb 10.0 [21] 0.48(4) 10.15(2) d 934.44 99.07(4)92Mo(n, p)92mNb 6.0 [24] 7.3(4) 10.15(2) d 934.44 99.07(4)55Mn(n, 2n)54Mn 11.6 [24] 0.258(13) 312.11(5) d 834.848 99.976(1)27Al(n, p)27Mg 4.43 [24] 4.00(45) 9.458(12) m 843.76 71.8(4)

1014.44 28.0(4)27Al(n, α)24Na 6.7 [21] 0.720(25) 14.9512(32) h 1368.633 [1] 99.994(2)[1]56Co(n, α)56Mn 7.0 [21] 0.161(7) 2.5789(1) h 846.754 98.87(30)

1810.72 27.19(80)

3.1 Metodo experimental 35

CI

CI

F F

F

F

CI

F

Agua

Caja Porta−Fuente

A

AA

A A A

A AA

A G G G G G G G G

GGG

G

G

G

G

G

G

G G G G

G

G

G

G

A

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢££££££££££££

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¥¥¥¥¥¥¥¥¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦§§§§§§§§¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨©©©©©©©©©©ªªªªªªªªªª««««««««¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬®®®®®

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ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ÈÈÈÈÈÈÈÈ

ÉÉÉÉÉÉÉÉ

FILTRO

BNCT

Elemento Combustible + Placas de Control

Caja deIrradiación

CombustibleElemento

G E BCDFHIJ

1

2

3

4

5

6

7

8

Grafito

Figura 3.2: Esquema del nucleo del reactor RA-6.


Tabla 3.2: Materiales y tiempos de irradiacion

Material Masa Concentracion Geometrıa Posic. Irrad. Tiempo Irrad.

[mg] [mgmat/mgmuestra] [s]

Nıquel 282.6168 0.99971(10) Hojuela (disco) I6 600

Nıquel 15.5353 0.99971(10) Alambre I6 600

Aluminio 51.2005 0.999998(5) Alambre (espiral) I6 600

Titanio 80.1153 0.996345(10) Hojuela (chapa) I6 570

Cobalto 65.5147 0.99896(10) Hojuela (disco) I6 570

Nıquel 16.3833 0.99971(10) Alambre I6 570

Manganeso 10.8419 0.8107(15) Hojuela (chapa) I6 570

Hierro 218.3839 0.999(1) Hojuela (chapa) I6 570

Niobio 109.3604 0.998335(10) Alambre (espiral) I6 570

Molibdeno 79.7975 0.99945(10) Alambre (espiral) I6 570

Nıquel 282.6014 0.99971(10) Hojuela (disco) F5 300

Nıquel 18.2452 0.99971(10) Alambre F5 300

Aluminio 46.4247 0.999998(5) Alambre (espiral) F5 300

Titanio 43.0738 0.996345(10) Hojuela (chapa) F5 300

Cobalto 65.5147 0.99896(10) Hojuela (disco) F5 300

Nıquel 16.8820 0.99971(10) Alambre F5 300

Hierro 169.9027 0.999(1) Hojuela (chapa) F5 300

Manganeso 10.9721 0.8107(15) Hojuela (chapa) F5 690

Niobio 109.3604 0.998335(10) Alambre (espiral) F5 690

Molibdeno 79.7975 0.99945(10) Alambre (espiral) F5 690

Nıquel 18.5673 0.99971(10) Alambre F5 690

Capıtulo 4

Programa de correccion de eficiencia

4.0.1. Tratamiento de fuente no puntual con atenuacion no despreciable

La calibracion en eficiencia absoluta del detector solo se puede emplear para fuentes

puntuales. No obstante, ninguno de los monitores irradiados cumple con esta exigencia de ser

puntual. Asimismo, el hecho de que las dimensiones de una muestra no sean despreciables hace

que la atenuacion de la radiacion gamma emitida deba ser tenida en cuenta.

Hasta el momento, el detector esta calibrado para la geometrıa de 26.45 cm entre la fuente

y la ventana de berilio del mismo. Para medir con otro arreglo de separadores, se corrige la

eficiencia segun:

ε(x, E) = ε(264.5, E) ×[

264.5 + y0(E)

x + y0(E)

]2

(4.1)

Donde:

ε(x, E) es la eficiencia absoluta de deteccion para gammas de energıa E a una distancia fuente-

detector de x mm, dada por el arreglo de separadores;

ε(264.5, E) es la eficiencia absoluta para la distancia de calibracion;

y0 es la penetracion efectiva, en mm.

El error asociado resulta:

[

∆ε

ε

]2

=

[

∆ε

ε(264.5, E)

]2

+

[

2(264.5 − x))

(x + y0(E))(264.5 + y0(E))

]2

× (∆y0(E))2 +

[

∆ε(264.5)

ε(264.5)

]2

(4.2)

El tratamiento para fuentes no puntuales realizado se basa en la Fig. 4.1.

La fuente a medir tiene una geometrıa que puede adoptar las formas:

Disco (con espesor no despreciable)

Alambre

38 Programa de correccion de eficiencia

θd

h+y 0

dVs

Rd

rd

r

Fuente (geom. variable)

h

Ventana de Be

α

dA

Figura 4.1: Diagrama esquematico del dominio de integracion.

Chapa (con espesor no despreciable)

Espiral

Lo que hace el modelo de correccion de eficiencia (y, segun veremos, de atenuacion en la

fuente) es calcular el angulo solido total substendido por la fuente en la superficie del detector,

situando esta por debajo de su ubicacion real en una cantidad y0.

Este corrimiento persigue contemplar el hecho de que no es estrictamente cierto que un rayo

gamma que incide sobre la superficie sea detectado.

Asimismo, el corrimiento permite tener una estimacion global de la variacion en la eficiencia

absoluta a partir de un parametro cuya dependencia con la energıa de la radiacion incidente ya

esta medida.1

Bajo este marco, se corrige la eficiencia por fuente no puntual aplicando la expresion:

ε(x, geom, E) = ε(264.5, E) ×[

264.5 + y0(E)

x + y0(E)

]2

× Ω(x, geom, E)

Ω(x, puntual, E)(4.3)

1Ref. [6]

39

siendo

Ω(x, puntual, E) = 2π ·

1 − h + y0(E)√

(h + y0)2 + R2d

Suponiendo que la actividad esta homogeneamente distribuida en la fuente2, el diferencial

de angulo solido dΩ esta dado por:

dΩ =|d−→A ||−→r |2 · cos(α) = −d

−→A · −→r|−→r |3

Por lo tanto, el angulo solido total, Ω, sera:

Ω =1

Vs

∫

Vs

dVs

∫

Sd

[

−d−→A · −→r|−→r |3

]

(4.4)

Ahora bien, la expresion analıtica de la forma integral dependera del tipo de fuente a emplear,

ya que un sistema de coordenadas se vuelve mas conveniente para una geometrıa que para otras.

Por ejemplo, para el caso de una fuente con forma de disco, si referimos el origen de coorde-

nadas al centro del disco graficado en la Fig. 4.1 obtendremos:

Ω =1

πRs2e

∫ 2π

0

∫ Rs

0

∫ h+y0+e

h+y0

∫ 2π

0

∫ Rd

0

zsrsrd[√

r2d + r2

s + z2s − 2rd.rscos(θs − θd)

]3 drd.dθd.dzs.drs.dθs(4.5)

Las variables involucradas son:

Vs : volumen de la fuente;

Sd : superficie del detector;

Rs : radio de la fuente;

Rd : radio del detector;

e : espesor de la fuente.

Podrıa usarse este modelo de calculo para tener cuenta de la atenuacion de la radiacion γ

al salir de la fuente. En ese caso, lo que estarıamos hallando ya no serıa la eficiencia corregida,

sino el producto de la eficiencia por la transmision, ε(E) · T (E).

Un rayo gamma que es emitido en la fuente debe atravesar un espesor de material variable

de acuerdo con el lugar donde se origino y su direccion. Agregando el termino de atenuacion a

la ecuacion 4.5 obtenemos lo siguiente:

2Esta suposicion se cumple muy bien para el caso de medicion de reacciones rapidas, dado que no hay autoa-

pantallamiento neutronico durante la irradiacion.


Ω? =1

πRs2e

∫ 2π

0

∫ Rs

0

∫ h+y0+e

h+y0

∫ 2π

0

∫ Rd

0

zsrsrde−µ

√r2d+r2

s+z2s−2rd.rscos(θs−θd)·

zs−h−y0zs

[√

r2d + r2

s + z2s − 2rd.rscos(θs − θd)

]3 drd.dθd.dzs.drs.dθs(4.6)

En cuanto al caso de las fuentes con forma de chapa, el sistema de integracion mas adecuado

es el cartesiano extendido al dominio de la fuente, con el origen referido al mismo punto que en

la oportunidad anterior.

Cabe aquı mencionar que, debido a la complejidad que implica plantear el dominio de in-

tegracion en la fuente para las geometrıas con forma de alambre o espiral, se realizo una serie

de simplificaciones, llevando dichas geometrıas a la forma de paralelepıpedos, de modo que se

traten de la misma manera que la geometrıa de chapa.

ey = ez

LL

d

Figura 4.2: Modificacion de la seccion transversal del alambre.

En cuanto al alambre, se hallaron los valores ey y ez de modo tal que se conservara la

actividad total. De esta manera, las dimensiones del paralelepıpedo resultante se relacionan con

las del cilindro original por:

Lalambre = Lchapa

ey = ez =

√π

2· dalambre

La transformacion en la geometrıa para un alambre se muestra en la Fig. 4.2 , en tanto que

el caso de la espiral se aprecia en la Fig. 4.3.

= e zey

LL

Figura 4.3: Asociacion de la espiral con un paralelepıpedo.

El caso de la espiral plantea un problema mas complejo. Las alternativas para cambiar la

geometrıa fueron asociar la forma de la fuente ya sea a un disco o a un paralelepıpedo.

41

El argumento mas plausible para preferir el paralelepıpedo consiste en que esta geometrıa

tiene en cuenta que la espiral dista de ser un arreglo compacto, por lo que se promedia de mejor

manera la distribucion de actividad segun la direccion radial.

Para modelar la espiral se tomo una longitud representativa (aproximada) del ancho del

mismo y se hallaron las dimensiones ey y ez conservando la actividad total. Ası,

LRepres. = Lchapa

ey = ez =

√

m

L · ρ

En suma, para fuentes cuya gemetrıa no es puntual ni de disco, el angulo solido (no en sentido

estricto, sino que tiene cuenta de la atenuacion) esta dado por:

Ω? =1

exeyez

∫ ex

0

∫ ey

0

∫ h+y0+ez

h+y0

∫ 2π

0

∫ Rd

0

zs.rd.e−µ·V ·

zs−h−y0zs

V 3drd.dθd.dzs.dys.dxs

Donde la funcion V = V (rd, xs, ys, zs, θd) representa:

V (rd, xs, ys, zs, θd) =√

r2d + x2

s + y2s + z2

s − 2rd(xscos(θd) + yssin(θd))

En virtud de la dificultad para resolver analıticamente las ecuaciones como la 4.6, se opto por

integrar de manera numerica. A tal fin se implemento un codigo en el lenguaje C que resuelve

estas expresiones mediante el metodo de integracion Monte Carlo.

Asimismo, el codigo implementado pide datos de entrada tales como el arreglo de separadores,

la geometrıa y material de la fuente, la energıa de los fotones y proporciona como salida la

eficiencia corregida por atenuacion en la fuente y su incerteza absoluta.

El codigo fuente esta transcripto en el apendice B.


Capıtulo 5

Resultados

5.1. Resultados y discusion

El primer analisis de los resultados consistio en hallar el valor de la constante Φr en la Ec.

3.3 a partir de las mediciones realizadas en I6 y en F5.

2 4 6 8 10 12 14E [MeV]

5,0e+10

1,0e+11

1,5e+11

2,0e+11

2,5e+11

"φr"

I6

46Ti

(n,p

)46S

c

59C

o(n,

α)56

Mn

Figura 5.1: Primeros puntos experimentales para la posicion I6.

Si el espectro en una posicion fuese el de fision del 235U, y si se trabajara con secciones eficaces

promediadas en dicho espectro, el valor de Φr para cualquiera de las reacciones estudiadas deberıa

ser el mismo (dentro de la incerteza).

Es por esta razon que se hallo el valor de Φr para cada reaccion utilizando secciones eficaces

44 Resultados

2 4 6 8 10 12 14E [MeV]

1,0e+12

1,5e+12

2,0e+12

2,5e+12

3,0e+12

"φr"

F5

46Ti

(n,p

)46S

c

59C

o(n,

α)56

Mn

55M

n(n,

2n)47

Mn

Figura 5.2: Primeros puntos experimentales para la posicion F5.

promediadas en un espectro de fision. Los resultados se hallan en las Figs. 5.1 y 5.2.

5.1.1. Impurezas de las muestras y fondo de radiacion en el Laboratorio

Refiramonos por un instante a la Fig. 5.1. Aquı se pone de maniefiesto que los puntos

experimentales correspondientes a las reacciones 56Co(n, α)56Mn y 46Ti(n, p)46Sc se encuentran

muy por encima del resto, y esta fluctuacion no se encuentra dentro de los errores experimentales.

La razon por la que estos puntos fueran tan disımiles radica en que existen impurezas o

alguna otra fuente de radiacion ajena a la que se quiere medir que hacen que en el pico de

absorcion total se esten registrando eventos provenientes de orıgenes distintos.

Para el caso del Co, las impurezas de Mn interfieren segun el esquema que se presenta en la

Fig. 5.3.

El problema con el valor correspondiente a la reaccion 46Ti(n, p)46Sc no se debio en esta

oprtunidad a impurezas que llevaran al mismo radionucleıdo, sino a un fondo de radiacion en el

laboratorio. Esto se identifico porque en cualquier espectro tomado durante mas de dos horas,

aparecıan los picos de 889 keV y 1120 keV del 46Sc.

La suposicion de fondo de radiacion se corroboro tomando un espectro mas largo (14.3 horas)

en ausencia de fuentes de radiacion. Los resultados se muestran en la Fig. 5.4.

Pueden apreciarse claramente los dos picos citados, por lo que esta contribucion es la que

5.1 Resultados y discusion 45

Fe56

Mn56

59 Co(n, )α

β−

hν = 847 keV1810 keV

Mn55

(n, )γ2.5789 h

Figura 5.3: Interferencias causadas por contenido de Mn en el Co.

0 500 1000 1500 2000E [keV]

100

1000

10000

Cue

ntas

Fondotm = 14.3 h

800 900 1000 1100 1200

100

1000

889112046Sc

Figura 5.4: Espectro de fondo, donde se observan los picos del 46Sc.

origino el alto valor de flujo presentado.

El inconveniente para corregir esta contribucion radica en que no se puede esperar a que el

Sc decaiga, ya que tiene una vida media de mas de 80 dıas.

Si se quisiera salvar esto mediante una correccion analıtica de las cuentas debidas a la

eventos que no se originaron en la activacion de las muestras analizadas, resulta impractica-

ble determinar la eficiencia con la cual se detecta esta radiacion, inclusive contando con dos picos.

A partir de lo anterior, se ha optado por descartar el punto correspondiente al 46Sc.

Si ahora nos referimos a la Fig. 5.2 vamos a notar que se repite el inconveniente del 46Sc,

por lo que tambien se descartara ese punto.

Asimismo, vemos el mismo problema de contenido de impurezas de Mn en el Co. En esta

oportunidad, es evidente que el flujo calculado a partir de la reaccion 55Mn(n, 2n)54Mn es muy

elevado.

46 Resultados

Esto se debe tambien a impurezas en la muestra. En este caso, la contribucion a la formacion

de 54Mn se debe a la presencia de Fe, mediante la reaccion 54Fe(n, p)54Mn.

El esquema de como interfieren estas reacciones se detalla en la Fig. 5.5.

hν =

54

Mn55

Mn54

54 Cr

ε

Fe(n,p)

(n,2n)312.11 d

834.8 keV

Figura 5.5: Interferencias causadas en el pico de 54Mn debido a la presencia de Fe.

La unica manera de corregir la contribucion por la presencia de Fe serıa detectar alguna

lınea proveniente de reacciones con 54Fe, diferente de la de 834 keV de la reaccion (n, p). (Se

descarto buscar la lınea de 847 keV del 56Mn, puesto que sufrirıa interferencias similares a las

del caso anterior).

Si observamos la Fig. 5.6, notaremos que la unica manera de corregir es detectando la lınea

de 320 keV del 51Cr, originado por la reaccion 54Fe(n, α)51Cr.

Fe54

Cr54

Fe Fe Fe56 57 58

55 Mn

Cr Cr52 53Cr51

52Mn Mn Mn53 54 Mn56

53Fe 55 Fe

Cr55

59Co 60Co

Mn Mn

Fe59

57 58

3.7E 6

εγ 835

γno

ε

γno

ε847, 1811γ

εγ 320

1099, 1292γ

14, 122, 692γ γno

5.8 91.7 2.2 0.3

100

100

2.369.5083.79

2.7 a2.5 m 8.51 m

21 m 5.6 d

10.5 m 5.72 a

a 312.2 d

27.70 d 3.50 m

2.58 h 1.5 m3.0 s 65 s

45.1 d

γ1323811

13321173 γIγ 59

Figura 5.6: Detalle de las reacciones posibles con Co, Fe, Mn.

Como en el espectro adquirido esta lınea no se pudo observar, debio tambien descartarse el


Tabla 5.1: Propiedades de las hojuelas irradiadas para la correccion del Co

Material Masa tm Σ? Concentracion

[mg] [s] [ %]

Co 65.5147 3836 362(161) A determinar

Mn-Cu 2.1819 62.76 13021(116) 81.11

punto correspondiente al Mn.

En el caso de la irradiacion en I6, no se habıa relevado el punto correspondiente al Mn por

falta de estadıstica en el conteo.

5.1.2. Correccion por contenido de Mn en el Co

Para descontar los eventos registrados en el pico de 847 keV debidos a impurezas de Mn, se

irradiaron simultaneamente dos hojuelas: una de ellas, la de Co que se habıa empleado en las

experiencias y otra, de Mn.

La irradiacion se llevo a cabo en la posicion I6, sin recubrimiento de Cd para poder observar

la activacion por reacciones (n, γ) en ambos materiales. Como lo que se buscaba detectar era el

pico de 847 keV del 56Mn (2.5789 h), el tiempo que habıa decaıdo la hojuela de Co era mas que

suficiente (' 23 d) para asegurarse de que no hubiera actividad remanente de las irradiaciones

previas.

Las masas, tiempos de contaje y areas de los picos se han volcado a la Tabla 5.1.

Como ambas mediciones se realizaron en la misma geometrıa, no hubo necesidad de corregir

por eficiencia, debido a que era la misma.

Planteando las ecuaciones de activacion para ambos materiales y teniendo en cuenta que en

ambos casos estamos midiendo el pico de 847 keV del 56Mn, la concentracion de Mn en el Co,

CCoMn, se despeja de:

CCoMn = CMn

Mn · GMn

GCo· ΣCo

ΣMn· mMn

mCo· (1 − e−λMntMn

m )

(1 − e−λMntCom )

· e−λMn(tMnd −tCo

d ) (5.1)

donde vemos que se han introducido los factores de autoapantallamiento neutronico, Gi,

que dan cuenta de la depresion de flujo entre la superficie y el seno de la hojuela.

Los valores de G se han ajustado a partir de puntos tabulados1 en funcion del material y del

espesor del mismo. De este modo, ss empleo GMn = 0.87 y GCo = 0.61.

Propagando errores2, se llega a que:

CCoMn = 1.5(6) × 10−5 = 14(6) ppm

1Ref. [26]2No estan tomados en cuenta los errores en GMn y GCo.

48 Resultados

La causa de que el error en el area para la muestra de cobalto sea tan grande responde a

que la irradiacion tuvo que ser muy corta debido a la alta tasa de activacion termica de la

reaccion 59Co(n, γ)60mCo.

Ahora bien, se quiere corregir el area en el pico de 847 keV descontando aquellos eventos

debidos a reacciones (n, γ).

En definitiva, se quiere sustraer un area Σ− que cumple:

Σ− =m · NAv · η · CCo

Mn · y(E) · ε(E) · T (E) ·(

1 − e−λti)

e−λtd ·(

1 − e−λtm)

·∫∞

0 σ(n,γ) · Φ(E) · dE

λ · PA(5.2)

Como las irradiaciones se han llevado a cabo bajo cadmio, estamos en condiciones de rees-

cribir la integral en la expresion anterior como sigue:

∫ ∞

0σ(n,γ) · Φ(E) · dE = FCd · Gepi · Φe · I

Con lo cual la Ec. 5.2 queda expresada como:

Σ− =m · NAv · η · CCo

Mn · y(E) · ε(E) · T (E) ·(

1 − e−λti)

e−λtd ·(

1 − e−λtm)

· FCd · Gepi · Φe · Iλ · PA

(5.3)

Todas las variables involucradas en la Ec. 5.3 corresponden al Mn, con la excepcion de la

masa m, que es la de la hojuela de Co.

Aquı se ha introducido el factor de Cadmio, FCd, que se define como la relacion entre la

activacion epitermica de la hojuela recubierta con Cd respecto de la misma hojuela desnuda.

Un nuevo inconveniente que surge es el de determinar cuanto vale Φe.

Para el caso de I6, la correccion es mas simple, pues el Co y el Mn se irradiaron simultanea-

mente, con lo cual podemos hallar Σ− planteando explıcitamente el factor Φe a partir de la

ecuacion de activacion del Mn y reemplazando en la del Co:

Σ− =mCo · FCo

Cd · GCo · CCoMn · y1(E) · ε1(E) · T1(E) · e−λMntd1 ·

(

1 − e−λMntm1)

mMn · FMnCd · GMn · CMn

Mn · y2(E) · ε2(E) · T2(E) · e−λMntd2 · (1 − e−λMntm2)· ΣCo

Mn (5.4)

ΣCoMn es la cantidad de cuentas del pico de 847 keV debidas a reacciones (n, γ) de las impurezas

de Mn en la hojuela de Co.

En la Ec. 5.4, los subındices 1, 2, denotan cada una de las diferentes mediciones en las cuales,

recordemos, lo que se busca es el mismo pico de 56Mn.

Solo queda determinar el cocienteF Co

Cd

F MnCd

. Si observamos las Figs3 5.7 y 5.8, veremos que

estos materiales son absorbentes del tipo 1v hasta energıas muy superiores a ECd ' 0.5 eV .

3Ref. [18]


10-8 10-6 10-4 10-2 100

E [MeV]

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

Sec

ción

efic

az d

e ca

ptur

a [b

]

σ(n,γ) Cd

σ(n,γ) 59Co

Figura 5.7: σ(n,γ) del 59Co, superpuesta con la del Cd.

Asimismo, ambas secciones eficaces poseen una resonancia ancha bastante aislada de las demas.

Este hecho hace que la mayor parte de la activacion epitermica se de en esa resonancia.

Gracias a haber superpuesto la seccion eficaz de captura del Cd, notamos que en ambos

casos las resonancias de este coinciden con las principales del Co y el Mn por lo que puede

tomarse, como primera aproximacion, que las activaciones epitermicas se ven afectadas en igual

manera por la presencia del Cd.

Esto se ve refrendado por lo expuesto en la bibliografıa4, pues para hojuelas delgadas (en

nuestro caso, tanto el Co como el Mn tienen un espesor e = 0.0508 mm), el factor de cadmio

es independiente del material de las mismas.

Para la determinacion de la cantidad de cuentas debidas a impurezas de Mn, no queda mas

alternativa que calcular la constante epitermica a partir de alguna reaccion (n, γ) que se haya

observado.

Para esto, se tomo el pico de 58.603 keV del 60mCo (y = 2.0351(1) %, T1/2 = 10.467 m),

generado por la reaccion 59Co(n, γ)60mCo.

Obteniendo el valor de I de la bibliografıa5, se corrigieron las cuentas del pico de 847 keV

(mediante la sustraccion de una cantidad Σ− al area), se propagaron errores y se obtuvieron los

resultados de las Figs. 5.9 y 5.10.

Para la correccion en F5, el factor GCoGMn

es igual a 1, porque se trata de la misma hojuela.

Una simple inspeccion de estas figuras muestra que si bien los valores representativos de los

puntos corregidos parecen ajustarse mejor a los demas datos, aun se encuentran por encima de

lo que parece ser la tendencia general.

4Ref. [11]5Ref. [15]

50 Resultados

10-8 10-6 10-4 10-2 100

E [MeV]

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

Sec

ción

efic

az d

e ca

ptur

a [b

]

σ(n,γ) 55Mnσ(n,γ) Cd

Figura 5.8: σ(n,γ) del 55Mn, superpuesta con la del Cd.

2 4 6 8 10 12 14E [MeV]

8,0e+10

1,0e+11

1,2e+11

1,4e+11

1,6e+11

1,8e+11

2,0e+11

2,2e+11

2,4e+11

"φr"

I6

Figura 5.9: Resultados luego de correccion del Co en I6.

Algunas razones de esta desviacion pueden ser:

1. Problemas de estadıstica en la determinacion del pico de Mn al haber irradiado la hojuela

de cobalto desnuda: recordemos que debio limitarse el tiempo de irradiacion por problemas

de elevada tasa de activacion del propio Co.

2. Factores de autoapantallamiento: estos datos fueron tomados de las fuentes sin ningun

valor de incerteza asociada. Asimismo, debio interpolarse o extrapolarse en estos datos


2 4 6 8 10 12 14E [MeV]

1,5e+12

2,0e+12

2,5e+12"φ

r"

F5

Figura 5.10: Resultados luego de correccion del Co en F5.

para obtener los valores adecuados con el espesor de la hojuela.

3. Errores sistematicos en los datos nucleares: al buscar secciones eficaces, por ejemplo, suelen

encontrarse valores que no son comparables entre sı dentro de sus incertezas. Aquı se pone

de manifiesto la importancia de usar parametros evaluados. Tampoco debe olvidarse que

las incertezas que se informan para las secciones eficaces promediadas estan dentro de un

intervalo de confianza de 67 %, por lo que es de esperar que no todos los puntos intersequen

la horizontal trazada.

A causa de las grandes discrepancias, se descartara el punto correspondiente al Co de I6

para el analisis posterior.

En cuanto al mismo material en F5, se aprecia en la Fig. 5.10 que este punto esta levemente

por encima de los demas, de modo que seguramente una mejor estadıstica en el conteo de

correccion habrıa sido suficiente para que se ajuste a los demas puntos.

5.1.3. Resultados de utilizar secciones eficaces promediadas

Los argumentos expuestos hasta el momento (en resumen, las justificaciones para haber

descartado ciertos puntos), permiten hacer una observacion muy importante: para el flujo en

F5, se ha obtenido un valor (dentro de la incerteza) independiente de la energıa umbral (no

es estrictamente cierto para el Co), lo cual permite afirmar que en esta posicion el flujo no se

desvıa significativamente respecto del espectro de fision termica del 235U.

Para I6, esto no se cumple, sino que se aprecia un aumento sistematico en el valor de flujo

a medida que aumenta la energıa umbral. Esto nos muestra que en este caso utilizar secciones

52 Resultados

eficaces promediadas no es correcto.

Mas aun, la tendencia anterior muestra que en esta posicion existe un endurecimiento del

espectro.

Para indagar sobre el espectro rapido en esta posicion, se debe recurrir a una deconvolucion

de flujo.

Capıtulo 6

Deconvolucion de Flujo: el metodo

de Unfolding

Al activar hojuelas o alambres (en forma mas generica, detectores) y medir los ritmos de

alguna reaccion de interes, lo que estamos viendo es:

I(E) =

∫ ∞

0σ(E) · φ(E) · dE

Es decir, se tiene la convolucion de la seccion eficaz con el espectro energetico de los

neutrones, cuya dependencia energetica queremos determinar.

El procedimiento general para resolver este problema consiste en plantear un esquema mul-

tigrupo asociado a la medicion de varios monitores distintos, de modo de hallar la solucion del

sistema:

I1 =∑

g

ωgσ1gφg

...

Ii =∑

g

ωgσigφg

...

IM =∑

g

ωgσMgφg

siendo:

i=1, · · · , M : la cantidad de reacciones a utilizar;

g : el grupo energetico;

ωg : peso cuadratico;

σig : la seccion eficaz del material i en el grupo g.

54 Deconvolucion de Flujo: el metodo de Unfolding

Los pesos ωg tienen cuenta de que no todos los intervalos deben ser iguales.

Queremos hallar el vector de soluciones de componentes φg.

Es importante remarcar que la seccion eficaz debe ser conocida en todo el rango, y no deben

emplearse parametros condensados como, por ejemplo, σth, I∞, etc. Estos parametros ya estan

pesados con un flujo, que es lo que justamente se quiere determinar

En general, la cantidad de grupos es mayor que el numero de hojuelas, por lo que el sistema

de ecuaciones quedara indeterminado.

Para salvar esto, en muchos casos se hace una estimacion inicial (guess) de la forma que se

espera que tenga el flujo y se lleva a cabo el procedimiento de pesado de las secciones eficaces

con este espectro y calcular (de modo iterativo) las nuevas componentes φg, minimizando las

diferencias cuadraticas entre el resultado y el guess anterior. No obstante, el guess condiciona

la forma de la solucion.

Suelen buscarse materiales con reacciones umbral de diferentes energıas que tengan un

comportamiento empinado en las proximidades del umbral, de modo de poder definir una

energıa umbral efectiva, Eeffu lo mas independiente posible de la forma que pueda tener el

espectro real.

Dada la complejidad del problema conforme aumentan los grupos y la cantidad de materiales,

la solucion se implementa numericamente.

Cabe mencionar que existen metodos denominados matematicos que proponen una base de

autofunciones cuya combinacion lineal es la solucion al problema.

Si bien existe gran variedad de codigos que resuelven el problema de unfolding con el co-

rrespondiente tratamiento de incertezas, en este trabajo se implemento un modelo simplificado,

que consistio en proponer que el espectro de neutrones rapidos en I6 tiene una dependencia

energetica similar a la del espectro de Watt, solo que en esta oportunidad, se dejaron libres los

tres parametros [A0, A1, A2] de la forma funcional que representa dicho espectro para ajustarlos

a los ritmos de activacion medidos.

Φ(E) = A0 × e(−E/A1) × sinh√

A2 · E

El metodo empleado consistio en tomar los ritmos de reaccion calculados en la posicion de

irradiacion I6 (ver Tabla 6.1) y calcular los residuos entre los valores medidos y los calculados

a partir de la convolucion de la funcion Φ(E) (cuyos parametros se estaban) ajustando con la

seccion eficaz diferencial1, σ(E), para la reaccion medida.2

La reaccion 58Ni(n, d+np+pn)57Co no se considero en el analisis, debido a la falta de datos

de la curva de excitacion.

1Ref. [16]2Para el caso de la reaccion 92Mo(n, p)92mNb, se tomaron los puntos de la Ref. [20], debido a una gran

discrepancia con los puntos de [16]. La eleccion obedecio a que, condensando la seccion eficaz para un espectro de

fision, los resultados estaban mucho mas proximos al valor experimental.

55

Con la finalidad de no invertir demasido calculo donde no es requerido, se tomo en cuenta

que los puntos de la Fig. 5.9 que tienen un umbral mayor a 5 MeV parecen dar un valor de

flujo aproximadamente constante.

Esto llevo a suponer que para estas energıas el espectro de neutrones se parece al de fision,

salvo por un factor multiplicativo.

En base a esta observacion, se exigio que para energıas superiores a 5 MeV , la funcion de

ajuste tenga la forma:

χ?(E) = A · χ(E)ENDF/B−V

Evidentemente, A? no es independiente de las Ai, sino que se relaciona con ellas mediante

la continuidad de la funcion de ajuste:

χ?(E0) = A? × e(−E0/0.988) × sinh√

2.249 · E0

=⇒ χ?(E) = A0 ×e(−E0/A1) × sinh

√A2 · E0

e(−E0/0.988) × sinh√

2.249 · E0× e(−E/0.988) × sinh

√2.249 · E

Para resolver el sistema, se empleo una serie de funciones en Scilab3 que toman como parametros

los estimadores de las constantes Ai.

A partir de diversos ajustes polinomicos de las secciones eficaces diferenciales, el programa

calcula la suma de residuos segun la expresion:

∑

i

Resi =12∑

i=1

[∫ 20

0Φ(A0, A1, A2, E) · σ(E)dE − Ract

i

]2

, E > 5 MeV

Se eligio 20 MeV como lımite superior de integracion porque los datos de la Referencia

[16] estan tabulados hasta esa energıa, y ademas, el espectro ya es demasiado bajo como para

contribuir a la intgral, por lo que se comete un error despreciable al integrar hasta dicha energıa.

Como se puede observar, este modelo de ajuste no tiene en cuenta ningun tipo de incerteza

en las secciones eficaces ingresadas ni en los ritmos de reaccion medidos. Simplemete consiste en

un esquema de ensayo y error hasta encontrar el conjunto de valores [A0, A1, A2] que minimicen

la suma de residuos.

Probando varios conjuntos de datos, se eligio aquel que presentara los menores residuos y

cuyos coeficientes A1 y A2 no difiriesen significativamente respecto del espectro de Watt de

ENDF/B-V.

Los resultados de este procedimiento, al igual que los valores de ritmos de reaccion calculados

con el mejor ajuste para un espectro de ENDF/B-V4 se plasman en la Tabla 6.1.

3Ref. [17]4es decir, se ajusto la funcion χ?(E) = A0 × e(−E/0.988) × sinh

√2.249 · E con el mismo criterio ya expuesto, y

resulto A0 = 5.11 × 1010ˆ

eventoss·blanco

˜


Tabla 6.1: Ritmos de reaccion experimentales y obtenidos de ajustes en I6.

Reaccion Ritmo de reaccion medido Calculado ENDF/B−V 1 Calculado [A0,A1,A2] 2[

eventoss·blanco

] [

eventoss·blanco

] [

eventoss·blanco

]

58Ni(n, 2n)57Ni 6.6(8)E8 3.769E8 4.742E858Ni(n, p)58m+gCo 1.28(5)E13 1.315E13 1.294E1360Ni(n, p)60mCo 2.30(18)E11 2.481E11 2.698E1161Ni(n, p)61Co 2.31(15)E11 3.921E11 4.549E1147Ti(n, p)47Sc 2.2(2)E12 2.638E12 2.524E1248Ti(n, p)48Sc 3.91(16)E10 3.407E10 4.287E1054Fe(n, p)54Mn 1.03(9)E13 9.748E12 1.007E1356Fe(n, p)56Mn 1.51(5)E11 1.352E11 1.699E1193Nb(n, 2n)92mNb 6.9(5)E10 5.262E10 6.620E1092Mo(n, p)92mNb 8.8(6)E11 1.825E11 2.296E1127Al(n, p)27Mg 5.37(12)E11 4.639E11 5.588E1127Al(n, α)24Na 1.03(4)E11 8.840E10 1.112E11

No se pudo hacer ningun analisis respecto de la unicidad de la solucion o de haber hallado

(en caso de existir) el verdadero mınimo.

La suma de residuos resulto ser 6.68 × 1023[

eventoss·blanco

]2, para:

A0 = 3.463 × 1010[

eventoss·blanco

]

;

A1 = 1.501 [1/MeV ];

A2 = 1.009 [1/MeV ];

Normalizando el espectro obtenido de modo que

∫ ∞

0χ?(E) · dE = 1

Se calculo

χ?(E) = 0.4405 × e(−E/1.501) × sinh√

1.009 · E, E < 5 MeV

χ?(E) = 0.8126 × e(−E/0.988) × sinh√

2.249 · E, E > 5 MeV

La Fig. 6.1 muestra los espectros de ENDF/B-V y el calculado en esta oportunidad. Puede

apreciarse el endurecimiento mencionado anteriormente. No debe confundirse este espectro con

la intensidad de flujo rapido en F5 e I6, pues difieren en un orden de magnitud.

57

0 2 4 6 8 10

E [MeV]

0

0,1

0,2

0,3

0,4χ(

E)

ENDF/B-VEspectro ajustado para I6

Figura 6.1: Espectro de fision del 235U y espectro ajustado en I6.

Asimismo, se aprecia que la curva ajustada esta definida para E > 2.6 MeV , pues es la

energıa umbral mas baja de todas las reacciones estudiadas.

Podemos crear cierta figura de merito del ajuste realizado con relacion al modelo de ENDF/B-

V calculando la relacion de errores relativos entre los ritmos de reaccion medidos y los calculados

tanto con el modelo de Watt como con el ajuste recientemente expuesto.

Ası, calculamos para cada reaccion el valor

FOM =

∣

∣

∣RactENDF/B−V − Ract

experimental

∣

∣

∣

∣

∣

∣RactAjuste − Ract

experimental

∣

∣

∣

Graficando FOM en funcion de la energıa umbral (Fig. 6.2), podemos apreciar que el ajuste

presenta mejoras respecto del modelo de χ(E), pues de las 12 reacciones estudiadas, solamente

tres tienen FOM < 1. Este sencillo criterio tiene por objeto mostrar una figura clara de si

un modelo ajusta o no mejor que otro. Gracias a la Fig. 6.2, podemos concluir que el espectro

calculado se ajusta mejor a los datos experimentales de la posicion de irradiacion I6 que el

espectro de fision termica del 235U .


2 4 6 8 10 12 14Eu

eff [MeV]

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

FOM

Figura 6.2: Figura de merito para comparar las representaciones de espectro rapido.

Capıtulo 7

Aplicacion al Fechado Geologico

7.1. Efectos de no contar con un espectro puramente termico

Como ya hemos mencionado, la ecuacion de la edad es:

t =1

λα× ln

[

1 +

(

ρs

ρi

)

·(

λα

λf

)

ΦσI

]

Sabemos que el inconveniente que presentan las posiciones de irradiacion del reactor RA-6

es que el flujo neutronico allı no es termico, sino que no son despreciables las componentes

rapida y epitermica.

Traducido al problema del fechado, lo anterior se refleja en una variacion del termino:

Φ · σ · I = Φ · σ · N235

N238

Al irradiar en un flujo con componentes mixtas de neutrones, la cantidad de fisiones inducidas

sera:

Nfis = N5

∫ ∞

0φ(E) · σ5(E) · dE + N8

∫ ∞

0φ(E) · σ8(E) · dE + NTh

∫ ∞

0φ(E) · σTh(E) · dE

Por lo tanto, queremos conocer la susceptibilidad del termino

Φ · σ · INfis

· N8 =Φ · σ · N5

Nfis

ante desviaciones del espectro respecto de uno termico y debido a la presencia de Th.

A tal fin, necesitamos conocer la dependencia en energıa tanto de φ(E) como de σi(E).

Como ya tenemos caracterizado el flujo rapido en la posicion I6, una parte del trabajo ya

esta hecha.

En cuanto a las componentes termica y epitermica, se han caracterizado segun lo siguiente:

conjuntamente con los detectores para reacciones rapidas en las irradiaciones de F5 e I6, se

enviaron hojuelas de aleacion Au − Al al 0.112 % en Au.

60 Aplicacion al Fechado Geologico

Resolviendo la ecuacion de activacion para esta hojuela en I6 se hallo el valor1 de la constante

epitermica:

φe = 2.45(17) × 1010[ n

cm2s

]

Donde queda implıcita la suposicion del comportamiento 1/E del flujo en la parte epitermica.

Para determinar el flujo termico, se hizo uso el resultado de una medicion realizada con

anterioridad en este laboratorio de la relacion de Cadmio para el mismo tipo de hojuela empleado

en esta oportunidad. Segun la medicion citada:

RCd = 4

La relacion de Cadmio RCd se define como el cociente entre la activacion de una hojuela

desnuda y una recubierta con Cd. Ası, RCd = AtotACd

. Por lo tanto, esta magnitud depende no

solo del espectro energetico de los neutrones, sino tambien del material que se irradie.

Haciendo explıcita la dependencia de RCd con las constantes de flujo y los parametros nu-

cleares, se obtiene:

RCd =σ2200 ·

√π

2 ·√

T0T · φt · Gth · g(T ) + I · φepi · Gepi

FCd · I · φepi · Gepi= 4

No debe confundirse la constante φt con el denominado flujo convencional, φth. Estas magni-

tudes se relacionan de la siguiente manera: si tenemos un espectro maxwelliano con una constante

φt, esta estara relacionada con el flujo convencional por la expresion:

φth × σ2200 =

∫ ∞

0φt · M(E) · σ(E) · dE =

√π

2·√

T0

T· g(T ) · φt · σ2200

donde M(E) es un espectro Maxwelliano, y g(T ) es el factor de Wetscott, que tiene cuenta

del comportamiento no 1/v de las secciones eficaces.

Continuando con la determinacion del flujo termico, despejamos φt.

φt =RCd · FCd · I · φepi · Gepi − I · φepi · Gepi

σ2200 ·√

π2 ·

√

T0T · Gth · g(T )

=I · φepi · Gepi(RCd · FCd − 1)

σ2200 ·√

π2 ·

√

T0T · Gth · g(T )

Si notamos que el factor I · φepi · Gepi ya ha sido medido para la determinacion de φe y

suponemos, nuevamente, que dada la gran dilucion del Au en el Al se puede aproximar Gth ' 1,

hallamos el valor

φt = 1.249(77) × 1210[ n

cm2s

]

Recordemos que no hemos tenido en cuenta los errores en FCd, Gepi, Gth, RCd.

1Debido a que el Au esta muy diluido en el Al, se aproximo Gepi ' 1. Se adopto FCd = 11.05

de la Ref. [11].

7.1 Efectos de no contar con un espectro puramente termico 61

10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100

E [MeV]

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

104

σ (n

,fis)

[b]

σ(n,fis) 232Th

σ(n,fis) 235U

σ(n,fis) 238U

Figura 7.1: Secciones eficaces de fision para 235U ,238U , 232Th.

Una vez caracterizado el flujo, se procedio a obtener los datos de las secciones eficaces

diferenciales. La Fig. 7.1 muestra las curvas de excitacion2 para las tres reacciones de fision que

nos interesa estudiar.

Ahora bien, queda definir donde empalmar los modelos de flujo y realizar la convolucion con

la seccion eficaz.

En cuanto al empalme, se efectuo a una energıa de 0.2 eV para φth → φe y una energıa3 de

0.5 MeV , para φe → φrap.

El resultado del empalme se ilustra en la Fig. 7.2.

Aquı pueden apreciarse discontinuidades en los empalmes de las diferentes funciones. En el

caso particular del empalme φth → φe, existen funciones, como la propuesta por TRETIAKOFF

& HOROWITZ4, pero no se ha empleado este formalismo debido a la complejidad para

instrumentarlo y al hecho de que lo que se quiere obtener es una relacion de ritmos de reaccion,

por lo que los efectos tenderıan a cancelarse.

Asimismo, serıa de poca utilidad modelar el flujo en tanto detalle, pues no se estan teniendo

en cuenta, en este analisis, tanto los errores en las constantes del flujo como los de las bibliotecas

de secciones eficaces.

Para realizar los calculos, se instrumento un programa en lenguaje C, cuyo codigo fuente se

transcribe en el apendice C.

Este programa toma los datos de secciones eficaces de bibliotecas ENDF-VI, halla el flujo

correspondiente a esa energıa (de hecho, la Fig. 7.2 se realizo con datos generados por el

2Ref. [19]3Ref. [11]4Ref. [11]


10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100

E [MeV]

104

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

1020

Den

sida

d de

fluj

o d

Φ dEEmpalme φth--> φepi

Empalme φepi--> φrap

Empalme φth--> φepi












Figura 7.2: Flujo a utilizar en la posicion I6.

programa) y multiplica este flujo por su seccion eficaz correspondiente y por el ancho del inter-

valo en el cual esta definida esta seccion eficaz. Esta sumatoria pretende aproximar a la integral.

Un aspecto positivo de la multiplicacion por el ancho local consiste en que el programa sigue

la misma discretizacion de la biblioteca, de modo que hace mas hincapie en la parte epitermica,

debido a la presencia de resonancias.

A modo de verificacion del programa, se utilizo la seccion eficaz de fision del 235U de la

biblioteca y se la condenso con un espectro termico.

El valor arrojado por este calculo fue:

471.7 b

En tanto que el valor evaluado5 es de:

σ2200 × g(T ) ×√

π

2×√

T0

T= 489.96(92) b

sin tener en cuenta el error en el factor de Wetscott.

La discrepancia es inferior al 4 %. Si ademas tenemos en cuenta que no se ha contemplado la

incerteza de la biblioteca, el programa parece funcionar, al menos en este rango, adecuadamente.

Volviendo a la finalidad que motiva este trabajo, empleamos el programa para calcular

Φ · σ · N5

Nfis

5Ref. [21]


que puede reexpresarse como:

∫∞

0 φ(E) · σ5(E) · dE∫∞

0 φ(E) · σ5(E) · dE + 1−ηη

∫∞

0 φ(E) · σ8(E) · dE + NThη·NU

∫∞

0 φ(E) · σTh(E) · dE

La ecuacion anterior ya tiene cuenta de la relacion Th/U (atomica) y de que por cada atomo

de 235U hay 1−ηη = 137.9 atomos de 238U .

7.1.1. Resultados del programa

El primer calculo consistio en despreciar las reacciones del 238U y del 232Th, para ver cuanto

afectaban las fisiones resonantes y rapidas del 235U solamente.

Para un valor de RCd = 4, se hallo que el 1.6 % de las fisiones totales se deben a reacciones

con neutrones no termicos.

En lo sucesivo, se referira la cantidad de fisiones a las correspondientes al 235U en un espectro

Maxwelliano.

Ahora bien, suponiendo que no hay de Th, debido a la presencia de 137.9 atomos de238U por cada uno de 235U , el porcentaje de las fisiones no termicas del 235U siempre suma

un 2.2 % del total. Es decir, esto obedece al solo hecho de no contar con un espectro termico puro.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Relac. Th/U (At.)

0,8

0,82

0,84

0,86

0,88

0,9

0,92

0,94

0,96

0,98

1

RU5

Rtot

RCd = 2

RCd = 2.5

RCd = 3

RCd = 4

RCd = 6

RCd = 10

RCd = 20

RCd = 40

RCd = 100

(Au)RCd

Figura 7.3: Resultados del calculo.

El problema que reviste mayor importancia surge al tener en cuenta la presencia de Th en

el analisis.


La Fig. 7.3 ilustra como varıa la relacion de ritmos de fision analizada conforme aumenta la

relacion Th/U , parametrizando con el indicador adoptado6 para la termalizacion del espectro,

RCd para hojuelas de oro.

Podemos notar varios aspectos de la Fig. 7.3:

1. Como era de esperar, la influencia de las fisiones resonantes y rapidas aumenta conforme

se endurece el espectro. (Conforme disminuye la relacion de cadmio, el efecto de fisiones

resonantes y rapidas es mas pronunciado.

2. La concentracion de Th empeora significativamente los resultados de una irradiacion ya

que, a diferencia del 238U , la contribucion del Th solamente puede corregirse si se conoce

su concentracion.

3. Las correcciones por fisiones del 238U obligan a caracterizar con mucho cuidado el flujo y

a modelar tanto las funciones de empalme entre componentes de flujo como las energıas

de corte correspondientes.

4. Las irradiaciones en medios con mayor predominancia de neutrones termicos son mas

insensibles a las fisiones del 238U y del Th, por lo que no serıan necesarias correcciones ni

estimacion de la relacion Th/U . Es por este motivo que se realiza el estudio de fechado

geologico por trazas de fision en posiciones muy termalizadas.7

7.1.2. Aplicacion a un caso sencillo

Vamos a presentar de manera breve y simplificada como afecta la concentracion de Th a la

determinacion de la edad de alguna muestra de interes.

Apliquemos la ecuacion de la edad

t =1

λα× ln

[

1 +

(

ρs

ρi

)

·(

λα

λf

)

ΦσI

]

a una muestra que sabemos que tiene 3 × 107 anos.

Generalmente, se diagraman las irradiaciones8 de manera que el

ρs

ρi' 1

Si sustituimos los valores λα = 1.55125 × 10−10 a−1, λf = 8.46 × 10−17 a−1 , σ = 589.6 b

(σ2200), I = 1/137.9, tendremos

6Este parametro solo persigue presentar variaciones en los ritmos de reaccion para distintos tipos de flujo7Es importante mencionar que al momento de variar la relacion de Cd en el programa a partir del cual se

construyo la Fig. 7.3, no se modifico el flujo rapido, por lo que se estan sobreestimando las fisiones rapidas. Esto

se traduce en que para espectros mas termalizados, las curvas de la grafica deberıan tener una pendiente menor

aun, lo cual refrenda el argumento de que los medios termicos son mucho mas aptos para emplear este metodo de

fechado8Ref. [14]


t = 6.446 × 109 × ln[

1 + 7.840 × 10−18 × φ]

Si el espectro fuera completamente termico, tendrıamos en el monitor una fluencia igual a

φ = 5.95 × 1014[

ncm2

]

.

Ahora bien, la edad que obtendrıamos en la posicion I6 del reactor RA-6 serıa de 2.936×107

anos. (Subestimacion del 2.2 %).

Segun lo expuesto, esto serıa un error sistematico inherente al uso de esta posicion de irra-

diacion del reactor. Por lo tanto, serıa cuantificable y corregible.

Veamos ahora cuanto varıa la estimacion de la edad con la relacion Th/U . Observando la

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Relac. Th/U (At.)

1,6E7

2,0E7

2,4E7

2,8E7

3,2E7

3,6E7

4,0E7

Eda

d ca

lcul

ada

[a]

RCd = 4

Incerteza: 20 %

Incerteza: 10%

Figura 7.4: Edad que acusarıa el metodo si no se corrigiese la contribucion del Th.

Fig. 7.4, donde ya esta hecha la correccion de 2.2 % por fisiones no termicas del U , obtenemos

que para una incerteza menor que 10 % debemos trabajar con muestras que contengan una

relacion Th/U inferior a 64 (en atomos), en tanto que con una relacion Th/U de 100 no se llega

a alcanzar una incerteza mayor que 16 %.

Este ejemplo muestra un aspecto positivo para el estudio de factibilidad propuesto: si

tenemos en cuenta que existen trabajos9 donde se ha medido la relacion Th/U en apatita,

resultando un valor de aproximadamente 30, estamos en una situacion en la que cometemos un

error relativo (solamente debido a cuestiones del espectro de neutrones) de 5 %.

Gracias al analisis hecho hasta el momento, puede concluirse que esfactible realizar fechado geologico por el metodo de trazas de fision en laposicion de irradiacion I6 del reactor RA-6.

9Ref. [22]


Debe tenerse en cuenta que la afirmacion anterior esta sujeta al cuidado con el que se caracterice

el flujo en esa posicion. Asimismo, no serıa mala practica determinar la concentracion Th/U por

otro metodo para hacer las correcciones pertinentes no solo para evitar aumentar innecesaria-

mente el error, sino tambien para cerciorarse de que no se esta trabajando con una muestra que

contiene mucha mas concentracion de Th de la esperada.

Capıtulo 8

Evaluacion economica del proyecto

Se realizara una descripcion de las tareas llevadas a cabo para cumplir con los objetivos del

Proyecto Integrador, haciendo especial hincapie en el aspecto economico.

8.1. Objetivo

La premisa de este Proyecto Integrador es la de determinar si es factible realizar el estudio

de fechado geologico mediante el metodo de trazas de fision en las posiciones de irradiacion del

reactor RA-6.

De lo anterior surge que el resultado de este trabajo sera una decision binaria fundamentada

en una serie de evaluaciones teoricas y experimentales.

Para estar en condiciones de fundamentar la decision anterior, es necesario cumplir con

determinadas tareas.

8.1.1. Tareas a realizar

En lıneas generales, se debe atravesar por las siguientes etapas:

1. Comprension del problema.

2. Busqueda bibliografica.

3. Calibracion del equipo de espectrometrıa γ.

4. Capacitacion en el area del Analisis por Activacion Neutronica.

5. Medicion de flujo mediante detectores irradiados en el reactor.

6. Empleo del equipo calibrado anteriormente para medicion de espectros.

7. Analisis de datos e interpretacion de resultados.

8. Confeccion del informe correspondiente.

9. Exposicion oral de los resultados del Proyecto.

Todas estas tareas se llevaron a cabo mediante el diagrama de Gantt de la Fig. 8.1.

68 Evaluacion economica del proyecto

Visita a las CentralesFechas de Finales

Vacaciones

ABCDEFG Exposición oral

Confección del informeIrradiaciones − Medic. de monitores − Análisis de resultados

Cursado de AAN y sus AplicacionesCalibración del detector

Búsqueda bibliográfica

Escritura de un programa para corrección de eficiencia

HPGe

Referencias

GF

ED

CAB

AbrilFebrero JunioMayoMarzoAgosto Septiembre Octubre Noviembre

Semana31 41 4645444342403938373635343332302928271413121110987654321

Figura 8.1: Diagrama de Gantt de las tareas llevadas a cabo durante el Proyecto Integrador.

8.1.2. Implicaciones economicas

Absolutamente todas las tareas involucradas requieren de la dedicacion del tesista, quien

recibe una beca de $ 600 mensuales. Asimismo, se considerara que el tesista trabaja con

una computadora el 70 % del tiempo.

La adquisicion de experiencia y manejo de herramientas exigen la intervencion de docentes

instructores. En este caso, ambos directores. La implicancia economica de su actuacion es

la parte proporcional de su sueldo docente al tiempo invertido en la instruccion del tesista.

El sueldo estimado de un docente se tomara en $ 200.

La calibracion del detector implica que este no pude ser usado para las actividades habi-

tuales del Laboratorio, con lo cual se genera un lucro cesante debido a los ingresos que se

podrıan tener por trabajos para terceros. Esto no solo repercute en el analisis economico

por el costo del detector en sı, sino tambien por el de la electronica asociada y software

especıfico.

La medicion de flujo implica la adquisicion de los detectores y el empleo del reactor, con

sus costos asociados de operacion y mantenimiento.

La confeccion del informe conlleva a tiempo de equipos de computacion que se deben

amortizar. No se consideraran costos de licencia de programas, pues se ha empleado codigo

de distribucion libre (sistema operativo y aplicaciones Linux).

8.2 Evaluacion 69

8.2. Evaluacion

Los equipos de computacion, detector, electronica asociada y programas especıficos se

evaluaran con un perıodo de amortizacion de diez anos.

Los costos de ciertos equipos se encuentran en dolares estadounidenses. Al momento de

sumar todos los costos, simplemente se multiplicara por un factor 3.

De la misma manera, los costos de operacion del reactor se expresaran en la divisa extranjera.

Tasa de descuento

Se ha fijado una tasa de descuento de 12 % anual para el analisis de flujos temporales de

fondos.

Para llevar el problema a una escala temporal manejable, evaluaremos cada etapa del pro-

yecto en semanas.

De esta manera, hallamos la tasa de interes semanal a partir de la anual segun:

(1 + isemanal)52 = 1 + ianual (8.1)

Ası, obtenemos isemanal = 0.218 %.

Para un equipo que se amortiza en pagos fijos, se puede hallar el valor de cada cuota a partir

de la expresion:

C = Cuota ×n=N∑

n=1

1

(1 + i)n=⇒ Cuota =

C

−1i ·

1−(1+i)N+1

(1+i)N

(8.2)

donde hemos introducido:

C: Costo de capital inicial;

N: cantidad de perıodos de amortizacion;

Cuota: valor del pago periodico;

La Ec. 8.2 nos indica que semanalmente se deben hacer trabajos que redituen un valor

equivalente a Cuota para amortizar el equipo en el lapso de diez anos.

En la tabla 8.1 se citan los costos iniciales de los equipos empleados y el valor de la cuota,

suponiendo capitalizacion semanal, con la tasa de descuento anteriormente calculada.

En cuanto a los gastos del tesista y los docentes, se considero que el tesista emplea el

30 % del tiempo destinado a su formacion al Proyecto, por lo que semanalmente (no hemos

considerado tasa de descuento para contemplar que el pago es, en realidad, mensual) esto

representa $ 45.

En cuanto a los docentes, suponiendo que el dictado de una materia de 8 hs. reloj por

semana les reditua $ 200, se contabilizara que, en conjunto, ambos invierten 8 horas semanales

70 Evaluacion economica del proyecto

Tabla 8.1: Capitales iniciales y costos semanales de algunos equipos

Equipo Capital inicial Costo

[u$s] [u$s]

Detector + Castillo 25000 80.188/sem

Software especıfico 3000 9.623/sem

Electronica 14000 44.905/sem

Operac. Reactor 100/h

Detectores de flujo (incluida gestion) 1000

Computadora 600 1.925/sem

en asistir al tesista (en estas 8 horas pretende incluirse el tiempo de dictado de la materia

proporcional a un alumno).

Con esto, se tiene que los gastos semanales de docentes son de $ 50.

Se ha supuesto un factor de exclusividad de 0.8 en el uso del detector, ya que tanto durante

la calibracion en eficiencia como en la medicion de monitores, el equipo de uso para otras tareas.

En cuanto a las irradiaciones, se han empleado aproximadamente tres horas de operacion

(teniendo cuenta desde el arranque hasta la subida de potencia).

Una vez tenida la acumulacion de costos desagregada, se procede a implementar en una

planilla de calculo el flujo temporal de fondos, como la suma de los costos pesados con el factor

temporal.

Ası,

V PN =

j=M∑

j=1

n=N∑

n=1

xj

(1 + i)n(8.3)

siendo:

VPN: Valor Presente Neto. Es la cantidad de dinero actualizada al instante t = 0 que representa

el proyecto para quien quiera encararlo;

xj : gasto semanal j-esimo (detector, reactor, beca, etc);

Empleando como flujo temporal de fondos el Diagrama de Gantt de la Fig. 8.1, y multipli-

cando por un factor 3 todos los recursos valuados en dolares, se llega a que al instante t = 0 en

Valor Presente Neto del Proyecto es:

$ 12800

Capıtulo 9

Conclusiones

Este Proyecto permitio interiorizarse en el metodo de Analisis por Activacion Neutronica

aplicado a la resolucion de un probema concreto.

Se obtuvo la expresion analıtica de la curva de eficiencia absoluta del detector HPGe de

10 % de eficiencia nominal, coaxial tipo N ORTEC de 67 cm3 del LAAN y el error asociado

a ella, para una distancia de 26.45 cm.

Para los picos de energıas inferiores a 100 keV , se empleo un criterio ya existente de ajuste

de fondo y se desarrollo un criterio de estimacion del error.

La region intermedia de la curva de eficiencia tiene un error relativo tal que no todos los

valores representativos de los puntos experimentales yacen dentro de las curvas extremas.

Por lo tanto, si se mide a energıas proximas a las de estos puntos, debe evaluarse si no es

conveniente asignar el error del punto exerimental mas proximo y no el de la curva a la

medicion en cuestion.

Se ha implementado un modelo computacional para la correccion de eficiencia para geo-

metrıas de fuente no puntuales, teniendo cuenta de la atenuacion en la misma.

Se ha medido el perfil de flujo en las dos posiciones de irradiacion F5 e I6 del reactor RA-6

y se pudo corroborar un corrimiento de dicho perfil hacia mayores energıas en la posicion

I6.

Se propuso un modelo de endurecimiento de espectro rapido en la posicion I6 en funcion

de datos experimentales, mediante una aplicacion simplificada del metodo de unfolding.

Se realizo un programa para calcular las fisiones no inducidas por neutrones termicos a

partir de bibliotecas estandar de secciones eficaces y modelos de flujo del reactor.

Se llego a la conclusion de que es posible aplicar el metodo de fechado geologico por

trazas de fision en la posicion I6 del reactor, aunque esto esta supeditado a la adecuada

caracterizacion del flujo y de asegurar que la relacion Th/U no es demasiado elevada.

72 Conclusiones

Bibliografıa

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Semiconductor Detectors, North Holland, The Netherlands (1988).

[2] J. L. PARKER, General Topics in Passive Gamma-Ray Assay, in DOUG REILLY, NOR-

BERT ENSSLIN, HASTINGS SMITH Jr., SARAH KREINER, Passive Nondestructive

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[6] M. A. ARRIBERE, Determinacion de Secciones Eficaces Promediadas sobre un Espectro de

Fision para Reacciones Umbral Inducidas sobre Elementos Livianos. Estudio de su Impor-

tancia Analıtica. Tesis presentada ante el Instituto Balseiro, Universidad Nacional de Cuyo

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[7] S. RIBEIRO GUEVARA, A. J. KESTELMAN, Obtencion de una Expresion Analıtica de

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74 BIBLIOGRAFIA

[12] HUGHES, D. J., Pile Neutron Research, Brookhaven National Laboratory, Addison-Wesley

Publising Co. Inc, USA, 1953.

[13] PRICE, P. B., WALKER, M., Observation of fossil particle tracks in natural micas. Nature,

196, 732, (1963).

[14] FAURE, G., Principles of isotope geology, EE.UU, John Wilet & Sons, 2nd Ed. 1986.

[15] GRYNTAKIS, E., CULLEN, D., E., MUNDY, G., Thermal Neutron Cross-Sections and In-

finite Dilution Resonance Integrals, in HANDBOOK ON NUCLEAR ACTIVATION DATA,

IAEA TRS No 723, Viena, 1987.

[16] MANOKHIN, V. N., PASHCHENKO, V. I., PLYASKIN, V. I., Activation Cross-Sections

Induced by Fast Neutrons, in HANDBOOK ON NUCLEAR ACTIVATION DATA, IAEA

TRS No 723, Viena, 1987.

[17] Scilab, Scientific Software Package for Numerical Computations, INRIA, Unite de Recherche

de Rocquencourt,

http://www-rocq.inria.fr/scilab

[18] ENDFPLOT-2.0 Online Plotter for MCNP and ENDF cross section data,

http://atom.kaeri.re.kr/endfplot.shtml

[19] ENDF-VI Library

[20] JEF-2.2 Library

[21] BAARD, J. H., ZIJP, W. L., NOLTHENIUS, H. J., Nuclear Data Guide for Reactor Neutron

Metrology, Kluwer Academic Publishers, The Netherlands, 1989.

[22] IUNES, BIGAZZI, HADLER, TELLO, GUEDES, PAULO, BALESTRIERI, NORELLI,

ODDONE, OSORIO, ZUnIGA, The Th/U ratio in minerals by a fission track technique:

application to some reference samples in order to estimate the influence of Th in fission-track

dating, Radiation Measurements 35, 195-201, (2002).

[23] RADIOACTIVE DATING, Proceedings of a Symposium, Athens, November 1962, IAEA,

Vienna, 1963.

[24] HORIBE, O., A New Empirical Rule for the Estimation of Fission Neutron Spectrum

Averaged Cross Sections of the (n, p) and (n, α) Reactions, Ann. nucl. Energy, Vol. 10, No

7, pp. 359-373, 1983.

[25] ARRIBERE, M. A., RIBEIRO GUEVARA. S., SUAREZ, P. M., KESTELMAN, A. J.

, Threshold Reaction Cross Sections of Nickel Isotopes, Averaged Over a 235U Fission

Neutron Spectrum, Nucl. Sci and Eng. 139, 24-32 (2001).

[26] Neutron Fluence Measurements, IAEA TRS-107, 1970.

Apendice A

Geometrıa de separadores

Detector

h

Protector Al

Ventana Be

Separadores (B, C, D, E)

Soporte muestras A ó NÊËÊËÊÊËÊËÊÊËÊËÊÊËÊËÊÌËÌËÌÌËÌËÌÌËÌËÌÌËÌËÌ

ÍËÍËÍËÍÍËÍËÍËÍÍËÍËÍËÍÍËÍËÍËÍÎËÎËÎËÎÎËÎËÎËÎÎËÎËÎËÎÎËÎËÎËÎ

Figura A.1: Disposicion de los separadores respecto del detector.

La Tabla A.1 muestra las distintas combinaciones posibles de los separadores, indicando las

distancias resultantes de cada configuracion, de acuerdo a la disposicion de la Fig. A.1.

Asimismo, cada fuente patron goza de caracterısticas constructivas diferentes, por lo cual la

disposicion del arreglo de piezas anulares que sostienen las fuentes (aquı denominadas, simple-

mante, soportes) varıa segun que patron se este midiendo.

De esta manera, las Figs A.2 y A.3 muestran la forma y dimensiones de los soportes, en

tanto que las Figs. A.4, A.5, A.6 y A.7 indican la disposicion de los mismos para las fuentes IP,

IAEA, CNEA y NIST, respectivamente.

Notese que para las fuentes CNEA solo debe emplearse el soporte inferior, a la vez que los

datos impresos sobre el maylar deben poder ser leıdos desde la parte superior.

Las fuentes NIST se disponen sin los soportes. No obstante, debe anteponerse un anillo de

aluminio entre los separadores A y B. El separador A que se emplea para las fuentes NIST es

76 Geometrıa de separadores

Tabla A.1: Distancia fuente-detector en funcion del arreglo de separadores.

Espaciadores Altura h Fuentes OIEA Altura h

[mm] h + 4.7 [mm] [mm]

N en lugar de A

A 18.0 22.7 27.3

B+A 47.8 52.5 57.1

C+A 78.0 82.7 87.3

D+A 86.5 91.2 95.8

E+A 101.5 106.2 110.8

C+B+A 107.8 112.5 117.1

D+B+A 116.3 121.0 125.6

E+B+A 131.3 136.0 140.6

D+C+A 146.5 151.2 155.8

E+C+A 161.5 166.2 170.8

E+D+A 170.0 174.7 179.3

D+C+B+A 176.3 181.4 185.6

E+C+B+A 191.3 196.0 200.6

E+D+B+A 199.8 204.5 209.1

E+D+C+A 230.0 234.7 239.3

E+D+C+B+A 259.8 264.5 269.1

N 27.3

Figura A.2: Esquema del soporte inferior.

diferente del que se dispone para las demas fuentes, de manera de lograr una adecuada sujecion

de la fuente y que la distancia fuente-detector sea siempre la misma.

77

Figura A.3: Esquema del soporte superior.

Figura A.4: Disposicion de los soportes para las fuentes IP.


Figura A.5: Disposicion de los soportes para las fuentes IAEA.

Figura A.6: Disposicion de los soportes para las fuentes CNEA.

79

79.5 mm

70.0 mm

75.5

mm

5.5 mm

Figura A.7: Observese que las fuentes NIST se disponen sin los soportes.


Apendice B

Correccion de eficiencia por fuente no puntual y con atenuacion: eff.c

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

#include<math.h>

#include<ctype.h>

#include<gsl/gsl_math.h>

#include<gsl/gsl_monte.h>

#include<gsl/gsl_monte_plain.h>

#include<gsl/gsl_monte_miser.h>

#include<gsl/gsl_monte_vegas.h>

#define CICLOS_VEGAS 500000 /* Ciclos para iniciar la integral num’erica*/

#define DIMENSIONES 5 /* Cantidad de variables de la integral*/

/*Energıas y coeficientes propios de la calibracion en eficiencia*/

#define E_CORTE 273.05 /*Energıa de empalme de ambos polinomios logarıtmicos*/

#define E_MIN 40.0 /*Rango de validez de la calibracion*/

#define E_MAX 3370.0 /*Rango de validez de la calibracion*/

#define ERROR_TRAMO1 0.07 /*Errores relativos por tramo*/

#define CORTE_TRAMO1 200.0 /*Energıas superiores de corte, en keV*/

#define ERROR_TRAMO2 0.025

#define CORTE_TRAMO2 2000.0

#define ERROR_TRAMO3 0.09

#define A0 0.73668 /* Ai: coef. del termino de grado N en */

#define A1 -6.7783 /* la variable Log10(E[kev]), E<E_CORTE */

#define A2 4.0949

#define A3 -0.81173

#define B0 2.906 /* ’Idem anterior, E>=E_CORTE */

#define B1 -4.6953

#define B2 1.2241

#define B3 -0.1343

#define C0 -13.897 /* Ci: coef del termino de grado N en */

#define C1 11.25 /* la variable Ln(E[kev]), para la penetracion ef. */

#define C2 -0.7319

/* Constantes propias de la geometrıa Fuente-Detector*/

#define RD 22.0 /* Radio del detector*/

#define PI 3.14159265359

#define L_0 264.5 /*Longitud durante la calibracion*/

#define L_A 18.0 /*Longitudes de los separadores*/

#define L_B 29.8

#define L_C 60.0

#define L_D 68.5

#define L_E 83.5

#define L_N 27.3

#define ERR_POSIC 0.1 /*Error absoluto de posic. vertical de la fuente*/

#define ERR_Y0 2 /*Error absoluto en la penetracion efectiva*/

82 Correccion de eficiencia por fuente no puntual y con atenuacion: eff.c

#define ERR_REL_INT 0.02 /*Error relativo en la integral

del angulo solido (estimado)*/

// ******************************************************************

// Prototipos de funciones

// ******************************************************************

struct param

double a;

double b;

double c;

double d;

double e;

double f;

double g;

;

typedef struct param parametros;

double eficiencia(double ); // calcula la eficiencia a L_0 mm

double incerteza(double, double , double , double , int ); // Delta_eff

double penetracion(double ); // penetracion efectiva en funcion de E

double omega(double, double ); // angulo solido para fuente puntual a x+y0 mm

int verifica(char[]); // verifica formato de separadores adecuado

double codifica(char [], int[]); // sistematiza separadores y calcula h

void decodifica(int []); //imprime nombres de separadores

void imprime(int[], double , double , double , double[],

int ,double ,double, double, double );

double g_disco(double *k, size_t dim, void *p); // Prototipos de integrales

double g_otras(double *k, size_t dim, void *p); // Prototipos de integrales

// ******************************************************************

// Cuerpo principal del programa

// ******************************************************************

int main()

double E, mu, densidad, dimension[3]=0, effic, long_separadores,

y0, omega_ref, error, integral=0, res, err, result, erro;

char separadores[1], geom[1], energ[1], dim[1], buffer_mu[1],

buffer_dens[1];

int codigo[6]=0,0,0,0,0,0, fuente;

double xl[DIMENSIONES] = 0, 0, 0, 0, 0 ;

double xu[DIMENSIONES] = 1, 2, 3, 4, 5 ;

parametros constantes;

const gsl_rng_type *T;

doprintf("\nIngrese la Energıa en keV: ");

scanf("%s", energ);

while((E=atof(energ))<=E_MIN||E>E_MAX); // Verifica rango de energıa

doprintf("\nIngrese el arreglo de separadores: ");

scanf("%s", separadores);

while(verifica(separadores));

long_separadores=codifica(separadores, codigo);

doprintf("\nGeom. de la fuente:\n\t1.- Disco\n\t2.- Alambre\n\t3.\

- Chapa\n\t4.- Espiral\n\t5.- Puntual\n\nIngrese fuente: ");

scanf("%s", geom);

while((fuente=atoi(geom))<1||fuente>5);

if((atoi(geom))!=5)

83

doprintf("Ingrese la Densidad en g/cc: ");

scanf("%s", buffer_dens);

while((atof(buffer_dens))<=0);

densidad=atof(buffer_dens);

doprintf("Ingrese coef. de atenuac. Masico en cm^2/g: ");

scanf("%s", buffer_mu);

while((atof(buffer_mu))<=0);

mu=atof(buffer_mu);

switch(fuente) // Pido los datos propios de cada fuente

case(1):

doprintf("Ingrese Diametro en mm: ");

scanf("%s", dim);

while((atof(dim))<=0);

dimension[0]=atof(dim);

doprintf("Ingrese Espesor en mm: ");

scanf("%s", dim);



break;

case(2):

doprintf("Ingrese Diametro en mm: ");

scanf("%s", dim);



doprintf("Ingrese Longitud en mm: ");

scanf("%s", dim);



dimension[2]=sqrt(PI)*dimension[0]/2;

break;

case(3):

doprintf("Ingrese Espesor en mm: ");

scanf("%s", dim);



doprintf("Ingrese Longitud 1 en mm: ");

scanf("%s", dim);



doprintf("Ingrese Longitud 2 en mm: ");

scanf("%s", dim);



break;

case(4):

doprintf("Ingrese Longitud representativa en mm: ");

scanf("%s", dim);




doprintf("Ingrese Masa en mg: ");

scanf("%s", dim);



dimension[2]=sqrt(dimension[1]*1e-3/(dimension[0]*densidad/1e3));

break;

// ******************************************************************

// A partir de aca, tengo todos los datos para calcular la eficiencia

// ******************************************************************

y0=penetracion(E);

omega_ref=omega(y0, long_separadores);

if(fuente==5)

integral=omega_ref;

goto salta_mathematica;

gsl_rng *r;

constantes.f=densidad;

constantes.b=mu;

switch(fuente) // Actualiza los lımites de la integral

case(1):

xl[0]=0;

xl[1]=y0/10+long_separadores/10;

xl[2]=0;

xl[3]=0;

xl[4]=0;

xu[0]=dimension[0]/20;

xu[1]=y0/10+long_separadores/10+dimension[1]/10;

xu[2]=2*PI;

xu[3]=RD/10;

xu[4]=2*PI;

constantes.a=xu[0];

constantes.c=long_separadores/10;

constantes.d=y0/10;

constantes.e=dimension[1]/10;

break;

case(2):

xl[0]=-dimension[1]/20;



xl[3]=0;

xl[4]=0;




xu[3]=RD/10;

xu[4]=2*PI;

constantes.a=2*xu[0];


constantes.d=y0/10;

constantes.e=2*xu[2];

constantes.g=2*xu[2];

85

break;

case(3):




xl[3]=0;

xl[4]=0;




xu[3]=RD/10;

xu[4]=2*PI;



constantes.d=y0/10;


constantes.g=dimension[0]/10;

break;

case(4):




xl[3]=0;

xl[4]=0;




xu[3]=RD/10;

xu[4]=2*PI;



constantes.d=y0/10;


constantes.g=2*xu[2];

break;

// Solamente para disco

gsl_monte_function G = &g_disco, DIMENSIONES, &constantes;

// Para las dem’as

gsl_monte_function F = &g_otras, DIMENSIONES, &constantes;

size_t calls = CICLOS_VEGAS;

gsl_rng_env_setup ();

T = gsl_rng_default;

r = gsl_rng_alloc (T);

if(fuente==1) // Apunta a g_disco s’olo si fuente==1

gsl_monte_vegas_state *s = gsl_monte_vegas_alloc (DIMENSIONES);

gsl_monte_vegas_integrate (&G, xl, xu, DIMENSIONES, 10000, r, s,

&res, &err);

printf("\nInicializando...\n");

printf("Integral = % .6f\n", res);

printf("Sigma = % .6f\n", err);

printf ("Convergiendo...\n");

do


gsl_monte_vegas_integrate (&G, xl, xu, DIMENSIONES, calls/5, r, s, &res, &err);

printf ("Integral = % .6f Sigma = % .6f "

"chisq/dof = %.1f\n", res, err, s->chisq);

while (fabs (s->chisq - 1.0) > 0.2); // Exijo Chi2 < 1.2

printf("\nValor final: %.8lf\t Err. porcentual:%.3lf ", res, err/res*100);

puts("% ---> VERIFICAR!!!\n");

gsl_monte_vegas_free (s);

integral=res;

else // Las no puntuales tienen el mismo formato

gsl_monte_vegas_state *s = gsl_monte_vegas_alloc (DIMENSIONES);

gsl_monte_vegas_integrate (&F, xl, xu, DIMENSIONES, 10000,r,s, &result, &erro);

printf("\nInicializando...\n");

printf("Integral = % .6f\n", result);

printf("Sigma = % .6f\n", erro);

printf ("Convergiendo...\n");

do

gsl_monte_vegas_integrate(&F, xl, xu, DIMENSIONES, calls/5,r,s, &result, &erro);

printf ("Integral = % .6f Sigma = % .6f "

"chisq/dof = %.1f\n", result, erro, s->chisq);

while (fabs (s->chisq - 1.0) > 0.2); // Exijo Chi2 < 1.2

printf("\nValor final: %.8lf\t Err. porcentual:%.3lf ",result,erro/result*100);

puts("% ---> VERIFICAR!!!\n");

gsl_monte_vegas_free (s);

integral=result;

salta_mathematica: // Saltea la integral (para fuente puntual)

effic=eficiencia(E)*pow((L_0 +y0)/(long_separadores + y0),2)/omega_ref*integral;

error=incerteza(effic, E, y0, long_separadores, fuente);

puts("\n\n****************************** Resultados del calculo \

********************************\n");

imprime(codigo,long_separadores,E,y0,dimension,fuente,effic,error,mu,densidad);

puts("\n*********************************************************\

*****************************\n\n");

return 0;

// ******************************************************************

// Definicion de funciones

// ******************************************************************

int verifica(char input[])

87

int i,j;

char car;

int resultado=1, OK=1;

if((strlen(input)!=1)) // Verifico que no haya letras repetidas

for(i=0;i<(strlen(input)-1);i++)

for(j=i+1;j<strlen(input);j++)

if(tolower(input[i])==tolower(input[j]))

resultado*=0;

if((strlen(input)!=1)) // Verifico que no esten A y N al mismo tiempo

for(i=0;i<strlen(input);i++)

for(j=0;j<strlen(input);j++)

if((tolower(input[i])==’a’)&&(tolower(input[j])==’n’))

resultado*=0;

for(i=0;i<strlen(input);i++) // Verifico que las letras sean validas

car=tolower(input[i]);

if(!((car==’a’)||(car==’b’)||(car==’c’)||(car==’d’)||(car==’e’)||(car==’n’)))

resultado*=0;

for(i=0;i<strlen(input);i++) // Debe haber, al menos, A o N

if((tolower(input[i])==’a’)||(tolower(input[i])==’n’))

OK*=0;

if(OK!=0)

resultado*=0;

return !resultado;

double codifica(char separadores[], int codigo[])

int i;

double dist=0, distancias[6]=L_A,L_B,L_C,L_D,L_E,L_N;

for(i=0;i<strlen(separadores);i++)

if(separadores[i]==’a’ || separadores[i]==’A’)

codigo[0]+=1;


if(separadores[i]==’b’ || separadores[i]==’B’)

codigo[1]+=1;


if(separadores[i]==’c’ || separadores[i]==’C’)

codigo[2]+=1;


if(separadores[i]==’d’ || separadores[i]==’D’)

codigo[3]+=1;


if(separadores[i]==’e’ || separadores[i]==’E’)

codigo[4]+=1;


if(separadores[i]==’n’ || separadores[i]==’N’)

codigo[5]+=1;

for(i=0;i<6;i++)

dist+=(double)codigo[i]*distancias[i];

return dist;

double eficiencia(double E)

double salida;


if(E<E_CORTE)

salida=pow(10,(A0+A1*log10(E)+A2*pow(log10(E),2)+A3*pow(log10(E),3)));

else salida=pow(10,(B0+B1*log10(E)+B2*pow(log10(E),2)+B3*pow(log10(E),3)));

return salida;

double penetracion(double E)

return (C0 + C1*log(E) + C2*pow(log(E),2));

double omega(double y0, double long_separadores)

return (2*PI*(1-(long_separadores+y0)

/sqrt(pow((long_separadores+y0),2)+pow(RD,2))));

void imprime(int codigo[6],double long_separadores,double E,

double penetracion,double dimension[3],int fuente,double effic,

double error, double mu, double densidad)

printf("\nGeometrıa: ");

decodifica(codigo);

printf(" ---------> Distancia: %5.1lf mm\n", long_separadores);

printf("Energıa: %7.2f keV ---------> Penetracion efectiva: %4.2lf mm\n",

E,penetracion);

switch(fuente)

case(1):printf("Fuente Disco ---------> Diametro: %4.2lf mm\tEspesor:\

%4.2lf mm\n", dimension[0], dimension[1]);

printf(" ---------> Densidad: %4.2lf g/cc\tMu/rho:\

%4.3e cm^2/g\n\n", densidad, mu);

break;

case(2):printf("Fuente Alambre ---------> Diametro: %4.2lf mm\tLong.:\

%4.2lf mm\tLado equiv.:%4.3lf mm \n",dimension[0], dimension[1], dimension[2]);



break;

case(3):printf("Fuente Chapa ---------> Espesor: %4.2lf\

mm\tLong.1: %4.2lf mm\tLong.2: %4.2lf mm\n",dimension[0],dimension[1],dimension[2]);



break;

case(4):printf("Fuente Espiral ---------> Long. Repres: %4.2lf mm\t\

Lado equiv: %4.3lf mm M: %4.3lf mg \n",dimension[0],dimension[2],dimension[1]);



break;

case(5):printf("Fuente Puntual\n");

break;

printf("Eficiencia: %7.4e\t Error Absoluto: %7.3e\n\n", effic, error);

void decodifica(int codigo[6])

int l,impresiones=0; //para completar el ancho de seis caracteres de formato

if(codigo[0]==1)

printf("A");

89

impresiones++;

if(codigo[1]==1)

printf("B");

impresiones++;

if(codigo[2]==1)

printf("C");

impresiones++;

if(codigo[3]==1)

printf("D");

impresiones++;

if(codigo[4]==1)

printf("E");

impresiones++;

if(codigo[5]==1)

printf("N");

impresiones++;

if(impresiones<6)

for(l=0;l<(6-impresiones);l++)

printf(" ");

double incerteza(double effic,double E,double y0,double distancia,int fuente)

double resultado, err_efic, err_penetracion, err_posic; // So errores relativos

if(E<=CORTE_TRAMO1)

err_efic=ERROR_TRAMO1;

else if(E<=CORTE_TRAMO2)

err_efic=ERROR_TRAMO2;

else err_efic=ERROR_TRAMO3;

err_posic=2/(distancia + y0)*ERR_POSIC;

err_penetracion=2*(L_0 - distancia)/((distancia + y0)*(L_0 + y0))*ERR_Y0;

if(fuente!=5) //Para fuentes puntuales, no sumo este error

resultado=effic*sqrt(pow(err_posic,2)+pow(err_efic,2)+pow(ERR_REL_INT,2)

+pow(err_penetracion,2));

else

resultado=effic*sqrt(pow(err_posic,2)+pow(err_efic,2)

+pow(err_penetracion,2));

return resultado;

double g_disco(double *k, size_t dim, void *p)

parametros fp = *((parametros *)p);

return 1/(PI*(fp.a)*(fp.a)*(fp.e))*(k[1]*k[3]*k[0])

*exp(-(fp.b)*(fp.f)*sqrt(k[3]*k[3]+k[0]*k[0]+k[1]*k[1]-2*k[0]*k[3]

*cos(k[2]-k[4]))*(k[1]-(fp.c)-(fp.d))/k[1])

/pow(k[3]*k[3]+k[0]*k[0]+k[1]*k[1]-2*k[0]*k[3]*cos(k[2]-k[4]),1.5);

double g_otras(double *k, size_t dim, void *p)

parametros fp = *((parametros *)p);

return 1/((fp.a)*(fp.e)*(fp.g))*(k[1]*k[3])

*exp(-(fp.b)*(fp.f)*sqrt(k[3]*k[3]+k[0]*k[0]+k[2]*k[2]+k[1]*k[1]-2*k[3]


*(k[0]*cos(k[4])+k[2]*cos(k[4])))*(k[1]-(fp.c)-(fp.d))/k[1])

/pow(k[3]*k[3]+k[0]*k[0]+k[2]+k[2]+k[1]*k[1]-2*k[3]*(k[0]

*cos(k[4])+k[2]*cos(k[4])),1.5);

Apendice C

Programa de convolucion de espectros: convolucion.c

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#define EMPALME 2e-7 // Empalme Ter-Epi

#define CORTE 5e-1 // Empalme Epi-R’apido

#define K_B 8.617E-11 // Constante de Boltzmann MeV/Kelvin]

#define T_M 310 // Temperatura de la Maxwelliana

#define EPI 2.447e10 // Constante epitermica

#define TH 1.249e12 // Constante de la maxwelliana

#define PI 3.14159265369

#define ETA 0.007204 // Abundancia del U235

//Espectros de energ’ia

double termico(double, double);

double epi(double, double);

double rapido(double, double);

double flujo(double, double);

int main(int argc, char* argv[])

double E, XS, ancho=0, E_0=0, relacion, porcentual[3], rel_cadmio;

FILE *U5, *U8, *Th, *salidaU5, *salidaU8, *salidaTh, *resultados ;

static double acumulador=0;

int i;

if(argc!=5)

puts("Faltan los archivos de entrada / salida --> XS_U235 XSU_238 XS_Th232 SALIDA !!\n");

exit(0);

if((resultados=fopen(argv[4],"w"))==NULL)

puts("No se pudo abrir el archivo de salida de resultados!!\n");

exit(0);

if((salidaU5=fopen("salidaU5.dat","w"))==NULL)

puts("No se pudo abrir el archivo de salida del U235!!\n");

exit(0);

if((salidaU8=fopen("salidaU8.dat","w"))==NULL)

puts("No se pudo abrir el archivo de salida del U238!!\n");

exit(0);

if((salidaTh=fopen("salidaTh.dat","w"))==NULL)

puts("No se pudo abrir el archivo de salida del Th232!!\n");

exit(0);

printf("Ingrese la Relacion de Cadmio: ");

scanf("%lf", &rel_cadmio);

printf("Th/U\t Fis U5\t\tFis U8\t\tFisTh\n");

for(i=0;i<50;i++)

92 Programa de convolucion de espectros: convolucion.c

if((U5=fopen(argv[1],"r"))==NULL)

puts("No se pudo abrir el archivo con los datos del U235!!\n");

exit(0);

if((U8=fopen(argv[2],"r"))==NULL)

puts("No se pudo abrir el archivo con los datos del U238!!\n");

exit(0);

if((Th=fopen(argv[3],"r"))==NULL)

puts("No se pudo abrir el archivo con los datos del Th232!!\n");

exit(0);

relacion=(double) (2*i);

printf("%3.1lf\t", relacion);

E=0;

E_0=0;

ancho=0;

XS=0;

acumulador=0;

do

fscanf(U5, "%lf", &E); // Lee la Energ’ia de la tabla

fscanf(U5, "%lf", &XS); // Idem con secci’on eficaz

ancho=E-E_0; // Es el ancho del intervalo (cambia segun discret. de XS)

E_0=E; // Actualizo para la siguiente

acumulador+=flujo(E, rel_cadmio)*XS*1e-24*ancho; // Actualiza la integral (convierte b->cm^2)

if(i==0)fprintf(salidaU5,"%7.4e\t%7.4e\n", E, flujo(E, rel_cadmio));

porcentual[0]=acumulador;

while(!feof(U5)); // Sigue hasta encontrarse con EOF (en realidad,

fclose(U5);

printf("%7.4e\t", acumulador);

E=0;

E_0=0;

ancho=0;

XS=0;

acumulador=0;

do

fscanf(U8, "%lf", &E); // Lee la Energ’ia de la tabla

fscanf(U8, "%lf", &XS); // Idem con secci’on eficaz



acumulador+=(1-ETA)/ETA*flujo(E, rel_cadmio)*XS*1e-24*ancho; // Actualiza la integral (convierte b->cm^2)

if(i==0)fprintf(salidaU8,"%7.4e\t%7.4e\n", E, flujo(E, rel_cadmio));


while(!feof(U8)); // Sigue hasta encontrarse con EOF (en realidad,

// el ultimo c’alculo est’a duplicado)

printf("%7.4e\t", acumulador);

fclose(U8);

E=0;

E_0=0;

ancho=0;

XS=0;

acumulador=0;

do

fscanf(Th, "%lf", &E); // Lee la Energ’ia de la tabla

fscanf(Th, "%lf", &XS); // Idem con secci’on eficaz


93


acumulador+=relacion/ETA*flujo(E, rel_cadmio)*XS*1e-24*ancho; // Actualiza la integral (convierte b->cm^2)

if(i==0)fprintf(salidaTh,"%8.3e\t%8.3e\n", E, flujo(E, rel_cadmio));


while(!feof(Th)); // Sigue hasta encontrarse con EOF (en realidad,

// el ultimo c’alculo est’a duplicado)

fprintf(resultados,"%4.1e\t%7.4e\n", relacion, 5.8916e-10/(porcentual[0]+porcentual[1]+porcentual[2]));

fclose(Th);

printf("%7.4e\n", acumulador);

fclose(salidaU5);

fclose(salidaU8);

fclose(salidaTh);

fclose(resultados);

return(0);

// Los flujos calculados tienen los valores del reactor en la posicion I6

double flujo(double energia, double rel_cadmio)

if(energia<EMPALME)

return termico(energia, rel_cadmio); else

if(energia<CORTE)

return epi(energia, rel_cadmio); else return rapido(energia, rel_cadmio);

double termico(double energia, double rel_cadmio)

return TH*energia/(pow(K_B*T_M,2))*exp(-energia/(K_B*T_M));

double epi(double energia, double rel_cadmio)

return EPI*(4*0.95-1)/(rel_cadmio*0.95-1)/energia;

double rapido(double energia, double rel_cadmio)

if(energia<5)

return 3.485e10*exp(-energia/1.501)*sinh(sqrt(1.009*energia)) ;else

return 1.8447*3.485e10*exp(-energia/0.988)*sinh(sqrt(2.249*energia)) ;

94 Programa de convolucion de espectros: convolucion.c

Agradecimientos

...Lo bueno, si breve, dos veces bueno.

Gracias al Instituto Balseiro y Centro Atomico Bariloche por haberme permitido transitar aquı durante tres anos y

brindarme la satisfaccion de estudiar y graduarme.

Gracias a Marıa y a Abe por ayudarme con mis primeros pasos y por no fallar en despertar mi interes ante cada

inconveniente que se presento.

Gracias al clan de los Dorval por darme aliento y no bajar los brazos.

A Mariana, por el aguante.

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PROYECTO INTEGRADOR CARRERA DE INGENIER¶IA ...ricabib.cab.cnea.gov.ar/44/1/1Dorval.pdfPROYECTO INTEGRADOR CARRERA DE INGENIER IA NUCLEAR ESTUDIO SOBRE LA FACTIBILIDAD TECNICA DE REALIZAR