Universidad Autónoma delEstado de México

Facultad de Economía

Lic. en Actuaría

UA: Series de Tiempo

Profesor: Ernesto Monroy Yurrieta

Modelo de Series de Tiempo

Alumnos:

Cristina Hernández Flores

Fernando Trujillo Arévalo

22/Mayo/2015

Toluca, Estado de México

Introducción

Los datos que utilizamos para este modelo son referentes a la precipitación pluvial nacional, fueron extraídos de la página oficial del INEGI (http://www.inegi.org.mx/).

Yt son los milímetros de precipitación que se registraron cada mes durante el periodo 2007/01-2015/02, obteniendo un total de 98 datos para nuestra serie:

Mes/Año 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015Enero 36.00 21.20 13.50 40.10 16.50 18.60 26.40 16.90 37.50

Febrero 21.20 13.20 11.50 54.70 10.10 30.80 6.40 6.00 27.20Marzo 10.20 7.90 8.30 7.10 11.80 14.00 7.10 14.30Abril 16.00 19.70 8.30 40.20 8.50 22.10 9.00 13.80Mayo 38.80 39.50 46.70 35.30 18.80 39.40 43.90 67.90Junio 96.40 125.40 105.70 109.20 105.10 104.30 103.20 124.20Julio 149.70 197.80 101.30 244.20 180.40 129.60 152.60 111.90

Agosto 179.40 188.40 121.40 168.10 133.80 164.80 135.80 134.30Septiembre 146.20 188.20 153.40 197.00 99.70 126.10 227.30 190.90

Octubre 79.30 78.20 89.20 17.80 65.30 52.00 77.60 91.80Noviembre 23.90 10.10 37.20 15.20 30.70 22.40 76.20 42.60Diciembre 15.10 11.10 26.90 6.70 16.50 18.20 55.10 16.30

El modelo

La gráfica de series de tiempo de la serie es la siguiente:

Se puede observar que los meses en que más precipitación hay es durante agosto y septiembre, también se observa que la serie es cíclica con S=12, ya que los datos son mensuales. Para verificar si la varianza es constante o no, se realiza el siguiente análisis Box-Cox.

Con dicho análisis se comprueba que la varianza no es constante, ya que arroja una valor de λ=0, entonces usamos logaritmo natural. La gráfica de series de tiempo de Yt transformada es la siguiente:

Aún hay tendencia y ciclo, para arreglar esto, se realiza una diferencia cíclica con S=12, y posteriormente una diferencia de la diferencia cíclica. A continuación se muestra la gráfica de series de tiempo de la diferencia cíclica y la gráfica de la diferencia de la diferencia cíclica:

En la gráfica de la diferencia de la diferencia cíclica ya no hay tendencia, por lo que elegimos esta serie (Dif de dif ciclica) para continuar con nuestro modelo.

La FAC y la FACP son las siguientes:

De las gráficas anteriores identificamos un modelo SARIMA (1,1,1)x(1,1,1)12, el cual arrojó los siguientes resultados:

Modelo ARIMA: Wt

Estimados finales de los parámetros

Tipo Coef SE Coef T PAR 1 0.1829 0.1218 1.50 0.137SAR 12 -0.4017 0.1424 -2.82 0.006MA 1 0.9353 0.0634 14.74 0.000SMA 12 0.7287 0.1513 4.82 0.000Constante 0.003057 0.001249 2.45 0.017

Estadística Chi-cuadrada modificada de Box-Pierce (Ljung-Box)

Desfase 12 24 36 48Chi-cuadrada 9.9 19.8 33.2 44.6GL 7 19 31 43Valor P 0.195 0.407 0.363 0.406

El valor P de AR 1 es mayor a .05, por lo que lo sacamos del modelo, quedándonos con un SARIMA(0,1,1)x(1,1,1)12 que arrojo los siguientes resultados:

Modelo ARIMA: Wt

Estimados finales de los parámetros

Tipo Coef SE Coef T PSAR 12 -0.4291 0.1358 -3.16 0.002MA 1 0.9382 0.0521 18.01 0.000SMA 12 0.7418 0.1450 5.12 0.000Constante 0.003702 0.001063 3.48 0.001

Estadística Chi-cuadrada modificada de Box-Pierce (Ljung-Box)

Desfase 12 24 36 48Chi-cuadrada 15.6 26.3 39.5 53.8GL 8 20 32 44Valor P 0.069 0.157 0.170 0.149

Todos los valores P son menores a .05, y los valores P del estadístico Ljung-Box son mayores a .05, por lo que conservamos este modelo.

Análisis Residual

La FAC y la FACP de los residuales son las siguientes:

La gráfica de probabilidad de los residuales es la siguiente:

De las gráficas anteriores podemos concluir que los residuales tienen correlación cero y se distribuyen normalmente, lo que cumple los supuestos del modelo.

Pronósticos

MODELO DE VARIANZA

Para modelar la varianza también se utiliza la serie de precipitación pluvial, donde Yt son los milímetros de precipitación que se registraron cada mes durante el periodo 2007/01-2015/02. La gráfica de series de tiempo de la serie es la siguiente:

Primero aplicamos una diferencia de primer orden a la serie original, así como una diferencia cíclica a la misma serie original, sus graficas de series de tiempo son las siguientes

La diferencia de primer orden no desaparece el ciclo de la serie y la diferencia cíclica no desaparece la tendencia, por lo que se aplica una diferencia de primer orden a la diferencia cíclica, a continuación se muestra su gráfica de series de tiempo.

La gráfica anterior de series de tiempo es la más adecuada para continuar con el modelo, de tal serie nos basamos para la FACP.

El modelo que usamos para la serie original es un SARIMA (3,1,0)x(3,1,0)12, el cual arrojó los siguientes resultados:

Modelo ARIMA: Yt

Estimados finales de los parámetrosTipo Coef SE Coef T PAR 1 -0.4707 0.1099 -4.28 0.000AR 2 -0.3782 0.1141 -3.32 0.001AR 3 -0.2662 0.1102 -2.41 0.018SAR 12 -1.0870 0.1054 -10.31 0.000SAR 24 -1.0029 0.1403 -7.15 0.000SAR 36 -0.8350 0.1110 -7.52 0.000Constante 1.123 3.028 0.37 0.712

Estadística Chi-cuadrada modificada de Box-Pierce (Ljung-Box)Desfase 12 24 36 48Chi-cuadrada 11.3 22.0 29.5 35.8GL 5 17 29 41Valor P 0.045 0.184 0.439 0.700

Conservamos los residuales de este modelo, los elevamos al cuadrado y observamos su gráfica de series de tiempo:

Al parecer no es necesario aplicar diferencias, así que procedemos a sacar la FAC y la FACP de los residuales al cuadrado:

De la FAC y la FACP de los residuales cuadrados obtenemos un modelo ARIMA(3,0,3), que arroja los siguientes resultados:

Modelo ARIMA: RESI^2

Estimados finales de los parámetrosTipo Coef SE Coef T PAR 1 0.3392 0.3365 1.01 0.317AR 2 -0.5029 0.1302 -3.86 0.000AR 3 0.6653 0.2140 3.11 0.003MA 1 0.3373 0.3790 0.89 0.376MA 2 -0.7994 0.0899 -8.89 0.000MA 3 0.5920 0.3539 1.67 0.098Constante 346.0 186.9 1.85 0.068Media 694.2 374.9

Estadística Chi-cuadrada modificada de Box-Pierce (Ljung-Box)Desfase 12 24 36 48Chi-cuadrada 6.2 9.1 14.3 15.8GL 5 17 29 41Valor P 0.289 0.937 0.990 1.000 Sustituyéndolo por un ARIMA(3,0,2):

Modelo ARIMA: RESI^2

Estimados finales de los parámetrosTipo Coef SE Coef T PAR 1 0.0170 0.6142 0.03 0.978AR 2 0.1058 0.4947 0.21 0.831AR 3 0.2211 0.1465 1.51 0.135MA 1 0.0184 0.6236 0.03 0.976MA 2 -0.0613 0.5098 -0.12 0.905Constante 454.9 231.5 1.97 0.053Media 693.2 352.8

Estadística Chi-cuadrada modificada de Box-Pierce (Ljung-Box)Desfase 12 24 36 48Chi-cuadrada 4.7 7.5 12.8 13.9GL 6 18 30 42Valor P 0.587 0.985 0.997 1.000

Sustituyéndolo por un ARIMA(3,0,1):

Modelo ARIMA: RESI^2

Estimados finales de los parámetrosTipo Coef SE Coef T PAR 1 0.0058 0.4930 0.01 0.991AR 2 0.1630 0.1089 1.50 0.138AR 3 0.2200 0.1372 1.60 0.113MA 1 0.0089 0.5054 0.02 0.986Constante 423.1 218.6 1.94 0.057Media 692.2 357.7

Estadística Chi-cuadrada modificada de Box-Pierce (Ljung-Box)Desfase 12 24 36 48

Chi-cuadrada 4.6 7.6 12.9 14.0GL 7 19 31 43Valor P 0.703 0.991 0.998 1.00Sustituyéndolo por un ARIMA(3,0,0):

Modelo ARIMA: RESI^2 Estimados finales de los parámetros

Tipo Coef SE Coef T PAR 1 -0.0027 0.1084 -0.02 0.980AR 2 0.1633 0.1069 1.53 0.131AR 3 0.2214 0.1085 2.04 0.044Constante 427.9 219.2 1.95 0.054Media 692.4 354.8

Estadística Chi-cuadrada modificada de Box-Pierce (Ljung-Box)Desfase 12 24 36 48Chi-cuadrada 4.7 7.6 12.9 14.0GL 8 20 32 44Valor P 0.794 0.994 0.999 1.000

Por tanto, nuestro modelos final es un ARIMA(3,0,0), la FAC y la FACP de los residuales son las siguientes:

PRONÓSTICOS